Unidad 3 Expresiones Algebraicas
March 22, 2023 | Author: Anonymous | Category: N/A
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UNIDAD 3: EXPRESIONES ALGÉBRAICAS Se denomina expresión algebraica a toda combinación de cantidades numéricas y literales relacionadas entre sí por los signos de las las operaciones suma, re resta, sta, multiplicación, división, potenciación o radicación. Las expresiones algebraicas permiten traducir al lenguaje matemático expresiones del lenguaje habitual. Usualmente se utilizan las últimas letras del alfabeto (por ejemplo, x , y , y z ), para las variables y las primeras (como a , b , y c ), para las constantes. Si se sustituyen las variables por números específicos específicos en una expresión algebraica, el número real que resulte resulte se llama valor numérico de la expresión para tales números. El dominio de una expresión algebraica está formado por todos los números reales que puedan representar las variables. Así, a menos que se indique de otra manera, se supone que el dominio está formado por los números reales que, cuando se sustituyen por las variables, hacen que la expresión tenga significado, en el sentido de que los denominadores no pueden ser iguales a cero y las raíces siempre existan. En la siguiente tabla hay dos ejemplos:
Ejemplos 2
x 4 x
2 xy
Dominio 8
Valor Numérico
Si x 4 , entonces:
Todos los números x 0
x
4 2 4(4)
8 4
16 16 4 28
Si x 1 y y 10 , entonces:
4
Todos los números y 1
x 2 y 1
2110
4
12 20 4 24 8 3 10 1 9
Si x es una vvariable, ariable, entonces un monomio en x es una expresión de la forma ax n , en donde a es un número real y n es un entero no negativo. Un binomio es una suma de dos monomios y un trinomio, una suma de tres monomios. Un polinomio en x es una suma de cualquier número de monomios en x . Otro modo de decirlo es el siguiente: Un polinomio en x es una suma de la forma: forma : P x an x n an1 x n 1 a1 x a0
En donde n es un entero no negativo y cada coeficiente a k , es un número real. Si an 0 , se dice que el polinomio tiene grado n Cada expresión ak x k en la suma es un término del polinomio. Si el coeficiente a k es cero, se omite el término a x k El coeficiente a k de la potencia más alta de x es el coeficiente principal del polinomio. .
k
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Observación: Dos polinomios en x son iguales si y solo sí son del mismo grado y los coeficientes de potencias semejantes
de x son iguales. Si todos los coeficientes del polinomio son cero, se obtiene el llamado polinomio cero y se denota con 0. Sin embargo, por convención, el grado del polinomio cero no es cero sino indefinido.
c es un número real diferent c es un polinomio de grado Si polinomio diferente e depolinomios cero, entonces el cero) se conocen como constantes. Ejemplo P x 5 0 . Tales polinomios (incluyendo
Ejemplo No. 36 Si un sombrero vale $10000 más que una correa y x representa el precio de una correa. ¿Cuál es la expresión algebraica que sirve para hallar el precio de dos correas y tres sombreros?
Solución: Si una correa vale x , entonces un sombrero vale x 10000 , por lo tanto el precio de dos correas y tres sombreros es 2 x 3 x 10000 . Es decir: 5 x 30000
Si el coeficiente de un polinomio es negativo, por lo general se usa un signo menos entre términos apropiados. Para ilustrar lo anterior, tenemos: 2 x 4 3 x 3 1 x 1 2 x 4 3 x 3 x 1
También se puede considerar polinomios con variables que no sean x (o variables distintas de x ); por ejemplo, t 2 3 t 2t 3 3 es un polinomio en t de grado 3 . Usualmente se colocan los términos de un polinomio con las 2 potencias de la variable en orden decreciente o creciente y se escribe: 2t 3 t 2 3 t 3 o bien 3 3 t t 2 2t 3 2
2
Por otro lado, se puede considerar que un polinomio en x es una expresión algebraica obtenida empleando nada más sumas, restas y multiplicaciones que incluyan x . Si una expresión algebraica contiene divisiones o raíces que incluyan una variable x , entonces no es un polinomio en x .
3.1 OPERACIONES CON POLINOMIOS 3.1.1 Suma y resta de polinomios Ejemplo No. 37 Halle la suma y la resta de los siguientes polinomios: WILSON VELÁSQUEZ y LÉIDER SALCEDO
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a. x 3 2 x 2 5 x 3 5 x 3 3x 2 1 b. x 3 2 x 2 5 x 7 4 x 3 5x 2 3
Solución: a. Método 1: x 3 2 x 2 5 x 3 5 x 3 3x 2 1 Se eliminan los paréntesis.
1 5 x 3 2 3 x 2 5x 3 1 Se suman términos semejantes. 6 x 3 x 2 5x 4
Se simplifica.
Nota: Se muestra el agrupamiento de las potencias semejantes de x , con el fin de aclarar el proceso, pero puede omitirse una vez se obtenga la práctica en este tipo de operaciones. Método 2: Primero se escriben los polinomios de modo que los términos semejantes queden en columna y luego se suman los coeficientes de las potencias potenc ias semejantes de x . x 3 2 x 2 5x 3
5 x 3 3 x 2 1 3 2 6 x x 5x 4
Para restar polinomios primero se eliminan los paréntesis pero hay que tener cuidado con el signo menos que precede al segundo par de paréntesis ya que cambia c ambia el signo de cada término de ese polinomio.
b. Hagamos la resta por el método 1: x 3 2 x 2 5 x 7 4 x 3 5x 2 3 Se eliminan paréntesis.
1 4 x 3 2 5 x 2 5x 7 3 Se suman términos semejantes. 3 x 3 7 x 2 5x 4
Se simplifica.
3.1.2 Multiplicación de monomios Utilizando la siguiente propiedad de la potenciación: a m a n a m n
Y la regla de los signos se puede obtener el producto de dos o más monomios.
Ejemplo No. 38 Halle los productos indicados: a. 2a 2 b 3ab2 c WILSON VELÁSQUEZ y LÉIDER SALCEDO
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b. 4 xy 2 z 2 x 2 yz xy xyz z
Solución: a. 2a 2b 3ab 2 c 6a 21b1 2 c 6a 3b 3c xyz z 8 x 121 y 211 z 111 8 x 4 y 4 z 3 b. 4 xy 2 z 2 x 2 yz xy
3.1.3 Multiplicación de binomios
Ejemplo No. 39 Halle el siguiente producto 5 x 7 4x 3
Solución: (5 x 7)(4 x 3) 5 x (4 x 3) 7(4x 3) )( 3) (7)(4 x) 7(3) (5 x)(4 x) (5 x x 28x 21 20 x 2 15
20 x 2 13x 21
3.1.4 Multiplicación de polinomios Ejemplo No. 40 Halle el siguiente producto 2 x 2 3 x 3 5x 1
Solución: Un método para resolver este producto es usar la propiedad distributiva, tratando al polinomio x 3 5 x 1 como si fuera un solo número real. Veamos:
2 x
2
3 5 x 1 3 x 3 5x 1 3 x 3 5 x 1 2 x 2 x
A continuación se utiliza dos veces la propiedad distributiva y se simplifica el resultado, quedando:
2 x
2
3 x 3 5 x 1 2 x 5 10 x 3 2 x 2 3 x 3 15x 3
2 x 5 13 x 3 2 x 2 15 x 3
Nota: Se multiplicaron los dos monomios del primer polinomio por cada uno de los tres monomios del segundo polinomio, y esto produjo un total de seis términos. WILSON VELÁSQUEZ y LÉIDER SALCEDO
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ACTIVIDAD No. 13 Realice las siguientes operaciones: a. 4a 5 b 3a 5b b. 2 xy 3 xy c. d. e. f. g. h. i. j. k.
8 x 2 y 3 x 2 y
l. m. n. o. p.
5 x 2 x 5 x 43 x 7 x 5 x 2 x 3 x 1 33x 5 x 2 x 5 x 4 2 x 4 x 3x 1 7 x 5 x 2 x 3 x 16 x 5 x 8x 10
5 xy xyz z 2 xy xyz z
24a b 3 a b 22 x y 33y 3mx 22m x z 5 x 2 x 5 x 4 2 x 4 x 3x 1 7 x 5 x 2 x 3 x 1 6 x 5 x 8x 10 5
3
8
4
5
2
3
5
4
2
4
3
3
2
2
3
2
4 x ( 6 x 8)
4 x 2 x (3 x 2 7 x 2 ) (5 x 2 x 2 ) 6 x ( x 2 1)
3
4
3
x 1
3
2
2
4
5
3
3
8
2
2
3
2
3.1.5 Productos notables En la siguiente tabla aparecen algunas de las fórmulas más importantes de productos notables que son útiles en diversos problemas de multiplicación.
Nombre
Diferencia de cuadrados Cuadrado de una suma Cuadrado de una diferencia Cubo de una suma Cubo de una diferencia
x y x y Fórmula x 2 y 2 x y 2 x 2 2 xy y 2 x y 2 x 2 2 xy y 2 x y 3 x 3 3 x 2 y 3 xy 2 y 3 x y 3 x 3 3 x 2 y 3 xy 2 y 3
ACTIVIDAD No. 14 Utilice las fórmulas anteriores para desarrollar los siguientes productos: WILSON VELÁSQUEZ y LÉIDER SALCEDO
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a. x 2 3 x 2 3 2
2 b. z z
c. 3 y 2 z 2 3
x 1
d.
3
3
e. x y 32 f. x m x n 2
2
3 g. x x 3 2
3 2
h. x 2 3 x 2 3 i.
2 z 3z
j.
3 y 2z
3 2
2
2 3
k. 2 x 4 5 x 3 3
l. p n q n 2
m. x y 32 n. x m x n 2
3.1.6 División entre monomios Utilizando la siguiente propiedad de la potenciación: am a
n
a mn
y la regla de los signos se puede obtener el cociente de dos o más monomios.
Ejemplo No. 41 Efectúe las siguientes divisiones: WILSON VELÁSQUEZ y LÉIDER SALCEDO
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a.
12a 7 b 2
3a 4 b
b. 10 x 3 y 3 z 4 x 2 yz
Solución: 12a 7 b 2
a.
3
3a b 4a b 4
b. 10 x y z 4 x yz 3
3
2
10 x 3 y 3 z 2
4 x yz
5 2
xy 2
3.1.7 División de un polinomio entre un monomio Para dividir un polinomio entre un monomio se divide cada término del polinomio entre el monomio y se suman los cocientes obtenidos. Esto es: abc d
a d
b d
c d
propiedad propie dad de los cocientes
Ejemplo No. 42 Haga la siguiente operación:
8 x 2 y 3 6 x 3 y 4 xy 4 xy
Solución: 8 x 2 y 3 6 x 3 y 4 xy 4 xy
8 x 2 y 3 4 xy
6 x 3 y 4 xy
4 xy 4 xy
xy 2 32 x 2 1
3.1.8 División de un polinomio entre otro polinomio Procedimiento: 1.2. Se Se divide ordenan el dividendo y eldel divisor segúnentre las potencias de unaymisma literal.es el primer término el primer término dividendo el primerdescendentes término del divisor el resultado del cociente. Se multiplica todo el divisor por este término y se resta el producto obtenido del dividendo. 3. El residuo obtenido en el paso 2 se toma como nuevo dividendo y se repite el proceso del paso 2 para obtener el segundo término del cociente. 4. Se repite este proceso hasta que se obtenga un residuo nulo o de grado inferior que el del divisor.
3.1.9 Algoritmo de la división para polinomios Si f ( x) y p( x) son polinomios y si p( x ) 0, entonces existen polinomios únicos q ( x) y r ( x) tales que: f ( x) p( x)
q( x)
r ( x)
) r ( x) , o bien f ( x) = p ( x) q( x
p( x)
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Donde r ( x ) 0 o el grado de r ( x) es menor que el grado de p( x) . El polinomio q( x) es el cociente y r ( x) es el residuo en la división de f ( x) entre p( x)
Ejemplo No. 43 Divida x 2 3 x 3 entre x 1. Obtenga el cociente y el residuo.
Solución: Se realiza la división algebraica de polinomios: x 2 3 x 3
x 2 x 4 x 3 4 x 4
x 1 x 4
7
Cociente: x 4 Residuo: 7 Aplicando el algoritmo de la división, se obtiene: x 2 3 x 3 x 1
x 4
7 x 1
ACTIVIDAD No. 15 Realice la división indicada: a. 3 x 3 2 x 2 5 entre x 3 b. 3 x 3 2 y 3 5 x 2 y 8xy 2 entre y 3 x c. 3 x 3 2 x 4 entre 2 x 2 x d. 43 x 4 5 x 2 1 entre x 12 e. Reste la suma de 3ab2 b 3 y 2a 2 b 3 ab2 b 3 de a 3 a 2 b b 3 y la diferencia multiplicarla por el cociente de dividir a 3 b 3 entre a 2 ab b 2 f. Exprese la división de x 3 203 x 2 16 x 10 entre 3 x 2 como
f ( x) p( x)
q( x)
r ( x) p( x)
g. En una división el divisor es x 2 1 , el cociente es x 2 2 x 2 y el residuo es 4 x 1 . Halle el dividendo.
3.2 FACTORIZACIÓN Si un polinomio es un producto de otros polinomios, entonces cada polinomio del producto se denomina factor del polinomio inicial. Se denomina factorización al proceso de expresar una suma de términos como un producto. WILSON VELÁSQUEZ y LÉIDER SALCEDO
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Ejemplo No. 44 En 9 x 2 4 3 x 23x 2 los polinomio 3 x 2 y 3 x 2 son factores de 9 x 2 4 Un polinomio con coeficientes en algún conjunto T de números es primo, o irreducible sobre T , si no puede escribirse como producto de dos polinomios de grado positivo con coeficientes en T
Ejemplo No. 45 El polinomio x 2 5 es irreducible sobre los números racionales puesto que no se puede expresar como un producto de dos polinomios que tengan coeficientes racionales.
Observación: Un polinomio es irreducible sobre un conjunto T pero no sobre otro; en el ejemplo anterior x 2 5
reales, ya que se puede escribir: es irreducible sobre los racionales pero no lo es sobre los números
x 2 5 x 5 x 5
De igual manera x 4 es irreducible en los números reales pero, no sobre los números complejos, puesto que: 2
x 2 4 x 2i x 2i
Donde i es la unidad imaginaria.
Nota: Es conveniente especificar el sistema numérico (o conjunto) del cual han de elegirse los coeficientes del polinomio antes de factorizarlo.
Observación: Todo polinomio ax b de grado 1 es irreducible en los racionales.
ACTIVIDAD No. 16 Indique sobre qué conjunto es irreducible y reducible los siguientes polinomios: a. x 2 16
2 4 x 3 b. c. x 2 254
Antes de factorizar un polinomio es necesario especificar el conjunto numérico del cual han de elegirse los coeficientes. En esta sección usaremos la regla que si un polinomio tiene coeficientes enteros, los factores han de ser polinomios con coeficientes enteros.
Factorizar un polinomio significa expresarlo como un producto de polinomios irreducibles.
Ejemplo No. 46 Factorice los siguientes polinomios: a. 4 x 2 4 x 24 WILSON VELÁSQUEZ y LÉIDER SALCEDO
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b. x 5 y 25 x 3 y 3
Solución: a. 4 x 2 4 x 24 4 x 2 x 6 4 x 3x 2
b. x 5 y 25 x 3 y 3 x 3 y x 2 25 y 2 x 3 y x 5 y x 5 y
En la siguiente tabla se muestran algunas fórmulas de factorización:
Fórmula
Ejemplo
Diferencia de cuadrados:
9a 2 16 3a 4 3a 43a 4
x 2 y 2 x y x y
3
2
3
3
8a 3 27 2a 3
Diferencia de cubos: 3
2
2
x y x y x xy y
125a 3 1 5a 1 3
3
2
2
Trinomio cuadrado perfecto: x 2 2 xy y 2 x y 2
2
x 2 xy y x y 2
2
2
3
2
2
5a 1 5a 5a 1 1 5a 1 25a 2 5a 1
x y x y x xy y 3
2
3 3 2a 3 2a 2a 2 2a 3 4a 6a 9
2
Suma de cubos:
2
a 2 2a 1 a 1 2
4c 2 12c 9 2c 3
x 2 7 x 12 x 4x 3
Trinomio de la forma x 2 bx c : x 2 bx c x m x n Donde: m n b y m n c
Donde:
m n 4 3 7 y m n 4 3 12
x 2 x 6 x 3x 2
Donde: m n 3 2 1 y m n 3 2 6
Observación: Los factores x 2 xy y 2 y
x 2 xy y 2 en la diferencia y suma de dos cubos, respectivamente,
son irreducibles sobre los números reales. Si n es un número entero positivo entonces:
x n y n tiene el factor x y cuando n es impar
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x n y n tiene el factor x y cuando n es impar o par
x n y n tiene el factor x y cuando n es par
Es decir:
x n y n x y x n x n y x n y xy n y n 1
x n y n x y x n
2
3
1
2
2
1
x n 2 y x n 3 y 2 xy n
2
y n
1
Ejemplo No. 47 Factorice los siguientes polinomios: a. 4 x 2 y 2 4 y 4 b. 16 x 4 y 4 c. x 5 y 5
Solución: a. 4 x 2 y 2 4 y 4 2 x 2 y 2 4 y 4 2
2
2 x y 2 2 x y 2 2 x y 2
2 x y 2 2 x y 2
b. 16 x 4 y 4 4 x 2 y 2 2
4 x 2 y 2 4 x 2 y 2 2 x y 2 4 x 2 y 2 2
2 x y 2 x y 4 x 2 y 2
5 5 4 3 2 2 3 4 x y x y x x y x y xy y c.
ACTIVIDAD No. 17 Factorice los siguientes polinomios: a. 9 p 2 25q 2 b. 27 x 3 y 6 c. x 2 2 x 8 WILSON VELÁSQUEZ y LÉIDER SALCEDO
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d. x 5 y 5 e. x 3 2 f. (ab) 2 10 abcd 25(cd ) 2 g. x 4 1 2
h. x 5 4 9 i. x 3 x 2 2 x 3 j. 1 Tan x k. x 6 1 l. 6 x 2 7 x 20 m. 22 x y 2 2 x y 10 n. 2 y 2 23 39x 2 xy o. 12 x 2 x 6 2
2
p. Para factorizar una suma que contenga cuatro o más términos, es posible utilizar la técnica denominada factorización por agrupación, que consiste en agrupar los términos del polinomio de manera adecuada y luego encontrar una factorización mediante las propiedades distributivas. 6y 2 x xy
Ejemplo No. 48 Factorice 4ac 2bc 2ad bd
Solución: Se agrupan los dos primeros términos y los dos últimos, y luego se procede de la siguiente manera: 4ac 2bc 2ad bd (4ac 2b) (2ad bd ) 2c(2a b) d (2a b)
(2c d )( 2a b)
3.3 COMPLETAR CUADRADO 2
k k Con el objetivo de completar cuadrado para x kx o x kx , se suma . Es decir, se suma el 2 cuadrado de la mitad del coeficiente de x 2
2
k x kx x 2 2
k
2
2
2
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2
k k x kx x 2 2
2
2
Ejemplo No. 49 Factorice las siguientes expresiones completando cuadrado: a. x 2 x 1 b. 2 3 x 4 x 2
Solución: 2 2 2 2 5 1 1 1 a. x x 1 x x 1 x x 1 x 4 2 2 2 1 5 1 5 x x 2 2 2 2 1 5 5 1 x x 2 2 2
2
2 2 2 7 1 2 7 7 7 1 b. 6 x 7 x 3 6 x x 6 x x 6 2 6 12 12 2 2 7 121 7 11 7 11 6 x 6 x x 12 12 12 12 12 144 2
1 3 6 x x 3 x 12 x 3 3 2
ACTIVIDAD No. 18 1. Factorice completamente las siguientes expresiones:
a. 3 x 3 2 x 2 12x 8 b. x 2 16 y 2 10x 25 c.
2 x 2 xy 6y2
d. 2t 2 7 t 15 e. 3 x 2 7 xy 2 y 2 19 x 13y 20 f. g.
a 2 a 2 b ab 2 b 3 x 3 x 2 x 1
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2. Expresa los siguientes polinomios como el producto de dos polinomios cuadráticos. a. t 4 t 2 1 Sugerencia: sume y reste t 2 b. x 4 1 Sugerencia: sume y reste 2 x 2 3. Factorice completando cuadrado: a.
x 2 4 x 2
b.
x 2 x 3
c.
6 x 2 x 12
d.
x 2 3 x 2
e.
2 3 x 4 x 2
3.4 TEOREMA DEL RESIDUO Si un polinomio f ( x) se divide entre x c , entonces el residuo es f (c)
Ejemplo No. 50 Utilice el teorema del residuo para determinar el residuo al dividir f x 3 x 3 2 x 4 entre x 2
Solución: Tenemos que: x 2 x 2 , de donde se concluye que c 2
Por lo tanto el residuo es: 3
f 2 3 2 2 2 4 32
3.5 TEOREMA DEL FACTOR Un polinomio f ( x) tiene un factor x c , si y solamente sí f (c ) 0
Ejemplo No. 51 Utilice el teorema del factor para demostrar que x 1 es un factor de
f x x
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3
x
2
1 x
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Solución: Tenemos que c 1 , por lo tanto: f 1 1 1 1 1 0 (residuo cero) 3
2
De esta manera x 1 es un factor de f x x 3 x 2 x 1 , o bien f x x 3 x 2 x 1 es divisible por x 1
3.6 DIVISIÓN SINTÉTICA Instrucciones para la división sintética de
a n x n a n 1 x n 1 .... a1 x a0 entre x c
1. Se comienza con el siguiente esquema (se colocan ceros para cualquier coeficiente faltante del polinomio dado) a n an1 an2 a1 a 0
c
an
2. Se multiplica a n por c y el producto can , se anota debajo de a n 1 . A continuación se suma an1 con can y se coloca el resultado b1 a n1 can en la columna de a n 1 , debajo de la línea. a n an1 an2 a1 a 0 can an
c
b1
3. Se multiplica b1 por c y el producto cb1 , se anota debajo de an 2 . A continuación se suma an 2 con cb1 y se coloca el resultado b2 a n 2 cb1 en la columna de an 2 , debajo de la línea. a n an1 an2 a1 a 0 can cb1 a n b1 b2
c
4. Se continúa este proceso hasta obtener la suma final r a0 cb n 1 . Los números: an , b1 , b2 , ... , bn-2 , bn-1
Son los coeficientes del cociente q( x) . Es decir: q(x) a n x n 1 b1 x n 2 ... bn-2 x bn-1
y r es el residuo.
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Ejemplo No. 52 Utilice la división sintética para hallar el cociente q( x) y el residuo r si el polinomio 2 x 4 5 x3 2x 8 se divide entre x 3
Solución: Debido a que el divisor es x 3 x (3) , entonces el valor de c en la expresión x c es c 3 . Por lo tanto, la división sintética adopta la siguiente forma: 2 2
5
6 1
0 3 3
2
8
9
33 25
11
Coeficientes del cociente
3
Residuo
Según se ha indicado, las cuatro primeras cifras del tercer renglón son los coeficientes del cociente q( x) y el último número es el residuo r . En consecuencia: q( x) 2 x 3 x 2 3x 11 y r 25
Además, utilizando el algoritmo de la división, tenemos que el polinomio: 2 x 4 5 x 3 2 x 8
Se puede expresar como: 2 x 4 5 x 3 2 x 8 x 3 2 x 3 x 2 3x 11 25
3.7 TEOREMA SOBRE CEROS CEROS RACIONALES DE UN PPOLINOMIO OLINOMIO Si el polinomio: f ( x) a n x n a n 1 x n1 .... a1 x a0
Tiene coeficientes enteros y además
p q
es un cero (raíz) racional de f ( x) tal que p y q no posean un factor
primo común, entonces:
El numerador p del cero es un divisor del término constante a 0
El denominador q del cero es un divisor del término constante a n
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Ejemplo No. 53 Use de la división sintética y el algoritmo de la división para factorizar el polinomio x 3 x 2 2
Solución: Para factorizar un polinomio de la forma an x n an 1 x n 1 .... a1 x a0 con coeficientes enteros, con n 2 es útil algunas veces la la divi división sión sintética. Por el teorema anterior, los posibles ceros (o raí raíces) ces) racionales del polinomio x 3 x 2 2 son los divisores de a0 2 , ya que an 1 , de manera que para el polinomio x 3 x 2 2
tenemos que los divisores de 2 son 1 y 2 , luego aplicando la división sintética para c 1
se tiene: 1
1
1
1 2
0 2 2
Coeficientes del cociente
2
1
2 0
Residuo
Por tanto x 1 es un factor de x 3 x 2 2 , luego aplicando el algoritmo de la división, la factorización del polinomio es: x 3 x 2 2 ( x 1)( x 2 2 x 2) , donde x 2 2 x 2 es irreducible en los reales.
3.8 TEOREMA DE FACTORIZACIÓN FACTORIZACIÓN COMPLETA PARA POLINOMIOS Si f ( x) es un polinomio de grado n 0 , entonces existen n números complejos r 1 , r 2 , , r n tales que:
f ( x) a x r 1 x r 2
x r n
Donde a es el coeficiente inicial de f ( x) y cada número r k es un cero (o raíz) de f ( x)
ACTIVIDAD No. 19 1. Pruebe que x 2 es un factor de f x x 3 4 x 2 3x 2 2. Use la división sintética para hallar el cociente y el residuo al dividir: a. 2 x 3 3 x 2 4 x 5 entre x 2 b. 3 x 5 6 x 2 7 entre x 12 3. Use la división sintética y factorice en los reales los siguientes polinomios: WILSON VELÁSQUEZ y LÉIDER SALCEDO
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a. b. c. d.
x 3 x 2 10 x 8 x 5 4 x 3 x 2 4
3 x 4 14 x 3 14 x 2 8 x 8 2 x 3 7 x 2 8x 3
4. Encuentra un polinomio de grado 3 que tenga los ceros (o raíces) indicados y satisfaga la condición dada: a. 1, 2, 3 b. 5, 2, 4 c. 3,4, 0
f (2) 80 f (3) 24
f (2) 36
3.9 EXPRESIONES FRACCIONARIAS El cociente de dos expresiones algebraicas se llama expresión fraccionaria. Como caso particular, una expresión
racional es el cociente p q
p q
de dos polinomios p y q . Dado que no se permite la división entre cero, el dominio de
estará formado por todos los números reales, excepto los que hacen cero al denominador.
3.9.1 Expresión racional Ejemplo x 2 x 1 x 1
Para todo x 1
3
x 5 x 2 y 3 y 2 y x
Dominio
Para todo x y y tales que x y Para todo x R
2 x 1 3
Las expresiones racionales en que tanto numerador como denominador son polinomios de una sola variable son objeto de estudio en este curso. Para el proceso de simplificación de expresiones racionales se puede usar las propiedades de los cocientes, puesto que las variables representan números reales, en particular la propiedad: ad bd
a b
d d
a b
, donde
bd 0
Usualmente se desarrolla este proceso de simplificación afirmando que se puede cancelar un factor común distinto de cero en el numerador y denominador de un cociente En la práctica, práctica, se cancela el factor común, suponiendo que todos los denominadores son diferentes de cero. Una expresión racional reducida está simplificada o reducida a su mínima expresión, si tanto el numerador como el denominador no tienen factores polinomiales comunes de grado positivo ni factores enteros comunes mayores que 1 . .
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Para simplificar una expresión racional, se factorizan tanto el numerador como el denominador y posteriormente, suponiendo que los factores del denominador no son cero, se cancelan los factores comunes.
3.9.2 Expresiones racionales simplificadas Ejemplo No. 54 Simplifique las siguientes expresiones racionales: a.
5 x 2 17 x 12 2 x 16
b.
( x 2 6 x 9)( x 2) ( x 2 2 x)( x 2 9)
Solución: a.
5 x 2 17 x 12
2
x 16
b.
(5 x 3)( x 4) ( x 4)( x 4)
5 x 3
, para x 4
x 4
( x 2 6 x 9)( x 2) ( x 3) 2 ( x 2) x 3 , para x 0 y x 3 ( x 2 2 x)( x 2 9) x( x 2)( x 3)( x 3) x( x 3)
3.9.3 Producto de cocientes de expresiones racionales Recuerde que:
a
c
ac
b
d
bd
a
c
a
d
ad
b d b c bc
Ejemplo No. 55 Efectúe la operación indicada y simplifique: a.
x 2 6 x 9
b.
x 4 8 x x 3 2 x 2 4 x
x 1 2
x 2 4
2 x 2 x 3 x 3 8
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Solución: a.
b.
x 2 6 x 9 x 2 1
2 x 2 x 3
( x 2 6 x 9)(2 x 2)
x 4 8 x x 3 2 x 2 4 x
x 2 4
( x 2 1)( x 3)
x 3 8
x 4 8 x x 2 4
x
2( x 3)( x 3)( x 1) ( x 1)( x 1)( x 3)
2( x 3) x 1
, para x 1
x 3 8 x 3 2 x 2 4 x
8 x x 3 8 2 x 4 x 3 2 x 2 4 x
4
x x 3 8 x 2 x 2 2 x 4 x x 2 x 2 x 2 2 x 4
x x 2 x 2 2 x 4 x 2 x 2 2 x 4 x x 2 x 2 x 2 2 x 4
2
x 2 x 4 , para todo x R
ACTIVIDAD No. 20 Simplifique: a.
3 2 x 4 x 21 x
x 3 9 x
b.
cx 2 dy 2 cy 2 dx 2
c.
x 4 8 x x 3 2 x 2 4 x
d.
dx cy dy cx
x 4 9 x 2 4
x 8 9 x 4 6 x 3 4 x 2
2
3
3 x 2 5 x 2
27 x 4 8 x
Para sumar o restar dos expresiones racionales, por lo general se halla un común denominador y se usan las siguientes propiedades de los cocientes:
a
d
a d
c
d
c d
ac d
ac
d
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Para sumar o restar expresiones racionales, si los denominadores de las expresiones no son los mismos, es recomendable determinar el mínimo común denominador (MCD) de los cocientes y realizar la operación usual entre fracciones. Para determinar el MCD, se descompone cada denominador en factores primos y luego se forma el producto de los diversos factores primos, utilizando el mayor exponente que aparezca en cada factor primo.
Ejemplo No. 56
Determine el MCD de las siguientes fracciones: 3 x
;
5 x 2
2
;
x 2 4 x 4 3 x 2 12 2 x 2 x 6
Solución: Al descomponer cada denominador en factores primos, se obtiene: x 2 4 x 4 x 2
2
3 x 2 12 3 x 2 4 3 x 2x 2
2 x 2 x 6 2 x 3x 2
Luego el MCD de
3 x
;
5 x 2
;
2
x 4 x 4 3 x 12 2 x x 6 2
2
2
es 3 x 2 x 22 2 x 3
3.9.4 Suma y resta de expresiones racionales Ejemplo No. 57 Realice las operaciones indicadas (reduzca a una fracción más sencilla) 2 x
1 3 3 x 2 2 x 3 x 2 x 2
Solución: El mínimo común denominador (MCD) de los denominadores es x 2 (3 x 2) . Por lo tanto: 1 3 2 x 1 3 (2 x) x x 2 3(3 x 2) 2 x 2 x 2 9 x 6 3 x 2 2 x 3 x 2 x 2 x(3 x 2) 3 x 2 x 2 x 2 (3 x 2) x 2 (3 x 2) 2 x
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3 x 2 9 x 6 x 2 (3 x 2)
3( x 2 3 x 2) x 2 (3 x 2)
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ACTIVIDAD No. 21 Realice las operaciones indicadas (reduzca a una fracción sencilla en términos mínimos). Recuerde que debe hallar el mínimo común denominador (MCD) a.
5
x
b.
2 x 1 x 5
2
3
x
x 4t 18 2 t 3 t 3 t 9 3 4 x
t
3 x 2 x 2 1 2 x 2 x 3 x 2 2 x 1 2 x 1 6 x 3 d. 2 2 x 4 x 4 x 4 x 2 Senx Cosx e. Cosx 1 Senx
c.
3.10 FRACCIONES COMPUESTAS Una fracción compuesta es aquella que contiene una o más fracciones ya sea en su numerador o en su denominador, o en ambos.
Ejemplo No. 58 Simplifique (reduzca a la forma más sencilla) a. b.
a31 x a
3 x 1
ba
a b a b
b a
2
Solución: 3
a.
b.
3 x 1 a 1
x a a b a b
ba
ba 2
3( a 1) 3( x 1) ( x 1)( a 1)
x a
3a 3 3 x 3 ( x 1)(a 1)
x a
3( x a ) ( x 1)(a 1)
x a
3 ( x 1)(a 1)
a2 b2
(a b)(a b) a b ab 2 2 2 a b a 2ab b ( a b) ab
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ACTIVIDAD No. 22 1. Simplifique las siguiente fracciones complejas (reduzca a la forma más simple) b
a
a. a
b
Rta/ b a
11 a b
1
1
b. x 2 x 3 1
Rta/
6
1 x 5 x 2
x 2 5 x 6 2
1 x 1 x 2 x x c. 1 1 1 x 2 1 x 1 x x x 1
Rta/
1 x
2
a b a b a b 4b 2 2 b a b a b 2 b a d. 2 2 a b ab 2 2 ab a ab 2b
Rta/
2(a 2b) ab
1 a 2 b 2 a b 1 2 b 1 1 b e. 1 a 2 a 1 1 b 1 a
Rta/
a 1 b
1 3 3
3
a f.
g.
h.
1 2
x
x
2 1 12 12 1 3 3 3 2 2 x x 3 a x (3 x )
a 2
3
1
1 2 2 x
x
2 3 3
3
1
1 x 1 2
1 2
x
2
1
1 2 2 x
2 1 1 2 x 1 1 1 2 3 x 1 6 x 2 x 1 3 2 x 1 3 1 3
Rta/
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1 x
3
a x 2 x a 3 x 3
4
3
2 Rta/ x 1
x
Rta/
1 x 1 3
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i.
1
x 1 x 1
1
2
2
x
1
x 12
Rta/
x 1
1 2 x x 1
2. Despeje x en las las siguientes igualdades: a)
ax 2 bx c a x t
b) c)
ax 2 bx c tx c a x r x s x r t
3.11 RACIONALIZACIÓN DE EXPRESIONES EXPRESIONES ALGEBRAICAS Algunos cocientes que no son expresiones racionales contienen denominadores de la forma a b o a b estos cocientes se pueden simplificar utilizando la Racionalización que consiste en eliminar radicales del numerador o del denominador, para lo cual se multiplica el numerador y el denominador por el conjugado a b o a b , respectivamente. ,
3.11.1 Racionalización del denominador Ejemplo No. 59 Racionalice el denominador de la siguiente expresión
1 x y
Solución: La expresión conjugada de x y es
x y , por lo tanto:
1
Recuerde que a b a
x y x y x y x y 1
x2
y y
y x x y
x b a b a b 2
2
2
3.11.2 Racionalización del numerador Ejemplo No. 60 Racionalice el numerador de la siguiente expresión
x x h
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h
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Solución: La expresión conjugada de x x h es x x h
x
h
x h
x x h , por lo tanto:
x
x h
x
x h
h
x x h 2
2
h x x h h
h( x x h )
x ( x h)
h( x x h ) 1
( x x h )
Ejemplo No. 61 Racionalice el denominador de la siguiente expresión
1
3
x y 3
Solución: 1 3
1
Si hacemos a 3 x x y
b 3 y y 3
1
entonces la expresión
1
Por lo tanto el factor racionalizador es a ab b
a b
x 3 y
3
2
es equivalente a
2
Es decir a 2 ab b 2 x 3 x 3 y 3 y 3 , ya que a b a 2 ab b 2 a 3 b3 2
1
1
1
1
2
2
1
1
2
x y 1
3
1
O lo que es lo mismo x 3 y 3 x 3 x 3 y 3 y 3 x 3 y 3
3
Eliminando así los rradicales adicales del denominador. De manera que: 1 3
x 3 y
1
x x y y
2 3
x y y
2 3
x y x 3
3
2 3
2 3
1 3
1 3
1 3
1 3
2 3
1 3
1 3
x x y y
x y 3
3
3
2 3
3
2 3
1 3
1 3
x x y y x y
2 3
ACTIVIDAD No. 23 1. Racionalice el numerador de la expresión dada y simplifique si es posible: a. b. c.
2( x h) 1 2 x 1
h 1 x h 1 x h
x 2 2 x 6 x 2 2 x 6 x 2 4 x 3
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d. e.
3
x h 3 h x x
4
Sugerencia: Utilice la expresión:
a 3 b 3 a ba 2 ab b 2
x 1
x 1
2. Racionalice el denominador de la expresión dada y simplifique si es posible: 5 3 2 6 52 6
1
c. d.
2 3
a. b.
2 3 5 5 x 2 5 3
5 3 x 2
1
e. 3
9 3 6 3 4
AUTOEVALUACIÓN No. 3 Preguntas de selección múltiple con única respuesta: Las preguntas de este tipo constan de un enunciado y de cuatro posibilidades de respuesta, entre las cuales se debe escoger la correcta. 1. El resultado de x 1 x 1 es:
A. 0 B. 2 x C. 2 D. 2 x 2 2. El resultado de x 2 1 1 x 2 es: A. B. C. D.
0
2 x 2 2 x 2 2 x 2 2
3. El valor numérico de la expresión xy 2 1 cuando A. 11 B. 9 C. 13
x 3 y y 2 es:
D. 15 WILSON VELÁSQUEZ y LÉIDER SALCEDO
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4. La expresión que representa el doble de un número más tres veces el mismo número es: A. B. C. D.
5.
5 x 2 x 5 2 x 3 x 4 x 2
a 2 b 2 a b
A. B. C. D.
es igual a:
a 3 b 3 a 3 2 a 2b 2 b3 a 3 a 2 b ab 2 b 3 a 2 a 2 b ab2 b 2
6. x 12 1 es igual a:
A. x 2 B. x 2 x 2 C. x 2 x 2 D. x 2
7. a 4 b 4 a 4 b 4 es igual a: A. B. C. D.
a 8 b 8 a 8 2 a 4b 4 b8 a 8 2 a 4b 4 b 8 a 8 b 8
8. Si a 3a k a 2 4a 3 , el valor de
k
A. 1 B. C. D.
es:
1 2 3
9. La expresión x y 1 x y 1 es igual a: A. B. C. D.
x 2 2 xy y 2 1 x 2 y 2 1 x 2 2 xy y 2 1 x 2 2 xy y 2 1
10. El polinomio x 2 y 2 z 2 2 yz 2 xy 2 xz es igual a: WILSON VELÁSQUEZ y LÉIDER SALCEDO
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A. x y z 2 B. x y z 2 C. x y z 2 D. x y z 2 2
2
11. x y x y es igual a: A. B. C. D.
4 xy
x 2 y 2 x 2 y 2
2 x 2 4 xy 2y2
12. a 2 b 2 a b es igual a: A. a b B. a b C. ab D. a 2 a b b 2 13. El polinomio x 2 x 1 es el resultado de: A. B. C. D.
x 1 3
x 1 3 x 1 x 1 3 x 1 x 1 x 3 1
x 1
14. El residuo de la división 3 x 2 2 x 1 x 1 es: A. 1 B. 0 C. 1 D. 4
15. El factor común en el polinomio x n1 x 2 es: A. x 2 B. x
n x C. D. x n 1 WILSON VELÁSQUEZ y LÉIDER SALCEDO
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16. xm 1 m 1 es igual a: A. B. C. D.
xm 1
m x 1 mx 1 m 1 x 1
17. x 2 2 x 1 es igual a: 2 A. x 1 2 B. x 1 C. x x 2 D. x x 12
18. El trinomio x 2 5 x 6 se factoriza como: A. x 6 x 1 B. x 6 x 1 C. x 6 x 1 D. x 6 x 1 19. El trinomio 5 x 2 4 x 1 se factoriza como: A. 5 x 1 x 1 B. 5 x 1 x 1 C. 5 x 1 x 1 D. 4 x 1 x 1 20. x 3 3 x 2 3x 1 es igual a: A. B. C. D.
3
x x 31 1 x x 13 x x 3 1
21. El binomio x 4 1 es igual a: A. x 1 x 1x 2 1 B. x 1 x 1x 2 1 C. x 1 x 1x 2 1 D. x 1 x 1x 2 1 WILSON VELÁSQUEZ y LÉIDER SALCEDO
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22. La expresión
ab ba
es igual a:
A. 1 B. 1 C. b a D. x 1 23. es igual a: m 1 m 1 x 1
A.
m 1 x
B.
m x 1
C.
m 1 x 1
D.
2m 2 1
1
24. x
x
es igual a:
2
A. 0 B. C. D.
1
1 x
x x 1
x 2
1
25. 1 es igual a: x
A. 0 B. C.
1 x
1
x
1
D. x x
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26.
m
x 1
es igual a:
x 1 m 1
A. 1 m
B.
m 1 C. m x
D.
x m
2
m es igual a: m 1
27. La expresión 2m m 1 m B. 2m 2
A.
C. 2m 2 m m2
D.
28.
m
x 3 x 2 x 1
1 x
es igual a:
A. x B. x 3 1
C. D.
x1
x 3
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