Unidad 2 Fundamentos

 

INTRODUCCIÓN.

 

FUNDAMENTOS DE LA MECÁNICA DE LOS MEDIOS CONTINUOS. UNIDAD 2: ESTADO DE ESFUERZOS. TEMA 2.1. FUERZAS DE SUPERFICIE Y DE CUERPO: Los tipos de fuerzas que se aceptan en el estudio de los medios continuos son de superficie y de cuerpo.

a) Fuerz uerzas as de supe superf rfic icie ie::  Aquél quélla las s ap apli lica cada das s en la las s fron fronte tera ras s del del me medi dio o cont contin inuo uo po porr la ac acci ción ón de ot otrros cuerpos que se encuentran en contacto con el medio. La fuerza resultante de todas las fuerzas de superficie, que actúan sobre un área A , de un medio continuo está dada por:

El subíndice k  que   que aparece en la ecuación 1.1 se usa para expresar el mismo concepto en notación indicial, donde:

 

Adop Adoptan tando do un sist sistem ema a de re refer ferenc encia ia carte cartesi sian ano, o, la

ecuación 1.1 queda como:

 

Teoría del estado de esfuerzo: Cuando un cuerpo deformable se somete a solicitaciones de cualquier tipo, éste se deforma hasta cierto límite. Esto se debe de be a que que la las s fuer fuerza zas s co cohe hesi siva vas s han han entr entrad ado o en ju jueg ego, o, tomando un valor tal que permiten equilibrar a las fuerzas externas aplicadas. Para describir las acciones entre todas las

partículas de un medio continuo, imaginemos un sistema de

 

fuerzas aplicado a un medio continuo, tal como se ilustra en la figura (1.1).

Al hacer un corte imaginario a través de un plano cualquiera, cuya normal está definida por el vector unitario se obtienen los cuerpos I y II, mostrados en la figura (1.2).

TEMA 2.2. TEOREMA DE CAUCHY CAUCHY::

 



Componentes esfuerzo.

normal

y

tangencial

d el

vector

 

 

Determinación de las ecuaciones de Cauchy:

 

TEMA 2.3. ESFUERZOS:

TENSOR

DE

En mecánica continuos, tensión,

de medios el tensor también

llamado tensor

de

 

tensiones o tensor de esfuerzos, es el tensor que da cuenta de la distribución de tensiones y esfuerzos internos en el medio continuo.

Tipos de tensor tensión. Tensor tensión de Cauchy.  

Representación gráfica de las componentes del tensor tensión en una base ortogonal.

El te teor orem ema a de Ca Cauc uchy hy sobr sobre e las las te tens nsio ione nes s de un cu cuer erpo po,, establec esta blece e que dada una distri distribuci bución ón de tens tension iones es inte interna rnas s sobr so bre e la geom geometr etría ía de un medio medio co conti ntinu nuo o defor deforma mado, do, que satisf sat isfaga aga las condic condicion iones es del princi principio pio de Cauc Cauchy hy existe existe un campo tensori campo tensorial al T simét simétri rico co def defin inid ido o so sobr bre e la geo geomet metrí ría a deformada con las siguientes propiedades:

La tercera propiedad significa que este tensor vendrá dado sobre las coordenadas especificadas por una matriz simétrica. Cabe señalar que en un problema mecánico a priori es difícil

 

conocer el tensor tensión de Cauchy ya que este está definido sobre la geometría del cuerpo una vez deformado, y ésta no es conocida de antemano. Por tanto previamente es necesario encontrar la forma deformada para conocer exactamente el tensor de Cauchy Cauchy.. Sin emb embargo, argo, cuando las deformaciones de formaciones son pequeñas, en ingeniería y aplicaciones prácticas se emplea este tensor aunque definido sobre las coordenadas del cuerpo sin deformar (lo cual no conduce a errores de cálculo excesivo si todas las deformaciones máximas son inferiores a 0,01). Fijado un sistema de referencia ortogonal, el tensor tensión de Cauchy viene dado por una matriz simétrica, cuyas componentes son:

La tercera forma es la común de llamar componentes del tensor tensión en ingeniería.  

forma a las

Primer tensor tensión de Piola-Kirchhoff.

Los tensores de Piola-Kirchhoff TR se introducen para evitar la dificultad de tener que trabajar con un tensor definido sobre la geometría ya deformada (que normalmente no es conocida de antemano). La relación entre ambos tensores viene dada por:

Donde F es el tensor gradiente de deformación. Este tensor sin embargo, tiene el problema de que no es simétrico (ver segundo tensor tensión de Piola-Kirchhoff).

 



Segundo tensor tensión de Piola-Kirchhoff.

Este tensor se introduce para lograr un tensor definido sobre la geometría previa a ladel deformación y que sea simétrico, a diferencia primer tensor t ensor de además Piola-Kirchhoff que no tiene por qué ser simétrico. El segundo tensor tensión de Piola-Kirchhoff Piola-Kirc hhoff viene dado por:

TEMA 2.4. ESFUERZOS ESFUE RZOS Y DIRECCIONES PRINCIPALES: PRINCIPALES:

 

Casos particulares de estados de esfuerzo:

 

TEMA 2.5. REPRESENTACIÓN REPRESENTACIÓN GRÁFICA DEL ESTADO TRIDIMENSIONAL Y PLANO DE ESFUERZO.

 

 

El diagrama de Mohr para esfuerzos en 3D:

 

CONCLUSIÓN.  Tomando  Tomando como punto de partida que los estados de fuerzas está es tán n in integ tegrad radas as por fuerza fuerzas s longi longitud tudin inal ales es,,

ang angul ular ares es,,

isotrópicas y distorsiónales. Y cada una de ellas cuenta con prop pr opie ieda dade des s

ca cara ract cter erís ísti tica cas s

como como

so son: n:

la las s

prop propie ieda dade des s

extensivas ( que son las propiedades cuyo valores depende de la cantidad de sustancias presente, por ejemplo la masa, el pes pe so el vo vollum ume en y la cant ntiida dad d de calor por menci nciona narr algunas), las propiedades intensivas o también llamadas de punto( que son las propiedades que su valor no depende de la cant ca ntid idad ad de sust sustan anci cia, a, como como so son n el pes peso o es espe pecí cífi fico co,,

la

 

dens de nsid idad ad,, la pr pres esió ión, n, la te temp mper erat atur ura, a, la de dens nsid idad ad y pe peso so específico). Otro característica muy particulares a la hora de evaluar loes estados

de

esfuerzos

son;

las

dimensiones

de

estas

propiedades. También lo que son las fuerzas y esfuerzos que actú ac túan an en un me medi dio o co cont ntin inuo uo se clas clasif ific ican an en fu fuer erza zas s de cuerpo cue rpo y fue fuerzas rzas de superfi superficie cie,, Las fuerzas fuerzas de cuer cuerpo po están están distribuidas de manera continua en todo el medio. Para realizar una evaluación de los estados de esfuerzos se suel su elen en utili utiliza zarr vari varios os teor teorema emas s entr entre e ello ellos s el teo teore rema ma de Cauchy Cauc hy,, en el cual cual se real ealiz izan an eval evaluac uacio ione nes s por med medio io de análisi anál isis s complej complejos, os, por integra integraci ción, ón, por anál análisi isis s reale reales, s, por teoremas en grupo, mediante un resultado de la convergencia de la se seri ries es de pote potenc ncia ias, s, con ec ecua uaci cion ones es en de deri riva vada das s parc pa rcia iale les, s, po porr el teore teorema ma de Pic icar ard-L d-Lin indel delof of (s (se e ev eval alúa úa un resul esulta tad do

sobr bre e

ecuacione nes s

diferen enc ciales ales

ordina dinarrias)

básicamente son los medios de evaluación utilizados por el teorema de Cauchy. Sobre bre la tensión de esfuerzos únicame ament nte e tene tenem mos la eval ev alua uac ció ión n de la las s tenc tencio ione nes s que que actú actúan an al rea eali liza zarr un una a tens te nsió ión. n. En esta esta eval evalua uaci ción ón se anal analiz izan an los los es esfu fuer erzo zos s de compresión, tensión y combinadas. Al reali realizar zar la eva evalua luació ción n de los esfuerz esfuerzos os se debe tomar tomar en cuenta

su

dirección

para

de

este

modo

componentes que conformen cada tensión

obtener

las