Unidad 1 Ingenieria de Control Clasico 1

INSTITUTO TECNOLOGICO DE ACAPULCO INGENIERIA ELECTROMECANICA

INGENIERÍA DE CONTROL CLÁSICO

UNIDAD 1: SISTEMAS DE CONTROL

Profesor: Ing. Arquimides Ramírez Franc Equipo:

!a"a#a Oseguera Cind$ %iridiana &R' (()*(()+  Te,ada  T e,ada -ernndez /es0s A#1red A#1red (()*(((2 !03iga Gam"a /s4 A#1red (()*(()(  /urez Ramírez Ramírez 5#ises (()*(((( (()*(((( Rdríguez Dmínguez Ar6ur (()*(+78 9arrera :4rez Or#and /air (()*+782 ;u3z :ineda Adrin (+)*+(*=++ ?rs Semestre: Ene>/un@*+  Ene> /un@*+(< (<

UNIDAD 1!SISTEMAS DE CONTROL SISTEMAS DE CONTROL

Ls sistemas "e #o$tro% seg0n #a 6ería ci"ern46ica ci"ern46ica se aB#ican en esencia Bara #s rganisms is #a #ass mquinas $ #a #as rganizacines. rganizacines. Es6 Es6ss sis6emas 1uern re#acinads Br Brimera ez en (72 Br Nr"er6 iener en su "ra "ra Ci"e Ci"ern rn46 46ic ica a $ Sci Scied edad ad c cn n aB#i aB#ica caci cin n en #a 6er 6ería ía de #s #s mecan mecanis ism mss de c cn6 n6r r#. #. 5n sis6 sis6em ema a de c cn6 n6r r## es6 es6 den denid id  c cm m un cn,un6 de cmBnen6es que Bueden regu#ar su BrBia cnduc6a  #a de 6r sis6ema cn e# n de #grar un 1uncinamien6 Brede6erminad de md md que que se redu reduzc zcan an #as #as Br" Br"a" a"i# i#ida idades des de 1a##s 1a##s $ se "6e "6eng ngan an #s #s resu#6ads "uscads. -$ en día #s Brcess de cn6r# sn sín6mas de# Brces indus6ria# que es6a es6ams ms iie iiend nd. . Es6 Es6ss sis6 sis6ema emass se usan usan 6íBi 6íBica came men6 n6e e en sus6 sus6i6 i6uir uir un 6ra"a,adr Basi que cn6r#a un de6erminad sis6ema &$a sea e#4c6ric mecnic e6c.' cn una Bsi"i#idad nu#a  casi nu#a de errr $ un grad de eciencia muc? ms grande que e# de un 6ra"a,adr. Ls sis6emas de cn6 c n6r r## m mss mde mdern rns s en inge ingeni nierí ería a au6 au6ma6 ma6iz izan an Brc Brces esss en "ase "ase a muc?s Barme6rs $ reci"en e# nm"re de c cn6 n6r r#a #adr dres es de au6ma6izacin Brgrama"#es &:AC' &:AC'.. Ls sis6emas de cn6r# de"en cnseguir #s siguien6es ",e6is= (. Ser es6a"#es $ r"us6s 1ren6e a Ber6ur"acines $ errres en #s mde#s. *. Ser ecien6e seg0n un cri6eri Brees6a"#ecid ei6and cmBr6amien6s "ruscs e irrea#es. 11! MARCO CONCEPTUAL 111 CONTROL& SISTEMA& PROCESO& PROCESO& ACTUADOR& ACTUADOR& 'ARIA(LE 'ARIA(LE CONTROLADA& DA& 'ARIA(LE MANIPULADA& SISTEMA CONTROL& PERTUR(ACION& ENTRADA DE RE)ERENCIA

DE

:ara en6rar a# es6udi de #s Sis6emas de Cn6r# se de"en denir #s siguien6es 64rmins= •

Co$tro%:  es6a Ba#a"ra se usa Bara designar regu#acin g"iern

direcc direccin in  cmand cmand. . Es una es6ra6egia es6ra6egia que erica erica # que curre curre &rea#idad' cn resBec6 a # que de"ería currir &",e6i' $ de n eHis6ir cncrdancia se 6man accines Bara crregir #a di1erencia. di1e rencia.

*

Sis6ema 6ema que que ree eemB mB#a #aza za a# 1ac 1ac6r 6r Sistem Sistema a "e Co$tro% Co$tro% Autom* Autom*ti# ti#o o= Sis ?uman en #a rea#izacin de 6areas Be#igrsas reBe6i6ias mn6nas que requieren esBecia# a6encin. Tipos "e sistemas: •

sa#i #ida da n 6ien 6iene e e1ec e1ec6 6 Co$tro% Co$tro% Autom*ti# Autom*ti#o o e$ %a+o a,ierto a,ierto= La sa s"re #a en6rada &accin de eHci6acin'.NO se mide NO se rea#imen6a Bara Bara mdi mdic car ar #a en6ra en6rada da.. A ca cada da en6r en6rad ada a #e c crr rres esBn Bnde de una una cndicin de 6ra"a, ,a. S# se Buede usar e# cn6r# en #az a"ier6 si #a re#acin en6re #a en6rada $ #a sa#ida es cncida $ si n ?a$ Ber6ur"acines.

accin &eHc &eHci6ac i6acin in a# Co$t Co$tro ro%% Auto Autom* m*ti ti#o #o e$ %a+o %a+o #err #erra" a"o: o: La accin sis6ema' deBende de #a reaccin &resBues6a' en cada ins6an6e de# sis6ema.

La resBues6a se cmBara cn e# a#r desead $ #a di1erencia en6re am"as &errr' se u6i#iza Bara ac6uar s"re e# Brces cn e# n de reducir e# errr $ ##ear #a resBues6a a# a#r desead.

es6ímu mu# # aB#ic aB#icad ad  a# Brc Brces es  Br Br e# equi equiB B de 'aria,%e ma$ipu%a"a: es6í

cn6r# cn e# n de #grar que #a aria"#e cn6r#ada a#cance e# a#r desead. 'aria,%e #o$tro%a"a= resBues6a "6enida de# sis6ema cn6r#ad.

:er6ur"acin= (. Se3a# adi6ia NO deseada que 6iende a a1ec6ar e# a#r de #a sa#ida de# sis6ema. *. Cua#quier causa que ?ace que #a aria"#e cn6r#ada se desíe de su ",e6i.

)

Sistema:

Cn,un6 de e#emen6s $ reg#as que rganizads e in6erre#acinads en6re sí  cn6ri"u$en cn6ri"u$en a generar generar un resu#6ad resu#6ad.. :s :seen een carac6erís6 carac6erís6icas icas BrBias que #s denen que Bueden ser cns6an6es &Barme6rs de# sis6ema' $ cam"ian6es en e# 6iemB &aria"#es de# sis6ema' #as cua#es Bermi6en de6erminar su cmBr6amien6.

•

•

Sistema= Es un ensam"#a,e

de cmBnen6es que BrBrcinan accines in6erre#acinadas en6re sí #s cua#es se carac6erizan Br Bseer Barme6rs in?eren6es que #s #s den denen en $ Br Br ms6 ms6ra rarr c cnd ndic ici ine ness 1ísi 1ísica cass as asc cia iada das. s. A #s #s Bar Barme me6r 6rs s de ca cada da e#em e#emen6 en6  se #es denm denmin ina a Barm Barme6r e6rs s de# de# sis6ema $ #as cndicines 1ísicas de cada cmBnen6e cam"ian6es cn e# 6iemB de6erminan e# es6ad de# sis6ema en cada mmen6 $ se #es denminan aria"#es de# sis6ema. Es B6e B6enc ncia ia#m #men6 en6e e aB#ic aB#ica" a"#e #e a un c cn, n,un un6 6 dier diers s de 1enm 1enmen ens. s. Ls sis6emas se denen en 6das #as reas. En cn6r# # ana#izarems en e# cn6eH6 de sis6emas 1ísics que se descri"en Br #e$es de #as ciencias 1ísicas. •

Pro#eso: E# 64rmin Brces Bara #s nes de cn6r# signica e#

equiB a au6ma6izar en dnde se es6a"i#iza #a aria"#e de cn6r# a 6ra4s de #s sensres ac6uadres $ cn6r#adres. Cn,un6 de 1ases cnsecu6ias en un 1enmen na6ura# en un rea  en una ac6iidad que 6iene cam"is de es6ad de acuerd a cndicines dadas. 2

E,emB#= :rcess e#4c6rics mecnics manu1ac6ura a#imen6s energía ?idrcar"urs 6ransBr6e cmunicacines en6re 6rs.

A#tua"or:

Cn,un6 de equiBs  e#emen6s de mquinas que ac60an ,un6s cn e# BrB BrBs si6 i6  de rea ea#i #iza zarr una una Ber Berac aci in n en Bar6 Bar6ic icu# u#ar ar.. E,em E,emB# B#= = :#an :#an6a 6ass e#4c e#4c6r 6ric icas as de Gas Gas uím uímic icas as -idr -idre e#4 #4c6 c6ri rica cas s ener energí gía a nuc# nuc#ea ear r de 1a"ricacin en6re 6rs.

:#an6a de ?idrcar"urs. <

 %aria"#e a man6ener den6r de cier6as cndicines. 'aria,%e Co$tro%a"a: %aria"#e 'aria,%e Ma$ipu%a"a: %aria"#e mdicada in6encina#men6e Bara inJuir en

#a aria"#e cn6r#ada. Ls ac6uadres sn #s e#emen6s na#es de cn6r# 6ienen Br 1uncin a#6erar e# a#r de #a aria"#e maniBu#ada cn e# n de crregir  #imi6ar #a desiacin de# a#r cn6r#ad resBec6 a# a#r desead. Ls 1a"rican6es ac6ua#m ac6ua#men6 en6e e Bree Breen n una ser serie ie de ac6uad ac6uadr res es cm= cm= m6r m6res es #u# #u#as as re#4s $ sKic6?es. Ls ac6uadres ms imBr6an6es imBr6 an6es sn= 

A#tua"ores E%-#tri#os:  Sn usads en #a indus6ria $ en aB#icacines

cmerc cmercia#e ia#ess Bara Bara Bsici Bsicina narr disBs disBsi6i i6is s de mimi mimien6 en6s s #inea# #inea#  r6acina#. Ta#es Ta#es cm sKic6?es re#4s m6res $ 6rs. 

AceB6an an se3a#e se3a#ess de Bresi Bresin n Beque3 Beque3as as A#tua"ores Neum*ti#os: AceB6 desde desde #s Bsici Bsicina nad d res res neum6 neum6ic icss $ median median6e 6e un dia1ra dia1ragma gma cnier6en es6as se3a#es en mimien6s mecnics.



A#tua"ores A#tua"ores Hi"r*u%i# Hi"r*u%i#os: os: L Lss ac6uad ac6uadr res es ?idru ?idru#ic #ics s Beran Beran en

1rma simi#ar a #s Bsicinadres neum6ics Ber cn una ma$r 1uerza de accin Bara ser usads en cmBuer6as gr0as e#eadres $ 6rs.

'ARIA(LE CONTROLADA= Es e# Barme6r ms imBr6an6e de# Brces

de"i4ndse de"i4ndse man6ener es6a"#e &sin cam"is' cam"is' Bues su ariacin ariacin a#6eraría a#6eraría #as cndicines requeridas en e# sis6ema su mni6re a 6ra4s de un sensr es una cndicin imBr6an6e Bara dar inici a# cn6r#. A# ana#izar e# e,emB# ms6rad de# in6ercam"iadr de ca#r se "sera #a in6encin de ca#en6ar agua a 6ra4s de# aBr Bara # cua# se de"er 6ener en cuen6a #as diersas aria"#e de Brces cm sn= #s Ju,s de aBr $ agua #as Bresines de aBr $ #as 6emBera6uras de# agua Ber #a ms imBr6an6e de# sis6ema es #a 6emBera6ura de sa#ida de# agua Br # 6an6 #a %aria"#e Cn6r#ada.

M



'ARIA(LE MANIPULADA: Es e# Barme6r a 6ra4s de# cua# se de"e

crre crregir gir #as Ber6ur" Ber6ur"aci acines nes de# Brce Brces s c#c c#cnd ndse se un ac6uad ac6uadr r Bara #grar es6a"i#izar e# sis6ema. En e# e,emB# de# in6ercam"iadr de ca#r ca #r quie quien n BrB BrBr rci cin na a ma ma$ $rr  menr menr ca can6 n6id idad ad de ener energí gía a a# sis6ema es e# ingres de aBr Br # 6an6 #a aria"#e a maniBu#ar ser e# Ju, de ingres de aBr  aBr..

PERTUR(ACION: es una se3a# que 6iende 6iende a a1ec6ar a1ec6ar adersamen6e adersamen6e e# a#r

de #a sa#ida de un sis6ema. Si # Ber6ur"acin se se genera den6r de# de# sis6ema se #a denmina in6erna mien6ras que una Ber6ur"acin eH6erna se genera 1uera de# sis6ema. Las Ber6ur"acines ac60an s"re un sis6ema mdicand su 1uncinamien6 Br # que su Bresencia imB#ica #a necesidad de cn6r#. Nrma#men6e #as Ber6ur"acines ac60an s"re un sis6ema a#ea6riamen6e. Las resBues6as de un Brces a una de6erminada Ber6ur"acin es6n casi siemBre carac6erizadas Br ds cns6an6es= una cns6an6e de 6iemB &6' $ una ganancia es66ica. La ganancia es #a amB#icacin  a6enuacin de #a Ber6ur"acin en e# in6erir de# Brces $ n 6iene in6er1erencia cn #as carac6erís6icas de 6iemB de resBues6a.

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La cns6an6e de 6iemB es #a medida necesaria Bara a,us6ar un sis6ema de una Ber6ur"acin en #a en6rada $ Buede ser eHBresada cm Brduc6 de= 6  resis6encia H caBacidad. ENTRADA ENTRADA DE RE)ERENCIA: RE)ERENCIA:  Cn e# cn6r#adr armad ?as6a e# Bas

an6e an6eri rir r e# sis6 sis6ema ema B#an B#an6a 6a@c @cn n6r 6r# #ad adr r 1unc 1unci ina na c crr rrec6 ec6am amen en6e 6e c cm m regu#adr= Bara #er a# Bun6 de equi#i"ri a Bar6ir de una cndicin inicia# dis6in6a a ese Bun6 de equi#i"ri  Bara e# rec?az de Ber6ur"acines. Dis6in6 es e# cas de Bre6ender que #a sa#ida $ de# sis6ema sigaP #a e#u e#uci cin n de una una se se3a 3a## dese desead ada a de re1er re1eren enci cia a r. E# Br" Br"#em #ema a es c cm m in6rducims en e# esquema an6erir &gura *' dic?a se3a#. La manera ms senci##a de rea#izar#a es cm se mues6ra en #a gura ) dnde en4s de in6rducir a# es6imadr #a se3a# medida $ se #a a#imen6a cn #a di1erencia en6re #a re1erencia $ #a medicin &$>r'. Es6a 1rma de in6rducir #a en6rada a re1erencia es seme,an6e a #a que se u6i#iza en cn6r# c#sic Ber cm erems n es #a 0nica manera de in6rducir #a re1erencia en e# sis6ema $ que ?a$ maneras ms cnenien6es cnenien6es que 4s6a. De #a manera que e# sis6ema ?a sid re6ra#imen6ad #a Bsicin de #s B#s de #a 1uncin 6rans1erencia en6re #a re1erencia r $ #a sa#ida $ quedan cmB#e6amen6e denids. %erems que que se seg0 g0n n c cm m in6r in6rd duz uzca cams ms es6a es6a se se3a 3a## de re1er re1eren enci cia a r den6 den6r r de# de# cn6r#adr 6endrems #a caBacidad de mer #s cers de #a 1uncin de 6rans1erencia mencinada.

1.! CONTROL EN LA/O A(IERTO Sistemas "e #o$tro% e$ %a+o a,ierto

En e##s #a se3a# de sa#ida n inJu$e s"re #a se3a# de en6rada. La eHac6i6ud de es6s sis6emas deBende de su Brgramacin Breia. Es Brecis se Breer #as re#ac re#aci ine ness que que de"e de"en n dars darse e en6r en6re e #s #s di1er di1eren en6e 6ess c cmB mBne nen6 n6es es de# de# sis6ema sis6ema a n de 6ra6ar de cnseguir cnseguir que #a sa#ida a#cance a#cance e# a#r desead cn #a eHac6i6ud Breis6a. E# diagrama de "#que de un sis6ema en #az a"ier6 es=



 Es6s sis6emas se cn6r#an direc6amen6e  Br medi de un tra$s"u#tor $ un a#tua"or. En es6e segund cas e# diagrama de "#ques 6íBic ser=

La 1unc 1unci in n de# tra$s"u#to tra$s"u#torr es mdicar  adaB6ar #a se3a# de en6rada Bara que Bueda ser Brcesada cnenien6emen6e Br #s e#emen6s que cns6i6u$en e# sis6ema de cn6r#. Carac6erís6icas= •

•

•

•

N se cmBara #a sa#ida de# sis6ema cn e# a#r desead de #a sa#ida de# sis6ema &re1erencia'. :ara cada en6rada de re1erencia #e crresBnde una cndicin de Beracin ,ada. La eHac6i6ud de #a sa#ida de# sis6ema deBende de #a ca#i"racin de# cn6r#adr. En Bresencia de Ber6ur"acines es6s sis6emas de cn6r# n cumB#en su 1uncin adecuadamen6e.

E# c cn6 n6r r## en #az #az a"ie a"ier6 r6 sue# sue#e e aBar aBarec ecer er en disB disBs si6 i6i iss c cn n c cn6 n6r r## secuencia# en e# que n ?a$ una regu#acin de aria"#es sin que se rea#iza una una se seri rie e de Ber Berac aci ine ness de ma mane nera ra de6e de6erm rmin inad ada. a. Esa Esa se secu cuen enci cia a de Beracines Buede enir imBues6a Br een6s &een6>drien'  Br 6iemBs &6im &6ime>d e>dri rie en' n'.. Se Brg Brgra rama ma u6i# u6i#iza izand nd  :LCs :LCs &cn &cn6r 6r# #ad adr res es de #gi #gica ca Brgrama"#e'. E,emB#s (. Laa aadra dra== • •

Funcina Funcina s"re una "ase de 6iemBs %aria"#e de sa#ida #imBieza #i mBieza de #a rBaP n a1ec6a a1 ec6a a# 1uncinamien6 de #a #aadra.

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1.1!REPRESENTACION 1.1!REPRESENT ACION MEDIANTE DIAGRAMA DE (LO0UES

5n "iara "iarama ma "e ,%oqu ,%oques es fu$#i fu$#io$a% o$a%  "ia "iara rama ma "e ,%oq ,%oque ues s "e reBresen6a n6aci cin n grca grca de #s di1eren6 di1eren6es es Brcess  Brcess  de un pro#esos es #a reBrese sis6ema $ e# Ju, de se3a#es dnde cada Brces 6iene un "#que asignad $ 4s6 4s 6ss se unen unen Br Br Jec? Jec?as as que que reBr eBres esen en6a 6an n e# Ju, Ju, de se se3a 3a#e #ess que que in6eraccinan en6re #s di1eren6es di1e ren6es Brcess.

Diag Diagram rama a de "#q "#ques ues 1unc 1uncin ina# a# de# de# c cn6 n6r r## de ac ac6i 6i6u 6ud d $ #as #as ma mani ni"r "ras as sis6ema e#ec6rnic. Las en6radas $ sa#idas de #s "#ques se cnec6an en6re sí cn #íneas de cneHin  en#aces. Las #íneas senci##as se Bueden u6i#izar Bara cnec6ar ds Bun6s #gics de# diagrama es decir= •

5na aria"#e de en6rada $ una en6rada de un "#que

•

5na sa#ida de un "#que $ una en6rada de 6r "#que

•

5na sa#ida de un "#que $ una aria"#e de sa#ida

Se mues mues6r 6ran an #as re#ac re#aci ine ness eHis eHis6e 6en6 n6es es en6r en6re e #s #s Brc Brces ess s $ e# Ju, Ju, de se3a#es de 1rma ms rea#is6a que una reBresen6acin ma6em6ica. De# mism mism md md 6iene 6iene in1rma in1rmaci cin n re#aci re#acina nada da cn e# cmBr6a cmBr6amien mien6 6 dinmic $ n inc#u$e in1rmacin de #a cns6ruccin 1ísica de# sis6ema.

(+

;uc?s ;uc?s sis sis6ema 6emass di1ere di1eren6e n6ess se reBr reBrese esen6a n6an n Br e# mism mism diagra diagrama ma de "#ques así cm di1eren6es diagramas de "#ques Bueden reBresen6ar e# mism sis6ema desde di1eren6es Bun6s de is6a. En #s #s diag diagra rama mass de "#q "#que uess 1unc 1unci ina na##es se Buede ueden n des descri" cri"ir ir e# cmB c mBr r6a 6ami mien en6 6 de sis6 sis6em emas as 1ísi 1ísic css  rea# rea#es es descr descri6 i6s s Br Br un mde# ma6em6ic n "s6an6e es mu$ imBr6an6e imBr6an6e u6i#izar es6s diagramas. diagramas. Es6s diagramas $ sus re#acines es6n denidas $ 6ienen reg#as "sicas que me,ran e# an#isis median6e su cmBrensin. 5n mde# ma6em6ic #inea# en e# dmini de #a 1recuencia Buede 6ener reBresen6acin median6e #s e#emen6s que se descri"en a an6erirmen6e.

9#que de mde# ma6em6ic. 1..!ANALISIS DE E2EMPLOS REALES

E# an#isis rea#  6ería de #as 1uncines de aria"#e rea# es #a rama de# an#isis ma6em6ic que 6iene que er cn e# cn,un6 de #s n0mers rea#es. En Bar6icu#ar es6udia #as BrBiedades ana#í6icas de #as 1uncines $ sucesines de n0mers rea#es su #ími6e cn6inuidad $ e# c#cu# de #s n0mers rea#es.

An#isis de Furier= ABrHimacin de una 1uncin discn6inua median6e una serie Bun6ua#men6e cnergen6e de 1uncines senida#es. A#cance= E# an#isis rea# es un rea de# an#isis ma6em6ic que es6udia #s cnceB6s de sucesi sucesin n #ími6e #ími6e cn6in cn6inuida uidad d di1er di1erenc enciac iacin in e in6egr in6egraci acin. n. Dada Dada su na6u na6ura ra#ez #eza a e# an# an#is isis is rea# rea# es6 es6 #imi6 #imi6ad ad  a #s #s n0me n0mer rss rea# rea#es es c cm m ?erramien6as de 6ra"a,. Resu# esu#6a 6ad dss imB imBr6 r6an an6es 6es inc# inc#u$ u$en en en6r en6re e 6r 6rss e# 6er 6erem ema a de 9#za 9#zan> n> eiers6rass e# 6erema de -eine>9re# e# 6erema de# a#r medi $ e# 6erema 1undamen6a# de# c#cu#. CnceB6s "sics= Ls 6eH6 6eH6s s de# de# c c#c #cu# u#  aan aanza zad d nr nrma ma#m #men en6e 6e c cmi mien enza zan n c cn n una una in6rduccin a #as dems6racines ma6em6icas $ a #a 6ería de cn,un6s.  Tras  Tras es6 se denen #s n0mers rea#es aHim6icamen6e  se #s cns6ru$e cns6ru$e cn c n suce sucesi sin nes es de Ca Cauc uc?$ ?$  c cm m c cr6 r6es es de Dede DedeQi Qind nd de n0me n0merrs

((

racina#es. DesBu4s ?acen una ines6igacin de #as BrBiedades de #s n0mers rea#es siend de #as # as ms imBr6an6es #a # a desigua#dad 6riangu#ar. Sucesines $ series=  Tras  Tras denir #s n0mers rea#es se ines6igan #as sucesines de n0mers rea#es $ su cnergencia un cnceB6 cen6ra# en an#isis a 6ra4s de #s #ími6es de sucesines  Bun6s de acumu#acin de cn,un6s. :s6erirmen6e se es6udian #as series cm #as series a#6ernadas $ #as series de B6encias. Se es6udia Bara emBezar a desarr##ar cnceB6s 6B#gics e#emen6a#es aris 6iBs de su"cn,un6s de #s n0mers rea#es= cn,un6s a"ier6s cn,un6s cerrads esBacis cmBac6s cn,un6s cneHs e6c. Dnde se es6udian e# 6erema de 9#zan>eiers6rass 9#zan>eiers6rass $ e# de -eine>9re#. Funcines Funcines cn6inua= A?ra se es6udian #as 1uncines de aria"#e rea# $ se dene e# cnceB6 de 1uncin cn6inua a Bar6ir de #a denicin 4Bsi#n>de#6a de# #ími6e de una 1unci 1uncin. n. En6re En6re #as BrBie BrBiedad dades es de una 1unci 1uncin n cn6in cn6inua ua denid denida a en un in6era# des6acan #s 6eremas cncids cm e# 6erema de 9#zan e# 6erema de# a#r in6ermedi $ e# 6erema de eiers6rass. Deriacin  di1erenciacin= En es6e mmen6 se Buede denir #a deriada de una 1uncin cm un #ími6e #ími6e $ se Bueden Bueden dems6 dems6rar rar rigur rigursam samen6 en6e e #s 6erem 6eremas as imBr6 imBr6an6 an6es es s"re s"re #a deriacin deriacin cm e# 6erema 6erema de R##e  e# 6erema de# a#r medi. Se cns6ru$en #as series de Ta$#r $ se ca#cu#an #as series de ;ac#aurin de #as 1uncines eHBnencia# $ de #as # as 1uncines 6rignm46ricas. Es imBr6an6e des6acar que 6am"i4n se es6udian #as 1uncines de arias aria"#es 6an6 cm sus deriadas que sn #as deriadas Barcia#es. Es mu$ imBr6an6e es6udiar e# 6erema de #a 1uncin inersa $ e# 6erema de #a 1uncin imB#íci6a 6an6 cm #as 1uncines de ;rse. In6egracin= La in6egracin denida que se Buede denir imBrecisamen6e cm e# rea de"a de"a, , de #a gr grca ca de una una 1unc 1unci in n a na6u na6ura ra#m #men en6e 6e desB desBu4 u4ss de #a deriacin de #a que #a in6egracin indenida es #a Beracin inersa. Se cmienza cn #a in6egra# de Riemann que cnsis6e en diidir e# in6era# en su"in6era#s &cn una Bar6icin' eH6ender #s su"in6era#s ?acia arri"a ?as6a que ##egue  a# mínim de #a 1uncin en e# su"in6era# &en cua# cas se #e ##ama #a suma in1erir'  a# mHim en e# su"in6era# &en cua# cas se #e ##ama #a suma suBerir'. Tam"i4n eHis6e 6r 6iB de in6egra# que Buede in6egrar ms 1uncines ##amada #a in6egra# de Le"esgue que usa #a medida $ e# cnceB6 de en casi 6das Bar6es. s6e se mues6ra desBu4s. de sBu4s. Cn #a 6ería de in6egracin se Bueden dems6rar aris 6eremas en e# cas de #a in6egracin de Riemann  de Le"esgue cm e# 6erema de (*

Fu"in u"ini i Ber Ber de un md md m mss imB imBr6 r6an an6e 6e e# 6er 6erema ema 1und 1undam amen en6a 6a## de# de# c#cu#. 13!CONTROL EN LA/O CERRADO

Sistemas "e #o$tro% e$ %a+o #erra"o

E# cn6r cn6r# # re6r re6ra#i a#imen men6ad 6ad   a #az #az cerrad cerrad  6iene 6iene #a carac6 carac6erí erís6i s6ica ca de que medims cier6a can6idad de #a sa#ida $ #ueg #a cmBarams cn un a#r dese desead ad  $ e# err errr resu resu#6 #6an an6e 6e # u6i# u6i#iz izam amss Bara Bara c crr rreg egir ir #a sa#i sa#ida da de# de# sis6ema.

Sis6ema de #az cerrad E,emB#= Cn6r# i#uminacin de ca##es E# sis6ema de cn6r# a 6ra4s de un 6ransduc6r de rea#imen6acin cnce en cada ins6an6e e# a#r de #a se3a# de sa#ida. De es6a manera Buede in6erenir si eHis6e una desiacin en #a misma.

14! SISTEMAS LINEALES

5n sis6ema es #inea# si #a sa#ida sigue e#men6e #s cam"is Brducids en #a en6rada. En #a ma$ría de #s sis6emas de cn6r# #inea#es #a sa#ida de"e seguir #a misma 1rma de #a en6rada Ber en #s cass que #a sa#ida n erique #a misma 1rma de #a en6rada Bara ser cnsiderad un sis6ema #inea# #a sa#ida de"er reJe,ar #s misms cam"is generads en #a en6rada.

()

:r e,emB# un in6egradr Bur es un Beradr #inea# an6e una en6rada esca#n Brduce a #a sa#ida una se3a# ramBa #a sa#ida n es de #a misma 1rma de #a en6rada Ber si #a en6rada esca#n aría en una cns6an6e #a ramBa de sa#ida se er mdicada en #a misma BrBrcin. De #a #inea#idad de# sis6ema se desBrenden ds BrBiedades imBr6an6es= (.>Si #as en6radas sn mu#6iB#icadas Br una cns6an6e #as sa#idas 6am"i4n sn mu#6iB#icadas Br #a misma cns6an6e. *.> Ls sis6emas #inea#es se carac6erizan Br e# ?ec? de que se Buede aB#icar e# BrinciBi de suBerBsicin. :rinciBi de suBerBsicin= Si un sis6ema cm e# ms6rad en #a Fig Bsee ms de una aria"#e de en6rada se Buede "6ener #a sa#ida 66a# de# sis6ema cm #a suma de #as sa#id sa#idas as Barc Barcia ia#es #es que que resu resu#6 #6an an de aB#i aB#ica carr ca cada da en6r en6rad ada a Br Br se seBa Bara rad d ?aciend #as dems en6radas cer.

La ma$ría de #s sis6emas u6i#izads en #a indus6ria de Brcess Bresen6an carac6 carac6erís erís6ic 6icas as cmB#e, cmB#e,as as &Barm &Barme6r e6rs s aria"# aria"#es es aria"# aria"#es es acB#a acB#adas das e1ec6s n #inea#es' Br # que genera#men6e #s mde#s sn n #inea#es sin s#ucin ana#í6ica # que res6ringe un an#isis genera#. genera# . Cuand se requiere rea#izar e# an#isis dinmic de sis6emas n>#inea#es Buede 6marse #as siguien6es a#6erna6ias= (.>T (.>Trans1rmar e# sis6ema n>#inea# en un #inea# ?aciend una 6rans1rmacin aBrBiada de sus aria"#es. *.>Simu#ar e# sis6ema n>#inea# usand un cmBu6adr $ ca#cu#ar su s#ucin num4ricamen6e. ). Desarr##ar un sis6ema #inea# que aBrHime e# cmBr6amien6 dinmic de# sis6ema n>#inea# a#rededr de# Bun6 esBecíc de Beracin. Es6 se cnce cm #a Linea#izacin de# sis6ema. Linea#izacin es e# Brces ma6em6ic que Bermi6e aBrHimar un sis6ema n #inea# a un sis6ema #inea#. Es6a 64cnica es amB#iamen6e usada en e# es6udi de Brcess dinmics $ 4# en e# dise3 de sis6emas de cn6r# Br #as siguien6es raznes=

(2

(. Se cuen6a cn m46ds ana#í6ics genera#es Bara #a s#ucin de sis6emas #inea#es. :r # 6an6 se 6endr una s#ucin genera# de# cmBr6amien6 de# Brces indeBendien6emen6e de #s a#res de #s Barme6rs $ de #as aria"#es de en6rada. Es6 n es Bsi"#e en sis6emas n>#inea#es Bues #a s#ucin Br cmBu6adr da una s#ucin de# cmBr6amien6 de# sis6ema a#ida s# Bara a#res esBecícs de #s Barme6rs $ de #as aria"#es de en6rada. *. Tds #s desarr##s signica6is que cn##ean a# dise3 de un sis6ema de cn6r# ?a sid #imi6ad a Brcess #inea#es. ). -a$ que 6ener Bresen6e #as aria"#es de desiacin Se dene #a aria"#e de desiacin 5&t' cm #a di1erencia en6re e# a#r de #a aria"#e  se3a# 67t' $ su a#r en e# Bun6 de Beracin. ;a6em6icamen6e se dene= &6'H&6'>H Dnde= &6'= aria"#e de desiacin. H&6'= aria"#e a"s#u6a crresBndien6e. H= a#r de H en e# Bun6 de Beracin &a#r "ase'. E# a#r "ase es e# a#r de #a aria"#e en es6ad es6a"#e $ genera#men6e descri"e e# a#r inicia# de# sis6ema dinmic $ Br # 6an6 es cns6an6e.

141!SISTEMAS LINEALES IN'ARIA(LES EN EL TIEMPO

Sis6ema LTI= En Brcesamien6 de se3a#es se3a#es un un sistema LTI  &Linear Time>Inarian6'  sis6ema #inea# e inarian6e en e# 6iemB es aque# que cm su BrBi nm"re indica cumB#e #as BrBiedades de #inea#idad e inarianza en e# 6iemB. PROPIEDADES:

Linea#idad 5n sis6 sis6ema ema es #inea #inea## &L' &L' si sa6i sa6is1 s1ac ace e e# Brinc BrinciBi iBi  de suBe suBerB rBs sic ici in n que que eng#"a #as BrBiedades de BrBrcina#idad  esca#ad $ adi6iidad. ue sea se a BrB BrBr rci cin na# a# sign signi ica ca que que cuan cuand d #a en6r en6rad ada a de un sis6 sis6em ema a es mu#6iB#icada Br un 1ac6r #a sa#ida de# sis6ema 6am"i4n ser mu#6iB#icada Br e# mism 1ac6r. :r 6r #ad que un sis6ema sea adi6i signica que si #a en6rada es e# resu#6ad de #a suma de ds en6radas #a sa#ida ser #a resu#6an6e de #a suma de #as sa#idas que Brducirían cada una de esas en6radas indiidua#men6e. (<

:rBiedad de BrBrcina#idad

Si :rBiedad de adi6iidad

Pri$#ipio "e %i$ea%i"a" o "e superposi#i8$ propor#io$a%

;a6em6icamen6e si  y (&t ' '  y *&6' ...  y n&t ' sn #as sa#idas sa#idas de# sis6ema sis6ema Bara #as en6r en6rad adas as  x (&t ' '  x *&t ' ... ...  x n&t ' $ a( a* ... ... an  s sn cns6an6es cns6an6es cmB#e,as cmB#e,as e# sis6ema es #inea# si=

En un sis6ema #inea# si #a en6rada es nu#a #a sa#ida 6am"i4n ?a de ser#. 5n sis6 sis6em ema a incr increm emen en6a 6a#m #men6 en6e e #ine #inea# a# es aque aque## que que sin sin eri erica carr #a 0#6i 0#6ima ma cndicin resBnde #inea#men6e a #s cam"is en #a en6rada. :r e,emB#  y &t '  * x &t ' U * n es #inea# Bues6 que  y &t ' V + Bara  x &t '  + Ber sí es incremen6a#men6e #inea#. I$9aria,i%i"a"

5n sis6 sis6em ema a es ina inari rian an6e 6e c cn n e# 6iem 6iemB B si su c cmB mBr r6a 6ami mien en6 6 $ sus sus carac6erís6icas sn ,as. Es6 signica que #s Barme6rs de# sis6ema n an cam"iand a 6ra4s de# 6iemB $ que Br # 6an6 una misma en6rada ns ns dar dar e# mism mism  res esu# u#6a 6ad d en cua# cua#qu quie ierr mme mmen6 n6  &$a &$a se sea a a?r a?ra a  desBu4s'.

(M

;a6e ;a6em m6i 6ica came men n6e 6e un sis6e is6ema ma es ina inari rian an6e 6e cn e# 6iem 6iemB B si un desB#azamien6 6emBra# en #a en6rada H&6>6+' casina casina un desB#azamien desB#azamien6 6 6emBra# en #a sa#ida $&6>6+'.

LTI La cm"inacin median6e e# Br Brin inci ciBi Bi de su suBe BerB rBs sic ici in n de am"as am"as BrBiedades cnere a #s sis6emas #a carac6erís6ica LTI.

:rinciBi de SuBerBsicin cn LTI

5na carac6erís6ica mu$ imBr6an6e $ 06i# de es6e 6iB de sis6emas reside en que se Buede ca#cu#ar #a sa#ida de# mism an6e cua#quier se3a# median6e #a cn#ucin es decir descmBniend #a en6rada en un un 6ren de imBu#ss que sern mu#6iB#icads Br #a # a resBues6a a# imBu#s de# sis6ema $ sumads. Sistemas LTI e$ SeriePara%e%o: •

SERIE: Si ds  ms sis6emas es6n en serie un cn 6r e# rden

Buede ser in6ercam"iad sin que se ea a1ec6ada #a sa#ida de# sis6ema. Ls sis6emas en serie 6am"i4n sn ##amads cm sis6emas en cascada. 5n sis6ema equia#en6e es aque# que es6 denid cm #a cn#ucin de #s sis6emas indiidua#es.

Esquema senci## Sis6ema LTI LTI Serie •

PARALELO: Si ds  ms sis6emas LTI LTI es6n en Bara#e# cn 6r un

sis6ema equia#en6e es aque# que es6 denid cm #a suma de es6s sis6emas indiidua#es. (8

•

Esquema senci## Sis6ema LTI :ara#e#

14.! SISTEMAS LINEALES 'ARIA(LES EN EL TIEMPO

-a$ que -a$ que di1er di1eren enci ciar ar en6r en6re e aria aria"#e "#ess $ Barm Barme6r e6rs s de un sis6 sis6ema ema.. La Lass aria aria"# "#es es c cm m su nm" nm"re re # indi indica ca sn sn ma magn gni6 i6ud udes es ca cam" m"ia ian6 n6es es en e# 6iem 6iemB B #as cua#e cua#ess de6er de6ermi mina nan n e# es6a es6ad d de un c cmB mBnen nen6e 6e "#q "#que ue  sis6 sis6em ema. a. &:r &:r E,em E,emB# B#= = 6ens 6ensi in n in6e in6ens nsid idad ad de c crrrien rien6e 6e e# e#ci cida dad d 6emB 6emBer era6 a6ur ura a nie nie## e6c' e6c'.. Ls Bar Barme me6r 6rs s s sn n ma magn gni6 i6ud udes es que que Bued Bueden en Bermanecer cns6an6es  ariar seg0n sea e# sis6ema. Ls misms reJe,an #as BrBiedade BrBiedadess  carac6erís6ic carac6erís6icas as in?eren6es in?eren6es de #s cmBnen6es cmBnen6es &E,emB#= &E,emB#= masa induc6ancia caBaci6ancia resis6encia cnduc6iidad cns6an6e de e#as6icidad cecien6e #um46ric de Ju, e6c.'. e 6c.'. Cuan Cuand d #s #s Barm Barme6 e6r rss de# de# sis6 sis6ema ema de c cn6 n6r r## sn sn es6a es6aci cin nar aris is c cn n res esBe Bec6 c6  a# 6iem 6iemB B dura duran6 n6e e #a Ber Berac aci in n de# de# sis6 is6em ema a es dec ecir ir sn magn ma gni6 i6ud udes es que que Berm Berman anec ecen en c cns ns6a 6an6 n6es es en e# 6iem 6iemB B e# sis6 sis6ema ema se denmina Sis6ema Inarian6e cn e# 6iemB. Cuan Cuand d #s #s Bar Barme6 me6r rss aría arían n c cn n e# 6iemB 6iemB  e# Sis6 Sis6em ema a se den denmin mina a %arian6e en e# 6iemB. En #a Brc6ica #a ma$ría de #s sis6emas 1ísics cn6ienen e#emen6s que derian  arían cn e# 6iemB. :r e,emB# #a resis6encia de #a ""ina de un m6r e#4c6ric ariar cuand e# m6r es eHci6ad eHci6ad Br Brimera ez $ su 6emBera6ura 6emBera6ura es6 aumen6and. aumen6and. O6r e,emB# de un sis6ema arian6e es e# sis6ema de cn6r# de un misi# guiad en e# e # cua# #a masa de# misi# decrece a medida que e# cm"us6i"#e a "rd se cnsume duran6e e# ue#. 5n sis6ema arian6e en e# 6iemB sin n #inea#idades es a0n un Sis6ema Linea#. E# an#isis $ dise3 de es6a c#ase de sis6emas sn muc? ms cmB#e,s que #s de un sis6ema #inea# inarian6e cn e# 6iemB. Den6r de #s sis6emas *) inarian6es cn e# 6iemB 6enems #s sis6emas de cn6r# de 6iemB cn6inu $ #s de 6iemB discre6 a cn6inuacin se descri"irn es6e 6iB de sis6emas. 1;! SISTEMAS NO LINEALES

Ls sis6emas n #inea#es #inea#es reBresen6a reBresen6an n sis6emas sis6emas cu$ cmBr6amien6 cmBr6amien6  n es eHBresa"#e cm #a suma de #s cmBr6amien6s de sus descriB6res. ;s 1rma#men6e un sis6ema 1ísic ma6em6ic  de 6r 6iB es n #inea# cuan cuand d #as ecuacines de mimien6 mimien6 e#ucin  cmBr6amien6 que regu#an su cmBr6amien6 sn n #inea#es. En Bar6icu#ar e# (

cmBr cmB r6a 6ami mien en6 6 de sis6 sis6ema emass n #inea #inea#es #es n es6 es6 su,e6 su,e6  a# BrinciB BrinciBi i de suBerBsicin suBerBsicin cm # es un sis6ema #inea#. #inea#. La #inea#i #inea#idad dad de un sis sis6em 6ema a Bermi6 Bermi6e e a #s ines6 ines6iga igadr dres es ?acer ?acer cier6a cier6ass suBsicines ma6em6icas $ aBrHimacines Bermi6iend un c#cu# ms senci## de #s resu#6ads. Wa Wa que #s sis6emas n #inea#es n sn igua#es a #a suma de sus Bar6es usua#men6e sn di1íci#es & imBsi"#es' de mde#ar $ sus cmBr6amien6s cn resBec6 a una aria"#e dada &Br e,emB# e# 6iemB' es eH6remadamen6e di1íci# de Bredecir. Bredecir. A#gun A#gunss sis sis6ema 6emass n #inea# #inea#es es 6ienen 6ienen s# s#uci ucine ness eHac6a eHac6ass  in6egr in6egra"# a"#es es mien6 mien6ras ras que que 6r 6rss 6ien 6ienen en c cmB mBr6 r6am amien ien6 6 ca ca6i 6ic c Br Br # 6an6 6an6  n se Bueden reducir a una 1rma simB#e ni se Bueden res#er. 5n e,emB# de cmBr6amien6 ca6ic sn #as #as gigan6es. gigan6es. Aunque a#guns sis6emas n #inea#es $ ecuacines de in6er4s genera# ?an sid eH6ensamen6e es6udiads #a as6a ma$ría sn B"remen6e cmBrendids. Sistemas $o %i$ea%es:

Las ecuacines n #inea#es sn de in6er4s en 1ísica $ ma6em6icas ma6em6icas de"id  de"id a que #a ma$ría de #s Br"#emas 1ísics sn imB#íci6amen6e n #inea#es en su na6ura#eza. E,emB#s 1ísics de sis6emas #inea#es sn re#a6iamen6e rars. Lass ec La ecua uaci cin nes es n #ine #inea# a#es es s sn n di1í di1íci ci#e #ess de res es# #e err $ dan dan rig rigen en a in6eresan6es 1enmens cm #a 6ería de# cas. cas. 5na ecuacin ecuacin #inea# Buede ser descri6a usand un Beradr #inea# L. 5na ecuacin #inea# en a#g0n a#r descncid de 6iene #a 1rma

5na ecuacin n #inea# es una ecuacin de #a 1rma=

:ara :a ra a#g0 a#g0n n a#r a#r descn descncid cid  de de . :ara Bder res#er cua#quier ecuacin se necesi6a decidir en qu4 esBaci ma6em ma6em6ic 6ic  se encuen encuen6ra 6ra #a #a s#uc s#ucin in . :drí :dría a ser ser que que es un un n0mer n0mer  rea# rea# un ec6r  6a# ez  ez una 1uncin cn a#gunas BrBiedades. Las s#ucines de ecuacines #inea#es Bueden ser genera#men6e descri6as cm una suBerBsicin de 6ras s#ucines de #a misma ecuacin. Es6 ?ace que #as ecuacines #inea#es sean 1ci#es de res#er. Las ecuacines n #inea#es sn muc? ms cmB#e,as $ muc? ms di1íci#es de en6e en6end nder er Br Br #a 1a#6 1a#6a a de s#uc s#uci ines nes simB simB#es #es suBer suBerBu Bues es6as 6as.. :ara #as #as ecuacines n #inea#es #as s#ucines genera#men6e n 1rman un esBaci ec6ria# $ en genera# n Bueden ser suBerBues6as Bara Brducir nueas s#ucines. Es6 ?ace e# res#er #as ecuacines muc? ms di1íci# que en sis6emas #inea#es.

(7

Herramie$tas para %a so%u#i8$ "e #iertas e#ua#io$es $o %i$ea%es

A# día de ?$ eHis6en muc?as ?erramien6as Bara ana#izar ecuacines n #inea#es #inea#es Br mencinar a#gunas 6enems= 6enems= dinmica de sis6emas sis6emas 6erema de #a 1uncin imB#íci6a $ imB#íci6a $ #a 6ería de #a "i1urcacin. "i1urcacin. 1;1! LINEALI/ACION

La #inea#izacin se reere a# Brces de encn6rar #a aBrHimacin #inea# a una 1uncin en 1uncin en un Bun6 dad. En e# es6udi de #s sis6emas dinmics dinmics #a #inea#izacin es un m46d Bara es6udiar #a es6a"i#idad #ca# es6a"i#idad #ca# de un Bun6 de equi#i"ri de un un sis6ema de ecuacines ecuacines di1erencia# di1erencia#es es n #inea#e #inea#ess. Es6e Es6e m46d se u6i#iza en camBs 6a#es cm #a ingeniería ingeniería #a 1ísica 1ísica #a ecnmía ecnmía $ #a ec#gía. ec#gía. Li$ea%i+a#i8$ "e u$a fu$#i8$

E# resu#6ad resu#6ad  de #a #inea#i #inea#izac zacin in de una 1uncin es un una 1uncin #inea# que nrma#men6e se u6i#iza cn na#idades de c#cu#. La #inea#izacin es un m46d ecaz que se u6i#iza u6i#iza Bara aBrHimar aBrHimar e# res resu#6ad u#6ad de una 1uncin 1uncin en un Bun6 cua#quiera cua#quiera a Bar6ir de #a Bendien6e $ Bendien6e $ de# a#r de #a 1uncin a# Bun6  siemBre que 1&H' sea deria"#e a & a '$ que sea cercan a . En resumen #a #inea#izacin aBrHima e# resu#6ad de #a 1uncin cerca de# Bun6 . :r e,emB# se Buede sa"er qu4 de"ería ser una "uena aBrHimacin de

. :er sin ca#cu#adra Xcu# Y

:ara cua#quier 1uncin dada  se Buede aBrHimar si es cercana cercana a un Bun6 dnde es deria"#e $ cncida. cncida. E# requisi6 requisi6 ms "sic es que si es #a #inea#izac aciin de 1&H 1&H' a H  a . La ecuacin #inea# de #inea# de una ecuacin cua#quiera es una rec6a dad un Bun6 $ #a Bendien6e

. La 1rmu#a genera# de es6a ecuacin es=

. 5sand e# Bun6  de iene . Cm #as 1unc 1uncin ines es deri deria" a"#es #es sn sn #ca#men6e #ca#men6e #inea#es #inea#es #a me me, ,rr Bend Bendie ien6 n6e e Bara Bara sus6i6uir en #a ecuacin ?a de ser #a Bendien6e de #a #ínea 6angen6e a 6angen6e a .

a

;ien6ras e# cnceB6 de #inea#idad #ca# se aB#ica BrinciBa#men6e a Bun6s ar"i6rariamen6e BrHims a  es6e cnceB6 de re#a6iamen6e BrHim 1uncina re#a6iamen6e "ien Bara aBrHimacines #inea#es. DesBu4s de 6d una #inea#izacin es s#amen6e una aBrHimacin. La Bendien6e ?a de ser ms eHac6amen6e #a Bendien6e de #a rec6a 6angen6e a . *+

%isua %isua#men #men6e 6e #a gura gura mues6r mues6ra a #a rec6a rec6a 6angen 6angen6e 6e a en H. A  dnde dnde es cua#qui cua#quier er a#r Beque3 Beque3 Bsi6i Bsi6i  nega6i nega6i  1&HU?' 1&HU?' es mu$ cercan a# a#r de #a rec6a 6angen6e a# Bun6

.

La ecuacin Bara #a #inea#izacin de una 1uncin a

:ara

 a es

es

a . La deriada de

es

es=

 $ #a Bendien6e de

.

Ap%i#a#io$es "e %a %i$ea%i+a#i8$ %i$ea%i+a#i8$

La #inea#izacin Bermi6e usar ?erramien6as desarr##adas Bara e# es6udi de sis6emas #inea#es en e# es6udi de# cmBr6amien6 de sis6emas n #inea#es en 6rn a un Bun6 dad. La #inea#izacin de una 1uncin es e# 64rmin de Brimer rden de# desarr## en #a serie de Ta$#r en Ta$#r en 6rn a# Bun6 de in6er4s. :ara sis6emas denids Br #a ecuacin

 e# sis6ema #inea#izad se Buede escri"ir cm

Dnde a .

es e# Bun6 de in6er4s $

es e# /ac"ian de

ea#uad

En an# an#is isis is de es6a es6a"i "i#id #idad ad se Bued Bueden en u6i#i u6i#iza zarr #s a# a#re ress BrB BrBi iss de# de#  ,ac"ian ea#uad a# Bun6 de equi#i"ri Bara de6erminar #a # a na6ura#eza de# equi#i"ri si 6ds #s a#res BrBis sn Bsi6is e# equi#i"ri es ines6a"#e si sn 6ds nega6is e# equi#i"ri es es6a"#e $ si #s a#res sn de signs *(

miH6s e# equi#i"ri es un Bun6 de si##a. Cua#quier a#r BrBi cmB#e, aBarecer en un Bar de cmB#e,s cn,ugads &$a que #s a#res BrBis sn sn #as #as raíc raíces es de# de# B#i B#in nmi mi anu# anu#ad adr r que que 6iene 6iene c ce eci cien en6e 6ess rea# rea#es es'' e indicar un equi#i"ri esBira# & circu#ar si #s cmBnen6es rea#es sn cer en 6rn a# equi#i"ri'.

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