Unidad 2. (Alumno) Funciones.pdf

2. FUNCIONES. Las funciones se pueden expresar de las siguientes formas: 1º Mediante tablas. Por ejemplo se puede estudiar el crecimiento de la población mundial con el tiempo. Año 1650 1700 1750 1800 1850 1900 1950 1990

Población (millones) 600 700 750 900 1200 1700 2400 6500

Población (millones) La variable independiente sería al año, y la dependiente la población. El dominio de la variable dependiente sería todos los valores que toma: 1650, 1700, etc. y el recorrido de la variable independiente sería todos los valores que toma ésta: 600, 700, etc. Como se puede observar hay una relación funcional entre el número de años y el número de habitantes de la Tierra que ya que para cada valor del año solo le corresponde un único valor de la población. 2º Mediante gráficas. En el ejemplo anterior:

8000 6000 4000 2000 0 Año

1

2

3

4

5

6

7

8

1650 1700 1750 1800 1850 1900 1950 1990

Población 600 700 750 900 1200 1700 2400 6500 (millones) 3º Mediante fórmulas. X

f ( x)

y

Por ejemplo si tenemos la función f(x) = x + 5 obtendremos los siguientes resultados: f(3) = 3 + 5 = 8 f(-7) = -7 + 5 = -2 f(0) = 0 + 5 = 5 Etc. 3 8 -7 -2 0 5

f ( x)  x  5

A partir de la fórmula se puede obtener una tabla y una gráfica que nos pueden ayudar si queremos una mejor interpretación del fenómeno. 4. Mediante un enunciado. Por ejemplo si tenemos otra situación donde "Un padre que estuvo observando desde el balcón a su hijo Alberto como iba al colegio: .-De casa salió a las 8.30 y fue seguidito hasta casa de su amigo Tomás. Lo esperó un rato sentado en el banco y luego se fueron juntos, muy despacio, hacia el colegio. Cuando ya

estaban llegando, mi hijo se dio cuenta de que se había dejado la cartera en el banco; volvió corriendo, la recogió y llegó a la escuela a las 9 en punto." Este enunciado representa una función que describe la distancia a la que se encuentra Alberto según el instante entre las 8.30 y las 9.00 de la mañana, y su gráfica aproximada es la representada a la derecha.

Para el problema donde se estudia el crecimiento de la población mundial con el tiempo, podemos decir que; en el año de 1650 la población era de 600 millones, mientras que en el año de 1700 la población se incremento a 700 millones de personas, en el año de 1750 la población ya es de 750 habitantes, etc. Este planteamiento representa el incremento de la población conforme va transcurriendo el tiempo, con estos datos se puede inferir a cuantos habitantes seremos en el 2010, por mencionar un ejemplo. 2.1 CONCEPTO DE VARIABLE, FUNCIÓN, DOMINIO, CONDOMINIO Y RECORRIDO DE UNA FUNCIÓN. Una función es una relación o dependencia entre dos variables que, por medio de una regla, asigna a cada valor de la variable independiente un único valor de la variable dependiente. En otras palabras se puede considerar una función como un dispositivo de entrada/salida. La notación para expresar que “y” es función de “x” es y = f(x), por ejemplo: y=x5, f(x)=x5, o bien, g(x), h(x), etc. Las cantidades que intervienen en una cuestión matemática son constantes cuando tienen un valor fijo y determinado, y son variables cuando toman diversos valores. Variable independiente (x) es la que le asignamos valores, se representa en el eje X o eje de las abscisas. El conjunto de valores que puede tomar se llama dominio. Variable dependiente (y) es la que podemos calcular cuando conocemos la variable independiente, y se representa en el eje Y o eje de las ordenadas. El conjunto de valores que puede tomar se llama rango, contra dominio, recorrido o imagen.

y  f ( x)  x  3

Variable dependiente

Variable independiente

Ejemplo: Si un metro de tela cuesta $2.00, y si una pieza tiene 5 metros, el costo de la pieza será de $10.00; si tiene 8 metros el costo será de $16.00, etc. Identifique la constante, las variables dependiente e independiente, así como la función que determine el costo total de la pieza. Solución: Constante: El costo de 1 m. de tela ($2.00)

Variables: El numero de metros de tela y el costo de la pieza Variable Dependiente: Costo total de la pieza Variable Independiente: El número de metros de tela Función: y = 2 x Ejercicio: Si un móvil desarrolla una velocidad de 6 metros por segundo, si viaja durante 2 segundos recorrerá una distancia de 12 metros, identifique la constante, las variables dependiente e independiente, así como la función que determine la distancia total recorrida. Solución: Constante: Velocidad (6 metros por segundo) Variables: Tiempo y distancia Variable Dependiente: Distancia Variable Independiente: Tiempo Función: y = 6 x El dominio de una función es el conjunto que consiste en todos los valores de entrada posibles. El recorrido de una función es el conjunto de todos los valores de salida posibles. Por ejemplo, el conjunto de pares ordenados {(1,3), (1,6), (2,6), (3,9), (3, 12), (4, 12)}; el conjunto de los primeros componentes {1, 2, 3, 4} se llama dominio y el conjunto de las segundas componentes {3, 6, 9, 12} recibe el nombre de recorrido. En la figura (a) siguiente se utilizan flechas para indicar cómo se asocian las entradas del dominio (las primeras componentes) con las salidas del rango (las segundas componentes). La figura (b) muestra otro ejemplo de una relación existente entre el dominio y el rango. Al conjunto A se llama dominio de la función y al conjunto B se llama codominio de la función. A los elementos de B obtenidos a partir de f(x) A se les llama imagen o rango o recorrido (en el ejemplo de la figura (b) el codominio y el recorrido NO tienen los mismos elementos). Dominio A

Recorrido B

1

3

2

6

3

9

4

12

Dominio A

Recorrido B

1 7

2

9

3

11

4

Fig. a)

Fig. b)

Una ecuación frecuentemente expresa cómo se obtiene la segunda componente (la salida) a partir de la primera componente (la entrada). Por ejemplo, la ecuación y = 4x – 3. Expresa cómo resulta la salida “y” de la entrada “x”. Esta ecuación expresa una relación especial entre “x” y “y”, porque cada valor de “x” que se sustituye en la ecuación sólo da como resultado un valor de “y”, decimos que la ecuación expresa “y” como la función de “x”. Para y = 4x – 3 Dominio

1 2 3 4

Rango

1 5 9 13

Ejercicio: En los ejercicios siguientes, determine f(0) y f(-2) 1) f(x) = 5x – 10 2 5) f(t) = t + t – 5

2) f(x) = -x + 4 3 6) f(u) = u – 10

2

4) f(x) = x – 9 3 8) f(x) = x – 2x + 4

3) f(x) = mx + b 4 7) f(n) = n

Para determinar el dominio, en ocasiones es más fácil identificar los valores que no se incluyen en el dominio (es decir, encontrar las excepciones). Dado el dominio, el recorrido de una función es el conjunto correspondiente de valores para la variable dependiente. Es posible que sea más difícil identificar el rango que definir el dominio. Ejemplo: Encuentre el dominio de cada una de las siguientes funciones, y determine el recorrido para las funciones de (1) y (2). 1. y = 4x

2

2.

3.

4. y = f(x) = x – 2x + 1

5.

6.

7.

8.

2

Solución: 1. y = 4x2 X Y -3 36 -2 16 -1 4 0 0 1 4 2 16 3 36 Dominio: Todos los números reales Recorrido: y  0 4. y = f(x) = x2 – 2x + 1 Dominio: Todos los números reales 7. Dominio: x  -4 y x  3 Nota: La expresión x2 + x - 12, se factoriza, es decir, (x + 4) (x - 3), el valor de la raíz no debe ser negativo.

2.

3. X -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

y 2.64 2.44 2.23 2 1.73 1.41 1 0 -

Dominio: x  4 Recorrido: y  0 5. Dominio: x   2 Nota: La expresión x2 – 4, se factoriza, es decir, (x-2) (x+2). 8. Dominio: x  10

x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 Dominio: x  2 6. Dominio: x  5

Y -0.2 -0.25 -0.33 -0.5 -1 1 0.5 0.33

Ejercicio: En las funciones siguientes, determine el dominio de cada uno. 1. f(x) = -10x 4. f(x) = 25 – x2

2. f(x) = 5x – 10 5

3. f(x) = mx – b 6)

7.

8.

9.

10.

11.

12.

Ejemplos: 1. Imagine que se le ha contratado como vendedor. Su patrón le indicó que su salario dependerá del número de unidades que venda cada semana. Si suponemos que: y = salario semanal en dólares, x = número de unidades vendidas cada semana. Suponga que su patrón le dio la ecuación siguiente para determinar su salario semanal: y = f(x) = 3x + 25. Determine su salario si la venta semanal es de 75 y 100 unidades respectivamente. Solución: f(75) = (3) (75) + 25 = $250 f(100) = (3) (100) + 25 = $325 2. La función C(x) = 15x + 80 000 expresa el costo total en dólares de fabricar “x” unidades de un producto. Si el número máximo de unidades que se pueden producir es 50 000, determine el dominio restringido y el recorrido para esta función del costo. Solución: Dominio: 0  x  50 000 Recorrido: 80 000  C(x)  830 000 3. La función q = f(p) = 180 000 – 30p es una función de la demanda que expresa la cantidad demandada de un producto “q” como una función del precio cobrado del producto “p”, indicado en dólares. Si el número máximo de unidades que se pueden producir es 6 000. Determine el dominio restringido y el recorrido de esta función. Solución: Dominio: 0  p  6 000 Recorrido: 0  q  180 000 Ejercicio: 1. En la fabricación de un producto, una empresa incurre en dos tipos de costos. Se incurre en costos anuales fijos de $250 000 sin importar el número de unidades producidas. Además, para la empresa cada unidad producida tiene un costo de $6. Si “C” es igual al costo total anual en dólares y “x” es igual al número de unidades producidas en un año. a) Determine la función C = f(x) que expresa el costo anual. b) ¿Cuál es f(200 000)?, ¿Qué representa f(200 000)? c) Indique el dominio restringido y el rango restringido de la función si la capacidad máxima de producción es de 300 000 unidades por año. Solución: a) C = 6x + 250 000 b) $1 450 000 c) Dominio: 0  x  300 000 Recorrido: $250 000  C  $2 050 000 2. Un fabricante ofrece a las personas que trabajan en un producto en particular un incentivo salarial. El tiempo estándar para completar una unidad es de 15 horas. Se paga a los

trabajadores un promedio de $8 por hora hasta un máximo de 15 horas por cada unidad del producto. Si una unidad del producto requiere más de 15 horas, sólo se paga al trabajador por las 15 horas que la unidad debería haber requerido. El fabricante creó un incentivo salarial por la terminación de una unidad en menos de 15 horas. Por cada hora por debajo del estándar de 15 horas, el salario por hora del trabajador aumenta $1.50. Suponga que se aplica el incentivo de $1.50 por hora a cualquier ahorro incremental que incluya fracciones de hora (por ejemplo, si se completa una unidad en 14.5 horas, el salario por hora equivaldría a $8 + $1.5 (0.5) = $8.75). Determine la función para completar una unidad del producto. Solución: La función de la tasa salarial tiene un dominio restringido de n  0, ya que los tiempos de producción negativa no tienen significado. Además, se describirá la función en dos partes. El incentivo salarial se aplica sólo cuando el tiempo de producción es menor a 15 horas. Por ello, si n15, w = 8. Si el tiempo de producción es menor que 15 horas, se determina el incentivo salarial como: W = 8 + 1.5 (número de horas por debajo del estándar de 15 horas) Es decir, w = 8 + 1.5 (15 – n) = 8 + 22.5 – 1.5n = 30.5 – 1.5n

3. Un pequeño club de salud trata de estimular nuevas membrecías. Por tiempo limitado se reducirá la cuota anual normal de $300 a $200. Como un incentivo adicional, para cada miembro nuevo por encima de los 60, el cargo anual por cada miembro se reducirá $2 más. Determine la función p = f(n), donde “p” es la cuota de membrecía para miembros nuevos y “n” es el número de miembros nuevos. Solución:

2.2 FUNCIÓN INYECTIVA, SUPRAYECTIVA Y BIYECTIVA. Se dice que una f es inyectiva o uno a uno, si puntos diferentes del dominio tienen imágenes diferentes, es decir, si siempre que se tenga x 1, x2  x con x1 ≠ x2 se tiene f(x1) ≠ f(x2). Una manera equivalente de enunciar esta condición es: si x 1, x2  x son tales que f(x 1) = f(x2), entonces necesariamente x 1 = x2. Se dice que una función es inyectiva cuando cada elemento del rango se asocia con uno y solo uno del dominio, en este caso no hay dos parejas ordenadas que tengan la misma segunda componente. Ejemplo: Sea una función cualquiera. Nótese que cada elemento del conjunto B recibe solamente una línea entonces ES INYECTIVA. A B 1 2 3

1 2 3

En el siguiente ejemplo hay un elemento de B (el número 2) que recibe dos flechas o líneas, por lo tanto NO ES INYECTIVA. A B 1 2 3

1 2 3

Para la siguiente función: Cuando a cada elemento del domino se le relaciona en la función con un elemento de la imagen, se le llama inyectiva. Se dice que f es suprayectiva o sobre, si cada elemento de su contradominio es imagen de al menos un elemento de su dominio. Es decir, si para cada yY existe al menos un x  X, talque y=f(x). Cuando el rango y el condominio son iguales la función es suprayectiva. Ejemplo: Sea una función cualquiera: A

B

1 2 3

2 4

Al conjunto B = {2,4} se le llama condominio y el rango de la función también es I = {2,4}; Como el condominio y el rango son iguales la función ES SUPRAYECTIVA. En el siguiente ejemplo; el condominio B = {2, 4} y el rango o imagen es: I = {2}; Como el condominio y el rango NO son iguales la función es NO ES SUPRAYECTIVA. A B 1 2 3

2 4

En términos de funciones debe ocuparse todo el eje Y, es decir, la imagen deben ser todos los reales. Se dice que f es biyectiva, si es inyectiva y suprayectiva al mismo tiempo. Ejemplo: La función tanto ES BIYECTIVA.

es al mismo tiempo, inyectiva y suprayectiva; por lo A -1 0 1 2

B -2 -1 0 1

Ejercicio: Para los incisos d), e) y f) indicar si las funciones son inyectivas, suprayectivas o biyectivas.

Indicar con una X si la función es inyectiva, suprayectiva o biyectiva, FUNCIÓN

INYECTIVA

SUPRAYECTIVA

BIYECTIVA

2.3 FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL Y SU REPRESENTACIÓN GRÁFICA. Las funciones que tienen una o dos variables independientes se pueden representar gráficamente. Esta presentación gráfica ofrece una dimensión adicional para entender las funciones matemáticas. La representación gráfica requiere una dimensión para cada variable independiente contenida en una función y una para la variable dependiente. Por consiguiente, las funciones con una variable independiente se grafican en dos dimensiones o en un plano cartesiano. Las funciones con dos variables independientes se grafican en tres dimensiones o en un espacio tridimensional. Cuando una función contiene más de tres variables, se pierde la representación gráfica. Las funciones que contienen dos variables se grafican en un conjunto de ejes de coordenadas rectangulares. Normalmente, se selecciona el eje vertical para representar la variable dependiente y el eje horizontal para representar la variable independiente de la función. Para graficar una función matemática, simplemente podemos asignar diferentes valores al dominio (a la variable independiente) y calcular el valor correspondiente para la variable dependiente. Los pares de valores ordenados resultantes para las dos variables representan valores que satisfacen la función. También especifican las coordenadas de puntos que caen en la gráfica de la función. Para trazar la función, determine un número adecuado de pares ordenados de valores que satisfacen la función; localice sus coordenadas respecto de un par

de ejes. Una estos puntos con una curva suave para determinar un trazo de la gráfica de la función. Ejemplos: Realice la gráfica de las siguientes funciones. 1. y = 2x – 4

2. y = 10x2 + 20x – 100

Solución: 1. y = 2x – 4 x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

y -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4

2. y = 10x2 + 20x – 100 x -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

y 140 50 -20 -70 -100 -110 -100 -70 -20 50 140

x -3 -2 -1 0 1 2 3

y -27 -8 -1 0 1 8 27

3. y = x3

3. y = x3

4.

4.

x 0 5 10 15 20 25 30 35

y 50 60 70 80 90 100 110 120

x 40 45 50 55 60 65 70 75

y 165 176.25 187.5 198.75 210 221.25 232.5 243.75

Ejercicios: Realice la gráfica de las siguientes funciones. 1. y = 8 – 3x 5. y = x4

2. y = x2 – 2x + 1 6.

3. y = x2 + 5x 7.

4. y = x3 + 2

Las gráficas son medios potentes para tratar gran número de problemas. Se utilizan en todas las disciplinas: física, biología, economía, sociología, psicología, etc. Las gráficas tienen una gran riqueza conceptual, pues, permiten revelar relaciones entre los datos que a simple vista puede ser difícil de notar y como dice el conocido refrán un dibujo dice más que mil palabras.

Las gráficas dan una rápida información visual de la relación entre dos magnitudes. Comencemos con un ejemplo: Un ciclista decide salir de ruta y durante un tiempo pedalea por un camino hasta que llega a una zona de descanso en donde se para para comer. A

continuación, sigue avanzando durante otro rato más, momento en que decide volver a casa por el mismo camino que había elegido para la ida. Observando atentamente la gráfica podemos averiguar muchas cosas del paseo que dio el ciclista: distancia más lejana a la que llegó, kilómetros recorridos, tiempo que estuvo fuera, momento en que come, ...

La gráfica representa la relación entre dos variables: el tiempo que transcurre desde que parte el ciclista de su casa y la distancia a la que se encuentra de su casa en cada momento. Cada punto de la gráfica representa un tiempo y una distancia, y significa que el ciclista está a esa distancia cuando haya transcurrido ese tiempo desde el momento en que partió. Analizando la gráfica apreciamos las franjas de tiempo en que el ciclista está avanzando o está quieto, las franjas en las que vuelve frente a las de ida, e incluso las franjas en las que el ciclista pedalea a mayor o menor velocidad (quizás inducida por la pendiente menor o mayor del terreno durante esa zona de tiempo). Además las escalas de cada eje son diferentes: En el eje horizontal, la unidad significa 1 hora. En el eje vertical, la unidad de escala es equivalente a 20 kms. Estas escalas nos permiten cuantificar la ruta (no sólo describirla cualitativamente). Por ejemplo: el punto más lejano al que llegó el ciclista estaba a 80 kms. de su casa, y allí llega a las 6 horas de haber salido. Vemos que la gráfica se extiendo en el tramo 0-8'5, es el intervalo de tiempo que dura la ruta del ciclista. Para hacer la gráfica de una función como f(x) = x + 2, lo hacemos igual que si hiciéramos la gráfica de una ecuación y = x + 2. Buscamos los pares ordenados (x, f(x)), se localizan los puntos en la recta numérica y se conectan. Por ejemplo: f(x) = x + 2

x

y

Una gráfica determina un conjunto de pares ordenados con números reales correspondientes a las coordenadas de los puntos en la gráfica. Ejercicio: Resuelva correctamente cada uno de los siguientes problemas. 1. Cada punto de este gráfico representa una bolsa de azúcar. a) ¿Qué bolsa es la más pesada? b) ¿Qué bolsa es la más barata? c) ¿Qué bolsas tienen el mismo peso? d) ¿Qué bolsas tienen el mismo precio? e) ¿Qué bolsa sale mejor de precio: F ó C?, ¿Por qué? Solución: a) D b) B c) C y E d) A y C e) C, porque mientras más baja esté es más barata, o bien, mientras más arriba esté es más cara. 2. Un fin de semana cinco personas hicieron llamadas telefónicas a varias partes del país. Anotaron el coste de sus llamadas y el tiempo que estuvieron en el teléfono en la siguiente gráfica: Responde razonadamente las siguientes cuestiones: a) ¿Qué variables se relacionan? b) ¿Cuál es la variable dependiente y la variable independiente? c) ¿Quién pagó más por la llamada? d) ¿Quién pagó menos por la llamada? Solución: a) Precio y Tiempo b) Var. Indep. = tiempo y Var. Dep.= precio c) Pepe d) Ana

3. Grafique la siguiente función. y  f ( x) 

 3x  2 2x

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

-1.25 -1.16 -1 -0.5 -2.5 -2 -1.83 -1.75

2.4 FUNCIONES IRRACIONAL.

ALGEBRAICAS:

FUNCIÓN

POLINOMIAL,

RACIONAL

E

Una función polinomial de n grados tiene la forma general y=f(x)=anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 +…+ a1x+a0. donde: an , an-1 , an-2 , a1 , a0 . Son reales y an ≠ 0. El exponente de cada x debe ser un entero positivo y el grado del polinomio es la potencia (exponente más alto en la función). Las funciones, constantes, lineales, cuadráticas y cúbicas son funciones polinomiales de grado 0,1, 2 y 3 respectivamente. Función constante. Se caracteriza por que su dominio tiene un solo valor, aun cuando se toman diferentes valores, su grafica es una línea horizontal paralela al eje “x” y tiene la forma general; y =f(x)=a0 Por ejemplo: y = f(x)=2 x -2 -1 0 1 2

y 2 2 2 2 2

Función lineal. Es aquella cuyo máximo exponente en la variable independiente es la unidad y tiene la forma general; y=f(x)=a1x + a0. Donde a1 ≠ 0

Por ejemplo: y=f(x)=2x + 1 x -2 -1 0 1 2

y -3 -1 1 3 5

Función cuadrática. Es aquella cuyo máximo exponente en la variable independiente es 2 y tiene la forma general; y = f(x) = a2 x2 + a1x + a0. Donde a2 ≠ 0 Por ejemplo: y = f(x) = 3x2 + 2x + 4 x -2 -1 0 1 2

y 12 5 4 9 20

Función cúbica. Es aquella cuyo máximo exponente en la variable independiente es 3 y tiene la forma general; y = f(x) = a3x3 + a2 x2 + a1x + a0. Donde a3 ≠ 0 Por ejemplo: y = f(x) = x3 + 2x2 + x + 1 x -2 -1 0 1 2

y -1 1 1 5 19

Función racional. Es aquella que puede expresarse como el cociente de 2 funciones polinomiales, y tiene la forma general; y  f ( x) 

g ( x) h( x )

Por ejemplo: y  f ( x)  x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

3x  2 2x

y 1.25 1.16 1 0.5 ? 2.5 2 1.83 1.75

Función Irracional. Es aquella que tiene la forma general;

y  f ( x)  g ( x) , donde g(x)

puede ser lineal, cuadrática, cúbica o polinomial. Por ejemplo: x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

y  f ( x)  x 2  2 x y 2.828 1.732 0  0 1.732 2.828 3.872 4.898

2.5 FUNCIONES TRASCENDENTES: FUNCIONES EXPONENCIALES.

FUNCIONES

TRIGONOMÉTRICAS

Y

Funciones trigonométrica. Sea  un ángulo en posición estándar en un sistema de coordenadas rectangulares y P(x,y) un punto a r unidades del origen (donde r>0), sobre el lado terminal del ángulo, se pueden establecer 6 razones que contienen a r y a las coordenadas de P denominadas funciones trigonométricas. Así tenemos P (x,y)

r

sen 

c.op y  hip r

csc 

hip r  c.op y

cos  

c.ad x  hip r

sec 

hip r  c.ad x

c.op y  c.ad x

ctg  

c.ad x  c.op y

y  x

tg 

1 1 y sen   r  ctg 0 y r sen . csc 

y r . 1 r y

1 c.ad r x cos     hip x r x r cos  . sec  .  1 r x

1 1 y tg   c.ad  ctg 0 c..op x

tg .ctg  

Función seno Y=f(x) =senx

Función coseno Y=f(x) =cos x

Función tangente Y=f(x) =tg x

Función cosecante Y=f(x) =csc x

Función secante Y=f(x) =sec x

Función cotangente Y=f(x) =ctg x

y x . 1 x y

Función exponencial. Es aquella en donde la variable independiente aparece en el exponente. Si la función exponencial tiene la forma y = f(x) = bx, x aparecerá como exponente o como parte de un exponente. Hay distintas clases de este tipo de función, cada una con sus características estructurales especificas. Por ejemplo: f(x) = 2x x -3 -2 -1 0 1 2 3

y 0.125 0.25 0.5 1 2 4 8

Por ejemplo: f(x) = ex donde e=2.71828

2.6 FUNCIÓN DEFINIDA POR MÁS DE UNA REGLA DE CORRESPONDENCIA. FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO. Función valor absoluto. Las funciones en valor absoluto se transforman en funciones a trozos, siguiendo los siguientes pasos: 1. Se iguala a cero la función, sin el valor absoluto, y se calculan sus raíces. 2. Se forman intervalos con las raíces y se evalúa el signo de cada intervalo. 3. Definimos la función a trozos, teniendo en cuenta que en los intervalos donde la x es negativa se cambia el signo de la función. 4 Representamos la función resultante.

2.7 OPERACIONES COMPOSICIÓN.

CON

FUNCIONES:

ADICIÓN,

MULTIPLICACIÓN,

Existen cuatro operaciones básicas que se realizan con funciones la suma, diferencia, multiplicación y división. Ejemplo: Dada las siguientes funciones, determine: a) f(x)+g(x), b) f(x)–g(x), c) f(x).g(x), d) f(x)/g(x). 1) f(x) = 3x2 + 5x + 2 , g(x) = x2 + x a) f+g = 3x2+5x+2+(x2+x) = 3x 2+5x+2+x2+x = 4x2+6x+2 b) f-g = 3x2+5x+2-(x2+x) = 3x2+5x+2-x2-x = 2x2+4x+2 c) f*g = (3x2+5x+2) * (x2+x) = 3x4+3x3+5x3+5x2+2x2+2x = 3x4+8x3+7x2+2x d) f/g = (3x2+5x+2) / (x2+x) = 3 + (2x+2)/(x 2+x) 2) f(x) = 4x3 - 6x2 + 2x , g(x) = 5x 3 2 3 2 a) f+g = 4x - 6x + 2x + 5x = 4x – 6x + 7x 3 2 3 2 b) f-g = 4x - 6x + 2x - 5x = 4x - 6x - 3x c) f*g = (4x3 - 6x2 + 2x) * (5x) = 20x 4 – 30x3 + 10x2 d) f/g = (4x3 - 6x2 + 2x) / (5x) = 4x2/5 – 6x/5 + 2/5 3) f(x) = 6x4 - 3x2 + x , g(x) = 3x + 2 4 2 4 2 a) f+g = 6x - 3x + x + 3x + 2 = 6x – 3x + 4x + 2 4 2 4 2 b) f-g = 6x - 3x + x - 3x - 2 = 6x - 3x - 2x - 2 4 2 5 4 3 2 2 5 4 3 2 c) f*g = (6x - 3x + x)*(3x – 2) = 18x - 12x – 9x + 6x + 3x – 2x= 18x - 12x – 9x + 9x – 2x 4 2 3 2 d) f/g = (6x - 3x + x) / (3x – 2) = 2x + 4x /3 – x /9+ 7/27 + (14/27)/(3x-2) La composición de funciones es una operación que, en general, se aplica a pares de funciones, sin importar su naturaleza, siempre y cuando las funciones cumplan con las condiciones apropiadas. Si f y g son dos funciones arbitrarias, para definir su composición g o f, vamos a requerir que los valores f(x) de la función f sean elementos del dominio de g. La composición de funciones es una operación muy importante en matemáticas, pues hace crecer nuestros recursos para construir funciones, pero debe cuidarse que las funciones cumplan las condiciones que permita componerlas. Ejemplos: 1. Sean f ( x )  1  x 2 y g ( x )  a) b)

(f o g)(x) (g o f)(x)

1 , determine las composiciones: 1  x2

Solución: 2

 1  1    1 x 

a) ( fog )( x ) 



2

b) ( gof )( x ) 

1



1 1 x 2

2. Sean f ( x )  1  x 4 y g ( x )  a) (f o g)(x) b) (g o f)(x) Solución: a) ( fog )( x )  1 



2



2

2

1  x2

1 1  2 1  1  x 2  x2

x , determine las composiciones:

 x   1 x 4

1 x   1

2

b) ( gof )( x )  1  x 4 Ejercicios: 1. Sean f ( x )  

1 y g ( x )  x determine las composiciones: 1  x2

a) (f o g)(x) b) (g o f)(x) Solución:

1 1 x 1 b) ( gof )( x )   1  x2 1 2. Sean f ( x )   1 y g ( x )  4 x  1 determine las composiciones: 1 x a) ( fog )( x )  

a) (f o g)(x) b) (g o f)(x) Solución: a) ( fog )( x )  x  2 x b) ( gof )( x ) 

2 x  2x

2.8 FUNCIÓN INVERSA. TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS.

FUNCIÓN

LOGARÍTMICA.

FUNCIONES

Función inversa. En lugar de despejar la variable Y, aquí se despeja la variable X; es decir si tenemos la función f(x)= 2x+1 y nos piden su función inversa, escribimos y= 2x+1, despejamos a X y se obtiene la inversa.

x

y 1 y 1 o bien g ( y )  2 2

Nota: En la función normal se encuentran valores para Y. Ahora en la inversa se encuentran valores para X. La grafica debe ser similar.

f(x)=2x+1

g ( y) 

f(-2)=2(-2)+1= -4+1=-3 f(-1)=2(-1)+1=-2+1=-1 f(0)=2(0)+1=1 f(1)=2(1)+1=2+1=3 f(2)=2(2)+1=4+1=5

y 1 2

 3 1  4   2 2 2  2 1  3 g (2)     1. 5 2 2 11  2 g (1)    1 2 2 0 1 1 g ( 0)    0 . 5 2 2 11 0 g (1)   0 2 2 2 1 1 g ( 2)    0 .5 2 2 3 1 2 g (3)   1 2 2 g (3) 

Función logarítmica. La función logarítmica con base b es la inversa de la función exponencial con base b, es decir: by = x es equivalente a log b x = y. Por ejemplo: 102 = 100 23 = 8 32 = 9

es equivalente a log10 100 = 2 es equivalente a log2 8 = 3 es equivalente a log3 9 = 2

y =log10 2x

Funciones trigonométricas comúnmente usadas son:

inversas:

Las

tres

funciones

trigonométricas

inversas

Arcoseno. Es la función inversa del seno de un ángulo. El significado geométrico es: el arco cuyo seno es dicho valor. La función arcoseno real es una función [-1,1][0,2], es decir, no está definida para cualquier número real. Arcocoseno. Es la función inversa del coseno de un ángulo. El significado geométrico es: el arco cuyo coseno es dicho valor. Es una función similar a la anterior, de hecho puede definirse como: arccos(x)= /2 – arcsin(x) Arcotangente. Es la función inversa de la tangente de un ángulo. El significado geométrico es: el arco cuya tangente es dicho valor. A diferencia de las anteriores la función arcotangente está definida para todos los reales.

2.9 FUNCIONES CON DOMINIO EN LOS NÚMEROS NATURALES Y RECORRIDO EN LOS NÚMEROS REALES: LAS SUCESIONES INFINITAS. Una sucesión de números reales es toda lista o colección ordenada infinita de números, de los cuales algunos, o todos ellos, pueden coincidir entre sí. Una sucesión se distingue de un conjunto de dos aspectos. El primero, es que en una sucesión hay un orden, se trata de una colección ordenada, de modo que hay un primer elemento, un segundo, etc. el segundo es que la colección ordenada es infinita como lista, aunque no necesariamente como conjunto. Una sucesión o secuencia, es una función cuyo dominio es el conjunto de los enteros positivos. En lugar de emplear la notación funcional de costumbre f(x) o f(n), una sucesión se denota usualmente por el símbolo an. Los términos de la sucesión se forman haciendo que (n) tome los valores de 1, 2, 3, …, en el término general an. Así que, an es equivalente a: a1, a2, a3, …. Ejemplos: Escribir los 4 primeros términos de las siguientes sucesiones. 1)  2n  1 n

a

a1= 2(1)-1=1 a2= 2(2)-1=3 a3= 2(3)-1=5 a4= 2(4)-1=7 an= 1, 3, 5,7 2)

n 2n  1 1 1 a1  2(1)  1  3 2 2 a2  2(2)  1  5 3 3 a3  2(3)  1  7 4 4 a3  2(4)  1  9

a

n



an= 1/3, 2/5, 3/7, 4/9

3)

a

n

 n2  n

a1= (1)2+1=2 a2= (2)2+2=6 a3= (3)2+3=12 a4= (4)2+4=20 an= 2, 6, 12, 20. Sucesión infinita. Es aquella cuyo dominio contempla un conjunto infinito de enteros sucesivos. Una sucesión infinita arbitraria normalmente se denota por a1, a2, a3, …, an,… y se puede considerar como una colección de números reales para los que hay una correspondencia unívoca con los enteros positivos. Por comodidad, a veces se llama simplemente sucesiones o (secuencias) a las sucesiones infinitas. Cada número real ak es un término de la sucesión. La sucesión está ordenada ya que hay un primer término a1, un segundo término a2 y, para todo entero positivo “n”, un n-ésimo término an. Las sucesiones infinitas se representan en las matemáticas anteriores al cálculo, por ejemplo, la sucesión: 0.6, 0.66, 0.666, 0.6 666, 0. 66 666, … puede emplearse para representar el número racional 2/3. En este caso, el n-ésimo término se va acercando cada vez más a 2/3 cuando “n” crece. Un uso importante de las sucesiones infinitas está en la definición de series infinitas. Esta definición permite expresar un número racional como 2/3 por medio de una serie infinita (o suma infinita). Para 2/3, la serie infinita es: 0.6+0.06+0.006+0.0006+… La sucesión para 2/3 se puede obtener agregando más y más términos a la suma, es decir, 0.6=0.6, 0.6+0.06=0.66, 0.6+0.06+0.006=0.666, etc.

2.10 FUNCIÓN IMPLÍCITA. La función implícita, se define como una relacional funcional contenida en una ecuación de la forma f(x, y) =0. La ecuación y-5x-100=0 podría sugerir que Y es una función implícita de X o que X es un función implícita de Y. En una aplicación dada el conocimiento de la naturaleza de la aplicación hará mas evidente cual variable debe considerarse como la variable dependiente. Algunas funciones implícitas pueden reescribirse en una forma explicita, por ejemplo la función implícita 2xy+3y-100=0 puede reescribirse como:

y

100 2x  3

Otros casos no es posible expresar de forma explicita la función implícita .Por ejemplo la función x³ -xy -3y³ = 0 no puede escribirse en ninguna de las dos formas explicitas y=f(x), o x=g(y). Nota: Implícita es cuando algunas de las variables no está despejada, y por su parte explícita es cuando algunas de las variables esté despejada. 2x + 3y = 10 Función implícita

10  3 y Función explicita 2 10  2 x y Función explicita 3

x