Unidad 2 Matrices y Determinantes

INSTITUTO TECNOLOGICO de Lázaro Cárdenas.

ALGEBRA LINEAL INVESTIGACION 2. MATRICES Y DETERMINANTES

NOMBRE DEL ALUMNO: APELLIDO PATERNO APELLIDO MATERNO HERNANDEZ

REYES

NOMBRE(S) LUIS MIGUEL

SEMESTRE: AGOSTO-DICIEMBRE DE 2012. SALON: D4. CONTADOR PÚBLICO. FECHA DE ENTREGA: 10 DE SEPTIEMBRE DEL 2012

“Unidad 2 Matrices y Determinantes”

ÍNDICE Presentación. Introducción. Definición de matriz notación científica y orden. Operaciones con matrices. Clasificación de las matrices. Transformaciones elementales por renglón. Escalonamiento de una matriz, rango de una matriz. Calculo de inversa de una matriz. Definición de determinantes de un matriz. Propiedades de las determinantes. Inversa de una matriz cuadrada a través de la adjunta. Aplicaciones de matrices y determinantes. Aplicación de matrices y determinantes. Conclusión. Bibliografía.

“Unidad 2 Matrices y Determinantes” INTRODUCCIÓN Teoría de matrices y Álgebra lineal, ramas de las matemáticas, relacionadas entre sí, que son herramientas fundamentales en las matemáticas puras y aplicadas, y cada vez más importantes en las ciencias físicas, biológicas y sociales para sus aplicaciones en las diferentes circunstancia que se presente .

La utilización de matrices constituye actualmente una parte esencial de los lenguajes de programación, ya que la mayoría de los datos se introducen en los ordenadores como tablas organizadas en filas y columnas

Bueno es este tema se hablara de las operaciones con matrices que se puede clasifica por varios elementos tales como m-por –n A y B su suma A+B y que tiene propiedades como la asociativa la conmutativa existencia de matriz cero o matriz nula gracias a las matrices podemos resolver los diferentes problemas que se verán en esta unidad. Identificaras que las matrices se clasifican en triangular superior, triangular inferior, diagonal, escalar, identidad, potencia, periódica, nilpotente, idempotente, involutiva, transpuesta, simétrica, antisimétrica, compleja, conjugada, hermitiana, antihermítiana, ortogonal.

“Unidad 2 Matrices y Determinantes” 2.1 Definición de matriz, notación y orden.

Las matrices aparecen por primera vez hacia el año 1850, introducidas por J.J. Sylvester. El desarrollo inicial de la teoría se debe al matemático W.R. Hamilton en 1853. En 1858, A. Cayley introduce la notación matricial como una forma abreviada de escribir un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas.

Se llama matriz de orden "m × n" a un conjunto rectangular de elementos aij dispuestos en m filas y en n columnas. El orden de una matriz también se denomina dimensión o tamaño, siendo m y n números naturales. Para poder expresar una matriz y diferenciarla tenemos que saber su notación. Definición: Una matriz es una tabla rectangular de números. Una de las principales aplicaciones de las matrices es la representación de sistemas de ecuaciones de primer grado con varias incógnitas. Cada fila de la matriz representa una ecuación, siendo los valores de una fila los coeficientes de las distintas variables de la ecuación, en determinado orden. Notación: Las matrices se denotan con letras mayúsculas: A, B, C, ... y los elementos de las mismas con letras minúsculas y subíndices que indican el lugar ocupado: a, b, c, Un elemento genérico que ocupe la fila i y la columna j se escribe aij . Si el elemento genérico aparece entre paréntesis también representa a toda la matriz : A = (aij)

“Unidad 2 Matrices y Determinantes” Cuando nos referimos indistintamente a filas o columnas hablamos de líneas. El número total de elementos de una matriz Am×n es m·n En matemáticas, tanto las listas como las tablas reciben el nombre genérico de matrices. Generalmente, una matriz se nombra por una letra mayúscula y sus elementos, una vez distribuidos en las filas y columnas respectivas, se encierran con corchetes o con paréntesis, así:

 a11 a12  a1n     a 21 a 22  a 2 n  A=   ;        a m 1 a m 2  a mn

 a11 a12  a1n     a 21 a 22  a 2n   O así: A =         1 2  a mn   am am

Orden de una matriz El orden de una matriz es el número de filas y de columnas que tiene esa matriz. Si el número de filas de una matriz A es "m" y el de columnas es "n", se suele anotar Amxn, leyéndose "matriz A de orden m por n". Elemento genérico El símbolo "aij", llamado elemento genérico de una matriz, se usa para indicar que el elemento por él designado ocupa el lugar correspondiente a la fila "i" y a la columna "j". En consecuencia, una anotación del tipo "a23" debe interpretarse que se trata del elemento "a", que ocupa el lugar correspondiente a la fila 2 y a la columna 3. Otra notación de una matriz Para el caso de una matriz A con m filas y n columnas, se debe entender que i varía desde 1 hasta m y que j varía desde 1 hasta n (siendo i y j variables en el conjunto de los números naturales). Por ello, otra forma de anotar una matriz A, de m filas y n columnas, que tiene como elemento genérico a aij, es: Amxn = (aij)

(i= 1, 2, ..., m; j= 1, 2, ..., n)

“Unidad 2 Matrices y Determinantes”  a11  a 21 Así, la matriz A =   a31   a41

a12 a13  a 22 a 23  a32 a33  a42 a43

Puede anotarse de esta forma: A4x3 = (aij)

(i= 1, 2, 3, 4; j= 1, 2, 3)

2.2. Operaciones con matrices Suma Dadas las matrices m-por-n A y B, su suma A + B es la matriz m-por-n calculada ( )[ ] [ ] sumando los elementos correspondiente [ ]) Es decir, sumar cada uno de los elementos homólogos de las matrices a sumar. Por ejemplo: [

]

[

]

[

]

Propiedades Asociativas Dadas las matrices (

)

(

)

Conmutativa Dadas las matrices

Existência de matriz cero o matriz nula

Existência de matriz opuesta [

]

[

]

“Unidad 2 Matrices y Determinantes” (

)

Producto por un escalar Dada una matriz A y un escalar c, su producto cA se calcula multiplicando el ( )[ ] escalar por cada elemento d A [ ]) Ejemplo ] =[

2[

]

[

]

Propiedades sean A Y B matrices y c y d escalares Clausura: Si A es matriz y c es escalar, entones cA es matriz. 

Asociatividad:( cd ) A = c(dA)



Elemento neutro: 1 A= A



Distributividad : 

De escalar : (



De matriz: (

) )

Producto Diagrama esquemático que ilustra El producto de dos matrices A and B dando como resultado la matriz AB El producto de dos matrices AB. se puede definir sólo si el número de columnas de la matriz izquierda es el mismo que el número de las de la matriz derecha. Si A es una matriz es una matriz entonces su producto matricial AB es la matriz ) dada por: (

)[

]

[

Para cada par

] [

]

) )

( (

[

] [

]

[

] [

]

.

Por ejemplo [ [

] ( (

[

] ) ] =[ )

]

“Unidad 2 Matrices y Determinantes” Propiedades Si los elementos de la matriz pertenecen a un cuerpo, y puede definirse el. Producto, el producto de matrices tiene las siguientes propiedades: Propiedad asociativa:(

)

(

)

Propiedad distributiva por la derecha: ( Propiedad distributiva por la izquierda (

) )

El producto de dos matrices generalmente no es conmutativo, es decir, . La división entre matrices, es decir, la operación que podría producir el cociente ⁄ . No se encuentra definida. Sin embargo, existe el concepto de matriz inversa, solo aplicable a las matrices cuadradas.

2.3 Clasificación de las matrices La transformación de la ampliada de una matriz mediante operaciones elementales ha dado origen al concepto de matrices elementales. Una matriz elemental se define como una matriz cuadrada que puede obtenerse a partir de la matriz identidad con una única operación elemental realizada sobre sus filas. Algunas matrices presentan características particulares en la posición o en la naturaleza de sus elementos. Muchas de ellas son tan importantes en la teoría y en las aplicaciones, que han recibido denominaciones específicas. Triangular superior Triangular inferior Diagonal Escalar Identidad Potencia Periódica Nilpotente Idempotente

Involutiva Transpuesta Simétrica Antisimétrica Compleja Conjugada Hermitiana Antihermítiana Ortogonal

Algunos tipos de matrices Hay algunas matrices que aparecen frecuentemente y que según su forma, sus elementos, reciben nombres diferentes:

Tipo de matriz

Definición

FILA

Aquella matriz que tiene una sola fila, siendo su orden 1×n

COLUMNA

Aquella matriz que tiene una sola columna, siendo su orden m×1

RECTANGULAR

Aquella matriz que tiene distinto número de filas que de columnas, siendo su orden m×n ,

TRASPUESTA

Dada una matriz A, se llama traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas. Se representa por At ó AT

OPUESTA

La matriz opuesta de una dada es la que resulta de sustituir cada elemento por su opuesto. La opuesta

Ejemplo

de A es -A.

NULA

Si todos sus elementos son cero. También se denomina matriz cero y se denota por 0m×n

CUADRADA

Aquella matriz que tiene igual número de filas que de columnas, m = n, diciéndose que la matriz es de orden n. Diagonal principal : son los elementos a11 , a22 , ..., ann Diagonal secundaria : son los elementos aij con i+j = n+1 Traza de una matriz cuadrada : es la suma de los elementos de la diagonal principal tr A.

SIMÉTRICA

Es una matriz cuadrada que es igual a su traspuesta. A = At , aij = aji

ANTISIMÉTRICA

Es una matriz cuadrada que es igual a la opuesta de su traspuesta. A = -At , aij = -aji Necesariamente aii =

Diagonal principal : Diagonal

secundaria

:

0

DIAGONAL

Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos excepto los de la diagonal principal

ESCALAR

Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos excepto los de la diagonal principal que son iguales

IDENTIDAD

Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos excepto los de la diagonal principal que son iguales a 1. También se denomina matriz unidad.

TRIANGULAR

Es una matriz cuadrada que tiene todos los elementos por encima (por debajo) de la diagonal principal nulos.

ORTOGONAL

Una matriz ortogonal es necesariamente cuadrada e invertible: A-1 = AT La inversa de una matriz ortogonal es

una matriz ortogonal. El producto de dos matrices ortogonales es una matriz ortogonal. El determinante de una matriz ortogonal vale +1 ó -1.

NORMAL

Una matriz es normal si conmuta con su traspuesta. Las matrices simétricas, anti simétricas u ortogonales son necesariamente normales.

INVERSA

Decimos que una matriz cuadrada A tiene inversa, A-1, si se verifica que : A·A-1 = A-1·A = I

Tipos de matrices  Cuando el número de filas es igual al de columnas (n = m) la matriz se llama matriz cuadrada.  Cuando n = 1 la matriz se llama matriz fila.  Cuando m = 1 la matriz se llama matriz columna.  Las matrices fila y columna se llaman habitualmente vectores.  Cuando en una matriz cuadrada son ceros todos los elementos que no están en la diagonal principal (la que va desde el ángulo superior izquierdo al ángulo inferior derecho) la matriz se llama matriz diagonal.  Si todos los términos de una matriz son cero, a la matriz se le llama matriz nula. y se representa por O.  Si una matriz diagonal tiene todos los términos de la diagonal iguales se llama matriz escalar.

 Si una matriz diagonal tiene todos los términos de la diagonal iguales a 1 se llama matriz unidad.  Dada una matriz, su traspuesta es la formada al disponer la fila 1 como columna 1, la fila 2 como columna 2... la fila n como columna n. La traspuesta de la matriz A se designa por tA (a veces se utiliza At o A').  Las matrices cuadradas en las que aij = 0 siempre que i > j o bien aij = 0 siempre que i < j se llaman matrices triangulares (superior o inferior, según el caso).  Una matriz se llama regular si tiene inversa. Si no tiene inversa se llama singular.  Una matriz es simétrica si es igual a su traspuesta.  Una matriz A es antisimétrica (o hemisimétrica) si su traspuesta es igual a A  Una matriz A es hermítica si coincide con la matriz traspuesta conjugada (se refiere a los números complejos conjugados). Es antihermítica si es opuesta con la matriz traspuesta conjugada.  Una matriz es periódica si existe algún p tal que Ap = A. Si p = 2 la matriz se llama idempotente.  Una matriz es nilpotente si existe algún p tal que Ap = O (matriz cero).  Una matriz es involutiva si A2 = I (matriz identidad).  Una matriz es ortogonal si tA = A-1.

Clasificacion de las matrices por su orden Por su orden (o dimensión), las matrices se clasifican en: a) rectangulares b) cuadradas.

Sea Amxn; Si m  n, la matriz se dice rectangular; Si m = n, la matriz se dice cuadrada.

 a11  a 21   a 31   a 41

a12 a13   a 22 a 23   a 32 a 33   a 42 a 43 

Matriz rectangular

 a11 a12 a13    a 21 a 22 a 23     a 31 a 32 a 33 

Matriz cuadrada

Matrices especiales Matriz fila: es la matriz que tiene una sola fila. Ejemplo:

B = b11 b12 b13= ( b1j )(j = 1, 2, 3) Matriz columna: es la matriz que tiene una sola columna. Ejemplo:

 c11   C = c 21 = ( ci1 ) (i = 1, 2, 3)   c31

Caracterización de las regiones de una matriz cuadrada Por el comportamiento de los subíndices i y j de un elemento del tipo aij de una matriz cuadrada cualquiera, es posible caracterizar tres regiones en ella: 1) 2) 3)

los elementos aij tales que i=j, forman la diagonal principal los elementos aij tales que ij, forman el triángulo inferior.

Matrices triangulares Si en una matriz cuadrada es: Aij = 0, ij Se dice que la matriz es triangular inferior. La que sigue es una matriz triangular inferior de orden 4:

a11   0 B=   0   0

a12

a13

a 22

a 23

0

a 33

0

0

a14   a 24   a 34   a 44 

Matriz diagonal Se llama matriz diagonal a toda matriz que es simultáneamente triangular superior y triangular inferior. Es inmediato que, en una matriz diagonal, es Aij = 0, ij.

El siguiente es un ejemplo de matriz diagonal:

d 11   0 D=   0   0

0

0

d 22

0

0

d 33

0

0

0  0  0  d 44 

Matriz escalar Se llama matriz escalar a toda matriz diagonal en la que: d11=d22=d33= ... = dii= k , siendo k un escalar. Este es un ejemplo de matriz escalar:

k  0 E= 0   0

0

0

k

0

0

k

0

0

0  0 0   k

Matriz identidad Se llama matriz identidad a la matriz escalar en la que k=1. La matriz identidad de orden n se anota In. Ejemplo:

1  0 I4=  0  0

0

0

1

0

0

1

0

0

0  0 0  1 

El elemento generador de una matriz identidad recibe el nombre de "Delta de Krocneker", se simboliza con δij y se define así:

 1 si i = j  ij =   0 si i  j De modo que In = (δij ) ; i,j = 1, 2, ..., n.

2.4 Transformaciones elementales por renglón. Escalonamiento de una matriz. Rango de una matriz. Transformaciones elementales por renglón. Una matriz es un arreglo rectangular de números. Estos números pueden ser los coeficientes de las variables de un sistema de ecuaciones, con lo que la matriz se llamará matriz de coeficientes del sistema. Una matriz con m renglones y n columnas se llama una matriz de m x n. Si en una matriz se vacía, además de los coeficientes de las ecuaciones, el lado derecho de éstas, entonces la matriz se denomina matriz aumentada. Operaciones elementales con renglones. 1. Multiplicar (o dividir) un renglón por un número diferente de cero. 2. Sumar un múltiplo de un renglón a otro renglón, . 3. Intercambiar renglones. Con estas operaciones se obtiene un nuevo renglón que resulta ser una combinación lineal del primero o bien, lo que se traduciría en una nueva ecuación equivalente. Escalonamiento de una matriz. Una matriz se encuentra en la forma escalonada por renglones si se cumplen las siguientes condiciones: 1. Todos los renglones (si los hay) cuyos elementos son todos cero aparecen en la parte inferior de la matriz. 2. En el primer número diferente de cero (comenzando por la izquierda) en cualquier renglón cuyos elementos no todos son cero es 1. 3. Si dos renglones sucesivos tienen elementos distintos de cero, entonces el primer 1 en el renglón de abajo está más hacia la derecha que el primer 1 en el renglón de arriba.

. Ejemplos de matrices en la forma escalonada por renglones a) [

]

b) [

]

c) [ d) [

] ]

e) [

]

Por lo general, la forma escalonada por renglones de una matriz no es única. Es decir, una matriz puede ser equivalente, en sus renglones, a más de una matriz en forma escalonada por renglones. Por ejemplo [

]

[

]

Al realizar la operación indicada, restar el renglón 1 del renglón 2, se obtiene la matriz B. (1-0=1, 3-1=2, 2-3=-1, 5-6=-1). Ambas matrices se encuentran en la forma escalonada por renglones y son equivalentes por renglones. Así, cualquier matriz para la que A es una forma escalonada por renglones. También acepta a B como forma escalonada por renglones. Existe también la forma escalonada reducida por renglones, en la cual los números arriba y abajo del primer 1 de un renglón son cero, como se observa en la siguiente matriz:

[

]

Siempre se puede reducir una matriz a la forma escalonada reducida por renglones o a la forma escalonada por renglones realizando operaciones elementales con renglones. Rango de una matriz.

Es el número máximo de columnas (filas respectivamente) que son linealmente independientes. Si el rango fila y la columna son iguales, éste número es llamado simplemente rango de A. El número de columnas independientes de una matriz A de m x n es igual a la dimensión del espacio columna de dicha matriz A. también la dimensión del espacio fila determina el rango. El rango de A será, por tanto, mayor o igual que uno o menor o igual que el mínimo entre m y n. Ejemplo. Dada la matriz a) b) c) d) e) f)

[

], realice lo que se le pide:

Multiplique por 4 el renglón 1 y réstele el renglón 2. Multiplique por 2 el renglón 1 y réstele el renglón 3. Divida el renglón 2 entre (-4). Multiplique el renglón 2 por 3 y súmele el renglón 3. Multiplique el renglón 3 por (-3) y divídalo entre 4. ¿Alcanzó ya la forma escalonada?

2.5 Calculo de la inversa de una matriz El algebra de matrices proporciona herramientas para manipular ecuaciones matriciales y crear diversas formulas útiles en formas similares a la ejecución ordinaria del álgebra con números reales. En esta sección el análogo matricial del reciproco, o inverso multiplicativo, de un numero diferente de cero. Recuerde que el inverso multiplicativo de un número como 5 es 1/5 o 5 -1. Este inverso satisface la ecuación:

L a generalización matricial requiere ambas ecuaciones y evita la notación con diagonales (para indicar una división) debido a que la multiplicación de matrices no es conmutativa. Más aun, una generalización completa solo es posible si las matrices involucradas son cuadradas. PROPIEDADES:

Se dice que una matriz que:

de

es invertible si existe otra matriz

de

tal

Donde , la matriz identidad . En este caso, es un inverso de . De hecho, esta determinado únicamente por , porque si fuera otro inverso de , ( ) ( ) entonces . Este inverso único se denota mediante , de manera que,

Una matriz que no es invertible algunas veces se denomina matriz singular, y una matriz invertible se denomina matriz no singular. Entre matrices NO existe la operación de división, la matriz inversa realiza funciones análogas.

EJEMPLO

Si

[

]

[

[

][

]

[ Así que

.

][

] entonces [ ]

] [

]

A continuación se presenta una formula sencilla para el inverso de una matriz de 2x2, junto con una prueba para saber si existe el inverso. TEOREMA 4 Sea

[

] Si

, entonces

es invertible y [

Si

]

, entonces A no es invertible.

La demostración sencilla del teorema 4 se describe en términos generales en los ejercicios 25 y 26. La cantidad se llama determinante de Ay se escribe det El teorema 4 establece que una matriz A de 2x2 es invertible si, y solo si det . EJEMPLO Solución

Encuentre el inverso de ( )

Como det [

( ) ]

[

[

]. es invertible, y

( ) ( )

( ) ] ( )

[

]

Las matrices invertibles son indispensables en el algebra lineal ---- principalmente para cálculos algebraicos y deducciones de formulas. Como en el teorema siguiente. En ocasiones una matriz inversa permite entender mejor un modelo matemático de alguna situación de la vida real, como en el ejemplo 3 que se presenta más adelante.

TEOREMA 5 Si es una matriz invertible entonces, para cada b en tiene la solución única x b.

, la ecuación Ax=b

Demostración: tome cualquier b en . Existe una solución porque cuando se ( ) ( ) sustituye b por x. se tiene b =b. Así que b es una solución. Para probar que la solución es única, se muestra que si u es

cualquier solución, entonces u debe ser, de hecho, b. en efecto, si pueden multiplicarse ambos miembros por y obtener

,

Ejemplo Una viga elástica horizontal tiene soporte en cada extremo y si está sometida a fuerzas en los puntos 1, 2, 3, como indica la figura 1. Sea f en tal que enliste las fuerzas en estos puntos, y sea y en tal que incluya las magnitudes de la deflexión (esto es, movimiento) de la viga en los tres puntos. Al aplicar la ley de Hooke de la física, se puede demostrar que

Donde es una matriz de flexibilidad. Su inversa se denomina matriz de rigidez. Describa el significado físico de las columnas de .

Solución: escriba

[

] y observa que [

]

Interpreta el vertor ( ) como fuerza unitaria aplicada hacia abajo en el punto (con fuerza cero en los otros dos puntos). Entonces la primera columna de , enlista las deflexiones debidas a una fuerza unitaria en el punto . Interpretaciones similares son validas para la segunda y tercera columna de . Para estudiar la matriz de rigidez , observe que la ecuación un vector de fuerza f cuando se da un vector de deflexión y. escriba [

calcula

]

Ahora interprete como un vector de deflexión. Entonces enlista las fuerzas que crean la deflexión. Esto es, la primera columna de enlista las fuerzas que deben aplicarse en los tres puntos para producir una deflexión unitaria en el punto 1 y cero deflexión en los otros puntos. De manera similar, las columnas 2 y 3 de enlistas las fuerzas requeridas para producir deflexiones unitarias en los puntos 2 y 3, respectivamente. En cada columna, una o dos de las fuerzas deben ser negativas (apuntar hacia arriba) para producir una deflexión unitaria en el punto deseado y cero deflexión en los otros dos puntos. Si la flexibilidad se mide, por ejemplo, en pulgadas de deflexión por libra de carga,

entonces las entradas de la matriz de rigidez están dadas en libras de carga por pulgada de deflexión. El interés principal de la matriz de adjuntos es que permite calcular la inversa de una matriz, ya que se cumple la relación:

Solución analítica: Inversión de matrices 2x2 Calcular la matriz inversa en matrices de 2x2 puede ser muy sencillo, se puede hacer de la siguiente manera: [

]

[

]

Esto es posible siempre y cuando cero.

el determinante de la matriz, no sea

Inversión de matrices de órdenes superiores: Para matrices de órdenes superiores puede utilizarse la siguiente fórmula: | | Donde |A| es el determinante de A y (

(

( ))

( ) es la matriz de adjuntos de A.

2.6 Definición de determinantes de un matriz En matemáticas se define el determinante como una forma n-lineal alterna de un cuerpo n esta definición indica una serie de propiedades matemáticas y generaliza el concepto de determinante haciéndolo aplicable en números campos.

Aunque el origen del determinante o de volumen orientado fue introducido para estudiar el numero de soluciones de los sistemas lineales de ecuaciones. Los determinantes fueron introducidos en occidente a partir del siglo XVI, esto es, antes que las matrices, que no aparecieron hasta el siglo XIV. Conviene recordar que Los chinos (Hui, Liu. iuzhang suanshu o los 9 capítulos del arte matemático.) fueron los primeros en utilizar la tabla de ceros y en aplicar un algoritmo que, desde el siglo XIX, se conoce con el nombre de eliminación gaussiana. Definición: Para n  2, el determinante de una matriz A de n x n = [aij] es la suma de los n términos de la forma  a1j det A1j , con los signos más o manos alternándose, donde las entradas a11 , a12,…, a1n son de la primera fila de A. En forma simbólica, det A = a11 det A11 - a12 det 12 +  + (-1)1+2 a1n det A1n = (-1)1+j a1j det A11j El caso de matrices de orden inferior (orden 2 o 3) es tan sencillo que su determinante se calcula con sencillas reglas conocidas dichas reglas son también.

2.7 Propiedades de las determinantes En matemáticas se define las determinantes como una forma -lineal alterna de un cuerpo .Esta definición indica una serie de propiedades y generalización del concepto de determinantes haciéndolo aplicable a numerosos campos. Aun que el origen del determinante o del volumen orientado fue introducido para estudiar el numero de disoluciones Delos sistemas lineales de ecuaciones. Las matrices y los determinantes son herramientas del ´algebra que facilitan el ordenamiento de Datos, así como su manejo.

Los conceptos de matriz y todos los relacionados fueron desarrollados básicamente en el siglo XIX Por matemáticos como los ingleses J.J. Sylvester y Arthur Cayley y el irlandés William Hamilton. Las matrices se encuentran en aquellos ámbitos en los que se trabaja con datos regularmente Ordenados y aparecen en situaciones propias de las Ciencias Sociales, Económicas y Biológicas. Teorema

operaciones por fila sea A una matiz cuadrada

a. Si un múltiplo de una fila de A se suma a otra fila para producir una matriz B, entonces det B=det A. b. Si dos filas A se intercambian para producir B ,entonces det B= -det A. c. SI UNA FILA DE A SE multiplica por k para producir B, entonces det B=det k *det A. EJEMPLO:

]

Calcule det A, donde A =[

Solución: la estrategia es reducir A ala forma escalonada y utilizar luego el hecho de que la determinante de una matriz triangular es el producto de las entradas diagonales. Det A|

|=|

|=|

|

Un intercambio de la filas 2 y 3 invierte el signo del determinante, así que det A= -|

|= -(1)(3)(-5)=15

2.8 Inversa de una matriz cuadrada a través de la adjunta Dada una matriz cuadrada

, su matriz adjunta o ( ) ES LA resultante de sustituir

cada término de por sus adjuntos respectivos El adjunto de un termino de A por sus adjuntos respectivos.

El adjunto de un termino de la matriz resulta del determinante de la submatriz que se obtiene de eliminar de la matriz A, la fila y la columna a la que )( ) el interés principal de la pertenece el termino multiplicado por ( matriz de adjuntos es que permite calcular la inversa de una matriz ya que se cumple la relación :

( ) Sin embargo, para matrices de dimensiones grandes , este tipo de cálculo resulta más costosos , términos de operaciones . que otros métodos como el método de eliminación de guaus Definición y formulas de calculo Dada una matriz A su matriz de adjuntos es la única matriz B tal que:

(

)

Esta definición no permite calcular directamente la matriz de adjunto por lo que comúnmente define también la matriz de adjuntos mediante la siguiente formula ) explicita .dadas las componentes explicitas de la matriz de orden (

( ) como la matriz de orden

para

obtenida a partir de ELIMINANDO LA FILA y se define la cantidad

(

)

(

)

Y se tiene que esta son precisamente las componentes de la matriz de adjuntos ya que es decir,adj(A) )

Dada una matriz de

(

)

SU MATRIZ DE ADJUNTOS VIENE DADA POR:

(

)

(

)

SU MATRIZ DE ADJUNTOS VIENE DADA POR:

( ) [

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

| |

|

Para matrices de

[

( )]

2.9 Aplicaciones de las matrices y determinantes

Aplicaciones de las matrices y determinantes ejemplo1: calcule el determinante de

| |

]

A= [

]

Solución: calcule det A = a11 det A11 – a12 det A12 + a13 det A13 : det A= 1 det [

] -5. det [

] + 0. det [

]

=1( 0 – 2 ) – 5 ( 0 – 0 ) + ( - 4 – 0 )= - 2 Otra notación común para el determinante de una matriz usa un par de líneas verticales en lugar de los corchetes. Así, el cálculo del ejemplo 1 se puede escribir como det A= 1 I

I -5 I

I +0 I

I = = - 2

Para enunciar el teorema siguiente resulta oportuno escribir la definición det A en una forma un poco diferente. Dada A = [aij], el cofactor (i,j) de A es el numero Cij dado por Cij = (- 1 )i+j det Aij

(4)

Entonces Det A = a11 C11 + a12 C12 ++ a1n C1n Esta forma se llama desarrollo por cofactores a lo largo de la primera fila de A. Se omite la demostración del teorema fundamental siguiente pera evitar una larga Interrupción. Teorema 2: Si A es una matriz triangular , entonces A es el producto de las entradas sobre la diagonal principal de A . Teorema 1 El determinante de una matriz Α de nxn puede calcularse mediante un desarrollo por cofactores a lo largo de cualquier fila o descendiendo por cualquier columna – El desarrollo a lo largo de la i- esima fila usando los cofactores en (4) es

: det A =ai1ci1+ai2+…..+ain cin El desarrollo por cofactores bajando por la j-esima columna es : det A =aijcij+a2jc2j+…..+anj cnj Los mas o menos del cofactor (i,j)dependen de la posición de aij en la matriz , sin importar el signo de aij en si mismo el factor (-1)i+j determina la tabla siguiente para el patrón de signos [

]

Ejemplo : use un desarrollo por cofactores a lo largo de la tercera fila para calcular det A, donde: A=[

]

Solución calcule: det A = a31 C31 + a32 C32 + a33 C33 = (- 1)3+1 a31 det A31 + (- 1)3+2 a32 det A32 + (- 1)3+3 a33 det A33 =0I

I – (- 2) I

I +0 I

I

= 0 + 2 (- 1) + 0 = -2

Las matrices se utilizan en el contexto de las ciencias como elementos que sirven para clasificar: valores numéricos atendiendo a dos criterios o variables.

Ejemplo: Un importador de globos los importa de dos colores, naranja (N) y fresa (F). Todos ellos se envasan en paquetes de 2, 5 y 10 unidades, que se venden al precio (en euros) indicado por la tabla siguiente:

Resumir la información anterior en 2 matrices A y B, de tamaño respectivo 2x3 y 3x2 que recojan las ventas en un año (A) y los precios (B). Nos piden que organicemos la información anterior en dos matrices de tamaño concreto. Si nos fijamos en las tablas, es sencillo obtener las matrices:

Estas matrices se denominan matrices de información, y simplemente recogen los datos numéricos del problema en cuestión. Otras matrices son las llamadas matrices de relación, que indican si ciertos elementos están o no relacionados entre si. En general, la existencia de relación se expresa con un 1 en la matriz y la ausencia de dicha relación de expresa con un 0. Estas matrices se utilizan cuando queremos trasladar la información dada por un grafo y expresarla numéricamente. Los determinantes también proporcionan una forma sencilla de calcular el rango de una matriz Cualquiera. Una definición alternativa de rango de una matriz es: El Rango de una matriz A es el tamaño del mayor menor complementario no nulo que esté incluido dentro de la matriz. Aplicando este criterio, calculemos el rango de las matrices siguientes:

Sólo hay un menor de orden 2, que es:

Como es nulo, el rango de la matriz NO es 2. Menores de orden 1 hay 4, por ejemplo |1| = 1, que es no nulo, luego el rango de la matriz es Rg(A)=1 (el tamaño de dicho menor complementario). b) Sólo hay un menor de orden 2, que es:

Como no es nulo, el rango de la matriz es Rg (B)=2 (el tamaño de dicho menor complementario). c) Sólo hay un menor de orden 3, que es:

Como es nulo, podemos asegurar que el rango NO es 3. Menores de orden 2 hay 9. Calculando alguno:

Resulta que es no nulo, luego el rango es Rg(C)=2 (el tamaño de dicho menor complementario). d) El menor más grande que podemos formar es de orden 2. Hay 3 de ellos:

Son todos nulos, luego el rango NO es 2. Menores de orden 1 hay 6, y por ejemplo |6| = 6 _= 0, es no nulo, luego el rango es Rg (D)=1.

Conclusión General: Lo importante de estos temas es saber que es una matriz y para qué sirve y su utilidad en las matemáticas así como sus definiciones. Se llama MATRIZ a todo cuadro de números distribuidos en filas y columnas. Las matrices se utilizan en el cálculo numérico, en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, de las ecuaciones diferenciales y de las derivadas parciales. Además de su utilidad para el estudio de sistemas de ecuaciones lineales, las matrices aparecen de forma natural en geometría, estadística, economía, informática, física, etc. Su notación es muy simple una matriz se nombra por una letra mayúscula y sus elementos, una vez distribuidos en las filas y columnas respectivas, se encierran con corchetes o con paréntesis Una de las principales aplicaciones de las matrices es la representación de sistemas de ecuaciones de primer grado con varias incógnitas. Estas operaciones con matrices con lleva varias operaciones escalares de A y B que llevan a la Clausura: Si A es matriz y c es escalar, entones cA es matriz.   

Asociatividad: ( cd ) A = c(dA) Elemento neutro: 1 A= A Distributividad : )  De escalar : ( )  De matriz: (

En este caso el producto es un diagrama esquemático que ilustra el producto de dos matrices A y B dando como resultado la matriz aB esto es muy importante saberlo para resolver ecuaciones de matrices.

Biografías.

http://ocw.upm.es/algebra/algebra-y-geometria/contenidos/examenes/exsistemas.pdf

http://fpatorrevieja.edu.gva.es/deptcien/Acc25Mat/03_Algebra_de_matrices.pdf

http://www2.eco.uva.es/lmeneses/Guia_de_Trabajo/Esquemas_teoricos/tema3.pdf

http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0289-02/ed99-0289-02.html

http://campusvirtual.unex.es/ebooks/files/file/MME.pdf