Unidad 5 Equipo5 F.M.M.C

INTRODUCCIÓN

El contenido de este reporte es de la unidad 5 de la

materia de

fundamentos de la mecánica de medios

continuos los cual la unidad se llama: 5.Lo

ecuaciones constitutivas

cual los subtemas de esta unidad

son

5 que se

desglosan a continuación:

5.1. Ecuación generalizada de esfuerzo de Hooke 5.2.

Aplicaciones

a

problemas

Elasticidad lineal

5.3. Ecuación de Navier -Cauchy 5.4. Ecuación de Navier -Stokes.

de

Fundamentos de la mecánica de medios continuos

5.5. Aplicaciones a problemas de Mecánica de Fluidos.

En este reporte se describe cada uno de los temas y los

subtemas de cada unidad se pudo buscar información de varias fuentes bibliográficas, la igual que hoy en la actualidad estos tremas son básicos la vida cotidiana de un ing. Civil que se relaciona mucho con la aplicación

 junto con la materia de dinámica  que van de la mano porque al igual que esta materia y la de dinámica es una aplicación de la física.

“5. Ecuaciones constitutivas ..................................................... .............................................. 4 

ECUACIONES CONSTITUTIVAS CONSTITUTIVA S (MECÁNICAS) EN FLUIDOS VISCOSOS...................... VISCOSOS.... ................................. ............... 5



ECUACIONES CONSTITUTIVAS CONSTITUTIVA S (MECÁNICAS) EN FLUIDOS NEWTONIANOS ........................... .................. ......... 5



RELACIÓN ENTRE LA PRESIÓN PRESIÓN TERMODINÁMICA Y LA PRESIÓN MEDIA. .................. ........................... ............. .... 6

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Fundamentos de la mecánica de medios continuos



ECUACIÓN CONSTITUTIVA EN COMPONENTES ESFÉRICAS Y DESVIADORAS.......................... 8

5.1. Ecuación generalizada de esfuerzo de Hooke ................................................................. 9 

Ley de Hooke para los resortes ............................................................................................... 9



Ley de Hooke para materiales isotrópicos ............................................................................ 10



PLANTEAMIENTO DE PROBLEMAS DE ELASTICO LINEAL .................................................... 11

5.2. Aplicaciones a problemas de Elasticidad lineal ..................................................... ........ 14 5.3. Ecuación de Navier-Cauchy .............................................. ............................................. 15 SIMETRIA DEL TENSOR DE TENSORES DE CAUCHY ............................................................ 15

5.4. Ecuación de Navier-Stokes. ................................................................ ........................... 16 5.5. Aplicaciones a problemas de Mecánica de Fluidos. ...................................................... 18 

FLUIDOS CON VISCOSIDAD VOLUMETRICA NULA (FLUIDOS DE STOKES) ............................. 19



FLUIDOS PERFECTOS ............................................................................................................. 21



HIDROSTATICA....................................................................................................................... 21

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Consideraremos a continuación el conjunto de ecuaciones, denominadas genéricamente ecuaciones constitutivas, que es necesario añadir a las ecuaciones de conservación/balance para la formulación de un problema de mecánica de fluidos. Estas ecuaciones pueden agruparse como sigue: a) Ecuaciones constitutivas termo mecánicas

Expresan el tensor de Cauchy en función de otras variables termodinámicas, típicamente la presión termodinámica p, el tensor velocidad de deformación d (que implícitamente se puede considerar una función de la velocidad d (v)= la densidad p y la temperatura absoluta Ɵ.

b) Ecuación constitutiva de la entropía

Una ecuación algebraica que proporciona la entropía especifica s en función de la velocidad de deformación, la densidad y la temperatura.

c)

Ecuaciones constitutivas de tipo “termodinámica” o ecuaciones de estado

Son típicamente la ecuación calórica de estado, que define la energía interna específica u, y la ecuación cinética de estado que proporciona una ecuación para la presión termodinámica:

d) Ecuaciones constitutivas de tipo “térmico” 

La más común es de denominada ley de Fourier que establece el flujo de calor por conducción q como:

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Donde k es el tensor (de segundo orden y simétrico) de conductividad térmica que es una propiedad del fluido. Para el caso isótropo, el tensor de conductividad térmica es un tensor esférico k=k1 y depende del parámetro escalar k que es la conductividad térmica del fluido.



ECUACIONES CONSTITUTIVAS (MECÁNICAS) EN FLUIDOS VISCOSOS

Las ecuaciones constructivas termo mecánicas para un fluido viscoso pueden escribirse en general (ver ecuación 9.2) como:

Donde f es una función tensorial simétrica. Según el carácter de la función f se obtienen los siguientes modelos de fluidos: a) Fluidos de Stokes o stokesianos : la función f es una función no lineal de sus argumentos b) Fluidos newtonianos : la función f es una función lineal de sus argumentos. c) Fluidos perfectos : la función f es idénticamente nula. En este caso la ecuación constitutiva mecánica es: σ=-P1



ECUACIONES

CONSTITUTIVAS

(MECÁNICAS)

EN

FLUIDOS

NEWTONIANOS La ecuación constitutiva mecánica para los fluidos newtonianos puede escribirse como:

Donde C es un tensor constitutivo (de viscosidad) constante de cuarto orden. Como resultado de la ecuación anterior. Se obtiene una dependencia lineal del tensor de tensores σ con la velocidad de deformación d.

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para un flujo newtoniano isotopo, el tensor constitutivo C es un tensor isotopo de cuarto orden.

Substituyendo la ec. (9.8) en la ecuación constitutiva mecánica (9.7) se obtiene:



RELACIÓN ENTRE LA PRESIÓN TERMODINÁMICA Y LA PRESIÓN MEDIA.

En general la presión termodinámica, p, y la presión media, p, en un fluido newtoniano en movimiento, serán distintas aunque estén relacionadas entre sí. A partir de la ecuación constitutiva (mecánica) de un fluido newtoniano (9.10) puede obtenerse:

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Utilizando la ecuación de continuidad (conservación de la masa), se tiene:

Considerando además la relación:

Y substituyendo en la ecuación (9.11), se llega a:

La relación la presión media y la presión termodinámica.

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

ECUACIÓN

CONSTITUTIVA

EN

COMPONENTES

ESFÉRICAS

Y

DESVIADORAS a) Parte esférica

De la ecuación (9.15) se tiene:

b) Parte desbastadora Utilizando la descomposición del tensor de tensores de σ y el tensor velocidad de

deformación

en sus componentes esféricas y desviadora, y

substituyendo en la

ecuación constitutiva (9.10). ”1

1

http://sites.google.com/site/alejandrocastillonmedios/unidad-5-ecuaciones-constitutivas

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“Esta ley recibe su nombre de Robert Hooke, físico británico contemporáneo de Isaac Newton

contribuyente prolífico de la arquitectura. Esta ley comprende numerosas disciplinas, siendo utilizada en ingeniería y construcción, así como en la ciencia de los materiales. Ante el temor de que alguien se apodera de su descubrimiento, Hooke lo publico en forma de un famoso anagrama, cellinosssttuv, revelando su contenido un par de años más tarde. El anagrama significa Ut tensiovis (“como la extencion, como la fuerza”)

En la física, la ley de elasticidad de Hooke o ley de Hooke, originalmente formulada para casos del estiramiento longitudinal, establece que el alargamiento unitario que experimenta un material elástico es directamente proporcional a la fuerza aplicada F.

Siendo: δ el alargamiento

L la longitud original E módulo de Young A la sección transversal de la pieza estirada. La ley se aplica a materiales elásticos hasta un límite denominado límite elástico.



Ley de Hooke para los resortes

La forma más común de representar matemáticamente la Ley de Hooke es mediante la ecuación del muelle o resorte ,donde se relaciona la fuerza F ejercida en el resorte con la elongación o alargamiento δ producido:

F= - Kδ Donde k se llama constante elástica del resorte y δes su elogacion o variación que experimenta su

longitud. La energía de deformación o energía potencial elástica U k asociada al estiramiento del resorte viene dada por la siguiente ecuación :

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

Ley de Hooke para materiales isotrópicos

El físico inglés Robert Hooke, en 1660, enunció la “ley de la elasticidad”, inicialmente

unidimensional: “como la extensión, así la fuerza”. Por debajo del “límite elástico”, el alargamiento (relativo) de

una varilla es proporcional a la tensión experimentada por ésta. La ley generalizada para los elementos diagonales se escribe como:

en donde E es llamado el “módulo de Young” y su unidad es el Pascal ( Pa). El nombre de Young

proviene del científico chino Thomas Young (1773-1829), quien es famoso por sus trabajos sobre la naturaleza ondulatoria de la luz. ν es el coeficiente de Poisson (sin unidades), debido al físico y matemático francés Siméon Poisson (1781-1840), también conocido por sus trabajos en la teoría de las probabilidades. Por otra parte, las deformaciones angulares y la torsión de un sólido provienen de esfuerzos tangenciales aplicadas a la superficie del sólido. En este caso, la ley de elasticidad se escribe como:

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La constante de proporcionalidad G se denomina módulo de cizalla. La unidad de también el Pascal ( Pa) y se expresa en función de E y ν como: 2

G

es

”



PLANTEAMIENTO DE PROBLEMAS DE ELASTICO

LINEAL

“Considerando el sólido elástico lineal de la figura. Sometido a unas acciones caracterizadas por el

vector de fuerzas másicas b(x,t)  en el interior del volumen V y el vector de tracción t(x,t), en el contorno v. denominamos problema elástico lineal al conjunto de ecuaciones que permiten obtener la evolución a lo largo del tiempo de los correspondientes desplazamientos u(x,t) deformaciones e(x,t) y tensores σ(x,t).

Problema elástico lineal

2

Lardner, T. J. & Archer, R. R. (1996) Mecánica de Solidos. McGraw-Hill.

Popov E. P. (2002) Mecánica de materiales. Limusa.

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ECUACIONES DE GOBIERNO 1) Ecuación de cauchy (balance de la cantidad de movimiento)

2) Ecuación constitutiva (elástica lineal isótropa)

3) Ecuación geométrica (relación infinitesimales y desplazamiento)

de

compatibilidad

entre

deformaciones

B

Dichas ecuaciones involucra a las siguientes incógnitas . U(x,t) (3 incógnitas) E(x,t) (6 incógnitas) σ(x,t) (6 incógnitas)   

las ecuaciones anteriores constituyen un sistema de ecuaciones diferentes en derivadas parciales. El sistema está constituido por 15 ecuaciones diferenciales con las 15 incógnitas. CONDICIONES DE CONTORNO Consideremos al contorno Г=Əv del solido dividiendo en tres partes:

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“Para ejemplificar lo anterior, se puede imaginar que se tiene una barra prismática de acero

comercial (E=20 Gpa) a compresión, como se muestra en la figura 30 la cual tiene una longitud inicial de 1metro,área transversal de 1.22cm^2(1.22x10ˉ⁴  metros), que equivale a una barra de media pulgada de diámetro, en donde se aplica una carga de 2500 newtons. Para averiguar cuanto se ha deformado dicha barra se utiliza la formula descrita anteriormente.

Y de esa forma se encuentre la deformación total de la barra acero para las condiciones anteriormente descritas, la cual es de 0.0102 metros, es decir, 1.02 milímetros.

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El tensor de tensores, las fuerzas másicas y las aceleraciones están relacionados por la denominada ecuación

de cauchy:

Cuya expresión explica en notación ingenieril resulta:

Si el sistema está en equilibrio la aceleración es nula (a=0), la expresión de las ecuaciones de cauchy queda:



SIMETRIA DEL TENSOR DE TENSORES DE CAUCHY

Mediante la aplicación del principio de balance del momento angular, podemos demostrarse que el tensor de tensores de cauchy es simétrico:

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“Las ecuaciones de Navier-Stokes reciben su nombre de Claude-Lous Navier y George Gabriel

Stokes.se trata de un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales no lineales que describen el movimiento de un fluido. Estas ecuaciones no gobiernan la atmosfera terrestre, las corrientes oceánicas y el flujo alrededor de vehículos o proyectiles y, en general, cualquier fenómeno en el que se involucren fluidos newtonianos.

Estas ecuaciones se obtienen aplicando los principios de conservación de la mecánica y la termodinámica a un volumen fluido. Haciendo esto se obtiene la llamada formulación integral de las ecuaciones. Para llegar a su formulación diferencial se manipulan aplicando ciertas consideraciones, principalmente aquella en la que lo esfuerzos tangenciales guardan una relación lineal con el gradiente de velocidad (ley de viscosidad de Newton), se obtiene de esta manera la formulación diferencial que generalmente es más útil para la resolución de los problemas que se plantean en la mecánica de fluidos.

Como ya se ha dicho, las ecuaciones de Navier-Stokes son un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales no lineales. No se dispone de una solución general para este conjunto de ecuaciones, y salvo ciertos tipos de flujo y situaciones muy concretas no es posible hallar una solución analítica. A la rama de la mecánica de fluidos que se ocupa de la obtención de estas soluciones mediante métodos numéricos se la denomina dinámica de fluidos computacional.

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En particular, para un fluido newtoniano, e isótropo (las propiedades del fluido no cambian con la dirección), el conjunto de leyes anteriores se concreta en las ecuaciones de Navier-Stokes, que se obtienen directamente de las ecuaciones de continuidad y del movimiento. La ecuación de continuidad será directamente la expresión de la ley de conservación de la masa. Aplicando directamente la ley de conservación de la cantidad de movimiento con las consideraciones anteriores sobre el volumen de control, y utilizando el teorema de Gaus o de la divergencia en la superficie cerrada que es su contorno, se obtiene:

El tensor de tensores se puede descomponer a su vez, para el caso de fluido incompresible, en la suma de do. El primero representa su parte isótropa, que es una matriz diagonal 3x3 de componentes iguales, mientras que el resto se podría llamar tensor de tensores viscosas τ , es decir:

σ= -pl. +τ Donde l representa la matriz identidad y p es un escalar que viene dado por: p= (-tr/3)(σ) , trσ es la traza (suma de elementos de la diagonal)”3

3

http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaciones_de_Narvier-Stokes

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Fluidos incompresibles:

Y substituyendo las ecuaciones anteriores en la siguiente tabla se obtienes las ecuaciones de gobierno: Tabla.-.-ecuaciones de gobierno del problema de mecánica de fluidos

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

FLUIDOS CON VISCOSIDAD VOLUMETRICA NULA (FLUIDOS DE STOKES)

En este caso:

Y substituyendo las ecuaciones anteriores es la tabla se obtiene las ecuaciones e gobierno de la tabla:

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

FLUIDOS PERFECTOS

Para fluidos perfectos (sin viscosidad) λ=μ=Χ=0.substituyendo dicha condiciones en la tabla, se

obtiene el problema de la siguiente tabla:



HIDROSTATICA

En este caso se tiene (ver ecuaciones):

Por lo que las ecuaciones de la tabla anteriores se reducen a las de la tabla siguiente:”4

4

http://bigmac.mecaes.etsil.upm.es/site/msd_files/cap4.pdf 

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Fuentes bibliográficas http://bigmac.mecaes.etsil.upm.es/site/msd_files/cap4.pdf  http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaciones_de_Narvier-Stokes http://sites.google.com/site/alejandrocastillonmedios/unidad-5-ecuaciones-constitutivas Lardner, T. J. & Archer, R. R. (1996) Mecánica de Solidos. McGraw-Hill. Popov E. P. (2002) Mecánica de materiales. Limusa

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Con esta investigación de la unidad 5 de la materia de fundamentos de la mecánica de medios continuos adquirimos nuevos y grandes conocimientos

en la cual es desconocido para

nuestro conocimiento de esta formación que llevamos al igual que gracias a este reporte nos

dimos cuenta de la aplicación de cada uno de los temas y/o subtemas por el cual estos temas se

van relacionando con la materia de dinámica ya que esta unidad se trata más de física.

Así mismo concluimos este reporte de la unidad 5 que son 5 subtemas que uno tras otro se relaciona 23

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lo cual esta información o investigación su contenido

conforma

de

fuentes

de

internet

(páginas web) y también fuentes bibliografías entre otros.

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