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UNIDAD 4. LA DERIVADA CÁLCULO DIFERENCIAL

SALVADOR Y. AGUILAR RAMÍREZ INSTITUTO TECNOLÓGICO DE TEPIC. DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS

UNIDAD 4. LA DERIVADA 4.1 EL PROBLEMA DE LA RECTA TANGENTE En un curso de cálculo se estudian muchas cosas diferentes, pero como se mencionó en la introducción de la Unidad 3, el tema “cálculo” por lo regular se divide en dos amplias áreas – relacionadas entre sí – denominadas cálculo diferencial y cálculo integral. El análisis de cada uno de estos temas suele comenzar con un problema de motivación que implica la gráfica de una función. El estudio del cálculo diferencial se motiva con el siguiente problema: Encontrar la recta tangente a la gráfica de una función , mientras que el estudio del cálculo integral se motiva con el siguiente problema: Encontrar el área bajo la gráfica de una función . El primer problema se abordará en esta unidad y el segundo se analizará en el curso de Cálculo Integral.

Recta tangente de una gráfica La palabra tangente surge del verbo latino tangere, que significa “tocar”. Quizá recuerde del estudio de geometría plana que una tangente a un círculo es una recta que corta, o toca, al círculo exactamente en un punto , como se muestra en la figura. No resulta tan fácil definir una recta tangente a la gráfica de la función . La idea de tocar traslada del concepto de recta tangente a la gráfica de una función, pero la idea de cortar la gráfica en un punto no lo hace. 1

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Suponga que es una función continua. Si, como muestra la siguiente figura, posee una recta tangente a su gráfica en un punto , entonces ¿cuál es la ecuación de esta recta? Para contestar esta pregunta requerimos las coordenadas de y la pendiente de .

Las coordenadas de no presentan ninguna dificultad, puesto que un punto sobre la gráfica de una función se obtiene al especificar un valor de en el dominio de . Así, las coordenadas del punto de tangencia en son . En consecuencia, el problema de encontrar una recta tangente se vuelve en el problema de encontrar la pendiente de la recta. Como medio para aproximar , es fácil encontrar las pendientes de rectas secantes (del verbo latino secare, que significa “cortar”) que pasan por el punto y cualquier otro punto sobre la gráfica.

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Pendiente de rectas secantes Si las coordenadas de son y las coordenadas de entonces la pendiente de la recta secante que pasa por y es

son

,

La expresión en el miembro derecho de la igualdad se denomina cociente diferencial. Cuando se hace que asuma valores que cada vez son más próximos a cero, es decir, cuando , entonces los puntos se mueven en la curva cada vez más cerca del punto . Intuitivamente, es de esperar que las rectas secantes tiendan a la recta tangente , y que cuando . Es decir,

en el supuesto de que el límite existe. Esta conclusión se resume en una forma equivalente del límite usando el cociente diferencial. Sea

continua en el número . Si el límite

existe, entonces la recta tangente a la gráfica de el punto

con pendiente

en

es la recta que pasa por

.

Justo como muchos de los problemas analizados en la unidad anterior, observe que el límite en la expresión anterior tiene la forma indeterminada cuando . Si el límite existe, el número en .

también se denomina pendiente de la curva

El cálculo de dicho límite es esencialmente un proceso de cuatro pasos, tres de los cuales implican sólo precálculo matemático: álgebra y trigonometría. Si los tres primeros pasos se llevan a cabo con precisión, el cuarto, o paso de cálculo, puede ser la parte más sencilla del problema.

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i) Evaluar y . ii) Evaluar la diferencia iii) Simplificar el cociente diferencial

. Simplificar.

iv) Calcular el límite del cociente diferencial

En muchas instancias, el cálculo de la diferencial en el paso ii) es el más importante. Resulta imperativo que usted simplifique este paso cuanto sea posible. Un consejo de cómo hacerlo: en muchos problemas que implican el cálculo de este límite es posible factorizar de la diferencia .

Tangentes verticales El límite del cociente diferencial puede no existir para una función en y aún así ser una tangente en el punto . La recta tangente a una gráfica puede ser vertical, en cuyo caso su pendiente está indefinida.

Una tangente que puede no existir La gráfica de una función que es continua en un número no tiene por qué poseer una recta tangente en el punto . Una recta tangente no existirá cuando la gráfica de tenga un pico pronunciado en . En la siguiente figura se indica qué puede ser erróneo cuando la gráfica de la función tiene un “pico”. En este caso es continua en , 4

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pero las rectas secantes que pasan por y tienden a cuando , y las rectas secantes que pasan por y tienden a una recta diferente cuando . En otras palabras, el límite del cociente diferencial no existe porque los límites laterales del cociente diferencial son diferentes (cuando y cuando ).

4.2 LA DERIVADA En la sección anterior vimos que la recta tangente a una gráfica de una función es la recta que pasa por el punto con pendiente dada por

siempre que el límite exista. Para muchas funciones suele ser posible obtener una fórmula general que proporcione el valor de la pendiente de la recta tangente. Esto se lleva a cabo al calcular

para cualquier (para la que existe el límite). Luego sustituimos un valor de se ha encontrado el límite.

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después que

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Una definición El límite del cociente de la diferencia en la fórmula anterior define una función: una función que se deriva de la función original . Esta nueva función se denomina función derivada, o simplemente la derivada, de y se denota por , o . La derivada de una función

en

está dada por

siempre que el límite exista.

Notación A continuación se presenta una lista de la notación común usada en la literatura matemática para denotar la derivada de una función:

Para una función como , escribimos ; si la misma función se escribe , entonces utilizamos , o . La notación tiene su origen en la forma de incrementos del límite para el cociente diferencial

Valor de una derivada El valor de la derivada en un número

se denota por los símbolos

Operadores diferenciación El proceso de encontrar o calcular una derivada se denomina diferenciación. Así, la diferenciación es una operación que se lleva a cabo sobre una función . La operación de diferenciación de una función con respecto a la variable se representa con los símbolos y . Estos símbolos se denominan operadores diferenciación.

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Diferenciabilidad Si el límite de la página previa existe para un número dado en el dominio de , se dice que la función es diferenciable en . Si una función es diferenciable en todo número en los intervalos abiertos y , entonces es diferenciable sobre el intervalo abierto. Si es diferenciable sobre , entonces se dice que es diferenciable en todas partes. Se dice que una función es diferenciable sobre un intervalo cerrado cuando es diferenciable sobre el intervalo abierto ,y

ambos existen. Los límites anteriores se denominan derivadas por la derecha y por la izquierda, respectivamente. Una función es diferenciable sobre cuando es diferenciable sobre y tiene derivada por la derecha en . Una definición semejante en términos de una derivada por la izquierda se cumple para diferenciabilidad sobre . Además, puede demostrarse que: Una función es diferenciable en un número

en un intervalo

si y sólo si

Tangentes horizontales Si

es continua en un número es horizontal.

Dónde

, entonces la recta tangente en

no es diferenciable

Una función no tiene derivada en i) ii)

y

si

la función es discontinua en la gráfica de tiene un pico en

,o

Además, puesto que la derivada proporciona la pendiente, iii)

en un punto

no es diferenciable

en el cual la recta tangente es vertical.

El dominio de la derivada es el conjunto de números para los cuales el límite existe. Por tanto, el dominio de necesariamente es un subconjunto del dominio de . 7