Unidad 2 – Etapa 2 – Modelar El Sistema Dinámico en El Dominio de La Frecuencia

SISTEMAS DINAMICOS

Unidad 2 – Etapa 2 – Modelar el sistema dinámico en el dominio de la frecuencia.

Presentado Por: Pablo Cesar Forero

Presentado A:

FRANCISCO FERNANDEZ

Universidad Nacional Abierta y a Distancia Mayo de 2017

INTRODUCCION

Con el presente escrito y dando solución al problema planteado pretendemos demostrar la importancia del control electrónico, sin desconocer por supuesto la importancia de la aplicación de las matemáticas en la planificación y puesta en marcha de un proyecto de esta categoría. Es una oportunidad para entender por medio de cálculos y los conocimientos adquiridos en otros cursos la importancia de la ingeniería de control en el campo de la industria.

OBJETIVOS



Identificar la solución de un problema de sistemas de control por medio de un modelo matemático.



Conocer herramientas tecnológicas en este caso MATLAB para desarrollar el problema y entender de manera gráfica la solución.

FASE 1 Tareas De La Etapa 1. A partir de la ecuación diferencial lineal encontrada en la Etapa 1, o suministrada por el docente (en caso de no cumplir con el objetivo inicial), exprese el modelo matemático del sistema mediante una función de transferencia. 2. Represente el sistema lineal mediante un diagrama de bloques En un diagrama de bloques todas las variables del sistema se enlazan unas con otras mediante bloques funcionales. El bloque funcional o simplemente bloque es un símbolo para representar la operación matemática que sobre la señal de entrada hace el bloque para producir la salida. Las funciones de transferencia de los componentes por lo general se introducen en los bloques correspondientes, que se conectan mediante flechas para indicar la dirección del flujo de señales. Ogata (Ingeniería de control moderna 5ta edición).

3. Encuentre la función de transferencia del sistema a partir de la reducción del diagrama de bloques. La función de transferencia de un sistema lineal e invariante en el tiempo se define como la relación entre la transformada de Laplace de la variable de salida y la transformada de Laplace de la variable de entrada, suponiendo que todas las condiciones iniciales se hacen iguales a cero. Esta forma de representar sistemas se denomina representación externa, ya que atiende a las señales presentes en sus terminales de entrada y salida. Así, dado el sistema de la Figura su función de transferencia será:

G( s)=

L[ y (t )] Y (s ) condiciones iniciales nulas= L [u( t)] U (s )

La aplicación del concepto de función de transferencia está limitada a los sistemas descritos mediante ecuaciones diferenciales lineales invariantes en el tiempo; sin embargo, el enfoque de la función de transferencia se usa extensamente en el análisis y diseño de dichos sistemas. A continuación se representan algunos comentarios importantes relacionados con la función de transferencia. (Obsérvese que en la lista, los sistemas a los que hace referencia son aquellos que se describen mediante una ecuación diferencial lineal e invariante en el tiempo. Que es con la que vamos a trabajar

1. La función de transferencia de un sistema es un modelo matemático porque es un método operacional para expresar la ecuación diferencial que relaciona la variable de salida con la variable de entrada

2. La función de transferencia es una propiedad de un sistema, independiente de la magnitud y naturaleza de la entrada o función de excitación.

3. La función de transferencia incluye las unidades necesarias para relacionar la entrada con la salida; sin embargo no proporciona información acerca de la estructura física del sistema. ( las funciones de transferencia de muchos sistemas físicamente diferentes pueden ser idénticas)

4. Si se conoce la función de transferencia de un sistema, se estudia la salida o respuesta para varias formas de entrada, con la intención de comprender la naturaleza del sistema.

5. Si se desconoce la función de transferencia de un sistema, puede establecerse experimentalmente introduciendo entradas conocidas y estudiando la salida del sistema. Una vez establecida una función de transferencia, proporciona una descripción completa de las características dinámicas del sistema, a diferencia de su descripción física.

Transformada de Laplace

La transformada de Laplace es un método operativo que aporta muchas ventajas cuando se usa para resolver ecuaciones diferenciales lineales de la forma:

La transformada de Laplace facilita de forma notable la resolución de ecuaciones diferenciales lineales, ya que convierte la ecuación diferencial temporal en un polinomio en s, y el proceso de integración para resolverla, en una manipulación algebraica de un polinomio cuya conversión al dominio temporal es inmediata mediante tablas.

Por lo tanto, una ecuación diferencial lineal se transforma en una ecuación algebraica, en términos de la variable compleja s. Si se despeja en la ecuación algebraica en s la variable dependiente, la solución de la ecuación diferencial se puede encontrar mediante una tabla de transformadas de Laplace o empleando una técnica de expansión en fracciones parciales.

Una ventaja del método de la transformada de Laplace es que permite el uso de técnicas gráficas para predecir el desempeño del sistema, sin tener que resolver las ecuaciones diferenciales del sistema. Otra ventaja del método de la transformada de Laplace es que, cuando se resuelve la ecuación diferencial, es posible obtener simultáneamente tanto el componente transitorio como el componente de estado estable de la solución. i i=i R +i C i i=i R +C

d eo dt

i i=i R +2

d eo dt

I i ( s )=I R (s )+2 s Eo ( s)

I i ( s )−I R ( s ) =2 s E o ( s ) Eo ( s) 1 = → FUNCION DE TRANSFERENCIA I i ( s )−I R ( s ) 2 s

4. Determine el error en estado estacionario del sistema.

5. A partir de la ecuación característica determine la estabilidad del sistema. PRACTICAS Utilice MATLAB® para simular el sistema no lineal y grafique la salida del sistema cuando se aplica una entrada constante (�) = �� = 10 A, durante los primeros 2 segundos y en ese momento se aplica una entrada escalón unitario, esto es, la corriente de entrada cambia de 10 A a 11 A durante 3 segundos más. De manera que la simulación dura 5 segundos.

DESCRIPCIÓN DEL PROBLEMA:

La compañía donde usted trabaja ha realizado la adquisición de un nuevo equipo industrial que permitirá incrementar los niveles de producción de la empresa. Con el fin de prevenir fallas y proteger la alta inversión realizada, el presidente de la compañía ha ordenado la creación de un sistema de monitoreo que permita supervisar el buen funcionamiento de la máquina y diagnosticar la existencia de alguna falla. Para el diseño del sistema de monitoreo y diagnóstico de fallas se

requiere conocer de forma precisa el modelo matemático del equipo industrial; de esta manera se dice que la máquina está funcionando correctamente si la salida real es similar a la salida de su modelo matemático; en caso contrario es posible que la máquina esté presentando fallas.

A continuación se presenta un diagrama simplificado del nuevo equipo industrial, en el cual se tiene como variable de entrada la corriente aplicada i_i (t) y como variable de salida el voltaje en el condensador e_o (t)=Vc(t):

El condensador posee una capacitancia no lineal por lo que su corriente esto es: i R ( t )=

√e o ( t ) R

, donde

iR ( t )

C=2 F

( Faradio ). La resistencia es

depende de la raíz cuadrada del voltaje,

R=0.5 √ V / A

(

√ Voltios / Amperios ).

Usted y sus compañeros de grupo son designados para encontrar el modelo matemático más preciso posible. Para encontrarlo se ha dividido el problema en cuatro etapas:

  

En la Etapa 1 se deberá encontrar el modelo matemático en el dominio del tiempo y analizar la controlabilidad y la observabilidad del proceso. En la Etapa 2 se deberá encontrar el modelo matemático en el dominio de la frecuencia y analizar el error en estado estacionario y la estabilidad del proceso. En la Etapa 3 se deberá encontrar el modelo matemático empleando técnicas de identificación.

En la Etapa 4 se deberá seleccionar el modelo matemático más preciso, esto es, cuya salida sea la más cercana a la salida del sistema real, con el fin de usar más adelante este modelo en el diseño del sistema de monitoreo y diagnóstico de fallas.

SOLUCION PROPUESTA:

Datos conocidos; C=2 F R=0.5 √ V / A Asumiendo vR: vR (t)=R∗iR (t)

Definiendo los términos del circuito; �� (�) = ������� �� ������� �� (�) = ��������� �� ������� �0 (�) = �� (�) ������� �� �� ���������

Dado que se trata de un circuito paralelo se solucionará aplicando ley de nodos; ii(t)−ir(t )=ic(t ) ii(t)=ic(t)+ir (t)

Ecuación diferencial

d v (t) /dt +√ e 0( t)/0.5∗C=ii (t)/C Ec (0.5)