Unidad 2 Ecuaciones Diferenciales de Orden Superior Tercera Parte (1)
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ECUACI ONES DI FE RENCI AL ES
Uni dad dad I I : Ecuaciones Ecuaciones Dif erenciales renciales de orden orden superi uperi or.
Ejercicio 2.7 EDLNH utilizando el método de coeficientes indeterminados. Resolver las siguientes EDLNH utilizando
( )
: CASO II: FUNCIÓN EXPONENCIAL Ahora se tiene una ecuación ecuación de segundo segundo orden orden de la siguiente forma:
a)
no es una raíz de la ecuación auxiliar :
En este caso, se propone una solución particular del tipo:
b) es una raíz simple de la ecuación auxiliar : Ahora se busca una solución particular en la forma de un polinomio de grado sin término independiente (pues este se anula durante la derivación) por , donde es el máximo exponente de en la solución complementaria, así se plantea una solución particular de la forma:
Ejercicio 2.8 EDLNH utilizando el método de coeficientes indeterminados. Resolver las siguientes EDLNH utilizando 1)
2) 3)
4) 5)
Tarea 2.7: EDLNH utilizando el método de coeficientes indeterminados. Resolver las siguientes EDLNH utilizando
1) 2) 3) 4) 5)
sujeto a () () 1
6) 7) 8) 9) 10)
sujeto a () ()
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CASO III: FUNCIONES SENO Y COSENO: Ahora se tiene una ecuación de segundo orden de la siguiente forma:
ó
a) Cuando no es una raíz de la ecuación auxiliar solución particular:
, se propone la siguiente
b) Cuando ES una raíz de la ecuación auxiliar solución particular:
, se propone la siguiente
Ejercicio 2.9 Resolver las siguientes EDLNH utilizando el método de coeficientes indeterminados. 1)
2)
3)
()
()() () ()()
() () () () ()
CASO IV: COMBINACIONES LINEALES Y PRODUCTOS DE LAS FUNCIONES ANTERIORES: Combinaciones lineales: A continuación se enuncia una propiedad de las ecuaciones diferenciales lineales que permite resolver ecuaciones NO HOMOGÉNEAS, donde la función esta formada por la suma (combinaciones lineales) de diferentes funciones, polinomiales, exponenciales, seno y coseno.
()
Principio de superposición: sea una ecuación diferencial lineal no homogénea de la forma:
() () 2
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()
Se puede determinar dos soluciones particulares, para la función , otra solución particular para la función , de tal forma que la solución particular de la EDLNH se expresa como:
( )
Se debe tener cuidado, cuando una raíz de la ecuación auxiliar
, se repite en
la solución particular propuesta hay que multiplicar la función propuesta por el producto de la variable elevada a un exponente n+1.
()
Ejercicio 2.10 Resolver las siguientes EDLNH utilizando el método de coeficientes indeterminados. 1)
2)
3
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Producto de funciones: Se debe tener cuidado en observar si las raíces de la ecuación característica no se repiten en la potencia de la exponencial o en los ángulos de las funciones trigonométricas , para poder aplicar los siguientes criterios:
[ ]
PRODUCTO DE FUNCIONES
[()]
() () () () () () () () () () () ()
SOLUCIÓN PARTICULAR PROPUESTA
[ ]
( ) ( ) [ () ()] [ () ()]
Se debe tener cuidado, cuando una raíz de la ecuación auxiliar
, se repite en
la solución particular propuesta hay que multiplicar la función propuesta por el producto de la variable elevada a un exponente n+1.
()
Ejercicio 2.11 1)
2)
()()
4
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Tarea 2.8:
Resuelva las siguientes EDLNH de coeficientes constantes, utilizando el método de coeficientes indeterminados, expresando sus soluciones y la solución general. En caso de tener condiciones iniciales determine la solución particular de la ecuación diferencial. 1) 2) 3)
4)
()
5)
[ ]
6) 7) 8)
9) 10)
() () () () () 5
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2.4.2 Método de variación de parámetros. El Método de coeficientes indeterminados visto en el tema anterior, es simple y tiene aplicaciones importantes en Ingeniería (como se verá más adelante), pero tiene la limitante de aplicarse a ecuaciones con una función especial limitada a ciertas funciones.
()
En este tema se estudia el Método de variación de parámetros, es atribuido al Físico, Matemático y Astrónomo italiano Joseph Louis Lagrange (1736-1813), este nuevo método es completamente general, es decir, se aplica a ecuaciones de la forma:
() ()() () () () son funciones continuas en algún intervalo . La continuidad de las funciones () (), implica que la ecuación homogénea siguiente tiene una donde
solución general:
() () cuando
() () son constantes, la solución general en el intervalo , está dada por: () ()
El Método de variación de parámetros, consiste en proponer una solución particular que implica reemplazar los parámetros por las funciones , y ; dichas funciones habrán de determinarse de tal modo que la función resultante:
() ()
() () ()()() sea una solución particular de la ecuación () ()() en el intervalo . PROCEDIMIENTO DE SOLUCIÓN del MÉTODO DE VARIACIÓN DE PARÁMETROS. Paso 1 Paso 2
Se resuelve la EDLNH de coeficientes constantes como una EDLH, y se obtiene la solución complementaria . Se determina el Wronskiano , . Lo cual se cumple por la independencia lineal de las funciones y en el intervalo para todo valor de en el intervalo. Se determinan los valores de las funciones , y aplicando las siguientes integrales indefinidas:
() ()
( ) () ()
Paso 3
Paso 4
Paso 5
() ∫ () ()
() ()
() ∫ () ()
La solución particular, se expresa por:
() () () ()()
La solución total de la EDLNH con coeficientes constantes para cualquier función es:
()
() 6
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() ()
Al evaluar las integrales indefinidas para calcular las funciones , y no se necesita escribir las constantes de integración, ya que en la solución homogénea o en la solución se encuentran las constantes escritas:
() () () () () ()()
Ejercicio 2.12 Aplicando el método de variación de parámetros resolver las siguientes EDLNH
() () ()()|()| () ó () ()[ |()|] ()[ ] () √
1)
2)
3)
() () [()()] | |
Tarea 2.9:
Resuelva las siguientes EDLNH de coeficientes constantes, utilizando el método de variación de parámetros, expresando sus soluciones y la solución general. 1) 2) 3) 4) 5)
() ()() () ()
6) 7) 8) 9) 10)
() () ()
2.5) Aplicaciones de ecuaciones diferenciales de segundo orden.
2.5 Aplicaciones. Se ha visto que una sola ecuación diferencial puede servir como modelo matemático de distintos fenómenos. Se inicia con el estudio de sistemas dinámicos (sistemas masa resorte, Ley de Hooke) y posteriormente el comportamiento de circuitos eléctricos. Las formas de la ecuación diferencial de segundo orden surgen en el análisis de problemas en muchas y diversas áreas de la ciencia y la ingeniería, de ahí la necesidad de modelar situaciones típicas utilizando estas ecuaciones. En esta parte se analizan varios sistemas dinámicos lineales en donde cada modelo matemático es una ecuación diferencial de segundo orden con coeficientes constantes:
()
()
Donde la función es la señal de entrada (función de entrada o función forzada) del sistema. La salida o respuesta del sistema es una solución de la ecuación diferencial en un intervalo que contiene a que satisface las condiciones iniciales prescritas .
( ) () 7
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Sistemas de masa – resorte.
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