Unidad 2 Ecuaciones Diferenciales de Orden Superior

INSTITUTO TECNOLÓGICO DE CD. GUZMÁN JAL. 26/Marzo/2010

SEMESTRE: Enero - Julio 2009

CARRERA: Ingeniería Industrial Edificio E Aula 03

ASIGNATURA: Matemáticas V Horario de 7:00 a 8:00 hrs.

MAESTRO: Edgar Gilberto Añorve Solano Trabajo de unidad 2

“Actividades de estudio de ecuaciones diferenciales de Orden Superior”

ALUMNOS: Cordero De La Torre Daniel Alejandro No. Control 07290530 Marcial Robleda Ixau Salvador 07290571 Ruiz Del Toro Ricardo No. Control 07290602

Unidad 2 Ecuaciones Diferenciales de Orden Superior Cuestionario 3 En el presente objeto de estudio, Ecuaciones Diferenciales de Orden Superior. Se analizaran tres tipos de ecuaciones; Ecuaciones Diferenciales Lineales HOMOGENEAS con coeficientes constantes, Ecuaciones Diferenciales Lineales NO HOMOGENEAS con coeficientes constantes y Ecuaciones Diferenciales Lineales con coeficientes VARIABLES para el caso de la primera ecuación, el método de solución consiste de una función en especial. Antes de incursionar al tema, resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales por el método de variables separables:

a) 𝑌𝑌´ + 𝐾𝐾𝐾𝐾 = 0

𝑑𝑑𝑑𝑑 + 𝑘𝑘𝑘𝑘 = 0 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 = −𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑑𝑑𝑑𝑑

𝑑𝑑𝑑𝑑 = −𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑦𝑦

�

𝑑𝑑𝑑𝑑 = � −𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑦𝑦

ln(𝑦𝑦) = −𝑘𝑘𝑘𝑘 + 𝐶𝐶 𝑦𝑦 = 𝐶𝐶1 𝑒𝑒 −𝑘𝑘𝑘𝑘

b) 𝑌𝑌´´´ = 0

𝑑𝑑3 𝑦𝑦 =0 𝑑𝑑𝑑𝑑 3

𝑑𝑑 𝑑𝑑2 𝑦𝑦 � �=0 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 2

� 𝑑𝑑 �

𝑑𝑑2 𝑦𝑦 � = � 0𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 2

𝑑𝑑2 𝑦𝑦 = 𝐶𝐶1 𝑑𝑑𝑑𝑑 2 � 𝑑𝑑 �

𝑑𝑑𝑑𝑑 � = � 𝐶𝐶1 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑

𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝐶𝐶1 𝑥𝑥 + 𝐶𝐶2 𝑑𝑑𝑑𝑑

𝑦𝑦 = 𝐶𝐶1 𝑥𝑥 2 + 𝐶𝐶2 𝑥𝑥 + 𝐶𝐶3 Ahora, con base en las soluciones de las ecuaciones anteriores de respuesta a los siguientes cuestionamientos: 1. ¿Cuál es la función de la ecuación diferencial del inciso (a)? 𝑦𝑦 = 𝐶𝐶1 𝑒𝑒 −𝑘𝑘𝑘𝑘

2. ¿Las funciones soluciones de la ecuación diferencial del inciso (b), son del mismo tipo que la función solución de la ecuación diferencial del inciso (a)?, si tu respuesta es no ¿Cuál es la diferencia? No son iguales por que la solución del inciso a) es una exponencial y la del inciso b) no lo es 3. En ambas ecuaciones diferenciales, sustituye la función exponencial 𝑌𝑌 = 𝑒𝑒 𝜆𝜆𝜆𝜆 encuentre el valor de 𝜆𝜆 y compara las soluciones obtenidas en el punto 1y2. a) 𝑦𝑦´ + 𝑘𝑘𝑘𝑘 = 0

𝑑𝑑�𝑒𝑒 𝜆𝜆𝜆𝜆 � + 𝑘𝑘𝑒𝑒 𝜆𝜆𝜆𝜆 = 0 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝜆𝜆𝑒𝑒 𝜆𝜆𝜆𝜆 + 𝑘𝑘𝑒𝑒 𝜆𝜆𝜆𝜆 = 0 𝜆𝜆 = 𝑒𝑒 𝜆𝜆𝜆𝜆 − 𝑘𝑘𝑒𝑒 𝜆𝜆𝜆𝜆 𝜆𝜆 = −𝑘𝑘 b) 𝑦𝑦´´´ = 0

𝑑𝑑3 �𝑒𝑒 𝜆𝜆𝜆𝜆 � =0 𝑑𝑑𝑑𝑑 3 𝜆𝜆3 𝑒𝑒 𝜆𝜆𝜆𝜆 = 0 𝜆𝜆 = 0

4. Las soluciones de las ecuaciones diferenciales lineales homogéneas (incisos “a” y ”b”), deben formar un conjunto fundamental de soluciones, esto implica que, los conjuntos de funciones debe ser linealmente independientes (L.I.). demuestra que el conjunto de las funciones soluciones de las ecuaciones diferenciales de los incisos ”a” y ”b”, son L.I. En general: a) ¿Cuál es la transformación que permite determinar la solución de una ecuación deferencial lineal homogénea de orden “n”?. 𝜆𝜆 = 𝑒𝑒 𝜆𝜆𝜆𝜆 b) ¿Cómo se expresa la solución de una ecuación diferencial lineal no homogénea orden “n”?. Desarrolla cada una de las siguientes actividades de forma individual en el caso de alguna duda o comentario, exponlo junto con tus compañeros de discusión

Actividad 1 Determina si las ecuaciones son lineales o independientes en el intervalo dado:

Conjunto de Funciones a. {tan(𝑥𝑥) , cot⁡ (𝑥𝑥)} b. {𝑥𝑥, 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥(𝑥𝑥), 𝑥𝑥 2 ln⁡ (𝑥𝑥)} -x -x c. {e cos(2𝑥𝑥),e sin⁡ (2𝑥𝑥)} a.

𝑊𝑊 = �

{tan(𝑥𝑥) , cot⁡ (𝑥𝑥)} Sujeto a 0 < 𝑥𝑥 < 𝜋𝜋/2

tan(𝑥𝑥) 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 2 (𝑥𝑥)

𝑊𝑊 = −

𝑊𝑊 = −

𝑊𝑊 ≠ 0

Intervalo 0 < 𝑥𝑥 < 𝜋𝜋/2 0 < 𝑥𝑥 < ∞ 0 < 𝑥𝑥 < 1

cot(𝑥𝑥) � = − tan(𝑥𝑥) 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 2 (𝑥𝑥) − cot(𝑥𝑥) 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 2 (𝑥𝑥) −𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 2 (𝑥𝑥)

𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(𝑥𝑥) sin(𝑥𝑥) − 2 cos(𝑥𝑥)𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 (𝑥𝑥) sin(𝑥𝑥) 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 2 (𝑥𝑥) 2 ≠0 sin(x) cos(x)

Si es una función Linealmente Independiente b.

𝑥𝑥, 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥(𝑥𝑥), 𝑥𝑥 2 ln⁡ (𝑥𝑥)} Sujeto a 0 < 𝑥𝑥 < ∞ 𝑥𝑥 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥 𝑥𝑥 2 ln(𝑥𝑥) 1 1 + ln(𝑥𝑥) 𝑥𝑥 + 2𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥(𝑥𝑥) 𝑊𝑊 = � � 1 1 + 2(1 + ln(𝑥𝑥)) 0 𝑥𝑥 1 𝑥𝑥 𝑥𝑥 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥(𝑥𝑥) 𝑥𝑥 2 ln(𝑥𝑥) = [1 + 2(1 + ln(𝑥𝑥))] � � �− � 1 1 + ln(𝑥𝑥) 𝑥𝑥 1 𝑥𝑥 + 2𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥(𝑥𝑥) 𝑊𝑊 = 𝑥𝑥 + 2𝑥𝑥(1 + ln(𝑥𝑥)) − 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥(𝑥𝑥) = 2𝑥𝑥 + 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥(𝑥𝑥) ≠ 0 𝑊𝑊 ≠ 0

Si es una función Linealmente Independiente

c.

{e-x cos(2𝑥𝑥),e-xsin⁡ (2𝑥𝑥)} Sujeto a 0 < 𝑥𝑥 < 1

𝑒𝑒 −𝑥𝑥 cos(2𝑥𝑥) 𝑊𝑊 = � −2𝑒𝑒 −𝑥𝑥 sin(2𝑥𝑥) − sin(2𝑥𝑥) cos(2𝑥𝑥)

𝑒𝑒 −𝑥𝑥 sin(2𝑥𝑥) � 2𝑒𝑒 −𝑥𝑥 cos(2𝑥𝑥) − 𝑒𝑒 −𝑥𝑥 sin(2𝑥𝑥)

𝑊𝑊 = 𝑒𝑒 −2𝑥𝑥 [2𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 2 (2𝑥𝑥) − sin(2𝑥𝑥) 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(2𝑥𝑥)] − 𝑒𝑒 −2𝑥𝑥 [−2𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2 (2𝑥𝑥) − sin(2𝑥𝑥) cos(2𝑥𝑥)]

𝑊𝑊 = 2𝑒𝑒 −2𝑥𝑥 𝑊𝑊 ≠ 0

Si es una función Linealmente Independiente

Actividad 2 Suponer la siguiente ecuación diferencial: 𝑎𝑎𝑎𝑎´´ + 𝑏𝑏𝑏𝑏´ + 𝑐𝑐𝑐𝑐 = 0

Ahora, si evaluamos la función exponencial 𝑦𝑦 = 𝑒𝑒 𝑚𝑚𝑚𝑚 en la ecuación, para cualquier valor de “m”, se obtiene a la ecuación algebraica 𝑎𝑎𝑎𝑎2 + 𝑏𝑏𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 = 0 la

ecuación anterior se le conoce como Ecuación Auxiliar ó Ecuación Característica, y sus raíces están dadas por el discriminante 𝑏𝑏 2 − 4𝑎𝑎𝑎𝑎.lo anterior se obtiene por la

formula general de una ecuación algebraica de segundo grado 𝑥𝑥1,2 =

2

−𝑏𝑏±�𝑏𝑏 −4𝑎𝑎𝑎𝑎 , 2𝑎𝑎

la cual implica que aparezcan uno de los tres tipos de raíces conocidos como Reales y Diferentes, Reales e Iguales y Complejas

Completa el siguiente cuadro, especificar la forma de la raíz de la ecuación auxiliar y a su vez la forma de la solución de la ecuación deferencial supuesta

Discriminante Raíz de la Ecuación Auxiliar 2 𝑏𝑏 − 4𝑎𝑎𝑎𝑎 > 0 𝑚𝑚 =−𝑏𝑏+√𝑏𝑏 2 −4𝑎𝑎𝑎𝑎 1

𝑏𝑏 2 − 4𝑎𝑎𝑎𝑎 = 0 𝑏𝑏 2 − 4𝑎𝑎𝑎𝑎 < 0

𝑚𝑚2=

2𝑎𝑎

−𝑏𝑏−√𝑏𝑏 2 −4𝑎𝑎𝑎𝑎 −𝑏𝑏

𝑚𝑚1 =

2𝑎𝑎

2𝑎𝑎

𝑚𝑚1 =

2𝑎𝑎

−𝑏𝑏+𝑖𝑖√4𝑎𝑎𝑎𝑎 −𝑏𝑏 2 2𝑎𝑎

−𝑏𝑏+𝑖𝑖√4𝑎𝑎𝑎𝑎 −𝑏𝑏 2

𝑚𝑚2 =

𝑦𝑦(𝑥𝑥) = 𝐶𝐶1 𝑒𝑒 𝑚𝑚 1 𝑥𝑥 + 𝐶𝐶2 𝑒𝑒 𝑚𝑚 2 𝑥𝑥

𝑦𝑦(𝑥𝑥) = 𝐶𝐶1 𝑒𝑒 𝑚𝑚 1 𝑥𝑥 + 𝐶𝐶2 𝑥𝑥𝑥𝑥 𝑚𝑚 2 𝑥𝑥

−𝑏𝑏

𝑚𝑚2 =

Solución de la EDL homogénea con coeficientes constantes

2𝑎𝑎

(𝛽𝛽𝛽𝛽) 𝑦𝑦(𝑥𝑥) = 𝑒𝑒 𝛼𝛼𝛼𝛼 [𝐶𝐶1 cos(𝛽𝛽𝛽𝛽) + 𝐶𝐶2 sin⁡

Actividad 3 Dado que 𝑦𝑦 = 𝐶𝐶1 cos(𝜆𝜆𝜆𝜆) + 𝐶𝐶2 sin(𝜆𝜆𝜆𝜆) es una familia de soluciones de la ecuación diferencial 𝑦𝑦´´ + 𝜆𝜆2 𝑦𝑦 = 0, encuentre los valores del parámetro 𝜆𝜆 para los cuales el problema con condiciones en la frontera 𝑦𝑦(0) = 0, 𝑦𝑦(𝜋𝜋) = 0, tiene soluciones no triviales. 𝑦𝑦(𝑥𝑥) = 𝐶𝐶1 cos(𝜆𝜆𝜆𝜆) + 𝐶𝐶2 sin(𝜆𝜆𝜆𝜆)

𝑦𝑦(0) = 𝐶𝐶1 cos�𝜆𝜆(0)� + 𝐶𝐶2 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠�𝜆𝜆(0)� = 0

𝑦𝑦(0) = 𝐶𝐶1 = 0

𝐶𝐶1 = 0

𝑦𝑦(𝑥𝑥) = 𝐶𝐶2 sin(𝜆𝜆𝜆𝜆)

𝑦𝑦(𝜋𝜋) = 𝐶𝐶2 sin(𝜆𝜆𝜆𝜆) = 0 𝑦𝑦(0) = 𝑦𝑦(𝜋𝜋) = 0

Actividad 4 a. Las raíces de la ecuación auxiliar son 𝑚𝑚1 = 4, 𝑚𝑚2 = 𝑚𝑚3 = −8. ¿Cuál es la ecuación diferencial lineal homogénea correspondiente? (𝑚𝑚 + 8)2 (𝑚𝑚 − 4) = 0

(𝑚𝑚2 + 16𝑚𝑚 + 64)(𝑚𝑚 − 4) = 0

𝑚𝑚3 − 4𝑚𝑚2 + 16𝑚𝑚2 + 64𝑚𝑚 + 64𝑚𝑚 − 256 = 0 𝑚𝑚3 + 12𝑚𝑚2 − 256 = 0

𝑦𝑦´´´ + 12𝑦𝑦´´ − 256 = 0

b. Las raíces de la ecuación auxiliar son 𝑚𝑚1 = − 1�4 , 𝑚𝑚2,3 = √3 ± 𝑖𝑖 ¿Cuál es la ecuación deferencial correspondiente?

(4𝑚𝑚 + 1)�𝑚𝑚 − √3 − 𝑖𝑖��𝑚𝑚 − √3 + 𝑖𝑖� = 0 2

(4𝑚𝑚 + 1) ��𝑚𝑚 − √3� + 1� = 0

(4𝑚𝑚 + 1)�𝑚𝑚2 − 2√3𝑚𝑚 + 4� = 0

4𝑚𝑚3 − 8√3𝑚𝑚2 + 16𝑚𝑚 + 𝑚𝑚2 − 2√3𝑚𝑚 + 4 = 0

4𝑚𝑚3 + �1 − 8√3�𝑚𝑚2 + �16 − 2√3�𝑚𝑚 + 4 = 0

4𝑦𝑦´´´ + �1 − 8√3�𝑦𝑦´´ + �16 − 2√3�𝑦𝑦´ + 4𝑦𝑦 = 0

Actividad 5 Determine la ecuación deferencial lineal con coeficientes constantes que tenga las soluciones indicadas a. 4𝑒𝑒 𝑥𝑥 , 3𝑒𝑒 −𝑥𝑥 𝑦𝑦 = 4𝑒𝑒 2𝑥𝑥 + 3𝑒𝑒 −𝑥𝑥 𝑚𝑚1 = 2 𝑚𝑚2 = −1 (𝑚𝑚 − 2)(𝑚𝑚 + 1) = 0 𝑚𝑚2 − 𝑚𝑚 − 2 = 0 𝑦𝑦´´ − 𝑦𝑦´ − 2 = 0 b. 10 cos(2𝑥𝑥) , −5sin⁡ (2𝑥𝑥)

𝑦𝑦 = 10 cos(2𝑥𝑥) − 5 sin(2𝑥𝑥) 𝑚𝑚1 = 2𝑖𝑖 𝑚𝑚2 = −2𝑖𝑖 (𝑚𝑚 − 2𝑖𝑖)(𝑚𝑚 + 2𝑖𝑖) = 0 𝑚𝑚2 + 4 = 0 𝑦𝑦´´ + 4𝑦𝑦 = 0 c. 3, −2𝑥𝑥, −𝑒𝑒 𝑥𝑥

𝑦𝑦 = 3 − 2𝑥𝑥 − 𝑒𝑒 𝑥𝑥 𝑚𝑚1 = 𝑚𝑚2 = 0 𝑚𝑚3 = 1 𝑚𝑚2 (𝑚𝑚 − 1) = 0 𝑚𝑚3 − 𝑚𝑚2 = 0 𝑦𝑦´´´ − 𝑦𝑦´´ = 0

Actividad 6 Si la función 𝑦𝑦1 = 𝑒𝑒 −4𝑥𝑥 cos(𝑥𝑥) es una solución de la ecuación diferencial 𝑦𝑦´´´ + 6𝑦𝑦´´ + 𝑦𝑦´ − 34𝑦𝑦 = 0. ¿Cuál es la solución general de la ecuación diferencial?

𝑚𝑚1 = −4 + 𝑖𝑖 𝑚𝑚1 = −4 − 𝑖𝑖 (𝑚𝑚 + 4 + 𝑖𝑖)(𝑚𝑚 + 4 − 1) = (𝑚𝑚 + 4)2 + 1 𝑚𝑚2 + 8𝑚𝑚 + 16 𝑚𝑚3 + 6𝑚𝑚2 + 𝑚𝑚 − 34 𝑚𝑚2 + 8𝑚𝑚 + 17 𝑚𝑚 − 2𝑚𝑚 + 𝑚𝑚 − 2 2𝑚𝑚 − 2𝑚𝑚 − 2 = −2 𝑚𝑚3 = 2 𝑦𝑦(𝑥𝑥) = 𝑒𝑒 −4𝑥𝑥 [𝐶𝐶1 cos(𝑥𝑥) + 𝐶𝐶2 sin(𝑥𝑥)] + 𝐶𝐶3𝑒𝑒 2𝑥𝑥

Actividad 7 Examine la ecuación de segundo orden con coeficientes constantes 𝑦𝑦´´ + 𝑏𝑏𝑏𝑏´ + 𝑐𝑐𝑐𝑐 = 0 a. Si 𝑦𝑦(𝑥𝑥) es una solución de la ecuación, descrita que condiciones deben satisfacer b y c para que lim 𝑦𝑦(𝑥𝑥) 𝑥𝑥→∞

b. Analiza que condiciones deben de tener b y c para que la ecuación posea una solución no trivial que satisfaga en la frontera 𝑦𝑦(0) = 0, 𝑦𝑦(1) = 0

Actividad 8 Resuelve las siguientes ecuaciones diferenciales lineales homogéneas con coeficientes constantes. Ecuación Diferencial 1. 𝑦𝑦´´ + 𝑦𝑦 = 0 2. 𝑦𝑦´´ + 5𝑦𝑦´ + 6𝑦𝑦 = 0 3. 𝑦𝑦´´´ + 𝑦𝑦´´ − 6𝑦𝑦´ + 4𝑦𝑦 = 0 1. 𝑦𝑦´´ + 𝑦𝑦 = 0 Sujeto a la condición 𝑦𝑦(0) = 0 𝑦𝑦´�𝜋𝜋�2� = 2

𝑦𝑦´´ + 𝑦𝑦 = 0 𝑚𝑚2 + 1 = 0 𝑚𝑚1,2 = ±𝑖𝑖 𝑦𝑦(𝑥𝑥) = 𝐶𝐶1 cos(𝑥𝑥) + 𝐶𝐶2 sin(𝑥𝑥) 𝑦𝑦´(𝑥𝑥) = −𝐶𝐶1 sin(𝑥𝑥) + 𝐶𝐶2 cos(x) 𝑦𝑦(0) = 𝐶𝐶1 = 0 𝑦𝑦´�𝜋𝜋�2� = −𝐶𝐶1 = 2 ⟹ 𝐶𝐶1 = −2 𝐶𝐶1 = 0 𝐶𝐶1 = −2 No tiene solución 2. 𝑦𝑦´´ + 5𝑦𝑦´ + 6𝑦𝑦 = 0 Sujeto a la condición 𝑦𝑦(0) = 1 𝑦𝑦´(1) = 0 𝑦𝑦´´ + 5𝑦𝑦´ + 6𝑦𝑦 = 0 𝑚𝑚2 + 5𝑚𝑚 + 6 = 0 (𝑚𝑚 + 2)(𝑚𝑚 + 3) = 0 𝑚𝑚1 = −2 𝑚𝑚2 = −3 𝑦𝑦(𝑥𝑥) = 𝐶𝐶1 𝑒𝑒 −2𝑥𝑥 + 𝐶𝐶2 𝑒𝑒 −3𝑥𝑥

Condiciones 𝑦𝑦(0) = 0 𝑦𝑦´�𝜋𝜋�2� = 2 𝑦𝑦(0) = 1 𝑦𝑦´(1) = 0 𝑦𝑦(0) = 0, 𝑦𝑦´(0) = 0, 𝑦𝑦´´(0) = 1

𝑦𝑦´(𝑥𝑥) = −2𝐶𝐶1 𝑒𝑒 −2𝑥𝑥 − 3𝐶𝐶2 𝑒𝑒 −3𝑥𝑥 𝑦𝑦(0) = 𝐶𝐶1 + 𝐶𝐶2 = 0 𝑦𝑦´(1) = −2𝑒𝑒 −2 𝐶𝐶1 − 3𝑒𝑒 −3 𝐶𝐶2 = 0 𝐶𝐶1 = 𝐶𝐶2 = 0 Tiene solución trivial 3. 𝑦𝑦´´´ + 𝑦𝑦´´ − 6𝑦𝑦´ + 4𝑦𝑦 = 0 Sujeto a la condición 𝑦𝑦(0) = 0, 𝑦𝑦´(0) = 0, 𝑦𝑦´´(0) = 1 𝑦𝑦´´´ + 𝑦𝑦´´ − 6𝑦𝑦´ + 4𝑦𝑦 = 0 𝑚𝑚3 + 𝑚𝑚2 + 6𝑚𝑚 + 4 = 0 (𝑚𝑚 − 1)(𝑚𝑚2 + 2𝑚𝑚 − 4) = 0 𝑚𝑚1 = 1 𝑚𝑚2 + 2𝑚𝑚 + 1 − 5 = 0 (𝑚𝑚 + 1)2 = 5 𝑚𝑚2,3 = −1 ± √5 𝑦𝑦(𝑋𝑋) = 𝐶𝐶1 𝑒𝑒 𝑥𝑥 + 𝐶𝐶2 𝑒𝑒 �−1+√5�𝑥𝑥 + 𝐶𝐶3 𝑒𝑒 �−1−√5�𝑥𝑥 𝑦𝑦´(𝑥𝑥) = 𝐶𝐶1 𝑒𝑒 𝑥𝑥 + �−1 + √5�𝐶𝐶2 𝑒𝑒 �−1+√5�𝑥𝑥 + �−1 − √5�𝐶𝐶3 𝑒𝑒 �−1−√5�𝑥𝑥 2

2

𝑦𝑦´´ = 𝐶𝐶1 𝑒𝑒 𝑥𝑥 + �−1 + √5� 𝐶𝐶2 𝑒𝑒 �−1+√5�𝑥𝑥 + �−1 − √5� 𝐶𝐶3 𝑒𝑒 �−1−√5�𝑥𝑥 𝑦𝑦(0) = 𝐶𝐶1 + 𝐶𝐶2 + 𝐶𝐶3 = 0 𝑦𝑦´(0) = 𝐶𝐶1 + �−1 + √5�𝐶𝐶2 + �−1 − √5�𝐶𝐶3 = 0 2

2

𝑦𝑦´´(0) = 𝐶𝐶1 + �−1 + √5� 𝐶𝐶2 + �−1 − √5� 𝐶𝐶3 = 1 𝐶𝐶1 = −1 1 𝐶𝐶2 = − 4√5 − 10 1 𝐶𝐶3 = 4√5 + 10 1 1 𝑒𝑒 �−1+√5�𝑥𝑥 + 𝑒𝑒 �−1−√5�𝑥𝑥 𝑦𝑦(𝑥𝑥) = −𝑒𝑒 𝑥𝑥 − 4√5 − 10 4√5 + 10

Actividad 9 1. Considera la ecuación diferencial 𝑎𝑎𝑎𝑎´´ + 𝑏𝑏𝑏𝑏´ + 𝑐𝑐𝑐𝑐 = 𝑒𝑒 𝑘𝑘𝑘𝑘 , donde a, b, c y k son constantes. La ecuación auxiliar de la ecuación diferencial homogénea asociada es 𝑎𝑎𝑎𝑎2 + 𝑏𝑏𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 = 0 a. Si K no es raíz de la ecuación auxiliar, determina una solución particular (integral particular) de formula 𝑦𝑦𝑝𝑝 = 𝐴𝐴𝑒𝑒 𝑘𝑘𝑘𝑘 d. Si k es una raíz de multiplicidad uno de la ecuación auxiliar, determine una solución particular de la forma 𝑦𝑦𝑝𝑝 = 𝐴𝐴𝐴𝐴𝑒𝑒 𝑘𝑘𝑘𝑘

2. En la presente actividad considera el método de coeficientes indeterminados, completa el cuadro que se muestra a continuación, suponiendo que la columna de la izquierda es al función del segundo miembro de alguna ecuación diferencial lineal no homogénea con coeficientes constantes 𝑎𝑎𝑎𝑎´´ + 𝑏𝑏𝑏𝑏´ + 𝑐𝑐𝑐𝑐 = 𝑔𝑔(𝑥𝑥), si esto es así entonces, ¿Cómo es la forma de la solución particular?

2

𝑔𝑔(𝑥𝑥)

3𝑥𝑥 + 4 𝑥𝑥 3 − 5𝑥𝑥 2 − 3𝑥𝑥 + 7 sin(5𝑥𝑥) 3 cos(3𝑥𝑥 ) + 4 sin(4x) 5𝑥𝑥 2 𝑒𝑒 4𝑥𝑥 (𝑥𝑥 − 6)𝑒𝑒 4𝑥𝑥 𝑥𝑥 2 cos(8𝑥𝑥) 𝑥𝑥𝑥𝑥 −𝑥𝑥 sin(2𝑥𝑥) Actividad 10

Forma de 𝑦𝑦𝑝𝑝 𝐴𝐴𝑥𝑥 2 + 𝐵𝐵 𝐴𝐴𝑥𝑥 3 + 𝐵𝐵𝑥𝑥 2 + 𝐶𝐶 + 𝐷𝐷 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴(5𝑥𝑥 ) + 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵(5𝑥𝑥 ) 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴(3𝑥𝑥 ) + 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵(3𝑠𝑠) + 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴(4𝑥𝑥 ) + 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵(4𝑥𝑥) (𝐴𝐴𝑥𝑥 2 + 𝐵𝐵𝐵𝐵 + 𝑐𝑐)(𝑒𝑒 4𝑥𝑥 ) (𝐴𝐴𝐴𝐴 − 𝐵𝐵)(𝑒𝑒 4𝑥𝑥 ) 𝐴𝐴𝑥𝑥 2 [𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴(8𝑥𝑥 ) + 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵(8𝑥𝑥 )] 𝐴𝐴𝑒𝑒 −𝑥𝑥 [𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴(2𝑥𝑥 ) + 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵(2𝑥𝑥 )]

Como se puede emplear el método de coeficientes indeterminados para determinar una solución particular de 𝑦𝑦´´ + 𝑦𝑦 = sin(𝑥𝑥) cos(2𝑥𝑥) 𝑦𝑦´´ + 𝑦𝑦 = 0 𝑚𝑚2 + 1 = 0 𝑚𝑚1,2 = ±𝑖𝑖 𝑦𝑦ℎ = 𝐶𝐶1 cos(𝑥𝑥) + 𝐶𝐶2 sin(𝑥𝑥)

Actividad 11 Plantear la solución particular de las siguientes ecuaciones diferenciales: a. 𝑦𝑦´´´ − 4𝑦𝑦´´ + 4𝑦𝑦´ = 𝑥𝑥 2 − 3𝑥𝑥 + 2𝑥𝑥 3 𝑒𝑒 𝑥𝑥 + 𝑒𝑒 4𝑥𝑥

𝑦𝑦𝑝𝑝 = 𝐴𝐴𝑥𝑥 2 + 𝐵𝐵𝐵𝐵 + (𝐶𝐶𝑥𝑥 3 )𝑒𝑒 𝑥𝑥 + 𝐷𝐷𝑒𝑒 4𝑥𝑥

b. 𝑦𝑦 𝐼𝐼𝐼𝐼 − 5𝑦𝑦´´ + 4𝑦𝑦 = cosh(2𝑥𝑥) − 3

Actividad 12

𝑦𝑦𝑝𝑝 = cosh(2𝑥𝑥) − 3 = cos(2𝑖𝑖𝑖𝑖) − 3 𝑦𝑦𝑝𝑝 = [𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴(2𝑖𝑖𝑖𝑖) + 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵(2𝑖𝑖𝑖𝑖)] − 𝐴𝐴

Discuta como se puede combinar el método de coeficientes indeterminados y variación de parámetros, para resolver las siguientes ecuaciones diferenciales: a. 3𝑦𝑦´´´ − 6𝑦𝑦´ + 30𝑦𝑦 = 15 sin(2𝑥𝑥) + 𝑒𝑒 2𝑥𝑥 tan(𝑥𝑥)

b. 𝑦𝑦´´ − 2𝑦𝑦´´ + 𝑦𝑦 = 4𝑥𝑥 2 − 1 + 𝑥𝑥 −2 𝑒𝑒 𝑥𝑥 Actividad 13

Solucionar por el método adecuado las siguientes ecuaciones diferenciales: i. ii.

Coeficientes indeterminados Variación de parámetros

a. 𝑦𝑦´´ + 4𝑦𝑦 = 12 cos(2𝑥𝑥)

𝑦𝑦´´ + 4𝑦𝑦 = 12 cos(2𝑥𝑥) 𝑦𝑦 = 𝑦𝑦ℎ + 𝑦𝑦𝑝𝑝 𝑚𝑚2 + 4 = 0 𝑚𝑚1 = 2𝑖𝑖 𝑚𝑚2 = −2𝑖𝑖 𝑦𝑦ℎ = 𝐶𝐶1 cos(2𝑥𝑥) + 𝐶𝐶2 sin(2𝑥𝑥) 𝑦𝑦𝑝𝑝 = 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴(2𝑥𝑥) + 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵(2𝑥𝑥) 𝑦𝑦´𝑝𝑝 = 𝐴𝐴[−2𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥(2𝑥𝑥) + cos(2𝑥𝑥)] + 𝐵𝐵[2𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥(2𝑥𝑥) + sin(𝑥𝑥)] 𝑦𝑦´´𝑝𝑝 = 𝐴𝐴[−4𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥(2𝑥𝑥) − 4 sin(2𝑥𝑥)] + 𝐵𝐵[−4𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥(2𝑥𝑥) + 4 cos(2𝑥𝑥)] 𝑦𝑦´´𝑝𝑝 = +4𝑦𝑦𝑝𝑝 = 12 cos(2𝑥𝑥) −4𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴(2𝑥𝑥) + 4𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵(2𝑥𝑥) = 12 cos(2𝑥𝑥) 𝐴𝐴 = 0 𝐵𝐵 = 3 𝑦𝑦𝑝𝑝 = 3𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥(2𝑥𝑥) 𝑦𝑦 = 𝐶𝐶1 cos(2𝑥𝑥) + 𝐶𝐶2 sin(2𝑥𝑥) + 3𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥(2𝑥𝑥)

b. 𝑦𝑦´´ − 𝑦𝑦 = 3𝑒𝑒 −3𝑥𝑥 + 𝑥𝑥

𝑦𝑦´´ − 𝑦𝑦 = 3𝑒𝑒 −3𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 𝑦𝑦 = 𝑦𝑦ℎ + 𝑦𝑦𝑝𝑝 𝑚𝑚2 − 1 = 0 𝑚𝑚1 = 1 𝑚𝑚2 = −1 𝑦𝑦ℎ = 𝐶𝐶1 𝑒𝑒 𝑥𝑥 + 𝐶𝐶2 𝑒𝑒 −𝑥𝑥 𝑦𝑦𝑝𝑝 = 𝑦𝑦𝑝𝑝1 + 𝑦𝑦𝑝𝑝2 𝑦𝑦𝑝𝑝1 = 𝐴𝐴𝑒𝑒 −3𝑥𝑥 𝑦𝑦´𝑝𝑝1 = −3𝐴𝐴𝑒𝑒 −3𝑥𝑥 𝑦𝑦´´𝑝𝑝1 = 9𝐴𝐴𝑒𝑒 −3𝑥𝑥 𝑦𝑦´´𝑝𝑝1 − 𝑦𝑦𝑝𝑝1 = 3𝑒𝑒 −3𝑥𝑥 9𝐴𝐴𝑒𝑒 −3𝑥𝑥 − 𝐴𝐴𝑒𝑒 −3𝑥𝑥 = 3𝑒𝑒 −3𝑥𝑥 8𝐴𝐴𝑒𝑒 −3𝑥𝑥 = 3𝑒𝑒 −3𝑥𝑥 3𝑒𝑒 −3𝑥𝑥 𝐴𝐴 = −3𝑥𝑥 8𝑒𝑒 3 𝐴𝐴 = 8 𝑦𝑦𝑝𝑝2 = 𝐵𝐵𝐵𝐵 + 𝐶𝐶 𝑦𝑦´𝑝𝑝2 = 𝐵𝐵 𝑦𝑦´´𝑝𝑝2 = 0 𝑦𝑦´´𝑝𝑝2 − 𝑦𝑦𝑝𝑝2 = 𝑥𝑥 0 − (𝐵𝐵𝐵𝐵 + 𝐶𝐶) = 𝑥𝑥 𝐵𝐵 = −1 𝐶𝐶 = 0 3 𝑦𝑦𝑝𝑝1 = 𝑒𝑒 −3𝑥𝑥 8 𝑦𝑦𝑝𝑝2 = −𝑥𝑥 3 𝑦𝑦 = 𝐶𝐶1 𝑒𝑒 𝑥𝑥 + 𝐶𝐶2 𝑒𝑒 −𝑥𝑥 + 𝑒𝑒 −3𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 8