Unidad 3 Vibración Libre Con Amortiguamiento

May 22, 2020 | Author: Anonymous | Category: Raíz cuadrada, Ecuaciones, Análisis complejo, Verdad lógica, Fuerza
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Unidad 3 Vibración libre con amortiguamiento



e

m

x

 ´ + kx =0 … (1 ) m x´ + e x

La solución de la ecuación número (1) no puede obtenerse tan fácil como la ecuación para vibración simple sin amortiguamiento pero podemos hacer una consideración de la siguiente función:

 x =e st  En donde s es igual a una constante y t igual a tiempo. erivando esta función con respecto al tiempo! y sustituyendo su valor en la ecuación (1) tenemos lo siguiente:

 ´ + kx =0 …(1 ) m x´ + e x  x =e

st 

 x´ = s e st   x´ = s2 e st  m s2 e st +es e st + k e st =0

( m s + es+ k ) e st =0 … ( 2 ) 2

"i la ecuación número # se satisface la consideración $ue se ha hecho de la st   x e = función  es una solución correcta y por lo tanto

m s2 + es + k =0

e ± √ e2− 4 mk  − s= 2m

s 1,2=

−e

 ±

2m

√( )

e 2  k  −  … ( 3 ) 2m m

s t  s t  e  y e En donde  son las soluciones. La solución más general la obtenemos con la 1

2

siguiente expresión s1 t 

s2 t 

 x =c 1 e + c 2 e … ( 4 )

En donde

C 1 y C 2

 son constantes arbitrarias.

Al aclarar el significado físico de esta ecuación debemos distinguir dos casos depende de las expresiones de “S” en la ecuación 3 ya sean reales o compleas.

!uando

( ) e 2m

2

 sea mayor "ue

k  m

( )

2

e  k  > 2m m

La expresión dentro del radical es positi#a siendo por lo tanto reales los #alores de “s” más sin embargo ambos son negati#os puesto "ue la raí$ cuadrada es menor "ue el t%rmino

e 2m . Así la ecuación n&mero ' describe una solución "ue consiste en la suma de dos cur#as exponenciales decrecientes como se muestra en la figura. (o#imiento de un sistema con un s e e s t  solo grado de libertad con amortiguamiento mayor "ue el 1

2

amortiguamiento crítico Amortiguamiento crítico

1

2

e c =2 mw n

¿2m



 k  m

( C C )

Se )a dibuado la línea punteada en la figura "ue nos muestra "ue el mo#imiento no es una #ibración sino más bien un lento regreso a la posición de e"uilibrio. Esto se deb e a "ue cuando

( )

e 2  k  > m 2m

El amortiguamiento ! es sumamente grande. *ara #alores menores de ! "ue concurren a los casos prácticos la ecuación n&mero 3 de

S1

#alores compleos para

al amortiguamiento ! en el "ue ocurre esta transición se le

llama amortiguamiento crítico.

( )

( )

e 2  k  e 2  k  k  − =0 =¿ = y =wn m m m 2m 2m

( )

ec 2 = wn 2m 2

(ec ) = 4 m

2

2

2

wn

2

e c =2 mw n

e c =2 m



 k   … (5 ) m

En el caso en "ue el amortiguamiento sea menor+ la ecuación n&mero 3 se p uede escribir como sigue,

−e

√ ( )

 k  e s 1,2=  ±i − m 2m 2m

2

√ ( )

 k  e si q = − m 2m s 1,2=

−e

2

 ±i q  de donde i =√ −1

2m

Aun"ue el radical resulta a)ora un n&mero real+ los dos #alores de S contienen a i y como consecuencia la ecuación ' contiene t%rminos de la forma,

ei





!on la ayuda de la siguiente ecuación y la solución de la ecuación numero ' tenemos lo siguiente, i e =cos + i sin ∝





s1 t 

s2 t 

 x 1=C 1 e + C 2 e

− − − ( ) ( )  x =C  e + C  e =C  e e ±iq t  2m

1

e ±iq t  2m

2

e 2m

1

−e iqt 

−e

 x =e 2 m [ C 1 eiqt + C 2 e−iqt ] −e

¿ e 2m [ C 1 ( cos qt + i sin qt ) + C 2 ( cos qt −i sin qt ) ] −e

¿ e 2m [ ( C 1+ C 2 ) cos qt + ( C 1−C 2) isinqt ] !omo

C 1 y C 2

 son constantes arbitrarias,

( C  + C  ) y ( iC  − iC  ) 1

2

1

2

( C  + C  )=C i y ( iC  −i C  ) =C i 1

2

1

2

-ambi%n serán arbitrarias.

−iqt 

e + C 2 e 2 m e

−e  t 

 x =e 2 m ( C 1 cos qt + C 2 sin qt ) … ( 7 )

q=

√ ( )

2

 k  e − m 2m

recuencia natural amortiguada

e c =2 mw n ∴ 2 m=

 ec wn

ζ =

√ √ (√ ) ()

2

 k  e q= − m ec wn

q=

 k  − m

 e ec

q =√ 1−ζ 2 ( w n )

2

e ec

actor de amortiguamiento

q =√ 1−ζ 2 wn

 k  m

 k  ( √ ( ) m)

 k  e − q= m ec

√[

2

( )] 2

 k   e 1− q= m ec

√√ ()

 k   e 1− q= m ec

q =w n

2

√ ()  e 1− ec

2

Esta es la solución para un amortiguamiento menor "ue el amortiguamiento crítico y consta de dos factores,

( C c )

/.0 1na exponencial decreciente. 2.0 1na onda senoidal.

El resultado combinado es una onda senoidal amortiguada descansando en el espacio entre la cur#a exponencial y su imagen refleada.

 x n x n+ 1

1

π 

7ibración libre de un sistema amortiguado menor "ue el

3 π  2 π 

4 π 

amortiguamiento critico

( C c)

−1

!uando más pe"uea sea la constante de amortiguamiento 4!4 más aplastada resultara la cur#a exponencial+ y por lo tanto más ciclos se re"uerirán para "ue se des#ane$can las #ibraciones. La relación de este des#anecimiento puede calcularse considerando dos máximos consecuti#os cuales"uiera de la cur#a, ya sea de 4A4 a 454+ 454 a 4!4+ etc. 6urante el inter#alo de tiempo entre los dos máximos es decir+ entre, 2 π  seg =T  q La amplitud de #ibración disminuye de,

e

e

−e  t  2m

a e2 m

( q )=e −me  t = e −mqπe

−e t + 2 π  2m

( q )

− e t + 2 π 

2

2

2

Esta <ima expresión es igual a la primera multiplicada por u n factor constante. −πc

−δ 

−δ ∗w nt 

e mq < 1 =e =e

La relación entre dos máximos consecuti#os es constante las amplitudes decrecen en forma geom%trica. 7amos "ue si “

xn

” es la en%sima amplitud máxima de #ibración+ “

siguiente máxima y entonces tenemos, − πe

 x n+1= x n e mq = e−δ =e−ζ ∗w t  n

8 tambi%n loge

( ) xn

 x n+1

=

 πc =δ   6ecremento logarítmico mq

*ara pe"ueos amortiguamientos tenemos,

δ =

δ =

 πe = mq

2 πe

ec

2 π 

e ec

√ () 1−

=2 π ζ 

 x n− x n +1 = ζ   xn

 e ec

2

  tambien

e → 0=¿ ec

si

 x n +1 −ζ  = e =( 1−ζ  )  x n

9:a$ón de declinación;

x n+ 1

” será la

Ejemplo 1 Se proporciona los siguientes datos para un sistema vibratorio con amortiguamiento viscoso: =10 lb, k= 30 lib * plg, c=0.12 lb/plg/seg. Determine el decremento logartmico ! la ra"#n de cual$uiera de dos amplitudes consecutivas Datos %=10 lb

%=30 lb/pulg/seg &=0.12 lb/pulg/seg

ω n=

m=



 k  =34.3 rad / seg m

w lb = 0.025 2 g  plg / seg

Amortiguamiento critico

Cc= 2 m ωn Cc= 2 ( 0.025 ) ( 34.3 )=1.76

lb  plg / seg

Factor de amortiguamiento

ζ =

c 0.12  = = 0.068 Cc 1.76

Decremento logarítmico

' = 2( ζ  ' = 2( ) 0.0+ ' = 0.-2 la razón de dos amplitudes consecutivas  xn + 1  xn

 = e

–

= !"#

%$ n sistema vibrante $ue consta de 2.2 kg de masa ! un resorte con rigide" de 1. /m es amortiguado viscosamente de modo $ue la ra"#n de dos amplitudes consecutivas es 1 0.+. ncuentre: a   ωnamortiguada b   δ decrementologaritmico c ζ actor de amortiguamiento d ω n=

coeiciente de amortiguacion

√ √

 k  17.5 ! / m = =27.78 rad / seg m 2.267 kg

 x 1 1 =¿ ln =0.0202  x n +1 0.98 δ =ln ¿ q =ω n √ 1−ζ 2=¿ q =27.78 rad / seg √ 1 −( 0.00032 )2=27.779

δ =2 π ζ ∴ ζ =

ζ =

rad seg

δ  0.0202  = =0.0032 2 π  2 π 

C  ∴ C = ζ ∗Cc Cc

Cc= 2 m ωn =2 ( 2.267 kg )( 27.78

Cc= 125.954

 rad ) seg

!  m / seg C =( 0.0032 ) ( 125.954 )=0.4030  &'m'seg

Ejemplo 4ara calibrar un amortiguador, la velocidad del piston 5ue medida cuando se le aplica una 5uer"a dada. Si un peso de 0. lb produce una velocidad constante de 1.20 plg/seg, determine el 5actor de amortiguaci#n cuando se tiene una masa de 0.0kg ! una rigide" de /cm &'.1*

6 = 1.# pulg+seg

1 kg ., lb ( 2.21 lb )' .##-g 0.0254 m

m' ./- g

1  pulg

' .0 m+s

' - 2+m

ζ   ' 3

 "   4'  x´ 0.227 kg 4' 0.03048 m / s

7n'

#

k  m

 '

 '-.,, g+m+s #

 0.07 ! / m 0.907 kg

 ' #-.- rad+seg

4c' #m7n ' #(./-g) (#-.- rad+seg) 4c',./ g+m+seg

 $% / S'%  &  50.39 $% / & / S'% 7.55

ζ 

 '

' .10/

n sistema vibrante tiene las siguientes constantes m= 1.kg, k=0 /cm, & = 0.0 /cm/seg. Determine a b c d

8actor de amortiguaci#n 8recuencia natural de oscilaci#n Decremento logartmico 9a ra"#n de 2 amplitudes consecutivas cuales$uira

5'- 2+cm ' - 2+m 4'.- 2+cm+seg' -2+m+seg

ζ 

7n'

 '3

#

k  m

 ' *.# rad+seg

$'3

''3  xn + 1  xn

4c'#m

'3

7n

4c'#(1-.,g) ( *.#rad+seg)

 

4c'##1.#g+seg a

C  ζ   ' C  2  !   / seg ζ   ' m 221.2 kg / seg 70

' .1*

√ 1−( 0.36 ) ( 6.32 2

b

$'

c '' #6 ζ 

 xn + 1  xn

d

 rad ) seg  ' ,.// rad+seg

''#6 ( .1*)'1./,0

− −1.9854  ' e  ' e  ' .1- ɤ 

Ejemplo

(uc)os dispositi#os están pro#istos de un aparato de amortiguación #iscosa y austable. En uno de tales dispositi#os la relación entre amplitudes sucesi#as es /< a /. Si se duplica la cantidad de amortiguación se pregunta cuál será entonces la relación de amplitudes sucesi#as.

 x n +1 −δ  =e  x n

ln

( )=−  x n+1  x n

δ 

−ln (10 )=δ =2.302 δ =2 πζ  ζ =

δ  2 π 

ζ =0.3664 ( 2 δ =1.4656 δ =2 π ( 1.4656)

δ =4.6043

 x n +1 −4.6043 =e  x n  x n +1 =100  x n

Ejemplo

6etermine para las #ibraciones libres de un sistema la constante de amortiguación #iscosa del mismo. Se conoce la siguiente información !onstante del resorte

= >[email protected]

(asa

/g

Amplitud de /er ciclo 'mm Amplitud de 2do ciclo '=mm Amplitud de 3er ciclo

3 mm

Amplitud de 'to ciclo

2Bmm

!CD

#

4c'#m

 xn  xn + 1

ζ 

 8 k!  / m k  # ' ,*-.* 2+m+seg m '#(1) 10 kg

' (* mm+ #-mm)'1. ln .1'.#'' ɤ 

 '

2 )

' .00

ζ 

 '

C  Cc

'

4 ' ζ  4c

4 ' #0. 2+m+seg

1n oscilador armónico amortiguado tiene una masa m igual a /.2 g constante amortiguamiento !C /2 [email protected] y constante rigide$ >C
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