Unidad 2. Tmar, VPN ,Tir y CAUE

Unidad 2. TMAR, VPN Y TIR-caue EJEMPLO 3.2 Una

persona tiene dos alternativas de inversión, ambas de $15000. Sin embargo, la primera ofrece un pago de $5500 al final a cada uno de los próximos cuatro años; por otra parte, la segunda alternativa ofrece un pago único de $27500 al final de los cuatro años. Si la TMAR = 15%, decida cuál alternativa debe seleccionarse (véase la tabla 3.3).

EJEMPLO 3.3 Para

invertir en una empresa de productos plásticos se necesitan $1 250 millones. Los socios sólo cuentan con $700 millones. El resto se pedirá a dos instituciones financieras. La Financiera A aportará $300 millones por los que cobrará un interés de 25% anual. Por su parte, la Financiera B aportará $250 millones a un interés de 27.5% anual. Si la TMAR de los accionistas es de 30%, ¿cuál es el costo de capital o TMAR mixta para esta empresa? SOLUCiÓN La TMAR mixta se calcula como un promedio ponderado de todos los que aportan capital a la empresa. La tabla 3.4 es de cálculo. La TMAR mixta de esta empresa es 28.3%. Debe enfatizarse que en la práctica financiera el rendimiento exigido por los préstamos aumenta con el nivel de endeudamiento de la empresa. Por ejemplo, a partir de cierto nivel, digamos 20% del capital total de la empresa, la tasa exigida será constante, pero un endeudamiento por arriba de 20% hará que las tasas de interés se eleven de forma continua

1. Se invierten $500 con la expectativa de recibir $80 al final de cada uno de los siguientes ocho años. ¿Cuál es la tasa interna de rendimiento de la inversión? SOLUCiÓN lA Se tienen los siguientes datos del problema: P = 500, A = 80, n = 8. Como la incógnita es i, se puede hacer la siguiente determinación, mediante las fórmulas: resultado: TIR = 5.8%.

2. En un pozo petrolero se invirtieron $500 millones durante el año cero en las pruebas de exploración y perforación. A lo largo del primer año, para dejar al pozo en condiciones de extracción normal, se invirtieron adicionalmente $300 millones. Después de haber medido la presión del pozo, se espera que éste produzca beneficios anuales de $250 millones durante los siguientes 10 años. Determínese la tasa interna de rendimiento del pozo petrolero.resultado: -$500.

3. Se han invertido $32000 en un negocio que, según los cálculos, proporcionará ingresos de $7500 el primer año, con incrementos anuales de $500 durante cinco años. Al final de este tiempo, los activos que queden de la inversión podrían venderse en $5000. Si la TMAR del inversionista es 15% anual, determínese el VPN de los flujos de efectivo.

4. Una empresa metalmecánica ha crecido en los últimos años y ha sido financiada a partir del segundo con $100 millones anuales durante dos años y con $50 millones al siguiente año. La TMAR de la empresa es de 20% y en todos los préstamos la financiera siempre ha cobrado 12% de interés anual. Determínese la TMAR mixta del año 1 al 4, si la aportación inicial de la empresa fue de $900 millones. SOLUCiÓN En este tipo de problemas no hay más que una vía para solucionarlos y consiste en calcular, por año, el promedio ponderado de la TMAR (véas la tabla 3.5).

Procediendo de igual manera se calcula que la TMAR mixta del año 4 es de 18.25%

5. La empresa del problema 4 ha pronosticado un crecimiento sostenido en los siguientes años, por 10 que la financiera acordó seguir apoyándola. Sin embargo, se le informa a la empresa que, dado que su nivel de endeudamiento crece rápidamente, el interés aumentará en dos puntos porcentuales por cada incremento en un rango de 5%, de su nivel de endeudamiento, según se muestra en la tabla 3.6.

6.

Calcúlese la TIR del diagrama de flujo de efectivo mostrado en la gráfica 3.9.

7.

Encuéntrense las i del diagrama de flujo mostrado en la gráfica 3.14.

8.

Encuentre la i del diagrama de flujo mostrado en la gráfica 3.16.

Las dos raíces encontradas son i = 23.09%, i = 174.75%. 9. Una persona ganó $3000 en su primera apuesta en la lotería. Quince días más tarde volvió a jugar y ganó otros $2 500. Entusiasmada por su buena suerte decidió apostar $100 cada 15 días en forma constante durante cierto tiempo. Luego de 21 apuestas consecutivas quincenales sin obtener premio alguno, decidió no apostar más. Determine la tasa de rendimiento que obtuvo esta persona al incursionar en el mundo del juego.

10. Un estudio de factibilidad arrojó las siguientes cifras: inversión inicial $940000; beneficio neto el primer año, $105000 con incremento de $25000 en cada uno de los años siguientes; valor de salvamento $150000 al final del año 5. La inversión se plantea para un periodo de cinco años. Si la TMAR considerada es de 6% anual, determínese la conveniencia económica de hacer la inversión por medio de la TIR.

1-Calcúlese la tasa de interés de la gráfica 3.20.

Respuesta--- i=17% 123=

20 30 40 60 60 + + + 1 + 2 3 4 5 (1+i) (1+i) (1+ i) (1+i ) (1+i) por lo tanto i=17.1%

2-Encuentre la tasa de interés de la gráfica 3.21.

Respuesta--- tiene una sola TIR=13%

80 80 100 100 + + + 1 2 4 249= (1+i) (1+ i) (1+i ) (1+ i)5 por lo tanto i=13%

3-Por medio del método gráfico calcule las i de la gráfica 3.22.

Respuesta—tiene una sola TIR=191.11%

200

250

+

100= (1+i)1 (1+ i)2

−

100 300 350 + + 3 4 ( 1+i ) ( 1+i ) (1+ i)5

por lo tanto TIR=191.11

4-Una persona invierte $8464 a cambio de recibir $3 000 al final del año 1, $3 500 al final del año 3, $4000 al final del año 4 y $5 000 al final del año 5. ¿Cuál es la tasa de interés que recibirá por su inversión? Respuesta=i = 20%.

3000

+

3500

+

4000

+

5000

8464= (1+ I )1 (1+ I )3 (1+ I ) 4 (1+ I )5

POR TANTEO 1= 20%

5-Una persona invirtió $3 150 en un negocio que le produjo ganancias de $500 cada fin de año, de los años 1 a 6. Al final del año 7 su ganancia fue de $400, al final del año 8 la ganancia fue de $300 y al final del año 9 la ganancia fue de $200, momento en que decidió retirarse del negocio. Al final del año 9 también vendió todo lo que quedaba del negocio en $80. Determine la tasa de ganancia anual que obtuvo esta persona por la inversión que realizó durante nueve años.

Respuesta= 5.43%.

(1+i)6−1 400 300 280 500 ⌊ ⌋+ + + 6 7 8 3150= i(1+i) (1+i) (1+i) (1+i)9 5.48

por prueba y error se encuentra que i=

6-El departamento de finanzas de una empresa ha puesto en práctica el plan Navidad Feliz para sus empleados. Consiste en ahorrar quincenalmente $500, empezando el 15 de enero y terminando el 31 de noviembre. El 15 de abril, con el pago de utilidades por parte de la empresa, se ahorrarán $1 000 adicionales. Pero, el 31 de agosto y 15 de septiembre, por el gasto de la escuela de los hijos, no se efectuará ningún depósito. Si la empresa, por esta serie de aportaciones, se compromete a dar $12860 a cada ahorrador el 15 de diciembre de cada año, ¿cuál es la tasa de interés quincenal que está pagando? ¿Cuál es la tasa de interés efectiva anual que se paga?

Respuesta= Interés quincenal = 1.25%, interés efectivo anual = 34.7%.

500 ⌊

(1+i)15 −1 (1+i )5−1 ⌋ (1+i)8 +500 ⌊ ⌋ = i i

(1+i)1 +1 000(1+i)16=12,860.

Por tanteo i= 0.0125=1.25% quincenales. Ief= anual=

(1+0.0125)24−1=34

8-Una persona contrató su servicio telefónico domiciliario y en el momento del contrato adquirió unas acciones de la empresa de $1200. Esta persona no cobró los intereses en ningún periodo; después de ocho años un comprador le ofrece $3350 por las acciones. Si decide vender las acciones, ¿qué tasa de interés anual habrá ganado a lo largo de los ocho años) RESPUESTA i = 13.7% anual. P = 1200 F = 3350 F = P (1 + i)n 3350 = 1200(1 + i)8 Por tanteos i = 13.7% annual

9- Una constructora decidió edificar unos condominios para venderlos una vez terminados.

El programa de desembolsos e ingresos se muestra en la tabla 3.8.

Los ingresos pueden obtenerse de dos formas: vender de contado los condominios a una inmobiliaria por $2 500000 o hacerse cargo de la venta de cada departamento a particulares a un plazo de 10 años. Si la decisión es venderlo a plazos a particulares, ¿cuál es el ingreso anual uniforme que deberá recibirse cada fin de año, durante los próximos diez años, a partir de la terminación de la construcción, para que resulte indiferente esta opción o vender todo de contado? Considérese que en el periodo de construcción el interés se capitaliza semestralmente. RESPUESTA Deberán recibirse $616,663.

1000(1+i)4+ 100(1+i)3 +250(1+i)2+160 (1+ i)1 +432=2500 I= 10% semestral iefectivo anual= 21% anual

0.2100(1+0.2100)10 A= 2500.6 (1+ 0.2100)10 −1

(

)

= $616.6

10- Una institución de crédito prestó a una empresa 20 millones de pesos (mdp) con la facilidad de que la empresa pagaría la deuda como pudiera y que la institución de crédito le avisaría cuando la deuda estuviera saldada. La empresa realizó ocho pagos mensuales por 1.37 mdp cada mes, de los meses 1 al 8. Luego, por problemas económicos, suspendió los pagos de los meses 9 al 15. A partir del mes 16 y hasta el mes 30, la empresa pagó 1.2 mdp mensuales. Al momento en que la empresa hizo el pago al final del mes 30, la institución de crédito le comunicó que si pagaba 3 mdp al final del mes 31, consideraría que la deuda estaba saldada. Determine el interés efectivo anual que está cobrando la institución de crédito por este tipo de préstamos. RESPUESTA 3% mensual e interés efectivo anual de 42.57%.

(1+i)8 −1 (1+i)15−1 1 1 20=1.37 +1.2 + 8 15 15 (1+i) (1+i) (1+i ) (1+i)31

(

) (

)

por prueba y error se encuentra que i = 0.03 o 3% mensual iefectivo anua1 =

12

(1+0.03) −1 =0.4257 o

aprox. 43%

11-El Departamento de Alumbrado Público de una ciudad tiene tres propuestas mutuamente exclusivas

para instalar el servicio, cada una con diferente tecnología. Los datos de muestran en la tabla 3.9.

Si la TMAR que se aplica es de 10% anual, seleccione una alternativa por el Método del VPN. RESPUESTA Selecciónese A VPN = $31.36. VPNA = -2500 + 520(PIA, 10%, 7) = $31.36 VPNB = -3100 + 300(PIA, 10%, 5) + 100(PIG, 10%, 5) + 700(PIA, 10%, 2)(PIF, 10%,5) = $-522 VPNc = -2850 + 600(PIA, 10%, 3) -300(PIF, 10%, 4) + 700(PIA, 10%, 3)(PIF, 10%,4) = $-374 Selecciónese A VPN = $31.36 12. Calcule el VPN del problema 1, si la TMAR es de 15%. RESPUESTA VPN = $7.51.

VPN =−123+

20 30 40 60 60 + + + + 1 2 3 4 ( 1+0.15 ) ( 1+0.15 ) (1+ 0.15 ) ( 1+ 0.15 ) (1+ 0.15 )5 = $7.51

13. Encuentre el VPN del problema 3, si la TMAR es de 8%. RESPUESTA VPN = $679.

VPN =−100+

200 250 100 300 350 + − + + 1 2 3 4 ( 1+0.08 ) (1+0.08 ) ( 1+0.08 ) ( 1+0.08 ) ( 1+0.08 )5 =$ 679

14. El parque de diversiones infantiles Boredkingdom está considerando cinco propuestas para nuevas instalaciones con qué divertir a los niños. Los datos que ha logrado recabar la empresa se muestran en la tabla 3.10. Si el periodo de planeación es de cinco años y la TMAR de Boredkingdomes de 10%, determine la mejor propuesta con base en el cálculo del VPN.RESPUESTA B,VPN = $0.86 es la mejor opción.

VPNA = -1.8 + 0.6(PIA, 10%,5) = $0.47 VPNB = -1.3 + 0.57(PIA, 10%,5) = $0.86 VPNc = -0.5 + 0.2(PIA, 10%,5) = $0.25 VPND = - 3.2 + 0.99(PIA, 10%,5) = $0.55 VPNE = - 2.1 + 0.75(PIA, 10%,5) = $0.74 Selecciónese B VPN = $0.86 15. Para la compra de un automóvil existen dos planes: el primer plan es comprarlo de contado a un precio de $125000. El segundo plan consiste en dar un enganche de 30% del valor del auto, pagar 24 mensualidades de $5073.32 cada una, además del pago de dos anualidades de $10 000 cada una, la primera al final del mes 12 y la segunda al final del mes 24. Si se compra el auto a plazos, ¿cuál es la tasa de interés efectiva anual que se cobra por financiamiento? RESPUESTA Interés mensual de 4%, interés efectivo anual de 60.1 %.

(1+i)24−1 10,000 10,000 125,000=37500+ 4800 + + i(1+i)24 (1+i)12 ( 1+i)24

(

)

Por prueba y error se encuentra que imensual= 4%; i efectivo anual =

(1.04)12−1 =60.1%

16. Dos alternativas mutuamente exclusivas, cada una con vida útil de ocho años presentan los siguientes pronósticos de flujo de efectivo (véase la tabla 3.11).

Encuentre la TIR de cada alternativa por el método gráfico. RESPUESTA TIR A = 31.2%, TIRo = 39.5%.

10% VPNA = -675 + 200(PIA, 10%,4) + 350(PIA, 10%,4)(PIF, 10%,4) = $717 20% VPNA = -675 + 200(PIA, 20%, 4) + 350(PIA, 20%, 4)(PIF, 20%, 4)= $280 30% VPNA = -675 + 200(PIA, 30%,4) + 350(PIA, 30%, 4)(PIF, 30%, 4)= $24 35% VPNA = -675 + 200(PIA, 35%, 4) + 350(PIA, 35%, 4)(PIF, 35%, 4) = $-65 VPN = -900 + 400(PIA, i, 4) + 31 O (PIA , i, 4)(PIF, i, 4) 10% VPNB = $1039 20% VPNB = $523 30% VPNB = $201 40% VPNB = $-11 TIR A = 31.2% TIR B = 39.5% 17. A un exitoso hombre de negocios se le ha presentado un proyecto de inversión que consiste en una aportación inicial de $829.5 millones con ganancias de $100 millones durante el primer año y un incremento de $50 millones en cada uno delos años sucesivos. a) ¿Cuántos años será necesario mantener el negocio con ganancias en aumento para que la TMAR de este hombre sea de 18% anual? b) Si el inversionista exige más rendimiento al negocio y eleva su tasa de ganancia a 25%, vuélvase a responder el inciso a), pero con la TMAR = 25%.RESPUESTA a) 7 años, b) 10 años, considerando la capitalización anual de la inversión.

a) 829.5 = 100(PIA, 18%, n) = 50(PIG, 18%, n) n = 7 b) Con la misma ecuación pero con un i = 25%; n = 10, suponiendo que el interés

se capitaliza anualmente.

18. De las dos siguientes propuestas mutuamente exclusivas, con una TMAR de 12% y para un periodo de seis años determínese a) el VPN, b) la TIR de cada una (véase la tabla 3.12).

RESPUESTA a) VPNF = $93.88, VPNG = $42.17; b) TIRF = 15%, TI~ = 15%.

a) VPNF = -675.5 + 450(PIA, 12%, 3)(PIF, 12%,4) = $93.88 De la misma ecuación con VPN = O 675.5 = 450(PIA, i, 3)(P1F, i, 3)TIRF= 15% b) VPNG = -788.3 + 400(pIA, 12%,4) - 100(PIG, 12%,4) + 50(PIF, 12%,5) Para el cálculo de la TIR: 788.3 = 400(PIA, i%,~) - 100(PIF, i%, 4) + 50(PIF, i%, 5) = 42.17 TIRG= 15% 19. Una constructora desea adquirir una revolvedora móvil de mezcla para utilizarla en sus construcciones. El periodo de planeación es de cinco años y la TMAR de la constructora es de 8% anual. ¿Cuál revolvedora debe seleccionarse si se calcula el VPN? (véase la tabla 3.13).

RESPUESTA VPNR1 = - $278; VPNR2 = $16.7; R2 es una buena selección

VPNRJ = -2600 + (460 -lOO)(PIA, 8%, 5) + 1300(PIF, 8%, 5) = $-278 VPNR2 = -3400 + (740 -140)(PIA, 8%, 5) + 100(PIF, 8%, 5) = $+16.7 20. El propietario del Café Internet Free Chating invirtió $160000 en la compra y acondicionamiento de

un pequeño local. Al final del primer año invirtió $120000 en la compra de 10 PC. El negocio funcionó muy bien, pues al final del año 2 las ganancias fueron de $70000, al final del año 3 ganó $85000 y al final del año 4 ganó $100000. Ante tal situación, el propietario realizó una inversión adicional por $130000 al final del año 5 para una ampliación de las instalaciones. Sin embargo, las ganancias ya no fueron las esperadas y los ingresos netos fueron de sólo $40000 en cada uno de los años 6 alll, momento en que cerró el negocio y vendió todas las PC como chatarra en $20000. Con una TMAR = 7% anual a) determine por medio del VPN si fue conveniente el negocio durante los 11 años,

b) determine la tasa de rendimiento anual que ganó durante cada uno de los 11años. RESPUESTA a) VPN = - $12581.2; b) TIR = 6% anual.

[

6

( 1.07 ) −1 120 70 85 100 130 vpn=−160− + + + + +40 1 2 3 4 5 6 ( 1.07 ) ( 1.07 ) ( 1.07 ) (1.07 ) ( 1.07 ) 0.07 ( 1.07 )

][ ]

1 20 + 5 ( 1.07 ) ( 1.07 )11

a) Con las cifras expresadas en miles en la ecuación anterior se encuentra que VPN = -12581.2. No aceptar b) Con la misma ecuación igualando el VPN a cero y teniendo como única incógnita a i, se tiene que, por prueba y error: TIR = 6%