unidad 4

MATERIA: PROGRAMACION PROGRAMA CION Y METODOS NUMERICOS

CATEDRÁTICO: ING. ALFONSO SANCHEZ SOLIS TEMA:

Regresión, interpolación y derivación numéricas ALUMNO: ALMA ANGELINA LERDO REYES ESPECIALIDAD: INGENIERÍA BIOQUÍMICA GRADO: 4° SEMESTRE SEMEST RE

GRUPO: “A”

Unidad 4 Regresión, interpolación y derivación numéricas

Objetivo

Elaborar esta investigación para conocer y resolver regresión, interpolación y derivación numéricas de ecuaciones y solucionarlos de acuerdo de los temas que conforman esta unidad, conociendo los métodos matemáticos.

Justificación

Esta investigación es elaborada con el fin de analizar más a fondo la materia de progr program amac ació ión n y métod métodos os numé numéric ricos, os, anal analiz izan ando do méto método doss para para regre regresi sión ón,, interpolació interpolación n y derivación derivación numéricas, para para la estimación de relaciones relaciones entre variables.

Regresión, interpolación y derivación numéricas 4.1. n!lisis de Regresión

  El análisis de la regresión es un proceso estadístico para la estimación de relaciones entre variables. Incluye muchas técnicas para el modelado y análisis de diversas variables, cuando la atención se centra en la relación entre una variable dependi dependient ente e y una o más variab variables les indepe independi ndient entes. es. ás especí específic ficame amente nte,, el anál anális isis is de regre regresi sión ón ayuda ayuda a ente entend nder er cómo cómo el valo valorr típi típico co de la varia variabl ble e depen dependi dien ente te camb cambia ia cuan cuando do cualq cualqui uier era a de las las vari variab able less inde indepen pendi dien ente tess es variada, variada, mientras mientras que se mantienen mantienen las otras variables independient independientes es fi!as. fi!as. ás com" com"nm nment ente, e, el anál anális isis is de regre regresi sión ón esti estima ma la esperanz esperanza a condic condicional ional de la variabl variable e depend dependien iente te dadas dadas las variab variables les indepe independi ndient entes es # es decir decir,, el valor  valor  promedio de la variable dependiente cuando se fi!an las variables independientes. $on menor frecuencia, la atención se centra en un cuantil cuantil,, u otro parámetro de localización de la distribución condicional de la variable dependiente dadas las variables independientes. En todos los casos, el ob!etivo es la estimación de una función de las variables independientes llamada la función de regresión. En el análisis de regresión, también también es de interés para caracterizar caracterizar la variación variación de la variable dependiente en torno a la función de regresión que puede ser descrito por  una distribución de probabilidad. probabilidad . El análisis de regresión es ampliamente utilizado para la predicción predicción y  y previsión previsión,, dond donde e su uso uso tien tiene e supe superp rpos osic ició ión n sust sustan anci cial al en el camp campo o de aprendiza!e automático.. El análisis de regresión se utiliza también para comprender que cuales automático de las variables independientes están relacionadas con la variable dependiente, y e%plorar las formas de estas relaciones. En circunstancias limitadas, el análisis de regresi regresión ón puede puede utiliz utilizarse arse para para inferi inferirr relaci relaciones ones causale causaless entre entre las variab variables les independientes y dependientes. &in embargo, esto puede llevar a ilusiones o fals falsas as rela relaci cion ones es,, por por lo que que se reco recomi mien enda da prec precau auci ción ón,,' por por e!em e!empl plo, o, la correlación no implica causalidad. &e han desarrollado muchas técnicas para llevar a cabo análisis de regresión. étodos étodos familiares familiares tales como regresión regresión lineal y ordinaria ordinaria de mínimos mínimos cuadrados de regresión son paramétrica, en que la función de regresión se define en términos de un n"mero finito de desconocidos parámetros que se estiman a partir  de los datos. (egresión no paramétrica se refiere a las técnicas que permiten que la función de regresión mienta en un con!unto específico de funciones, que puede ser de dimensión infinita.

El desempe)o de los métodos de análisis de regresión en la práctica depende de la forma del proceso de generación de datos, y cómo se relaciona con el método de regresión que se utiliza. *ado que la forma verdadera del proceso de generación de datos generalmente no se conoce, el análisis de regresión depende a menudo hasta cierto punto de hacer suposiciones acerca de este proceso. Estos supuestos son a veces comprobable si una cantidad suficiente de datos está disponible. +os modelos de regresión para la predicciamente, aunque pueden no funcionar de manera óptima. &in embargo, en muchas aplicaciones, sobre todo con peque)os efectos o las cuestiones de causalidad sobre la base de los datos de observación, métodos de regresión pueden dar resultados enga)osos. 4.1.1. "undamentos estad#sticos.

*EI-I$I- / 01I+I*2* *E +2 E&12*3&1I$2  +a Estadística es una disciplina que utiliza recursos matemáticos para organizar y resumir una gran cantidad de datos obtenidos de la realidad, e inferir conclusiones respecto de ellos. 4or e!emplo, la estadística interviene cuando se quiere conocer  el estado sanitario de un país, a través de ciertos parámetros como la tasa de morbilidad o mortalidad de la población. En este caso la estadística describe la muestra en términos de datos organizados y resumidos, y luego infiere conclusiones respecto de la población. 4or e!emplo, aplicada a la investigación científica, hace inferencias cuando emplea medios matemáticos para establecer si una hipótesis debe o no ser rechazada. +a estadística puede aplicarse a cualquier  ámbito de la realidad, y por ello es utilizada en física, química, biología, medicina, astronomía, psicología, sociología, ling5ística, demografía, etc. $uando en cualquiera de estas disciplinas se trata de establecer si una hipótesis debe o no ser rechazada, no siempre es indispensable la estadística inferencial. 4or e!emplo, si sobre 67 veces que se mira un dado, sale un dos '7 veces, no se requiere la estadística para rechazar la hipótesis 8el dado está cargado9. &i sale un dos en :; ocasiones sobre 67, tampoco se necesita la estadística para aceptar la hipótesis 8el dado está cargado9. 4ero, LA corresponden a la estadística inferencial. >A &eg"n el tiempo considerado.# &i se considera a la estadística descriptiva, se distingue la estadística estática o estructural, que describe la población en un momento dado @por e!emplo la tasa de nacimientos en determinado censoA, y la estadística dinámica o evolutiva, que describe como va cambiando la población en el tiempo @por e!emplo el aumento anual en la tasa de nacimientosA.

B(IOEEl término alemán &tatistiP, introducido originalmente por Oottfried  2chenQall en 'LD, se refería al análisis de datos del Estado, es decir, la Rciencia del EstadoS @o más bien, de la ciudad#estadoA. 1ambién se llamó aritmética política de acuerdo con la traducción literal del inglés. -o fue hasta el siglo TIT cuando el término estadística adquirió el significado de recolectar y clasificar  datos. Este concepto fue introducido por el militar británico sir Uohn &inclair  @':L# ';>:A. En su origen, por tanto, la estadística estuvo asociada a los Estados o ciudades libres, para ser utilizados por el gobierno y cuerpos administrativos @a menudo centralizadosA. +a colección de datos acerca de estados y localidades contin"a ampliamente a través de los servicios de estadística nacionales e internacionales. En particular, los censos comenzaron a suministrar información regular acerca de la población de cada país. 2sí pues, los datos estadísticos se referían originalmente a los datos demográficos de una ciudad o Estado determinados. / es por ello que en la clasificación decimal de elvil *eQey, empleada en las bibliotecas, todas las obras sobre estadística se encuentran ubicadas al lado de las obras de o sobre la demografía. /a se utilizaban representaciones gráficas y otras medidas en pieles, rocas, palos de madera y paredes de cuevas para controlar el n"mero de personas, animales o ciertas mercancías. Gacia el a)o >777 a. $. los babilonios usaban ya peque)os envases moldeados de arcilla para recopilar datos sobre la producción agrícola y de los géneros vendidos o cambiados. +os egipcios analizaban los datos de la población y la renta del país mucho antes de construir las pirámides en el siglo TI a. $. +os libros bíblicos de-"meros y $rónicas incluyen en algunas partes traba!os de estadística. El primero contiene dos censos de la población de la 1ierra de Israel y el segundo describe el bienestar material de las diversas tribus !udías. En $hina e%istían registros numéricos similares con anterioridad al a)o =777 a. $. +os antiguos griegos realizaban censos cuya información se utilizaba hacia el :DL a. $. para cobrar impuestos. B(3OE-E& E- 4(BV2VI+I*2* +os métodos estadístico#matemáticos emergieron desde la teoría de probabilidad, la cual data desde la correspondencia entre 4ascal y 4ierre de ermat @'6:LA. $hristian Guygens @'6:A da el primer tratamiento científico que se conoce a la materia. El 2rsconiectandi @póstumo, ''>A de UaPob Vernoulli y la *octrina de posibilidades @'';A de 2braham de oivre estudiaron la materia como una rama

de las matemáticas. ' En la era moderna, el traba!o de Kolmogórov ha sido un pilar  en la formulación del modelo fundamental de la 1eoría de 4robabilidades, el cual es usado a través de la estadística. +a teoría de errores se puede remontar a la pera miscellánea @póstuma, '==A de (oger $otes y al traba!o preparado por 1homas &impson en ':: @impreso en ':6A el cual aplica por primera vez la teoría de la discusión de errores de observación. +a reimpresión @':A de este traba!o incluye el a%ioma de que errores positivos y negativos son igualmente probables y que hay unos ciertos límites asignables dentro de los cuales se encuentran todos los erroresN se describen errores continuos y una curva de probabilidad. 4ierre#&imon +aplace @'LA hace el primer intento de deducir una regla para la combinación de observaciones desde los principios de la teoría de probabilidades. +aplace representó la +ey de probabilidades de errores mediante una curva y dedu!o una fórmula para la media de tres observaciones. 1ambién, en ';', obtiene la fórmula para la ley de facilidad del error @término introducido por +agrange, 'LLA pero con ecuaciones inmane!ables. *aniel Vernoulli @';A introduce el principio del má%imo producto de las probabilidades de un sistema de errores concurrentes.

otografía de $eres por el telescopio espacial Gubble. +a posición fue estimada por Oauss mediante el método de mínimos cuadrados. El método de mínimos cuadrados, el cual fue usado para minimizar los errores en mediciones, fue publicado independientemente por 2drien#arie +egendre @';7:A, (obert 2drain @';7;A, y $arl riedrich Oauss @';7DA. Oauss había usado el método en su famosa predicción de la localización del planeta enano $eres en ';7'. 4ruebas adicionales fueron escritas por +aplace @';'7, ';'=A, Oauss @';=>A, Uames Ivory @';=:, ';=6A, Gagen @';>A,riedrich Vessel @';>;A, W.. *onPin @';LL, ';:6A, Uohn Gerschel @';:7A y organ $rofton @';7A. Btros contribuidores fueron Ellis @';LLA, 2ugustus *e

organ @';6LA, Olaisher @';=A y Oiovanni &chiaparelli @';:A. +a fórmula de 4eterspara , el probable error de una observación simple es bien conocido. El siglo TIT incluye autores como +aplace, &ilvestre +acroi% @';'6A, +ittroQ @';>>A, (ichard *edePind @';67A, Gelmert @';=A, Germann +aurent @';>A, +iagre, *idion y Karl 4earson. 2ugustus *e organ y Oeorge Vooleme!oraron la presentación de la teoría. 2dolpheXuetelet @'D6#';LA, fue otro importante fundador de la estadística y quien introdu!o la noción del Rhombre promedioS @lYhommemoyenA como un medio de entender los fenómenos sociales comple!os tales como tasas de criminalidad, tasas de matrimonio o tasas de suicidios. E&12*B 2$102+ *urante el siglo TT, la creación de instrumentos precisos para asuntos de salud p"blica @epidemiología, bioestadística, etc.A y propósitos económicos y sociales @tasa de desempleo, econometría, etc.A necesitó de avances sustanciales en las prácticas estadísticas. Goy el uso de la estadística se ha e%tendido más allá de sus orígenes como un servicio al Estado o al gobierno. 4ersonas y organizaciones usan la estadística para entender datos y tomar decisiones en ciencias naturales y sociales, medicina, negocios y otras áreas. +a estadística es entendida generalmente no como un sub#área de las matemáticas sino como una ciencia diferente RaliadaS. uchas universidades tienen departamentos académicos de matemáticas y estadística separadamente. +a estadística se ense)a en departamentos tan diversos como psicología, educación y salud p"blica.

(egresión lineal H Oráficos dedispersión en estadística.  2l aplicar la estadística a un problema científico, industrial o social, se comienza con un proceso o población a ser estudiado. Esta puede ser la población de un país, de granos cristalizados en una roca o de bienes manufacturados por una fábrica en particular durante un periodo dado. 1ambién podría ser un proceso

observado en varios instantes y los datos recogidos de esta manera constituyen una serie de tiempo. 4or razones prácticas, en lugar de compilar datos de una población entera, usualmente se estudia un subcon!unto seleccionado de la población, llamado muestra. *atos acerca de la muestra son recogidos de manera observacional o e%perimental. +os datos son entonces analizados estadísticamente lo cual sigue dos propósitosJ descripción e inferencia. El concepto de correlación es particularmente valioso. 2nálisis estadísticos de un con!unto de datos puede revelar que dos variables @esto es, dos propiedades de la población ba!o consideraciónA tienden a variar con!untamente, como si hubiera una cone%ión entre ellas. 4or e!emplo, un estudio del ingreso anual y la edad de muerte podría resultar en que personas pobres tienden a tener vidas más cortas que personas de mayor ingreso. +as dos variables se dice que están correlacionadas. &in embargo, no se puede inferir inmediatamente la e%istencia de una relación de causalidad entre las dos variables. El fenómeno correlacionado podría ser la causa de una tercera, previamente no considerada, llamada variable confusora. &i la muestra es representativa de la población, inferencias y conclusiones hechas en la muestra pueden ser e%tendidas a la población completa. 0n problema mayor  es el de determinar cuán representativa es la muestra e%traída. +a estadística ofrece medidas para estimar y corregir por aleatoriedad en la muestra y en el proceso de recolección de los datos, así como métodos para dise)ar e%perimentos robustos como primera medida, ver dise)o e%perimental. El concepto matemático fundamental empleado para entender la aleatoriedad es el de probabilidad. +a estadística matemática @también llamada teoría estadísticaA es la rama de las matemáticas aplicadas que usa la teoría de probabilidades y el análisis matemático para e%aminar las bases teóricas de la estadística. El uso de cualquier método estadístico es válido solo cuando el sistema o población ba!o consideración satisface los supuestos matemáticos del método. El mal uso de la estadística puede producir serios errores en la descripción e interpretación, lo cual podría llegar a afectar políticas sociales, la práctica médica y la calidad de estructuras tales como puentes y plantas de reacción nuclear. Incluso cuando la estadística es correctamente aplicada, los resultados pueden ser difíciles de interpretar por un ine%perto. 4or e!emplo, el significado estadístico de una tendencia en los datos, que mide el grado al cual la tendencia puede ser  causada por una variación aleatoria en la muestra, puede no estar de acuerdo con

el sentido intuitivo. El con!unto de habilidades estadísticas básicas @y el escepticismoA que una persona necesita para mane!ar información en el día a día se refiere como Rcultura estadísticaS. Z1B*B& E&12*3&1I$B& ESTUDIOS EXPERIMENTALES Y OBSERVACIONALES 

0n ob!etivo com"n para un proyecto de investigación estadística es investigar la causalidad, y en particular e%traer una conclusión en el efecto que algunos cambios en los valores de predictores o variables independientes tienen sobre una respuesta o variables dependientes. Gay dos grandes tipos de estudios estadísticos para estudiar causalidadJ estudios e%perimentales y observacionales. En ambos tipos de estudios, el efecto de las diferencias de una variable independiente @o variablesA en el comportamiento de una variable dependiente es observado. +a diferencia entre los dos tipos es la forma en que el estudio es conducido. $ada uno de ellos puede ser muy efectivo.

-I[E+E& *E E*I$IGay cuatro tipos de mediciones o escalas de medición en estadísticaJ niveles de medición @nominal, ordinal, intervalo y razónA. 1ienen diferentes grados de uso en la investigación estadística. +as medidas de razón, en donde un valor cero y distancias entre diferentes mediciones son definidas, dan la mayor fle%ibilidad en métodos estadísticos que pueden ser usados para analizar los datos. +as medidas de intervalo tienen distancias interpretables entre mediciones, pero un valor cero sin significado @como las mediciones de coeficiente intelectual o temperatura en grados $elsiusA. +as medidas ordinales tienen imprecisas diferencias entre valores consecutivos, pero un orden interpretable para sus valores. +as medidas nominales no tienen ning"n rango interpretable entre sus valores. +a escala de medida nominal, puede considerarse la escala de nivel más ba!o. &e trata de agrupar ob!etos en clases. +a escala ordinal, por su parte, recurre a la propiedad de RordenS de los n"meros. +a escala de intervalos iguales está caracterizada por una unidad de medida com"n y constante. Es importante destacar que el punto cero en las escalas de intervalos iguales es arbitrario, y no refle!a en ning"n momento ausencia de la magnitud que estamos midiendo. Esta

escala, además de poseer las características de la escala ordinal, permite determinar la magnitud de los intervalos @distanciaA entre todos los elementos de la escala. +a escala de coeficientes o (azones es el nivel de medida más elevado y se diferencia de las escalas de intervalos iguales "nicamente por poseer un punto cero propio como origenN es decir que el valor cero de esta escala significa ausencia de la magnitud que estamos midiendo. &i se observa una carencia total de propiedad, se dispone de una unidad de medida para el efecto. 2 iguales diferencias entre los n"meros asignados corresponden iguales diferencias en el grado de atributo presente en el ob!eto de estudio.

E&12*3&1I$2 &I4+E &uponga que en el curso de un estudio de ingeniería se realizaron varias mediciones de una cantidad específica. 4or e!emplo, la tabla 41:.' contiene =L lecturas del coeficiente de e%pansión térmica del acero. 1omados así, los datos ofrecen una información limitada @es decir, que los valores tienen un mínimo de 6.>D: y un má%imo de 6.:A. &e obtiene una mayor comprensión al analizar los datos mediante uno o más estadísticos, bien seleccionados, que den tanta información como sea posible acerca de las características específicas del con!unto de datos. Esos estadísticos descriptivos se seleccionan para

4.1.$. %étodo de m#nimos cuadrados.

$uando los datos tienen errores sustanciales, la interpolación polinomial es inapropiada y puede dar resultados poco satisfactorios cuando se utiliza para predecir valores intermedios. $on frecuencia los datos e%perimentales son de este tipo 2hora, si un polinomio de interpolación de se%to grado se a!usta a estos datos pasará e%actamente a través de todos los puntos. &in embargo, a causa de la variabilidad en los datos, la curva oscila mucho en el intervalo entre los puntos. En particular, los valores interpolados para % \ '.: y % \ 6.: parecen estar bastante más allá del rango sugerido por los datos. 0na estrategia más apropiada en tales casos consiste en obtener una función de apro%imación que se a!uste a la forma o a la tendencia general de los datos, sin coincidir necesariamente en todos los puntos. 2unque tales procedimientos 8a o!o9 apelan al sentido com"n y son válidos para cálculos 8superficiales9, resultan deficientes por ser arbitrarios. Es decir, a menos que los puntos definan una línea recta perfecta @en cuyo caso la interpolación resultaría apropiadaA, diferentes analistas dibu!arían líneas distintas.

4ara de!ar a un lado dicha sub!etividad se debe encontrar alg"n criterio para establecer una base para el a!uste. 0na forma de hacerlo es obtener una curva que minimice la discrepancia entre los puntos y la curva. 0na técnica para lograr  tal ob!etivo, llamada regresión por mínimos cuadrados, se analizará en este capítulo.

4.1.$.1. Regresión lineal simple.

El e!emplo más simple de una apro%imación por mínimos cuadrados es a!utar una línea recta a un con!unto de observaciones definidas por puntosJ @%', y'A, @%=, y=A, , @%n, ynA. +a e%presión matemática para la línea recta es y \ a7 ] a'% ] e

*onde a7 y a' son coeficientes que representan la intersección con el e!e y y la pendiente, respectivamente, e es el error, o diferencia, entre el modelo y las observaciones, el cual se representa al reordenar la ecuación, como  e \ y H a7 H a'%  2sí, el error o residuo es la discrepancia entre el valor verdadero de y y el valor  apro%imado, a7 ] a'%, que predi!o la ecuación lineal. $riterio para un 8me!or9 a!uste 0na estrategia para a!ustar una 8me!or9 línea a través de los datos será minimizar  la suma de los errores residuales de todos los datos disponibles, como sigueJ

4.1.$.$. Regresión polinomial.

(egresión polinomial es el a!uste de polinomios a los datos mediante una regresión polinomial el procedimiento de mínimos cuadrados se puede e%tender al a!uste de datos con un polinomio de grado superior. E!emploJ &upongamos que a!ustamos un polinomio de segundo grado o cuadrático En este caso la suma de los cuadrados de los residuos esJ  2l seguir el procedimiento de la sección anterior obtenemos la derivada de la ecuación con respecto a cada uno de los coeficientes desconocidos del polinomioJ Estas ecuaciones se igualan a cero y se rodean para desarrollar el siguiente con!unto de ecuaciones normalesJ  *onde las sumatorias van desde i\' hasta n las > ecuaciones son lineales y tenemos > incógnitas ao, a' y a=. +os coeficientes de las incógnitas se eval"an de forma directa a partir de los datos observados. ^El problema de determinar un polinomio de segundo grado por mínimos cuadrados es equivalente a resolver un sistema de > ecuaciones lineales simultáneas. El análisis anterior se puede e%tender fácilmente a este caso más general así la determinación de los coeficientes de un polinomio de m# enésimo grado es equivalente a resolver un sistema de m]' entonces el error estardar se formulara comoJ &e divide n#@m]'A ya que m]' son los coeficientes de los datos obtenidos ao, a'..am se utilizan para calcular sr  2demás del error estardar también se calcula un coeficiente de determinación para la regresión polinomial con la ecuación El procedimiento de mínimos cuadrados se puede e%tender fácilmente al a!uste de datos con un polinomio de grado superior. 4or e!emplo, suponga que a!ustamos un polinomio de segundo grado o cuadráticoJ y \ a7 ] a'% ] a=%= ] e En este caso, la suma de los cuadrados de los residuos es _compare con la ecuación @'.>A`

&e toma la derivada de la ecuacion con respecto a cada uno de los coefiecientes del polinomio, para obtenerJ

.. .. ..

Estas ecuaciones se pueden igular a cero y reordenar de tal forma que se obtenga el siguiente con!unto de ecuaciones normalesJ

.. ..

..

En donde todas las sumatorias van desde i\i hasta n. -otese que las m]' ecuaciones anteriores son lineales y tienen m]' incógnitasJ +os coeficientes de las incógnitas se pueden calcular directamente de los datos observados. 4or lo tanto, el problema de determinar polinomios de grado m con mínimos cuadrados es equivalente a resolver un sistema de m]' ecuaciones lineales simultaneas. 4.1.$.&. Regresión lineal m'ltiple.

0na e%tensión "til de la regresión lineal es el caso en el que y es una función lineal dedos o más variables independientes. 4or e!emplo, y podría ser una función lineal de %' y %=, como en y \ a7 ] a'%' ] a=%= ] e En particular tal ecuación es "til cuando se a!ustan datos e%perimentales donde la variablesu!eta a estudio es una función de otras dos variables. En este caso bidimensional,la 8línea9 de regresión se convierte en un 8plano9

 2-+I&I& *E (EO(E&I- +1I4+E *ispone de una ecuación con dos variables independientes adicionalesJ

&e puede ampliar para cualquier n"mero m de variables independientesJ

4ara poder resolver y obtener y en una ecuación de regresión m"ltiple el cálculo se presenta muy tediosa porque se tiene atender > ecuaciones que se generan por el método de mínimo de cuadradosJ

4ara poder resolver se puede utilizar programas informáticos como 2*], &4&& y initab y E%cel. E+ E((B( E&1-*2( *E +2 (EO(E&I- +1I4+E Es una medida de dispersión la estimación se hace más precisa conforme el grado de dispersión alrededor del plano de regresión se hace mas peque)o. 4ara medirla se utiliza la formulaJ

/ J [alores observados en la muestra J [alores estimados a partir a partir de la ecuación de regresión n J -"mero de datos m J -"mero de variables independientes

El $BEI$IE-1E *E *E1E(I-2$I- +1I4+E ide la tasa porcentual de los cambios de / que pueden ser e%plicados por ,

y

simultáneamente.

4.1.$.4. Regresión no lineal

El método de Oauss#-eQton es un algoritmo para minimizar la suma de los cuadrados de los residuos entre los datos y las ecuaciones no lineales. El concepto clave detrás de esta técnica es que se utiliza una e%pansión en serie de 1aylor para e%presar la ecuación no lineal original en una forma lineal apro%imada. Entonces, es posible aplicar la teoría de mínimos cuadrados para obtener nuevas estimaciones de los parámetros que se mueven en la dirección que minimiza el residuo. 4ara ilustrar cómo se logra esto, primero se e%presa de manera general la relación entre la ecuación no lineal y los datos, de la manera siguienteJ yi \ f@%iN a7, a',  , amA ] ei donde yi \ un valor medido de la variable dependiente, f@%iN a7, a',  , amA \ la ecuación que es una función de la variable independiente %i y una función no lineal de los pará metros a7, a',  , am, y ei \ un error aleatorio. 4or conveniencia, este modelo se e%presa en forma abreviada al omitir los parámetros, yi \ f@%iA ] ei El modelo no lineal puede e%pandirse en una serie de 1aylor alrededor de los valores de los parámetros y cortarse después de las primeras derivadas. 4or  e!emplo, para un caso con dos parámetros,

*onde ! \ el valor inicial, ! ] ' \ la predicción, a7 \ a7,!]' H a7,!, y a' \ a',!]'  H a',!. *e Esta forma, hemos linealizado el modelo original con respecto a los parámetros. 



B en forma matricial _compárela con la ecuación @'.=LA`, * \ _!`  2 ] E *onde _!` es la matriz de las derivadas parciales de la función evaluadas en el valor  Inicial !, 

*onde n \ el n"mero de datos y fi MaP \ la derivada parcial de la función con respecto al P#ésimo parámetro evaluado en el i#ésimo dato. El vector * contiene las diferencias entre las mediciones y los valores de la función,

/ el vector   2 contiene los cambios en los valores de los parámetros, 

&i se aplica la teoría de los mínimos cuadrados lineales a la ecuación se obtienen las siguientes ecuaciones normales _recuerde la ecuaciónJ __!`1_!``  2 \ _!`1*   2sí, el procedimiento consiste en resolver de la ecuación para   2, que se utiliza para calcular valores me!orados de los parámetros, como en a7,!]' \ a7,! ] a7 / a',!]' \ a',! ] a' Este procedimiento se repite hasta que la solución converge, es decir, hasta que 









Está por deba!o de un criterio de terminación aceptable. L.=. Interpolación. $on frecuencia se encontrará con que tiene que estimar valores intermedios entre datos definidos por puntos. El método más com"n que se usa para este propósito es la interpolación polinomial. (ecuerde que la fórmula general para un polinomio de n#ésimo grado es f@%A \ a7 ] a'% ] a=%= ]    ] an%n

*ados n ] ' puntos, hay uno y sólo un polinomio de grado^ n que pasa a través de todos los puntos. 4or e!emplo, hay sólo una línea recta @es decir, un polinomio de primer gradoA que une dos puntos. *e manera similar, "nicamente una parábola une un con!unto de tres puntos. +a interpolación polinomial consiste en determinar  el polinomio "nico de n#ésimo grado que se a!uste a n ] ' puntos. Este polinomio, entonces, proporciona una fórmula para calcular valores intermedios.  2unque hay uno y sólo un polinomio de n#ésimo grado que se a!usta a n ] ' puntos, e%iste una gran variedad de formas matemáticas en las cuales puede e%presarse este n polinomio. En este capítulo describiremos dos alternativas que son muy adecuadas para implementarse en computadoraJ los polinomios de -eQton y de +agrange. 4.$.1. (olinomios de interpolación condiferencias divididas de )e*ton

$omo se di!o antes, e%iste una gran variedad de formas alternativas para e%presar  una interpolación polinomial. El polinomio de interpolación de -eQton en diferencias divididas es una de las formas más populares y "tiles. 2ntes de presentar la ecuación general, estudiaremos las versiones de primero y segundo grados por su sencilla interpretación visual. +a forma más simple de interpolación consiste en unir dos puntos con una línea recta. *icha técnica, llamada interpolación lineal, se ilustra de manera gráfica. 0tilizando triángulos seme!antes,

(eordenándose se tiene

Xue es una fórmula de interpolación lineal. +a notación f'@%A designa que éste es un polinomio de interpolación de primer grado. Bbserve que además de representar la pendiente de la línea que une los puntos, el término _ f@%'A H f@%7A`M @%' H %7A es una apro%imación en diferencia dividida finita a la primer derivada. En general, cuanto menor sea el intervalo entre los datos, me!or será la apro%imación. Esto se debe al hecho de que, conforme el intervalo disminuye, una función continua estará me!or apro%imada por una línea recta. Esta característica se demuestra en el siguiente e!emplo.

4.$.$. (olinomios de interpolación de +agrange.

El polinomio de interpolación de +agrange es simplemente una reformulación del polinomio de -eQton que evita el cálculo de las diferencias divididas, y se representa de manera concisa como

*onde usamos polinomios básicos de +agrangeJ

E%pandiendo el producto para verlo me!orJ

Estos polinomios básicos de +agrange se construyen con una propiedadJ

Entonces es muy fácil comprobar que estos polinomios pasan por todos la n]' puntos dados @es decir, es un polinomio de interpolaciónAJ El grado del polinomio de interpolación de +agrange es igual o menor  que n. Es el menor grado posible. El polinomio encontrado es "nico. Gay o tr as m an er as d e ca lc ula r es te po lin om io @ co n s us ve nta !a s e

inconvenientesA. +a forma de +agrange es sencilla y se comprueba con facilidad que es un polinomio de interpolación y su grado. 4ero para conocer los coeficientes del polinomio hay que simplificar los términos. Btra característica de esta forma de encontrar el polinomio es que si a)adimos o quitamos puntos hay que recalcularlo otra vez. [amos a ver algunos e!emplos. El más sencillo es una recta. *ados dos puntos @% 7 , y 7 A y @% ' , y ' A hay e%actamente una recta que pasa por esos dos puntosJ

*ados tres puntos @%7 , y 7 A, @% ' , y ' A y @% = , y = A, con coordenadas % diferentes, o bien los tres puntos están en una recta o hay un polinomio de segundo grado @una parábolaA que pasa por esos tres puntos. En cualquier caso, hay un polinomio de grado como mucho = que pasa por  esos tres puntos.

&i tenemos L puntos, podemos encontrar un polinomio de grado > @o quizás una parábola o una línea recta en algunos casosA que pasa por  esos L puntosJ

0na función polinómica de grado L pasa a través de : puntosJ

0saremos los polinomios de interpolación de +agrange para construir  aplicaciones interactivas relacionadas con funciones polinómicas, sus derivadas e integrales. +as funciones polinómicas con coeficientes reales o comple!os de grado n tienen siempre n raíces @reales o comple!asA@1eorema fundamental del  l gebr aAJ

4.&. erivación numérica. iferencias finitas

*erivación numérica +a derivación numérica es una técnica de análisis numérico para calcular una apro%imación a la derivada de unafunción  en un punto utilizando los valores y propiedades de la misma. ormulación mediante diferencias finitas

4or definición la derivada de una función

esJ

+as apro%imaciones numéricas que podamos hacer @para h  7A seránJ *iferencias hacia adelanteJ

*iferencias hacia atrásJ

+a apro%imación de la derivada por este método entrega resultados aceptables con un determinado error. 4ara minimizar los errores se estima que el promedio de ambas entrega la me!or apro%imación numérica al problema dadoJ *iferencias centralesJ

*iferencias finitas 0na diferencia finita es una e%presión matemática de la forma f@% ] bA j f @% ]aA. &i una diferencia finita se divide por b j a se obtiene una e%presión similar  alcociente diferencial, que difiere en que se emplean cantidades finitas en lugar  de infinitesimales.   +a apro%imación de las derivadas por diferencias finitas desempe)a un papel central en los métodos de diferencias finitas del análisis numérico para la resolución de ecuaciones diferenciales. *iferencias finitas centradas y laterales

*iferencias finitas. &ólo se consideran normalmente tres formasJ la anterior, la posterior y la central. 0na diferencia progresiva, adelantada o posterior es una e%presión de la forma

*ependiendo de la aplicación, el espaciado h se mantiene constante o se toma el límite h k 7. 0na diferencia regresiva, atrasada o anterior es de la forma

inalmente, la diferencia central es la media de las diferencias anteriores y posteriores. [iene dada por 

(elación con las derivadas +a derivada de la función f en un punto % está definida por el límite

&i h tiene un valor fi!ado no nulo, en lugar de apro%imarse a cero, el término de la derecha se convierte en

4or lo tanto, la diferencia posterior dividida por h apro%ima a la derivada cuando h es peque)o. El error de esta apro%imación puede derivarse del teorema de 1aylor . 2sumiendo que f es continuamente diferenciable, el error esJ

+a misma fórmula es válida en la diferencia anteriorJ

&in embargo, la diferencia central lleva a una apro%imación más a!ustada. &u error  es proporcional al cuadrado del espaciado @si f es dos veces continuamente diferenciableA.

$álculo de diferencias finitas +a diferencia anterior puede considerarse un operador diferencial que hace corresponder la función f con f. El teorema de 1aylor puede e%presarse por la fórmula

*onde * denota el operador derivada, que hace corresponder con su derivada , es decir, ormalmente, invirtiendo la e%ponencial,

Esta fórmula sigue siendo válida en el sentido de que ambos operadores dan el mismo resultado cuando se aplican a un polinomio. Incluso para funciones analíticas, las series de la derecha no convergen con seguridad, sino que puede tratarse de una serie asintótica. &in embargo, pueden emplearse para obtener  apro%imaciones más precisas de la derivada. 4or e!emplo, +os dos primeros términos de la serie llevan aJ

El error de la apro%imación es del orden de h =. +as fórmulas análogas para los operadores posterior y central son

*erivadas de órdenes mayores *e forma análoga se pueden obtener   apro%imaciones en diferencias finitas para derivadas de orden mayor y operadores diferenciales. 4or e!emplo usando la fórmula de la diferencia central mostrada anteriormente con un espaciado de para y y aplicando la fórmula de diferencia central a la derivada de en %, obtenemos la apro%imación de la diferencia central de la segunda derivada de fJ

étodos de diferencias finitas Btro aspecto importante es que las diferencias finitas apro%iman cocientes diferenciales a medida que h se acerca a cero. 2sí que se pueden usar diferencias finitas para apro%imar derivadas. Esta técnica se emplea a menudo en análisis numérico, especialmente en ecuaciones diferenciales numéricas ordinarias, ecuaciones en diferencias y ecuación en derivadas parciales. +os métodos resultantes reciben el nombre de métodos de diferencias finitas. +as aplicaciones habituales de los métodos de diferencias finitas son en los campos de la computación y áreas de la ingeniería como ingeniería térmica o mecánica de fluidos.

-onclusión

*espués de elabora esta investigación, me permitió conocer mas sobre (egresión, interpolación y derivación numéricas, también conocer soluciones de ecuaciones con los métodos estadísticos como regresión lineal, regresión de polinomio, interpolación entre otros. 1ambién en relacionar la estadísticas en esta materia.

Recomendaciones

4racticar los e!ercicios de los métodos mencionados e investigar emplear otros métodos para soluciones que pueda ver y estudiar mas afondo los métodos estadístico como la media aritmética interpolación, regresión entre otros, ya que para esto permitirá aplicar mas fácilmente en métodos estadísticos, también utilizar softQare matemáticos para la solución de funciones, como E%cel.