Unidad 4 Estadistica Inferencial

Unidad 4 Estadistica inferencial  4.1 Inferencia estadistica Cuando se conoce la forma funcional de la función de distribución que sigue la variable aleatoria objeto de estudio y sólo tenemos que estimar los parametros que la determinan, estamos en un problema de inferencia estadística paramétrica por el contrario cuando no se conoce la forma funcional de la distribución que sigue la variable aleatoria objeto de estudio, estamos ante un problema de inferencia estadística no paramétrica . En lo que sigue nos vamos a limitar a problemas de inferencia estad!stica param"trica, donde la variable aleatoria objeto de estudio sigue una distribución normal, y sólo tendremos que tratar de estimar los par#metros que la determinan, la media y la desviación típica . Esta situación se presenta con frecuencia debido a que es posible a menudo conocer la forma funcional de la distribución de probabilidad, por consideraciones teóricas, quedando $nicamente indeterminados los par#metros que determinan la función de distribución. Como las poblaciones en las que se pretende estudiar una determinada variable aleatoria, son grandes, es muy caro o imposible, estudiar a todos sus individuos lo que se %ace, es estudiar una muestra & una parte' de la población En todos estos problemas que estudia la inferencia estadística juega un papel fundamental la "Te  &distintas formas funcionales de las "Teoría oría de la Probabilidad "  &distintas "Teoría oría de Muestras " &procedimientos para distribuciones de probabilidad' y la "Te tomar muestras de manera apropiada'. 4.( )uestreo estadistico En estad!stica estad!stica un  un muestreo es la t"cnica para la selección selección de  de una muestra muestra a  a partir  de una población. En el muestreo, si el tama*o de la muestra es m#s peque*o que el tama*o de la población, se puede e+traer dos o m#s muestras de la misma población. l conjunto de muestras que se pueden obtener de la población se denomina espacio  muestral. -a variable que asocia a cada muestra su probabilidad probabilidad de  de e+tracción El muestreo:  es una %erramienta de la investigación investigación cient!fica.  cient!fica. u función función b#sica  b#sica es determinar que parte de una realidad en estudio &población o universo universo'' debe e+aminarse con la finalidad de %acer inferencias sobre dic%a población El Muestreo es m#s que el procedimiento empleado para obtener una o m#s muestras de una población el muestreo es una t"cnica que sirve para obtener una o m#s muestras de población. población. Este se reali/a una ve/ que se %a establecido un marco muestral representativo de la población, se procede a la selección de los elementos de la muestra aunque %ay muc%os dise*os de la muestra.

 l tomar varias muestras de una población, las estad!sticas que calculamos para cada muestra no necesariamente ser!an iguales, y lo m#s probable es que variaran de una muestra a otra. Muestreo Estadístico: son aquellos que se basan en el principio de equiprobabilidad. Es decir, aquellos en los que todos los individuos tienen la misma probabilidad de ser elegidos para formar parte de una muestra y, consiguientemente, todas las posibles muestras de tama*o n tienen la misma probabilidad de ser elegidas. Técnicas de selección del muestreo a través del muestreo estadístico •

Muestreo probabilístico:  0orman parte de este tipo de muestreo todos

aquellos m"todos para los que puede calcularse la probabilidad de e+tracción de cualquiera de las muestras posibles. Este conjunto de t"cnicas de muestreo es el m#s aconsejable, aunque en ocasiones no es posible optar por "l. •

Muestreo estratificado Consiste en la división previa de la población de

estudio en grupos o clases que se suponen %omog"neos respecto a caracter!stica a estudiar.  cada uno de estos estratos se le asignar!a una cuota que determinar!a el n$mero de miembros del mismo que compondr#n la muestra. •

Muestreo sistemático: Es la elección de una muestra a partir de los

elementos de una lista seg$n un orden determinado, o recorriendo la lista a partir de un n$mero aleatorio determinado. •

Muestreo por conglomerados:  Cuando la población se encuentra dividida,

de manera natural, en grupos que se suponen que contienen toda la variabilidad de la población, es decir, la representan fielmente respecto a la caracter!stica a elegir, pueden seleccionarse sólo algunos de estos grupos o conglomerados  para la reali/ación del estudio. •

Muestreo errático: 2ambi"n se llama sin norma. -a muestra se reali/a de

cualquier forma, valorando $nicamente la comodidad o la oportunidad en t"rminos de costes, tiempo u otro factor no estad!stico.

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 l reali/ar un muestreo en una población podemos %ablar de muestreos probabil!sticas y no probabil!sticas, entre estas técnicas o procedimientos  est#n Muestreo simple  Este tipo de muestreo toma solamente una muestra de una población dada para el propósito de inferencia estad!stica. 3uesto que solamente una muestra es tomada, el tama*o de muestra debe ser los suficientemente grandes para e+traer una conclusión. Una muestra grande muc%as veces cuesta demasiado dinero y tiempo. Muestreo aleatorio simple:  Es aquel en que cada elemento de la

población tiene la misma probabilidad de ser seleccionado para integrar la muestra. Una muestra simple aleatoria es aquella en que sus elementos son seleccionados mediante el muestreo aleatorio simple.

4. Estimadores En estad!stica, un estimador  es un estad!stico &esto es, una función de la muestra' usado para estimar un par#metro desconocido de la población. 3or ejemplo, si se desea conocer el precio medio de un art!culo &el par#metro desconocido' se recoger#n observaciones del precio de dic%o art!culo en diversos establecimientos &la muestra' y la media aritm"tica de las observaciones puede utili/arse como estimador del precio medio. 3ara cada par#metro pueden e+istir varios estimadores diferentes. En general, escogeremos el estimador que posea mejores propiedades que los restantes, comoinsesgadez , eficiencia , convergencia  y robustez  &consistencia'. El valor de un estimador proporciona lo que se denomina en estad!stica una estimación puntual del valor del par#metro en estudio. En general, se suele preferir reali/ar una estimación mediante un intervalo, esto es, obtener un intervalo [a,b]  dentro del cual se espera est" el valor real del par#metro con un cierto nivel de confianza . Utili/ar un intervalo resulta m#s informativo, al proporcionar información sobre el posible error de estimación, asociado con la amplitud de dic%o intervalo. El nivel de confianza es la probabilidad de que a  priori  el verdadero valor del par#metro quede contenido en el intervalo. En la pr#ctica, los intervalos de estimadores con distribuciones sim"tricas suelen indicarse dando el valor del estimador puntual utili/ado como centro del intervalo y un valor que debe sumarse y restarse para obtener el l!mite superior e inferior por ejemplo  equivale a 4.4 Estimacion puntual Consiste en la estimación del valor del par#metro mediante un sólo valor, obtenido de una fórmula determinada. 3or ejemplo, si se pretende estimar la talla media de un determinado grupo de individuos, puede e+traerse una muestra y ofrecer como estimación puntual la talla media de los individuos. -o m#s importante de un estimador, es que sea un estimador eficiente. Es decir, que sea insesgado&ausencia de sesgos' y estable en el muestreo o eficiente &varian/a m!nima' Estimación puntual. ea 5 una variable poblacional con distribución 06 , siendo 6 desconocido. El problema de estimación puntual consiste en, seleccionada una muestra 51, ..., 5n, encontrar el estad!stico 2&51, ..., 5n' que mejor estime el par#metro 6. Una ve/ observada o reali/ada la muestra, con valores +1, ..., +n, se obtiene la estimación puntual de 6, 2&+1, ..., +n' 7 8 6 .

9emos a continuación dos m"todos para obtener la estimación puntual de un par#metro m"todo de los momentos y m"todo de m#+ima verosimilitud. )"todo de los momentos consiste en igualar momentos poblacionales a momentos muestrales. :eberemos tener tantas igualdades como par#metros a estimar. )omento poblacional de orden r ;r 7 E&5r' )omento muestral de orden r ar 7 5n i71 5r i n )"todo de m#+ima verosimilitud consiste en tomar como valor del par#metro aquel que ma+imice la probabilidad de que ocurra la muestra observada. i 51, ..., 5n es una muestra seleccionada de una población con distribución 06 o densidad f6&+', la probabilidad de que ocurra una reali/ación +1, ..., +n viene dada por -6&+1, ..., +n' 7 ormalmente los valores cr!ticos est#n tabulados o pueden calcularse en función de la distribución de la población. 3or ejemplo, para una distribución normal, de media G y desviación t!pica 1, el valor cr!tico para ; 7 G,1 se calcular!a del siguiente modo se busca en la tabla de la distribución ese valor &o el m#s apro+imado', bajo la columna STreaS se observa que se corresponde con O1,(.

Entonces R;N( 7 1,V4. i la media o desviación t!pica de la distribución normal no coinciden con las de la tabla, se puede reali/ar el cambio de variable t 7&5OW'NB para su c#lculo. Con estas definiciones, si tras la e+tracción de una muestra se dice que S es una estimación de la media con un margen de error de G,V y un nivel de confian/a del HHQS, podemos interpretar que el verdadero valor de la media se encuentra entre (,? y ,, con una probabilidad del HHQ. -os valores (,? y , se obtienen restando y sumando, respectivamente, la mitad del error, para obtener el intervalo de confian/a seg$n las definiciones dadas. 3ara un tama*o fijo de la muestra, los conceptos de error y nivel de confian/a van relacionados. i admitimos un error mayor, esto es, aumentamos el tama*o del intervalo de confian/a, tenemos tambi"n una mayor probabilidad de "+ito en nuestra estimación, es decir, un mayor nivel de confian/a.

 4.V Errores tipo I y II El error de tipo I  se comete cuando la hipótesis nula es verdadera y, como consecuencia del contraste, se rechaza . El error de tipo II se comete cuando la hipótesis nula es falsa y, como consecuencia del contraste se acepta .

H0

Ve r d a d e r a

Falsa

Decisón correcta

Decisión incorrecta!

Probabilidad = 1 − 

"##$# D" %IP$ II

ceptar

"##$# D" %IP$ I echazar Probabilidad = 

Decisión correcta

L a probabilidad  de cometer "rror de tipo I   es el nivel de si&nificación .

La probabilidad de cometer "rror de tipo II  depende del verdadero valor del parámetro. Se hace tanto 'enor cuanto 'a(or sea n .

 4.? Contraste de %ipotesis unilateral y bilateral Unidad J Xegresion y correlacion J.1 Control de calidad J.( :iagrama de dispersion J. Xegresion lineal simple  J.4 Correlacion J.J :eterminacion y analisis de los coeficientes de correlacion y de determinación J.V :istribucion normal bidimensional J.? Intervalos de confian/a y pruebas para el coeficiente de correlacion J. Errores de medicion