Unidad 2 - Ficha 2 - Teorema fundamental de las isometrías

INSTITUTO DE PROFESORES “ARTIGAS”

ESPECIALIDAD MATEMÁTICA GEOMETRÍA

UNIDAD 2 FICHA 2: Isometrías (2ª parte).

2.7 – Determinación de isometrías. 2.8 – Teorema fundamental de las isometrías. 2.9 – Problemas.

2008

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2.7

Geometría – Unidad 2

Determinación de isometrías.

f : R → R / f (x) = ax + b ¿Cuántos valores y sus imágenes en f es necesario conocer para determinar la función? Determinar la función significa que sepamos como hallar la imagen de un valor cualquiera del dominio. Por ejemplo, si sabemos que f (-1) = -3 y f (1) = 1 → se deben verificar simultáneamente -a + b = -3 y a+b=1 → a = 2 y b = -1 → f (x) = 2x - 1. Conociendo la expresión analítica de la función estamos en condiciones de hallar la imagen de cualquier valor del dominio.

La misma pregunta cabe hacerse en el caso de una isometría: f : π → π es isometría ¿Cuántos puntos y sus imágenes son necesarios conocer para determinar la isometría f ?

Si vamos hallando las imágenes de A, B, C, D en la isometría f y en ese orden vemos que: f (A) puede ser cualquier punto del plano, f (B) solo puede estar en la circunferencia de centro f (A) y radio d(A,B). f (B) tiene infinitas posibilidades pero siempre perteneciendo a la circunferencia dicha (punteado grueso).

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Ficha 2: Isometrías (2ª parte).

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Geometría – Unidad 2

f (C) debe estar en la circunferencia de centro f (A) y radio d(A,C) y además en la circunferencia de centro f (B) y radio d(B,C), vemos entonces que f (C) tiene solo dos posibilidades: los puntos de intersección de las dos circunferencias (punteado fino). Debemos elegir un f (C). Definición: Una isometría es directa si conserva el sentido del plano y es indirecta si invierte el sentido del plano. En nuestro caso, por el f (C) elegido, la isometría es directa ya que los puntos A, B, C están en sentido antihorario y sus imágenes f (A), f (B), f (C) también están en sentido antihorario. Si buscamos la imagen de un cuarto punto D se debe cumplir: d (D,A) = d (f (D),f(A)) → f (D) ∈ C f (A), d (D,A) d (D,B) = d (f (D),f(B)) → f (D) ∈ C f (B), d (D,B) → f (D) ∈ (C f (A), d (D,A) ∩ C f (B), d (D,B) ) Nuevamente tenemos dos posibilidades para el punto f(D), una en que f(A), f(B), f(D) están en el mismo sentido que A, B, D (en nuestro caso sentido antihorario) y otra en que están en sentido contrario. El f(D) que sirve es el que cumpla d(f(D),f(C)) = d(D,C). Considerando el f(D) que conserva el sentido del plano: Los triángulos (ABD) y (f(A)f(B)f(D)) son iguales (¿?) → d(B,D) = d(f(B),f(D)) Como los triángulos (ABC) y (f(A)f(B)f(C)) son iguales (¿?) → d(B,C) = d(f(B),f(C)) Y los ángulos DBC = ABC – ABD y f(D)f(B)f(C) = f(A)f(B)f(C) - f(A)f(B)f(D) son iguales ⎯ (?) → (DBC) = (f(D)f(B)f(C)) → d(D,C) = d(f(D),f(C)) Lo hecho para el punto D se puede repetir para un punto cualquiera del plano.

Lo que se ha demostrado previamente, en algunos textos donde se aborda el tema de una forma distinta, se toma como punto de partida y figura bajo el nombre de Axioma de determinación de las isometrías: Dados dos puntos O y O’, dos semirrectas con orígenes en ellos Os y O’s’ y dos semiplanos de borde dichas semirrectas α y β, existe y es única la isometría M tal que: M(O) = O’ M(Os) = O’s’ M(α) = β

Más allá de la diferencia de que en un caso se toma como axioma y que en otro se demuestra, obsérvese que puede establecerse el vínculo entre ambos resultados considerando (en el primer enfoque) los punto A y A’, las semirrecta AB y A’B’, y los semiplanos (AB,C) y (A’B’,C’).

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Ficha 2: Isometrías (2ª parte).

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2.8

Geometría – Unidad 2

Teorema fundamental de las isometrías.

Hasta el momento hemos definido las siguientes isometrías: Identidad Simetría axial Rotación (y como caso particular la Simetría Central) Traslación Antitraslación La pregunta que cabe plantearse ahora es: ¿será posible definir nuevas isometrías? Tratemos de responder a esta pregunta.

Primera respuesta. El camino a seguir es ir componiendo simetrías axiales. ¿Qué pasa si componemos dos simetrías axiales? Dependerá de la posición de los ejes de dichas simetrías axiales:

Identidad

Traslación

Rotación

¿Qué pasa si componemos tres simetrías axiales? Nuevamente dependerá de la posición de los ejes de dichas simetrías axiales:

Faltan en las columnas 2 y 3 los casos en que el eje c coincide con algunos de los anteriores. 2008

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Ficha 2: Isometrías (2ª parte).

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Geometría – Unidad 2

En resumen, los casos que se presentan son:

Simetría Axial

Simetría Axial

Antitraslación

Antitraslación

¿Qué pasa si componemos cuatro simetrías axiales? ¿Obtenemos algo nuevo, distinto de Identidad, Simetría Axial, Rotación, Traslación o Antitraslación? A cada uno de los casos anteriores para tres rectas habría que agregar una cuarta: • En el caso de tres rectas concurrentes o paralelas se las podría sustituir por una sola (el eje de la simetría axial resultante), así que al componerla con una cuarta tendríamos la composición de dos simetrías axiales (caso ya analizado). • En cualquiera de los otros dos casos restantes se podría encarar considerando las dos primeras por un lado (rotación o traslación) y las dos últimas por otro (rotación o traslación). Las posibilidades que se presentan son: • Rotación y rotación • Rotación y traslación • Traslación y rotación • Traslación y traslación Restaría hallar la expresión canónica de la composición en cada caso: o Rotación Traslación

Rotación

Traslación

¿Obtenemos algo nuevo?

¿Qué pasa si componemos cinco simetrías axiales? El caso de componer 5 simetrías lo podemos reducir al caso de componer 3 (que ya fue analizado), ya que habría que agregarle a cada uno de los casos de la situación anterior –que se reducen a la composición de dos simetrías axiales–, una recta más. De la misma manera, el caso de componer 6 simetría axiales es análogo al de la composición de 4. Y así sucesivamente.

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Ficha 2: Isometrías (2ª parte).

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Geometría – Unidad 2

Segunda respuesta. a) Completar el cuadro, discutiendo en cada caso: o I S. Axial Rotación Traslación Antitraslación

I (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1)

S. Axial (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2)

Rotación (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3)

Traslación (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4)

Antitraslación (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5)

Veamos cada una de las composiciones posibles: Las de la primera fila: (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5) y las de la primera columna: (2,1), (3,1), (4,1), (5,1) son inmediatas. (2,2)

f = Sb o Sa i) del mismo eje: a = b. ii) de ejes secantes: a ∩ b = {O}. iii) de ejes disjuntos: a ∩ b = ∅.

(3,2)

f = S b o R A, α, antihorario i) A ∈ b. ii) A ∉ b.

(4,2)

f = Sb o Tu i) u ⊥ b ii) u no perpendicular a b

(5,2)

f = S b o At a, u i) a = b. ii) a ∩ b = ∅. iii) a ∩ b = {O}.

(3,3)

f = R B, β o R A, α i) del mismo centro: A = B. *igual sentido. **sentidos contrarios.

(4,3)

f = R B,

(5,3)

f = R B, β, antihorario o At a, u Hallar condición para que f sea Simetría Axial o Antitraslación.

(4,4)

f = Tv o Tu

(5,4)

f = T v o At a, u Hallar condición para que f sea Simetría Axial o Antitraslación.

(5,5)

f = At b, v o At a, u i) a // b. ii) a no paralelo a b.

β, antihorario o

ii) de distinto centro: A ≠ B *de igual sentido α + β ≠ 180º α + β = 180º **sentidos contrarios α≠β α=β

Tu

b) Conociendo la posición de dos triángulos iguales ABC y A’B’C’, la pregunta a responder es: ¿Componiendo las isometrías conocidas hasta el momento -identidad, simetría axial, rotación, traslación, antitraslación- es posible transformar el primer triángulo en el segundo? Analizar según que los triángulos estén nombrados en el mismo sentido o en sentidos contrarios.

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Ficha 2: Isometrías (2ª parte).

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Geometría – Unidad 2

Tercera respuesta. Ya se vio que una isometría está determinada conociendo tres puntos no alineados y sus respectivas imágenes. La isometría podrá ser directa o indirecta según conserve o no el sentido del plano. Conociendo la posición dos triángulos iguales (tres puntos no alineados), uno imagen del otro en una isometría, la pregunta a responder es: ¿Cuál es el menor número de simetrías axiales que compuestas transforman el primer triángulo en el segundo? Analizar según la isometría sea directa o indirecta y discutir según la posición de ambos triángulos.

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Ficha 2: Isometrías (2ª parte).

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Geometría – Unidad 2

Cuarta respuesta. Recordemos que el axioma de Determinación de las isometrías dice: Dados dos puntos O y O’, dos semirrectas con orígenes en ellos Os y O’s’ y dos semiplanos de borde dichas semirrectas α y β, existe y es única la isometría M tal que: M(O) = O’ M(Os) = O’s’ M(α) = β Hasta el momento las isometrías del plano definidas son: la identidad, las simetrías axiales, las simetrías centrales, las traslaciones, las rotaciones y las antitraslaciones. Teniendo en cuenta este axioma, si consideramos dos semirrectas Os y O's', cualquiera sea su posición siempre existen dos isometrías, una directa y otra indirecta que hacen corresponder Os con O's'. ¿Encontraremos en cada caso dos isometrías (de las ya definidas), una directa y otra indirecta, en las cuales la imagen de la semirrecta Os sea la O's'? En caso de que sí, habremos demostrado que las únicas isometrías son las antes mencionadas.

1) Os = O's'

contenida en x Isometría directa: Isometría indirecta:

2) O's' = op Os

contenidas en x Isometría directa: Isometría indirecta:

3) O's' ⊂ Os

contenidas en x Isometría directa: Isometría indirecta:

4) Os y O's'

contenidas en x Isometría directa: Isometría indirecta:

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Ficha 2: Isometrías (2ª parte).

Instituto de Profesores “Artigas” 5) x || y OO' ⊥ x

Geometría – Unidad 2

Isometría directa: Isometría indirecta:

6) x || y

OO' ⊥ x Isometría directa: Isometría indirecta:

7) x || y Isometría directa: Isometría indirecta:

8) x || y Isometría directa: Isometría indirecta:

9) x ∩ y = { Q } x e y forman ángulos α y β. OQ = O'Q Isometría directa: Isometría indirecta:

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Ficha 2: Isometrías (2ª parte).

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10) x ∩ y = { Q } x e y forman ángulos α y β. OQ ≠ O'Q

Isometría directa: R C, α El punto C es la intersección de la mediatriz del segmento OO’ con la bisectriz del ángulo β. Observación: β es el ángulo determinado por dos semiplanos correspondientes y α el determinado por un semiplano y el opuesto de su imagen.

También se puede determinar el centro de rotación con este procedimiento: Elegir un punto P en la semirrecta Os, hallar su imagen P’, que pertenecerá a la semirrecta O’s’ de modo que d(O’, P’) = d(O,P) y luego construir C como punto de intersección de las mediatrices de los segmentos OO’ y PP’.

Isometría indirecta: At e, SO’ El eje e es la paralela a la bisectriz del ángulo α por el punto medio del segmento OO’ y S es el simétrico de O respecto a e.

Se trazó la bisectriz del ángulo α, puesto que este ángulo está determinado por un semiplano y su correspondiente en la antitraslación. Otra forma de construir el eje de antitraslación: Elegir un punto P en la semirrecta Os, hallar su imagen P’, que pertenecerá a la semirrecta O’s’ de modo que d(O’, P’) = d(O,P) y determinar el eje con los puntos medios de los segmentos OO’ y PP’.

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Ficha 2: Isometrías (2ª parte).

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Geometría – Unidad 2

Composición de isometrías Composición de dos simetrías axiales 1) Ejes coincidentes a=b

Sb

o

Sa = I

2) Ejes disjuntos

3) Ejes secantes

El producto de dos simetrías axiales de ejes coincidentes, es la identidad.

a∩b=φ

T 2OP

El producto de dos simetrías axiales de ejes paralelos disjuntos, es la traslación cuyo vector tiene dirección perpendicular a la de los ejes, sentido del primer al segundo eje y módulo igual al doble de la distancia entre ellos.

R O, +2α =

El producto de dos simetrías axiales de ejes secantes, es la rotación cuyo centro es el punto de intersección de los ejes, el ángulo es el doble del que ellos forman y el sentido, el que va del primer al segundo eje en el ángulo considerado

a∩b={O}

R O, – 2β 4) Ejes perpendiculares a ⊥ b

CO

El producto de dos simetrías axiales de ejes perpendiculares, es la simetría central con centro en el punto de corte de ambos ejes.

Justificaciones. En los cuatro casos considerados la composición debe ser una isometría directa. 1) La simetría axial es un movimiento involutivo. Propiedad de la simetría axial. 2) Veamos cual es la imagen de la semirrecta OP:

S b o S a (OP) = S b (S a (OP)) = S b (op OP) = op O’O Observando que OP = OO’ resulta que S b o S a es la isometría directa en la cual la imagen de la semirrecta OO’ es la opuesta de O’O, por lo tanto es la traslación de vector OO’, que es lo mismo que decir de vector 2OP. 3) Consideremos la semirrecta Ox contenida en la recta a.

S b o S a (Ox) = S b (S a (Ox)) = S b (Ox) = Oy S b o S a es la isometría directa en la cual la imagen de la semirrecta

Ox es Oy tal que el ángulo xOy mide α + α’ = 2α, por lo tanto es la rotación de centro O, ángulo 2α y sentido antihorario. 4) Es un caso particular del anterior considerando α = 90º.

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Ficha 2: Isometrías (2ª parte).

Instituto de Profesores “Artigas” Composición de dos traslaciones

Geometría – Unidad 2

T CD o TAB = T AB+CD

El producto de dos traslaciones, es la traslación cuyo vector es la suma de los vectores de aquellas.

Justificación. Se trata de la composición de dos movimientos directos, por lo cual el producto también será un movimiento directo.

Efectuada la suma de los vectores AB y CD, consideramos la semirrecta AS. Su imagen en TAB será una semirrecta Bx de igual dirección y sentido que AS. En TCD la imagen de Bx será una semirrecta de origen S que tendrá igual dirección y sentido que Bx y por lo anterior, que AS. Resulta entonces que TCD (Bx) = op SA. Resumiendo:

T CD o TAB (AS) = T CD (TAB (AS)) = T CD (Bx) = op SA. T CD o TAB es la isometría directa en la cual la imagen de la semirrecta AS es la semirrecta opuesta de SA, por lo tanto T CD o TAB = TAS = TAB + CD. Descomposición de una antitraslación

At

e, AB =

TAB o S e = S e o TAB =

COoS x

S y o CQ

La antitraslación de eje e y vector AB es el producto de la simetría axial de eje e por la traslación de vector AB. Este producto es conmutativo. La antitraslación de eje e y vector AB es el producto de la simetría central de centro O por la simetría axial de eje x. Siendo O un punto de e, x perpendicular a e y la distancia de O al eje x es la mitad del módulo del vector. La antitraslación de eje e y vector AB es el producto de la simetría axial de eje y por la simetría central de centro Q. Siendo y perpendicular a e, Q un punto de e, y la distancia de y a Q es la mitad del módulo del vector.

Justificaciones. Surgen de la primera propiedad de antitraslación y de lo estudiado en los ítemes anteriores. 2008

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Ficha 2: Isometrías (2ª parte).

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Geometría – Unidad 2

Quinta respuesta. Caracterización de las isometrías según el número de puntos fijos. Si una isometría tiene al menos tres puntos fijos no alineados es la identidad. f ∈ℑ, f (A) = A, f (B) = B, f (C) = C, C ∉ AB

→

f = Identidad

Sea X0 ∈π f ∈ℑ → f : π → π es función → ∃ X0’ / f (X0) = X0’. Suponemos que X0’ ≠ X0 f (A) = A f (X0) = X0’ ⎯(¿?)→ d(A,X0) = d(A,X0’ ) ⎯(¿?)→ A ∈ mediatriz X0X0’. Procediendo de la misma manera tenemos: B ∈ mediatriz X0X0’. C ∈ mediatriz X0X0’.

⎯→ A, B, C ∈ mediatriz X0X0’ ⎯→ A, B, C alineados. Por otro lado C ∉ AB, lo que es una contradicción ⎯→ X0’ = X0 = f (X0) ∀ X0 ∈π ⎯(¿?)→ f = Identidad.

Si dos isometrías coinciden en tres puntos no alineados entonces son iguales, es decir que coinciden en todos los puntos del plano. f, g ∈ℑ f (A) = g(A) f (B) = g(B) → f (C) = g(C) C ∉ AB

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f=g

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Geometría – Unidad 2

g ∈ℑ (ℑ,o) es grupo ⎯(¿?)→ ∃ g –1 ∈ℑ A ⎯⎯ f ⎯→ f (A) = g(A) ⎯⎯ g –1 ⎯→ A B ⎯⎯ f ⎯→ f (B) = g(B) ⎯⎯ g –1 ⎯→ B C ⎯⎯ f ⎯→ f (C) = g(C) ⎯⎯ g –1 ⎯→ C Consideramos la función h: π → π / h = g –1 o f ⎯(¿?)→ h ∈ℑ h (A) = A h (B) = B h (C) = C C ∉ AB ⎯(¿?)→ h = I ⎯(¿?)→ g –1 o f = I ⎯(¿?)→ g o ( g –1 o f ) = g o I ⎯(¿?)→ ( g o g –1 ) o f = g ⎯(¿?)→ I o f = g ⎯(¿?)→ f = g. Si una isometría tiene dos puntos fijos tiene fijos todos los puntos de la recta a la cual pertenecen. f ∈ℑ f (A) = A f (B) = B A≠B

→

f (X) = X ∀ X ∈AB

A ≠ B ⎯ (?) → determinan la recta AB ⎯ (?) → determinan la recta orientada AB. Si X ∈ AB → caben tres posibilidades: (i) X < A < B (ii) A < X < B (iii) A < B < X (i) X < A < B ⎯ (?) → A ∈ XB ⎯ (?) → d (X,B) = d (X,A) + d (A,B) ⎯ (?) → d (f (X), f (B)) = d (f (X), f (A)) + d (f (A), f (B)) ⎯ (?) → d (f (X), B) = d (f (X), A) + d (A, B) ⎯ (?) → A ∈ f (X)B ⎯ (?) → f (X) < A < B (1)

Además d (X, A) =(?)= d (f (X), f (A)) =(?)= d (f (X), A) (2)

de (1) y (2) ⎯ (?) → f (X) = X. De forma análoga en los casos (ii) y (iii). 2008

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Ficha 2: Isometrías (2ª parte).

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Si una isometría tiene dos puntos fijos entonces es la identidad o la simetría axial de eje la recta determinada por los dos puntos fijos. f ∈ℑ f (A) = A f (B) = B

f = Identidad o f = S AB

→

Sea X0 ∈π Dicho punto tiene dos posibilidades: (a) X0 ∈ AB ⎯(¿?)→ f (X0 ) = X0 ∀ X0 ∈AB (b) X0 ∉ AB f ∈ℑ → f : π → π es función → ∃ X0’ / f (X0) = X0’. f (A) = A f (X0) = X0’ ⎯(¿?)→ d(A,X0) = d(A,X0’ ) ⎯(¿?)→ X0’ ∈ circunferencia de centro A y radio AX0 f (B) = B f (X0) = X0’ ⎯(¿?)→ d(B,X0) = d(B,X0’ ) ⎯(¿?)→ X0’ ∈ circunferencia de centro B y radio BX0 ⎯(¿?)→ X0’ ∈ (circunferencia de centro A y radio AX0 ∩ circunferencia de centro B y radio BX0) ⎯(¿?)→ caben dos posibilidades:

(i) X0’ = X0 Junto a lo visto en (a) ⎯(¿?)→ f = Identidad (ii) X0’ ≠ X0 ⎯(¿?)→ AB = mediatriz X0X0’ ⎯(¿?)→ S AB (X0 ) = X0’ Junto a lo visto en (a) ⎯(¿?)→ f = S AB.

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Si una isometría tiene un único punto fijo es la composición de dos simetrías axiales cuyos ejes pasan por el punto fijo. f ∈ℑ f (A) = A → ∀ X ∈π, X ≠ A, se cumple que X ≠ f (X)

f = S m o S AB con m∩AB = {A}

Sea B ≠ A f ∈ℑ → ∃ B’ / f (B) = B’ f (B) ≠ B → B’ ≠ B. ⎯(¿?)→ A ∈ m = mediatriz BB’. f (A) = A’ f (B) = B’ ⎯(¿?)→ d(A,B) = d(A,B’)

A ⎯⎯ f ⎯→ f (A) = A ⎯⎯ Sm ⎯→ A B ⎯⎯ f ⎯→ f (B) = B’ ⎯⎯ Sm ⎯→ B Consideramos la función h: π → π / h = S m o f ⎯(¿?)→ h ∈ℑ h (A) = A h (B) = B ⎯(¿?)→ caben dos posibilidades:

(i) h = I (ii) h = SAB

(i) h=I ⎯(¿?)→ Sm o f = I ⎯(¿?)→ Sm o ( Sm o o f ) = Sm o I ⎯(¿?)→ (Sm o Sm ) o f = Sm ⎯(¿?)→ I o f = Sm ⎯(¿?)→ f = Sm ⎯(¿?)→ f tiene fijos todos los puntos de m. Absurdo.

(ii) h = SAB ⎯(¿?)→ Sm o f = SAB ⎯(¿?)→ Sm o ( Sm o o f ) = Sm o SAB ⎯(¿?)→ (Sm o Sm ) o f = Sm o SAB ⎯(¿?)→ I o f = Sm o SAB ⎯(¿?)→ f = Sm o SAB con AB∩m = {A} ⎯(¿?)→ f es una rotación de centro A.

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Si una isometría no tiene puntos fijos es la composición de: i) dos simetrías axiales de ejes paralelos disjuntos. ii) tres simetrías axiales de ejes ni paralelos ni concurrentes los tres. f ∈ℑ ∀ X ∈π, X ≠ A, se cumple que X ≠ f (X)

→

i) f = S m o S m’ con m∩m’ = ∅ ii) f = S m o S r’ o S r con m, r, r’ ni paralelos los tres ni concurrentes los tres.

Sea A∈π f ∈ℑ → ∃ A’ / f (A) = A’ f (A) ≠ A → A’ ≠ A → sea m = mediatriz AA’. A ⎯⎯ f ⎯→ f (A) = A’ ⎯⎯ Sm ⎯→ A Consideramos la función h: π → π / h = S m o f ⎯(¿?)→ h ∈ℑ h (A) = A ⎯⎯→ h tiene por lo menos un punto fijo. Analicemos las distintas situaciones que se pueden presentar: (i) h tiene tres puntos fijos no alineados

(ii) h tiene dos puntos fijos

⎯(¿?)→ h=I ⎯(¿?)→ Sm o f = I ⎯(¿?)→ Sm o ( Sm o o f ) = Sm o I ⎯(¿?)→ (Sm o Sm ) o f = Sm ⎯(¿?)→ I o f = Sm ⎯(¿?)→ f = Sm ⎯(¿?)→ f tiene fijos todos los puntos de m. Absurdo.

⎯(¿?)→

a) h = I ya vimos en (i)que no puede ser. b) h = Sm’ con m’ recta que pasa por A. ⎯(¿?)→ Sm o f = Sm’ ⎯(¿?)→ Sm o ( Sm o o f ) = Sm o Sm’ ⎯(¿?)→ (Sm o Sm ) o f = Sm o Sm’ ⎯(¿?)→ I o f = Sm o Sm’ ⎯(¿?)→ f = Sm o Sm’ y debe ser m∩m’ = ∅ para que f no tenga puntos fijos. ⎯(¿?)→ f es una traslación.

(iii) h tiene un único punto fijo ⎯(¿?)→ h = Sr’ o Sr con r∩r’ = {A} Sm o f = Sr’ o Sr ⎯(¿?)→ Sm o ( Sm o f ) = Sm o ( Sr’ o Sr ) ⎯(¿?)→ (Sm o Sm ) o f = Sm o Sr’ o Sr ⎯(¿?)→ I o f = Sm o Sr’ o Sr ⎯(¿?)→ f = Sm o Sr’ o Sr con m, r, r’ ni paralelos ni concurrentes los tres [ no son paralelos los tres pues r∩r’ ={A} y no son concurrentes los tres porque A∉m] ⎯(¿?)→ f es una antitraslación.

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¿Qué conclusiones podemos extraer del conjunto de teoremas demostrados? Si una isometría f tiene: 3 (o más) puntos fijos no alineados

⎯→ f = Identidad ⎯→ f = Identidad o f = Sa

Simetría Axial

1 solo punto fijo

⎯→ f = Sb o Sa con a ∩ b = {P}

Rotación

no tiene puntos fijos

Traslación ⎯→ f = Sb o Sa con a ∩ b = ∅ o f = Sc o Sb o Sa con a, b, c ni paralelos ni concurrentes los tres. Antitraslación

2 puntos fijos

Identidad

Ante esto podemos concluir entonces que:

1.- Toda isometría es alguna de las isometrías ya conocidas: Identidad Simetría axial Rotación (y como caso particular la Simetría Central) Traslación Antitraslación 2.- Toda isometría es la composición de a lo sumo tres simetrías axiales.

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Problemas E

C

1.- Se considera los triángulos equiláteros (ABC) y (BDE) según figura. i) ¿Cuántas isometrías transforman (ABC) en (BDE)? ii) Expresar cada una de las isometrías anteriores en su forma canónica A

2.- Se consideran los cuadrados (ABCD) y (BEFC) según figura. i) ¿Cuántas isometrías transforman (ABCD) en (BEFC)? ii) Determinar en su forma canónica todas las isometrías que transforman (ABCD) en (BEFC).

D

B C

F

A

B

E

D

3.- Se consideran los triángulos equiláteros iguales (ABC) y (A’B’C’) según figura. i) Determinar f ∈ℑ / f (ABC) = (A’B’C’). C' (f (A) = A’, f (B) = B’, f (C) = C’). ii) Determinar g ∈ℑ / g o S CC’ = f. A iii) Determinar h ∈ℑ / R C, 60, antihorario o h = f. A' B' iv) Calcular el área de (OABC) en función de AB = a, siendo O / f (O) = O. B

C

4.- Se consideran los cuadrados (ABCD) y (BEFC) según figura. M punto medio de CF y P variable en AC. i) Determinar f ∈ℑ / f = C P o S DP. ii) Determinar P para que g ∈ℑ / g = C M o C P o S DP sea una simetría axial. iii) Determinar P para que g sea una antitraslación de eje DC.

D

C

F

A

B

E

5.- (ABCD) rectángulo con AB = 2.BC = 2k. P punto medio de AB y r = mediatriz AB. i) Determinar la isometría f / f = S BC o T DC o CA. ii) L.G. de P / d(P,P’) = k√5 siendo P’ = f (P). D

6.- (ABCD) trapecio birrectángulo con AB = 2AD = 2CD = 2k. i) Determinar f ∈ℑ / R D, 90º, horario o f = S BC o S AC. ii) Hallar el lugar geométrico de P / d(P’,D) = k siendo P’ = f (P). 7.- N variable en una semicircunferencia de diámetro AB. (ANP) y (BNQ) equiláteros según figura. i) Hallar el lugar geométrico de P. ii) Hallar el lugar geométrico de Q. iii) Hallar la isometría f / f (P) = Q.

C

B

A Q

N

P

A

B

8.- A y B puntos fijos. f : π → π / f = R B, α, horario o R A, α, horario siendo 0 < α < 180º. Hallar el lugar geométrico de P, punto fijo en f, al variar α. ¿Hay algún valor de α para el cual f no tiene puntos fijos? 9.- A y B puntos fijos. f : π → π / f = R B, 120º - α, horario o R A, α, horario siendo 0 < α < 120º. Hallar el lugar geométrico de P, punto fijo en f, al variar α. 10.- C punto variable en (CAB), semicircunferencia de diámetro AB. f : π → π / f = R A, 60º, antihorario o C C. Hallar el lugar geométrico de E, punto fijo en f. Se construyen los paralelogramos (BAEF). Hallar el lugar geométrico de F. 2008

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Ficha 2: Isometrías (2ª parte).

Instituto de Profesores “Artigas”

Geometría – Unidad 2

11.- M variable en la circunferencia (CO, r) de diámetro AB fijo. f : π → π / f = C M o C B o C A. Hallar el lugar geométrico de N, punto fijo en f. 12.- P y Q puntos fijos y A un punto cualquiera. A1 = R P, 60º, antihorario(A) y A2 = R Q, 120º, antihorario(A1). i) Hallar la expresión canónica de f : π → π / f = R Q, 120º, antihorario o R P, 60º, antihorario. ii) ¿Qué puede decir de las rectas AA2. iii) O el pie de la perpendicular trazada por P a la recta AA2. Hallar el lugar geométrico de O al variar A. iv) Hallar el lugar geométrico de A para que A, A1, A2 estén alineados. 13.- O y O’ puntos fijos. M cualquiera. M’ = CO(M), M’’ = CO ’ (M’), M’’’ = CO(M’’). ¿Qué tipo de cuadrilátero es (MM’’M’M’’’)? ¿Qué puede decir de las rectas MM’’’ al variar M? Si ahora M varía en (C P, r ) hallar: Hallar el lugar geométrico de M’’’. Hallar el lugar geométrico de M’’. 14.- (ABC) cualquiera. CB (A) = A’, CC (B) = B’, CA (C) = C’. ¿Qué relación hay entre las áreas de (ABC) y (A’B’C’)? 14.- Sean A, B y C tres puntos tales que ABC = 105º, AB = 6cm, BC = 4,5cm. Hallar O y α para que en la R O, α : π→ π se cumpla que R O, α ( AB ) = opuesta de CB. 15.- (ABCD) cuadrado antihorario de centro O. i) ¿Qué isometrías transforman el cuadrado en si mismo? ii) ¿Forman grupo el conjunto de dichas isometrías con la composición de funciones? iii) Responder las preguntas anteriores si la figura considerada es: *un triángulo escaleno, *un triángulo isósceles, *un triángulo equilátero, *un rectángulo, *un rombo, *la figura adjunta. 16.- (ABC) cualquiera. CA (B) = B’, CA (C) = C’, CB (A) = A’’, CB (C) = C’’, CC (A) = A’’’, CC (B) = B’’’. ¿Qué relación hay entre los perímetros de (ABC) y (B’C’A’’C’’A’’’B’’’)? ¿Y entre sus áreas? 17.- En la figura se ven dos triángulos iguales (ABC) y (A'B'C') nombrados en distintos sentidos. Si marca los puntos medios de AA', BB', CC': ¿Qué observa? ¿Se deberá esto a la posición particular en que fueron representados los triángulos o se cumplirá para cualquier par de triángulos iguales nombrados en sentidos contrarios? ¿Por qué?

2008

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Ficha 2: Isometrías (2ª parte).

Instituto de Profesores “Artigas”

2.9

Geometría – Unidad 2

Problemas.

1. Hay dos bolas en una mesa de billar. ¿Qué dirección hay que darle a la bola Azul para que pegue en la bola Blanca después de haber tocado las cuatro barandas?

A B

C

2.

U

(ABC) equilátero. P interior. Los segmentos PT, PU, PV son perpendiculares a los lados. ¿Dónde ubicar P para que la suma de PT, PU, PV sea mínima?

V

P B T

A

3. En el año 1775 los médicos comunicaron a Giulio Carlo conde de Fagnano (1682-1776) que sus días estaban contados. Lo que no imaginaron aquellos médicos fue que Fagnano se las iba a ingeniar para permanecer en este mundo bastante más que unos pocos días. Mientras la tuberculosis seguía haciendo estragos a Fagnano se le ocurrió preguntarse: C Q

¿Cómo ubicar puntos P, Q, R sobre los lados AB, BC, CA respectivamente de un triángulo (ABC) acutángulo para que el perímetro de (PQR) fuera mínimo?

R

B

¿Y si el (ABC) no es acutángulo?

P A

4. M1, M2, M3, M4, M5 cinco puntos. ¿Se anima a construir un pentágono cuyos puntos medios de sus lados sean M1, M2, M3, M4, M5? 5. (ABCD) cuadrado. ¿Existen triángulos equiláteros que tengan los tres vértices sobre los lados del cuadrado? ¿Cuántos? 6. (ABC) acutángulo. Hallar un punto P tal que la suma de distancias PA + PB + PC sea lo más pequeña posible.

7. Las ciudades A y B están situadas a uno y otro lado de un río como se muestra en la figura. Sus habitantes han decidido construir un puente para conectar las dos ciudades. ¿Dónde deben construirlo para que la distancia entre A y B sea mínima si el puente debe estar colocado perpendicularmente al lecho del río? 2008

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A

B

Ficha 2: Isometrías (2ª parte).

Instituto de Profesores “Artigas”

Geometría – Unidad 2

8. Las ciudades A y B están separadas por dos ríos como muestra la figura. Sus habitantes han decidido construir dos puentes para conectar las ciudades. ¿Dónde deben construirlos para que la distancia entre A y B sea mínima si los puentes deben estar colocados perpendicularmente al lecho de los ríos?

A

B

9. Dos móviles se desplazan a velocidades constantes e iguales entre si por dos pistas circulares de igual radio y centros P y Q, partiendo el primero del punto A y el segundo del punto B. Hallar la posición en que ambos móviles se encuentran más próximos y aquella en que están más alejados, considerando que uno se mueve en sentido horario y el otro en sentido antihorario.

10. El Sr. Buscatesoros sabe que en cierta isla oceánica en la que hay una roca, un cocotero y una palmera, un pirata enterró un tesoro según el siguiente procedimiento: el pirata caminó desde la roca hasta el cocotero, giró 90º a la derecha, caminó la misma distancia que antes y clavó una estaca. Repitió el mismo procedimiento con la palmera, pero esta vez giró hacia la izquierda y clavó otra estaca. Luego, en el punto medio del segmento determinado por las dos estacas enterró el tesoro. Cuando el Sr. Buscatesoros llega a la isla, comprueba que las estacas han desaparecido, sin dificultad ubica el cocotero y la palmera pero observa que hay muchas rocas. ¿Podrá hallar el tesoro?

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Ficha 2: Isometrías (2ª parte).