Unidad 2 Variable Aleatoria y Distribuciones de Probabilidad

Unidad 2 Variable aleatoria y Distribuciones de probabilidad Fase 6: Distribuciones de probabilidad Realizar los estudios de caso propuestos usando las distribuciones de probabilidad discretas y continua

Universidad Nacional Abierta Y A Distancia – Unad Escuela De Ciencias Administrativas, Contables, Económicas Y De Negocios - Ecacen 201

RESUMEN CONCE!OS !E"R#COS DE $% UN#D%D 2 CONCE!O DE V%R#%&$E %$E%!OR#% Una variable variable aleatoria es pues, una función que asigna un número real a cada resultado en el espacio muestral de un experimento aleatorio. Ellas se denotan con una letra mayúscula, tal como X.

Se dice que X es aleatoria porque involucra la probabilidad de los resultados del espacio muestral, y se define X como una función porque transforma todos los posibles resultados del espacio muestral en cantidades numéricas reales. Eemplo !. "onsidere el lan#amiento de una moneda. El espacio muestral de este experimento aleatorio est$ constituido por dos resultados% cara y sello. Si se define X&cara'() y X&sello'(!, se transforman los dos posibles resultados del espacio muestral en cantidades numéricas reales. *e esta manera +&X()' representa la probabilidad de que el resultado al lan#ar la moneda es cara. V%R#%&$E %$E%!OR#% D#SCRE!% *efinición Se dice que una variable aleatoria es discreta si toma un número finito o a lo m$s numerable de valores%

En este caso la ley de la variable aleatoria conunto de los valores posibles de al singleton

es la ley de probabilidad sobre el

que asocia la probabilidad

.

En la pr$ctica el conunto de los valores que puede tomar de .

es

o una parte

*eterminar la ley de una variable aleatoria discreta es% *eterminar el conunto de los valores que puede tomar "alcular

para cada uno de estos valores

. .

V%R#%&$E %$E%!OR#% CON!#NU% En el tema anterior se presentó el concepto de variable aleatoria como una función de valor que asigna un número real finito &o infinito contable' a cada

resultado en el espacio muestral de un experimento aleatorio variables aleatorias que -an sido denominadas discretas. En este tema, donde las variables aleatorias pueden tomar valores en una escala continua, el procedimiento es casi el mismo. Se dice que una variable aleatoria X es continua si el número de valores que puede tomar est$n contenidos en un intervalo &finito o infinito' de números reales. *ic-os valores pueden asociarse a mediciones en una escala continua, de manera que no -aya -uecos o interrupciones. En algunos casos, la variable aleatoria considerada continua en realidad es discreta, pero como el rango de todos los valores posibles es muy grande, resulta m$s conveniente utili#ar un modelo basado en una variable aleatoria continua. a distribución de probabilidad de una variable aleatoria continua X est$ caracteri#ada por una función f&x' que recibe el nombre de función de densidad de probabilidad. Esta función f&x' no es la misma función de probabilidad de una variable aleatoria discreta. a gr$fica de la función f&x' es una curva que se obtiene para un número muy grande de observaciones y para una amplitud de intervalo muy peque/a. 0ecuerde que la gr$fica de una función de probabilidad de una variable aleatoria discreta es escalonada, dando la sensación de pelda/os en ascendencia &ver figura !.!. &a''. Esta función de densidad de probabilidad f&x' permite calcular el $rea bao la curva que representa la probabilidad de que la variable aleatoria continua X tome un valor entre el intervalo donde se define la función.

V%$OR ESER%DO ' V%R#%N(% DE UN% V%R#%&$E %$E%!OR#% El valor esperado o esperan#a de una variable aleatoria tiene su origen en los  uegos de a#ar, debido a que los ugadores deseaban saber cual era su esperan#a de ganar o perder con un uego determinado. "omo a cada resultado particular del uego le corresponde una probabilidad determinada, esto equivale a una función de probabilidad de una variable aleatoria y el

conunto de todos los resultados posibles del uego estar$ representado por la distribución de probabilidad de la variable aleatoria. El valor esperado o esperan#a es muy importante, ya que es uno de los par$metros que describen una variable aleatoria. Sea X una variable aleatoria discreta con función de probabilidades f&x'. Entonces, el valor esperado de la variable aleatoria X, el cual se representa por E&X', est$ definido por% E&X' ( 1 xi f&xi' o anterior significa, que para calcular E&X' se multiplica cada valor que puede tomar la variable aleatoria por la probabilidad que le corresponde y después se suman esos productos. D#S!R#&UC#ONES DE RO&%&#$#D%D D#SCRE!% *istribuciones discretas y continuas  as distribuciones discretas son aquellas en las que la variable puede pude tomar un número determinado de valores%  Eemplo% si se lan#a una moneda al aire puede salir cara o cru# si se tira un dado puede salir un número de ! al 2 en una ruleta el número puede tomar un valor del ! al 34.  as distribuciones continuas son aquellas que presentan un número infinito de posibles soluciones% Eemplo% El peso medio de los alumnos de una clase puede tomar infinitos valores dentro de cierto intervalo &54,36 7g, 54,3625 7g, 54,36285!7g, etc' la esperan#a media de vida de una población &64,8 a/os, 64,8!3 a/os, 64,8!435 a/os'. D#S!R#&UC#"N &#NOM#%$ as distribuciones binomiales son las m$s útiles dentro de las distribuciones de probabilidad discretas. Sus $reas de aplicación incluyen inspección de calidad, ventas, mercadotecnia, medicina, investigación de opiniones, entre otras. Estas distribuciones permiten enfrentar circunstancias en las que los resultados pertenecen a dos categor9as relevantes% que ocurra un evento determinado o que no lo -aga. Este tipo de experimento aleatorio particular es denominado

ensayo de :ernoulli. Sus dos resultados posibles son denotados por ;éxito< y  ;fracaso< y se define por p la probabilidad de un éxito y !=p la probabilidad de un fracaso. En general, un experimento aleatorio que consiste de n ensayos repetidos tales que% os ensayos son independientes "ada ensayo es de tipo :ernoulli. Esto es, tiene sólo dos resultados posibles% ;éxito< o ;fracaso y su función de probabilidad es?% D#S!R#&UC#"N &#NOM#%$ NE)%!#V% ' )EOM*!R#C% En la distribución geométrica, la variable aleatoria estaba definida como el número de ensayos :ernoulli necesarios para obtener el primer éxito. Suponga a-ora que se desea conocer el número de ensayos -asta obtener r éxitos en este caso la variable aleatoria es denominada binomial negativa. a distribución binomial negativa o distribución de +ascal es una generali#ación de la distribución geométrica donde la variable aleatoria X es el número de ensayos :ernoulli efectuados -asta que se tienen r éxitos, con una probabilidad constante de éxito p. Se dice entonces que X tiene una distribución binomial negativa con par$metros p yr ( !, 4, 3,...  f&x,p,r'(x=!"r=! qx=r . pr x(r,r@!,r@r@4@....  Algunos autores denotan esta distribución como bB&x,p,r' Cbserve que en el caso especial donde r ( !, la variable aleatoria binomial negativa se convierte en una variable aleatoria geométrica. a tabla siguiente expresa la diferencia entre una variable aleatoria binomial y una variable aleatoria binomial negativa. En este sentido, la variable aleatoria binomial negativa se considera como el opuesto, o el negativo, de una variable aleatoria binomial. D#S!R#&UC#"N +#ER)EOM*!R#C% En la distribución binomial se ve9a que el muestreo se -ac9a con reempla#o, asegurando la independencia de los ensayos y la probabilidad constante.

Supóngase a-ora que el muestreo es sin reempla#o, caso en el cual los ensayos no son independientes. D#S!R#&UC#"N O#SSON Esta es otra distribución de probabilidad discreta útil en la que la variable aleatoria representa el número de eventos independientes que ocurren a una velocidad constante. a distribución de +oisson, llamada as9 en -onor a Simeón *enis +oisson probabilista francés que fue el primero en describirla, es el principal modelo de probabilidad empleado para anali#ar problemas de l9neas de espera, confiabilidad y control de calidad como el número de personas que llegan a un lugar determinado en un tiempo definido, los defectos en pie#as similares para el material, el número de bacterias en un cultivo, el número de goles anotados en un partido de fútbol, el número de fallas de una m$quina en una -ora o en un d9a, la cantidad de ve-9culos que transitan por una autopista, el número de llamadas telefónicas por minuto, etc. "omo se puede observar se trata de -allar la probabilidad de ocurrencia de cualquier número por unidad de medición &temporal o espacial'. *ado un intervalo de números reales, si éste puede dividirse en subintervalos suficientemente peque/os, tales que% a probabilidad de m$s de un acierto en un subintervalo es cero o insignificante. a probabilidad de una ocurrencia en un subintervalo es la misma para todos los subintervalos, y es proporcional a la longitud de estos. El conteo de ocurrencias en cada subintervalo es independiente del de los dem$s subintervalos. entonces el experimento aleatorio recibe el nombre de proceso +oisson o fluo de procesos de +oisson. Un proceso +oisson constituye un mecanismo f9sico aleatorio en el cual los eventos ocurren al a#ar en una escala de tiempo &o de distancia'. +or eemplo, la ocurrencia de accidentes en un cruce espec9fico de una carretera sigue dic-o proceso. "abe recordar que no es posible predecir con exactitud la cantidad de accidentes que pueden ocurrir en determinado intervalo de tiempo, pero s9 el patrón de los accidentes en gran número de dic-os intervalos. *ado un proceso +oisson donde D es el número promedio de ocurrencias en el intervalo de números reales donde este se define, la variable aleatoria X D#S!R#&UC#ONES DE RO&%&#$#D%D CON!#NU%

D#S!R#&UC#ON UN#FORME Se dice que una variable X posee una distribución uniforme en el intervalo a,bF, si su función de densidad es la siguiente%

"on esta ley de probabilidad, la probabilidad de que al -acer un experimento aleatorio, el valor de X este comprendido en cierto subintervalo de a,bF depende únicamente de la longitud del mismo, no de su posición. *GSH0G:U"GIJ JC0KA L USC *E A *GSH0G:U"GIJ JC0KA ESHAJ*A0 Es el modelo de distribución m$s utili#ado en la pr$ctica, ya que multitud de fenómenos se comportan según una distribución normal. Esta distribución de caracteri#a porque los valores se distribuyen formando una campana de Mauss, en torno a un valor central que coincide con el valor medio de la distribución% Nigura 3.4 Nunción de densidad de una variable aleatoria de distribución normal

*GSH0G:U"GCJ EX+CJEJ"GA L "OG "UA*0A*C *istribución Exponencial

Esta distribución se utili#a como modelo para la distribución de tiempos entre la presentación de eventos sucesivos. Existe un tipo de variable aleatoria que obedece a una distribución exponencial la cu$l se define como E HGEK+C PUE C"U00E *ES*E UJ GJSHAJHE *A*C OASHA PUE C"U00E E +0GKE0 SU"ESC. Se dice que una variable aleatoria continua tiene una distribución exponencial con par$metro D Q ) si su función de densidad es

Esperan#a o valor esperado% Rarian#a% Nunción de distribución acumulada es%