Unidad 4 Ecuaciones e Inecuaciones PDF
October 1, 2022 | Author: Anonymous | Category: N/A
Short Description
Download Unidad 4 Ecuaciones e Inecuaciones PDF...
Description
UNIDAD 4: ECUACIONES E INECUACIONES Una ecuación es una una igualdad entre dos expresiones dos expresiones algebraicas, algebraicas, denominadas denominadas miembros, en las que aparecen valores conocidos o datos, y desconocidos o incógnitas, relacionados mediante operaciones matemáticas. Los valores conocidos pueden ser números, números, coeficientes o constantes. constantes. Las incógnitas se representan por letras y constituyen los valores que se pretenden hallar. La igualdad planteada por una ecuación será cierta o falsa dependiendo de los valores numéricos que tomen ambos miembros; luego una ecuación es una igualdad condicional en la que solo ciertos valores de las variables la hacen cierta. Se llama solución o raíz de una ecuación a cualquier valor individual de dichas variables que la satisfaga. Resolver una ecuación es encontrar su dominio solución, el cual es el conjunto de valores de las incógnitas para los cuales la igualdad se cumple.
Ejemplo No. 62 Ecuación
Solución
2 x 3 11
x 4
Conjunto solución 4
x 3 y x 2
2, 3
2
x 6 x
Cuando dos o más ecuaciones tienen el mismo conjunto solución, se dice que son ecuaciones equivalentes. Por lo general las ecuaciones se resuelven iniciando con la ecuación dada y produciendo una serie de ecuaciones equivalentes más simples.
Ejemplo No. 63 Ecuaciones equivalentes Ecuaciones 2 x 8
Conjunto solución 4 4
x 4
4
2 x 3 11
Para resolver ecuaciones se aplican las siguientes propiedades: Propiedad aditiva de la igualdad Propiedad multiplicativa de la igualdad
Si a b , entonces a c b c para todo a, b , c R Si a b , entonces a c b c para todo a, b , c R
4.1 ECUACIÓN LINEAL Una ecuación lineal o de primer grado es una igualdad una igualdad entre dos dos expresiones expresiones algebraicas involucrando una o más variables elevadas a la primera potencia, que no contiene productos entre las variables, es decir, una ecuación una ecuación que involucra solamente sumas y restas de una variable una variable a la primera potencia. Una ecuación lineal es aquella que puede escribirse como: W I L S O N VE L Á S Q U E Z y L É I D E R S A L C E D O
- E c u a c i o n es e i n e c u a c i o n e s
Página 80
ax b c , con a 0
A continuación se muestra el procedimiento general para resolver ecuaciones lineales: 1. 2. 3. 4. 5.
Eliminar fracciones. Simplificar cada miembro de la ecuación por separado. Aplicar la propiedad aditiva para aislar el término variable en la ecuación. Aplicar la propiedad multiplicativa para despejar la variable. Comprobar la solución.
Ejemplo No. 64 Resuelva las siguientes ecuaciones lineales: a. 2 x 4 9 b. 2b 5 3b 10 c. 7 y 15 26 y 3 42 y x 2
d. 5 9 e.
1 2
3
x 4
1 3
x
Solución: a. 2 x 4 9 2 x 9 4 2 x 5 x
5 2
b. 2b 5 3b 10 2b 3b 10 5 5 b 15 15 b 5 b 3
c. 7 y 15 26 y 3 42 y 7 y 15 2 6 y 18 8 4 y 7 y 15 210 y 26 7 y 15 20y 52
y 52 15 27 y 67 7 y 20
y W I L S O N VE L Á S Q U E Z y L É I D E R S A L C E D O
67 27 - E c u a c i o n es e i n e c u a c i o n e s
Página 81
x 2
d. 5 9 3
e.
15 2 x 3
9
15 2 x 27 27 15 2 x 2 x 42 42 x 2 x 21
1 1 x 4 x x 2 x 3 3 2 2 1 x 1 x 2 2 3 1
1
3 x 2 x 2 6
x 2 x6 12
ACTIVIDAD No. 24 Resuelva las siguientes ecuaciones lineales: a. 8 x 2 x 4 8 x 10 b. 23m 6 4m 3 21 c. 36 y 2 6 4 y 7 6 x 4 x 3x 2 d. 36 4 x 4 5 x
e. n 2 3 n 4 4
f.
1
g.
5
4 6
1
z 2 2 z 6 3
m
5 12
7 8
m
2 3
ACTIVIDAD No. 25 Resuelva cada uno de los siguientes problemas: a. Un padre tiene 35 años y su hijo 5 . ¿Al cabo de cuántos años será la edad del padre tres veces mayor que la edad del hijo? W I L S O N VE L Á S Q U E Z y L É I D E R S A L C E D O
- E c u a c i o n es e i n e c u a c i o n e s
Página 82
b. Si al doble de un número se le resta su mitad y resulta 54 . ¿Cuál es el número? c. La base de un rectángulo es el doble que su altura. ¿Cuáles son sus dimensiones si el perímetro mide 30 cm? d. En una reunión hay el doble número de mujeres que de hombres y el triple número de niños que de hombres y mujeres juntos. ¿Cuántos hombres, mujeres y niños hay si la reunión la componen 96 personas? e. Un número multiplicado por 5 sumado con el mismo número multiplicado por 6 da 55 . ¿Cuál es el número?
f. g. h. i.
¿Qué número se debe restar de p 2 para obtener 5 ? Tres números impares consecutivos suman 81. ¿Cuáles son los números? La diferencia entre los cuadrados de dos números consecutivos es 103 . ¿Cuáles son los números? Un padre tiene 20 años más que su hijo. Dentro de 12 años, el padre tendrá el doble de la edad del hijo. ¿Cuántos años tiene cada uno actualmente? j. La edad de María es el triple de la de Ester y excede en 5 años a la edad de Isabel. Si las edades de Ester e Isabel suman 23 años. Hallar la edad de cada una. una . k. Se compran 25 lápices, 32 cuadernos y 24 gomas de borrar y se cancela por ello $16900 . Si cada y cada lápiz cuesta el doble de cada goma, más $8 . ¿Cuánto cuaderno cuesta el triple de cada goma, más $20 cuesta cada material? l. El numerador de una fracción excede en dos unidades al denominador. Si al numerador se le suma 3 , la fracción queda equivalente a 4 . Hallar la fracción. 3
4.2 ECUACIÓN CUADRÁTICA Una ecuación cuadrática o ecuación de segundo grado, es una ecuación de la forma: ax2 bx c 0 , con a, b , c R y a 0
Dependiendo del valor de las constantes b y c , las ecuaciones ecuaciones cuadráticas se clasifican en:
Ejemplo Son2aquellas aquellas en llas as cuales b 0 o c 0
Ecuaciones incompletas
ax 0
ax bx 0
Son aquellas aquellas en llas as cuales b 0 y c 0 ax bx c 0
3 x
5 x 0
ax c 0
2
0
2
2
2 2
Ecuaciones completas
4 x
2 x 2 7 0
6 x
2
7 x 2 0
Solucionar una ecuación cuadrática consiste en encontrar los valores de la incógnita que hacen verdadera la igualdad.
W I L S O N VE L Á S Q U E Z y L É I D E R S A L C E D O
- E c u a c i o n es e i n e c u a c i o n e s
Página 83
4.2.1 Solución de ecuaciones cuadráticas incompletas En la solución de una ecuación cuadrática incompleta se distinguen tres casos:
Caso 1: Ecuación de la fforma orma
ax 0 2
Para este caso la única solución es x 0
2
orma ax bx 0 Caso 2: Ecuación de la fforma Para este caso se factoriza la expresión ax 2 bx obteniéndose de esta manera xax b 0 b
De lo anterior se concluye que las soluciones son x 0 y x a
Caso 3: Ecuación de la fforma orma
ax 2 c 0
Para este caso tenemos que las soluciones s oluciones son x
c a
Ejemplo No. 65 Resuelva las siguientes ecuaciones cuadráticas: 2
a. b. c. d.
x 0 3 2 2 x 6 x 0 2 4 x 16 0
4 x 16 0 2
Solución: 0
a. 3 x 2 0 x 2 3 x 2 0 x 0
b. 2 x 2 6 x 0 x2 x 6 0 x 0 o 2 x 6 0
Si 2 x 6 0 2 x 6 x
6 2
x 3
c. 4 x 2 16 0 4 x 2 16 2 x
16
4
W I L S O N VE L Á S Q U E Z y L É I D E R S A L C E D O
- E c u a c i o n es e i n e c u a c i o n e s
Página 84
x 2 4 x 4 x 2
d. 4 x 2 16 0 4 x 2 16 x 2 16 4
x 2 4 x 4 x 4 1 x 4 1 x 2i
4.2.2 Solución de ecuaciones cuadráticas completas completas Para resolver una ecuación cuadrática completa de la forma
ax2 bx c 0 , se utilizan cuatro métodos citados
a continuación: 1. 2. 3. 4.
Solución por factorización. Solución completando cuadrado. Solución por fórmula general. Solución gráfica.
Solución por factorización Para solucionar una ecuación cuadrática completa de la forma ax 2 bx c 0 , se factoriza (si es posible) la expresión ax 2 bx c
Ejemplo No. 66 Resuelva las siguientes ecuaciones cuadráticas por factorización: a. x 2 2 x 8 0 b. 6 x 2 7 x 2 0
Solución: a. x 2 2 x 8 0 x 4 x 2 0 x 4 0 o x 2 0 x 4 o x 2 W I L S O N VE L Á S Q U E Z y L É I D E R S A L C E D O
- E c u a c i o n es e i n e c u a c i o n e s
Página 85
6
1
2 x 42 x 12 0 b. 6 x 2 7 x 2 0 6 x 2 7 x 2 0 36 6 6
1
6 x 6
2
7 6 x 12 0
1 6
6 x 4 6x 3 0
4 6 2 6 x 6 6 x 3 0 x 3 6 x 3 0
x
2 3
2
1
0 o 6 x 3 0 x o x 3 2
Solución completando cuadrado Para solucionar una ecuación cuadrática completa de la forma ax 2 bx c 0 , se completa cuadrado con la expresión ax 2 bx c
Ejemplo No. 67 Resuelva las siguientes ecuaciones cuadráticas completando cuadrado: a) x 2 6 x 16 0 b) 4 x 2 8 x 12 0
Solución: 2 2 0 a) x 2 6 x 16 0 x 2 6 x 16 0 x 3 9 16 0 x 3 25
x 3 2 25
x 3 2
25 x 3 5
x 5 3 x 8 y x 2 2 0 4 x b) 4 x 2 8 x 12 0 4 x 2 2 x 12 1 4 12 0 2
2 4 x 12 16 0 4 x 1 16 x 1
16 4
2
x 1 2 4 x 1 4 x 1 2 x 2 1 x 3 y x 1
Solución por fórmula general Para solucionar una ecuación cuadrática completa de la forma ax2 bx c 0 , se aplica la siguiente fórmula general: W I L S O N VE L Á S Q U E Z y L É I D E R S A L C E D O
- E c u a c i o n es e i n e c u a c i o n e s
Página 86
x
b b 2 4ac
2a
Ejemplo No. 68 Resuelva las siguientes ecuaciones cuadráticas por fórmula general: a. x 2 4 x 5 0 b. 4 x 2 28 x 48 0
Solución: a. Para este caso tenemos que a 1, b 4 y c 5 , por lo tanto: x
4
42 41 5 4 21
16 20 2
4 36 2
46 2
x 2 y x 5
b. Para este caso tenemos que a 4 , b 28 y c 48 , por lo tanto:
28 x
2
28 4 4 48
24
28 78 784 4 76 768 8
28 16
8
28 4
8
8
x 3 y x 4
Solución gráfica Gráficamente, la solución de una ecuación cuadrática representa los cortes, si los hay, de la parábola con el eje x
Ejemplo No. 69
x 3
x 2
x 2
x 3
x 1
x 0
Ecuación Parábola Soluciones (cortes)
2 x 6 x 0 2
y 2 x 6 x 2
x 0 y x 3
Ecuación Parábola Soluciones (cortes)
W I L S O N VE L Á S Q U E Z y L É I D E R S A L C E D O
4 x 16 0 2
y 4 x 16 2
x 2 y x 2
Ecuación Parábola Soluciones (cortes)
- E c u a c i o n es e i n e c u a c i o n e s
4 x 8 x 12 0 2
y 4 x 2 8x 12
x 3 y x 1
Página 87
ACTIVIDAD No. 26 1. Resuelva las siguientes ecuaciones cuadráticas incompletas: a. x 2 25 0 b. 4 x 2 64 0
2
c. 4 x 2 2 x 0 d. 12 x 60 x 2. Resuelva las siguientes ecuaciones cuadráticas empleando factorización: a. b. c. d.
x 10 x 25 0 2 4 x 20 x 25 0 30 x 25 9x 2 5 x 2 17 x 6 2
3. Resuelva las siguientes ecuaciones cuadráticas completando com pletando cuadrado: a. x 2 6 x 10 0 2
b. c. d. 9 x 2 9 x 4 0
3 x 6 x 4 0 2 x 2 4 x 16 0
4. Resuelva las siguientes ecuaciones cuadráticas empleando formula general: a. b. c. d.
2 2 x 6 x 1 0
2 x 4 x 1 2
6 x x 12 0 2 x 5 x 0 2
4.2.3 Ecuaciones que se pueden reducir a ecuaciones cuadráticas Existen dos tipos de ecuaciones que aparentemente, no son ecuaciones cuadráticas. Dichas ecuaciones son las ecuaciones con radicales y las ecuaciones bicuadráticas.
Ecuaciones con radicales Una ecuación con radical es aquella ecuación que tiene una variable en un radicando.
Ejemplo No. 70 Resuelva las siguientes ecuaciones con radicales: a. b.
x 1 5 x 2 x 3 x 1 1
W I L S O N VE L Á S Q U E Z y L É I D E R S A L C E D O
- E c u a c i o n es e i n e c u a c i o n e s
Página 88
Solución: a.
x 1 5 x x 1 x 5
x 1 x 5 2
2
x 1 x
2
10x 25
3 0 x 2 10 x x 25 1 0 x 2 11 x 24 0 x 8 x x 8 0 o x 3 0 x 8 o x 3
b.
2 x 3 x 1 1 2 x 3 x 1 1
2 x 3
x 1
2
2 x 3
2
2
x 1 1
2 x 1 1 2 x 3 x 1 2 x 1 1
2 x 3 x 2 2 x 1 2 x x 3 2 2 x 1
2
x 1 2 x 1 x 1 2 x 1
2
x 2 x 1 4x 1 x 2 x 1 4x 4 2
2
ç
x 2 2 x 4x 1 4 0 x 2 2 x 3 0
1 0 x 3 0 o x 1 0 x 3 o x 1 x 3 x
Ecuaciones bicuadráticas Una ecuación bicuadrática es una ecuación de la forma ax4 bx 2 c 0 . Para solucionar una ecuación bicuadrática, se convierte dicha ecuación en una ecuación cuadrática (de segundo grado). Para tal efecto se hacen las siguientes sustituciones: u x
2
2 4 u x
Las cuales al ser reemplazadas en la ecuación original se obtiene: 2 au bu c 0
Como al resolver la ecuación cuadrática anterior se obtienen dos valores para u , luego al hacer u x 2 , se obtendrán dos nuevos valores.
Ejemplo No. 71 Resuelva las siguientes ecuaciones bicuadráticas: a. x 4 5 x 2 4 0 2 x 18 0 b. 2 x 4 20
Solución: a. Al realizar la sustitución u x 2 y u 2 x 4 , nos queda que: W I L S O N VE L Á S Q U E Z y L É I D E R S A L C E D O
- E c u a c i o n es e i n e c u a c i o n e s
Página 89
2 1 0 u 4 0 o u 1 0 u 4 o u 1 u 5 u 4 0 u 4 u
Para u 4 tenemos que x 2 4 x 2 4 x 2 Para u 1 tenemos que x 2 1 x 2 1 x 1 b. Al realizar la sustitución u x 2 y u 2 x 4 , nos queda que: 2u 20 u 18 0 2
2 2
2u
2
20 u 18 0
1 2
4u
2
1
1
2
2
40 u 36 0
2 u 2 20 2u 36 0 2u 18 2u 2 0
2 2 2u 18 u 0 2u 18 u 1 0 2 2
2u 18 0 o u 1 0 u 9 o u 1
Para u 9 tenemos que x 2 9 x 2 9 x 3 2
2
Para u tenemos que x 1
1
x 1 x 1
ACTIVIDAD No. 27 1. Resuelva las siguientes ecuaciones con radicales: a. x 2 3 x b. 1 x 5 2 x 0 c. 3 x 14 3x 5 9 d. 2 x 8 2 x 5 8x 25 2. Resuelva las siguientes ecuaciones bicuadráticas: a. b. c. d.
x 3 x 36 0 4 2 x 3 x 4 0 2 x 4 9 x 2 16 0 4 2 2 x x 5 0 4
2
ACTIVIDAD No. 28 Resuelva cada uno de los siguientes problemas: 369 9 , halle los números. a. Dos números reales se diferencian en 3 unidades. Si la suma de sus cuadrados es 36 b. Claudia Marcela es 4 años mayor que Paola Andrea. Si dentro de 4 años el producto de sus edades es 25 252 2,
determine las edades actuales. W I L S O N VE L Á S Q U E Z y L É I D E R S A L C E D O
- E c u a c i o n es e i n e c u a c i o n e s
Página 90
c. Ricardo tiene 3 años más que Diego y el cuadrado de la edad de Ricardo disminuido en el cuadrado de la edad de Diego es equivalente a 12 129 9 años. Halle la edad de ambos. d. Halle las dimensiones del triángulo triángu lo de la figura, si se sabe s abe que su área es de 250 m2 .
x
x 5
e. Si se restan 2 cm al lado de un cuadrado, el área del cuadrado resultante es igual a 25 cm2 ¿Cuánto mide el lado del cuadrado restante? f. Andrea compró cierto número de libros $180000 . Si hubiera comprado 6 libros menos por el mismo dinero, cada libro le habría costado $1000 más ¿Cuántos libros compró y cuánto le costó cada uno? g. Cierto número de dulces costaron $3600 . Si cada dulce costara $20 menos, habría comprado 6 dulces más. Halle la ecuación que corresponde al problema y resuélvala.
ACTIVIDAD No. 29 1. Resuelva cada una de las siguientes ecuaciones lineales: a.
5 3 x 4
b. 2 x
7 4 x
5 3 x 5
2
3
4
3 x
5 3 5x 6
5a 4b 2 x c. a 2 x 4ab abx x
d.
e. f.
1
3
3
2 x 1 x x 1 x 1 2 1 3 1 4 x x 1 1 x x 1 1 x x 1 1 x 1 x 1
x
2. Resuelva cada una de las siguientes ecuaciones cuadráticas: 3 x
1
a. x 2 4 x 2 2 W I L S O N VE L Á S Q U E Z y L É I D E R S A L C E D O
- E c u a c i o n es e i n e c u a c i o n e s
Página 91
b. c. d.
1 2 x
x 2 x 5
x 1
2
2 x 4 3 x 6 80 1 x 8
x 3 x 2 9 x 1 x 1
2
3 x
1
2 2 2 2 x x 2 a x a 0 e. a 2 f. px2 p 2 x x p
x 1
x 1
4.3 ECUACIONES LOGARÍTMICAS Una ecuación logarítmica es aquella en la cual la incógnita se encuentra como argumento de un logaritmo.
Ejemplo No. 72 Resuelva las siguientes ecuaciones logarítmicas: x 3 1 a. Logx Log b. Ln2 Ln11 x 2 2 Ln5 x
Solución: 2 Log x 1 Log x x 3 1 Log x 3 x 1 10 x 3 a. Logx Log
2
3 x
101
x 2 3 x 10 x 2 x 10 0 x 5 x 2 x 5 0 o x 2 0 x 5 o x 2 b. Ln2 Ln11 x 2 2 Ln5 x Ln211 x 2 Ln 5 x2
e Ln211 x e Ln5 x
2
2
2
2
x 5 x 22 2 x 2 25 10 x x 2 2 11
3 x 2 10 x3 0
Al aplicar fórmula general para resolver la ecuación cuadrática anterior, tenemos que: x
x
b b 2 4ac 2a
10
102 433 10 23
10 100 0 36
6
W I L S O N VE L Á S Q U E Z y L É I D E R S A L C E D O
10 64 6
10 8 6
x 3 o x
- E c u a c i o n es e i n e c u a c i o n e s
1 3
Página 92
ACTIVIDAD No. 30 Resuelva cada una de las siguientes ecuaciones logarítmicas: 10 100 0x 3 a. Log x 9 Log
b.
Ln x 2 4 Ln x 2 Ln 1
10 x 9 2 c. Logx Log 1 10 d. Ln Lnx x2 Ln3 2x 0
e. Log 2 x 1 Log 2 5 x 3 2 Log 2 3x 5 f.
Ln4 x Ln x 3 Ln x 2
g. Log 5 x 27 Log 5 8 3 Log 5 3x 11 h. Ln Lnx 1
4.4 INECUACIONES
Se dice que una cantidad a es mayor que otra cantidad b cuando la diferencia a b es positiva. Es decir a b 0
Se dice que una cantidad a es menor que otra cantidad b cuando la diferencia a b es negativa. Es decir a b 0
4.4.1 Desigualdad Una desigualdad es una expresión que indica que una cantidad es mayor (mayor o igual) o menor (menor o igual) que otra. Los signos de desigualdad son:
Signo
Significado
Menor. Menor o igual. Mayor. Mayor o igual.
Miembros Se llama primer miembro de una desigualdad a la expresión que está a la izquierda y segundo miembro a la que está a la derecha del signo de desigualdad. des igualdad. De esta manera en la desigualdad: a b c d
El primer miembro es a b y el segundo miembro es c d W I L S O N VE L Á S Q U E Z y L É I D E R S A L C E D O
- E c u a c i o n es e i n e c u a c i o n e s
Página 93
Propiedades de las desigualdades Propiedad Si a b , entonces:
a c b c
ac bc
1. Si a los dos miembros de una desigualdad se suma o a c b c resta una misma cantidad, el signo de la desigualdad no Si a b , entonces: cambia. a c b c a c b c Si a b y c 0 entonces:
a
b
2. Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican c c o dividen por una misma cantidad positiva, el signo de la Si a b y c 0 entonces: desigualdad no cambia.
ac bc a c
b c
Si a b y c 0 entonces:
ac bc a
b
3. Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican c c o dividen por una misma cantidad negativa, el signo de Si a b y c 0 entonces: la desigualdad cambia. ac bc
4. Si se invierten los dos miembros de una desigualdad, el signo de la desigualdad cambia. 5. Si los dos miembros de una desigualdad son positivos y se elevan a una misma potencia positiva, el signo de la desigualdad no cambia.
W I L S O N VE L Á S Q U E Z y L É I D E R S A L C E D O
a b c c
1 Si a b entonces
Si a b entonces
a
1 a
1 b
1 b
Sea a 0 , b 0 y n 0
Si a b entonces a n b n
Si a b entonces a n b n
- E c u a c i o n es e i n e c u a c i o n e s
Página 94
6. Si los dos miembros de una desigualdad o uno de ellos es negativo y se elevan a una misma potencia impar positiva, el signo de la desigualdad no cambia. 7. Si los dos miembros de una desigualdad son negativos y se elevan a una misma potencia par positiva, el signo de la desigualdad cambia. 8. Si los dos miembros de una desigualdad son positivos y se les extrae una misma raíz, el signo de la desigualdad no cambia.
Sea a 0 o b 0 y n 0 impar.
Si a b entonces a n b n
Si a b entonces a n b n
Sea a 0 , b 0 y n 0 par. Si a b entonces a n b n n n Si a b entonces a b
Sea a 0 y b 0
Si a b entonces
n
a n b
Si a b entonces
n
a n b
4.4.2 Intervalos Un intervalo abierto a , b es el conjunto de todos los números reales x mayores que a y menores que b . Es decir: a, b x R : a x b
a
b
x
a
b
x
Un intervalo abierto-cerrado a, b es el conjunto de todos los números reales x mayores que a y menores o iguales que b . Es decir:
a, b x R : a x b
x
Un intervalo cerrado-abierto a, b es el conjunto de todos los números reales x mayores o iguales que a y menores que b . Es decir: R : a x b a, b x
b
Un intervalo cerrado a, b es el conjunto de todos los números reales x mayores o iguales que a y menores o iguales que b . Es decir:
a, b x R : a x b
a
a
b
x
Un intervalo a, es el conjunto de todos los números reales x mayores que a . Es decir:
a, x R : a x
a
W I L S O N VE L Á S Q U E Z y L É I D E R S A L C E D O
x
- E c u a c i o n es e i n e c u a c i o n e s
Página 95
Un intervalo a, es el conjunto de todos los números reales x mayores o iguales que a . Es decir:
a, x R : a x
x
a
Un intervalo , b es el conjunto de todos los números reales x menores que b . Es decir:
, b x R : x b
b
x
Un intervalo , b es el conjunto de todos los números reales x menores o iguales que b . Es decir:
, b x R : x b b
x
4.4.3 Inecuación Una inecuación es una desigualdad en la que hay una o más cantidades desconocidas (incógnitas) y que solo se verifica para determinados valores de las incógnitas.
Solución de una inecuación Resolver una inecuación es hallar los valores de las incógnitas que satisfacen la inecuación. En una inecuación con una incógnita, cualquier número real que esté contenido en el dominio de las incógnitas, y que al sustituirse por la incógnita en la inecuación hace que la desigualdad correspondiente se cumpla, es una solución de la inecuación. Ejemplo No. 73 En x 2 3 , si x se reemplaza por 5 , la desigualdad se cumple. Es decir, se tiene que 5 2 3 , por lo que 5 es una solución de la inecuación x 2 3
ACTIVIDAD No. 31 Para cada una de las siguientes inecuaciones escriba tres soluciones: a. x 3 6 b.
1
x
7
c.
x 3 x
d.
7 x 0
2
Conjunto solución de una inecuación Dada una inecuación de una incógnita, el subconjunto
S del
dominio de la incógnita, cuyos elementos son las
soluciones de la inecuación dada, recibe el nombre de conjunto solución. W I L S O N VE L Á S Q U E Z y L É I D E R S A L C E D O
- E c u a c i o n es e i n e c u a c i o n e s
Página 96
Ejemplo No. 74 En la inecuación x 2 3 , el dominio de la incógnita es el conjunto de los números reales R y se puede demostrar que esta desigualdad se cumple únicamente para los valores de x mayores que 1 , por lo que su conjunto solución es: Intervalo solución. S x R : x 1 Conjunto solución.
S 1,
La gráfica del intervalo solución es:
4.4.4 Inecuaciones lineales con una incógnita Sean a , b y c constantes reales con a a 0 . Se llama inecuación lineal o inecuación de primer grado con una incógnita a toda inecuación inec uación que se pueda llevar a alguna de las siguientes s iguientes formas:
ax b c ax b c ax b c ax b c
Para resolver algunas inecuaciones lineales se emplea el concepto de inecuaciones equivalentes. Para esto se transforma la inecuación dada en otras equivalentes a la original, hasta obtener una inecuación de alguna de las siguientes formas:
x c x c x c x c
Donde x es la incógnita y c es una constante. Las propiedades citadas anteriormente se pueden aplicar para obtener inecuaciones equivalentes. Además de las propiedades enunciadas anteriormente, se pueden aplicar propiedades y algoritmos de la adición y de la multiplicación definidos en el conjunto de los números reales R (conmutatividad, asociatividad, distributividad, etc.)
Ejemplo No. 75 Resuelva cada una de las siguientes inecuaciones:
a.
x
7
12
W I L S O N VE L Á S Q U E Z y L É I D E R S A L C E D O
- E c u a c i o n es e i n e c u a c i o n e s
Página 97
b. 3 x 2 11
Solución: a. x 7 12 x 7 7 12 7 5
Por lo tanto:
x
Intervalo solución: S ,5 Conjunto solución: S x R : x 5 La gráfica del intervalo solución es:
b. 3 x 2 11 3 x 2 2 11 2 3 x 9
3 9 x 3 3
x 3
Por lo tanto: Intervalo solución: S ,3 Conjunto solución: S x R : x 3 La gráfica del intervalo solución es:
ACTIVIDAD No. 32 Resuelva cada una de las siguientes inecuaciones lineales: a. 2 x 3 5 x
b. 3 2 3
c. 5 x 3 8x 2 5x 8 d. 2 4 x W I L S O N VE L Á S Q U E Z y L É I D E R S A L C E D O
- E c u a c i o n es e i n e c u a c i o n e s
Página 98
x
2
4
3
e. 2
x 7
f. x 1 x 2 x 2 3 g.
1 3x 2 x 3 x
h.
x 3
1
4
x
2
4.4.5 Inecuaciones en las que un miembro puede expresarse como un producto y el otro miembro es cero Las inecuaciones de este tipo se resuelven aplicando la ley de signos de la multiplicación definida en el conjunto de los números reales, de acuerdo con las siguientes propiedades: Sean a R y
b R , entonces:
a 0 b 0 a 0 b 0 Si a b 0 a 0 b 0 a 0 b 0
Si
ab 0
Ejemplo No. 76 Resuelva la siguiente inecuación x 3 x 2 0
Solución: Tenemos que:
x 3 x 2 0 x 3 0 x 2 0 x 3 0 x 2 0 x 3 0 x 2 0 x 3 0 x 2 0 x 3 x 2 x 3 x 2
Pero: ,2 3,2 x 3 x 2 3, x 3 x 2 ,3 2,
Por lo tanto: x 3 x 2 x 3 x 2 3,2 3,2 De esta manera: Intervalo solución: S 3,2 Conjunto solución: S x R : 3 x 2 W I L S O N VE L Á S Q U E Z y L É I D E R S A L C E D O
- E c u a c i o n es e i n e c u a c i o n e s
Página 99
La gráfica del intervalo solución es:
ACTIVIDAD No. 33 Resuelva cada una de las siguientes inecuaciones: a. x 4 3x 2 0 b. 3 x 3 2 x 1 0 c. 2 x 5 x 1 0 d. x 2 x 3 0
4.4.6 Inecuaciones cuadráticas Sean , b y constantes reales tales que a 0 . Sea una variable real. Llamaremos inecuación cuadrática c a x a toda inecuación en la que uno de sus miembros se puede llevar a una expresión de la forma ax2 bx c y el otro miembro es cero. 2
Consideremos el caso en el cual la expresión ax bx c es factorizable. Para resolver estas inecuaciones se debe factorizar la expresión ax2 bx c , para posteriormente aplicar el procedimiento usado para resolver las inecuaciones en el ejemplo anterior.
Ejemplo No. 77 Resuelva la siguiente inecuación x 2 x 2 0
Solución: Tenemos que
x x 2 x 2x 1 2
Por lo tanto:
x 2 x 1 0 x 2 0 x 1 0 x 2 0 x 1 0 x 2 0 x 1 0 x 2 0 x 1 0 2 x 1 x 2 x 1 x
,2 ,1 2 , 1, ,2 1, W I L S O N VE L Á S Q U E Z y L É I D E R S A L C E D O
- E c u a c i o n es e i n e c u a c i o n e s
Página 100
De esta manera: Intervalo solución: S , 2 1, Conjunto solución: S x R : x 2 o x 1 La gráfica del intervalo solución es:
ACTIVIDAD No. 34 Resuelva cada una de las siguientes inecuaciones: a. x 2 2 x 35 0 b. 3 x 2 x 2 0 c. x 2 4 x 0 d. x 2 9 0 e. f. g. h.
2 x 2 x 6 0
2 x 2 3x 2 0 18 x 2 x 0
7 x
2
2
0
0
2 x 3
i.
3 x 1
1
j.
4 x 3 2x 1 x
k.
0
0
2 x 5
AUTOEVALUACIÓN No. 4 Preguntas de selección múltiple con única respuesta: Las preguntas de este tipo constan de un enunciado y de cuatro posibilidades de respuesta, entre las cuales se debe escoger la correcta. 1. La solución de la ecuación lineal x 1 2 x 4 es: A. x 4 B. x 3 C. x 3
D. x
4
W I L S O N VE L Á S Q U E Z y L É I D E R S A L C E D O
- E c u a c i o n es e i n e c u a c i o n e s
Página 101
2. La solución de la ecuación lineal a
A. x
ab 1
ax bx a
es:
B. x b
a
C. x a b D. x b
3. La solución de la ecuación x x 1 x 2 es: A. B. C. D.
x 1 x 0 x 0.5 x 1
4. La solución de la ecuación
1
x
1 2
1 3
es:
1 x A. 2 B. x 6 1 C. x 6 D. x 2
5. La solución de la ecuación
2 x 1 5 es:
A. x 5 B. x 13 C. x 3 D. x 12
6. La solución de la ecuación A. B. C. D.
4 x 12 x 4 es:
x 5 x 0 x 3 x 3
7. La suma de un número entero x con su recíproco es A. 2 y
1 2
5 2
. Los números son:
W I L S O N VE L Á S Q U E Z y L É I D E R S A L C E D O
- E c u a c i o n es e i n e c u a c i o n e s
Página 102
B.
3
y
1
C. 2 y
1
D.
2
5 2
2 2
y
5
8. La ecuación cuadrática que tiene por soluciones x 4 y A. B. C. D.
2
x 2 x x 2 2 x
7 x 12 0 7 x 7 0 7 x 12 0 7 x 12 0
x 3 es:
9. La solución de la ecuación cuadrática x 2 6 x 5 0 es: A. x 1 y x 5 B. x 1 y x 5 C. x 1 y x 5
D. x 1 y x 5
10. La solución de la ecuación cuadrática 3m 2 6m 24 0 es: A. B. C. D.
m 4 y m 4 y m 4 y m 4 y
m 2 m 2 m 2 m 2
11. La solución de la ecuación 42 x 12 162x 1 15 0 es: A.
x
B.
x
1 4
3
y x 4
1 y x 3 4 4 3 1
C. x y 4 1
x
4
3
D. x y x 4
4
12. La solución de la ecuación A. p
25
2 p p 10 0 es:
y p 4
5 25
B. p 5 y p 4 W I L S O N VE L Á S Q U E Z y L É I D E R S A L C E D O
- E c u a c i o n es e i n e c u a c i o n e s
Página 103
C. p
25
y p 4
5 25
D. p
5
y p 4
3 Log g 2 x 1 4 es: 13. La solución de la ecuación logarítmica Lo
A. B. C. D.
x 1 23 2 x 2 2 x 1 23 2 x 2 2
14. La solución de la ecuación logarítmica Log 3 x 2 Log 9 Log x 5 es: A.
x
1
3 B. x 0 C. x 1
D. x 1 2
15. El valor de x en la ecuación 5 1 10 es: 1 Log g 2 A. x Lo Log Lo g 10 1 B. x Log Lo g 5 x
C. x 3 g 5 1 Log g 10 Lo Log D. x Lo
16. La solución de la ecuación A. B. C. D.
x 2 5 x
2
64 es:
x 6
x 6 y x 1 x 3 y x 2 6 x 2
17. La solución de la desigualdad x 1 2 x 4 es: A. B. C. D.
x 3 x 3 x 3 x 3
W I L S O N VE L Á S Q U E Z y L É I D E R S A L C E D O
- E c u a c i o n es e i n e c u a c i o n e s
Página 104
18. El conjunto representado en la figura es la solución de la inecuación: A. B. C. D.
x 4 2 x 2 x 4 2 x 2 0
100 0 metros de recorrido. La 19. Un taxi inicia un recorrido con un valor de $2200 y cobra $45 por cada 10 cantidad de metros que se deben recorrer como máximo para que el costo de una carrera no supere $4000 es:
A. B. C. D.
40
4000 4500 8888
20. La solución de la desigualdad x 2 x 12 0 es: A. x 4 o x 3 B. x 4 y x 3 C. x 4 o x 3 D. x 4 y x 3
W I L S O N VE L Á S Q U E Z y L É I D E R S A L C E D O
- E c u a c i o n es e i n e c u a c i o n e s
Página 105
View more...
Comments
