Unidad 3

INSTITUTO TECNOLOGICO DE TIJUANA UNIDAD III Funciones vectoriales de una variable real

Equipo: 6 Alumnos: Apodaca Martínez Rut Nohemí -16212679 De la Cruz Frayre Leslie-16212281 Guzmán Pacheco Alan - 16212165 López Arroyo Naomi - 17210691 Roldan Villegas Itzel Yareli - 17210821 Ruvalcaba García Lidia Berenice – 17210822

Calculo vectorial Dr. Marisela Castillo López Carreras de los integrantes Ingeniería ambiental, nanotecnología y química

FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL

13.1 1-2 DETERMINE EL DOMINIO DE LA FUNCIÓN VECTORIAL 1. r(t) = 〈√ 4 - t 2, e-3t, ln (t + 1) 〉 f(t)= √ 4−t 2

g(t)= e-3t       

h(t)= ln(t+1)

4-t2                                                              

       (t+1) >0

4-t2≤0                                                                       t > -1 4 ≤t2                             2 ≤ t                                                     

  Dominio (-1, 2]

-2 ≤t ≤ 2 2. r(t) =

t -2 i + sen t j + ln (9 – t2) k t +2

t diferente de -2 9 - t2 〉 0 -3 〈t 〈 3 Dominio: (-3, -2) u (-2,3) 3-6 DETERMINE EL LIMITE 〈 cos t , sen t , t ln t 〉 3. tlim →0 +

cos 0 =1 sen 0 = 0 lim . ln t / (t/1) lim . (1/t) / (-1/t2) lim . -t = 0

FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL

4. lim 〈 t →0

e t - 1 √1 + t 3 , , 〉 t t 1+ t

5. lim ( e

-3 t

t →0

i +

t2 j + cos 2 t k ) sen 2 t

t2 2 t →0 sen t 1 1 lim 1 t →0 t 2 , lim ¿ ¿ ¿ , 2 = 1 1 sen 2 t t →0 lim

-2t 6. lim 〈 arctan t , e , t →∞

ln t π 〉 = 〈 , 0, 0〉 t 2

lim arctan t = π t →∞ 2 lim e-2t = 0 t →∞

1 ln t 1 lim lim , aplicando l'hôpital= t →∞ x = lim =0 t →∞ x t →∞ t 1

FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL

7-14 GRAFIQUE LA CURVA CON LA ECUACION VECTORIAL DADA 7. r(t) = 〈sen t, t〉

8. r(t) = 〈t3, t2〉

9. r(t) = 〈t, cos 2t, sen 2t〉

FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL

10. r(t) = 〈1 + t, 3t, -t〉

11. r(t) = 〈1, cos t, 2 sen t〉

12. r(t) = t2i + tj + 2k

FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL

13. r(t) = t2i + t4j + t6k

14. r(t) = cos ti - cos tj + sen t k

15-18 DETERMINE UNA ECUACION VECTORIAL Y ECUACIONES PARAMETRICAS PARA EL SEGMENTO RECTILINEO QUE UNE P y Q

FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL

15. P (0, 0, 0), Q (1, 2, 3) Si r0 = ‹0, 0, 0› y r1 = ‹1, 2, 3› Entonces r(t) = (1 - t) r0 + tr1 r(t) = (1 - t) (0, 0, 0) + t (1, 2, 3) r(t) = ‹t, 2t, 3t› Ecuaciones paramétricas x=t y = 2t z = 3t

16. P (1, 0, 1), Q (2, 3, 1) Si r0 = ‹1, 0, 1› y r1 = ‹2, 3, 1› Entonces r(t) = (1 - t) r0 + tr1 r(t) = (1 - t) (1, 0, 1) + t (2, 3, 1) r(t) = (1 + t, 0, 1 – 1t) + (2t, 3t, 1t) r(t) = ‹1 + 3t, 0, 1› Ecuaciones paramétricas

x = 1 + 3t y=0 z=1

17. P (1, -1, 2), Q (4, 1, 7) Si r0 = ‹1, -1, 2 › y r1 = ‹4, 1, 7› Entonces r(t) = (1 - t) r0 + tr1 r(t) = (1 - t) (1, -1, 2) + t (4, 1, 7)

FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL

r(t) = (1 - t, -1 + t, 2 – 2t) + (4t, t, 7t) r(t) = ‹1 + 3t, -1 + 2t, 2 + 5t› Ecuaciones paramétricas x = 1 + 3t y = -1 + 2t z = 2 + 5t

18. P (-2, 4, 0), Q (6, -1, 2) Si r0 = ‹-2, 4, 0› y r1 = ‹6, -1, 2› Entonces r(t) = (1 - t) r0 + tr1 r(t) = (1 - t) (-2, 4, 0) + t (6, -1, 2) r(t) = (-2 + 2t, 4 – 4t) + (6t, -1t, 2t) r(t) = ‹-2 + 8t, 4 - 5t, 2t› Ecuaciones paramétricas x = -2 + 8t y = 4 - 5t z = 2t

13.2

FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL

3-4 a) DIBUJE UNA CURVA PLANA CON LA ECUACION VECTORIAL DADA b) ENCUENTRE r’(t) c) DIBUJE EL VECTOR DE POSICION r(t) Y EL VECTOR TANGENTE r’(t) PARA EL VALOR DADO DE t 3. r(t) = ⟨ t - 2, t 2 + 1 ⟩ , t = -1 r’(t) = r(-1)=

4. r(t) = ⟨ t 2 , t 3 ⟩, t = 1 t= 1 r’(t)= r(1)= -½

5. r(t) = sin t i + 2 cos tj, t =

π 4

FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL

r’(t)= cos t i – 2sen t j

6. r(t) = et i + e-t j, t = 0 a)

b) r‘(t) = et i – e-t j r‘(0) = i – j

7. r(t) = e2t i + e-t j, t = 0 r’(t) = 2e2ti+etj r’ (0) = 2i, j

9-16 CALCULE LA DERIVADA DE LA FUNCION VECTORIAL

FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL

9. r(t) = ⟨ t sen t , t ,2 cos 2 t ⟩ r’(t) = < t cost + sen t, 2t, -2 sen 2t >

⟨

10. r(t) = tan t, sec t,

1 t2

⟩

r’(t) = < sec t, sec t tan t, -2t > 2

-3

11. r(t) = i – j + e4t k r’(t) = 4e4t k 12. r(t) = sen-1t i + √ 1 + t 2 j + k r’(t) =

1

√1 - t

i+

2

t

√1 +

t2

2

13. r(t) = e t i – j + ln (1 + 3t) k 2

r’(t) = 2te t i +

14. r(t) = at cos 3t i – j + b sen3 t j + c cos3t k

15. r(t) = a + t b +t2 c r’(t) = 16. r(t) = t a x (b + tc) r´= ta x (b+tc)=t(axb)+ t2(axc)

3 k 1+3t

j

FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL

17-20 ENCUENTRE EL VECTOR UNITARIO TANGENTE T(t) EN EL PUNTO CON EL VALOR DADO DEL PARÁMETRO t 17. r(t) = ⟨ t e -1 , 2 arctan t , 2e t ⟩, t = 0 2 ,2 e t t +1 r’(0)= ⟨ 1 , 2 ,2 ⟩ | r’ (0) |= √ ( 1) 2 +( 2) 2 + (2)2 = √ 9 = 3

⟨

−1 r’(t) = e ,

T(0)=

⟩

2

r’ (0) ⟨ 1, 2 , 2 ⟩ 1 , 2 , 2 = = | r’ (0) | 3 3 3 3

⟨

18. r(t) = 4√ t i + t2 j + tk, t = 1 r’(t) =

2

√t

i + 2t j+ k

r’ (1) = 2 i + 2t j+ k | r’ (1) | = √ (2 )2 + (2)2 + (1)2 = √ 9 = 3 1 T (0) = 〈2, 2,1〉 3 19. r(t) = cos t i + 3tj + 2 sen 2t k, t = 0 r´(t)=-sent i + 3j + 4cos2t k r’(0)=3j+4k |r’(0)|= √ 32 + 42 =√ 25 =5 T(0) =

3j + 4k 1 = 5 5

⟩

FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL

π 4

20. r(t) = 2 sen ti + 2 cos t j + tan t k, t =

23-26 DETERMINE LAS ECUACIONES PARAMETRICAS DE LA RECTA TANGENTE A LA CURVA DE ECUACIONES PARAMETRICAS DADAS EN EL PUNTO ESPECIFICADO

23. x = 1 + 2√ t , y =t3 -t, z = t3 +t; (3, 0, 2)

24. x = et, y = tet, z = te-1; (1, 0, 0) r (t)= r’(t)= et, tet+et, 2t2e´t2>

25. x = e-t cos t, y = e-t sen t, z = e-t; (1, 0, 1) r(t)= 〈e-t cos t, e-t sen t, e-t〉 r’(t)= 〈- e-t (cos t + sen t), e-t (cos t - sen t), e-t〉 r’(0)= 〈-1, 1, -1〉 x= 1- t, y= t, z= 1-t

FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL

26. x = ln t, y =2√ t , z = t2; (0, 2, 1) La ecuación del vector es r(t) = 〈ln t, 2√ t , t2 〉 1 1 r’(t) = 〈 , , 2t〉 t √t El punto (0, 2, 1) corresponde a t = 1 1 1 Así que el vector tangente es: r’(1) = 〈 , , 2(1) 〉 = 〈1, 1, 2〉 1 √1 Así la línea tangente pasa través del punto (0, 2, 1) y es paralela al vector 〈1, 1, 2〉 Las ecuaciones paramétricas son: X=t Y=2+t Z = 1 + 2t 33-38 EVALUE LA INTEGRAL

1

33.∫ ❑ (16t3 i – 9t2j + 25t4 k) dt 0

1 3

2

4

∫ r(t)=(16t i - 9t j + 25t k)dt 0

1

1

1

3

= (∫ 16t dt)i - (∫ 9t dt)j + (∫ 25t4 dt)k 0

2

0

1

0

1 3

1

= (16∫ t dt)i - (9 ∫ t dt)j + (25∫ t 4 dt)k 0

2

0

0

1 1 1 = (16(t4/4) )i - (9(t3/3 )j + (25(t5/5) )k 0 0 0 = (16(1/4))i - (9(1/3))j + (25(1/5))k =4i-3j+5k

FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL

1

34.∫ ( 0

4 2t j+ k ) dt 2 1+ t 1 + t2

π 2

2 2 35.∫ ❑ (3 sen t cos t i + 3 sen t cos t j + 2 sen t cos t k) dt

0

2

36. ∫ ❑(t2i + t√ t−1)j + t sen πt k) dt 0

37. ∫ ❑ (eti + 2tj + ln t k) dt

(∫ et dt )i + ( 2∫ tdt )j + (∫ ln t dt )k e t i + t 2 j + x(ln (x) – 1) k

FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL

38. ∫ ❑ (cos πt i + sen πt j + t k) dt =

Sen πt cos πt t2 ij+ k π π 2

13.3 1-6 DETERMINE LA LONGITUD DE LA CURVA

1. r (t) = 〈2 sen t, 5t, 2 cos t〉, -10≤ t ≤ 10 10

∫ √(2 sent )2+(5 t)2 +(2 cost )2 dt −10 10

∫ √(2 cost)2 +(5)2 +(−2 sent )2 dt −10 10

∫ √ 4 cos2 t +25+ 4 sen 2 t d −10 10

∫ √ 4 (cos ¿ ¿ 2 t + sen2 t)+25 dt ¿ −10 10

∫ √ 4 (1)+25 dt −10 10

∫ √ 29 dt −10 10

10

∫ 5.3851dt 5.3851 ∫ dt −10

−10

10 [5.3851t ¿−10 = [5.3851(10)]-[5.3851(-10)]

L=107.70

FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL

2. r (t) =〈2t, t2,

1 3 t 〉, 0≤ t ≤ 1 3

3. r (t) =√ 2t i + et j +e-t k, 0≤ t ≤ 1

FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL

4. r (t) = cos ti + sen tj +ln cos tk, 0≤ t ≤

π 4

5. r (t) = i + t2j +t3k, 0≤ t ≤ 1 r’(t) = 2tj + 3t2k | r’ (t) | = √ (2 t ) 2 + (3 t 2 ) 2 = √ 4 t 2 + 9 t 4 = t√ 4+9 t 2 dt ; t ≥ 0 1

1

3

3

1 3 2 2 1 L= ∫ t √ 4+ 9t dt ; u=4 +9 t , du= 18t; L= ∫ √ u du= 1 2u = u = ( 4+9t 2 ¿ 2 ¿ ¿27 = 0 18 0 0 18 3 27 3 3 1 133/ 2 4 3/ 2 2 2¿ 2 2¿ = = (133 /2- 8)= 1.4397 ( 4+9 (1) ¿ ¿ 27 ( 4+9 (0) ¿ ¿ 27 27 27 27 2

(

|

2

) (

)

3

6. r (t) = 12t i + 8 t 2 j + 3t2k, 0≤ t ≤ 1 r’ (t) = 12 i + 12√ t j + 6tk | r’ (t) | = (12)2 + (12 √ t )2 + (6 t )2 = √ 144 + 144 t + 36t 2 = √ 36(4 + 4t+ t 2 )

√

| r’ (t) | = 6 √ ( t + 2 )2 ≤ 1 1

1

L = ∫ ❑| r’ (t) | dt = ∫ 6 √ ¿ ¿ ¿dt 0

0

FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL 1

L=6∫

0 t2 12 1 + t) |0 = 6( + 1) - 6( + 0) = 9 2 2 2

√ ¿ ¿ ¿= 6(

0

7-9 ENCUENTRE LA LONGITUD DE LA CURVA CORRECTA A 4 DECIMALES.

7. r (t) = 〈√ t ,t, t2〉, 0≤ t ≤ 4 4

2

∫ √( √t ) +(t)2 +(t 2 )2 dt 0 4

∫ 0

4

∫ 0

√

(

√

1 2 √t

2

) +(1)2 +(2t)2 dt

1 + 1+ 4 t 2 dt ≈ 15.3841 4t

8. r (t) =〈t, ln t, ln t〉,1≤ t ≤ 2

9. r (t) =〈sen t, cos t, tan t〉, 0≤ t ≤

π 4

FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL

17-20 a) DETERMINE LOS VECTORES UNITARIO TANGENTE Y NORMAL UNITARIO T(t) Y N(t) b) APLIQUE LA FORMULA 9 PARA CALCULAR LA CURVATURA

17. r(t) = 〈2 sen t, 5t, 2 cos t〉

18. r(t) = 〈t2, sen t - t cos t, cos t +t sen t〉, t > 0

r’(t)=⟨ 2 t , t sen t , t cos t ⟩ | r’ (t) | = √ ( 2 t ) 2 + (tsent ) 2 + (tcost ) 2 = √ 4 t 2 +t 2 sen2 t+t 2 cos 2 t = √ 4 t 2 +t 2(sen 2 t+ cos2 t) = √ 5 t2 = t√ 5 ⟨ 2 t , tsent , tcost ⟩ ⟨ 2 , sent , cost ⟩ ⟨ 0 , cost ,−sent ⟩ r’ (t) T(t)= = = , T’(t)= | r’ (t) | t √5 √5 √5 | T’ (t) | =

√(

cost 2 −sent + √5 √5

) (

2

)

2 2 1 = cos t + sen t = √5 5

√

⟨ 0 , cost ,−sent ⟩ N(t)=

√5 1 √5

19. r (t) =〈√ 2t, et, e-t 〉 r’ (t) = 〈√ 2, et, -e-t 〉

= ⟨ 0 , cost ,−sent ⟩K(t)=

1 , 5t

t= 1K(1)=

1 5

FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL

| r’ (t) | = √ ( √ 2) 2 + (e t ) 2 + (-e -t ) 2 = √ 2 + et + e-t Entonces T(t)=

1 r’ (t) = 〈 2, e 2t , - e -t 〉 | r’ (t) | √ 2 + et + e -t √

1 20. r (t) =〈t, t2, t 2〉 2 T(t)=

1 , t , 2t

√ 5 t 2+ 1

21-23 APLIQUE EL TEOREMA 10 PARA CALCULAR LA CURVATURA

21. r (t) = t2 i + t k

22. r (t) = t i + t j + (1 + t2) k r’ (t) = i + j +2tk r’’(t) = 2k I r’ (t) I = 4t +2 I r’ (t) x r’’ (t) I = 2 2 2

k(t) =

1 (2 T +1)3 /2❑ 2

23. r (t) = 3 t i + 4 sen t j + 4 cos t k r’ (t) = 3i + 4 cos tj  - a sen tk r’’(t) = -4 sen tj - 4 cos tk

24. CALCULE LA CURVATURA DE r(t) = 〈et cos t, et sen t, t〉, EN EL PUNTO (1, 0, 0)

FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL

r(t)= 〈e t cost ,e t sent , t〉, (1,0,0) r’(t)= 〈e t cost - e t sent ,e t sent + et cost , 1〉 r’(0)= 〈1,1, 1〉 |r ’ (0)| =√ 12+ 12+12 = √ 3 r’’(t)= 〈−2 e t sent ,2 e t cost , 0〉 r’’(0)= 〈0, 2, 0〉 r’(0) x r’’(0)= 〈-2,0 , 2〉

|r ’ (0) x r ’ ’( 0)| = √ (−2)2 +(2)2 = √ 4 +4 = √ 8 | r ‘(0) x r ‘’(0) | √8 = 8 = 8 = 3 | r ‘(0 ) | ( √ 3 )3 27 33

√ √

25. CALCULE LA CURVATURA DE r(t) = 〈 t, t2, t3〉, EN EL PUNTO (1, 1, 1) r’(t) = 〈1,2t, 3t2〉 El punto (1, 1, 1) corresponde a t = 1

r‘(1) = 〈1,2 3〉 | r’ (1) |= √ 12 + 22 + 32 =√ 14 r‘’(t) = 〈0, 2, 6t〉 r‘(1) = 〈1,2 3〉 r‘(1) x r‘’(1) = 〈6, -6, 2〉 | r‘(1) x r‘’(1) |= √ 62 + 62 + 22 = √ 76 | r ‘(1) x r ‘’(1) | √76 = 1 19 = 3 | r ‘(1) | ( √ 14 )3 7 14

√

26. GRAFIQUE LA CURVA DE ECUACIONES PARAMETRICAS 3

x = t y = 4 t 2 z = -t2 Y CALCULE LA CURVATURA EN EL PUNTO (1, 4, -1)

r’(t)=

FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL

r’’(t)= |r´(t)|3=(1+36t+4t2)3/2 r´(t) x r´´(t) = |r´(t) x r´´(t)| =[(36t+4+9t)/t]1/4 K(t)=[(36t+4+9)/t]1/2/(1+36t+4t2)3/2 K(1)=7/(41)3/2 27-29 MEDIANTE LA FORMULA 11 DETERMINE LA CURVATURA 27. y = 2x -x2 Y´= 2 -2x Y´´ = -2 K = 4

43-44 CALCULE LOS VECTORES T, N y B EN EL PUNTO DADO

43. r (t) = 〈t 2,

2 3 2 t , t〉, (1, ,1) 3 3

t=1 r’(t)= 〈2t, 2t 2, 1〉

|r ’ (t)|=√(2 t)2 +( 2t 2)2 +(1)2 = √ 4 t 2 +4 t 4 + 1 〈 2 t , 2t 2 ,1 〉 2 2 1 , T’(1)= 〈 , , 〉 2 4 3 3 3 √ 4 t + 4 t +1 −1 2 −2 〈 1−2 t 2 , 2 t ,−2t 〉 N(t)= , N(1)= 〈 , , 〉 2 3 3 3 (1+2t ) 2 1 2 B(1)= 〈- , , 〉 3 3 3 T(t)=

44. r(t) = 〈 cos t, sen t, ln cos t〉, (1, 0, 0) r’(t) = 〈- sen t, cos t , - tan t 〉

T(t) =

〈 - sen t, cos t , - tan t 〉 〈 - sen t , cos t, - tan t 〉 r’ (t) = 2 2 2 = | r’ (t) | √sen t + cos t + tan t √ tan2 t + 1

FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL

T(t) = 〈

- sen t

√

2

tan t + 1

,

cos t

√

2

tan t + 1

T(0) = 〈

- sen t cos t - tan t , , 〉 1 1 1

T’(t) = 〈

- sen t cos t - tan t , , 〉 sec t sec t sec t

,

- tan t

√

tan 2 t + 1

〉

| T’(t) |= 〈 - cos t, -sen t, sec2 t〉 1 T' ( t ) - sen t cos t - tan t N(t) = = , , 〉 sen2 t c os 2 t tan 2 t 〈 | T’ ( t ) | 〈 , , 〉 sec t sec t sec t 2 2 2 sec t sec t sec t

√

N(0) = 〈 0, 1 , 0 〉

45. x = 2 sen 3t, y = t, z = 2 cos 3t; (0, π, -2)

¿ ¿ T(r)=¿ 6 cos 3 t ,1 ,−6 sen 3 t> √ 37 T(π)=

1 ¿ √ 37

N(t)= N(π)= B(π)=

1 √ 37

46. x = t, y = t2, z = t3; (1,1,1) T= 1 2𝑡 3𝑡 2 √14 = 1 √14 𝐼 + 2𝑡 √14 𝐽 + 3𝑡 2 √14 K

13.4 3 CALCULE LA VELOCIDAD, ACELERACION Y RAPIDEZ DE UNA PARTICULA CON LA FUNCION DE POSICION DADA. GRAFIQUE LA TRAYECTORIA DE LA PARTICULA Y DIBUJE LOS VECTORES DE VELOCIDAD Y ACELERACION PARA EL VECTOR ESPECIFICADO DE t

FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL

3. r(t) = 〈-

1 2 t , t〉, t = 2 2

v(t)= = a(t)= 2

∥ v ( t ) ∥=√ (−2 ) + ( 1 ) =√ 5

9-14 CALCULE LA VELOCIDAD, ACELERACION Y RAPIDEZ DE UNA PARTICULA CON LA FUNCION DE POSICION DADA.

9. r(t) = 〈t2 +1, t3, t2 - 1〉 v(t) = r’(t) = 〈2t, 3t2, 2t〉 a(t) = v’(t) = 〈2, 6t, 2〉 | v (t) |=√ ( 2t)2 + ( 3 t 2 ) 2 + (2t)2 = √ 4t 2

+ 9 t 4 + 4t2

10. r(t) = 〈2 cos t, 3t, 2 sen t〉 v(t) = r’(t) = 〈- 2 sen t, 3, 2 cos t〉 a(t) = v’(t) = 〈 -2 cos t, 0, -2 sen t〉 | v(t) |=√ ( - 2 sen t ) 2 + (3)2 + (2 cos t ) 2 = √ ( 4 sen 2 t ) + 9 + (4 cos 2 t ¿ ¿ 11. r(t) = √ 2 t i + et j + e-t k v(t) = r’(t) = √ 2+e2t-e-2t a(t) = v’(t) = 0+et+e-t | v(t) |=√ ( √ 2 )2 +(e t ) 2 + (-e-t )2 = √ 2 + e 2t + e -2t 12. r(t) = t2 i + ln t j + t k 13. r(t) = et (cos t i + sen t j + t k) V(t) = < et cos(t)-etsen(t),etsen(t)+cos(t)et,et> a(t)=

FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL 2 2 2 2t ∥ v ( t ) ∥= ( e t cos ( t )−e t sen (t ) ) + ( et sen ( t )+ cos ( t ) e t ) + ( et ) =√ 3 e

√