Unidad 3 Distribución discreta y continua

Unidad: 3 Distribución de probabilidades discretas y continuas. continuas . Variable aleatoria. Es una descripción numérica del resultado de un experimento.

Variables aleatorias discretas. Son las variables aleatorias que pueden tomar un número finito de valores o un número infinito de valores en una sucesión. Ejemplos: Experimento Llamar a cinco clientes Insp Inspec ecci cion onar ar env envío ío de de 50 piez piezas as Hacerse cargo de la administración de un restaurante durante un día Observar los automóviles que llegan a las cabina de peajes

Variable aleatoria (x) Número de clientes que hacen un pedido Núme Número ross de piez piezas as qu quee tienen algún defecto Número de clientes

Valores posibles (x) 0, 1, 2, 3, 4, 5 0, 1, 2, …49, 50 0,1,2,3,..10,11,…

Número de automóviles que 1, 2,..50,..1000.. llegan a la cabina en un día

Variables aleatorias continuas. Toma Toma cual cualqu quie ierr valor valor numér numéric icoo dentro dentro de un inter interva valo lo o de un unaa colecc colecció iónn de intervalos. Los resultados experimentales experimentales basados en escalas escalas de medición tales como como tiempo, peso, distancia y temperatura pueden ser descritos por variables aleatorias continuas. Ejemplos: Experimento Operar un un banco Llenar un botella de gaseosa Constr Construir uir una una bibli bibliote oteca ca Probar un proceso químico nuevo

Variable aleatoria (x) Valores posibles (x) Tiempo en minutos entre la la llegada de x ≥ 0 los clientes Cantidad de cm3 0 ≤ x ≤ 1000 Porcen Porcentaje taje del proy proyect ectoo termin terminado ado en en seis meses Temperatura a la que tiene lugar la reacción deseada

0 ≤ x ≤ 100 150° ≤ x ≤ 212°

Un modo de determinar si una variable aleatoria es discreta o continua es imaginar los valores de la variable aleatoria aleatoria como puntos sobre sobre un segmento segmento de la recta. Elegir dos puntos puntos que representen representen valores valores de de la variab variable le aleatori aleatoria. a. Si todo todo el segmento segmento de la recta entre esos dos puntos representa también valores posibles para la variable aleatoria, entonces la variable aleatoria es continua.

Distribuciones de probabilidad discretas. La distribución de probabilidad de una variable aleatoria describe como se distribuyen las probabilidades entre los valores de la l a variable aleatoria. En el caso de una variable aleatoria discreta x, la distribución de probabilidad está definida por una función de probabilidad, denotada por “f(x)”. La función de probabilidad da la probabilidad para cada valor de la variable aleatoria.

CONDICIONES REQUERIDAS PARA UNA FUNCIÓN DE PROBABILIDAD DISCRETA. • •

f(x) ≥ 0 ∑ f(x) = 1

Ejemplo: Una concesionaria concesionaria de autos vende vende durante los últimos 300 días. Los datos muestran que durante durante 54 días no se se ven vendió dió ningún ningún automóvil, automóvil, 117 días días en los los que vendió vendió 1 automóvil por día, 72 días días en los que vendió vendió 2 autos, 42 días en los que vendieron 3 autos, 12 días en los vendieron 4 automóviles y 3 días en los que vendieron 5 automóviles. Definimos la variable aleatoria como x= número de autos vendidos en un día, de acuerdo a los datos del pasado se sabe que x es una variable aleatoria discreta que puede tomar tomar los valores 0, 1, 2, 3, 4 o 5. En la notación notación de funciones de probabilidad vender 0 automóviles. Y así así sucesivamente con las otras. La f(0) da la probabilidad de vender probabilidad de vender en un día 0 automóvil es = 54/300 = 0,18, se arma una tabla y se asignan las probabilidades. x

f(x)

0 0,18 1 0,39 2 0,24 3 0,14 4 0,04 5 0,01 Total 1 Se observa las probabilidades de la variable aleatoria  x  satisfacen las condiciones requeridas para un función de probabilidad o sea que f(x) sea igual o mayor a 0 y la suma de las probabilidades sean iguales a 1.

Se pueden representar gráficamente, en el eje horizontal los valores de la variable aleatoria  x  y en el eje vertical aparecen las probabilidades correspondientes a estos valores. DISTRIBUCION DE PROBABILIDAES DISCRETAS

  s   a    t   n   e   v   e    d   s   a    d   i   r   a   a    i    d    i    d    l    i    b   a    b   o   r    P

0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 0

1

2

3

4

5

Ventas diarias

Además de tablas y gráficos, para describir las funciones de probabilidad se suele usar  una fórmula que da el valor de la función de probabilidad f (x), para cada valor de x. FUNCIÓN DE PROBABILIDAD UNIFORME DISCRETA f(x) = 1 / n n = números de valores que puede tomar la variable aleatoria

Ejemplo. Si en el experimento que consiste en lanzar un dado se define una variable aleatoria x  como el número de puntos en al cara del dado que cae hacia arriba. En este experimento la variable aleatoria toma n = 6;  x  = 1, 2, 3, 4, 5, 6; la función de probabilidad de esta variable aleatoria uniforme discreta es f(x) = 1/ 6

x= 1, 2, 3, 4, 5, 6 x

1 2 3 4 5 6

f(x)

1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6

Las funciones de probabilidad discreta más empleadas suelen especificarse mediante fórmulas. Las principales son: • • •

Distribución binomial Distribución de Poisson Distribución hipergeométrica

Valor esperado El valor esperado o media de una variable aleatoria es una medida de la localización central de la variable aleatoria. VALOR ESPERADO DE UNA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA E(x) =  µ  = ∑  x. f (x)

La ecuación indica que para calcular el valor esperado de una variable aleatoria discreta se multiplica cada valor de la variable aleatoria por su probabilidad correspondiente f (x). Volviendo al ejemplo de las ventas de autos, tenemos: x

f(x)

0 1 2 3 4 5

x . f(x)

0,18 0,39 0,24 0,14 0,04 0,01

0. (0,18)= 0,00 1. (0,39)= 0,39 2. (0,24)= 0,48 3. (0,14)= 0,42 4. (0,04)= 0,16 5. (0,01)= 0,05 1,50

E(x) =  µ  = ∑  x. f(x) = 1,50

Indica que el valor esperado es de 1,50 automóviles por día. Si en el mes hay 30 días podemos pronosticar que las ventas promedio mensuales serán de 30 (1,50) = 45 autos.

Varianza Medida de variabilidad o dispersión su utiliza para resumir la variabilidad en los valores de la variable aleatoria. VARIANZA DE UNA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA Var(x) = σ   2 = ∑ (x -

 µ  )2

f(x)

Para el caso de venta de autos, la varianza es la siguiente: x

 µ 

x-

0 1 2 3 4 5

(x -

0 – 1,50 = -1,50 1 - 1,50 = -0,50 2 – 1,50 = 0,50 3 - 1,50= 1,50 4 - 1,50= 2,50 5 - 1,50= 3,50

σ   2

 µ  )2 

2,25 0,25 0,25 2,25 6,25 12,25

f(x)

0,18 0,39 0,24 0,14 0,04 0,001

(x -

 µ  )2 f(x)

2,25 (0,189= 0,4050 0,25 (0,39)=0,0975 0,25 (0,24)= 0,0600 2,25 (0,14)= 0,3150 6,25 (0,04)= 0,2500 12,25 (0,01)= 0,1225 1,2500

= ∑ (x -  µ  )2  f(x) = 1,2500

La desviación estándar  σ   , se define como a raíz cuadrada positiva de la varianza. DESVIACIÓN ESTANDAR

σ =√σ2 σ = √1,25 = 1,1180

Distribución de probabilidad binomial La distribución de probabilidad binomial es una distribución que tiene muchas aplicaciones. Esta relacionada con un experimento de pasos múltiples al que se le llama experimento binomial.

Propiedades de un experimento binomial: El experimento consiste en una serie de “n” ensayos idénticos. En cada ensayo hay dos resultados posibles. A uno de estos resultados se le llama éxito y al otro fracaso. 3) La probabilidad de éxito, que se denota “p”, no cambia de un ensayo a otro. Por  ende, la probabilidad de fracaso, que se denota “1 –p” , tampoco cambia de un ensayo a otro. 4) Los ensayos son independientes. 1) 2)

“Lo que interesa en un experimento binomial es el número de éxitos en “n” ensayos, si “x” denota el número de éxitos en “n” ensayos, es claro que x tomará valores 0, 1, 2, 3, ……., “n”  dado que el número de estos valores es finito, “x” es una variable aleatoria discreta.”

A la distribución de probabilidad correspondiente a esta variable aleatoria se la llama “distribución de probabilidad binomial” . Ejemplo: “lanzar una moneda cinco veces y observar si la cara de la moneda cae hacia arriba o hacia abajo (ceca). Si analizamos si cumple con las propiedades de un experimento binomial y ¿cuál es la variable aleatoria? Tenemos: a) El experimento consiste en cinco ensayos idénticos, cada ensayo es lanzar una moneda.  b) En cada ensayo hay dos resultados posibles: “cara o ceca”. Se puede considerar cara como “éxito” y ceca como “fracaso”. c) La probabilidad de éxito y la probabilidad de fracaso son iguales en todos los ensayos, siendo  p= 0,5 y 1-p = 0,5. d) Los ensayos o lanzamientos son independientes porque al resultado de un ensayo no lo afecta que pasa en los siguientes lanzamientos. Por lo tanto, se satisfacen las propiedades de un experimento binomial. La variable aleatoria que interesa es “x = números de caras” que aparecen en cinco lanzamientos. En este caso “x” puede tomar los valores 0, 1, 2, 3, 4, ó 5. Otro ejemplo: Consideremos las decisiones de compra de los próximos 3 clientes de un negocio de venta de ropas. De acuerdo con la experiencia, el gerente del local estima que la probabilidad que un cliente realice una compra es = 0,30. ¿Cuál es la probabilidad que 2 de los próximos 3 clientes realice una compra? Entonces se verifican primero las propiedades del experimento binomial: a) Es posible describir el experimento como una serie de tres ensayos idénticos, un ensayo por cada uno de los clientes que llegan al local. b) Cada ensayo tiene dos posibles resultados: el cliente hace una compra (éxito) o el cliente no hace ninguna compra (fracaso). c) La probabilidad que el cliente haga una compra (0,30) o que no haga ninguna compra (0,70) se supone que es la misma para todos los clientes. d) La decisión de comprar de cada cliente es independiente de la decisión de comprar de los otros clientes. Podemos realizar un diagrama de árbol de experimento para observar a los tres clientes para ver si cada uno de ellos decide realizar una compra, tiene ocho posibles resultados. Denotamos con “E” como éxito (compra) y “F” fracaso (no compra), lo que interesa son los resultados experimentales en los que haya “2 éxitos” (decisiones de compra) en los tres ensayos.

Diagrama de arbol Primer  Cliente

Segundo Cliente

Tercer  Cliente

E

E

F

E

F

E F

F

E E

F

F

E

Resultado Experimental 

Valor de x 

(E; E; E)

3

(E; E; F)

2

(E; F; E)

2

(E; F; F)

1

(F; E; E)

2

F; E; F)

1

(F; F; E)

1

(F; F; F)

0

F

El diagrama nos indica en los resultados experimentales que hay dos compra, elnúero de maneras posibles  x =2 éxitos en n= 3 ensayos.

Función de probabilidad binomial. f(x) = nC  x  . p x  (1 – p)(n-x) f(x)=

n!  x! (n- x)! 

p x  (1 – p)(n-x)

Donde: f(x )= probabilidad de x éxitos en n ensayos n = números de ensayos  p= probabilidad de éxitos en cualquiera de los ensayos 1 – p= probabilidad de un fracaso en cualquiera de los ensayos.

Siguiendo con el mismo ejemplo podemos calcular la probabilidad de que el local de ropa que ningún cliente compre; que exactamente un cliente realice una compra; que exactamente dos clientes realicen una compra y que tres clientes realicen una compra.

x

f(x)

0

3!

(0,30)0(0,70)3 = 0,343

1

0! 3! 3! (0,30)1(0,70)2 = 0,441

2

1! 2! 3! (0,30)2(0,70)1 = 0,189

3

2! 1! 3! (0,30)3(0,70)0 = 0,027 3! 0!

Total

1,000

Representación gráfica Distribución Probabilidad Binomial 0,5 0,45 0,4        d 0,35      a        d 0,3        i        l        i        b 0,25      a        b      o 0,2      r        P

0,15 0,1 0,05 0 0

1

2

3

Número de clientes que hace n una compra

La función de probabilidad binomial es aplicable a cualquier experimento binomial. Si encuentra que una situación presenta las propiedades de un experimento binomial y conoce los valores de “n” y “p”  se usa la ecuación para calcular la probabilidad de “ x”  éxitos en “n” ensayos.

Uso de la tabla Binomial Halle la probabilidad que lleguen al local de ropa 10 clientes o sea n0 10 y que x= 4; p= 0,30 f(x)=

n!  x! (n- x)! 

p x  (1 – p)(n-x)

f(4) = 10! (0,30)4 (0,70)6 = 0,2001 4!6! Por la tabla se comienza a buscar por la n= 10 ; luego se identifica la x= 4; se sigue el renglón hasta hallar la p= 0,30 y el resultado nos da 0,2001.

Otro ejemplo: n= 20 x = 0, 1, 2 p= 0,10 f(x ≤ 2) = f(0) + f(1) + f(2) = 0,1216 + 0,2702 + 0.2852 = 0,6670

Valor esperado binomial Si la variable aleatoria tiene una distribución binomial en la que se conoce el número de ensayos “n” y la probabilidad de éxitos “p”, la fórmula es la siguiente:

VALOR ESPERADO BINOMIAL

E (x) =

 µ 

= n.p

Continuando con el ejemplo del local de ropa el gerente pronostica para el próximo mes que 1000 clientes visitaran el negocio. ¿Cuál es el número esperado de clientes que harán una compra? Aplicando la formula del valor esperado sería.

E(x) =  µ  = n. p E(x) = (1000) (0,30) = 300 clientes.

Varianza y desviación estándar en la distribución binomial

VARIANZA Y DESVIO ESTANDAR Var (x) = σ   2 = n. p (1 – p) Desvío estándar = σ   =

σ  

2

Para los próximos 1000 clientes que visiten el local de venta la varianza y el desvío estándar será de: σ   2

σ  

= n. p (1 – p) = (1000) (0,30) (1 – 0,30) = 210

=

σ  

2

=

210

= 14,49

Características y usos del distribución binomial. 1)

Cuando “n” es pequeña y “p” también , o sea cuando “p”  es menor a 0,50.

2)

Cuando “n” es pequeña y “p”  grande o sea mayor a 0,50

3)

Cuando “p” = 0,50 y/o “n” es grande.

4) No es una distribución simétrica. 5)

 µ  + / −1σ   = 75 %  µ  + / − 2σ   = 97%

Distribución de probabilidad de Poisson

Estudia a una variable aleatoria discreta que se suele utilizar para estimar el número de veces que sucede un hecho determinado (ocurrencias) en un intervalo de tiempo o de espacio.

Propiedades del experimento de Poisson. 1) La probabilidad de ocurrencia es la misma para cualquiera de los intervalos de la misma magnitud. 2) La ocurrencia o no-ocurrencia en cualquier intervalo es independiente de la ocurrencia o no-ocurrencia en cualquier otro intervalo.

FUNCIÓN DE PROBABILIDAD DE POISSON f(x) =

 µ  x  e-  µ 

x!  f(x)= probabilidad de x ocurrencias en un intervalo  µ  = número medio de ocurrencias en un intervalo e= 2,71828 

El número de ocurrencias  x , no tiene limite superior, es una variable discreta que toma los valores de una sucesión infinita de números ( x =0, 1, 2; …….) Ejemplo. Suponga que desea saber el número de personas que llegan en un lapso de 15 minutos al cajero automático de un banco, en un análisis de datos pasados se establece que el número promedio de personas que llegan en un lapso 15 minutos es de 10 personas. Verificada el cumplimiento de las propiedades. Y la administración quiere saber la probabilidad que lleguen exactamente 5 personas en 15 minutos, x = 5 y se obtiene: f (5) =

 µ  =

 x = 5

10

105 e- 10 = 0,0378 5!

Suponga que desea calcular la probabilidad que llegue 1 persona en un lapso de 3 minutos. Entonces es la siguiente, como 10 personas es el número esperado de llegada en 15 minutos debemos realizar lo siguiente 10 /15 = 2/3 es el número esperado de personas en un lapso de 1 minuto. Entonces debemos multiplicar 2/3 (3) = 2 es el número esperado en 3 minutos. Por consiguiente la probabilidad de llegadas  x  en un lapso de 3 minutos con  µ  = 2, está dada por siguiente función de probabilidad de Poisson. f(x) = 2x e-2 = f(1)= 2 e – 2 = 0,2707 x! 1!

Varianza y desviación estandar  Una propiedad de la distribución de Poisson es que la media y la varianza son iguales, entonces tenemos que  µ 

2  = σ  , por lo tanto la desviación estándar es igual a la raíz cuadrada de la

varianza o sea, σ = √σ2  µ   µ 

+- σ = contiene el 71% de las probabilidades +- 2 σ = contiene el 96% de las probabilidades

Distribución de probabilidad continua .

Las funciones de probabilidad correspondientes a una variable aleatoria continua reciben el nombre de funciones de densidad de probabilidad o simplemente funciones de densidad. Si en un experimento puede dar lugar a un número infinito y no enumerable de resultados, estamos frente a una variable aleatoria continua. Cuando el valor de una variable aleatoria “se mide y no se cuenta” queda definida como una variable aleatoria continua.

Ejemplos: Nivel de agua en un lago La presión en una caldera La distancia entre dos puntos Temperaturas •

•

• • •

•

La cantidad de gramos en una caja de cereales El tiempo de vuelo entre dos ciudades.

El valor de la variable puede ser cualquiera de los infinitos números pertenecientes a un intervalo definido. Puede tomar cualquier valor entre dos límites.

Ejemplo: Considere una variable aleatoria x que represente el tiempo de vuelo de un avión que viaja de Bs.As. a San Pablo. Suponga que el tiempo de vuelo es cualquier valor en el intervalo de 120 minutos a 140 minutos. Dado que la variable aleatoria x toma cualquier valor en este intervalo, x es una variable aleatoria continua y no una variable aleatoria discreta. Se admite que la probabilidad es la misma para todos los intervalos de 1 minuto dentro del mismo intervalo de tiempo, entonces se dice que tiene una distribución de probabilidad uniforme. La función densidad es la siguiente:

FUNCION DE DENSIDAD DE PROBABILIDAD UNIFORME 1

f(x)

b–a

para

a ≤  x ≤ b

0 en cualquier otro caso

En el caso de la variable tiempo de vuelo a = 120 y b= 140

f(x)

1/20

120

130

140

x

Tiempo de vuelo en minutos

Área como medida de probabilidad. La probabilidad en una función de densidad de probabilidad continua se representa por  el área comprendida entre el eje x y la función de densidad. Por lo tanto la probabilidad de que la variable aleatoria continua tome cualquier valor puntual específico es igual a “0” cuando dicha variable es continua, las probabilidades son del tipo P( a ≤  x ≤ b ) que se refieren a intervalos. P(

a ≤  x ≤ b

) = área bajo f(x) desde a hasta b

En el caso del ejemplo anterior si queremos saber ¿Cuál es la probabilidad de que tiempo de vuelo se encuentre entre 120 y 130 minutos? Es decir P (120 ≤ x ≤ 130). Como el tiempo de vuelo debe estar entre los 120 y los 140 minutos y como se ha dicho que la probabilidad es uniforme en este intervalo, es factible decir que la P(120 ≤ x ≤ 130) = 0,50 f(x)

1/20 10

120

130

140

Tiempo de vuelo en minutos

x

Dada la distribución uniforme del tiempo de vuelo y usando la interpretación de área como probabilidad es posible contestar cualquier pregunta acerca de la probabilidad de los tiempos de vuelo. ¿Cuál es la probabilidad de un tiempo de vuelo entre 128 y 136 minutos? • • •

Ancho del intervalo es: 136 -128 = 8 Altura uniforme es 1/ 20 Entonces es 8 (1/20) = 0,40

Observe P (120 ≤ x ≤ 140) = 20 (1/20) = 1; es decir que el área total bajo la grafica de f(x) es iguala 1. Propiedades de las funciones de densidad. •

•

f(x) ≥ 0; la función densidad nunca es negativa P ( − ∞ ≤ x ≤ +∞ ) = 1 ; el área total bajo la función de densidad siempre es igual a “1”

Valor esperado y varianza E(x) = µ, es la media, es la medida de posición central o punto de equilibrio de la función densidad. V(x) = σ2 y el desvío estándar es σ =

σ  

2

Distribución de probabilidad normal También llamada distribución de Gauss, es la más conocida y utilizada de todas las distribuciones de probabilidad. Tiene gran cantidad de aplicaciones prácticas en las cuales las variables aleatorias pueden ser el peso o la estatura de las personas, puntuaciones de exámenes, precipitación pluvial, longitud, altura, temperaturas, grosor  de cuerpos, mediciones de glóbulos, aptitudes o capacidades humanas, etc. La forma de la curva de la distribución normal tiene forma de campana, a continuación se presente la función de densidad de probabilidad que define la curva en forma de campana de la distribución normal.

CURVA NORMAL

Función de densidad de probabilidad normal f(x) =

1 σ 

e-(x-µ)2 / 2σ2 

2π  

µ= media σ= desviación estándar  π   = 3,14159 e = 2,71828

Las principales características de las distribución normal son. Toda distribución normal se diferencia por medio de dos parámetros la media “µ” y la desviación estándar “σ”. •

•

•

•

•

El punto más alto de una curva normal se encuentra sobre la media “µ”, la cual coincide con la mediana y la moda. La media de una distribución normal puede tener cualquier valor: negativo, positivo o cero. La distribución normal es simétrica. Las colas de la curva normal se extienden al infinito en ambas direcciones y en teoría jamás tocan el eje horizontal. Dado que es simétrica la distribución normal no es sesgada: su sesgo es =0. La desviación estándar determina que tan plana y ancha es la curva. Desviaciones estándar grandes corresponden a curvas más planas, lo cual indica mayor variabilidad en los datos.

•

•

Las probabilidades correspondientes a la variable aleatoria normal se dan mediante áreas bajo la curva. Toda el área bajo la curva de una distribución normal es “1”. Como esta distribución es simétrica, el área bajo la curva y a la izquierda de la media es 0,50 y el área bajo la curva y a la derecha es 0,50. Los porcentajes de los valores que se encuentran en algunos intervalos comúnmente usados son: µ+- 1σ = 68,2% de los valores de una variable aleatoria normal. µ+- 2σ = 95,4% de los valores de una variable aleatoria normal. µ+- 3σ = 99,7 % de los valores de una variable aleatoria normal.

Distribución de probabilidad normal estándar.

Una variable aleatoria que tiene una distribución normal con una media igual a “0” y desviación estándar igual a “1”, tiene una distribución normal estándar. Para designar  esa variable normal se suele usar la letra “z” • •

µ=0 σ=1 FUNCION DE DENSIDAD NORMAL ESTANDAR f(z) = 1

e –z2  / 2 

2π  

Como ocurre con otras variables aleatorias continuas, los cálculos de la probabilidad se hacen calculando el área bajo la curva de la función de densidad de probabilidad. Para la distribución normal estándar ya se encuentran calculadas las áreas bajo la curva normal y se cuentan con tablas que dan esas áreas y que se usan para calcular las probabilidades. Conversión a la variable aleatoria normal estándar 

Z=

x-µ

σ

1) Convertimos el problema en otro equivalente con una variable medida en unidades de desviación estándar que recibe el nombre de variable normal estandarizada 2) Se usa la tabla para tener respuesta al problema transformado. 3) Finalmente volviendo a las unidades originales de medida de x, podemos obtener la respuesta al problema original.

µ =0 y σ =1

Ejemplo: µ = 10 σ= 2 ¿Cuál es la probabilidad de que la variable aleatoria x esté entre 10 y 14? Z= 10 – 10 = 0 2

y Z= 14 -10 = 2 2

P ( 0 ≤ z  ≤ 2 ) = P (  z  ≤ 2 ) - P(  z  ≤ 0 ) = 0,9772 – 0,5000 probabilidad que este x entre 10 y 14 es de 0,4772.

= 0,4772. Por lo tanto la

E(z) = E ( x-µ ) = 0 σ V(z)= V ( x-µ ) = 1 σ Si nos dan z y hay que hallar “x” es igual a:  x = Z.σ + µ

Si hay que halar “µ” es igual a: µ = Z . σ - x  Aproximación normal de las probabilidades binomiales. Se utiliza la aproximación normal cuando tienen. 1) La misma media µ= n . p 2) Misma varianza σ2 = n. p .(1-p) 3)

Se usa cuando los numero de observaciones tienden a infinito o sea cuando “n” es grande en estas condiciones aseguran que la distribución normal permitirá obtener  una aproximación razonablemente buena de la binomial una buena aproximación se la considera cuando:

n ≥ 30 n.p ≥5 n . (1-p) ≥ 5 Z = ( x-µ ) = σ

x–n.p n.  p.(1

−

p)

A medida que aumenta el tamaño tiende al formato de la distribución normal. Ejemplo: Suponga que una empresa sabe por la experiencia que 10% de sus facturas tienen algún error. Toma una muestra de 100 facturas y desea calcular la probabilidad de que 12 de estas facturas contengan algún error. Es decir, quiere hallar la probabilidad binomial de 12 éxitos en 100 ensayos. Aplicando la aproximación normal a este caso se tiene µ = n.p = (100)(0,1) = 10 y σ = np (1 − p) = (100 )( 0,1)( 0,9) 3 =

 µ  = 10 yσ   = 3

Se debe aplicar un factor de corrección de continuidad o sea que se lo trata como un intervalo 11,5 y 12,5. Entonces de una distribución binomial discreta se aproxima a P( 11 ,5 ≤ x ≤12 ,5 ) en la distribución normal continua. Z = x- µ = 12,5 – 10,0 = 0,83 σ 3 Z = x- µ = 11,5 – 10,0 = 0,50 σ 3 P( 11 ,5 ≤ x ≤12 ,5 ) = 0,7967 – 0,6915 = 0,1052