Unidad 1 Sucesiones y Sumatorias

UNIDAD 1

Sucesiones y Sumatorias

BIOMATEMATICAS I LICENCIATURA EN BIOTECNOLOGIA OBJETIVO : Aplicar propiedades en el cálculo de una sumatoria finita. INTRODUCCIÓN :Si en una suma se conocen los sumandos, esta se puede abreviar. Se tiene así una Sumatoria , para ello se usa una letra mayúscula mayúscula del alfabeto griego , SIGMA : Σ DESARROLLO Definición: Si a cada número natural, le asignamos un único real por medio de una “ley de formación”, formación”, se tiene una sucesión. sucesión. El real asignado asignado lo denotaremos denotaremos por  an, que indica el lugar que ocupa el término en la sucesión. n

Ejemplo 1: Encuentre a1 ,

a3 , a100 , a1000 ,

an-1,

1   an =    1 +   n  

en la siguiente sucesión :

Soluc So lució ión n: 1 1    a1 =   =2 1 +   1 

3

  1  a3 =   1 +   ≈ 2,3703 3  100 1     a100 =   1 +   ≈ 2,7048 100 100  

1000 1     a1000 =   1 +   ≈ 2,7169 1000  

−1 1     an-1 = 1 +   n − 1    n

Observa Observació ción: n: A medi medida da que que n “crece”, an se “acerc “acerca” a” a un núme número ro que no supe supera ra a 2.72 denominado e debido a la inicial del del apellido de quien lo descubrió, y constituye la base de los = logaritmos naturales y que se designan por  ln x , es decir : , donde : e ≈ 2,718281828. Loge

Ejemplo 2:

an =

(n

0! = 1

( 3 − 1) ! 1

=

1 2!

=

1 4!

=

1

⋅

1 2

1 (5 −1) ! 24 1 1 = = ( n + 1 − 1) ! n!

a5  = an+1

1

x

−1)! encuentre a3, a5 , an+1 donde n! se llama

1! = 1 2!=2 3!=6 4 ! = 24 a3 =

ln

1

Número Factorial y se define del siguiente modo : Observación :

x

=

=

1 2

n! = 1⋅ 2⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ ... n

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Sucesiones y Sumatorias

BIOMATEMATICAS I LICENCIATURA EN BIOTECNOLOGIA

Definición: La suma de los n primeros términos de una sucesión, se denomina sumatoria. n

∑a =

Si an es una sucesión :

a1

k 

k 

Note que k varía de 1 a

=1

+ a + a +.............+a 2

3

n

n

Ejemplo 2: an

=

1 ( n −1)!

1 1 ∑ ( k  − 1) ! = (1 − 1) ! +

1

3

(2 − 1) !

=1

k 

1

=

0!

+

1

+

1! 1

1 2!

1

+ =

(3 − 1) !

1+1+

1 2 1

= 2,5

1 1 1 1 + ∑ ( k  − 1) ! = 1 + 1 + 2 + 6 + 24 + 120 120 720 720 7

k 

=1

=

2,71805 1805

Como se estudiará en cursos superiores, esta suma también se acerca al número que mayor es el número de sumandos.

e, a medida

Ejemplo 3 : ∞

∑ − 1   ⋅2k 4− 1 k 

1

= 4-

k =1

4 3

+

4 5

-

4 7

+

4 9

-

4 9

π 

+ ... =

Sumatorias especiales n

.. .+n = 1°) Suma de los n primeros naturales : 1 + 2 + 3 + 4 +...

∑

k 

=1

k 

Veamos el argumento que permitió encontrar una fórmula para esto, por ejemplo, la suma de los primeros mil números naturales : S = 1 + 2 + 3 + 4 +...+ 997 + 998 + 999 + 1.000 S = 1.000 + 999 + 998 + 997+...+ 4 +3 +2 +1 2S=1.001+1.001+1.001+1.001+...+1.001+1.001+1.001+1.001 2 S = 1.000 veces 1.001 = 1.000 •1.001 S 

=

⋅

1.00 0 0 0 1.00 00 1 2

1000

o sea

∑ k  = k = 1

1.0 0 0⋅ 1.0 0 1 2

=

5 0 0.5 0

Se tiene que:

∑ k = n ⋅ (n2 + 1) n

k =1

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BIOMATEMATICAS I LICENCIATURA EN BIOTECNOLOGIA Suma de los cuadrados de los n primeros naturales: n

∑k

2°)

2

2

2

2

2

= 1 + 2 + 3 + ... + n =

k =1

n ⋅ (n + 1) ⋅ (2n + 1) 6

Suma de los cubos de los n primeros naturales:

∑k

3°)

n ⋅ (n + 1)   =     2    

2

n

3

= 1 + 2 + 3 + ... .. . + n 3

3

3

3

k =1

Propiedade Propi edadess de las sumatorias : n

P1)

∑1 = 1 + 1 + 1+.. .+1 = k 



=1

 

n

n

∑1 =

, o sea :

n veces

k 

n

=1

P2) Sea c un número fijo y a n una sucesión

∑

⋅

c ak

.. .+c ⋅ a = c ⋅ a1 + c ⋅ a2 + c ⋅ a3 +...

= c ⋅ (a1 + a 2 + a 3 +...+a = c ⋅ ∑a = c ⋅ ∑a

⋅

c an

∑(

)

⇒

n

∑ P3)

n

n

n

+ b ) = ( a1 + b1 ) + (a 2 + b2 ) + ( a 3 + b3 ) +. . .+( a + b

ak

k

n

= (a1 + a 2 + a 3 +...+a ) + (b1 + b2 + b3 +.. .+b = ∑a +∑b n

k

n

n

)

)

k 

( ak ∑

⇒

bk ) = ak + bk + ∑ ∑

Ejemplo : 20

20

∑ (k − 3) = ∑ (k 2

k =1

k =1

20

2

20

20

k =1

k =1

− 6k + 9) = ∑k − 6∑k + 9∑1 2

k =1

= (20·21·41):6 - 3·( 20·21) + 9·20 = 2.870 – 420 + 180 = 2.680 n

P4)

∑ (a k =1

k +1

− a k ) = (a 2 − a 1 ) + ( a 3 − a 2 ) + ... + (a n+1 − a n )

=a

n

+1

− a1 luego :

n

∑(a k =1

k +1

− a k ) = an+1 - a1

Esta propiedad es conocida con el nombre de TELESCOPICA. Ejempl mp lo 1:

∑    k 1+ 1 − k1    =    21 − 1   +    31 − 21    +    41 − 31    +    51 − 41    +    61 − 51     5

k =1

1   = −5 =     − 1    6 6

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Ejempl mp lo 2: n

∑(

n − n − 1)

= 500 − 0 = 500

k =1

EJERCICIOS RESUELTOS Verifique las sumas siguientes: 600

135 .450 450 ∑ t = 135

1)

k =300

n

∑ 4k(k

2)

2

− 1) = n ⋅ (n + 1) ⋅ (n + 2) ⋅ (n − 1)

k =300

Solución : 600

1)

∑

t

k =300

600

299

k =1

k =1

= ∑t − ∑t (esto es necesario porque las formulas son válidas a partir de 1). 600 ⋅ 601 299 ⋅ 300 − 2 2 = 135.154

=

n

2)

∑ 4k(k k =1

2

n

− 1) = ∑ ( 4k 3 − 4k ) k =1

n 3 n  = 4 ∑k − ∑k  k =1   k =1  n(n +1)  2 n(n +1)    = 4 ⋅    − 2  2      + + = 4 ⋅ n(n 1) ⋅ n(n 1) −1 2  2  n 2 +n − 2  = 2 ⋅n(n +1) ⋅   2   = n(n +1) ⋅ (n + 2) ⋅(n −1)

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LICENCIATURA EN

BIOTECNOLOGIA

EJERCICIOS PROPUESTOS I.

Calcula, usando propiedades de sumatoria 1)

La suma de los naturales comprendidos entre 1.000 y 2.000, ambos incluidos.

2)

La suma de los 80 primeros naturales pares.

3)

El número de los primeros impares positivos que se deben sumar para obtener 9.409

4)

La suma de los números positivos múltiplos de 5, menores a 300.

II.- Pruebe las siguientes identidades identida des : n

1)

∑( k − 1)

=

2

= 328 32 8 .350 35 0

k =1

100

∑ ( t − 1)

2)

n(n − 1)(2n − 1) 6

2

(usando lo anterior)

t =1

n

3)

∑ (k

3

− 1) =

k =1

n

4)

∑ (2

k

1 n(n − 1)(n 2 4

+ 3n + 4)

− 2 k −1 ) = 2 n − 1

1

1000

5)

∑( −1)

+1

k 

=1

⋅ k  = −500

t 

95 ∑    k +5 3 − k +5 2    = −252 25 2 25

6)

k =7

2n

7)

∑k

=

3 2

n(n + 1)

n

n

8)

∑ 4i(i i =1

2

− 1)

= n(n - 1)(n+)(n + 2)

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Sucesiones y Sumatorias LICENCIATURA EN

BIOTECNOLOGIA

- Se define el número combinatorio

III.

 n      k  

que se lee “n sobre k ”, ”, del siguiente modo :

n n! = k (n− k)k! ! Calcule las siguientes sumas :

 5 ∑   1 k 6

6

1)

∑

k k!

1

⋅

2)

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LICENCIATURA EN

BIOTECNOLOGIA

4 k  6   (∑ − 1) ⋅ k⋅   ∑ k  1 k  4

6

3)

k

4)

1

IV.IV.-

1

{a } =

Si en en la suce sucesi sión ón fin finitita a

n

n 1, 2,..., 8

8

, se tiene ene que ∑

8

(a i ) 2 = 25

i=1

y

∑a

i

= 12 ,

i=1

8

2 determine k de manera que ∑ (4a − 2k ) = 4 0 i

i= 1

SOLUCION EJERCICIOS PROPUESTOS I.

1) 1.501.500 4) 8.850 

2) 6.480 

3) 138 

II.

(Prueba tú mismo las identidades dadas)

III.

1) 5.039

IV.

2) 32

3) 25

4) 32  

k=0 o k=6

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