Unidad 4 flujo Gradualmente Variado.docx

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4.-FLUJO GRADUALMENTE VARIADO. El flujo gradualmente variado se refiere a un flujo permanente cuya profundidad varía gradualmente en la dirección del canal. Debido a que el flujo gradualmente variado involucra cambios pequeños de profundidad, este flujo está relacionado con longitudes grandes del canal. El flujo variado puede ser clasificado como rápidamente variado o gradualmente variado. En el primer caso (rápidamente variado) el tirante del flujo cambia abruptamente en una distancia corta. En el otro caso, se requiere distancias mayores para que alcancen a desarrollarse los perfiles de flujo gradualmente variado. En un canal con flujo permanente uniforme pueden existir causas que retardan o aceleran la corriente de forma que pasa a condiciones variadas que se manifiestan por un aumento o disminución de la profundidad del flujo, respectivamente. Flujo variado retardado. Se presenta cuando la velocidad del flujo disminuye, y por ende aumenta el tirante

Flujo gradualmente variado Flujo variado acelerado. Se presenta cuando la velocidad del flujo aumenta, y por ende el tirante del agua disminuye en sentido de la corriente.

Acelerado Para su análisis se tendrán en cuenta las siguientes hipótesis: 1. La pérdida de energía en una sección del canal es igual que la de un flujo uniforme con las mismas características de velocidad, radio hidráulico y el coeficiente de rugosidad de la propia sección es constante. 2. La pendiente de la plantilla del canal es uniforme y pequeña (< 10 %). Esto quiere decir que la profundidad del flujo puede medirse verticalmente o perpendicularmente al fondo del canal y no se requiere hacer corrección por la presión ni por arrastre del aire. 26

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3. El canal es prismático. 4. Los coeficientes de distribución de velocidad y el de rugosidad son constantes en el tramo considerado.

4.1 CLASIFICACIÓN DE PERFILES. La clasificación de los perfiles de flujo variado está basada en la pendiente del canal y en la zona en que se localiza el perfil, por lo cual dicha pendiente podría ser: Suave si dn > dc, perfil tipo M Crítica si dn = dc, perfil tipo C Pronunciada si dc > dn, perfil tipo S En el caso de pendiente cero (perfil tipo H), o negativa (perfil tipo A), no existe posibilidad de flujo uniforme.

4.2.- ECUACIÓN DINÁMICA. Consideremos el perfil de flujo gradualmente variado en la longitud elemental dx de un canal abierto indicado en la figura 4.2, la altura total de energía por encima del plano horizontal de referencia en la sección 1 aguas arriba es:

Derivando la ecuación con respecto a la longitud “x” se obtiene la siguiente ecuación:

Deducción de la ecuación de flujo gradualmente variado. Obsérvese que la pendiente “Sf “ es la pendiente de la línea de energía o gradiente hidráulico y se supone que es positiva si desciende en la dirección del flujo y negativa si asciende.

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La ecuación representa la pendiente de la superficie libre del agua con respecto al fondo del canal y se conoce como la Ecuación dinámica del flujo gradualmente variado. Ahora se considera el flujo permanente en canales no prismáticos a lo largo de distancias grandes. Debido a estas distancias grandes deben tenerse en cuenta la fricción y la turbulencia, como se hizo para el flujo en tuberías largas, ya que estos dos factores afectan definitivamente el flujo. Por esta razón, estos flujos se conocen como flujos gradualmente variados. Otra forma de expresar la ecuación dinámica del flujo gradualmente variado, en función de Froude. donde S0 es la pendiente del canal que depende de la topografía del terreno y Sf es la pendiente hidráulica de la línea de energía total. Por otra parte ANÁLISIS DE LOS PERFILES. Los valores positivos de dd/dx = + indican profundidades crecientes y los valores negativos dd/dx = - profundidades decrecientes. En función de la ecuación de manning, la ecuación de Chezy para la pendiente hidráulica Sf , en términos de la conductividad K, se tiene:

Otra forma de la ecuación del flujo gradualmente variado en función del gasto es:

Donde Q es el gasto determinado para el flujo gradualmente variado con el tirante real y Qn es el gasto normal con un tirante normal y Qc es el gasto crítico correspondiente al tirante crítico.

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Para canales rectangulares anchos. 1. Cuando se utiliza la ecuación de Manning es:

2. Cuando se utiliza la ecuación de Chezy:

Tipos de pendientes: Los tipos de pendientes que se presentan en el flujo gradualmente variado son: a) Positivos: Critico (C) Suave (M) Pronunciado (S) b) Horizontales (H) c) Adversa (A) b) Pendiente horizontal (H): S0=0, y el tirante d tiende a infinito y la conductividad es:

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c) Pendiente adversa (A): El valor del factor de conductividad (K) tendrá valores imaginarios, por lo que no se puede presentar el flujo normal así, se tendrán dos casos: flujo subcrítico = d>dc flujo supercrítico = dc>d Pendiente crítica (C): En este caso, se presentará el flujo normal con el tirante crítico; por lo tanto: dn=dc

4.3.- TIPOS DE PERFILES. Los perfiles de flujo se clasifican con base en dos criterios básicos: 1. Según su profundidad 2. Según la pendiente del canal. El primer criterio divide la profundidad del canal en varias zonas. Zona 1. El espacio por encima de la línea superior; se presenta el flujo subcrítico tirante normal (dn) y el perfil del flujo. Flujo supercrítico: el tirante critico (dc) y perfil de flujo Zona 2. El espacio entre las dos líneas, se presenta el flujo subcrítico, tirante crítico (dc) y tirante normal (dn), se presenta también el flujo supercrítico; tirante normal (dn) y tirante crítico (dn). Zona 3. El espacio por debajo de la línea inferior, se presenta el flujo subcrítico: plantilla el canal y tirante crítico, supercrítico; plantilla del canal y tirante normal.

Esquemas de los tipos de zonas en función del tirante. Luego los perfiles de flujo se clasifican en trece tipos diferentes de acuerdo con la naturaleza de la pendiente del canal y la zona en la cual se encuentra la superficie libre del agua.

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Tipos de perfiles de flujo en canales prismáticos.

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Sistema de clasificación de perfiles de flujo gradualmente variado, de Ven Te Chow 1994.

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4.4.-MÉTODOS DE INTEGRACIÓN DE LA ECUACIÓN DINÁMICA. Se consideran subtramos de análisis relativamente pequeños, de tal forma que se pueda considerar flujo uniforme y así determinar la pendiente de fricción utilizando una ecuación de resistencia al flujo, usualmente Manning. La pendiente del canal es pequeña, por ende la profundidad del flujo medida verticalmente es aproximadamente igual a la profundidad medida perpendicularmente al fondo. El coeficiente de rugosidad es independiente del tirante hidráulico y constante en todo el tramo en consideración. Se emplean métodos teóricos aproximados entre los cuales los más usados son: El método de integración directa, método de integración gráfica, método del paso estándar, método del paso directo.

4.5.- MÉTODO DE INTEGRACIÓN DIRECTA. La ecuación diferencial de flujo gradualmente variado no puede expresarse explícitamente en términos de “d” para todos los tipos de secciones transversales del canal. Este método realiza una integración directa y exacta de la Ecuación del flujo gradualmente variado, considerando que los exponentes hidráulicos para flujo crítico y normal, M y N, son constantes:

Donde:

Sustituyendo estos valores del flujo crítico y normal en la ecuación del flujo gradualmente variado y haciendo u=d/dn.

Esta ecuación puede integrarse para la longitud L del perfil, considerando que N y M son constantes.

La primera integral del lado derecho de la ecuación anterior se designa mediante F (u, N), esto es: La cual se conoce como función de flujo variado.

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Ésta es una función de flujo variado parecida a , excepto que las variables y N se remplazan por V y J, respectivamente, por la notación para funciones del flujo variado:

Finalmente la ecuación:

La ecuación contiene funciones de flujo variado y la solución puede simplificarse mediante la tabla de funciones de flujo variado. Cuando se calcula un perfil de flujo, por este método, primero se analiza el flujo en el canal y luego se divide el canal en tramos. Después se determina la longitud de cada tramo mediante la ecuación a partir de profundidades conocidas o supuestas en los extremos de cada tramo.

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4.6.- Método de integración gráfica. Este método tiene como objetivo integrar la ecuación dinámica de flujo gradualmente variado mediante un procedimiento gráfico. Consideremos dos secciones de canal localizada a unas distancias x1 y x2 respectivamente desde un origen seleccionado y con los tirantes de agua d1 y d2 correspondientes. La distancia a lo largo del canal es:

Supongamos varios valores de “d” y calcule los valores correspondientes de dx/dd, el cual es el recíproco del lado derecho de la ecuación de flujo gradualmente variado. Luego se construye una curva de d contra dx/dy. De acuerdo con la ecuación es claro que el valor de x es el área sombreada formada por la curva el eje “y” y las ordenadas de dx/dd correspondientes a d1 y d1. Luego puede medirse esta área y determinarse el valor de x. El valor de dx/dd será:

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El valor α de para casos prácticos se desprecia y vale la unidad, para casos teóricos el valor de alfa puede valer 1.10 o más.

Inexactitudes en el método de integración gráfica.

4.7.- Método del paso estándar. Este método es muy apropiado aplicarlo para canales no prismáticos (canales naturales). En canales no prismáticos los elementos hidráulicos no son independientes de la distancia a lo largo del canal. Este cálculo se lleva a cabo mediante pasos de estación a estación en las cuales se han determinados las características hidráulicas. En tales casos la distancia entre las estaciones es conocida. Para explicar este método es conveniente referir la posición de la superficie libre del agua con respecto a un nivel de referencia horizontal. Las superficies del agua por encima del nivel de referencia en las dos secciones extremas son:

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Tramo de canal para la deducción del paso estándar. Estableciendo Bernoulli entre la sección 1 y 2 se tiene:

La pérdida de carga por fricción es :

Donde la pendiente por fricción SE se toma como el promedio de las pendientes en las dos secciones extremas. Al sustituir las anteriores expresiones en la ecuación

Las alturas totales en las dos secciones extremas son:

y

por consiguiente la ecuación queda:

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Esta es la ecuación básica que define el procedimiento del método del paso estándar donde: H = energía total, en m d1 = energía potencial o de presión, en m Z = energía de posición en la sección 1. = pérdida de carga por fricción, en m

para el cálculo del perfil de la superficie libre del agua mediante el método del paso estándar. Los pasos de cálculo se ordenan en forma tabular en la tabla y los valores de cada columna se explican como sigue: Columna 1: Sección identificada por un número de estación. La localización de las estaciones está fija en las distancias determinadas, en la columna 12 se dan como datos las distancias, las segunda estación se obtiene con la sumatoria de la primera distancia más el valor de la segunda distancia. Columna 2: Elevación de la superficie libre del agua en la estación. Inicialmente se introduce un valor de prueba en esta columna. Columna 3: Profundidad de flujo en pies, correspondiente a la elevación de la superficie del agua de la columna 2 Columna 4: cálculo del área mojada correspondiente a “d” de la columna 3. Columna 5: Velocidad media Columna 6: carga velocidad o altura de velocidad correspondiente a la velocidad, columna 5. Columna 7: Altura total calculada mediante la expresión (columna 2) más la altura de la velocidad (columna 6).

, igual a la suma de “Z”

Columna 8: Radio hidráulico, correspondiente a “d” de la columna 3 deberá determinarse el perímetro mojado de la sección de análisis. Columna 9: Radio hidráulico elevado a la potencia 4/3. Columna 10: Cálculo de la pendiente hidráulica:

Columna 11: Pendiente hidráulica o de fricción promedio a través del tramo entre las secciones de cada paso.

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Columna 12: Longitud del tramo entre las secciones, igual a la diferencia de los números de estación entre las estaciones. Columna 13: cálculo de las pendientes por fricción entre las secciones 1 y 2, igual al producto de los valores de las columnas 11 y 12, es decir: Columna 14: Pérdidas por remolino del tramo, iguales a cero. Columna 15: Elevación de la altura total en m o pies. Esta se calcula mediante la suman de los valores de f h y e h de las columnas 13 y 14 más la elevación del extremo más bajo del tramo, el cual se encuentra en la columna 15 del tramo anterior. El valor que produce este resultado es la elevación correcta de la superficie del agua.

4.8.- MÉTODO DEL PASO DIRECTO. Este método se caracteriza por dividir el canal en tramos cortos y llevar a cabo los cálculos pasos a paso desde un extremo del tramo hasta el otro. Se basa en la aplicación de la ecuación de la energía (Teorema de Bernoulli) y es aplicable a todo tipo de canales prismáticos.

Tramo de canal para la deducción de la ecuación del método del paso directo

Esquematización del cálculo del método del paso directo 26

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Aplicando Bernoulli entre las secciones 1 y 2, se tiene:

Siendo: Z1= Carga de posición en la sección 1 con respecto al plano horizontal de referencia. hf1-2 = pérdida de carga por fricción entre la sección 1 y 2 cuyo valor es:

Sustituyendo estos valores en la ecuación

y Despejando y sustituyendo a la longitud o incremento de longitud (L) se tiene

Finalmente

Ecuación del paso directo Siendo: ΔL=Longitud del tramo , en m Es2=Energia específica en la sección 2 del canal, en m Es1=Energia específica en la sección 1 del canal, en m S0 = pendiente longitudinal del canal Sf = Pendiente Hidráulica

Cálculo del perfil de flujo gradualmente variado mediante el método del paso directo

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Columna 1: ingresar el dato correspondiente al tirante inicial y variarlo de 10 en 10 ó de 20 en 20 centésimas el tirante hasta llegar al valor del tirante crítico determinado. Columna 2: determinación del área hidráulica correspondiente al tirante de la columna 1. Columna 3: cálculo del perímetro mojado. Columna 4: determinar el radio hidráulico a partir de las valores del A/ P: Columna 5: Elevación del radio hidráulico a la potencia 4/3. Columna 6: Determinación de la velocidad asociada a cada tirante inicial aplicando la ecuación de continuidad (Q=AV V=Q/A) Columna 7: Obtención de la carga de velocidad elevando el valor de la velocidad al cuadrado de la de la columna (6). Columna 8: Energía específica, en m o pies, obtenida al sumar el tirante de la columna (1) más el valor de la carga de velocidad columna (7). Columna 9: Variación de la energía específica, en m o pies, igual a la diferencia entre el valor de la energía específica de la columna (8) y el correspondiente al paso anterior aparece a partir de la segunda fila. Columna 10: Determinación de la velocidad media: Suma de las velocidades de la columna 6. Columna 11: Determinación del radio hidráulico medio: Suma de los radios de la columna 4. Columna 12: Sf = Pendiente hidráulica se calculará aplicando la ecuación de Manning.

Columna 13: Diferencia entre la pendiente del canal y la pendiente hidráulica o de fricción. Columna 14: ΔL, Cálculo de la distancia parcial entre las secciones analizadas aplicando la expresión:

Columna 15: L, determinación de la longitud, esta es igual a la suma acumulada de los valores de la columna (14).

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Una vez calculado la columna (15), se procede a dibujar el perfil del flujo, indicando en el eje de las ordenadas “y” los valores de los tirantes y en el eje de la abscisas “x” los valores de las longitudes acumuladas para cada tirante, de preferencia dibujarse en papel milimétrico y a escala, una vez dibujado el perfil de la superficie libre del agua se procederá a determinar el tipo de perfil que se presenta auxiliándose de la tabla

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