unidad 4

Mecánica de Materiales II

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4. ELEMETOS CORTOS SUJETOS A COMPRESIÓN AXIAL 4.1 Concepto de columnas, carga crítica 4.1.1 Introducción al problema de estabilidad, equilibrio estable, inestable e indiferente. Conceptos de carga crítica. Cuando una columna corta de cualquier material, se somete a la acción de una carga axial creciente que parte de un valor nulo o cero, se observa que esta carga se puede incrementar hasta que el esfuerzo de compresión que se produce llega al valor correspondiente a la resistencia última del material, que en el caso del concreto es el valor de ( f c' ) y ( f y ) para el acero. Sin embargo, esta situación no se presenta en todos los casos, ya que la longitud de la columna es un factor decisivo en el comportamiento de elementos sujetos a fuerza axial. Cuando una columna larga se le aplica una carga axial creciente, se observa que cuando la carga llega a un valor determinado, se produce una flexión súbita, y si se continúa incrementando la carga se produce de inmediato el colapso de la pieza. Bajo estas circunstancias el esfuerzo correspondiente a la carga que produce la falla, resulta menor que el de la resistencia última del material, esto significa que el colapso del elemento no se debe a rotura del material, sino a que la columna ha perdido su estado inicial de equilibrio. Este comportamiento es que caracteriza a este tipo de piezas. La carga para la cual se inicia la falla se le llama carga crítica y a la falla en sí, falla por pandeo de la columna. El problema de pandeo es un problema de estabilidad y no de resistencia.

Estados de equilibrio: (a y d, estable), (b y e, indiferente), (c y f, inestable o desequilibrio)

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4.1.2. Clasificación de columnas cortas y columnas esbeltas La clasificación de una columna larga o esbelta se hace con respecto a su relación de esbeltez. El diseño de columnas es más complejo que el de los elementos sometidos a flexión o torsión. Si una columna es larga con relación a su sección transversal, se dice que es esbelta y puede fallar por pandeo, esto es por flexión y desviación lateral, en vez de fallar por compresión directa. El pandeo puede ser elástico o inelástico, dependiendo de la esbeltez de la columna. 4.3 Determinación de la fórmula de la carga crítica. Fórmula de Euler para columnas largas o esbeltas Consideremos la siguiente columna: P

Y

x

L/2 y

L

 L/2

P X

Columna sometida a flexión

Ecuación diferencial de la elástica: EI

d2y dx

2

M

M  P ( y ) EI

d2y dx

2

  P y , Multiplicando por ( 2 d y )

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 d2y   EI 2   P y  2 d y  d x   d  d y      P 2 y d y EI 2 d y d x  d x  

Sí d y 

dy dx

  dy EI 2    d x

Sí

2u

 d   dx

 dy   dx

  d x    P 2 y d y  

du d x  2 u d u  d (u 2 ) dx

 d y EI d   d x  dy EI   dx

dx

  

2

    P d y 2 , Integrando 

 

2

    P y 2  C1 

Cálculo de la constante, C1 Condiciones de frontera: Sí

dy dx

 0,

y 

EI (0) 2  P  2  C1  C1  P  2 2

 dy EI   dx

    P y 2  P  2 

 dy EI   dx

   P( 2  y 2 ) 

2

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2

 dy   dx

 P 2   (  y 2 ) EI 

 dy   dx

   

P EI

dy (  y ) 2

2

 1 y x sin  

( 2  y 2 )

P d x , Integrando EI



 P  C 2  , Multiplicando por (sin) EI 

  P  sin  x  C2    EI  y

 y   sin  x 

 P  C2  EI 

Cálculo de la constante, C 2 Condiciones de frontera: y  0, x  0 , C 2  0

 y   sin  x  Sí x  L,

P EI

  , Lo que indica que la forma de la elástica es senoidal 

y  0 , por lo tanto se tiene:

 P  sin  L 0  EI   P  L   n  , (n  0,1, 2, 3,) EI   L2

EI 2 P  n2  2  P  n2 EI L2

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4.2 Carga crítica en columnas elásticas sujetas a carga axial. 4.2.1 Efecto de condiciones de Apoyo. Longitud Efectiva de Pandeo. Longitudes efectivas en columnas de estructuras reales. La carga crítica de una columna puede calcularse de manera directa considerando el comportamiento de una columna ideal, la cual se supone perfectamente recta y comprimida por una carga aplicada en el centroide la sección transversal. Si se acepta que una columna inicia su pandeo cuando la carga crítica ( P ), es igual a ( Pcr ). Durante este proceso, si los esfuerzos actuantes en la columna no exceden el límite de proporcionalidad al llegar ( P ) al valor de ( Pcr ), se produce el llamado pandeo elástico. En columnas con este comportamiento, la carga crítica es de hecho la carga última y deberá considerarse en el diseño un factor de seguridad para fijar la carga admisible. La carga crítica ( Pcr ), para una columna elástica ideal suele llamarse carga de Euler.

EI 2 De la ecuación: P  n , el valor ( n  0 ), no tiene sentido, ya que en este caso L2 P  0 . Para los demás valores de ( n ), la columna se flexiona de la siguiente forma: 2

Los tres primeros modos de pandeo de una columna articulada

La condición más importante es la que corresponde a la Fig. a, las otras condiciones ocurren para cargas mayores, pero solo es posible físicamente si la columna tiene sujeciones laterales.

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Carga crítica para las siguientes columnas: a) Columna articulada en sus extremos

Pcr 

EI  2 L2

b) Columna doblemente empotrada Sus extremos no pueden girar, pero tienen la posibilidad de desplazamiento vertical

Pcr 

EI  2 EI  2 4 EI  2   ( Le ) 2 ( L / 2) 2 L2

c) Columna empotrada en su extremo inferior y articulada en el extremo superior

Pcr 

EI  2 EI  2 EI  2 2 EI  2    (0.699 L) 2 0.49 L2 0.50 L2 L2

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d) Columna empotrada en su extremo inferior y libre en el extremo superior

Pcr 

EI  2 EI  2 1 EI  2   4 L2 ( 2 L) 2 4 L2

e) Columna articulada en el extremo inferior y empotrada en el extremo superior con desplazamiento lateral

Pcr 

EI  2 EI  2 1 EI  2   4 L2 ( 2 L) 2 4 L2

4.2.2 Longitud efectiva de pandeo de columnas

EI  2 ), L2 se a aplicado al caso de otros tipos de columnas, sustituyendo el término ( L ), por el de longitud efectiva o equivalente ( Le ). Por lo tanto la ecuación puede generalizarse para la carga crítica de la siguiente forma: De la ecuación de carga crítica para una columna con extremos articulados ( Pcr 

EI  2 ( K L) 2 Donde: Pcr 

KL  Longitud efectiva de la columna K  Factor de longitud efectiva

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La ecuación anterior se puede utilizar para columnas con cualquier condición de apoyo en sus extremos, siempre que se conozca el factor de longitud efectiva. Por ejemplo, consideremos el siguiente marco: Trabes de rigidez infinita en comparación con el de las columnas, las trabes impiden el giro, pero no los desplazamientos horizontales del extremo superior de las columnas, las cuales se comportan como un cantiliver o voladizo invertido y como consecuencia la longitud efectiva de las columnas es el doble de su longitud real. Esta situación debe considerarse en las columnas de todo edificio que no este restringido contra desplazamiento lateral. Del análisis anterior se justifica definir la longitud efectiva de pandeo de una columna como: Las distancia entre dos puntos de inflexión que se forman en la curva elástica, por efecto del sistema de cargas, sistema de apoyos y desplazamientos horizontales relativos en los extremos.

Modo de pandeo de columnas en un marco con desplazamiento lateral

Longitud efectiva en columnas de estructuras reales Los valores del factor de longitud efectiva ( K ), calculados anteriormente, corresponden a columnas con condiciones de apoyos ideales, para columnas de estructuras reales se identifican por lo general dos casos: articulación y empotramiento En las siguientes figuras se muestras las longitudes efectivas para condiciones intermedias de apoyo, en columnas que forman parte de marcos sin y con desplazamientos laterales.

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Se puede observar que las columnas de los marcos arriostrados tiene valores de ( K ) que varían entre 0.50 y 1.0 y en las columnas de los marcos no arriostrados ( K ) es mayor que 1.0 debido a que el comportamiento de los marcos arriostrados y lo no arriostrados son tan diferentes que, normalmente se dan valores de ( K ) para los marcos de estas dos condiciones, de manera que antes de analizar una columna , se debe investigar a que tipo de marco pertenece.

Longitud efectiva en columnas de estructuras reales: (a) sin desplazamiento, (b) con desplazamiento

En la práctica, para la mayoría de los edificios, el desplazamiento lateral de los marcos puede restringirse mediante muros de cortante o un adecuado sistema de contraventeo diagonal, pero para edificios construidos con marcos y muros ligeros de tableros desmontables, muros desligados de la estructura o marcos no contraventeados, el desplazamiento lateral es apreciable.

Modos de pandeo para marcos arriostrados y no arriostrados: (a) arriostrado, (b) no arriostrado

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El valor de ( K ), para columnas de marcos arriostrados o no arriostrados, depende de la restricción rotacional en los nodos, expresado, para cada uno de los nodos por el parámetro ( ), dado por la siguiente ecuación: ( I c / Lc )   ( I b / Lb ) En donde: ( I c / Lc )  Suma de las rigideces relativas de las columnas que concurren en un mismo nodo

( I b / Lb )  Suma de las rigideces relativas de las trabes u otros elementos (no columnas) concurrentes en el mismo nodo I c , Lc  Momento de inercia y longitud libre de cada una de las columnas que concurren al mismo nodo Ib , Lb  Momento de inercia y longitud libre de cada trabe o elemento (no columna) que concurre al mismo nodo Los términos I c , Lc , I b y Lb , deben calcularse en el plano en que se considere el pandeo de la columna. Conocidos los valores de ( ) en cada nodo de la columna que se esté analizando, se puede calcular el valor de ( K ) mediante los nomogramas de Jackson y Moreland

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Estos nomogramas permiten la determinación gráfica de ( K ) para una columna de sección transversal constante en un marco arriostrado o no arriostrado. Los subíndices ( A ) y ( B ) se refieren a los nodos en los extremos superior e inferior de la columna. Sí el extremo de una columna está articulado, el valor de ( ) en ese extremo es (  ), esto se debe a que la articulación es equivalente a una rigidez cero de las vigas concurrentes. Si el extremo de la columna es empotre, ( ) en ese extremo es cero, para propósitos prácticos se han sugerido valores intermedios (  10 y   1 ), para extremos articulados y empotrados en la base respectivamente. En los siguientes casos las rigideces de las vigas se deben multiplicar por su factor de corrección correspondiente. Condición de apoyo Extremo lejano de la viga, articulado Extremo lejano de la viga, empotrado

Con traslación 1/2 2/3

Sin traslación 3/2 2

4.3 Fórmula de Euler. Limitaciones de la fórmula. Rango elástico. Generalización para el rango inelástico Esfuerzos en columnas 4.3.1 Fórmula de Euler en el rango elástico El esfuerzo medio de compresión en una columna cargada axialmente, se calcula dividiendo la carga axial entre el área de la sección transversal, el esfuerzo obtenido de esta manera se llama esfuerzo crítico. f cr 

Pcr 

Pcr A

 2 EI (KL) 2

Si r  I / A,

r2  I / A

  2 EI  I  2E  2E  2E f cr        2 2 2 2 2  ( KL) A  I ( KL) A / I ( KL) (1 / r ) ( KL / r )

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En donde:  KL     Relación de esbeltez de la columna  r 

Puede observarse que el esfuerzo crítico es inversamente proporcional al cuadrado de la relación de esbeltez. Cuando las condiciones de apoyo de los extremos de una columna son las mismas en todas direcciones, el cálculo del esfuerzo crítico debe hacerse considerando el radio de giro mínimo de la sección. En este caso se dice que el pandeo ocurre alrededor el eje de menor momento de inercia, esto significa que la columna al pandearse se flexionará alrededor de ese eje. Cuando las condiciones de apoyo son diferentes en direcciones distintas, debe investigarse el pandeo en las dos direcciones perpendiculares entre sí y se utilizará para el cálculo del esfuerzo crítico el mayor de ambos valores de la relación de esbeltez. La ecuación ( f cr 

 2E

), llamada también fórmula de Euler, es válida siempre que el ( KL / r ) 2 esfuerzo crítico sea menor o igual que el límite de proporcionalidad del material, esto es cuando el pandeo de la columna es elástico, cuando el esfuerzo crítico es mayor que dicho límite el pando es inelástico.

Diagrama de esfuerzos de compresión, en función de la relación de esbeltez

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En la figura anterior, la curva (ABC), llamada curva de Euler, es la representación gráfica de la ecuación de esfuerzo crítico ( f cr ). Esta curva es válida físicamente solo en el tramo (BC), donde ( f cr ) es menor que el límite de proporcionalidad ( f LP ). El valor mínimo de ( KL / r ) para el cual es aplicable la fórmula de Euler (el correspondiente al punto B), se obtiene de la siguiente manera:

f cr 

 2E ( KL / r ) 2

, sí

f cr  f LP,

( KL / r ) 2 

 2E f LP

( KL / r ) 

 2E f LP

Del valor ( KL / r ) en adelante, el pandeo de la columna es de comportamiento elástico y se trata de una columna larga, cuando su relación de esbeltez es igual o mayor que el valor límite. Cuando la relación de esbeltez de una columna es muy baja (columnas cortas), la falla por carga axial ocurre por aplastamiento o fluencia del material En este caso se puede fijar un esfuerzo máximo de compresión ( P / A ) como límite de la resistencia del material, este límite está representado en la gráfica por la recta horizontal (DEF) trazada por el punto de esfuerzo máximo ( f max ), y representa el límite de resistencia para la columna. En este caso no es aplicable la fórmula de Euler, puesto que el esfuerzo llega al límite de proporcionalidad ( f LP ), antes de que se inicie el pandeo. Entre el rango de columnas cortas y largas existe un intervalo de relación de esbeltez intermedias, demasiado pequeñas para que rija la estabilidad elástica y demasiado grandes para que solo gobiernen las consideraciones de resistencia. Estas columnas se pandean inelásticamente y están representadas por la recta (EB). De esta manera se obtiene la línea (DEBC), que puede emplearse como base para proyectar columnas de cualquier longitud. El esfuerzo de trabajo admisible para la compresión debe calcularse como el esfuerzo máximo obtenido dividido entre el factor de seguridad, cuyo valor depende de la relación de esbeltez de la columna. 4.3.2 Generalización para el rango inelástico Para estudiar el problema del pandeo en el rango inelástico, en la fórmula de esfuerzo crítico se sustituye el módulo de elasticidad ( E ) por el módulo tangente ( E t ), definido como la pendiente de la tangente a la curva esfuerzo – deformación en el punto (A) de la siguiente figura.

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Curva esfuerzo – deformación de un material (sin límite de proporcionalidad definido )

Para calcular el esfuerzo crítico de compresión en función de la relación de esbeltez, se supone el valor de la deformación unitaria Si se tiene la gráfica esfuerzo deformación unitaria ( f ,  ), de un material de comportamiento inelástico, trazar el diagrama esfuerzo crítico – relación de esbeltez ( f cr , KL / r ), que permita diseñar columnas esbeltas de ese material. El esfuerzo que produce el aplastamiento del material es de 300 kg/cm2. El valor de ( f ) como función de (  ) está dado por:

f   1 / 2 3x10 7

kg / cm 2

df d

Sí

Et 

Et 

d 1/ 2 ( 3x10 7 ) d

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1 3x10 7 Et   1 / 2 3x10 7  2 2  1/ 2 Sí f  f cr f cr   1 / 2 3x10 7

( KL / r ) 

 2 Et f cr

Para trazar el diagrama ( f cr , KL / r ), se seleccionan una serie de valores de  , dentro del rango ( 0    0.003 )

Punto 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

 (arbitrario) 0.00010 0.00020 0.00030 0.00040 0.00050 0.00070 0.00100 0.00120 0.00140 0.00160 0.00180 0.00200 0.00220 0.00240 0.00260 0.00280 0.00300

f cr (kg/cm2) 54.77 77.46 94.87 109.54 122.47 144.91 173.21 189.74 204.94 219.09 232.38 244.95 256.90 268.33 279.28 289.83 300.00

E t (kg/cm2) 273861.28 193649.17 158113.88 136930.64 122474.49 103509.83 86602.54 79056.94 73192.51 68465.32 64549.72 61237.24 58387.42 55901.70 53708.62 51754.92 50000.00

( KL / r ) 222.14 157.08 128.25 111.07 99.34 83.96 70.25 64.13 59.37 55.53 52.36 49.67 47.36 45.34 43.56 41.98 40.56

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350.00 300.00

fcr (kg/cm2)

250.00 200.00 150.00 100.00 50.00 0.00 0.00

50.00

100.00 150.00 200.00 250.00 (KL/r)

4.4 Dimensionamiento y revisión de columnas de acero y de madera sujetas a carga axial Columnas de acero En la práctica para el diseño de columnas se deben incluir factores de seguridad que limiten los esfuerzos admisibles, dichos factores varían en función de la relación de esbeltez ( KL / r ). El Consejo de Investigación de Columnas (CRC, Column Research Council), ha propuesto el valor del esfuerzo crítico ( f cr ), como el esfuerzo máximo que puede ser aplicado f max 

 2E ( KL / r ) 2

La ecuación anterior solo es aplicable cuando el esfuerzo real en la columna permanezca inferior al límite de proporcionalidad, lo cual quiere decir, que solo es aplicable cuando la relación de esbeltez es mayor que cierto valor dado por la ecuación

2 KL / r    E ), en

f LP el caso del acero estructural el límite de proporcionalidad se identifica como el esfuerzo de fluencia ( f y ) La generalidad de perfiles de acero estructural presentan esfuerzos residuales ( f r ), por lo cual el esfuerzo real de compresión es:

f c  f max  f r

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El valor de ( f c ) no debe ser mayor que ( f y ) y ( f r ) no debe ser menor que ( f y / 2 ) f y  f max  f y / 2  f max  f y / 2 fy 2



 2E ( KL / r )

, ( KL / r )  2

2 2 E fy

Sí KL / r  Cc Cc 

2 2 E fy

Esta ecuación define el valor límite de la relación de esbeltez a partir del cual es aplicable la fórmula de Euler. El término ( C c ) se llama coeficiente de columna y depende únicamente de las características del material Sí ( KL / r )  Cc , el pandeo es en el rango elástico Sí ( KL / r )  Cc , el pandeo es en el rango inelástico El esfuerzo máximo que se puede aplicar a una columna dentro del rango elástico es:

  2E   f max    fy ( KL / r ) 2    2  f max   2 E  , 2   fy  f y ( KL / r )  2 

f max 2 2 E  , fy 2 f y ( KL / r ) 2

f max Cc2  fy 2 ( KL / r ) 2

  C c2 f max   f , ecuación (A), solo se aplica si ( KL / r )  Cc 2  y  2 ( KL / r ) 

Para la zona de pandeo inelástico, el (CRC) propone para el cálculo de ( f max ), una curva parabólica dada por la siguiente ecuación:

 ( KL / r ) 2  f max ( KL / r ) 2  1  f  1   fy, max 2 fy 2 Cc2 2 C c  

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f max

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 ( KL / r ) 2   1   f y , Ecuación (B), solo se aplica si ( KL / r )  Cc 2 Cc2  

Para fines de diseño tiene que introducirse en las ecuaciones (A y B) un factor de seguridad apropiado, con el cual se pasa del esfuerzo máximo ( f max ) al esfuerzo admisible ( Fa ). Fa 

f max F .S

El A.I.S.C, (American Institute of Steel Construction) propone los siguientes factores de seguridad, para ser aplicados en las fórmulas (A y B) 23  1.92 , si ( KL / r )  Cc 12 5 3( KL / r ) ( KL / r ) 3 , si ( KL / r )  Cc F .S 2    3 8 Cc 8 Cc3 F .S1 

  fy Cc2 Fa   , si ( KL / r )  Cc 2   2 ( KL / r )  F .S1  ( KL / r ) 2  f y Fa  1  , si ( KL / r )  Cc  2 Cc2  F .S 2 

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Dimensionamiento y revisión de columnas de madera sujetas a flexo compresión Columna de madera Partiendo de la fórmula de Euler y basados en las Normas Técnicas Complementarias para Diseño y Construcción de Estructuras de Maderas del Reglamento de Construcción del Distrito Federal. Consideremos la siguiente columna, sujeta a carga axial y longitud efectiva ( KL )

Columna de madera

El esfuerzo crítico es: f cr 

 2E ( KL / r ) 2

Si el pandeo ocurre en el plano ( x  y ), o sea alrededor del eje z

d n bn3 , 12

rz 

Iz , An

rz 

d n bn3 b2 b2  n  rz2  n 12 bn d n 12 12

f cr 

2 E  K 2 L2   2   rz 

Iz 



2 E

K L  2

2

b

2 n

 / 12



An  bn d n

2 E

12 KL / bn 

2

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Introduciendo un factor de seguridad, el esfuerzo admisible ( f cd ), será: f cd 

f cr FS

Utilizando un factor de seguridad ( FS  2.75 ), se tiene: f cd 

 2E (2.75) (12) ( KL / bn )

2



0.30 E , Ecuación (C) ( KL / bn ) 2

El esfuerzo ( f cd ), no debe exceder el valor del esfuerzo admisible de compresión dado para columnas cortas ( f cp ) f cd  f cp

Para conocer el valor límite en el cual debe ser empleada la ecuación (C), se procede de la siguiente forma:

f cd  f cp 

0.30 E 0.30 E , ( KL / bn )  2 f cp ( KL / bn )

Sí ( KL / bn )  Cc

Cc 

0.30 E f cp

Para relaciones de esbeltez menores que C c , el esfuerzo admisible por compresión f cd , es igual al esfuerzo admisible para columnas cortas f cp . Esta condición se representa con la recta horizontal f cd  f cp , en la siguiente figura.

Gráfica del esfuerzo admisible en función de ( KL / bn )

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En el análisis se consideró que el pandeo ocurre en el plano ( x  y ), o sea alrededor del eje ( z ), cuando las condiciones de apoyo son diferentes en cada plano debe investigarse el pandeo en las dos direcciones de análisis, mediante el cálculo de la relación de esbeltez para cada dirección y se utilizará para el cálculo del esfuerzo admisible ( f cd ), el mayor de ambos valores de la relación de esbeltez. El esfuerzo de compresión uniforme actuante ( f ), en la sección transversal de la columna es: f 

P An

f cd  f cp , cuando el mayor de [( KL / bn ) o ( KL / d n )] < C c

f cd 

0.3E ( KL / bn ) o ( KL / d n ) 2



2



, cuando el mayor de [( KL / bn ) o ( KL / d n )]  C c

el mayor

En donde: f cp  Esfuerzo admisible de compresión para columnas cortas

f cd  Esfuerzo admisible de compresión para columnas largas E  Módulo de elasticidad de la madera K  Factor de longitud efectiva

El Reglamento de Construcción para el Distrito Federal (RCDF), recomienda los siguientes valores para columnas de madera

Valores de ( K ) para columnas de madera de acuerdo con el R.C.D.F

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Las Normas Técnicas Complementarias para Diseño y Construcción de Estructuras de Maderas del Reglamento de Construcciones para el Distrito Federal, recomienda, al diseñar por flexo – compresión una columna hacerlo en un solo plano de simetría y sugiere arriostrar a la columna o usar diafragmas que impidan su deformación en uno de los planos. Fórmula de interacción Partiendo de la siguiente ecuación para el diseño de una columna en flexo – compresión en un plano, bajo la acción de carga vertical excéntrica y carga horizontal, como se muestra en la Fig. 5.10

Fig. 5.10 Fuerzas actuantes en una columna de madera

En la fórmula se debe cumplir que:

 fa f  1   1.0  b  '  Fa Fb  1  f a / Fe  Fb  f bd C f , Esfuerzo admisible por flexión, en el caso de columnas de madera

P , Esfuerzo actuante de compresión axial An An  bn d n , Área neta de la sección fa 

bn  b  1 , d n  d  1 , Dimensiones netas de la sección, que se obtienen reduciendo (1 cm) a cada lado de la sección nominal Debe cumplirse que: 2 < (d/b) < 3

Fa  f cd , Esfuerzo permisible en compresión paralela a las fibras

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  1  , Es el producto del esfuerzo actuante de flexión ( f b ), por el factor de f b  '   1  f a / Fe    1  . En el caso de columnas de madera de sección rectangular amplificación  '  1  f / F a e   dicho producto se expresa como M T / S  , o sea:   MT 1  f b  '  S  1  f a / Fe 

MT  M   M e Donde: M  Momento flexionante máximo debido a cargas transversales al eje longitudinal de la columna

  Factor de amplificación debido a efectos de segundo orden, que toma en cuenta los efectos de esbeltez al incrementar el momento ( P e causado por la carga vertical. Para una columna esbelta doblemente articulada que se deforma con curvatura simple   1.25 , para columnas con otras condiciones de apoyo en los extremos, el criterio puede aplicarse si se usa la longitud efectiva de pandeo de la columna ( K L )

  1.0 , cuando   1.25 , cuando

KL  Cc bn KL  Cc bn

Donde Cc  0.30 E / f cp K  Coeficiente de longitud efectiva de pandeo que depende de las condiciones de apoyo de los extremos de la columna L  Longitud entre apoyos que evitan el pandeo

K L / bn  Relación de esbeltez máxima E  Módulo de elasticidad de la madera

f cp  Esfuerzo permisible en compresión axial paralela a las fibras

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M e  P e , Momento flexionante debido a la excentricidad de la carga e  Excentricidad de la fuerza normal, medida desde el eje centroidal de la columna hasta la línea de acción de la carga. El RCDF, especifica que esta excentricidad no se tome menor que el 10% de la dimensión de la sección transversal paralela al plano de flexión considerado, es decir, emin  0.10 b ó emin  0.10 h

Sí M y e son nulos, la columna ha de diseñarse por flexo – compresión simple considerando la excentricidad mínima en cada plano de simetría de la sección transversal Sustituyendo M , en la ecuación de M T , se tiene: M T  M   P e , dividiendo ambos miembros entre el módulo de sección: MT M  P e   S S S

Sí la flexión ocurre con respecto al eje ( Z ), el módulo de sección será:

S

I c

I

bn d n3 12

c

MT M 6  P e M  P     S S S  An bn d n2

dn 2

S

bn d n3 b d2  n n 12d n / 2 6

 6  e      dn 

d n  Dimensión neta de la sección transversal en la dirección de la excentricidad ( e ), y se designará como ( d e ), es decir d n  d e Con lo cual se obtiene:

MT M  P  6  e       S S  An   d e  Sustituyendo los términos necesarios en la ecuación anterior, se tiene:   M  P  6  e  1   f b      '   1  f a / Fe  S  An   d e  El término ( Fb ) de la fórmula de interacción, correspondiente al esfuerzo admisible por flexión, en el caso de columnas de madera se expresa como: Fb  f bd C f , Esfuerzo admisible en flexión sin carga axial

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Fa  f cd M  P  6  e      S  An   d e  fa   1.0 f cd f bd C f

A la expresión anterior se le conoce como “Fórmula de interacción para columnas de madera de sección maciza, cuadrada o rectangular, sujeta a flexo – compresión paralela a las fibras en un solo plano” C f  Factor de tamaño asociado a la resistencia de elementos a flexión. De acuerdo a estudios experimentales se ha demostrado que la resistencia relativa en flexión decrece al aumentar el peralte esta disminución es importante a partir de peraltes del orden de 30 cm. El RCDF, especifica: d 2  922 Cuando d n  30 cm , C f  0.81 n2 , ( dn debe estar en centímetros) d n  568

Cuando d n  30 cm, C f  1.0

d n  Dimensión de la sección transversal paralela al plano de flexión Cálculo de f bd Cuando C s  10 ,

f bd  f bp

Cuando 10  C s  Ck , f bd

(a)

 1C  f bp 1   s  3  C k

Cuando Ck  C s  50 , f bd 

0.40 E C s2

  

4

  

(b)

(c)

En las ecuaciones anteriores:

C s  1.4

Ck 

dn L bn2

3 E 5 f bp

(d)

(e)

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f bd  Esfuerzo permisible en flexión en elementos sin posibilidades de que se presente pandeo lateral Los factores C s y C k toman en cuenta el efecto de pandeo lateral del elemento. En la ecuación para valorar C s , bn y d n son las dimensiones de la sección transversal perpendicular paralela, respectivamente, al plano de flexión; L es la longitud entre apoyos que evitan el pandeo de lateral.

ESFUERZOS ADMISIBLES DE COMPRESION PARA COLUMNAS DE MADERA CORTAS CLASE DE MADERA f cp (kg/cm2) Selecta Primera Segunda Tercera

70 50 25 17

ESFUERZOS PERMISIBLES EN FLEXION EN ELEMENTOS SIN PANDEO LATERAL CLASE DE MADERA f bp (kg/cm2) Selecta Primera Segunda Tercera

80 60 30 20