Unidad 3. Sistemas Pu

SISTEMAS DE POTENCIA I UNIDAD III SISTEMAS POR UNIDAD INTRODUCCIÓN Las líneas de transmisión de Energía Eléctrica se operan a niveles en que el kilovoltio (kV) es la unidad más conveniente para expresar los voltajes. Debido a que se transmite una gran cantidad de potencia, los términos más comunes son los kilovatios (kW) o megavatios (MW) y los kilovoltamper (kVA) o megavoltamper (MVA). Sin embargo, estas cantidades, cantidades, al igual que los los voltios, voltios, los Amper y los ohmios, ohmios, se expresan expresan frecuentem frecuentemente ente en por ciento o en por unidad de un valor base o de referencia especificado para cada una. Por ejemplo, si se selecciona una base de voltaje de 120 kV, los voltajes de 108, 120 y 126 kV equivaldrán a 0.9; 1.0 y 1.05 por unidad (p.u) o a 90, 100 y 105% respectivamente. El valor por unidad  de una magnitud cualquiera se define como la razón de su valor real a un valor particular denominado base, quedando expresado el valor por unidad como un decimal. El valor por ciento es igual a 100 veces el valor por unidad. Ambos Ambos métodos de cálculo, porcentual y en por unidad, son más simples y más informativos que los voltios, los amper y los ohm reales. El método por unidad tiene una ventaja sobre el porcentual: el producto de dos cantidades expresadas por unidad queda expresado también por unidad, mientras que el producto de dos cantidades dadas en por ciento se debe dividir por 100 para obtener el resultado en por ciento. Sea una cierta Variable, su valor en por unidad (variable p.u. o variable 0/1) se define como la relación entre el valor real de la variable y un valor de referencia o base.

( . .) = Esta definición sumamente sencilla es una poderosa herramienta de cálculo que brinda un gran número de bondades; especialmente en el análisis de sistemas de potencia. En los SP, los cálculos relacionados con los elementos del sistema son a menudo efectuados en la forma de por unidad, es decir, todas las cantidades son expresada como una fracción decimal de valores de base que son seleccionada aproximadamente. Ing. Elvira Villegas

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VENTAJAS DEL SISTEMA POR UNIDAD

 Su representación resulta ser una forma más directa de comparar datos, ya que las     

   

magnitudes relativas se pueden comparar directamente. El valor p.u. para un transformador, es el mismo, ya sea que se refiera al lado primario o al lado secundario. La impedancia en p.u. de un transformador en un sistema trifásico, es la misma independientemente del tipo de conexión que tenga ( -; -   ; -; -   ). El método en p.u., es independiente de los cambios de voltaje y de los desfasamientos. Los fabricantes de equipos eléctricos, por lo general, especifican la impedancia en p.u. o en por ciento a la base de sus datos de placa (Potencia kVA, voltaje en kV) por lo que estos valores se pueden usar u sar directamente en sus propias bases. ba ses. Los valores de p.u. de impedancia de los equipos caen dentro de una banda muy estrecha, en tanto que los valores de ohm lo hacen en un rango muy amplio. Por esta razón, es más frecuente encontrar valores característicos de impedancias de los equipos en p.u. Hay menos posibilidad de confusión entre valores trifásicos o monofásicos o entre valores de fases o de fase a neutro. Los valores en p.u. resultan ideales para los estudios por computadora. Para los estudios de cortocircuito, los voltajes de las fuentes se pueden tomar como 1 p.u. El producto de cantidades en p.u. da como resultado una cantidad en p.u.

VARIABLES ELECTRICAS Tabla 1. Variables de un Sistema Eléctrico Cantidad Símbolo Magnitud Corriente I Amper Voltaje V Voltios Potencia S= P + jQ Voltamper Impedancia Z = R + jX Ohmios Factor de Potencia Adimensional fp, cos Tiempo t segundos El tiempo es una variable que se omite cuando se hace uso de la representación fasorial y se pasa del dominio temporal al de la frecuencia. De las seis variables que se hacen presentes en una red, cuatro de ellas son función de dos básicas, de manera que al fijar estas dos variables las otras quedan determinadas. (por ejemplo: se si conoce el voltaje y Ing. Elvira Villegas

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VENTAJAS DEL SISTEMA POR UNIDAD

 Su representación resulta ser una forma más directa de comparar datos, ya que las     

   

magnitudes relativas se pueden comparar directamente. El valor p.u. para un transformador, es el mismo, ya sea que se refiera al lado primario o al lado secundario. La impedancia en p.u. de un transformador en un sistema trifásico, es la misma independientemente del tipo de conexión que tenga ( -; -   ; -; -   ). El método en p.u., es independiente de los cambios de voltaje y de los desfasamientos. Los fabricantes de equipos eléctricos, por lo general, especifican la impedancia en p.u. o en por ciento a la base de sus datos de placa (Potencia kVA, voltaje en kV) por lo que estos valores se pueden usar u sar directamente en sus propias bases. ba ses. Los valores de p.u. de impedancia de los equipos caen dentro de una banda muy estrecha, en tanto que los valores de ohm lo hacen en un rango muy amplio. Por esta razón, es más frecuente encontrar valores característicos de impedancias de los equipos en p.u. Hay menos posibilidad de confusión entre valores trifásicos o monofásicos o entre valores de fases o de fase a neutro. Los valores en p.u. resultan ideales para los estudios por computadora. Para los estudios de cortocircuito, los voltajes de las fuentes se pueden tomar como 1 p.u. El producto de cantidades en p.u. da como resultado una cantidad en p.u.

VARIABLES ELECTRICAS Tabla 1. Variables de un Sistema Eléctrico Cantidad Símbolo Magnitud Corriente I Amper Voltaje V Voltios Potencia S= P + jQ Voltamper Impedancia Z = R + jX Ohmios Factor de Potencia Adimensional fp, cos Tiempo t segundos El tiempo es una variable que se omite cuando se hace uso de la representación fasorial y se pasa del dominio temporal al de la frecuencia. De las seis variables que se hacen presentes en una red, cuatro de ellas son función de dos básicas, de manera que al fijar estas dos variables las otras quedan determinadas. (por ejemplo: se si conoce el voltaje y Ing. Elvira Villegas

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la corriente, se puede conocer la potencia o la impedancia, y lo opuesto también es cierto.) Los valores por unidad de las cuatro variables básicas de V, I, Z y S: . .

=

. .

=

. . .

=

.=

[ ] [ ]

[] [

]

Para que el sistema p.u. pueda ser correctamente empleado en los sistemas eléctricos de potencia, deben satisfacer las identidades y leyes de circuitos eléctricos, a saber:  Ley de Ohm  Identidades de Potencia  Leyes de Kirchoff   Identidades trifásicas Ley de Ohm Antes de establecer en el sistema p.u. la aplicación de la ley de oh,, resulta ventajoso revelar algunas algunas propiedades propiedades elementales elementales de las impedancias impedancias en p.u. Para ello, sea la impedancia p.u. Z[p.u.] definida por: . .

=

[]

Se conoce que en unidades reales la impedancia posee una parte resistiva ® y una parte reactiva (X)

[] = R[] + jX[] Al sustituirla en la anterior:

.

. =

[] +

[]

Separando Separando los términos del numerador, numerador, resulta: resulta:

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. .

=

[]

+

[]

De modo que para que satisfaga; que la impedancia p.u. posee parte real e imaginaria: . .

= [ . . ] + [ . .] []] = . .

.

.=

[]]

De lo antes expuesto, se concluye que la impedancia base es única, común tanto a la parte resistiva como a la reactiva. Ahora bien, la ley de Ohm, establece que la diferencia de potencia (V) a través de un conductor es proporcional a la corriente a través de él; siendo la constante de proporcionalidad, la resistencia eléctrica; de modo que operacionalmente en unidades reales, la Ley de Ohm queda expresada por: V[V] = Z[]xI[A] Por definición el voltaje, la corriente y la impedancia en el sistema p.u. son: . .

=

. .

=

. .

=

[ ] [ ]

[]

Las cantidades p.u. cumplen con la Ley de Ohm: V[p.u.] = Z[p.u.] x I[p.u.] Si

= De lo anterior se desprende que las cantidades p.u. cumplen con la Ley de Ohm Identidades de Potencia Se conoce que la potencia aparente (S) eléctrica monofásica por definición, es el producto del voltaje (V) por la corriente (I) conjugada.

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S[VA] = V[V] x I[A] S[VA] = P[W] + jQ[VAR]

[

]

[ ]+

[

.=

. .

.=

. . .

[ ]

= [

.=

]

]

Sp.u. = Pp.u. + jQ p.u. Con esta demostración tan sencilla se demuestra que la base [S B] para potencia es única, y común para la potencia activa y reactiva. Se conoce que la potencia de un sistema eléctrico viene dado por el producto de la tensión y la corriente. S[VA] = V[V] x I[A] . .

[ ]

=

.

.=

. .

=

[ ] [

]

Sp.u SB = Vp.u. VB Ip.u. IB Esta relación es válida cuando los valores p.u. cumplen con la ley de Potencia, si las siguientes relaciones son utilizadas: Sp.u. = Vp.u.Ip.u. SB = VBIB Leyes de Kirchhoff  Primera Ley: “Establece que la sumatoria algebraica de las intensidades de corriente en un nodo deben ser igual a cero”. Se debe verificar si las cantidades p.u. satisfacen esta ley.

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N

Figura 1. Nodo genérico con ramas x+y Suponga un nodo cualquiera N, donde entran “x” corrientes y salen “y” corrientes.

[ ]= [ . .] = [ . .] =

[ . ]

[ ] [ ] [ ]

=

[ . .]

[ . ]=

[ . .]

Para que se cumpla esta ley en p.u.

Se debe satisfacer:

= Segunda Ley: “establece que las sumatorias de las caídas de tensión alrededor de un lazo cerrado debe ser igual a la sumatoria de las elevaciones de tensión”.

[ ]=

[ ]

Siendo E las caídas y V las elevaciones de voltaje Ing. Elvira Villegas

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.

=

.

=

=

.

[ ] [ ]

.

Para que la ley de tensiones de Kirchhoff se cumple con el sistema p.u. .

=

.

Se debe verificar que: E B = VB Identidades trifásicas Los circuitos trifásicos balanceados se resuelven como si fueran una línea con un neutro de retorno, en el llamado circuito equivalente monofásico, o por fase; por ello, las bases para las diferentes cantidades en los diagramas de impedancias son los kVA (o MVA) por fase y los kV de línea a neutro. Generalmente, los datos que se dan son los kVA o MVA trifásicos totales y los kV de línea a línea (entre líneas o de línea). Debido a esta costumbre de especificar el voltaje línea a línea y los kVA o MVA totales, puede surgir alguna confusión al considerar la relación entre el valor por unidad del voltaje de línea y el del voltaje de fase. Aunque se puede especificar un voltaje de línea como base, el voltaje que se requiere para la solución del circuito monofásico es el voltaje a neutro. El voltaje base a neutro es el voltaje base a línea dividido 3. Debido a que ésta es también la relación entre los voltajes línea a línea y línea a neutro de un sistema trifásico balanceado. “El valor en por unidad de un voltaje línea a neutro sobre el voltaje base línea a neutro es igual al valor en por unidad del voltaje línea a línea en el mismo punto sobre el voltaje base línea a línea, siempre que el sistema esté balanceado”. Igualmente, los

kilovoltamperes trifásicos son tres veces los kilovoltamperes monofásicos, y la base de los kilovoltamperes trifásicos es tres veces la base de los kilovoltamperes monofásicos. Por lo tanto, el valor en por unidad de los kilovoltamperes trifásicos sobre los kilovoltamperes base trifásicos es idéntico al valor en por unidad de los kilovoltamperes monofásicos sobre los kilovoltamperes base monofásicos. Ing. Elvira Villegas

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Para los sistemas monofásicos o para los sistemas trifásicos, donde el término corriente se refiere a la corriente de línea (I L), el de voltaje se refiere a voltaje al neutro (V LN ) y el de los kilovoltamperes corresponde al valor por fase (kVA1), las siguientes expresiones relacionan las distintas cantidades:

donde SB3 corresponde a la potencia base total (trifásica). Por comodidad se acostumbra usar como bases los MVA trifásicos (MVAB3) y los kV entre líneas (kVBLL), en cuyo caso, la impedancia base se puede determinar simplemente como:

Es conveniente dejar claro también, que en los cálculos en por unidad donde intervienen transformadores trifásicos, se requiere que los voltajes base en los dos lados del transformador tengan la misma relación que la de los voltajes nominales entre líneas de ambos lados, lo que es independiente del tipo de conexión de los enrollados. Como se dijo, la potencia base es la misma en ambos lados y por lo tanto las corrientes bases quedan en relación inversa con la razón de transformación trifásica.

[

] = √ 3 [

][

]

VB = VLL SB = S 3 

[ . .] = [ . ] [ . ] = √ 3 Resulta fácilmente demostrable con el uso de las ecuaciones de uso común:

[] = [

[

}

[ ] [ ] ]= √ 3 [ ]

Las cargas trifásicas simétricas dentro de los sistemas de potencia pueden estar conectados en estrella ( ) o en delta ()

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Uno de las potencialidades más altas que posee el sistema p.u. es el empleo para los sistemas trifásicos. Las cargas trifásicas simétricas dentro de los SP pueden estar conectadas en estrella ( ) o en delta (). Considérese dos cargas trifásicas simétricas, una en estrella y otra conectada en delta.

Figura 2. Impedancias conectadas en estrella y delta

= = .

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+ +

.=



[]

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[ . .] = ∆[ . . ] = ∆[

. .]= ∆

[] ∆ [] ∆

[ . .]

=3

Si se considera entonces esta propiedad y la establecida para las bases, en cada una de las definiciones de impedancias para cargas simétricas en p.u.

Transformador Monofásico en el sistema p.u. Los transformadores son uno de los elementos dentro del SP de mayor uso, es por ello que se le dedica especial interés en su trato dentro del sistema p.u.

Suponga un transformador de potencia monofásico, ideal, de dos arrollados. Como se considera ideal, no posee asociado pérdidas o reactancias interna, resultando en forma explícita la relación de transformación es N1 /N2, el cual es conectado a una carga de impedancia Z 20

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Figura 3. Transformador de Potencia Monofásico de Dos Arrollados Por teoría de Máquinas Eléctricas se conoce que un transformador monofásico ideal, satisface que el cociente de los voltajes primario a secundario ( V 1 /V 2 ) es numéricamente igual al cociente del número de vueltas primario y secundario ( N1 /N2 ).

Si se seleccionan las bases de tensión de manera que cumplan con la relación de transformación:

Siendo:

Si se procede a igualar las ecuaciones

En atención a la definición de los valores por unidad, en cada una de las barras del transformador

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Resulta evidente que:

Se concluye que cuando se expresa las tensiones de un transformador en el sistema por unidad se elimina la relación de transformación.

Esto solo es cierto cuando las bases cumplen con la relación de transformación:

Considérese que el transformador de potencia de dos arrollados monofásicos (ver figura 3), posee una carga Z20 conectada en la barra 2:

Si se asume que la impedancia Z 20 referida al primario es Z10, entonces es valedera la aplicación de la ley de Ohm en unidades reales al primero.

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Si:

Finalmente:

Se deduce que la impedancia Z 20[] referida al lado primario Z 10[] son iguales en cantidades por unidad, demostrando que el sistema por unidad las impedancias [p.u.] son iguales no importa de qué lado del transformador se expresen. Sistema Monofásico con Varios Transformadores El sistema de por unidad es particularmente útil cuando se trabaja con sistemas con varias estaciones de transformación. Suponga que se tiene un sistema monofásico como el de la figura, con dos transformadores ideales y una línea de transmisión.

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Figura 4. Sistema de Potencia con dos transformadores Se desea calcular el valor del voltaje y la impedancia en la barra 1 (V 1, Z10) en p.u.

Figura 5. Modelo equivalente de impedancia Para trabajar el sistema de potencia de la figura 5 en p.u. se procede de la siguiente forma:

 Se seleccionan dos valores base arbitrarios; y se calculan el resto. Por ejemplo: se toma la  

tensión VB,1 y una potencia S B, esta capacidad puede ser la de alguno de los transformadores o bien un valor arbitrario el cual va a ser común para todo el sistema. Se delimitan las diferentes zonas para las cuales los valores bases son comunes y dependen del número de transformadores. Se denominan los valores bases desconocidos.

Sistemas por unidad con transformadores reales En los sistemas de potencia, es necesario considerar los elementos lo más cerca de la realidad posible, y en el transformador de potencia real hay que tomar en cuenta para el análisis en sistema p.u. los siguientes aspectos:

 La corriente de excitación  La impedancia equivalente

En los transformadores de potencia la corriente de excitación o de magnetización se puede considerar despreciables, debido a que por lo general es muy pequeña, del orden del 5% de la corriente nominal, por lo cual se aproxima despreciable. Para la impedancia, considere un transformador monofásico real, con una impedancia equivalente ZT[], vista desde el primario. Ing. Elvira Villegas

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En la representación de un transformador monofásico real, se realiza con una barra ficticia 3-3’ la cual no existe físicamente, pero que sirve para modelar el transformador real, como uno ideal en serie con su impedancia,

Figura 6. Modelo equivalente para un transformador real. Si se seleccionan dos valores bases V B,1 y IB,1, empleando el sistema p.u. se tiene que:

Entonces el circuito equivalente para el transformador monofásico real se puede representar por:

Figura 7. Modelo equivalente para un transformador real en el sistema p.u. Se cumple:

En los transformadores el valor de la impedancia del transformador se puede obtener de las características nominales del mismo. La placa de especificaciones del transformador, traen el valor de ZT, normalmente el fabricante específica este valor en % dando R, X en potencia.

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El porcentaje representa la caída de tensión que se produce al circular por R eq o Xeq la corriente nominal del transformador expresada en porcentaje de la tensión nominal, de acuerdo al lado considerado. Si por ejemplo se toma como base la corriente y el voltaje nominal como bases resulta:

Cambios de base en el sistema por unidad En muchas ocasiones y con frecuencia ciertos parámetros de un sistema son expresados en valor por unidad pero con valores de base diferentes a los seleccionados en el sistema; por tanto, se hace necesario efectuar un cambio de base. Tal es el caso de las reactancias de los transformadores, que son expresados en valor porcentual con respecto a los valores nominales de cada uno de los transformadores. Dado que las impedancias de cualquier parte del sistema tienen que ser expresadas respecto a la misma impedancia base, al hacer los cálculos, es preciso tener un medio para pasar las impedancias de una base a otro. Se conoce que la impedancia p.u. de un elemento de circuitos es:

Las unidades típicas en el análisis de sistemas de potencia:

Sean:

   

Z1[p.u.]: Impedancia en p.u. considerando los valores de base 1 Z2[p.u.]: Impedancia en p.u. considerando los valores de base 2 SB,1; VB,1: Valores base para Z 1[p.u.] SB,2; VB,2: Valores base para Z 2[p.u.]

Se tiene: Ing. Elvira Villegas

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Esta ecuación no tiene ninguna relación con la transferencia del valor de impedancia de un lado a otro de un transformador Transformador de tres devanados El transformador de tres devanados es aquel en el que se incluye un tercer devanado por cada fase, se llaman también transformadores de circuitos o devanados múltiples. El tercer arrollado que se incluye por cada fase suele ser denominado terciario.

Figura 8. Configuración de un transformador de 3 devanados Un punto de vista especialmente importante en la utilización del transformador de tres devanados, es la posibilidad de utilizar las ventajas de la conexión Y-Y- (estrela-estrella) de los transformadores de dos devanados al tiempo que el terciario se conecta en delta, con el fin de reducir los efectos indeseables de la conexión Y-Y de sus otros dos devanados. Los transformadores de tres devanados son generalmente utilizados por los siguientes fines:

 En conexión Y-Y de los devanados de alta y baja, y se conecta el terciario en corto o delta, lo cual tiene la finalidad de reducir en forma apreciable los terceros armónicos de tensión que de otra forma estaría presentes en el devanado de baja de donde se alimenta la carga.

Figura 9. Configuración de transformador de tres devanados Ing. Elvira Villegas

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 En el caso de que se requiera interconectar tres circuitos de diferentes niveles de voltaje, 

siendo la opción más económica y práctica de utilizar un transformador de tres devanados y no dos transformadores de dos arrollados con diferente relación de transformación. Para eliminar cargas que requieran una alta confiabilidad en el servicio, para lo cual se alimentarían de dos fuentes diferentes. Este tipo de conexión se hace particularmente utilizada en la planta de generación Macagua II, propiedad de la empresa EDELCA, en Venezuela, donde dos generadores son conectados a los devanados secundarios y terciarios, y la carga en el primario.

En la actualidad los transformadores de tres devanados tienen amplia aceptación en centrales y subestaciones, para distribuir energía en tres niveles de tensión con el uso de un solo transformador, siendo las razones de mayor peso, la índole económica, el espacio físico, y la eficiencia superior de estas máquinas comparadas con la de dos arrollados. En el transformador de tres devanados al igual que en el caso de dos arrollados se siguen cumpliendo las relaciones de transformación (en el caso de máquinas ideales), solo que van a existir tres relaciones, productos de las interacciones magnéticas de los tres arrollados.

El modelo equivalente de un transformador de tres devanados ideal, consta de tres impedancias Zp, Zs; Zt en conexión estrella.

Figura 10. Circuito equivalente de un transformador de 3 devanados Siendo:

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Estas impedancias al igual que el transformador de dos arrollados se obtienen a partir de los ensayos de cortocircuito realizados a la máquina. La única diferencia que en el caso de la máquina de tres arrollados ha de aplicarse igual número de veces el ensayo. En el ensayo de cortocircuito de un transformador de tres arrollados se debe realizar en tres etapas (por simplicidad en la representación solo se ha considerado la parte reactiva de la impedancia).

 Alimentar por el primario, se cortocircuita el secundario, teniendo presente que no se debe superar la menor potencia de los devanados involucrados en el ensayo en este caso del secundario, la reactancia de cortocircuito que se mide es X ps: Reactancia primario secundario.

 Se alimenta por el devanado primario mientras se cortocircuita el terciario, de igual forma no se debe superar la menor de las potencias de los devanados en ensayo, en este caso por lo general el del terciario. La impedancia que se obtienen del ensayo es X pt: Reactancia primario terciario.

 Se alimenta por el secundario al tiempo que se cortocircuita el terciario. Se obtiene X st: Reactancia secundario terciario.

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De los tres ensayos de cortocircuito se obtiene un conjunto de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas (Xp, Xs, Xt)

Si se resuelve las tres ecuaciones se tiene:

En los transformadores de tres devanados los fabricantes proporcionan en la placa, los valores en porcentaje (%) de las reactancias obtenidas en los ensayos de cortocircuito.

El valor en porcentaje representa cien veces el valor p.u. de la impedancia de cortocircuito, este valor expresado en las bases del ensayo. EJERCICIOS RESUELTOS 1. Dos generadores conectados en paralelo a la misma barra poseen reactancias subtransitorias de X’’ = 10%. El generador número uno posee una capacidad de 2500 kVA y el número dos de 5000 kVA, y ambos poseen un voltaje nominal de placa de 2.4 kV.

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Determinar la reactancia en sistemas p.u. de un generador único equivalente a los dos en paralelo, sobre las bases de 15000 kVA y 2.4. kV, en la barra de conexión de los generadores.

G1: 2.5 MVA; 2.4 kV, X’’=10% G”: 5 MVA; 2.4 kV; X’’ = 10%

Las bases seleccionadas son: SB = 15 MVA, VB = 2.4. kV en barra Los valores p.u. pueden ser calculados empleando la siguiente expresión, donde los valores dados son los dados en placa y los nuevos son las nuevas bases donde se desea expresar los valores p.u.

[ . ]=

[ . . ][

, ,

][

, ,

]

Sustituyendo los respectivos valores:

El diagrama de impedancia resulta:

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Es fácil demostrar que aplicando teoría de circuitos: Barra 1 Egeq

J0.2 p.u. Carga

Geq

2. Un transformador trifásico de 5000 kVA con valores nominales de placa 66/13.2 kV con terminales de alta y baja tensión conectados en estrella (Y), alimenta una carga resistiva de 4000 kW a 13.2 kV. ¿Cuál es la resistencia de carga en ohmios tal como se mide de línea a neutro sobre el lado de tensión de transmisión?.

Se calcula el valor de la carga: ,

=4 /

→ =

,

,

=

= [13.2 4 3

,

= /√ 3]

= 1.3 = 43.56 

Esta impedancia se trata de un valor de línea a neutro

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Finalmente, se procede a referir el valor de la impedancia de la carga al lado de alto voltaje del transformador, para ello se emplea la adecuada relación de transformación a 3

= /

=

= /

66 13.2

=5

= 5 43,56 = 1089

3. Un banco trifásico de transformadores monofásicos en conexión delta-estrella se conecta a tres resistencia de 12  en conexión delta a una línea de 120 kV. Cada transformador se especifica como 15 MVA, 13.2/66 kV. Para una base en línea de 120 kV, 50 MVA. Determinar el valor en el sistema p.u. de las resistencias de carga y trazar el diagrama de impedancias.

Solución: Las bases del problema están dadas para el sistema de transmisión, de tal modo que se deben determinar las bases de las zonas restantes. En este caso las zonas de igual niveles de voltaje son dos, debido a que solo hay un transformador de dos arrollados.

En este caso los valores bases de la zona 1, se deben calcular tomando en consideración la adecuada relación de transformación:

66√ 3

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∶ 13.2

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Es evidente que la base de voltaje de la zona 1 resulta:

De tal modo que la impedancia base de la zona 1 se obtiene a partir de la definición:

Por último se expresa el valor de la resistencia de carga en el sistema p.u.

4. Para el siguiente sistema de transmisión de 3 barras, tomando en consideración una potencia base de 100 MVA y un voltaje base de 110 kV, transforme el sistema en un diagrama unifilar de impedancias (reactancias) en por unidad. Línea de transmisión Z = j0.8403 pu @ 120 kV y 50 MVA

Generador  Transformador  100 MVA 100 MVA 22 kV 22:110 kV X=90% X=10%

Transformador  100 MVA 120:24 kV X=12.6%

Línea de transmisión Z = j60.5 ohms

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Generador  80 MVA 22 kV X=1.48 pu

Línea de transmisión X = 60.5 ohms

Sistemas

Carga datos de operación: V=110 kV S=10 MVA fp = 1 I de Potencia

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Solución Para realizar la solución de pasar al sistema p. u. se debe de realizar los siguientes pasos: 1. Definir en primera instancia la potencia base y los voltajes base por zona, los cuales normalmente son definidas por los transformadores. 2. Convertir las impedancias a p. u. Si las bases de los equipos no son las del sistema, la impedancias primero se deben pasar a ohmios (Ω) y evaluar el nuevo valor de la impedancia en p. u. 3. Dibujar el diagrama de impedancias en p. u. Para este caso, se ve claramente tres zonas: 1. La zona del lado del generador 1. 2. La zona de transmisión, donde se encuentran las líneas y cargas. 3. La zona del lado del generador 2. Sbase = 100 MVA Vbase = 110 kV

22:110 kV

120:24 kV

Cálculo de Voltaje Base Zona 2: Referencia del sistema S base = 100 MVA V base = 110 kV Zona 1: Lado del generador 1 S base = 100 MVA V base = ?

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kV base  zona 1

 V  no min al   kV base zona 2  sec  V  no min al   prim 

kV base zona 1

  110  

22 110

   22 kV  

Zona 3: Lado del generador 2 S base = 100 MVA V base = ?

kV base  zona 3

 V  no min al   kV base zona 2  sec  V  prim no min al 

kV base zona 3

  110  

24 120

   22 kV  

Cálculo de impedancias y reactancias Zona 1: Lado del generador 1 Estos cálculos no son estrictamente necesarios porque: •

la base del generador corresponde a la base del sistema

•

la base del transformador corresponde a la base del sistema

Generador

 X g1

 X  *  Z base  generador      pu   placa    Z  base  sistema  

 ( 22 kV  ) 2   0.9 pu   placa *  100  MVA     X g1  2   ( 22 kV  )   100  MVA  

Ing. Elvira Villegas

 Z generador     Z base  sistema

0.9 pu sistema

Sistemas de Potencia I

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Transformador

 X t 1

 X  *  Z base transf      pu   placa    Z    base sistema

 ( 22 kV  ) 2   0.1 pu   placa *  100  MVA    X t 1   2   ( 22 kV  )   100  MVA  

 Z transf     Z base sistema

0.1 pu sistema

Zona 2: Área de transmisión: líneas y cargas Línea superior

 Z  L

 Z  L

  j  X  L

 Z  pu   placa *  Z base  línea       Z base  sistema  

  j  X  L

 Z línea    Z base  sistema

 (120 kV ) 2   Z  pu   placa *  50  MVA      (110 kV ) 2   100  MVA  

 j 242 

(110 kV )

2

  j 2 pusistema

100 MVA

Líneas inferiores  Z  L

  j  X  L 

 Z  L

  j  X  L 

 Z línea    Z base  sistema

 j 60.5 

(110 kV  )

  j 0.5 pu sistema

2

100  MVA

Línea de la carga  Z  L

  j  X  L 

Ing. Elvira Villegas

 Z c arg a    Z base  sistema

Sistemas de Potencia I

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 Z  L

  j  X  L

  (110 kV  ) 2       10  MVA   0       10  0 2 ( 110 kV  )

pu sistema

100  MVA

Zona 3: Lado del generador 2 Generador

 X g 2

 X  *  Z base  generador      pu   placa    Z  base  sistema  

 X g 2

 ( 22 kV  ) 2  1.48 pu   placa *  80  MVA     2  ( 22 kV  )   100  MVA  

 Z generador     Z base  sistema

1.85 pu sistema

Transformador

 X t 2

 X  pu   placa *  Z base  transf        Z    base  sistema

 X t 2

 ( 24 kV  ) 2   0.126 pu   placa *  100  MVA     2  ( 22 kV  )   100  MVA  

 Z transf     Z base  sistema

0.15 pu sistema

Lo anterior nos da el siguiente diagrama de impedancias en por unidad de una base común: z13=j2 p.u. zg1=j0.9

zt1=j0.1 4

+ V1= 1 p.u. -

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1

z12=j0.5 p.u.

zt2=j0.15 3

2

zg2=j1.85 5

z23=j0.5 p.u.

z2=10 p.u.

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+ V3= -j1 p.u. -

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5. Para el siguiente sistema de transmisión de 2 barras, tomando en consideración una potencia base de 30 MVA y un voltaje base de 33 kV, transforme el sistema en un diagrama unifilar de impedancias (reactancias) en por unidad.

Los datos del sistema eléctrico se enumeran a continuación:

       

Generador No. 1: 30 MVA, 10.5 kV, X” = 44%, Xn = 1.5 Ω Generador No. 2: 15 MVA, 6.6 kV, X” = 41%, Xn = 2.5 Ω Generador No. 3: 25 MVA, 6.6 kV, X” = 32%, Xn = 2.5 Ω Transformador T1 (3Ø): 15 MVA, 33/11 kV, X = 21% Transformador T2 (3 - 1 Ø): 5 MVA, 20/6.8 kV, X = 0.24% Línea de Transmisión: 20.5 Ω /fase Carga A: 15 MW. 11 kV, factor de potencia de 0.9 en atraso Carga B: 40 MW, 6.6 kV, factor de potencia de 0.85 en atraso.

En el caso del transformador T 2 se trata de un banco de tres unidades monofásicas conectadas como se muestra en el diagrama; por supuesto en este caso, la potencia nominal corresponde a cada unidad y la relación de transformación igualmente. Las reactancias denotadas por X n , son las reactancias de aterrizado de los generadores. En ocasiones estos valores están especificados, al igual que las reactancias propias de la máquina, en forma normalizada, ya sea en % ó en pu., en cuyo caso debemos entender que las bases de su normalización son los datos nominales del equipo. En el presente ejemplo, se definen en Ω. Solución: Para el análisis de este caso se divide el sistema en tres zonas como se indica en la siguiente figura, cada una con la característica de tener el mismo voltaje:

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Empezamos definiendo las bases de voltajes en todo el sistema. Supongamos que se decide usar como bases de sistema: MVA base = 30 MVA, y kVbase = 33 kV en la zona de transmisión. De acuerdo a lo anterior tenemos que kV base 1 = 33 kV, dado que el voltaje base coincide con el voltaje nominal. Las demás bases de voltaje son calculadas tomando en cuenta la relación de transformación de los transformadores y sus conexiones. Para las demás bases se tiene: Zona 1:

kV base  zona 1

 V  no min al   kV base zona 2  sec  V  prim no min al 

kV base zona 1

  33  

kV base  zona 3

 V  no min al   kV base zona 2  sec  V  prim no min al 

11 33

   11 kV  

referido a través de T 1

Zona 3:

kV base zona 3

  33  

6.8 20 

3

   6.48 kV  

referido a través de T 2

Esta última base merece un comentario: los valores de voltaje indicados en la razón de transformación se deben a que T 2 es un banco de unidades monofásicas, conectado en estrelladelta y en los datos que se dieron anteriormente, la relación de transformación se refiere a la relación de transformación de cada unidad, así como la potencia, es la potencia de cada unidad, o sea monofásica. Además, tomando en cuenta la conexión de las unidades del banco, tenemos que para el lado de alto voltaje se requiere el factor de

3 , debido a la conexión en delta en ese

punto. Una vez calculadas las bases de voltajes en todas las zonas, las bases restantes, o sea de corrientes e impedancias, se calcularán únicamente si se requieren. En el presente ejemplo, únicamente incluiremos en la normalización del parámetro de la línea de transmisión, la impedancia base de la zona correspondiente (zona 2). Con esto la siguiente tarea consiste en cambiar de base los parámetros de las componentes del sistema eléctrico, cuyos valores estén especificados en forma normalizada, lo cual es lo más comúnmente encontrado en los datos de placas de los equipos. En los datos proporcionados previamente, se especifican los datos de generadores y transformadores normalizados, sobre las Ing. Elvira Villegas

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bases de valores nominales de las variables eléctricas de estos equipos. Como no coinciden en general con las bases del sistema que seleccionamos, deberemos cambiarlos de base y referirlos por tanto, a las bases de sistema. Lo anterior se muestra a continuación. Generador No.1:

 X g1

 X  *  Z base  generador      pu   placa    Z    base  sistema

 ( 10.5 kV  ) 2   0.44 pu   placa *  30  MVA    X g1   2   (11 kV  )   30  MVA  

 Z generador     Z base  sistema

0.40  pu

Mientras que la reactancia de aterramiento es:  X n1



 X n1



 X n1    Z base  sistema

 j 1.5 

( 11 kV  )

2

  j 0.37  pu

30  MVA

Generador No.2:

 X g 2

 X  *  Z base  generador      pu   placa    Z    base  sistema

 X g 2

 ( 6.6 kV  ) 2   0.41 pu   placa *  15  MVA     2  (6.48 kV  )   30  MVA  

 Z generador     Z base  sistema

0.85  pu

Mientras que la reactancia de neutro es:

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 X n 2



 X n 2



 X n 2    Z base  sistema

 j 2.5 

( 6.48 kV  )

2

  j 1.79  pu

30  MVA

Generador No.3:

 X g 3

 X  *  Z base  generador      pu   placa    Z  base  sistema  

 ( 6.6 kV  ) 2   0.32 pu   placa *  25  MVA    X g 3   2   (6.48 kV  )   30  MVA  

 Z generador     Z base  sistema

0.40  pu

Mientras que la reactancia de aterramiento es:  X n3



 X n3



 X n3    Z base  sistema

 j 2.5 

( 6.48 kV  ) 2

  j 1.79

pu sistema

30  MVA

En el caso de los transformadores, el cambio de base será como sigue: Transformador T1

 X t 1

 X  *  Z base transf      pu   placa    Z    base sistema

 ( 11 kV  ) 2   0.21 pu   placa *  15  MVA    X t 1   2   ( 11 kV  )   30  MVA  

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 Z transf     Z base sistema

0.42  pu

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Transformador T2  X t 2

 X t 2

 X  pu   placa *  Z base  transf        Z base  sistema  

 Z transf     Z base  sistema

 ( 20  3 kV  ) 2   0.24 pu   placa *   MVA 15      2 kV  ) ( 33     30  MVA

0.53 pu

Es importante indicar que en la relación de transformación podemos usar indistintamente la relación de cualquier lado del transformador, dado que

20  33

3



6.8 6.48

En el caso de la línea de transmisión, el valor del parámetro está en ohmios, por lo que en lugar de cambio de base, efectuamos su normalización directamente  X  LT 



 X  LT 



 Z c arg a    Z base  sistema

20.5  ( 33 kV  )

2

 0.56  pu

30  MVA

EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Un generador trifásico de 15 MVA y 8.5 kV, tiene una reactancia subtransitoria del 20%. Está conectado por medio de un transformador de conexión delta-estrella a una línea de transmisión en serie cuya reactancia total es de 70 . En el extremo receptor de la línea de transmisión correspondiente a carga, hay conectado un banco trifásico de transformador reductor en conexión estrella-estrella. Ambos transformadores están conformados por transformadores monofásicos conectados en forma de banco trifásico. Cada uno de los tres transformadores de cada banco posee valores nominales de 6666 kVA, 10/100 kV, con una reactancia de dispersión de 10%. La carga representada como impedancia toma 10000 kVA a 12.5 kV con 80 % de factor de potencia en retardo. Dibujar el diagrama de impedancias, poniendo todas las impedancias en p.u. Tomar como base 10 MVA, 12.5 kV en el circuito de carga. Determinar en p.u. en terminales del generador.

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2. En la figura se ha representado el diagrama unifilar de un sistema eléctrico de potencia operando en vacío, sin carga. Las reactancias de las dos secciones de línea de transmisión son mostradas en el diagrama. Las características de los generadores y transformadores son los siguientes: Descripción Voltaje (kV) Potencia (MVA) Reactancia (%) Generador G! 6.9 20 15 Generador G” 6.9 10 15 Generador G3 13.8 30 15 Transformador T1 6.9/115 25 10 (Unidad 3) Transformador T2 7.5/75 10 10 (3 1) Transformador T3 6.9/115 12 10 (Unidad 3)

Dibujar el diagrama de impedancias, en el sistema p.u. y con las letras indicar los puntos correspondientes al diagrama unifilar. Tomando como base 30 MVA y 6.9 kV en el circuito del generador 1. 3. Dibujar el diagrama de impedancias para el sistema de potencia mostrado en el siguiente diagrama unifilar. Expresar todas las impedancias en p.u. Despreciar la resistencia y utilizar como base 50 MVA y 138 kV en la línea de 40 . Las características de los generadores, de los motores y transformadores son:

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4. Dado el siguiente sistema de potencia, construya el diagrama de reactancias con los valores en p.u. G1: 18 kV, 5 MVA, X=0.6 p.u G2: 13.8 kV, 6 MVA, X= 0.75 p.u G3: 13.8 kV, 6 MVA, X= 0.8 p.u. T1: 34.5/13.8 kV, 7.5 MVA, X= 0.12 p.u. Unidad 3 . T2: 34.5/13.8 kV, 5 MVA, X= 0.2 p.u. Unidad 3  T3: 34.5/13.8 kV, 7.5 MVA, X= 0.12 p.u. (3- 1) M1: 10 MVA, 4.15 kV; X= 6% SB= 3.67 MVA; VB= 17 kV en la barra 1

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