Unidad 2 - EQUIPO 2 - 4II11

Investigación de operaciones i TECNOLÓGICO DE ESTUDIOS SUPERIORES CHIMALHUACAN

PROFESOR: ING. NICOLÁS SORIANO MIRANDA

UNIDAD 2 EL MÉTODO SIMPLEX

GRUPO 4II11

INGENIERÍA INDUSTRIAL

INTEGRANTES: Arellano Garcia Sergio Carmona Mayoral Leonardo Palma Moreno Dulce Magali Pedroza Mendiola K’exul Yumtsil

Contenido

2.1. Método gráfico ............................................................................................................................ 3 2.2. Método simplex........................................................................................................................... 3 2.3. Procedimiento para resolver problemas con variables artificiales (M grande, doble fase). ............................................................................................................................................................. 4 2.4. Casos especiales de programación lineal. ................................................................................. 5 2.5. Método dual simplex. ................................................................................................................. 6 2.6. Relaciones primal dual............................................................................................................... 7 2.7. Análisis de sensibilidad e interpretación de resultados........................................................... 8 2.8. Uso de software. .......................................................................................................................... 9 Preguntas: ........................................................................................... ¡Error! Marcador no definido.

2.1. Método gráfico El método gráfico es un procedimiento de solución de problemas de programación lineal, muy limitado en cuanto al número de variables (2 si es un gráfico 2D y 3 si es 3D) pero muy rico en materia de interpretación de resultados e incluso análisis de sensibilidad. Este consiste en representar cada una de las restricciones y encontrar en la medida de lo posible el polígono (poliedro) factible, comúnmente llamado el conjunto solución o región factible, en el cual por razones trigonométricas en uno de sus vértices se encuentra la mejor respuesta (solución óptima). El método grafico se utiliza para la solución de problemas de PL, representando geométricamente a las restricciones, condiciones técnicas y el objetivo. El modelo se puede resolver en forma geométrica si solo se tiene 2 variables. Para modelos con 3 o más variables el método grafico es impráctico o imposible. Cuando los ejes son relacionados con las variables del problema, el método es llamado método grafico en actividad. Cuando se relacionan las restricciones tecnológicas se denomina método grafico en recursos. *PL.- es una técnica mediante la cual se toman decisiones reduciendo el problema bajo estudio a un modelo matemático general.

2.2. Método simplex. El Método Simplex es un procedimiento iterativo el cual permite mejorar la solución a cada paso. Este proceso concluye cuando no es posible seguir mejorando la solución. Éste método se puede considerar como un método algebraico para resolver problemas de programación lineal el cual involucra dos o más variables. El Método Simplex fue creado en el año de 1947. Su primera aplicación fue después del verano de 1947 cuando se resolvió un problema de programación de 9 restricciones y 27. Conceptos utilizados en el Método Simplex Variable de decisión. Con estas variables se hace referencia al conjunto de variables cuya magnitud se desea determinar. Restricciones. Están constituidas por el conjunto de desigualdades que limitan los valores que puedan tomar las variables de desigualdad. Función objetivo. Es una función matemática que relaciona las variables de decisión.

Linealidad. Se refiere a que la relación entre las variables de la función objetiva y restricciones deben ser lineales. Desigualdades. Las desigualdades utilizadas para representar las restricciones deben ser cerradas. Condición de no negatividad. En la programación lineal las variables de decisión solo pueden tomar valores mayores o iguales que cero. Pasos a seguir en el Método Simplex 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

Cambiar las desigualdades a ecuaciones. Agregar variables de holgura a las restricciones (S1, S2). Agregar variable de holgura faltante. Construir la tabla simplex. Agregar las columnas Cj y Cj-Zj. Analizar el renglón Cj-Zj. Si existen números positivos se realizará otra tabla simplex. Determinar que variable X1, X2, X3… Xn sale o que entra. Determinar si sale S1 o S2

9. Determinar Nuevo renglón X1, X2.

10. Determinar valores de nuevo renglón S1, S2.  Restarle cada uno de los valores del renglón.  El producto valores de nuevo del nuevo renglón.  Valor interseccional.

2.3. Procedimiento para resolver problemas con variables artificiales (M grande, doble fase). Las PL en las que todas las restricciones son (≤) con lados derechos no negativos ofrecen una conveniente solución factible básica inicial con todas las holguras. Los modelos que implican restricciones (≥) o (=) no lo hacen. El procedimiento para iniciar PLs de “mal comportamiento” con restricciones (≥) y (=) es utilizar variables artificiales que desempeñan el papel de holguras en la primera iteración, y que luego se desechan en una iteración posterior. Aquí se presentan dos métodos estrechamente relacionados: el método M, y el método de dos fases Método M El método M se inicia con la PL en forma de ecuación. Si la ecuación i no tiene una holgura (o una variable que pueda desempeñar el papel de una), se agrega una variable artificial, Ri, para formar una solución inicial parecida a la solución básica de total holgura. Sin embargo, las variables artificiales no forman parte del problema original, y se requiere un “artificio” de modelado para igualarlas a cero en el momento en que se alcance la iteración óptima (suponiendo que el problema tenga una solución

factible). La meta deseada se logra penalizando estas variables en la función objetivo utilizando la siguiente regla: Regla de penalización para variables artificiales Dado M, un valor positivo suficientemente grande (matemáticamente (M ∞), el coeficiente objetivo de una variable artificial representa una penalización apropiada si: Coeficiente objetivo de la variable artificial -M, en problemas de maximización M, en problemas de minimización método de las dos fases Este método es sencillo y laborioso y se usa ante la presencia de numerosas variables. En este método se considerará la primera fase de la siguiente forma: se reemplaza la función objetivo de la programación lineal por la minimización de las sumas de las variables artificiales encontradas y resolviéndose la minimización. En la segunda fase se inicia con una tabla terminando la primera fase y se retoma la función objetivo en donde todas las variables artificiales se igualan a cero eliminando las restricciones de holgura. Para cambiar una desigualdad a una igualdad en cada uno de las restricciones utilizar lo siguiente: · · · · ·

≤ Agregar S1 ≥ Agregar –S1, A1 = Agregar A2 ** Variables de holgura = S ** Variables artificiales = A

2.4. Casos especiales de programación lineal. Infinitas Soluciones Óptimas: Se detecta cuando luego de alcanzar una solución básica factible óptima, al menos una variable no básica tiene costo reducido igual a cero. La siguiente imagen representa esta situación donde la solución óptima (infinitas) se alcanza en el tramo entre los vértices B y C. En efecto se puede representar de forma general las soluciones óptimas como: (x,y)=\lambda (0,3)+(1-\lambda )(2,2) con 0\leq \lambda\leq 1.

Problema No Acotado: En las iteraciones del Método Simplex un problema no acotado se detecta cuando al calcular el criterio de factibilidad o mínimo cuociente que determina la variable que deja la base, todas las entradas en la columna de la variable no básica entrante son negativas o cero, por tanto no existe denominador válido (mayor a cero) que permita determinar el pivote. En la siguiente representación gráfica se puede apreciar que las curvas de nivel de la función objetivo crecen en la dirección del vector gradiente, donde en particular el dominio de soluciones factibles es no acotado para los valores que puede adoptar la variable x_{2}.

Problema Infactible: Si al finalizar la Fase I del Método Simplex de 2 Fases el valor de la función objetivo es distinto a cero, entonces el problema lineal es infactible, es decir, el dominio de soluciones factibles es vacío al existir restricciones incompatibles (por ejemplo en el gráfico a continuación el área azul no se intersecta con el área color rojo).

Solución Óptima Degenerada: Cuando se presenta un empate el el cálculo de la condición de factibilidad del Método Simplex, al menos una variable básica será cero en la siguiente iteración, caso en el cual se dice que la nueva solución es degenerada. Esto implica que el modelo tiene al menos una restricción redundante.

2.5. Método dual simplex. TEORIA DE LA DUALIDAD. Cada problema de programación lineal tiene un segundo problema asociado con el. Uno se denomina primal y el otro dual. Los 2 poseen propiedades muy relacionadas, de tal manera que la solución óptima a un problema proporciona información completa sobre la solución óptima para el otro. Las relaciones entre el primal y el dual se utilizan para reducir el esfuerzo de cómputo en ciertos problemas y para obtener información adicional sobre las variaciones en la solución óptima debidas a ciertos cambios en los coeficientes y en la formulación del problema. Esto se conoce como análisis de sensibilidad o post-optimidad. DEFINICION DEL PROBLEMA DUAL. Para poder elaborar el problema dual a partir del primal, este se debe presentar en su forma canónica de la siguiente forma:

Maximizar Sujeto a: El problema dual se puede obtener a partir del problema primal y viceversa de la siguiente manera: 1. Cada restricción de un problema corresponde a una variable en el otro. 2. Los elementos del lado derecho de las restricciones en un problema son iguales a los coeficientes respectivos de la función objetivo en el otro. 3. Un problema busca maximizar y el otro minimizar. 4. El problema de maximización tiene restricciones que y el problema de minimización tiene restricciones que. 5. Las variables en ambos casos son no negativas.

2.6. Relaciones primal dual. Asociado a cada problema lineal existe otro problema de programación lineal denominado problema dual que posee importantes propiedades y relaciones notables con respecto al problema lineal original, problema que para diferencia del dual se denomina entonces como problema primal (PP). Las relaciones las podemos enumerar como siguen: a. El problema dual tiene tantas variables como restricciones tiene el programa primal. b. El problema dual tiene tantas restricciones como variables tiene el programa primal c. Los coeficientes de la función objetivo del problema dual son los términos independientes de las restricciones o RHS del programa primal. d. Los términos independientes de las restricciones o RHS del dual son los coeficientes de la función objetivo del problema primal. e. La matriz de coeficientes técnicos del problema dual es la traspuesta de la matriz técnica del problema primal. f. El sentido de las desigualdades de las restricciones del problema dual y el signo de las variables del mismo problema, dependen de la forma de que tenga el signo de las variables del problema primal y del sentido de las restricciones del mismo problema. Relaciones entre el método primal y el dual De lo anteriormente expuesto se puede deducir que existe una estrecha relación entre el problema primal y dual que puede expresarse en lo siguiente: 

 

El dual tiene la matriz D transpuesta, es decir, si suponemos que D es de orden s x r, entonces Dt es de orden r x s. Además las variables del primal y el dual son diferentes, ya que X será un vector de r-componentes mientras que el vector Y tendrá s-componentes. Los términos independientes del conjunto de las restricciones del problema primal forman los coeficientes de la función objetivo del dual. Los coeficientes de la función objetivo del primal forman los términos independientes de las restricciones del dual.

  

Las restricciones del dual cambian su sentido al igual que el criterio de optimización en términos de mínimo o máximo. A cada restricción del problema primal le corresponde una variable dual y análogamente a cada restricción del dual le corresponde una variable del primal. Si se halla el dual del problema dual, obtendremos el problema primal.

2.7. Análisis de sensibilidad e interpretación de resultados. El análisis de sensibilidad busca determinar los efectos que se producen en la solución óptima al realizar cambios en cualquiera de los parámetros del modelo de programación lineal planteado inicialmente. Entre los cambios que se investigan están: los cambios en los coeficientes de las variables en la función objetivo tanto para variables básicas como para las variables no básicas, cambios en los recursos disponibles de las restricciones, variación de los coeficientes de utilización en las restricciones e introducción de una nueva restricción.

El objetivo principal del análisis de sensibilidad es identificar el intervalo permisible de variación en los cuales las variables o parámetros pueden fluctuar sin que cambie la solución optima. Sin embargo, así mismo se identifica aquellos parámetros sensibles, es decir, los parámetros cuyos valores no pueden cambiar sin que cambie la solución óptima. Los investigadores de operaciones tienden a prestar bastante atención a aquellos parámetros con holguras reducidas en cuanto a los cambios que pueden presentar, de forma que se vigile su comportamiento para realizar los ajustes adecuados según corresponda y evitar que estas fluctuaciones pueden desembocar en una solución no factible.

A modo general, cuando se realiza un análisis de sensibilidad a una solución óptima se debe verificar cada parámetro de forma individual, dígase los coeficientes de la función objetivo y los limites de cada una de las restricciones. En ese sentido se plantea el siguiente procedimiento:

Revisión del modelo: se realizan los cambios que se desean investigar en el modelo. Revisión de la tabla final Símplex: se aplica el criterio adecuado para determinar los cambios que resultan en la tabla final Símplex. Conversión a la forma apropiada de eliminación Gauss: se convierta la tabla en la forma apropiada para identificar y evaluar la solución básica actual, para lo cual se aplica la metodología de eliminación Gauss si es necesario. Prueba de factibilidad: se prueba la factibilidad de esta solución mediante la verificación de que todas las variables básicas de la columna del lado derecho aun tengan valores no negativos. Prueba de optimalidad: se verifica si esta solución es optima y factible, mediante la comprobación de que todos lo coeficientes de las variables no básicas del reglón Z permanecen no negativos.

Reoptimización: si esta solución no pasa una de las pruebas indicadas en los puntos 4 y 5 anteriores, se procede a buscar la nueva solución optima a partir de la tabla actual como tabla Símplex inicial, luego de aplicadas las conversiones de lugar, ya sea con el método Símplex o el Símplex Dual.

2.8. Uso de software. Algunos de algunos software existentes en el mercado para solucion de problemas por medio de los metos de la investigacion de operaciones.

•Linear Programming (LP) e Integer Linear Programming (ILP): Para resolver los problemas de LP, este Programa usa el método simplex o el método gráfico y para los problemas de ILP usa el procedimiento branch-and-bound. •Linear Goal Programming (GP) e Integer Linear Goal Programming (IGP): Este programa, para resolver los problemas de GP, usa el método simplex modificado o el método gráfico y para los problemas de IGP usa el procedimiento branch-and-bound. •Quadratic Programming (QP) e Integer Quadratic Programming (IQP): Este programa usa el método simplex modificado o el método gráfico, para resolver los problemas de QP y el procedimiento branch-and-bound para los problemas de IQP. •Nonlinear Programming (NLP): Este programa resuelve los problemas no lineales no forzados con el método de búsqueda y los problemas no lineales forzados con el método de la función de castigo. •Network Modeling (NET): Este módulo, resuelve los problemas de red, inclusive, por ejemplo, flujo de red (transbordo), transporte, asignación, caminos cortos, máximo flujo, cruces mínimos y problemas de viajes de vendedores. •Dynamic Programming (DP): Resuelve 3 tipos populares de problemas dinámicos: Diligencia, mochila y problemas de planeación de producción e inventarios. •PERT/CPM: Este módulo resuelve los problemas de planeación de proyectos, por el método de ruta crítica y la técnica de evaluación y revisión. Así mismo realiza análisis de choque, análisis de costos, análisis de probabilidad y simulación. •Queuing analysis (QA): Este programa resuelve el rendimiento de sistemas de colas de etapa simple, para lo cual usa la formula de cercanía, aproximación o simulación. •Queuing system simulation (QSS): Este programa modela y simula sistemas de colas simples y multietapas con componentes; incluye arribo de poblaciones de clientes , servidores, colas y/o colectores de basuras. •Inventory theory and systems (ITS) : Resuelve problemas de control de inventarios: problemas de cantidades económicas a pedir (EOQ), problemas de descuento de cantidad de la orden, problemas

de periodos probabilísticos simples y problemas de tamaño dinámico de lotes; y evalúa y simula 4 sistemas de control de inventarios: (s, Q), (s, S), (R, S) y (R, s, S). •Forecasting (FC): Este módulo resuelve proyecciones de series de tiempo, mediante 11 diferentes métodos, y, además, utiliza regresiones lineales de múltiples variables. •Decision analisys (DA): El programa resuelve 4 típicos problemas de decisión: Análisis Beyesiano, análisis de tablas de rentabilidad, análisis de árbol de decisión y la teoría del juego de cero suma.