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SEP
SEIT
DGETI
INGENIERÍA CIVIL
HIDRÁULICA I ING. HOMERO LÓPEZ SÁNCHEZ
UNIDAD 1: “HIDROSTÁTICA”
PRESENTA: DIEGO VALDES MILDRED MALENI DOMÍNGUEZ CRUZ JUAN MANUEL MARTINEZ ROSALES SUSANA
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CERRO AZUL VER; JULIO DE 2012
UNIDAD 1 HIDROSTÁTICA Objetivo del curso: comprender los fundamentos de hidrostática, hidrodinámica, así como los principios básicos del flujo y conductos a presión para aplicarlos en proyectos de agua potable y obras hidráulicas. 1.1 PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS (DENSIDAD, PESO ESPECÍFICO, TENSIÓN SUPERFICIAL, VISCOSIDAD, MÓDULO DE ELASTICIDAD VOLUMÉTRICA, PRESIÓN DE VAPORIZACIÓN, CAPILARIDAD) *Densidad La densidad de la masa del fluido contenida en la unidad de volumen. (ML-³) (FT² L-⁴)
En forma dimensional
Densidad: representa la masa del fluido contenida en la unidad de volumen en los sistemas absolutos gravitacionales sus dimensiones son [ML-³] [FT² L-⁴]. Se representa con el símbolo de
.
*Peso específico El peso específico de un cuerpo solido o líquido es el peso de la unidad de volumen. Hay que tener cuidado con la definición tratándose por ejemplo de fluidos como los gases con temperatura o presión variable tienen un volumen distinto. En forma dimensional: (FL-³). *³
*Viscosidad. La viscosidad es aquella propiedad de un fluido, por virtud de la cual ofrece resistencia al corte. La Ley de Viscosidad de Newton afirma que dada una rapidez de deformación angular en el fluido el esfuerzo cortante es directamente proporcional μ=Τ/du/dy . *Densidad.
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La densidad ρ de un fluido se define como su masa por unidad de volumen, formula para definir la densidad es u punto ρ = m/v. *Peso especifico. El peso específico de una sustancia es su peso por unidad de volumen, cambia con el lugar
= ρg dependiendo de la aceleración de la gravedad.
*Módulo de elasticidad a la compresión. Si la presión de una unidad de volumen se incrementa en dρ, causara una disminución en el volumen –dv, la razón – dρ/dv es el modulo elástico a la compresión k para cualquier volumen del liquido. K = - dρ/dv/
*Presión de vaporización. Cuando las moléculas ejercen una presión parcial en el espacio. *Tensión superficial. Es la fuerza de estiramiento requerida para formar la película o capa especial y se obtiene al dividir el termino de la energía superficial entre la unidad de la longitud de película. *Capilaridad. Es cuando la tensión superficial y por el valor relativo de la adhesión entre líquido y solido a la cohesión del líquido. *¹
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1.2 PRESIÓN HIDROSTÁTICA
La estática de fluidos estudia las condiciones de equilibrio de los fluidos en reposo, y cuando se trata sólo de líquidos, se denomina hidrostática. Desde el punto de vista de ingeniería civil es más importante el estudio de los líquidos en reposo que de los gases, por lo cual aquí se hará mayor hincapié en los líquidos y, en particular, en el agua. En términos generales se puede decir que la presión es una fuerza por unidad de área, esto es:
P
F FA 1 A
En donde:
(1.1)
F = fuerza normal al área A A= área P = presión media sobre el área A
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La ecuación 5.1 da la presión media sobre el área considerada “A”; sin embargo, si la presión es variable y se desea obtener la presión en un punto determinado de la superficie total, con área “dA”, se puede emplear la definición siguiente:
P lím a0
F dF A dA (1.2)
La hidrostática y la aerostática; son las ciencias que en conjunto estudian los fluidos en reposo, descansan sobre tres principios o leyes básicas, los cuales son: el principio de Pascal, el principio de Stevin y el principio de Arquímedes. De los tres principios anteriores, los relacionados directamente con la presión son el Pascal y el de Stevin, los cuales se discuten a continuación:
V.2 PRINCIPIO DE PASCAL Éste principio establece que “en cualquier punto en el interior de un fluido en reposo la presión es la misma en todas las direcciones.”
V.2.1 Demostración práctica
Si se tiene un recipiente como el mostrado en la figura 1.1, al cual, por medio del pistón se le aplica una fuerza “F” , entonces el líquido dentro del recipiente se comprimirá con una presión igual a “FA-1” siendo “A” el área de la sección transversal del pistón. Al suceder esto se observa que en los tubos colocados en diferentes partes del recipiente, el líquido sube a la misma altura “h” en todos ellos, lo cual indica que la presión en cada punto del recipiente es la misma. Obviamente, en el experimento anterior, se supone que no existe escurrimiento del líquido entre las paredes del recipiente y el pistón.
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V.2.2 Demostración Teórica Considerando un prisma imaginario con dimensiones elementales ubicado en el
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interior de un fluido en reposo (Fig.1.2), se tiene:
Como el fluido está en reposo, se puede establecer que:
Fy 0
Sustituyendo las fuerzas actuantes, de acuerdo con la figura 5.2, se tiene:
Ps(dxds) Py(dxdz) 0 (1.3)
sen
dz ds Por otra parte, de la figura se obtiene que: (1.4)
Sustituyendo 5.4 en 5.3 queda:
dz Py(dxdz) 0 ds Psdxdz Pydxdz 0 Ps(dxds)
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Ps Py 0 Dividiendo por dxdz, se tiene:
Ps Py O bien:
(1.5)
Fz 0 De la misma manera, se puede establecer que:
(1.6)
Sustituyendo las fuerzas actuantes se tiene:
dydz Pzdxdy 0 2
Ps( dxds) cos dx
(1.7)
V El segundo término del lado izquierdo de la ecuación anterior representa el peso del prisma
De la figura 1.2 se obtiene que:
cos
dy ds (1.8)
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.
Sustituyendo 5.8 en 5.7:
dv dxdydz Ps(dxds) Pz (dxdy) 0 2 ds
Dividiendo por dxdy queda:
Ps dz Pz 0
"dz" El término
puede despreciarse, ya que es muy pequeño esto es:
dz 0
Entonces queda:
Ps Pz 0
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O bien:
Pz Ps (1.9)
Comparando 1.9 con 1.5 se obtiene finalmente que:
Ps Pz Py (1.10)
Con lo cual queda demostrado el principio de Pascal. Para comprobar que Px es también igual a la presión en las otras direcciones, basta colocar el prisma en alguna otra posición con respecto a los ejes coordenados.
V.2.3 Aplicación práctica del principio de Pascal (principio de la Prensa Hidráulica)
En la figura 1.3, presentada a continuación, se muestra un esquema típico de una prensa Hidráulica.
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P1
F1 1 F1 A1 A1 Si se aplica una fuerza F1 al émbolo de la izquierda, ésta provocará una presión
media sobre el líquido en el interior de la prensa igual a:
(1.11)
De acuerdo con el principio de Pascal, la presión de la misma en todas las direcciones, entonces, la presión P1 transmite a través del líquido y actuará sobre el pistón de la derecha, es decir, si se tiene en cuenta que las pérdidas por fricción en el interior de la prensa son despreciables, se tiene que:
P 1=P2
(1.12)
Claro que también hay que considerar que las pérdidas por fricción entre los pistones y los cilindros son despreciables.
P2
F2 1 F2 A2 A2 La presión P2 a su vez es igual a:
Finalmente, sustituyendo 5.11 y 5.13 en 5.12 queda: F 1A1 = F2A2-1
(1.14)
Si se supone, como sucede en la mayoría de los casos prácticos, que las áreas son circulares, la ecuación anterior se transforma en:
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F1D1-2 = F1D1-2
(1.15)
Las ecuaciones anteriores son las expresiones matemáticas del Principio de la Prensa Hidráulica, en los cuales: F1 = Fuerza ejercida sobre el pistón de la izquierda F2 = Fuerza ejercida sobre el pistón de la derecha A1 = Área del pistón de la izquierda A2 = Área del pistón de la derecha D1 y D2 = Diámetros respectivos (en caso de áreas circulares)
La ecuación 5.14 puede obtenerse de forma alterna si se aplica el principio de la conservación del trabajo y la energía de la Prensa Hidráulica como se ve en la figura 1.4
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En la figura anterior, la línea punteada corresponde a la posición inicial de los pistones. Al aplicar una fuerza F1 al pistón de la izquierda, ésta se mueve una distancia 1 1, desplazando cierta cantidad de líquido. El trabajo desarrollado por F 1 al moverse la distancia 11 vale:
W 1 = F111
(1.16)
Sin embargo, el líquido desplazado por el pistón de la izquierda hace que el émbolo de la derecha suba, moviéndose una distancia 12, la cual, según se ve en la figura, tiene que ser más pequeña que 11 ya que el diámetro del pistón de la derecha es mayor. El trabajo desarrollado por el pistón de la derecha será: W2 = F212
(1.17)
De acuerdo con el principio de la conservación del trabajo y la energía, y despreciando las pérdidas por fricción, se puede establecer que: W 1 = W2
(1.18)
Sustituyendo 5.16 y 5.17 en 5.18 queda: F111 = F212
(1.19)
Como los volúmenes desplazados por los pistones son los mismos, ya que no existe escurrimiento de líquido entre éstos y las paredes interiores de los cilindros, entonces: V = A111 =A212 De donde:
11
A2 12 A1 (1.20)
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Sustituyendo 5.20 en 5.19 y operando álgebra se tiene:
F1
A2 12 F212 A1 1
F1 A1 F2 A2
1
(1.14)
Y, para áreas circulares:
F1D1-2 = F2D2-2
(1.15)
Las cuales, como pueden verse, son las mismas ecuaciones obtenidas en las páginas anteriores. Ahora se analizarán algunas consecuencias prácticas de éste principio; Suponiendo que D 2 sea diez veces mayor que D1, es decir, D2 = 10D1 y que se aplique una fuerza F1 de 1kg en el pistón de la izquierda. Sustituyendo estos valores en la ecuación 5.15 se obtiene:
10 D1 F2 1kg D1
2
100 kg
Lo cual significa que por cada kilogramo de fuerza que se aplique en el pistón de la izquierda, la prensa será capaz de levantar o transmitir una fuerza de 100kg al pistón de la derecha. Es obvia la ventaja que tiene la aplicación de éste principio.
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Éste principio a dado lugar a un amplio desarrollo de los controles hidráulicos para equipo en operación, como gatos hidráulicos, equipo pesado para mover tierra, montacargas, grúas, superficies de control de aviones, plataformas elevadoras, básculas, etc.
PRINCIPIO DE STEVIN
Éste principio se enuncia de la siguiente manera: “la diferencia de presiones entre dos puntos situados a diferente profundidad en el seno de un líquido en reposo es igual a la diferencia de profundidad multiplicada por el peso específico del líquido”
Demostración
Considerando un prisma regular imaginario en el interior de un líquido en reposo, como el mostrado en la figura 1.5
Como el líquido está en reposo, es decir, en equilibrio, se puede establecer que:
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Fy 0
Sustituyendo las fuerzas actuantes se tiene que:
P2 A2 P1 A1 V 0 (1.21)
Pero, como el prisma es regular se tiene que: A1 = A2 = A Sustituyendo en (5.21) y recordando que V = Ah, queda:
P2 A P1 A Ah 0
Dividiendo por el área de A:
P2 P1 h 0
P1 P2 h Esto es:
P h O bien:
(1.22`)
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Donde:
P1 – P2 =
P
= diferencia de presiones entre los puntos 1 y 2, ubicados en diferentes
profundidades en el seno del líquido
= peso específico del líquido h = distancias vertical entre los puntos 1 y 2 Si se compara esta ecuación con el enunciado del principio, puede verse que es exactamente lo mismo. La ecuación 1.22 ó 1.22` es, pues, la representación matemática del principio de Stevin. Es importante hacer notar que el principio de Stevin, representado matemáticamente por la ecuación 1.22 ó 1.22`, es válido en el caso de que el fluido pueda considerarse continuo y homogéneo; en otras palabras que tenga un peso específico constante. Éste principio, también es conocido por el nombre de “Teorema general de la Hidrostática” Efectuando un análisis de la ecuación 1.22, puede observarse que si h = 0, entonces P 1 = P2; lo cual significa que en cualquier fluido en reposo, la presión en todos los puntos de un plano horizontal dados es la misma, o visto de otra manera, en un fluido en reposo, todos los puntos que tienen la misma presión se encuentran en un plano horizontal común. Éste principio encuentra múltiples aplicaciones en la práctica, entre otras, para determinar la presión a que estarán sujetos los cuerpos sumergidos en algún fluido, seto es particularmente importante en el diseño de submarinos, batiscafos, equipos de buceo y todo tipo de equipo para operación submarina y/o subacuática.
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Además este principio es básico para manometría, ya que los manómetros de tubo con líquido, lo utilizan para determinar la presión manométrica y en algunos casos también la absoluta, como se verá más adelante (sección V.5) Finalmente, puede decirse que el principio de Stevin es básico, ya que prácticamente no existe problema hidrostático en que no se involucre ya sea directamente o en la deducción de alguna ecuación.
V.4 TIPOS DE PRESIONES
En esta sección se estudiarán 3 tipos de presiones de uso común en la práctica ingenieril, las cuales son: 1 Presión atmosférica o barométrica 2 Presión absoluta 3 Presión relativa o manométrica
Presión atmosférica
Ésta es la presión debida al peso de los gases de la atmósfera terrestre, nosotros vivimos en el fondo de un océano de gases, a la mezcla de los cuales se le da el nombre de aire. Éste aire
1 815 tiene peso (aproximadamente
del peso del agua en condiciones normales) y por ende
provoca una presión al actuar sobre la superficie de la tierra.
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En base a lo anterior, es lógico suponer que la presión atmosférica varíe con la altitud del nivel del mar. Un lugar más alto tendrá una columna de aire menor sobre él, y por tanto, una presión atmosférica menor que un lugar más bajo. La presión atmosférica que actúa sobre el nivel medio del mar se denomina “PRESIÓN ATMOSFÉRICA NORMAL O ESTÁNDAR”. A la presión atmosférica que se ejerce sobre una localidad determinada se le llama “PRESION ATMOSFERICA LOCAL”. Por lo tanto, para cualquier lugar de la tierra situado al nivel del mar se tiene que: PRESION ATMOSFERICA LOCAL ═ PRESION ATMOSFERICA NORMAL
V.4.1 Presión absoluta y presión relativa o manométrica
En una región con el espacio exterior, que esta prácticamente vació de gases, la presión es esencialmente cero. Tal condición puede lograrse en forma muy aproximada en el laboratorio. La presión en el vació absoluto se llama CERO ABSOLUTO. No puede por tanto, existir una presión menor al CERO ABSOLUTO. Todas las presiones que se miden con respecto al CERO ABSOLUTO, se denominan presiones absolutas y no puede haber una presión absoluta negativa, como es lógico. Sin embargo, debido a su principio de funcionamiento, la gran mayoría de los aparatos que miden la presión no dan lecturas de presión absoluta, sino únicamente incrementos o decrementos de presión con respecto a la presión atmosférica local. En este caso, la presión de referencia (o el cero de la escala) corresponde precisamente al valor de la presión atmosférica local. A este tipo de presión se le llama PRESION RELATIVA O MANOMETRICA.
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Para este tipo de presión, como esa lógico, existe la posibilidad de que la lectura sea negativa, cero o positiva. A las presiones relativas negativas se les denomina “PRESIONES DE VACIO” Todos estos tipos de presiones y escalas se muestran el la figura 5.6 donde se observa la relación que guarda la escala absoluta de presiones con la escala relativa o manométrica.
En la figura 1.6 se grafico del lado izquierdo la escala absoluta de presiones y en el lado derecho la escala negativa o manométrica. También están graficadas la presiona atmosférica normal y la presión atmosférica local, tomando en cuenta que la localidad dada no se encuentra a nivel del mar, de tal manera que la presión atmosférica normal sea mayor que la presión atmosférica local. En la escala absoluta, el cero se muestra en el origen, coincidiendo con la línea horizontal que equivale al cero absoluto. En la escala relativa de presiones el cero esta ubicado en la línea correspondiente a la presión atmosférica local; entonces, para medir dos presiones cualesquiera (P1 y P2), si estas son medidas en escala absoluta de presiones, ambas serán positivas, como se observa en la figura 5.6, ya que en las lecturas se efectúan a partir del cero absoluto. Si se quieren medir estas mismas presiones con la escala relativa de presiones; la presión P2 será positiva, pero P1 será negativa, ya que se encuentra por debajo del cero de esta escala, el cual coincide con el valor de la presión atmosférica local. En este diagrama también se puede ver que el máxima valor negativo que puede tener una presión medida en la escala relativa
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de presiones coincide con el valor de la presión atmosférica local, ya que si fuera mayor (en valor absoluto) equivaldría a que la presión llegara a ser menor que el 0 absoluto, lo cual es imposible. Para encontrar la presión absoluta a partir de la presión leída en un dispositivo que de la presión relativa, habrá que sumar a la presión leída en ese dispositivo, la presión atmosférica local, medida exactamente con un barómetro. Esto puede expresarse matemáticamente como:
Pabs = Patm. Local + Prel
(1.23)
Esta ecuación puede comprobarse fácilmente en la figura 1.7 La ecuación anterior, básica en el estudio de presiones, se puede obtener a partir de la ecuación 1.22 esto es, a partir del principio de Stevin, de la manera siguiente: Suponiendo que se aplica 1.22 entre dos puntos 1 y 2, situados a cierta profundidad en un líquido y en la superficie libre de este, respectivamente, como se muestra en la figura 1.8
P1 h P2 La ecuación 5.22 puede escribirse de la manera siguiente: (1.24)
De acuerdo con la figura 1.8 y con la ecuación 1.22 se tiene que: P2 = Patm local
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h Por otro lado, el término
equivale a la presión hidrostática relativa a la profundidad dentro del
líquido. Esta es una presión relativa debido a que mide el incremento de presión (debido a la profundidad del punto 1) sobre el valor de la presión atmosférica local, que es la presión soportada por el punto 1, ubicado en la superficie libre. Por lo tanto se puede decir que:
h Prel
Finalmente, la presión P1 debe ser la presión absoluta que se tiene en el punto 1, ya que es la suma de la presione atmosferita local (que actúa sobre la superficie libre) y del incremento de
h presión
debido al aumento de la profundidad, esto es:
P 1 = Pabs
Sustituyendo las tres relaciones anteriores en 5.24 se tiene que: Pabs = Patm. Local + Prel
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(1.23)
TIPOS DE PRESIÓN
En esta sección se estudiara tres tipos de presión de uso común en la práctica en ingeniería que son: 1
Presión atmosférica o manométrica.
2
Presión absoluta.
3
Presión relativa o manométrica.
PRESION ATMOSFERICA.
Esta es la presión debido al peso de los gases de la atmósfera terrestre. Nosotros vivimos en el fondo de un océano de gases, a la mezcla de los cuales se les da el nombre de aire. Este
1 815 aire tiene peso (aproximadamente
del peso del agua en condiciones normales) y, por ende,
provoca una presión al actuar sobre la superficie de la tierra. En base a lo anterior, es lógico suponer que la presión atmosférica varía con la altitud sobre el nivel del mar. Un lugar más alto tendrá una columna de aire menor sobre él, y por tanto, una presión atmosférica menor que un lugar más bajo.
La presión atmosférica que actúa sobre el nivel medio del mar se denomina “PRESIÓN ATMOSFÉRICA NORMAL O ESTÁNDAR”. A la presión atmosférica que se ejerce sobre una localidad determinada se le llama “PRESION ATMOSFERICA LOCAL”. Por lo tanto, para cualquier lugar de la tierra situado al nivel del mar se tiene que:
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PRESION ATMOSFERICA LOCAL ═ PRESION ATMOSFERICA NORMAL
h Por otro lado, el término
equivale a la presión hidrostática relativa a la profundidad dentro del
líquido. Esta es una presión relativa debido a que mide el incremento de presión (debido a la profundidad del punto 1) sobre el valor de la presión atmosférica local, que es la presión soportada por el punto 1, ubicado en la superficie libre. Por lo tanto se puede decir que:
h Prel Finalmente, la presión P1 debe ser la presión absoluta que se tiene en el punto 1, ya que es la suma de la presione atmosferita local (que actúa sobre la superficie libre) y del incremento de
h presión
debido al aumento de la profundidad, esto es:
P 1 = Pabs
Sustituyendo las tres relaciones anteriores en 5.24 se tiene que: abs
= Patm. Local + Prel
(1.23)
*⁴
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1.2.1 ECUACIONES BÁSICAS DE LA ESTÁTICA DE LOS FLUIDOS La estática de los fluidos estudia las condiciones de equilibrio de los fluidos en reposo y cuando se trata solo de líquidos, se denomina hidrostática desde el punto de vista de ingeniería civil es mas importante el estudio de los liquidos en reposo de los gases, por lo cual aquí era mayor hincapié en los liquidos y en particular en el agua. Ecuaciones fundamentales ECUACION DE EULER Se considera idealmente un elemento de fluido en forma prismática que encierra al punto P donde la densidad es ρ y la presión P (fig. 2.1) habiéndose elegido un sistema de coordenadas con el eje z vertical conviene orientar los lados de la partícula según el eje del sistema de tal manera que la presión se incremente en magnitudes diferenciales y genere las fuerzas indicadas en la Fig. 2.1. *²
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1.2.2 DISTRIBUCIÓN DE PRESIÓN HIDROSTÁTICA
En general, los aparatos para medir presión se llaman manómetros, sin embargo, en forma particular, según el tipo de presión que miden, adoptan distintos nombres, los cuales se muestran en el cuadro 5.1 Existen innumerables tipos de aparatos para medir presión; algunos mecánicos, otros eléctricos y cada uno con grados de precisión muy diversos. Aquí se hablará solamente del principio de funcionamiento de los instrumentos más comunes para medir presiones. Cuadro 5.1 Tipos de presiones con su respectivo aparato de medición
TIPO DE PRESION A MEDIR Presión atmosférica
NOMBRE DEL APARATO Barómetro Página 26
Presión absoluta Presión relativa (positiva) Presión relativa (negativa) Presiones muy pequeñas Diferencia de presiones
Manómetro de presión absoluta Manómetro Vacuómetro Micromanómetro Manómetro diferencial
Como puede verse en el cuadro 5.1, la presión atmosférica se mide con aparatos llamados barómetros, de los cuales existen varios tipos. En esta sección solamente se hablará del principio de funcionamiento del barómetro de mercurio, desarrollado por Evangelista Torricelli, alrededor del año de 1650, (ver figura 5.8) Torricelli construyó un tubo de vidrio en uno de cuyos extremos había una esfera soplada. El tubo tenía una longitud de alrededor 120 cm. Este tubo y la esfera se llenaron completamente con mercurio. Tapando con un dedo el extremo del tubo, se le dio vuelta y se le introdujo en un recipiente que también contenía mercurio. Al retirar el dedo, el mercurio bajo de nivel, estabilizándose en una altura h igual a unos 76 cm. (ver figura 5.8) De lo anterior se dedujo que la columna de 76 cm. De mercurio, equilibraba la presión de aire exterior (presión atmosférica), ya que sobre el mercurio dentro del tubo sólo actúa la presión del vapor del mercurio, lo que, para fines prácticos, puede considerarse como si estuviera vacío.
La presión atmosférica, puede expresarse en términos de columna de líquido (unidades de longitud) o en términos coherentes, que son las unidades que se obtienen al aplicar la ecuación
Fuerza / Area 5.1, es decir,
. La ecuación que relaciona lo anterior, se deriva del principio de
Stevin, y es:
P h (5.25) Donde:
Fuerza / Area P = Presión de unidades coherentes
.
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= Peso específico del líquido h = Altura de presión en unidades de longitud.
Entonces, la presión atmosférica normal, expresada en términos de altura de presión vale, según lo encontrado por Torricelli y confirmado posteriormente: Patm normal = 76 cm. De mercurio =760 mm. De mercurio. En honor a Torricelli, a esta unidad de presión se le dio el nombre de Torr, esto es: 1 mm de mercurio = 1 Torr
La presión atmosférica normal expresada en unidades coherentes, se obtiene a partir de la ecuación 5.25 y vale:
h P= O bien:
= (13600 kg m-3)(0.76 m) = 10330 kg m-2
P = (10330 kg m -2)(104 m2cm-2) = 1.033 kg cm-2
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Usualmente, se acostumbra expresar la expresión en términos de altura de agua, por lo tanto, la presión atmosférica normal de estas unidades valdrá:
P (10330kgm2 ) h 10.33m.c.a. (1000kgm3 )
En el sistema internacional de unidades S.I. la unidad básica para la medición de cualquier tipo de presión es el PASCAL, el cual se define como: 1PASCAL = 1 N m-2 Entonces, la presión atmosférica normal, expresada en pascales, valdrá: P = (10330 kg m-2)(9.81 N kg-1) = 101337.3 Pascales. Sin embargo, el pascal presenta el inconveniente de ser una unidad bastante pequeña para medir la gran mayoría de las personas usuales en ingeniería, por lo que se acostumbra usar algún múltiplo de esta como el KPA (kilo pascal = 10 3 pascales), el MPA (mega pascal = 10 6 pascales). A pesar de lo anterior, para el caso particular de la presión atmosférica, es muy usado el BAR, el cual se define como:1 BAR = 105 Pascales Por lo tanto, la presión atmosférica normal en bares será:
5 10
P = (101337.3 Pascales)
milibares bar = 1.01337 bares
En la actualidad, la mayoría de las estaciones meteorológicas del mundo han estandarizado el milibar como unidad básica para la medición de la presión atmosférica, entonces:
3 10
milibares bar
Patm normal = (1.01337 bares)
Página 29
= 1013.3 Milibares
La obtención del valor de la presión atmosférica normal en el sistema inglés de unidades, tanto en unidades coherentes (Lo pulg-2 o Lb pie-2), como unidades de altura (pulgada o pies de mercurio o de agua) se deja como ejercicio (ver problema V.8.1) Por otra parte, como se dijo anteriormente, la presión atmosférica
local varía
principalmente con la altitud sobre el nivel del mar. Existen numerosos gráficos en donde se puede obtener tal variación, aquí se presenta la figura 5.9, la cual da la variación de la presión atmosférica con la altitud sobre el nivel del mar, así como la temperatura de ebullición del agua para el mismo rango de altitudes. Sin embargo, para fines prácticos, y cuando no se disponga de un grafico como el de la figura 5.9 conviene recordar la siguiente regla, la cual puede aplicarse con muy poco margen de error: La expresión atmosférica local disminuye 25.4 mm (10``) de mercurio por cada 305 m (1000 pies) sobre el nivel del mar. Obviamente esta disminución a partir del valor de la presión atmosférica normal o estándar que, como se vio anteriormente, es de 760 mm de mercurio. Además, existen algunas fórmulas empíricas bastante confiables, como la propuesta por la Comisión Internacional de la Navegación Aérea, la cual expresa que:
288 0.0065Z 288
2.256
P = 1013.2
0 Z 12000m (5.26) Válida para
Donde: P= presión atmosférica local en milibares Z = Altitud sobre el nivel del mar en metros.
Página 30
*⁴
Página 31
1.2.3 DISPOSITIVOS DE MEDICIÓN
Barómetros -> es un aparato que se usa para medir la presión atmosférica. Consiste de un tubo de vidrio cerrado en un extremo y lleno de mercurio, cuya longitud es superior a 762 mm y el cual tiene una escala reglada en mm para poder medir en ella la altura alcanzada por el mercurio dentro del tubo. El tubo se coloca verticalmente con el extremo abierto sumergido en una cubeta llena de mercurio, la cual está abierta y en contacto con la atmósfera. En el espacio libre dentro del tubo y por encima del mercurio hay vapor de mercurio a una presión correspondiente a la presión de vapor del mercurio.
La altura (h) de la columna de mercurio, con respecto al nivel de la cubeta se denomina “cabeza”:
y corresponde a una presión medida en términos de la longitud de la columna de fluido. Es equivalente al peso por unidad de área en la base de la columna. Página 32
Un barómetro funciona usando el Principio de Pascal. La atmósfera ejerce una fuerza (su peso) sobre el área A de la superficie del mercurio dentro de la cubeta, de manera que la presión ejercida se transmite por todo el fluido dentro de la cubeta y en el tubo, haciendo que el nivel de la columna de mercurio dentro del mismo ascienda o descienda hasta compensar la diferencia entre las presiones ejercidas por la atmósfera y por el peso de la columna de mercurio sobre el nivel de mercurio en la cubeta. La presión barométrica se define como la suma de la presión de vapor medida en términos de la “cabeza” (hv) y la altura de la columna de mercurio (h): hb = hv + h Esta presión varía con la altitud del lugar y las condiciones climáticas. La presión de vapor (hv) es tan pequeña que en condiciones estándar de presión y temperatura se puede considerar despreciable en comparación a la presión ejercida por la columna de mercurio. Piezómetro -> Cuando es necesario medir presiones dentro de otros fluidos en tanques, contenedores o en el mar, el barómetro no se puede usar debido a que la cubeta no es un recipiente cerrado y hermético. Para ello se utilizan otro tipo de dispositivos que también emplean columnas de fluidos, que se denominan “piezómetros”. Un piezómetro es un dispositivo que consta de una columna de vidrio y un bulbo, los cuales contienen un fluido. El bulbo está construido con un material elástico que responde a los cambios de presión externa transmitiendo ésta al fluido interior. Éste puede subir o bajar dentro del tubo de vidrio hasta alcanzar el equilibrio, dando así la medida de la presión.
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El piezómetro no puede proporcionar presiones negativas, pues debería entrar fluido externo en el interior del tubo, ni presiones muy elevadas, pues se necesitaría un tubo muy largo para poder medirlas. Manómetro -> Un piezómetro es un manómetro muy simple y limitado, pues no puede medir presiones negativas ni presiones muy elevadas. Para superar dichas limitaciones, se usan los manómetros. Son dispositivos más complicados que consisten en tubos largos y doblados que contienen uno o varios líquidos no miscibles. El diseño de cada manómetro dependerá del rango de presiones que se quiera medir. Como un primer ejemplo, tenemos el manómetro de la figura, donde el líquido tiene un peso específico 1:
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Como la presión en la superficie libre del tubo es el cero manométrico (presión atmosférica), la presión es mayor cuando “bajamos”, por lo que la presión en A, según la ecuación básica de la estática de fluidos, es: PA = 1h Cuando las presiones manométricas son muy grandes o negativas, podemos utilizar un segundo líquido de peso específico 2:
En este manómetro, la presión en A viene dada por: PA = - 1h1 + 2h2 Si el líquido cuyo peso específico 1 fuera un gas, por ejemplo, y éste se considerara que no tiene peso, la densidad de dicho gas se considera despreciable y, por la ecuación básica de la estática de fluidos, la presión sería la misma en todos los puntos dentro del gas y el término 1h1 sería despreciable. Otro tipo de manómetros es el “manómetro diferencial”. Este manómetro determina la diferencia de presiones entre dos puntos A y B cuando la presión real del sistema no se puede determinar directamente. Consta de un tubo doblado (depende del diseño) y dos bulbos, uno en cada extremo del manómetro. El procedimiento de cálculo es: Te ubicas en uno de los extremos del manómetro, por ejemplo, en el bulbo A, donde la presión es pA; Siguiendo el tubo, a pA se le añade el cambio de presión que tiene lugar desde A hasta la siguiente interface entre líquidos. Este cambio tendrá signo (+) si la interface está más abajo, pues hay Página 35
un aumento de presión, y signo (-) si la interface está más arriba, pues significa una disminución de la presión; Continuar añadiendo términos de interface a interface hasta llegar al bulbo B. El resultado debe ser igual a la presión en este punto. Un ejemplo de manómetro diferencial es el siguiente:
pA – 1h1 - 2h2 + 3h3 = pB De lo anterior se deduce que la diferencia de presiones viene dada por:
p = 1h1 + 2h2 - 3h3 *⁵
1.3 EMPUJES HIDROSTÁTICOS
A Arquímedes de Siracusa (287 – 212 A. de C) que fue uno de los más grandes hombres de ciencia de la antigua Grecia, se le considera actualmente como el Padre de la Hidrostática, ya que una de sus mayores aportaciones a la ciencia es el llamado Principio de Arquímedes, el cual se enuncia como “todo cuerpo total o parcialmente sumergido en influido experimenta un empuje vertical hacia arriba que es igual al peso del volumen de fluido desalojado”. Este empuje actúa en el centro de gravedad de la parte sumergida del cuerpo.
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DEMOSTRACIÓN TEÓRICA Al igual que el principio de Pascal, el de Arquímedes tiene varias formas de demostrarse, tanto teórica como práctica, de las cuales se expondrán algunas a continuación: Si sumergimos un prisma regular dentro de un fluido y obtenemos la resultante de las fuerzas verticales que actúan sobre este prisma por parte del fluido tenemos:
Fy P2 A P1 A................1 En donde: A = Área de la sección transversal del prisma De acuerdo con el principio de Stevin las presiones P 1 y P2 valen:
P1 Z ...........................2 P2 ( Z h).................3 Obviamente, P2 es mayor que P1 ya que el área donde actúa esta última presión se encuentra a menor profundidad en el fluido. Sustituyendo 2 y 3 en 1 tenemos:
Fy ( Z h) A ZA Fy ZA hA ZA Fy hA.........................4
Pero hA = volumen del prisma (V), entonces:
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Fy V ..........................5 El signo positivo indica que el sentido de esta fuerza es vertical hacia arriba, de acuerdo con la convención de la Fig. 6.1 Debido a lo anterior, a esta fuerza se le llama fuerza de empuje o simplemente empuje y se designa con la letra (E), por lo tanto, la ecuación 5 nos queda:
E V ................................6.1 La ecuación 6.1 es la representación matemática del principio de Arquímedes, en donde: E = empuje sobre el cuerpo
= peso específico del fluido en que se encuentra sumergido el cuerpo V = volumen desplazado del fluido Una forma alterna de representar teóricamente el principio de Arquímedes es debido al principio de la conservación del trabajo y la energía, como se ve enseguida:
E V .................................6.1 Consideramos que levantamos imaginariamente un cuerpo
0 de volumen (V) y peso específico (
) una altura (h), haciéndolo en el vacío y después dentro de
un fluido con peso específico ( ). Para el primer caso hay que efectuar un trabajo igual a
W1 0Vh . En el segundo caso, en el cual se despreciará el rozamiento, se gasta menos energía, ya que al levantar el cuerpo de volumen (V) a la misma altura (h), un volumen (V) del fluido desciende la misma altura. Por esta razón, el trabajo necesario para levantar el cuerpo en el
W2 0Vh Vh segundo caso es igual a:
. Interpretando la cantidad de trabajo que restamos (
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Vh ), podemos decir, que en comparación con el vacío, dentro del fluido actúa una fuerza
F V complementaria
que facilita el ascenso del cuerpo. Esta fuerza es precisamente el
empuje, por lo tanto: Que es la misma ecuación obtenida anteriormente.
DEMOSTRACIÓN PRÁCTICA
Se cuelga un cilindro (I) y un cubo (II) de igual volumen del brazo izquierdo de una balanza. Ambos se equilibran con la carga o contrapeso III. Supongamos que ahora sumergimos el cilindro (I) dentro de un líquido. Debido a esto, el brazo izquierdo de la balanza se elevará a causa de la fuerza de empuje que actúa sobre el cilindro (I) sumergido. El equilibrio vuelve a lograrse si llenamos el cubo (II) con un volumen de agua igual al volumen del cilindro (I). Como el volumen de agua es igual al volumen del cilindro sumergido (I), entonces quiere decir que el empuje ascendente es igual al peso del líquido que llevaría el espacio ocupado por el cilindro, (ver Fig. 6.2)
Fig. 6.2 Demostración práctica del principio de Arquímedes
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RESUMEN DEL PRINCIPIO DE ARQUÍMIDES Todos los cuerpos experimentan un empuje vertical hacia arriba al estar sumergidos en un fluido, nosotros mismos, en este instante, estamos recibiendo un empuje vertical hacia arriba igual al peso específico del fluido que desalojamos (aire) por el volumen desalojado (volumen de nuestro cuerpo). Claro, nosotros estamos acostumbrados a vivir con este empuje, el cual, es despreciable en comparación con el peso de nuestro cuerpo y es bastante pequeño como para hacernos flotar en el aire. Por ejemplo, un hombre promedio, con un volumen corporal de 70 lts. Estará recibiendo, por
parte
del
aire
que
desaloja,
un
empuje
aproximadamente
igual
a:
kg E V 1.23 3 (0.07 m 3 ) 0.085kg 85 grs m , el cual es bastante pequeño. Sin embargo, si este
mismo
hombre
se
sumerge
en
agua,
entonces
el
empuje
que
recibirá
será:
kg E V 1000 3 (0.07m3 ) 70kg m , el cual ya no es despreciable, e incluso, es tan grande que hará que el hombre flote en el agua. De hecho, todos los seres humanos normales y la mayoría de los animales recibimos por parte del agua un empuje mayor a nuestro peso, y por lo tanto, al sumergirnos en ella flotamos. De la misma manera flotaríamos en cualquier líquido que tuviera un peso específico mayor que el del agua. Pero si nos sumergimos en un líquido que tenga un peso específico algo menor que el del agua no flotaríamos (sería menor que nuestro peso). Sin embargo, nuestro peso aparente dentro de esos líquidos sería menor. El empuje, de acuerdo con lo anterior, puede expresarse en forma alterna como la diferencia del peso del cuerpo en el aire y el peso aparente que tendría al estar totalmente sumergido en un fluido. Esto es: E = Wen el aire-Wen el fluido En donde:
E = empuje Wen
el aire
= peso del cuerpo en el aire
Wen
el fluido
= peso del cuerpo sumergido en un fluido
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Obviamente la condición para que esta ecuación sea válida es que el cuerpo se encuentre totalmente sumergido en un fluido. Cualquier material que su peso específico sea menor que el peso específico del fluido que le rodea (sea líquido o gas), flotará en este. Por todo de lo que ya estuvimos hablando podemos establecer que: Cualquier cuerpo que su peso sea menor o igual al peso del volumen del líquido que puede desplazarse si se sumerge en este FLOTARÁ Cualquier cuerpo que su peso sea mayor al peso del volumen de líquido que puede desplazar al sumergirse en éste se HUNDIRÁ El principio de Arquímedes, a parte de ser la base para la construcción de barcos tiene múltiples aplicaciones. *⁴
Calcular el empuje hidrostático y el centro de presión sobre una pared de ancho b=3m, de un tanque de almacenamiento de agua para los siguientes casos. A) Para el vertical con líquido de un solo lado. B) Para el inclinado con líquido en ambos lados. C) Para el vertical con líquido en ambos lados.
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A)
P=ɣ y CG área P=ɣ
10.24 3.2(3.2) =ɣ =ɣ5.12 2 2
Y=ɣ (5.12)(3)=ɣ(15.36)m³ P=1 ton/m³ (15.36) P=15.36 ton. C.P. Zk =rx²+ YG h
3.2
YG= 2 = 2 h²
rx²= 12 =
=1.6m
(3.2)² =o.85m 12
Zk=0.85+1.6=2.45m Zk=2.45m B) PARA LA INCLINADA CON LIQUIDO EN AMBOS LADOS
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Página 43
h1
Sen 30= a1 h1
a1= sen 30 ° =¿
3.2 sen 30 ° =6.4
Lado izquierdo Página 44
E1=vol. de la cuña izq. ɣh 1· h 1 A1= 2 sen 30°
ɣ h2 · b V1= 2 sen 30°
Sustituyendo datos. E1=
( 3.2 ) ( 1ton m ) (3) 3
2 sen 30°
=30.72ton
LADO DERECHO
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ɣh 2· h 2 A2= 2 sen 30°
ɣ h2 · b V2= 2 sen 30°
Sustituyendo datos. E2=
1ton ( 2.8 ) m3 (3) =23.52ton 2 sen 30 °
( )
E=E1-E2
30.72-23.52=7.2TON.
C) PARA EL VERTICAL EN AMBOS LADOS
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E1=
E2=
ɣh ² · b 2 sen 90 °
ɣh ² · b 2 sen 90 °
1 ton (3.2)² ( m ) =
(3)=15.36ton
1 ton (2.8) ² ( m ) =
(3)=11.76ton
3
2 sen 90°
3
2 sen 90 °
E=E1-E2 E=15.36-11.76=3.6ton
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La compuerta de 1.8m de diámetro puede girar alrededor de su eje horizontal C situado 10cm por debajo de la gravedad. ¿Hasta qué altura h puede ascender el agua sin que produzca un momento no equilibrado respecto de C en el sentido de las agujas del reloj?
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SOLUCION: Para obtener (h) se necesitar conocer (YG) posición del empuje hidrostático. FORMULA (YG): I
YK= YG·A
Calculo del área:
+ YG (Sotelo) I
( h + YK)= YG · A
A=
+ (YG+ h)
A=0.785(1.8)²=2.54m²
I
h + YK –YG h= YG · A YK-YG=10cm
πd² 4 = 0.785 d²
Momentos de inercia πd ₄ π (1.8)₄ I= 64 = =0.52m₄ 64
CENTRO DE GRAVEDAD DEL PROBLEMA YG+ h=0.9m+h Sustituyendo valores
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I
YK-YG= YG·A 0.52m ₄
0.10m= ( 0.9m+h )( 2.54 m2) 0.52 m²
0.10m= 2.286 m³+ 2.54 m² (2.28+2.54h)(0.10m²)=0.52m₄ 0.228m₄+0.254m³h=0.54m₄ 0.254m³h=0.52-0.228 0.254m³h=0.292m₄ 0.292m ₄ H= 0.254 m ³ =1.14m
*³
1.3.2 CENTRO DE PRESIONES
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Para sumergir totalmente en agua una colchoneta inflable necesitamos empujarla hacia abajo. Es más fácil sostener un objeto pesado dentro del agua que fuera de ella. Cuando buceamos pareciera que nos apretaran los tímpanos. Éstos y muchos otros ejemplos nos indican que un líquido en equilibrio ejerce una fuerza sobre un cuerpo sumergido. Pero, ¿qué origina esa fuerza?, ¿en qué dirección actúa?, ¿también el aire en reposo ejerce fuerza sobre los cuerpos?, ¿qué determina que un cuerpo flote o no? Éstas son algunas de las cuestiones que aborda la estática de fluidos: el estudio del equilibrio en líquidos y gases. Un fluido en reposo en contacto con la superficie de un sólido ejerce fuerza sobre todos los puntos de dicha superficie. Si llenamos de agua una botella de plástico con orificios en sus paredes observamos que los chorritos de agua salen en dirección perpendicular a las paredes. Esto muestra que la dirección de la fuerza que el líquido ejerce en cada punto de la pared es siempre perpendicular a la superficie de contacto. En el estudio de los fluidos, resulta necesario conocer cómo es la fuerza que se ejerce en cada punto de las superficies, más que la fuerza en sí misma. Una persona acostada o parada sobre una colchoneta aplica la misma fuerza en ambos casos (su peso). Sin embargo, la colchoneta se hunde más cuando se concentra la fuerza sobre la pequeña superficie de los pies. El peso de la persona se reparte entre los puntos de la superficie de contacto: cuanto menor sea esta superficie, más fuerza corresponderá a cada punto. Se define la presión como el cociente entre el módulo de la fuerza ejercida perpendicularmente a una superficie (F perpendicular) y el área (A) de ésta: En fórmulas es: p=F/A La persona parada ejerce una presión mayor sobre la colchoneta que cuando está acostada sobre ella. La fuerza por unidad de área, en cada caso, es distinta. Cuando buceamos, la molestia que sentimos en los oídos a una cierta profundidad no depende de cómo orientemos la cabeza: el líquido ejerce presión sobre nuestros tímpanos independientemente de la inclinación de los mismos. La presión se manifiesta como una fuerza perpendicular a la superficie, cualquiera sea la orientación de ésta.
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Densidad y peso específico La densidad es una magnitud que mide la compactibilidad de los materiales, es decir, la cantidad de materia ¡contenida en un cierto volumen. Si un cuerpo está hecho de determinado material, podemos calcular su densidad como el cociente entre la masa del cuerpo y su volumen: d = m/V Análogamente, se define el peso específico como el peso de un determinado volumen del material. Por lo tanto:
p=P/V
(peso dividido el volumen, pero el peso es la masa (m) por la
aceleración de la gravedad (g)) Se puede entonces escribir: p=(m.g)/V. Como vimos antes, m/V es la densidad d, entonces p=d.g Las unidades de presión que se utilizan normalmente son: Sistema
Unidad
Nombre
M.K.S.
N/m²
Pascal (Pa)
TECNICO
Kg/m²
---
C.G.S.
dina/cm²
Baría
EL PRINCIPIO DE PASCAL En las figuras se muestran dos situaciones: en la primera se empuja el líquido contenido en un recipiente mediante un émbolo; en la segunda, se empuja un bloque sólido. ¿Cuál es el efecto de estas acciones? ¿Qué diferencia un caso de otro?
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La característica estructural de los fluidos hace que en ellos se transmitan presiones, a diferencia de lo que ocurre en los sólidos, que transmiten fuerzas. Este comportamiento fue descubierto por el físico francés Blaise Pascal (1623-1662) , quien estableció el siguiente principio: Un cambio de presión aplicado a un fluido en reposo dentro de un recipiente se transmite sin alteración a través de todo el fluido. Es igual en todas las direcciones y actúa mediante fuerzas perpendiculares a las paredes que lo contienen. El principio de Pascal fundamenta el funcionamiento de las genéricamente llamadas máquinas hidráulicas: la prensa, el gato, el freno, el ascensor y la grúa, entre otras. Cuando apretamos una chinche, la fuerza que el pulgar hace sobre la cabeza es igual a la que la punta de la chinche ejerce sobre la pared. La gran superficie de la cabeza alivia la presión sobre el pulgar; la punta afilada permite que la presión sobre la pared alcance para perforarla. Cuando caminamos sobre un terreno blando debemos usar zapatos que cubran una mayor superficie de apoyo de tal manera que la presión sobre el piso sea la mas pequeña posible. Seria casi imposible para una mujer, inclusive las mas liviana, camina con tacos altos sobre la arena, porque se hundiría inexorablemente. El peso de las estructuras como las casas y edificios se asientan sobre el terreno a través de zapatas de hormigón o cimientos para conseguir repartir todo el peso en la mayor cantidad de área para que de este modo la tierra pueda soportarlo, por ejemplo un terreno normal, la presión admisible es de 1,5 Kg/cm². La Presa Hidráulica El principio de Pascal fundamenta el funcionamiento de las genéricamente llamadas máquinas hidráulicas: la prensa, el gato, el freno, el ascensor y la grúa, entre otras. Este dispositivo, llamado prensa hidráulica, nos permite prensar, levantar pesos o estampar metales ejerciendo fuerzas muy pequeñas. Veamos cómo lo hace.
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El recipiente lleno de líquido de la figura consta de dos cuellos de diferente sección cerrados con sendos tapones ajustados y capaces de res-balar libremente dentro de los tubos (pistones). Si se ejerce una fuerza (F1) sobre el pistón pequeño, la presión ejercida se transmite, tal como lo observó Pascal, a todos los puntos del fluido dentro del recinto y produce fuerzas perpendiculares a las paredes. En particular, la porción de pared representada por el pistón grande (A2) siente una fuerza (F2) de manera que mientras el pistón chico baja, el grande sube. La presión sobre los pistones es la misma, No así la fuerza! Como p1=p2 (porque la presión interna es la misma para todos lo puntos). Entonces: F1/A1 es igual F2/A2 por lo que despejando un termino se tiene que: F2=F1.(A2/A1) Si, por ejemplo, la superficie del pistón grande es el cuádruple de la del chico, entonces el módulo de la fuerza obtenida en él será el cuádruple de la fuerza ejercida en el pequeño.
La prensa hidráulica, al igual que las palancas mecánicas, no multiplica la energía. El volumen de líquido desplazado por el pistón pequeño se distribuye en una capa delgada en el pistón grande, de modo que el producto de la fuerza por el desplazamiento (el trabajo) es igual en ambas ramas. ¡El dentista debe accionar muchas veces el pedal del sillón para lograr levantar lo suficiente al paciente!
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1.3.3 EMPUJE EN SUPERFICIES PLANAS Se considera un recipiente con un líquido en reposo, donde una de sus paredes tiene una inclinación respecto a la horizontal, como se indica en la Fig. 29. Sobre esta pared se delimita una superficie de área A para la cual se desea conocer la fuerza resultante debida a la presión hidrostática, así como su punto de aplicación o centro de presiones.
La fuerza resultante sobre la superficie A será: P=∫∫A pdA=
∫∫
A
zdA
(2.14)
Página 55
Es decir, el volumen de la cuña de distribución de presiones abcd está limitada por el área A. La integral que aparece en la ecuación (2.14) es el momento estático del área respecto a la superficie libre del líquido y se puede expresar en términos del área A y de la profundidad de su centro de gravedad zG. El empuje hidrostático es entonces
P= AzG
(2.15)
Las coordenadas (xk, yk) del centro de presiones se obtienen cuando se iguala la suma de momentos estáticos de las áreas diferenciales respecto de los ejes x y y, con el producido por la fuerza resultante. Para el eje x tenemos que
P yk =∫∫ A y zdA
donde la integral representa el momento estático del volumen de la cuña de presiones respecto del eje x. De aquí se deduce que y k coincide con la ordenada de la proyección K’ del centro de gravedad S, de la cuña. Se puede dar también una interpretación distinta y para ello se substituye z=y sen en la ecuación anterior:
P yk = sen∫∫
A
y² dA
(2.16)
donde la integral del área A respecto del eje x el cual es también
Ix = ∫∫
A
y² dA = Īx + A yG²
en que Īx es el momento de inercia del área respecto de un eje centroidal 2
I X r x A, paralelo a x; Īx puede también expresarse como
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rx donde
es el radio
de giro de A respecto del eje centroidal paralelo a x por tanto, si se substituye la Ec. (2.15) en la (2.16), con zG =yG sen resulta: 2
yk
rx yG yG
(2.17) 2
rx yk yG yG Obsérvese que el centro de presiones se encuentra por debajo del centro de gravedad del área. Aunque tiene importancia secundaria, se puede calcular de forma análoga a xk:
P xk = sen∫∫ A x y dA La integral de esta ecuación representa el producto de inercia I xy del área respecto del sistema de ejes x-y; por lo tanto
XK
I XY (2.18) yG A
Generalmente, las superficies sobre las que se desea calcular el empuje hidrostático son simétricas respecto de un eje paralelo a y. Esto hace que Ixy = 0 y que el centro de presiones quede sobre dicho eje. Un procedimiento grafico para determinar yk se representa en la figura 2.9:
x sobre G’ se levanta una normal G’M a la superficie de altura ; la intersección de la perpendicular a la recta 01M con la superficie señala la posición de k’. *²
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1.3.4 EMPUJE EN SUPERFICIES CURVAS
Cuando es curva la superficie sobre la que se ejerce presión hidrostática, ésta se puede proyectar sobre un sistema triortogonal de planos coordenados, convenientemente dispuesto, de manera que uno de ellos coincida con la superficie libre del líquido. Así, se procede a calcular el empuje hidrostático por separado sobre cada proyección. Si los planos de las coordenadas x-z y y-z son verticales y el eje x-y coincide con la superficie del líquido (Fig. 2.15), las componentes del empuje hidrostático sobre la superficie curva 1,2,3,4, son:
Px =∫∫
Ax
z dAx = (zG) x Ax
(2.20a)
Py =∫∫
Ay
z dAy = (zG) y Ay
(2.20b)
Pz =∫∫
Az
z dAz = (zG) z Az
(2.20c)
donde Ax, Ay, Az, son las áreas de las proyecciones de la superficie sobre los tres planos de coordenadas; (zG) x y (zG) y la profundidad del centro de gravedad de dichas proyecciones y zG la profundidad del centro del centro de gravedad de la superficie curva en el espacio. La Ec. (2.20c) indica que Px es igual al peso de la columna coincidente con su centro de gravedad (Fig. 2.15a). En la misma forma, las coordenadas del centro de presiones sobre cada proyección dela superficie curva son (Fig. 2.15a): Para la proyección Ax: (zk) x = Iy / (zG) x Ax ;
yk = Iyz /(zG) x Ax
(2.21a)
xk = Ixz /(zG) y Ay
(2.21b)
Para la proyección Ay: (zk) y = Ix / (zG) y Ay ; donde: Iy = momento de inercia de Ax respecto de y Iyz = producto de inercia de Ax respecto de y y z
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Ix = momento de inercia de Ay respecto de x Ixz = producto de inercia de Ay respecto de y y z Como sucede en cualquier sistema de fuerzas en el espacio, no siempre es posible obtener una fuerza resultante única sino que además puede haber un par. Al proyectar la superficie curva sobre los tres planos de coordenadas puede suceder que algunas partes de ella se superpongan, partes que se suprimen en la determinación de Px o Py, ya que se eliminan las presiones horizontales que resultan. Este es el caso de la proyección de la superficie curva ABC (de la Fig. 2.15b) sobre el plano yz, ya que resulta como proyección la superficie A’C’. En el caso de la Fig. 2.15c la componente Px del empuje hidrostático sobre la superficie AB, según la Ec. (2.20c) es igual al peso del volumen imaginario del líquido que soportaría la propia superficie. *²
Página 59
1.4 FLOTACIÓN 1.4.1 PRINCIPIO DE ARQUÍMEDES
En el caso de un cuerpo sólido cualquiera flotando en un líquido (Fig.2.19) existe un estado de equilibrio debido a que el líquido ejerce sobre el cuerpo una presión ascendente de igual magnitud que el peso propio del cuerpo, que se puede calcular a partir de los resultados del subcapítulo 2.5 (Empuje hidrostático sobre superficies curvas).
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En efecto se observa que las componentes horizontales de las fuerzas de presión hidrostática se eliminan sin existir resultante horizontal alguna. Sólo existe la componente vertical Px, la que se determina del equilibrio del cilindro horizontal dAz, limitado por la superficie A que encierra al cuerpo. Sobre el punto 1 actúa la fuerza elemental pa dAz; y sobre el punto 2 la fuerza elemental (pa + z)dAz. La resultante de las fuerzas verticales ascendentes es:
Pz =∫∫
Az
[(pa+ z) dAz – pa dAz] = ∫∫
Az
z dAz
La integral es igual al volumen us de la parte del cuerpo en flotación que se encuentra debajo de la superficie libre del líquido; esto es : Pz = us
(2.22)
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La Ec. (2.22) es la interpretación matemática del conocido principio de Arquímedes: “Todo cuerpo sumergido en un líquido experimenta un empuje vertical ascendente igual al peso del volumen de líquido desalojado”. El punto de aplicación de dicho empuje coincide con el centro de gravedad del volumen desalojado y se conoce con el nombre de centro de flotación o de carena. *² 1.4.2 CONDICIONES DE EQUILIBRIO DE CUERPOS EN FLOTACIÓN
El equilibrio de un cuerpo flotante se clasifica en tres tipos. Estable. Una fuerza actuante –por ejemplo el empuje del oleaje o del vientoorigina una inclinación lateral, pero cuando vuelve a su posición original. Este tipo de equilibrio lo tienen los cuerpos de centro de gravedad bajo. Inestable. La fuerza actuante origina el volteo brusco del cuerpo (zozobra), el cual después recupera una posición más o menos estable. Este equilibrio lo tienen aquellos cuerpos cuyo centro de gravedad es alto. Indiferente. La fuerza actuante origina un movimiento de rotación continua del cuerpo, cuya velocidad es directamente proporcional a la magnitud de la fuerza y cuya duración es la misma que la de dicha fuerza. Este tipo de equilibrio lo poseen cuerpos cuya distribución de masa es uniforme (por ejemplo la esfera con posición de flotación indiferente; el cilindro cuya flotación es indiferente con su eje longitudinal en la dirección horizontal). Las condiciones de equilibrio de un cuerpo flotante se explican con claridad utilizando como ejemplo un barco (como el mostrado en la Fig. 2.22a) cuya superficie de flotación muestra una forma simétrica con el eje longitudinal y otro transversal. La rotación alrededor del primer eje se conoce como balanceo y, del segundo como cabeceo. En la posición de equilibrio (sin fuerzas ocasionales) sobre el barco actúa el peso W ejercido en el centro de gravedad G, además del empuje ascendente del líquido B que actúa en el centro de flotación o de carena, G 1. Ambas fuerzas son iguales, colineales y de sentido contrario. Al producirse una fuerza ocasional el barco se inclina un ángulo y pasa a ocupar la posición mostrada en la Fig. 2.22b; el punto G 1 pasa ahora a la posición G1’.
Página 62
Por efecto de las cuñas sombreadas – una que se sumerge y otra que emerge por encima de la línea de flotación- se origina un movimiento producido por las fuerzas F1 y F2. El empuje ascendente total B, en su nueva posición G1’, es la resultante de B en su posición original y las fuerzas F 1= F2 por efecto de las cuñas. El momento de la fuerza resultante con respecto a G 1 será igual a la suma algebraica de los momentos de sus componentes, por lo cual se cumple que n = F1 f / B
(2.23)
Al elemento de volumen: y dA = x tan dA. Corresponde un momento de desequilibrio dM = x² dA tan ; el momento de la fuerza B con respecto a = es entonces: F1 f =tan ∫∫A x² dA = tan z
(2.24)
donde z representa el momento de inercia del área de la sección del barco a nivel de la superficie de flotación ab con respecto al eje longitudinal z del mismo que pasa por 0. Substituyendo la Ec. (2.24) en la Ec. (2.23) resulta que n =tan z / B además, siendo B = u0, donde
u0 es
el volumen desplazado por el barco, se
obtiene n =tan z /
u0
(2.25)
El par de fuerzas B y W producen un momento M1 = Wh sen, que tratara de volver al barco a su posición original o de voltearlo más, hasta hacerlo zozobrar. Para predecir el comportamiento del barco es importante conocer la posición del punto m, de intersección de B y G1, con el eje y del barco inclinado; punto que se denomina metacentro y la altura metacéntrica se indica con h. A medida que h aumenta es más estable la flotación del cuerpo, es decir, más rápidamente tratará de recobrar su posición original. Página 63
El equilibrio es estable si el punto m queda arriba del punto G (h>0) y es inestable si m queda debajo de G; por tanto, la estabilidad del barco exige que sea h>0, esto es:
- h0 = tan Iz - h0 > 0 sen sen v0
h=n
(2.26)
Siendo pequeño, sen ≈ tan y entonces h< n
(2.27a)
sen
h > Iz
(2.27b)
v0
Las alturas metacéntricas empleadas, en el diseño de barcos son: para barcos de vela. 0.90 a 1.50 m; para barcos de guerra, 0.75 a 1.30 m para barcos cargueros, 0.60 a 0.90 m; y para barcos de pasajeros, 0.45 a 0.60 m. El área de la superficie a nivel de la línea de flotación vale: A= βLB donde
B
ancho máximo del barco
Página 64
L
longitud máxima del barco
β
coeficiente que para pontones varía entre 0.80 y 0.95; y para la mayoría de barcos cargueros; entre 0.75 y 0.85.
Cuando la inclinación del barco se debe a una carga asimétrica Q, como se indica en la Fig. 2.22c cuya condición de equilibrio es con pequeña, se tiene que: Bh = Q x
l
y la altura metacéntrica vale h= Q B
l
Página 65
*²
Referencias bibliográficas: *1.- L. Streetter, Victor – Wylie, E. Benjamin Mecánica de los fluidos. EDITORIAL MC GRAW-HILL
*2.- Sotelo Ávila, Gilberto
Hidráulica General VOLUMEN I Fundamentos
EDITORIAL LIMUSA, S.A. DE C.V.
*3.- Apuntes tomados en la clase Curso de Verano 2012 Hidráulica I
*4.- http://es.scribd.com/doc/9125528/Documento-a-Entregar Página 66
*5.- http://definicion.de/presion-hidrostatica/
Página 67
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