Unidad 1 - Programacion No Lineal

Investigación de Operaciones Programación No Lineal

Investigación de Operaciones Programación No Lineal

• Son técnicas de investigación de operaciones para la solución de problemas llamados de programación no lineal o curvilíneas. • Son relaciones no lineales en que las restricciones y las función objetivo pueden tomar cualquier forma matemática. • La mejor forma de resolver problemas de programación no lineal, consiste en transformarlos en una forma que permita la aplicación de la programación lineal; la transformación requerida para cambiar un problema a una forma en la que resulte aceptable el Método Símplex.

Investigación de Operaciones Programación No Lineal

Existen procedimientos de cálculo para la programación no lineal como son: • Cuando la función objetivo se escribe como la suma de una forma lineal más una forma cuadrática se le llama Programación Cuadrática. • Cuando los problemas de programación no lineal se obtienen del modelo general de programación lineal, imponiendo el requerimiento adicional de que las variables solo pueden aceptar valores enteros, y se le llama Programación en Enteros.

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• La Programación Dinámica: se refiere a los problemas de programación en los que ocurren cambios con el transcurso del tiempo. El método de cálculo comprende relaciones de recurrencia, en la que el tiempo no tiene importancia.

Investigación de Operaciones Programación No Lineal

• El Método del Gradiente: es un proceso iterativo en el que nos movemos de una posible solución a otra, a fin de mejorar el valor de la función objetivo. No garantiza que cada solución sucesiva este mas cercana a la solución óptima y puede requerir un número infinito de repeticiones para su convergencia. Este método puede usarse cuando la función objetivo y las restricciones no contengan linealidad.

Investigación de Operaciones Programación No Lineal

• La figura 13.5 muestra lo que ocurre con este problema si los únicos cambios que se hacen al modelo son que la segunda y tercera restricciones funcionales se sustituyen por la restricción no lineal 9x12 + 5x22 ≤ 216. La solución optima sigue siendo (x1, x2) = (2, 6). Todavía se encuentra sobre la frontera de la región factible en un vértice (FEV).

Investigación de Operaciones Programación No Lineal

Investigación de Operaciones Programación No Lineal

• Si las restricciones lineales se conservan sin cambio, pero que la función objetivo se hace no lineal. La figura indica que la solución optima es x1=8/3, x2=5, que de nuevo se encuentra en la frontera de la región factible. (El valor optimo de Z es Z=857 tiene en común con la región factible solo este punto, mientras que el lugar geométrico de los puntos con Z mas grande no toca la región factible en ningún punto).

Investigación de Operaciones Programación No Lineal

Investigación de Operaciones Programación No Lineal

• Si Z=54x1 – 9x12 + 78x2 – 13x22 • Entonces la figura 13.7 ilustra que la solución optima es (x1, x2) = (3, 3), que se encuentra dentro de la frontera de la región factible.

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Investigación de Operaciones Programación Entera

• Si TBA Airlines es una compañía regional pequeña que se especializa en vuelos cortos en aviones pequeños. La compañía ha tenido buen desempeño y la administración decidió ampliar sus operaciones. • Después de un análisis representaron en la siguiente tabla las consideraciones para tomar la decisión.

Investigación de Operaciones Programación Entera

Concepto

Avión Pequeño

Avión Grande

Ingreso neto anual por avión

$1 millón

$ 5 millones

Costo de compra por avión

$ 5 millones

$50 millones

Cantidad máxima de compra

2

Sin máximo

Maximizar

z  S  5L

5S  50 L  100 S2 S  0, L  0

Capital Disponible

$100 millones

Investigación de Operaciones

Investigación de Operaciones • Con L=1.8 en el problema de TBA Airlines, la historia es diferente. Redondear a L=2 requeriría invertir $10 millones más de capital de lo que dispone, lo cual es inaceptable para la administración de TBA. Por lo tanto, se abandona la programación lineal y se adopta la programación entera para analizar este problema.

Investigación de Operaciones • La formulación de programación entera de este problema es exactamente la misma que la programación lineal, salvo por una diferencia crucial – se agregan restricciones que requieren que las variables de decisión tengan valores enteros. Maximizar

z  S  5L

5S  50 L  100 S2 S  0, L  0 S, L

son enteros

Investigación de Operaciones • La región factible coincide con la de PL, sin embargo las únicas soluciones factibles para la programación entera que están en la región sombreada, es decir (0,0), (1,0),(2,0),(0,1),(1,1),(2,1) y (0,2)

Investigación de Operaciones

Investigación de Operaciones Programación No Lineal

La resolución de las mismas se clasifican de dos maneras: 1. Algoritmos directos: algoritmos de gradiantes

2. Algoritmos indirectos: programacion cuadratica, separable y estocastica.

Investigación de Operaciones Programación No Lineal

• Hay problemas donde resolver $f(x) = 0 es muy difícil • Alternativa: métodos numéricos y/o iterativos: • Busqueda directa • Metodo de Newton • Metodo de Gradiante

Investigación de Operaciones Programación No Lineal

• Si se utilizan K unidades de capital y L unidades de trabajo, una compañía puede producir KL unidades de un bien manufacturado. Se puede conseguir el capital a 4 UM/unidad y el trabajo a 1 UM/unidad. Se dispone de un total de 8 UM para contratar capital y trabajo. ¿Cómo puede la compañía maximizar la cantidad de bienes que se pueden fabricar?

Investigación de Operaciones Programación No Lineal

Sea K = unidades de capital contratadas y L = unidades de trabajo compradas entonces K y L deben satisfacer Por lo tanto, la compañía quiere resolver el siguiente problema de maximización restringido: z= KL máximo Sujeto a: 4kK+ L =< 8 K , L >= 0

Investigación de Operaciones Optimización Clásica

Los máximos y mínimos son utilizados en los casos que no hay restricciones, para el caso de restricciones de igualdad métodos anteriormente mencionados que son:

 Restricciones de Igualdad  Jacobiano y Lagrangiano

 Restricciones de Desigualdad  Karush-Kuhn-Tucker

y de desigualdad se utilizan los

Investigación de Operaciones Multiplicadores de Lagrange

Son un método para trabajar con funciones de varias variables que nos interesa maximizar o minimizar, y está sujeta a ciertas restricciones. Este método reduce el problema restringido en n variables en uno sin restricciones de n + 1 variables cuyas ecuaciones pueden ser resueltas.

Investigación de Operaciones Multiplicadores de Lagrange

Sea F(x,y) la función objetivo. Supongamos que (x,y) están condicionadas por la ecuación g(x,y)=K. F y g son funciones suaves. Si F tiene un extremo (máximo o mínimo) sujeto a g(x,y)=K en el punto (x0,y0) entonces existe un escalar λ tal que:

Fx (x0,y0) = λ gx (x0,y0) Fy (x0,y0) = λ gy (x0,y0) gx (x0,y0) = k.

Investigación de Operaciones Multiplicadores de Lagrange

Este procedimiento define al método lagrangiano, o de LaGrange, para identificar los puntos estacionarios de problemas de optimización con restricciones de igualdad. El procedimiento se puede desarrollar formalmente como sigue. Sea

L(X, λ) = F(X) - λ g(X) A la función L se le llama función LaGrange, y a los parámetros λ se les llama multiplicadores de LaGrange.

Investigación de Operaciones Multiplicadores de Lagrange

Las ecuaciones

Expresan las condiciones necesarias para determinar los puntos estacionarios de F(x) sujetos a g(x) = 0.

Investigación de Operaciones Condiciones de Karush-Kuhn-Tucker (KKT)

Son condiciones necesarias y suficientes para identificar puntos estacionarios no lineal restringiendo, sujeto a restricciones de desigualdad. El desarrollo se basa en el método de Lagrange. En el problema:

Maximar z = f(x) sujeta a g(X)