UNIDAD 3 Torsion

UNIDAD 3 TORSIÓN 3.3 ANGULO DE TORSIÓN El máximo esfuerzo cortante en una flecha sujeta a torsión puede determinarse a partir de Ƭ= TC/J. el par aplicado también hace que el eje se tuerza. El ángulo de torsión es de importancia en muchas aplicaciones de ingeniería. Muchas flechas para maquinaria deben diseñarse de tal manera que no se deformen demasiado; es decir, que no se fuerzan excesivamente. Las herramientas y maquinaria de precisión frecuentemente requieren que el ángulo de torsión quede dentro de ciertos límites especificados. Consideremos una parte de una flecha sometida a torsión mediante pares, como se muestra en la Fig. 3.5. La línea interrumpida indica la posición de una fibra longitudinal antes de la torsión, y la línea continua representa su posición después de que se han aplicado los pares. La deformación cortante ƴ se muestra en la Fig. 3.5 como el ángulo n’mn. Debido a que se producen ángulos relativamente pequeños como consecuencia de esfuerzos cortantes menores que el límite de proporcionalidad a cortante, la tangente del ángulo puede darse mediante el ángulo ƴ en radianes. Expresado matemáticamente:

El ángulo de torsión de la flecha es el ángulo de rotación de la selección y es el ángulo Ѳ mostrado en el extremo B de la Fig. 3.5. Considerando la geometría del extremo B, podemos expresar el ángulo de torsión, Ѳ, medio en radianes, como el arco n’n dividido entre el radian R. matemáticamente,

Ya que la dimensión n’n aparece en ambas ecuaciones (a) y (b), estas ecuaciones pueden combinarse como sigue:

El ángulo ƴ es la deformación por cortante y es el mismo término que aparece en la ec. (3.4). la ecuación (3.4) puede entonces volver a escribirse en una forma adecuada para calcular el ángulo de torsión Ѳ:

Sustituyendo las ecuaciones (3.1) y (c) en la ecuación anterior, obtenemos:

Donde: Ѳ= ángulo de torsión, en radianes, T= par en lb-plg o en N.m L= longitud de la acción de la flecha, en plg o en m, G= módulo de elasticidad, al esfuerzo cortante en lb/plg 2 o en N/m2, J= momento polar de inercia, en plg4 o en m4.

3.4 TORSIÓN EN BARRAS NO CIRCULARES Las relaciones matemáticas de este capítulo se aplican solamente en flechas circulares sujetas a carga de torsión. Afortunadamente, esto incluye un espectro amplio de aplicaciones prácticas. Las ecuaciones para los esfuerzos y las deformaciones de torsión, no son válidas para secciones transversales no circulares, tales como las indicadas en la Fig. 3.13.

Las secciones de los ejes circulares que son planas antes de las cargas de torsión se conservan planas después de aplicar las cargas. Por otro lado, las secciones no circulares se alabean cuando sujetan a cargas de torsión. Por consiguiente, las deformaciones por cortante no varían linealmente a partir del eje central. Podemos visualizar la razón del alabeo y su influencia considerando una barra de sección transversal rectangular que está sujeta a una carga de torsión. La Fig. 3.14 indica dicho miembro. Generalmente podríamos anticipar que un punto de los más alejados del eje, tal como una de las esquinas, tendría el mayor esfuerzo. Sin embargo, el esfuerzo de torsión en las esquinas de una flecha de sección rectangular es cero. Un elemento de la esquina, tal como el indicado en la Fig. 3.15 tiene tres superficies libres mutuamente perpendiculares. Una superficie libre no puede tener esfuerzo. Si existiese un esfuerzo cortante en una esquina, sería posible descomponer dicho esfuerzo en componentes paralelas a las aristas. Debido a que el esfuerzo cortante siempre ocurre por parejas que actúan sobre planos mutuamente perpendiculares, tendrían que presentarse esfuerzos en las superficies exteriores. Esto es imposible en las esquinas. Por consiguiente, los esfuerzos de torsión en las esquinas de las barras de sección rectangular deben ser cero. Al no haber esfuerzos en las esquinas, dichas barras no se distorsionarán en tales lugares.

La Fig. 3.16 indica la distribución de esfuerzos en una flecha de sección rectangular. El esfuerzo cortante máximo ocurre en el punto medio del lado más largo. La magnitud del esfuerzo cortante máximo es:

Donde: Ƭmáx= esfuerzo cortante máximo, en lb/plg2, o en N/m2 ∝ = un coeficiente relacionado, con la razón b/t de la sección transversal, T= par de torsión, en lb-plg o en N.m, B= ancho de la sección transversal, en plg o en m, t= espesor de la sección transversal, en plg o en m El ángulo de torsión para una sección rectangular puede calcularse a partir de:

Donde: Ѳ= ángulo total de torsión, en radianes, T= par de torsión, en lb-plg, o en N.m b= ancho de la sección transversal, en plg, o en m, t= espesor de la sección transversal, en plg, o en m, G= módulo de elasticidad a cortante, en lb/plg 2, o en N/m2, L= longitud de la sección considerada, e plg o en m, β = coeficiente relacionado con la razón b/t de la sección transversal.

Una tabla de coeficientes para flechas rectangulares es como sigue:

3.5 ACOPLAMIENTO DE FLECHAS O EJES Frecuentemente se necesita ensamblar flechas largas a partir de piezas más cortas. Un método común es el ensamble por medio de un acoplamiento para flechas, como se muestra en la Fig, 3.7. El acoplamiento consiste en bridas que tienen agujeros perforados de antemano, en los extremos de las piezas que se van a unir. Se colocan dos bridas juntas y se sujetan mediante pernos formando así un eje más largo. El análisis de las fuerzas que actúan sobre los pernos de un acoplamiento es un problema de estática sencillo. El acoplamiento debe trasmitir el par entre las dos secciones de la flecha.

La única forma para que este par se transmita a través del acoplamiento es a través de los pernos que quedan sometidos a esfuerzos cortantes y esfuerzo de aplastamiento. Considerando una sección a través de las bridas, como se indica en la Fig. 3.7 (c), encontramos que el par T se pone el momento de las fuerzas cortantes en los pernos. Si todos los pernos equidistan del centro de la flecha, las fuerzas en los pernos son iguales. Si el acoplamiento contiene pernos a distancias variables del eje de la flecha, la fuerza en cualquier perno es proporcional a si distancia al centro de la flecha. En la Fig. 3.7, cada uno de los pernos soporta una fuerza igual F. se puede obtener la relación entre las fuerzas en los pernos y el par en la flecha tomando momentos con respecto al centro de la misma. Considerando la Fig. 3.7 (c), tenemos:

Donde: T= par aplicado, n= número de pernos, F= fuerza cortante en cada perno, r= distancia de los pernos medida desde el centro de la flecha.