unidad 1

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1. DEFORMACIÓN POR DEFLEXIÓN EN VIGAS

Diagrama carga – desplazamiento y momento curvatura Consideremos la siguiente viga

Fig.1 Determinación del diagrama de curvatura a lo largo de una viga

Fig. 2 Diagrama momento - curvatura

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Una vez determinado el diagrama de distribución de curvaturas a lo largo de la viga Fig. 1, el siguiente problema es determinar las rotaciones y deflexiones, este problema puede resolverse por integración o por medio de los teoremas conocidos con el nombre de Teoremas área – momento Cálculo de pendientes y deflexiones. Ecuación de la elástica y relaciones fundamentales de la teoría de flexión Ecuación de la elástica Deformación por deflexión en vigas 1.1 Relación momento – curvatura Para desarrollar la teoría de las deflexiones en vigas, se debe considerar la geometría o la cinemática de la deformación de un elemento de viga. La hipótesis cinemática fundamental en la que se basa es que las secciones planas permanecen planas después de la deformación. Este enfoque desprecia las deformaciones por cortante en una viga. Un segmento de una viga inicialmente recta se muestra en estado de deformación en la Figura 2. El eje flexionado de la viga, es decir la curva elástica se muestra con una curvatura de radio ( ). El centro de curvatura ( ) de un elemento cualquiera se puede hallar prolongando hasta su intersección dos secciones consecutivas tales como y

Figura 2, Deformación por flexión en un segmento de viga

En la Figura 2.d, se puede ver que en una viga flexionada el ángulo que forman dos secciones consecutivas es ( ). Si las distancias ( ) desde la superficie neutra hasta las fibras deformadas se miden de la manera usual como positivas hacia arriba, la deformación total ( ) de una fibra se puede expresar como:

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Como las deformaciones son tan pequeñas que se puede despreciar la tangente.

Para distancias ( ) negativas la fórmula da un alargamiento, lo cual concuerda con la deformación que se muestra en la figura. Las fibras situadas en la superficie neutra curva de la viga deformada, representadas en la Fig. 2d, por la fibra ( ), no se deforman en lo absoluto. Por lo tanto, la longitud de arco ( ) corresponde a la longitud inicial de todas las fibras entre las secciones y . Teniendo presente lo anterior, después de dividir la ecuación 2, entre ( ), se tiene las siguientes relaciones:

Es posible ver que ( ) es la deformación lineal en la fibra de una viga situada a una distancia ( ) del eje neutro. Por tanto,

De la Fig. 2c, se tiene:

Que es la definición de la curvatura ( ), se debe observar que ( y ) deben aumentar en el mismo sentido. Con lo anterior, sustituyendo las ecuaciones 4 y 6, en la ecuación 3, se puede expresar la relación fundamental entre la curvatura elástica y la deformación lineal como sigue:

Es importante notar que como no se emplearon las propiedades del material en la deducción de la ecuación 7, esta relación se puede utilizar tanto para problemas inelásticos como elásticos.

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Teniendo en cuenta que:

( )( )

(

)( )( )

La ecuación 10, relaciona al momento flexiónate ( ) de una sección transversal de la viga elástica cuyo momento de inercia con respecto al eje neutro es ( ), con la curvatura ( ⁄ ) de la elástica. Nótese que en la ecuación 10, el sistema de coordenadas ( ) se utiliza para localizar los puntos materiales en una viga a fin de calcular el momento de inercia ( ). Por otra parte, en problemas en el plano se emplea el sistema de ejes ( ) para situar puntos en la curvatura elástica.

Figura 3, Relación entre momento flexionante y curvatura

El sentido positivo del eje ( ) se toma igual al positivo del eje ( ) y al positivo de la carga aplicada ( ), Fig. 3. Nótese en especial que si la pendiente positiva ( ) de la curva elástica aumenta positivamente a medida que ( ) aumenta también, la curvatura es positiva. Este sentido de la curvatura coincide con el de la curvatura inducida por los momentos flexionantes positivos ( ) aplicados. Por esta razón, en ambos miembros de la ecuación 10, los signos son positivos.

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1.2 Formas alternativas u otro procedimiento para establecer la ecuación de la elástica es el siguiente Consideremos el siguiente elemento

Fig. 4 a) Deformación de un elemento de una viga sujeta a flexión pura, b) Radio de curvatura neutro de un elemento sujeto a flexión pura.

Si la curvatura es

del eje

, el recíproco de la curvatura se le denomina, radio de curvatura

En un caso general, cuando el momento flexionante varía a lo largo de la viga y existen fuerzas cortantes, se considera que el efecto de estas en la deformación es insignificante, de acuerdo con esta suposición, la curvatura del eje neutro en cada sección a lo largo de la viga está determinada de acuerdo al valor del momento flexionante ( ) en dicha sección y el producto ( )

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Relación de la curvatura con la deflexión del eje neutro

Fig. 5 Geometría de la deformación

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De las figuras anteriores, se tiene:

Debido a que la tangente es muy pequeña, se puede despreciar

Por lo tanto, la curvatura, se puede expresar, como:

Para relacionar la curvatura con la deflexión, se utiliza la Fig. 5c: (

)

Es el ángulo que la línea tangente a la curvatura de la deflexión forma con el Eje x. Como la curvatura implica la derivada de ( ), respecto de ( ), los dos miembros de la Ecuación 14, deben diferenciarse con respecto a ( ) (

)

De la Fig. c. se obtiene: [

]

[

]

La curvatura se puede expresar por completo en función de las derivadas de ( ): [

[

]

][

[

]

]

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(

[ [

) ]

[

]

] (

(

)

)

[

]

En la mayoría de los cálculos de Ingeniería que utilicen deflexiones de vigas, la pendiente de la curvatura de la deflexión es insignificante cuando se compara con la unidad o uno. ] Así, el término, [ se puede considerar que es la unidad, con lo cual se obtiene una relación lineal entre la segunda derivada de la deflexión y el momento flexionante en cada sección a lo largo de la viga, es decir: (

)

Integrando la ecuación anterior, se obtiene la pendiente de la curvatura de la deflexión e integrando otra vez se tiene la deflexión. Es importante observar que para la curva elástica, al nivel de exactitud de la ecuación de la elástica, se tiene . Esto se deduce del hecho de que como antes se dijo, el cuadrado de la pendiente ( ) es despreciable comparado con la unidad, y √

√

[

(

)]

√⌊

(

) ⌋

Por lo tanto con la teoría de las pequeñas deflexiones no existe diferencia alguna entre la longitud inicial del eje de la viga y el arco de la curvatura elástica. Dicho en otras palabras, no hay desplazamiento horizontal ( ) de los puntos situados en la superficie neutra, es decir, en .

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1.3 Cálculo de pendiente y deflexión por integración directa 1.3.1 Método de la doble integración Relación entre carga, fuerza cortante, momento flexionante, pendiente y deflexión para una viga de material homogéneo y elástico

Fig. 6 Relaciones entre carga, fuerza cortante, momento flexionante, pendiente y deflexión para una viga de material homogéneo y elástico

En las ecuaciones anteriores para calcular las constantes de integración, será necesario considerar las condiciones de frontera.

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1.4 Condiciones de frontera Para la resolución de problemas de deflexiones de vigas, además de las ecuaciones diferenciales, se den establecer condiciones de frontera. a) Empotramiento (apoyo fijo): En este caso se deben anular el desplazamiento o deflexión y la pendiente. b) Articulación (apoyo de pasador): En el extremo que se considera no existe la deflexión ni el momento M, la condición físicamente evidente para M está relacionada con la derivada del desplazamiento respecto a la distancia. c) Extremo libre: Está libre de momento flexionante y fuerza cortante d) Apoyo guiado: En este caso se permite el movimiento vertical libre, pero se impide la rotación del extremo. El apoyo no es capaz de resistir fuerza cortante. Las ecuaciones anteriores son útiles para establecer las ecuaciones generales de deformación y al método se le conoce como Método de la Doble Integración 1.5 Principios fundamentales de Área – Momento Es un método semigráfico que se desarrolla a partir de la curvatura de la elástica, sobre la que se deducen dos importantes teoremas conocidos como “Teoremas de Mohr”. Representa una alternativa importante para calcular pendientes y flechas o deflexiones en puntos específicos de una viga, sobre todo, cuando se trata de vías simplemente apoyadas o con extremos libres, voladizo o cantiliver, que presentan una gran variación de cargas a través de su longitud. El procedimiento consiste en establecer en forma independiente la variación relativa de la pendiente y desviación tangencial en los puntos extremo de un intervalo cualquiera, generalmente definido por los apoyos. Posteriormente, las expresiones obtenidas se aplican en los diferentes intervalos que determinan las cargas y mediante relaciones geométricas, se calcula la variación relativa en cualquier punto. Cuando se trata de vigas en voladizo, el método resulta directo y altamente eficaz.

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1.5.1 Deducción de los teoremas de Mohr Vigas en Cantiliver o Voladizo

Fig. 7 Viga en cantiliver o voladizo

La curva representa la elástica de la viga en cantiliver o voladizo, cuyo diagrama de momentos es la línea . Las tangentes por los puntos y forman el ángulo ; las tangentes y las normales por los puntos y , forman el ángulo ; es el centro de la curvatura y es el radio de curvatura. Las deformaciones deben ser muy pequeñas:

∫ ∫

∫ ∫

∫

El producto representa el área del diagrama de momentos y el producto representa el momento estático del área del diagrama de momentos.

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1.5.2 Diagramas (M/EI) Las ecuaciones anteriores, permiten establecer los dos teoremas siguientes: 1.- El ángulo formado por las tangentes a dos puntos y de la elástica, es igual al área del diagrama de momentos comprendido entre y , dividido entre . 2.- La distancia vertical del punto de la elástica a la tangente por el punto , es igual al momento estático respecto a la vertical , del área del diagrama de momentos comprendido entre y , dividido entre . Las ecuaciones obtenidas y los teoremas establecidos, constituyen el Método llamado “Área – Momento”, por medio del cual se pueden calcular las pendientes y las deflexiones o flechas de las vigas en cantiliver o voladizo, cuyas tangentes por el apoyo de empotre son rectas de posición definida. Vigas simplemente apoyadas Para el cálculo de las deformaciones en las vigas simplemente apoyadas por el método de área – momento, es necesario establecer una variante en las ecuaciones y los teoremas.

Fig. 8 Viga simplemente apoyada

La Figura anterior muestra una viga simplemente apoyada en la que actúa un momento flexionante en el apoyo . La elástica es la curva , en la que las deformaciones deben ser muy pequeñas, por lo tanto:

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(

)

La línea es el diagrama de momentos correspondiente, que forma con la línea de referencia un triángulo cuya área es el área de momentos. La viga que tiene como carga el área de momentos de la viga primaria , se llama viga conjugada de la viga . Reacción Izquierda, Reacción Derecha, Fuerza Cortante en , ( )

Momento Flexionante en ,

Si se aplican los Teoremas de Área – Momento, se tiene:

(

̅̅̅

̅̅̅̅

)

( )

( )

̅̅̅

̅̅̅

̅̅̅̅

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Las ecuaciones obtenidas para pendientes y deflexiones o flechas en la viga simplemente apoyada, permiten establecer los dos teoremas de la Viga Conjugada: 1. – La pendiente de la elástica en la sección cualquiera de una viga, es igual a la fuerza cortante en la misma sección de su viga conjugada, dividida entre 2.- La deflexión o flecha de la elástica en la sección cualquiera de una viga, es igual al momento flexionante en la misma sección de su viga conjugada, dividida entre Al igual que el método de Área - Momento, el Método de la Viga Conjugada es útil para el cálculo de las deformaciones en un punto específico. Para la fácil aplicación de los métodos de área – momentos y la viga conjugada, es de utilidad el conocimiento de áreas y centroides de los diagramas de momentos flexionantes, Fig. 9

Fig. 9 Áreas y centroides de las gráficas de momentos

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Para la parábola de 3er. Grado, se tienen las siguientes relaciones o ecuaciones:

∫ (

)

∫ (

) ̅

Convención de signos

Fig. 9 Convención de signos por el tipo de curvatura

Convención de signo por la curvatura, es positiva cuando el ángulo de rotación aumenta conforme avanza en la dirección positiva del eje En algunos textos se usa la siguiente convención, si se cambian los signos para el momento flexionante ( ), o si el eje ( ) y en consecuencia la deflexión o flecha, se considera positivo hacia arriba, entonces el signo menos debe cambiarse a positivo, si ambos ( ) y ( ) se cambian de signo, la ecuación no se modifica.

Fig. 10 Convención alternativa de signos por el tipo de curvatura

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1.6 Cálculo de pendiente y deflexión mediante el principio de la viga conjugada 1.6.1 Presentación del método Considerando las relaciones que existen entre la carga, fuerza cortante y momento flexionante:

Si se comparan las ecuaciones ∫

∫

∬

Con: ∫ ∬

Se puede establecer una similitud entre el cálculo de pendientes y el cálculo de fuerzas cortantes, y entre el cálculo de deflexiones y el cálculo de momentos flexionantes. En efecto, si la carga ( ) se sustituye por el valor de ( ), o por el valor absoluto de las curvaturas ( ) para el caso general de vigas de comportamiento no lineal, y las condiciones de borde de la viga se transforman para que las contantes ( y ) resulten iguales a las constantes ( y ), el cálculo de pendientes y deflexiones se transforma en un cálculo de fuerzas cortantes y momentos flexionantes. Esta transformación se conoce con el nombre de Principio de la Viga Conjugada y se puede expresar de la siguiente manera: “Si se obtiene el diagrama de curvaturas o de valores absolutos de ( ) para vigas de comportamiento lineal, y se considera que las curvaturas son cargas, las fuerzas cortantes obtenidas son en realidad la pendientes de la viga, y los momentos flexionantes es en realidad las deflexiones de la viga. La viga cargada con el diagrama de curvaturas recibe el nombre de viga conjugada”

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1.6.2 Condición de apoyo de la viga conjugada Para que las constantes ( y ) se transformen en las constantes ( y ), es necesario, por lo general, modificar las condiciones de apoyos de la viga original. En la Figura 13, se muestran las condiciones de apoyo de las vigas conjugadas para diferentes condiciones de apoyo de las vigas originales. Las condiciones de apoyo de las vigas conjugadas se obtienen por inspección de las deflexiones y pendientes en los extremos de las vigas originales. Las condiciones de apoyo de las vigas conjugadas se obtienen por inspección de las deflexiones y pendientes en los extremos de las vigas originales. Por ejemplo, en el voladizo del caso (b), el extremo de la viga conjugada debe ser un extremo libre ya que al ser nulas la deflexión y pendiente en la viga original, no pueden existir ni momento ni fuerza cortante en la viga conjugada. Por otra parte, el extremo derecho de la viga conjugada debe tener tanto momento como fuerza cortante ya que en la viga original existen deflexión y pendiente en dicho extremo, Por lo tanto, el extremo derecho es un empotramiento en la viga conjugada.

Fig. 11 Vigas conjugadas correspondientes a diversas vigas reales