Unidad 1 Métodos Numéricos

1.1 Historia de los métodos numéricos

Los métodos numéricos no es el estudio de un matemático en particular, su propósito es el desarrollo de métodos de métodos para la solución de diversos prob proble lema mass mate matemá mátic ticos os medi median ante te una una infn infnit ita a cant cantid idad ad de oper operac acio ione ness numéricas. La importancia de esta rama de la matemática no es el problema en part partic icul ular ar,, si no el méto método do que que se apli aplica cara ra.. Por ende ende es impo import rtan ante te comprender en que momento de la vida cotidiana nos sirve estos métodos. En el pres presen ente te trab trabaj ajo o se anal analiz izara ara como como surg surgen en esto estoss mism mismos os,, decl declar arar ar la dierencia que eiste entre eactitud ! precisión en relación con el error. "e igual manera se comentaran los errores más comunes que eisten. #s$ como también también es important importante e menciona mencionarr las %erramien %erramientas tas computac computacione ioness para la obtención de soluciones de manera ácil ! práctica. Los métodos numéricos se tienen desde los siglos &'& ! &&, utilizando métodos numéricos aproimados. El papiro de (%ind es el documento matemático más anti antigu guo o que que se cons conser erva va,, data data unos unos )** )** a+os a+os a. c. orig origin inar ario io de las las civilizaciones egipcias donde aparecen más de * problemas resueltos que trataba de calcular montones de vol-menes ! el área de una circunerencia. circunerencia. En babilo babilonia nia !a se ten$a ten$a conoc conocimi imient ento o para para calcu calcular lar apro aproim imada adamen mente te ra$ces ra$ces cuadradas. En cambio de la antigua recia ueron amosos los trabajos de #rqu$medes en el siglo ''' a. c. El Papiro de /osc- ! de (%ind, escritos de 01* ! 021* #. de 3. #mbos documentos inclu!en ejemplos de cálculos que implican el manejo de ecuaciones lineales con una ! dos incógnitas. Es con los griegos que aparece por primera vez, en el siglo 4 #. de 3., la matemática como una ciencia que utiliza el método deductivo como %erramienta unda mental para probar que un resultado es verdadero. # fnales del siglo &'& se perfla la teor$a de las series infnita, Principio del siglo &4''' aparece el cálculo de dierencias fnitas. 3on el surgimiento de las computadores digitales a mediados del siglo && ! su continuo desarrollo, la matemática numérica %a recibido un uerte estimulo, !a que la computadora digital %a %ec%o posible la aplicación práctica de bastantes métodos numéricos. En la actualidad los métodos numéricos son un medi medio o para para ort ortal alec ecer er la comp comprresió esión n de las las mate matemá máti tica cas, s, porq porque ue pro proun undi diza zan n en los los tema temass que que de otro otro modo modo resu result ltar ar$a $an n comp comple lejo jos, s, esto esto aument aumenta a su capac capacida idad d de entend entendimi imient ento o de la mater materia. ia. Es import important ante e al momento de realizar estos métodos dierenciar dierenciar los que es eactitud ! precisión en relación con el error, la eactitud se refere a que tan cercano está el valor calculado o medido del valor verdadero, en cambio la precisión es que tan cercanos se encuentran los valores el uno con el otro. Los errores numéricos surgen con el uso de aproimaciones para representar valores o las cantidades en las operaciones matemáticas. 5%ttps677888.clubensa!os.com79ecnolog:3;:#"a7umericos71)1B0*.%tml @ 1.3 Conceptos de exactitud, precisión  error !"#C$%$&D ' (R!C%)%*N

Los errores asociados con los cálculos ! medidas se pueden caracterizar observando su precisión ! eactitud. La precisión se refere a 0@ el n-mero de ciras signifcativas que representa una cantidad o )@ la etensión en las lecturas repetidas de un instrumento que mide alguna propiedad $sica. La eactitud se refere a la aproimación de un n-mero o de una medida al valor verdadero que se supone representa. La ineactitud 5conocida también como sesgo@ se defne también como un alejamiento sistemático de la verdad. La precisión por otro lado se refere a la magnitud del esparcimiento. Los métodos n-meros deben ser lo sufcientemente eactos o sin sesgo para que cumplan los requisitos de un problema particular de ingenier$a. 9ambién debe ser lo sufcientemente preciso para el dise+o en la ingenier$a. Csaremos el término de error para representar la ineactitud ! la precisión de las predicciones. !RR*R

Los errores numéricos se generan con el uso de aproimaciones para representar las operaciones ! cantidades matemáticas. Esto inclu!e errores de truncamiento que resultan de representar aproimadamente un procedimiento matemático eacto, ! los errores de redondeo, que resultan de presentar aproimadamente n-meros eactos. 5%ttp677meto)numericos.blogspot.m7)**7*)7tipos=de=errores.%tml@

1.+ !rrores inerentes, de redondeo  por truncamiento !RR*R!) %NH!R!N$!)

Don errores que eisten en los valores de los datos, causados por incertidumbre en las mediciones, por verdaderas equivocaciones, o por la naturaleza necesariamente aproimada de la representación, mediante un n-mero fnito de d$gitos, de cantidades que no pueden representarse eactamente con el n-mero de d$gitos permisible. Por ejemplo, si necesitamos usar p en un cálculo, podemos escribirlo como 3.14, 3.1416,3.1415926535589793..., etc. En muc%os casos a-n una racción simple no tiene representación decimal eacta, por ejemplo 1/3, que puede escribirse solamente como una sucesión fnita de n-meros 3. /uc%as racciones que tienen representación fnita en un sistema no la tienen en otro, el n-mero 070* es igual a *.0 en decimal ! en binario es 0.000110011001100... 5%ttp677aniei.org.m7paginas7uam73urso/>7cursomn*).%tml@ !RR*R D! R!D*ND!*

/uc%as veces, los computadores cortan los n-meros decimales entre e 0FG ! 0)G decimal introduciendo as$ un error de redondeo Por ejemplo, el valor de HeH se conoce como ).F0)0)... etlib 5>E9 L'Krar!@ es una colección grande de sot8are, documentos, bases de datos gratis que son de interés para las comunidades cient$fcas ! de métodos numéricos. El depósito es mantenido por los Laboratorios Kell de #99, la Cniversidad de 9ennessee ! el Laboratorio >acional MaN (idge, ! replicado en varios sitios alrededor del mundo. >etlib contiene sot8are de alta calidad que %a sido probado en orma intensiva, pero todo el sot8are libre no tiene garant$a ! tiene poco soporte. Para poder usar

el sot8are, primero se tiene que descargar en su computadora ! entonces compilarlo. P#OCE9ED "E DMJ9#(E 3M/E(3'#L P#(# 3Q/PC9M >C/R('3M E>E(#L6 ># El rupo de #lgoritmos numéricos 5>umerical #lgorit%ms roup@ 5>#@ %a desarrollado una biblioteca de Jortran conteniendo alrededor de 0*** subrutinas accesibles al usuario para resolver problemas generales de matemáticas aplicadas, inclu!endo6 ecuaciones dierenciales ordinarias ! parciales, transormada rápida de Jourier, cuadratura, álgebra lineal, ecuaciones no lineales, ecuaciones integrales, ! más. '/DL La biblioteca numérica de Jortran '/DL %ec%a por 4isual >umerics, 'nc. cubre muc%as de las áreas contenidas en la biblioteca >#. 9ambién tiene soporte para analizar ! presentar datos estad$sticos en aplicaciones cient$fcas ! de negocios. >C/E('3#L (E3'PED Los libros de >umerical (ecipes in 37Jortran son mu! populares entre los ingenieros porque pueden ser usados como libro de cocina donde se puede encontrar una Hreceta 5recipe@H para resolver alg-n problema a mano. Din embargo, el sot8are correspondiente de >umerical (ecipes no es comparable en alcance o calidad al dado por ># o '/DL. Es un sot8are mu! usado en universidades, centros de investigación ! por ingenieros. En los -ltimos a+os %a incluido muc%as más capacidades, como la de programar directamente procesadores digitales de se+al, crear código 4