unidad 1 Fundamentos de ingeniería económica

unidad 1 Fundamentos de ingeniería económica,valor del dinero a través del tiempo y frecuencia de capitalización de interes unidad 1 Fundamentos de ingeniería económica, valor del dinero a través del tiempo y frecuencia de capitalización de interés. interés . Subtemas

1.1 Importancia de la ingeniería económica. 1.1.1 La ingeniería económica en la toma de decisiones. 1.1.2 Tasa de interés y tasa de rendimiento. 1.1.3 Introducción a las soluciones por computadora. 1.1.4 Flujos de efectivo: estimación y diagramación. 1.2 El valor del dinero a través del tiempo. 1.2.1 Interés simple e interés compuesto. 1.2.2 Concepto de equivalencia. 1.2.3 Factores de pago único. 1.2.4 Factores de Valor Presente y recuperación de capital. 1.2.5 Factor de fondo de amortización y cantidad compuesta. 1.3 Frecuencia de capitalización de interés. 1.3.1 Tasa de interés nominal y efectiva. 1.3.2 Cuando los periodos de interés coinciden con los periodos de pago. 1.3.3 Cuando los periodos de interés son menores que los periodos de pago. 1.3.4 Cuando los periodos de interés son mayores que los periodos de pago. 1.3.5 Tasa de interés efectiva para capitalización continúa. Investigación de la unidad 1

1.1.

Importancia de la Ingeniería Económica Cuan Cuando do se requ requie iere ren n inver inversio sione nes s en capi capital tal pa para ra eq equi uipo pos, s, mat ate eria riales les y man ano o de obra bra a fin fin de lle llevar var a cab cabo dicha ichas s alte altern rnat ativ ivas as y se invo involu lucr cra a algu alguna na clas clase e de acti activi vida dad d de inge ingeni nier ería ía,, las las té técn cnica icas s de la inge ingeni nier ería ía econ económ ómica ica pued pueden en utilizarse utilizarse para ayudar ayudar a determinar determinar cual es la mejor mejor de ellas. Usualmente Usualmente los valores valores monetarios monetarios son estimativos estimativos futuros de lo que sucedería sin uno u otra alternativa se llevara a cabo.

Dichos Dichos estima estimativo tivos s se basan basan en hecho hechos, s, experie experiencia ncias, s, buen buen  juicio y comparació comparación n con otros proyectos proyectos similares. similares.

La ingeniería económica le permite a usted tener en cuenta el hecho de que “El dinero hace dinero”. Un diseño de Ingeniería pued puede e ser ser lo mejo mejorr posib posible le,, pe pero ro si no es econ económ ómica icame mente nte comp competi etitiv tivo, o, dicho dicho dise diseño ño se cons constru truirá irá.. Las Las de deci cisio sione nes s de diseño deben tener un análisis económico para asegurar que el producto pueda se manufacturado económicamente y con buen calid lidad. La imp implem lementa taci ció ón deta talllad lada y los los plan lanes de integración deben analizarse económicamente. La importancia de la ingeniería económica Radica Radi ca en el inst instru rum ment nta al que que le propo roporc rcio ion na al ag age ente econó conóm mico ico pa para ra tom tomar o sele selecc ccio ion nar las las de deci cisi sio ones más racion racionale ales. s. Práctic Prácticam amente ente a diario diario se toman toman de decisio cisiones nes que afectan el futuro. Las opciones que se tomen cambian la vida de las personas poco y algunas veces considerablemente. Por ejemplo, la compra en efectivo de una nueva camisa aumenta la selección de ropa del comprador cuando se viste cada día y reduce la suma de dinero que lleva consigo en el momento. Por otra parte, el comprar un nuevo automóvil y suponer que un préstamo para automóvil nos da opciones nuevas de trans transpo porte rte,, pued puede e caus causar ar una una redu reducc cció ión n signi signifi fica cativ tiva a en el efec ef ecti tivo vo disp dispo onibl nible e a med edid ida a que que se ef efe ectú ctúan los los pa pago gos s mensuales. En ambos casos, los factores económicos y no económicos, lo mismo que los factores tangibles e intangibles son importantes en la decisión de comprar la camisa o el automóvil. Los Los indiv individu iduos os,, los los prop propiet ietar ario ios s de pe pequ queñ eños os ne nego gocio cios, s, los los pres presid iden ente tes s de gran grande des s corpo corpora racio cione nes s y los los dirig dirigen entes tes de agen ag encia cias s gube gubern rnam amen ental tales es se en enfr fren entan tan rutin rutinar ariam iamen ente te al

desafío de tomar decisiones significativas al seleccionar una alternativa sobre otra. Éstas son decisiones de cómo invertir en la mejor forma los fondos, o el capital, de la compañía y sus propietarios. El monto del capital siempre es limitado, de la misma sma manera que en general ral es limit imita ado el efectivo ivo disp dispon onib ible le de un indi indivi vidu duo o. Esta Estas s de deci cisi sion ones es de ne nego goci cios os cambiarán invariablemente el futuro, con la esperanza de que sea sea pa para ra mejo mejora rar. r. Por Por lo norm normal, al, los los fa facto ctore res s cons consid idera erado dos s pued pueden en ser, ser, una una vez vez más, más, econ económ ómico icos s y no econ económ ómico icos, s, lo mismo que tangibles e intangibles. Sin embargo, cuando las corporaciones y agencias públicas seleccionan una alternativa sobr sobre e otra otra,, los los aspec aspecto tos s fina financ ncie iero ros, s, el reto retorn rno o de dell capit capital al invertido, las consideraciones sociales y los marcos de tiempo con frecuencia adquieren mayor importancia que los aspectos correspondientes a una selección individual. 1.1.1. La Ingeniería Económica en la Toma de Decisiones Prác Práctic ticam amen ente te a diario diario se toma toman n de deci cisio sione nes s que que af afec ectan tan el futuro futu ro.. Las Las opci opcion ones es que que se tome tomen n cam cambian bian la vida vida de las las pers pe rso ona nas s poco poco y algu algun nas vece veces s con conside sidera rabl blem emen ente te.. Por Por ejemplo, la compra en efectivo de una nueva camisa aumenta la selección de ropa del comprador cuando se viste cada día y reduce la suma de dinero que lleva consigo en el momento. Por otra parte, el comprar un nuevo automóvil y suponer que un préstamo para automóvil nos da opciones nuevas de trans transpo porte rte,, pued puede e caus causar ar una una redu reducc cció ión n signi signifi fica cativ tiva a en el efecti efec tivo vo disp dispo onibl nible e a med edid ida a que que se ef efe ectú ctúan los los pa pago gos s mens mensua uales les.. En ambo ambos s caso casos, s, los los fa facto ctores res econ económ ómico icos s y no económicos, lo mismo que los factores tangibles e intangibles son son impo import rtan ante tes s en la de deci cisi sión ón de comp compra rarr la cami camisa sa o el automóvil. La gente toma decisiones; los computadores, las metodologías y otras herramientas no lo hacen. Las técnicas y los modelos

de ingeniería económica ayudan a la gente a tomar decisiones. Puesto que las decisiones afectan lo que se realizará, el marco de tiemp tiempo o de la inge ingeni nier ería ía econ económ ómica ica es ge gene neral ralme ment nte e el futuro. Por consiguiente, los números utilizados en un análisis de ingeniería económica son las mejores estimaciones de lo que se espera que ocurra. Es común incluir luir resulta tad dos en un anális lisis de hechos observa rvados. Éste utili tiliz za los los métod todos de la ing ingenierí iería a económica para analizar el pasado, puesto que no se toma una decisión de seleccionar una alternativa (futura) sobre otra. En lugar de ello, el análisis explica o caracteriza los resultados. Por ejemplo, una corporación puede haber iniciado una división de pedidos por correo hace 5 años. Ahora ésta desea conocer el retorno real sobre la inversión (RSI) o la tasa de retorno (TR) experimentada por esta división. El análisis de resultados y la decisión de alternativas futuras se consideran el dominio de la ingeniería económica. ¿Cuál es el papel de la ingeniería económica en la toma de decisiones?

Un proced procedimi imiento ento muy muy popula popularr utiliza utilizado do para para consid considera erarr el desa de sarr rrol ollo lo y sele selecc cció ión n de alte altern rnat ativ ivas as es el de deno nom minad inado o enfo en foqu que e de solu soluci ción ón de pro problem blemas as o proc proces eso o de toma toma de deci de cisi sio ones. Los Los pasos sos ha hab bitua ituale les s en el enfoq foque son son los los siguientes: Pasos en la solución de problemas

Entender el problema y la meta. Reunir información relevante. Definir las soluciones alternativas. Evaluar cada alternativa. Seleccionar la mejor alternativa utilizando algunos criterios. Implementar la solución y hacer seguimiento a los resultados.

1.1.2 Tasa de Interés y Tasa de Rendimiento Tasa de interés Es el porcentaje al que está invertido un capital en una unidad de tiempo, determinando lo que se refiere como "el precio del dinero en el mercado financiero". Tasa de interés. La tasa de interés podría definirse de manera concisa y efectiva como el precio que debo pagar por el dinero. Dicho de otro modo: si pido dinero prestado para llevar adelante una compra o una operación financiera, la entidad bancaria o la empresa que me lo preste me cobrará un adicional por el simple hecho de haberme prestado el dinero que necesitaba. Este adicional es lo que conocemos como tasa de interés. La tasa de interés se expresa en puntos porcentuales por un motivo evidente, y es que cuanto más dinero me presten más deberé pagar por el préstamo. Las tasas de interés en la banca En el contexto de la banca se trabaja con tasas de interés distintas: Tasa de interés activa: Es el porcentaje que las instituciones bancarias, de acuerdo con las condiciones de mercado y las disposiciones del banco central, cobran por los diferentes tipos de servicios de crédito a los usuarios de los mismos. Son activas porque son recursos a favor de la banca. Tasa de interés pasiva: Es el porcentaje que paga una institución bancaria a quien deposita dinero mediante cualquiera de los instrumentos que para tal efecto existen. Tasa de interés preferencial: Es un porcentaje inferior al "normal" o general (que puede ser incluso inferior al costo de fondeo establecido de acuerdo a las políticas del Gobierno) que se cobra a los préstamos destinados a actividades específicas que se desea promover ya sea por el gobierno o una institución financiera. Por ejemplo: crédito regional selectivo, crédito a

pequeños comerciantes, crédito a ejidatarios, crédito a nuevos clientes, crédito a miembros de alguna sociedad o asociación, etc. Tasa de rendimiento Tasa de rendimiento. Tasa esperada para una inversión determinada. Porcentaje de beneficio del capital invertido en una determinada operación Tasa de rendimiento: Porcentaje que, aplicado al monto de inversión. Muestra la ganancia de la inversión. Tasa de rendimiento interna (TRI): Es la tasa que se gana en una proposición de inversión, siendo la tasa de interés la que corresponde con la inversión inicial (1) con el valor actual (VA) de futuras entradas de efectivo, es decir, a la TRI, 1 = VA, o bien, VAN (valor actual neto) = 0. De acuerdo con el método de la tasa de rendimiento interna, la regla de decisión es: Aceptar el proyecto si la TRI excede el costo de capital; de otra manera, rechazar dicha proposición. 1.1.3 Introducción a las soluciones por Computadoras La solución de un problema por computadora, requiere de siete pasos, dispuestos de tal forma que cada uno es dependiente de los anteriores, lo cual indica que se trata de un proceso complementario y por lo tanto cada paso exige el mismo cuidado en su elaboración. Los siete pasos de la metodología son los siguientes: Definición del problema Análisis de la solución Diseño de la solución Codificación Prueba y Depuración Documentación Mantenimiento

Definición del problema. Es el enunciado del problema, el cual

debe ser claro y completo. Es fundamental conocer y delimitar por completo el problema, saber que es lo se desea realice la computadora, mientras esto no se conozca del todo, no tiene caso continuar con el siguiente paso.  Análisis de la solución. Consiste en establecer una serie de

preguntas acerca de lo que establece el problema, para poder determinar si se cuenta con los elementos suficientes para llevar a cabo la solución del mismo, algunas preguntas son: ¿Con qué cuento? Cuáles son los datos con los que se va a iniciar el proceso, qué tenemos que proporcionarle a la computadora y si los datos con los que cuento son suficientes para dar solución al problema. ¿Qué hago con esos datos? Una vez que tenemos todos los datos que necesitamos, debemos determinar que hacer con ellos, es decir que fórmula, cálculos, que proceso o transformación deben seguir los datos para convertirse en resultados. ¿Qué se espera obtener? Que información deseamos obtener con el proceso de datos y de que forma presentarla; en caso de la información obtenida no sea la deseada replantear nuevamente un análisis en los puntos anteriores. Es recomendable que nos pongamos en el lugar de la computadora y analicemos que es lo que necesitamos que nos ordenen y en que secuencia para producir los resultados esperados. Diseño de la solución. Una vez definido y analizado el problema, se procede a la creación del algoritmo (Diagrama de flujo ó pseudocódigo), en el cual se da la serie de pasos ordenados que nos proporcione un método explícito para la solución del problema. Es recomendable la realización de pruebas de escritorio al algoritmo diseñado, para determinar su confiabilidad y

detectar los errores que se pueden presentar en ciertas situaciones. Estas pruebas consisten en dar valores a la variable e ir probando el algoritmo paso a paso para obtener una solución y si ésta es satisfactoria continuar con el siguiente paso de la metodología; de no ser así y de existir errores deben corregirse y volver a hacer las pruebas de escritorio al algoritmo. Codificación. Consiste en escribir la solución del problema (de acuerdo al pseudocódigo); en una serie de instrucciones detalladas en un código reconocible por la computadora; es decir en un lenguaje de programación (ya sea de bajo o alto nivel), a esta serie de instrucciones se le conoce como programa. Prueba y Depuración. Prueba es el proceso de identificar los

errores que se presenten durante la ejecución del programa; es conveniente que cuando se pruebe un programa se tomen en cuenta los siguientes puntos: - Tratar de iniciar la prueba con una mentalidad saboteadora, casi disfrutando la tarea de encontrar un error. - Sospechar de todos los resultados que arroje la solución, con lo cual se deberán verificar todos. - Considerar todas las situaciones posibles, normales y aún las anormales. La Depuración consiste en eliminar los errores que se hayan detectado durante la prueba, para dar paso a una solución adecuada y sin errores. Documentación. Es la guía o comunicación escrita que sirve

como ayuda para usar un programa, o facilitar futuras modificaciones. A menudo un programa escrito por una persona es usado por muchas otras, por ello la documentación es muy importante; ésta debe presentarse en tres formas: EXTERNA, INTERNA y AL USUARIO FINAL.

Consiste en los comentarios o mensajes que se agregan al código del programa, que explican las funciones que realizan ciertos procesos, cálculos o fórmulas Documentación

Interna.

para el entendimiento del mismo. Documentación Externa. También conocida como Manual Técnico,

está

integrada

por

los

siguientes

elementos:

Descripción del Problema, Nombre del Autor, Diagrama del Flujo y/o Pseudocódigo, Lista de variables y constantes, y Codificación del Programa, esto con la finalidad de permitir su posterior adecuación a los cambios. Manual del Usuario. Es la documentación que se le proporciona

al usuario final, es una guía que indica el usuario como navegar en el programa, presentando todas las pantallas y menús que se va a encontrar y una explicación de los mismos, no contiene información de tipo técnico. Mantenimiento. Se lleva a cabo después de determinado el programa, cuando se ha estado trabajando un tiempo, y se detecta que es necesario hacer un cambio, ajuste y/o complementación al programa para que siga trabajando de manera correcta. Para realizar esta función, el programa debe estar debida mente documentado, lo cual facilitará la tarea. Estoy invitando a todos los maestros y profesionales de esta área y/o carrera a colaborar construyendo este sitio dedicado a esta hermosa y útil profesión aportando el material apropiado a cada uno de los más de 1,000 temas que lo componen. 1.1.4 Flujo de Efectivo: Estimación y Diagramación El concepto de flujo de efectivo se refiere al análisis de las entradas y salidas de dinero que se producen (en una empresa, en un producto financiero, etc.), y tiene en cuenta el importe de esos movimientos, y también el momento en el que se producen.

Generalmente el diagrama de flujo de efectivo se representa gráficamente por flechas hacia arriba que indican un ingreso y flechas hacia abajo que indican un egreso. Estas flechas se dibujan en una recta horizontal cuya longitud representa la escala total de tiempo del estudio que se esté haciendo. Esta recta se divide en los periodos de interés del estudio, la duración de estos periodos debe ser la misma que el periodo en el cual se aplica la tasa de interés. El propósito básico de la estimación de los flujos de efectivo es proporcionar información sobre los ingresos y pagos efectivos de una entidad comercial durante un período contable. Además, pretende proporcionar información acerca de todas las actividades de inversión y financiación de la empresa durante el período. Así, un estado de flujo de efectivo debe ayudar a los inversionistas, acreedores y otros usuarios en la evaluación de aspectos tales como: a) La capacidad de la empresa para generar flujo efectivo positivo en períodos futuros. b) La capacidad de la empresa para cumplir con sus obligaciones. c) Razones para explicar diferencias entre el valor de la utilidad neta y el flujo de efectivo neto relacionado con la operación. d) Tanto el efectivo como las transacciones de inversión de financiación que no hacen uso de efectivo durante el período. Las empresas muestran por separado los flujos de efectivos relacionados con actividades de operación, de inversión y de financiación.

Los flujos efectivos relacionados con las actividades de inversión incluyen: Ingresos de efectivo:Efectivo producto de la venta de inversiones o activo fijo. Efectivo producto del recaudo de valores sobre préstamos. Pagos

efectivos:

Pagos para adquirir inversiones Valores anticipados a prestatarios. Los

flujos

efectivos

clasificados

y

como

activos

actividades

fijos.

de

Ingreso de efectivo: Productos de préstamos obtenidos a corto y largo plazo. Efectivos recibidos de propietarios (ejemplo, por emisión de acciones). financiación,

Pagos

incluyen:

de

efectivo:

Pagos de valores prestados (excluye pagos de intereses). Pagos a propietarios, como dividendos en efectivo. Generalmente el diagrama de flujo de efectivo se representa gráficamente por flechas hacia arriba que indican un ingreso y flechas hacia abajo que indican un egreso. Estas flechas se dibujan en una recta horizontal cuya longitud representa la escala total de tiempo del estudio que se esté haciendo. Esta recta se divide en los periodos de interés del estudio, la duración de estos periodos debe ser la misma que el periodo en el cual se aplica la tasa de interés. Los esquemas de flujo de efectivo se clasifican en: Ordinarios No ordinarios Anualidad Flujo mixto

1.2 El Valor del Dinero a Través del Tiempo El valor del dinero en el tiempo es un concepto basado en la premisa de que un inversionista prefiere recibir un pago de una suma fija de dinero hoy, en lugar de recibir el mismo monto en una fecha futura. En particular, si se recibe hoy una suma de dinero,

se

puede

obtener

interés

sobre

ese

dinero.

Adicionalmente, debido al efectivo de inflación (si esta es positiva), en el futuro esa misma suma de dinero perderá poder de compra. Todas la formulas relacionadas con este concepto están basadas en la misma fórmula básica, el valor presente de una suma futura de dinero, descontada al presente. Por ejemplo, una suma FV a ser recibida dentro de un año debe ser descontada (a una tasa apropiada i) para obtener el valor presente, PV. Algunos de los cálculos comunes basados en el valor tiempo del dinero son: Valor presente (PV) de una suma de dinero que será recibida en el futuro. Valor presente de una anualidad (PVA) es el valor presente de un flujo de pagos futuros iguales, como los pagos que se hacen sobre una hipoteca. Valor presente de una perpetuidad es el valor de un flujo de pagos perpetuos, o que se estima no serán interrumpidos ni modificados nunca. Valor futuro (FV) es el valor futuro de un flujo de pagos (anualidades), donde se asume que los pagos se reinvierten a una determinada tasa de interés. De todas las técnicas que se utilizan en finanzas ninguna es más importan te como la del valor del dinero a través del tiempo o análisis de flujo de efectivo descontado (DCF). La línea del tiempo es una herramienta que se utiliza en el análisis del valor del dinero a través del tiempo, es una

representación gráfica que se usa para mostrar la periodicidad de los flujos de efectivo. Flujo de salida es el depósito, un costo o cantidad pagada Flujo de entrada, son los ingresos en una fecha determinada FVn = PV (1+i)n 1.2.1 Interés Simple e Interés Compuesto El interés simple, es pagado sobre el capital primitivo que permanece invariable. En consecuencia, el interés obtenido en cada intervalo unitario de tiempo es el mismo. Es decir, la retribución económica causada y pagada no es reinvertida, por cuanto, el monto del interés es calculado sobre la misma base. Interés simple, es también la ganancia sólo del Capital (principal, stock inicial de efectivo) a la tasa de interés por unidad de tiempo, durante todo el período de transacción comercial. INTERES SIMPLE. Es la cantidad que resulta de multiplicar la cantidad de dinero prestada por la vida del préstamo y por la tasa de interés. FORMULA I=niP Donde: I = Cantidad total de Interés Simple n = Periodo del préstamo (tiempo) o (vida del préstamo) i = Tasa de interés (expresada en decimal) P = Principal (cantidad de dinero prestada) NOTA: Tanto n como i se refieren a una misma unidad de tiempo (generalmente un año). Cuando se hace un préstamo con interés simple no se hace pago alguno sino hasta el final del periodo del préstamo; en este momento se pagan tanto el principal como el interés acumulado; por lo que la cantidad total que se debe puede expresarse como:

F=P+I = P (1+ni) Donde: F = Cantidad futura, o bien: cantidad a n periodos del presente, que es equivalente a P con una tasa de interés i Interés Compuesto

El concepto y la fórmula general del interés compuesto es una potente herramienta en el análisis y evaluación financiera de los movimientos de dinero. El interés compuesto es fundamental para entender las matemáticas financieras. Con la aplicación del interés compuesto obtenemos intereses sobre intereses, esto es la capitalización del dinero en el tiempo. Calculamos el monto del interés sobre la base inicial más todos los intereses acumulados en períodos anteriores; es decir, los intereses recibidos son reinvertidos y pasan a convertirse en nuevo capital. Para el interés compuesto, el interés acumulado para cada periodo de interés se calcula sobre el principal más el monto total del interés acumulado en todos los periodos anteriores. Por lo tanto, el interés compuesto significa un interés sobre el interés, es decir, refleja el efecto del valor del dinero en el tiempo también sobre el interés. El interés compuesto para un periodo de tiempo se calcula: Interés = (principal + todo el interés causado) (tasa de interés) Ejemplo: Si se obtiene un préstamo de $1000 al 5% anual compuesto, calcule la suma total a pagar después de los tres años. Interés año 1 = $1000 * 0.05 = $50 Suma después del año 1 = $1050 Interés año 2 = $1050 * 0.05 = $52.50 Suma después del año 2 = $1102.50 Interés año 3 = $1102.50 * 0.05 = $55.13

Suma después del año 3 = $1157.63 1.2.2 Concepto de Equivalencia Es un concepto de mucha importancia en el ámbito financiero; utilizado como modelo para simplificar aspectos de la realidad. Dos sumas son equivalentes (no iguales), cuando resulta indiferente recibir una suma de dinero hoy (VA - valor actual) y recibir otra diferente (VF - valor futuro) de mayor cantidad transcurrido un período; expresamos este concepto con la fórmula general del interés compuesto: Fundamental en el análisis y evaluación financiera, esta fórmula, es la base de todo lo conocido como Matemáticas Financieras. 1.2.3 Factores de Pago Único Factor de cantidad compuesta de un pago único: F/P = ( 1 + i )n → ( F/P, i%, n ) Factor de Valor Presente de un Pago Único P/F = (F/P)

−1

= (1 + i ) − n → ( P/F, i%, n)

Para esta condición debemos satisfacer dos requisitos: 1) Debe utilizarse la tasa periódica para i, y 2) las unidades no deben ser las mismas que aquéllas en i. Luego, las ecuaciones de pago único pueden generalizarse de la siguiente forma: VA = VF (VA/VF), i periódica, número de períodos VF = VA (VF/VA), i periódica, número de períodos Así, para la tasa de interés del 18% anual compuesto mensualmente, podemos utilizar variedad de valores para i y los valores correspondientes de n como indicamos a continuación con algunos ejemplos: Tasa de interés efectiva i Unidades para n

1.5% mensual Meses

4.57% trimestral Trimestres 9.34% semestral Semestral 19.56% anual Años 42.95% cada 2 años Período de dos años 70.91% cada 3 años Período de tres años Los cálculos de la tasa periódica, lo hacemos aplicando la ecuación [43]. Como ejemplo desarrollaremos el proceso para la obtención de la tasa efectiva trimestral:  j = 1.5 * 3 = 4.5% (0.045); m = 3; i =? El mismo procedimiento es aplicable para la obtención de la tasa efectiva de un número infinito de unidades de n.

1.2.4 Factores de Valor Presente y Recuperación de Capital Cuando utilizamos uno o más factores de serie uniforme o gradiente, debemos determinar la relación entre el período de capitalización, PC, y el período de pago, PP. Encontramos esta relación en cada uno de los 3 casos: 1.

El período de pago es igual al período de capitalización, PP =

PC 2. El período de pago es mayor que el período de capitalización, PP > PC 3.

El período de pago es menor que el período de capitalización, PP < PC

Para los dos primeros casos PP = PC y PP > PC, debemos: a) Contar el número de pagos y utilizar este valor como n. Por ejemplo, para pagos semestrales durante 8 años, n = 16 semestres.

b) Debemos encontrar la tasa de interés efectiva durante el mismo período que n en (a). c) Operar en las fórmulas de los tres grupos de problemas sólo con los valores de n e i. Factor de Valor Presente de una Serie Uniforme P/A = (A/P) −1 = 1 − (1 + i ) – n/ i = (1 + i ) n −1 / i (1 + i ) n → (P/A, i%, n) Factor de Recuperación de Capital de una Serie Uniforme A/P = i/ 1 − (1 + i )

–n

= i (1 + i ) n / (1 + i ) n – 1 → ( A/P, i%, n)

1.2.5 Factor de Fondo de Amortización y Cantidad Compuesta Factor de Fondo de Amortización de una Serie Uniforme i A/F = (F/A) −1 = i / (1 + i ) n – 1→ ( A/F, i%, n) Factor de Cantidad Compuesta de Una Serie Uniforme F/A = (1 + i ) n – 1/ i → ( F/A, i%, n) Método de fondo de amortización de salvamento Cuando un activo tiene un valor de salvamento terminal (VS), hay muchas formas de calcular el VA. En el método del fondo de amortización de salvamento, el costo inicial P se convierte primero en una cantidad anual uniforme equivalente utilizando el factor A/P. Dado normalmente, su carácter de flujo de efectivo positivo, después de su conversión a una cantidad uniforme equivalente a través del factor A/F, el valor de salvamento se agrega al equivalente anual del costo inicial. Estos cálculos pueden estar representados por la ecuación general:

VA = -P(A/P,i,n) + VS(A/F,i,n) ; naturalmente, si la alternativa tiene cualquier otro flujo de efectivo, éste debe ser incluido en el cálculo completo de VA. 1.3 Frecuencia de Capitalización de Intereses. Frecuencia de capitalización. En un sistema de capitalización, se define la frecuencia como el número de veces que los intereses producidos se acumulan al capital para producir nuevos intereses, durante un período de tiempo. Es decir, si consideramos un período de tiempo anual (n = 12 meses), la frecuencia será 2 si los intereses se capitalizan semestralmente, 3 si se capitalizan cuatrimestralmente, 4 si se capitalizan trimestralmente, 12 si se capitalizan mensualmente. Generalizando la frecuencia de capitalización m, se dará cuando los intereses se capitalicen n/m. Las transacciones financieras generalmente requieren que el interés se capitalice con más frecuencia que una vez al año (por ejemplo, semestral, trimestral, bimestral, mensual, diariamente, etc. Por ello se tienen dos expresiones para la tasa de interés: Tasa de interés nominal y tasa de interés efectiva. 1.3.1 Tasa de Interés Nominal y Efectiva Tasa de interés nominal. Se refiere al regreso de los ahorros en términos de la cantidad de dinero que se obtiene en el futuro (un tiempo determinado) para un monto dado de ahorro reciente. La tasa efectiva anual (TEA) aplicada una sola vez, produce el mismo resultado que la tasa nominal según el período de capitalización. La tasa del período tiene la característica de ser simultáneamente nominal y efectiva.

Tasa de interés nominal ( r ), se expresa sobre una base anual. Es la tasa que generalmente se cita al describir transacciones que involucran un interés. Tasa Nominal La tasa nominal es el interés que capitaliza más de una vez por año. Esta tasa convencional o de referencia lo fija el Banco Federal o Banco Central de un país para regular las operaciones activas (préstamos y créditos) y pasivas (depósitos y ahorros) del sistema financiero. Es una tasa de interés simple. Siendo la tasa nominal un límite para ambas operaciones y como su empleo es anual resulta equivalente decir tasa nominal o tasa nominal anual. La ecuación de la tasa nominal es:  j = tasa de interés por período x número de períodos Tasa de interés Efectiva Tasa de interés efectiva ( i ) es la tasa que corresponde al periodo real de interés . Se obtiene dividiendo la tasa nominal ( r ) entre ( m ) que representa el número de períodos de interés por año: i= r / m La tasa efectiva es aquella a la que efectivamente está colocado el capital. La capitalización del interés en determinado número de veces por año, da lugar a una tasa efectiva mayor que la nominal. Esta tasa representa globalmente el pago de intereses, impuestos, comisiones y cualquier otro tipo de gastos que la operación financiera implique. La tasa efectiva es una función exponencial de la tasa periódica.

Las tasas nominales y efectivas, tienen la misma relación entre sí que el interés simple con el compuesto (Capítulo 3). Las diferencias están manifiestas en la definición de ambas tasas. Con el objeto de conocer con precisión el valor del dinero en el tiempo es necesario que las tasas de interés nominales sean convertidas a tasas efectivas. Por definición de la palabra nominal «pretendida, llamada, ostensible o profesada» diríamos que la tasa de interés nominal no es una tasa correcta, real, genuina o efectiva. 1.3.2 Cuando los Periodos de Interés Coinciden con los Periodos de Pago. Cuando los periodos de interés y los periodos de pago coinciden, es posible usar enforna directa tanto las fórmulas de interés compuesto desarrolladas anteriormente, así como las tablas de interés compuesto que se encuentran en todos los libros de Ingeniería Económica, siempre que la tasa de interés i se tome como la tasa de interés efectiva para ese periodo de interés. Aún más, el número de años n debe remplazarse por el número total de periodos de interés mn. Las fórmulas del interés continuo simplifican frecuentemente la solución de modelos matemáticos complejos. En todas las fórmulas anteriores hemos utilizado el convenio de fin de período para pagos globales a interés discreto. A partir de ahora, en la solución de los ejemplos y/o ejercicios utilizaremos cualquiera de estos dos métodos según el requerimiento de cada caso. Cuando el interés capitaliza en forma continua, m se acerca al infinito, la fórmula puede escribirse de forma diferente. Pero antes es necesario, definir el valor de la constante de Neper (e) o logaritmo natural que viene pre programada en la mayoría de calculadoras representado por ex.

1.3.3 Cuando los Periodos de Interés son Menores que los Periodos de Pago Cuando los periodos de interés son menores que los periodos de pago, entonces el interés puede capitalizarse varias veces entre los pagos. Una manera de resolver problemas de este tipo es determinar la tasa de interés efectiva para los periodos de interés dados y después analizar los pagos por separado. Esta parte corresponde a la relación 3, de la sección 2.3.2. Caso en que el período de pago es menor al período de capitalización (PP < PC). El cálculo del valor actual o futuro depende de las condiciones establecidas para la capitalización entre períodos. Específicamente nos referimos al manejo de los pagos efectuados entre los períodos de capitalización. Esto puede conducir a tres posibilidades: 1.

No pagamos intereses sobre el dinero depositado (o retirado) entre los períodos de capitalización. 2. Los abonos (o retiros) de dinero entre los períodos de capitalización ganan interés simple. 3.

Finalmente, todas las operaciones entre los períodos ganan interés compuesto. De las tres posibilidades la primera corresponde al mundo real de los negocios. Esto quiere decir, sobre cualquier dinero depositado o retirado entre los períodos de capitalización no pagamos intereses, en consecuencia estos retiros o depósitos corresponden al principio o al final del período de capitalización. Esta es la forma en que operan las instituciones del sistema financiero y muchas empresas de crédito. 1.3.4 Cuando los Periodos de Interés son Mayores que los Periodos de Pago.

Si los periodos de interés son mayores que los periodos de pago, puede ocurrir que algunos pagos no hayan quedado en depósito durante un periodo de interés completo. Estos pagos no ganan interés durante ese periodo. En otras palabras, sólo ganan interés aquellos pagos que han sido depositados o invertidos durante un periodo de interés completo. Las situaciones de este tipo pueden manejarse según el siguiente algoritmo: Considérense todos los depósitos hechos durante el periodo de interés como si se hubieran hecho al final del periodo (por lo tanto no habrán ganado interés en ese periodo) Considérese que los retiros hechos durante el periodo de interés se hicieron al principio del periodo (de nuevo sin ganar interés) Después procédase como si los periodos de pago y de interés coincidieran. En los casos en que el período de capitalización de un préstamo o inversión no coincide con el de pago, necesariamente debemos manipular adecuadamente la tasa de interés y/o el pago al objeto de establecer la cantidad correcta de dinero acumulado o pagado en diversos momentos. Cuando no hay coincidencia entre los períodos de capitalización y pago no es posible utilizar las tablas de interés en tanto efectuemos las correcciones respectivas. Si consideramos como ejemplo, que el período de pago (un año) es igual o mayor que el período de capitalización (un mes); pueden darse dos condiciones: 1.

Que en los flujos de efectivo debemos de utilizar los factores del 1º Grupo de problemas factores de pago único (VA/VF, VF/VA).

2.

Que en los flujos de efectivo debemos de utilizar series uniformes (2º y 3º Grupo de problemas) o factores de gradientes. 1.3.5 Tasa de Interés Efectiva para Capitalización Continúa Podemos definir que la capitalización continua es el caso límite de la situación de capitalización múltiple de cuando los periodos de interés son menores que los periodos de pago. Al fijar la tasa de interés nominal anual como r y haciendo que el número de periodos de interés tienda a infinito, mientras que la duración de cada periodo de interés se vuelve infinitamente pequeña. De la ecuación i = (1 + r / m ) m − 1 Se obtiene la tasa de interés efectiva anual con capitalización continua A medida que el periodo de capitalización disminuye el valor de m, número de periodos de capitalización por periodo de interés, aumenta. Cuando el interés se capitaliza en forma continua, m se acerca al infinito. Se utiliza la siguiente fórmula: Ejemplo: Cambiar tasa efectiva anual de 10 % a capitalización continua i = 20,10 - 1 i = 0,10517 i = 10,51 %

Ejercicio (Calculando la tasa continua)

1)

Para la tasa nominal del 18%, la tasa efectiva anual continua será:

 j = 0.18; e = 2.71828; i =? i = (2.71828)0.18 - 1 = 0.1972 TEA 2) Calcular la tasa efectiva anual y mensual continua (TEAC) para la tasa de interés de 21% anual compuesto continuamente. i =( 2.71828)0.0175-1 = 0.01765 tasa efectiva mensual continua i = (2.71828)0.21 - 1 = 0.233678 TEAC 3). Una persona requiere el retorno efectivo mínimo de 22% sobre su inversión, desea saber cuál sería la tasa mínima anual nominal aceptable si tiene lugar la capitalización continua. En este caso, conocemos i y deseamos encontrar j, para resolver la ecuación [43] en sentido contrario. Es decir, para i = 22% anual, debemos resolver para j tomando el logaritmo natural (ln). [45] ej - 1 = 0.22 ej = 1.22 ln ej = ln 1.22  j = 0.1989 (19.89%) tasa nominal La fórmula general para obtener la tasa nominal dada la tasa efectiva continua es: , aplicando al numeral (3), obtenemos:  j = ln (1.22) = 19.89% tasa nominal

Bibliografía Libro: Fundamentos de ingeniería Económica Autor: Baca, Urbina Gabriel,

Ø

Editorial: McGraw Hill.

Páginas Web: http://tiie.com.mx/tasa-de-interes/ 1 http://www.slideshare.net/sergio_ayup/unidad-1-6739129

Cuestionario de la unidad 1

1. Explique que es la Ing. Económico y la importancia de esta para los ingenieros y otros profesionistas? Para explicar que es la ingeniería Económica primero veremos su definición: DEFINICIÓN: •

Conceptos y técnicas matemáticas aplicadas en el análisis, comparación y evaluación financiera de alternativas relativas a proyectos de ingeniería generados por sistemas, productos, recursos, inversiones y equipos.

•

Es una herramienta de decisión por medio de la cual se podrá escoger  una alternativa como el más económica posible. Por ello podemos decir que en el nombre, la ingeniería económica lleva implícita su aplicación, es decir, en la industria productora de bienes y servicios. Los conceptos que se utilizan en análisis financiero, como las inversiones en bolsa de valores, son los mismos, aunque para este caso también se han desarrollado técnicas analíticas especiales. Por qué es importante la ingeniería económica?

En la vida cotidiana se toman decisiones de toda índole prácticamente a diario. Sin duda alguna, las decisiones que el individuo toma en un determinado momento y lugar, generan repercusiones que pueden afectar  en gran o pequeña medida su futuro. Al momento de tomar una decisión, el individuo toma en cuenta factores económicos y no económicos, o factores tangibles e intangibles, lo que sustenta en gran medida la decisión que vaya a seleccionar.

Dejando a un lado los factores subjetivos, el individuo toma decisiones basándose principalmente en los factores económicos que implican estas. Es ahí donde radica la importancia de la ingeniería económica. La ingeniería económica hace referencia a la determinación de los factores y criterios económicos utilizados cuando se considera una selección entre un o más opciones. Dicho de otro modo, la ingeniería económica aplica un enfoque racional para evaluar los aspectos económicos implicados en la toma de decisiones. Bibliografía: http://antiguo.itson.mx/dii/mconant/materias/ingeco/capitulo1.htm

1) Señalar la importancia de la ingeniera económica en la toma de decisiones. La toma de decisiones mejorada resulta de un proceso adaptativo; hasta donde sea posible, los resultados iníciales proyectados de la alternativa seleccionada deben compararse posteriormente con los resultados reales logrados. Deben ser evidentes dos características, la primera es que en cada una se elige entre varías alternativas, y la segunda es que todas están relacionadas con consideraciones económicas. A los ingenieros recién graduados se les asigna regularmente a proyectos de reducción de costos, y se espera que tengan conciencia de los costos en la totalidad de sus actividades. A medida que logran experiencia pueden convertirse en especialistas en ciertos terrenos de aplicación, o enfrentarse a responsabilidades más generales como gerentes. Los principiantes se ven limitados habitualmente a tomar decisiones a corto plazo, correspondientes a operaciones de política que afectan grandes cantidades de dinero, a la vez, que resultan Influenciadas por muchos factores de consecuencias futuras a largo plazo. A ambas situaciones se aplican los principios y las prácticas de la economía aplicada a la ingeniería. Bibliografía: http://antiguo.itson.mx/dii/mconant/materias/ingeco/capitulo1.htm

2) Explique que es el flujo de efectivo y su diagrama. El Estado de Flujos de Efectivo es aquel Estado Financiero que proporciona información útil que permite evaluar la capacidad de la organización para generar efectivo y equivalente de efectivo. De tal forma, esta información, previamente clasificada en actividades de operación,

inversión y financiamiento, permite analizar y planificar el uso y la administración del efectivo. Generalmente el diagrama de flujo de efectivo se representa gráficamente por flechas hacia arriba que indican un ingreso y flechas hacia abajo que indican un egreso. Estas flechas se dibujan en una recta horizontal cuya longitud representa la escala total de tiempo del estudio que se esté haciendo. Esta recta se divide en los periodos de interés del estudio, la duración de estos periodos debe ser la misma que el periodo en el cual se aplica la tasa de interés. Bibliografía: http://revistas.pucp.edu.pe/contabilidadynegocios/files/contabilidadynego cios/contabilidad-y-negocios-numero1.pdf  3) ¿Cómo debemos entender el valor del dinero a través del tiempo? La ingeniería económica tiene sus fundamentos en el valor del dinero a través del tiempo: un peso de hoy no vale más que un peso del mañana, el dinero se valoriza a través del tiempo a una tasa de interés, por lo que el prestatario después de un plazo pagara una cantidad mayor que la prestada. https://docs.google.com/viewer? a=v&q=cache:rPV6Nfl0rAEJ:docentes.uni.edu.ni/ftc/Trinidad.Perez/Docum entos_PDF/Ingenieria%2520Economica%2520Blank%2520Tarquin %25204ta%2520edicion%2520unidad %2520I.pdf+que+es+la+equivalencia+en+la+ingenieria+economica&hl=es &gl=mx&pid=bl&srcid=ADGEESjyKU8Rz4-LOZ33KOaIMYFxLHfb_OWEYV0ohYDJSTmOEccwK9SvCfv3NggLyPeBrBAeMzk  YztOyJgUdBfFG3sIUWaCS66q6Ozd0lPShkwXtFo26WR61CBFFcwmehdd7sv9_GO&sig=AHIEt bQxWVuhtdQs3VbjOOVKekSTZYgy-Q 4) Explique qué es la capitalización. Es la operación que consiste en invertir o prestar un capital, produciéndonos intereses durante el tiempo que dura la inversión o el préstamo, se llama Capitalización. Por el contrario, la operación que consiste en devolver un capital que nos han prestado con los correspondientes intereses se llama Amortización. La capitalización puede ser simple o compuesta según que el interés no se acumule (simple) o se acumule al capital al finalizar cada periodo de tiempo (compuesta). En la capitalización simple el interés no es productivo y podemos disponer de él al final de cada periodo. En la

compuesta, el interés es productivo -se une al capital para producir  intereses en el siguiente periodo- pero no podemos disponer de él hasta el final de la inversión. Bibliografía: http://centros4.pntic.mec.es/ies.santa.maria.del.carrizo/economat/capit.htm

5) Explique qué es la equivalencia. El valor del dinero en el tiempo y la tasa de interés acumulada conjuntamente genera el concepto de equivalencia esto significa que diferentes sumas de dinero en diferentes tiempos pueden tener igual valor económico. Por ejemplo si la tasa de interés es de 12% por año $100 hoy pueden ser equivalentes $112 al año. Bibliografía: http://html.rincondelvago.com/ingenieria-economica_1.html

6) Explique la diferencia entre interés simple e interés compuesto. El sistema de interés simple se caracteriza por el hecho de que los intereses producidos por el capital en el período NO se acumulan al mismo para generar intereses en el próximo período. El sistema de interés compuesto se caracteriza por el hecho de que los intereses producido por el capital en el período SE ACUMULAN al mismo para generar intereses en el próximo período. Esta es la diferencia o elemento que hace que una suma de dinero colocada a interés simple produzca un interés menor a que si fuera colocada a interés compuesto, es que en el primero los intereses producidos por el capital en el período no se acumulan al mismo para generar intereses en el próximo.

UNIDAD 2.METODOS DE EVALUACION Y SELECCION DE ALTERNATIVAS. ANALISIS DE TASA DE RENDIMIENTO. 2.1 Método del valor presente. Valor presente

En vista de que el consumo presente se valora en mayor grado que el consumo futuro, no pueden compararse directamente. Una forma de estandarizar el análisis, consiste en medir el consumo en términos de su valor presente. El valor presente es el valor actual de uno o más pagos que habrían de recibirse en el futuro. La fórmula para calcular el valor presente es la siguiente:

VP = C (1 + i)n En donde: VP = Valor presente. C = Cantidad futura. 1 = Constante. i = Tasa de interés anual. n = Periodo de capitalización, unidad de tiempo, años, meses, diario,… El valor presente es aquél que calcula el valor que una cantidad a futuro tiene en este instante, ya que si pretendemos obtener cierto valor en algún préstamo, cobro, etc., a futuro, primero se debe calcular lo que se posee imaginariamente en el presente, sin embargo, ese valor siempre va a depender de la tasa de interés anual. Ejemplo:

¿Cuánto se pagaría en este momento por el derecho a recibir $100 dentro de 1 año, con una tasa de interés del 10%? 1.- Identificar los valores: C = $100 i = 0.1 n = 1 año VP = ? 2.- Aplicar la fórmula:

VP = C

(1 + i)n

3.- Sustituir la fórmula: VP = 100

= 100 = 99.90

(1+0.1)

1.1

4.- Resultado: Por tanto, si la tasa de interés es de 10%, $99.90 es el valor presente de recibir $100 de aquí a un año, que es lo máximo que estaría dispuesto a pagar hoy por obtener $100 dentro de un año.

Ejercicios: 1.- Calcular la cantidad que se pagaría en este momento por el hecho de recibir $ 3,500 dentro de 5 años, con una tasa de interés anual de 15%? C = $3,500 i = 0.15 n = 5 años VP = ?

VP = C (1 + i)n VP = 3500 (1+0.15)5

= 3500 (1.15)5

= 3500 = 1741.29 2.01

Por lo tanto, la cantidad que se pagaría en este momento por el hecho de recibir $3,500 dentro de 5 años con una tasa de interés de 15%, es de $1,741.29

2.- Calcular la cantidad que se pagaría en este momento por el hecho de recibir $900,000 dentro de 8 años, con una tasa de interés anual de 10%.

C = $900,000 i = 0.1 n = 8 años

VP = C (1 + i)n VP = 900000 = 900000 = 900000 = 420560.74 (1+0.1)8

(1.1)8

2.14

Por lo tanto la cantidad que se pagaría en este momento por el hecho de recibir $900, 000 dentro de 8 años, con una tasa anual de 10%, es de $420,560.74 3.- Calcular la cantidad que se pagaría en este momento por el hecho de recibir $500

dentro de 3 meses, con una tasa de interés anual de 12% C = $500 i = 0.03 [(0.12 anual/12 meses) * 3 meses] n = 3 meses

VP = C (1 + i)n VP =

500 (1+0.03)3

=

500 (1.03)3

= 500 =458.71 1.09

Por lo tanto, la cantidad que se pagaría en este momento por el hecho de recibir $500 dentro de 3 meses con una tasa de interés anual de 12%, es de $458.71.

2.1.1 Formulación de alternativas mutuamente excluyentes. Las propuestas de proyectos se tratan como precursores de alternativas económicas. Para ayudar a formular alternativas, se categoriza cada proyecto como uno de los siguientes: • MUTUAMENTE EXCLUYENTE: Solo uno de los proyectos viables puede seleccionarse mediante un análisis económico. Cada proyecto viable es una alternativa. • INDEPENDIENTE: Más de un proyecto viable puede seleccionarse a través de un análisis económico. La opción de NO HACER regularmente se entiende como una alternativa cuando se realiza la evaluación; y si se requiere que se elija una de las alternativas definidas, no se considera una opción. La selección de una alternativa de “no hacer” se refiere a que se mantiene el enfoque actual, y no se inicia algo nuevo; ningún costo nuevo, ingreso o ahorro se genera por dicha alternativa de NO HACER. La selección de una alternativa mutuamente excluyente sucede, por ejemplo, cuando un ingeniero debe escoger el mejor motor de diesel de entre varios modelos. Las alternativas mutuamente excluyentes son, por lo tanto, las mismas que los proyectos viables; cada una se evalúa y se elige la mejor alternativa. Las alternativas mutuamente excluyentes compiten entre sí durante la evaluación. Los proyectos independientes no compiten entre sí durante la evaluación, pues cada proyecto se

evalúa por separado, y así la comparación es entre un proyecto a la vez y la alternativa no hacer. Si existen m proyectos independientes, se seleccionarán cero, uno, dos o más. Entonces, si cada proyecto se incluyen o se omite del grupo seleccionado, existe un total de 2m alternativas mutuamente excluyentes. Este número incluye la alternativa de NO HACER. Por último, es importante reconocer la naturaleza o tipo de alternativas, antes de comenzar una evaluación. El flujo de efectivo determina si las alternativas tienen su base en el ingreso o en el servicio....

2.1.2 Comparación de alternativas con vidas útiles iguales. Este método se emplea para comparar proyectos con igual vida útil (duración); y su comparación es directa. Si las alternativas se utilizaran en idénticas condiciones, se denominan alternativas de igual servicio y los ingresos anuales tendrán el mismo valor numérico. El proceso del método del Valor Presente Neto es el mismo que se uso para encontrar el valor de P, es decir la cantidad en el presente.

Ejemplo: 1. Cierta empresa tiene que decidir entre 2 activos (equipos para un proceso de producción). La duración de estos activos se estima en 5 años. Si la trema de la empresa es del 25 %, ¿Qué activo recomendaría adquirir? Solución (miles de pesos): VPNA = -16 + 4.5 (P/F, 25%, 1) + 5.5 (P/F, 25%, 2) + 6 (P/F, 25%, 3) + 7 (P/F, 25%,4) + 12 (P/F, 25%, 5). VPNA = 0.99136 miles de pesos. VPNB = -15 +6.5 (P/F, 25%,1) +7 (P/F, 25%, 2) + 7.5 (P/F, 25 %, 3) + 8 (P/F, 25%, 4) + 12 (P/F, 25%, 5). VPNB = 5.72896 miles de pesos. Como VPNA > VPNB por lo tanto se recomienda adquirir el activo B. COMPARACION DE ALTERNATIVAS CON VIDAS IGUALES Tienen capacidades de alternativas idénticas para un mismo periodo de tiempo Guía para seleccionar alternativas: 1. Para una sola alternativa: Si el VP es > o = a “0”, entonces la Tasa de Interes es lograda o excedida y la alternativa es financieramente viable. 2. Para 2 o más alternativas: Se selecciona la alternativa menos negativa o la más positiva.

2.1.3 Comparación de alternativas con vidas útiles diferentes . Deben compararse durante el mismo numero de años ¬ Una comparación comprende el calculo del VP equivalente de todos los flujos de efectivo futuros para cada alternativa¬ Requerimiento del servicio igual: ¬ • Comparar alternativas durante un periodo= MCM de sus vidas • Comparar en un periodo de estudio de longitud n años (Enfoque de horizonte de planeacion) Enfoque del MCM: Hace que automáticamente los flujos de efectivo se extiendan al mismo periodo de tiempo. ¬ Ejercicios: 1. Un superintendente debe decidir entre 2 maquinas excavadoras en base a:MAQUINA A :Costo inicial 11000, costo anual operacion 3500, valor de salvametno 1000, vida util 6 años. M Aquina B: Costo inicial 18000, costo anual 3100, valor salvamento 2000, vida 9 años. Interes 15%. respuestas: VPA=−38559.2, VPB= −41384, se debe escoger la maquina A 3.-Un ingeniero mecánico contempla 2 tipos de sensores de presión con una tasa de interés de 18% anual, si los dos materiales para construcción de un vehiculo espacial: Material A: Costo Inicia 35000, Mantenimiento anual 7000, Valor Salvamento 20000, Vida Util 6 MATERIAL B: Costo Inicia 15000, Mantenimiento anual 9000, Valor Salvamento 2000, Vida Util 6 RESPUESTAS: vpa= −52075.2 Y VPB=−53649.4 SE ESCOGE EL a

2.1.4 Cálculo del costo capitalizado. El costo capitalizado se refiere al valor presente de un proyecto que se supone que tendrá una vida útil indefinida. Algunos proyectos de obras públicas son d esta categoría, tales como

represas y sistemas de irrigación. Además, algunas fundaciones permanentes como universidades u organizaciones de caridad deben ser manejadas por medio de métodos de costo capitalizado. En general, el procedimiento que se debe seguir al calcular el costo capitalizado o el costo inicial de una fundación permanente es: 1) Elabore el diagrama de flujo de caja que muestra todos los gastos o entradas no recurrentes (una vez) y por lo menos 2 ciclos de todos los gastos o entradas recurrentes (periódicos). 2) Encuentre el valor presente de todos los gastos (entradas) no recurrentes. 3) Encuentre el costo anual uniforme equivalente (CAUE) por medio de un ciclo de todos los gastos recurrentes y series de costos anuales uniformes. 4) Divida el CAUE obtenido en el paso 3 por la tasa de interés para conocer el costo capitalizado de CAUE. 5) Sume el valor obtenido en el paso 2 al valor obtenido en el paso 4. El diagrama de flujo de caja es probablemente más importante en este cálculo que en cualquier  otro porque facilita la diferenciación entre los gastos no recurrentes y los gastos periódicos. En el paso 2, debe determinarse el VP de los gastos (entradas) no recurrentes. Puesto que el costo capitalizado es el valor presente de un proyecto perpetuo, la razón de este paso es obvia. En el paso 3 debe calcularse el CAUE (que hasta ahora se ha llamado A) de todos los gastos anuales uniformes y recurrentes. Esto se logra calculando el valor presente de un costo anual perpetuo (costo capitalizado) utilizando: Costo capitalizado Ec. 3.1.3. A. Esto puede ilustrarse considerando el valor del dinero en el tiempo. Si se depositan $ 100 en una cuenta de ahorros al 6% de interés capitalizado anualmente, la máxima cantidad de dinero que se pueden retirar al final de cada año eternamente será $6, o la cantidad igual al interés que acumulo durante ese año. Esto permitiría que el depósito original de $ 100 obtuviera interés de manera que los otros $ 6 se acumularían en el año siguiente. Matemáticamente, la cantidad que se puede acumular y verificar cada año es: Ec. 3.1.3. B. De esta manera, para el ejemplo:  Al año. El cálculo propuesto de costo capitalizado en el paso 4 es el contrario del anterior; es decir, la ec. 3.1.3. B. se resuelve para P: Ec. 3.1.3. C. Para el ejemplo citado anteriormente, si se desea retirar $ 6 cada año indefinidamente a una tasa de interés de 6% de la Ec. 3.1.3. C: Después de obtener los valores presentes de todos flujos de caja, el costo total capitalizado es simplemente la suma de estos valores presentes. Los cálculos de costo capitalizado se ilustran en el siguiente ejemplo. Ejemplo 1: Calcule el costo capitalizado de un proyecto que tiene un costo inicial de $ 150 000 y un costo de inversión adicional de $ 50 000 después de 10 años. El costo anual de operación será de $ 5 000 para los primeros 4 años y de $ 8 000 de ahí en adelante. Además, se espera un costo recurrente de re operación de $ 15 000 cada 13 años. Suponga que i = 5%. Solución: (se utilizara el formato señalado anteriormente). 1) Dibuje flujos de caja para los 2 ciclos. Fig. 3.1.3. a.

2) Encuentre el valor presente (P1) de los costos no recurrentes de $ 150 000 hoy y de $ 50 000 en el año 10: 3) Convierta el costo recurrente de $ 15 000 cada 13 años en un CAUE (A1) para los primeros 13 años: 4) El costo capitalizado para la serie de costo anual puede calcularse de dos maneras: (a); considerar una serie de $ 5 000 de ahora a infinito y encontrar el valor presente de $ 8 000 -- $ 5 000 = $ 3 000 del año 5 en adelante, o (b) encontrar el valor presente de $ 5 000 durante 4 años y el valor presente de $ 8 000 del año 5 a infinito. Utilizando el primer método, el costo anual (A2) en $ 5 000 y el valor presente (P2) de $ 3 000 del año 5 a infinito, utilizando la Ecuación 3.1.3. C. y el factor P/F, es: Los dos costos anuales se convierten a un costo capitalizado (P3): 5) El costo total capitalizado (PT) se puede obtener sumando: COMENTARIO: Al calcular P2, n = 4 se utilizó en el factor P/F porque el valor presente del costo anual de $ 3 000 se calculo en el año 4, dado que P esta siempre un año adelante del primer A. Se recomienda el problema por el segundo método sugerido para calcular P2.

2.1.5 Comparación del costo capitalizado de dos alternativas. Cuando se comparan 2 o más alternativas en base de su costo capitalizado se emplea el procedimiento del ejemplo 1 del tema anterior. Puesto que el costo capitalizado representa el costo total presente de financiación y mantenimiento de una alternativa dada para siempre, las alternativas se compararan automáticamente para el mismo número de años. La alternativa con el menor costo capitalizado es la más económica. Como en el método del valor presente y otros métodos de evaluación de alternativas, solo se deben considerar las diferencias en el fl ujo d caja entre las alternativas. Por lo tanto y cuando sea posible, los cálculos deben simplificarse eliminando los elementos de flujo de caja comunes a las 2 alternativas. El ejemplo siguiente ilustra el procedimiento para comparar 2 alternativas en base a su costo capitalizado. Ejemplo 1: Se consideran 2 lugares para un puente que cruce un río. El sitio norte conecta una carretera principal con un cinturón vial alrededor de la ciudad y descongestionaría el tráfico local. Las desventajas de este sitio son que prácticamente no solucionaría la congestión del tráfico local durante las horas de mayor afluencia y tendría que extenderse de una colina para abarcar la parte más ancha del río, la vía férrea y las carreteras locales que pasan por debajo. Por lo tanto ese puente tendría que ser un puente colgante. El sitio sur requiere de una distancia mucho mas corta, lo que permite la construcción de un puente de armadura, pero seria necesario construir  una nueva carretera. El puente colgante tendría un costo inicial de de $ 30 millones con costos anuales de inspección y mantenimiento de $ 15 000. Además, la plataforma de concreto tendría que recubrirse cada 10 años a un costo de $ 50 000. Se espera que el puente de armadura y las carreteras cercanas tengan un costo de $ 12 millones y un costo anual de mantenimiento de $ 8 000. Cada 3 años se debería pintar el puente a un costo de $ 10 000. Además, cada 10 años habría que limpiarlo con arena a presión y pintarlo a un costo de $ 45 000. Se espera que el costo del derecho de vía para el puente colgante sea de $ 8 000 y para el puente de armadura sea de $ 10.3 millones. Compare las alternativas en base a su costo capitalizado, si la tasa de interés es del 6 %.

2.2 Método de Valor Anual. El Método del Valor Anual Equivalente (VAE) Este método se basa en calcular qué rendimento anual uniforme provoca la inversión en el proyecto durante el período definido. Por ejemplo: supongamos que tenemos un proyecto con una inversión inicial de $1.000.000. El período de beneficio del proyecto es de 5 años a partir de la puesta en marcha y la reducción de costo cada año (beneficio del proyecto) es de $400.000. La TREMA (Tasa de recuperación mínima aceptada) o Tasa de Descuento es del 12%. Se calculan las anualidades de la inversión inicial: esto equivale a calcular qué flujo de efectivo anual uniforme tiene el proyecto, combinando la inversión y los beneficios. La situación equivale a pedir  un préstamo de $1.000.000 por 5 años al 12%. Si es así, se devolverían $277.410 cada año durante 5 años. El VAE del proyecto se puede calcular usando la función PAGO(c1,c2,c3) de Excel, en donde c1 = TREMA (Tasa de recuperación mínima aceptada) o Tasa de Descuento (12%), c2 = cantidad de años que dura el proyecto (5 años) y c3 = inversión inicial ($1.000.000). En nuestro caso sería: PAGO(12, 5, 1.000.000) = $277.410. Esto equivale a que el proyecto arrojará un flujo de efectivo positivo de $277.410 durante los cinco años, cada año. VAE = $400.000 - $277.410 = $122.590 . (VAE = ingreso anual provocado por el proyecto gastos anuales). Este ejemplo asume que conocemos los gastos y los ingresos del proyecto. Para comparar dos proyectos: el supuesto es que los dos proyectos duran la misma cantidad de períodos.

2.2.1 Ventajas y aplicaciones del análisis del valor anual . El VA es el valor anual uniforme equivalente de todos los ingresos y desembolsos, estimados durante el ciclo de vida del proyecto. El VA es el equivalente de los valores VP y VF en la TMAR paran años. Los tres valores se pueden calcular uno a partir del otro: Cuando todas las estimaciones del flujo de efectivo se convierten a un VA, este valor se aplica a cada año del ciclo de vida y para cada ciclo de vida adicional. El VA debe calcularse exclusivamente para un ciclo de vida. Por lo tanto, no es necesario emplear el MCM de las vidas. Supuestos fundamentales del método del VA: Cuando las alternativas que se comparan tienen vidas diferentes, se establecen los siguientes supuestos en el método: 1. Los servicios proporcionados son necesarios al menos durante el MCM de las alternativas de vida. 2. La alternativa elegida se repetirá para los ciclos de vida subsiguientes. 3. Todos los flujos de efectivo tendrán los mismos valores calculados en cada ciclo de vida. Para la suposición 1, el periodo de tiempo puede ser el futuro indefinido. En la tercera suposición, se espera que todos los flujos de efectivo cambien exactamente con la tasa de inflación. Si ésta no fuera una suposición razonable, deben hacerse estimaciones nuevas de los flujos de efectivo para cada ciclo de vida. El método del VA es útil en estudios de reemplazo de activos y de tiempo de retención para minimizar costos anuales globales, estudios de punto de equilibrio y decisiones de fabricar o comprar, estudios relacionados con costos de fabricación o producción, en lo que la medida costo/unidad o rendimiento/unidad constituye el foco de atención.

2.2.2 Cálculo de la recuperación de capital y de valores de Valor Anual . Una alternativa debería tener las siguientes estimaciones de flujos de efectivo:

Inversión inicial P. costo inicial total de todos los activos y servicios necesarios para empezar la alternativa. Valor de salvamento S. valor terminal estimado de los activos al final de su vida útil. Tiene un valor de cero si no se anticipa ningún valor de salvamento y es negativo si la disposición de los activos tendrá un costo monetario. S es el valor comercial al final del periodo de estudio. Cantidad anual A. costos exclusivos para alternativas de servicio. El valor anual para una alternativa está conformado por dos elementos: la recuperación del capital para la inversión inicial P a una tasa de interés establecida y la cantidad anual equivalente A. VA= —RC–A RC y A son negativos porque representan costos. A se determina a partir de los costos periódicos uniformes y cantidades no periódicas. Los factores P/A y P/F pueden ser necesarios para obtener una cantidad presente y, después, el factor A/P convierte esta cantidad en el valor   A. La recuperación de capital es el costo anual equivalente de la posesión del activo más el rendimiento sobre la inversión inicial. A/P se utiliza para convertir P a un costo anual equivalente. Si hay un valor de salvamento positivo anticipado S al final de la vida útil del activo, su valor  anual equivalente se elimina mediante el factor A/F. RC= –[P(A/P,i,n,)–S(A/F,i,n,)]

2.2.3 Alternativas de evaluación mediante el análisis de Valor Anual . La alternativa elegida posee el menor costo anual equivalente o el mayor ingreso equivalente. Directrices de elección para el método del VA: Para alternativas mutuamente exclusivas, calcule el VA usando la TMAR:

Una alternativa: VA≥ 0, la TMAR se alcanza o se rebasa.

Dos o más alternativas: se elige el costo mínimo o el ingreso máximo reflejados en el VA. Si los proyectos son independiente s, se calcula el VA usando la TMAR. Todos los proyectos que satisfacen la relación VA≥ 0 son aceptables.

2.2.4 Valor Anual de una inversión permanente. Esta sección es acerca del valor anual equivalente del costo capitalizado que sirve para evaluación de proyectos del sector público, exigen la comparación de alternativas con vidas de tal duración que podrían considerarse infinitas en términos del análisis económico. En este tipo de análisis, el valor anual de la inversión inicial constituye el interés anual perpetuo ganado sobre la inversión inicial, es decir, A = Pi. Los flujos de efectivo periódicos a intervalos regulares o irregulares se manejan exactamente como en los cálculos convencionales del VA; se convierten a cantidades anuales uniformes equivalentes A para un ciclo. Se suman los valores de“A” a la cantidad RC para determinar el VA total.

2.3 Análisis de tasas de rendimiento. Tasa de rendimiento en tanto por cien anual y acumulativo que provoca la inversión.

6.2.- Operatoria - Nos proporciona una medida de la rentabilidad del proyecto anualizada y por tanto comparable. - Tiene en cuenta la cronología de los distintos flujos de caja. - Busca una tasa de rendimiento interno que iguale los flujos netos de caja con la inversión inicial.

6.3.- Ventajas - Tiene en cuenta el valor del dinero en cada momento. - Nos ofrece una tasa de rendimiento fácilmente comprensible. - Es muy flexible permitiendo introducir en el criterio cualquier variable que pueda afectar a la inversión, inflación, incertidumbre, fiscalidad, etc.

6.4.- Desventajas - Cuando el proyecto de inversión se de larga duración nos encontramos con que su cálculo se difícil de llevar a la práctica. - Nos ofrece una tasa de rentabilidad igual para todo el proyecto por lo que nos podemos encontrar con que si bien el proyecto en principio es aceptado los cambios del mercado lo pueden desaconsejar. - Al tratarse de la resolución de un polinomio con exponente n pueden aparecer soluciones que no tengan un sentido económico.

6.5.- Fórmulas de Cálculo

Donde: - r = Tasa de retorno de la inversión. - A = Valor de la Inversión Inicial. - Qi = Valor neto de los distintos flujos de caja. Se trata del valor neto así cuando en un mismo periodo se den flujos positivos y negativos será la diferencia entre ambos flujos. - Otra forma de calcularlo es aplicando la aproximación de Schneider; lo que cambia es que en vez de utilizar el descuento compuesto se utiliza el simple por lo que se puede cometer un error  significativo: Donde: i= Número del flujo de caja neto.

6.6.- Criterio de elección - Las inversiones realizables serán aquellas que nos proporcionen una mayor tasa de retorno. - Las inversiones se graduarán de mayor a menor tasa de retor no.

2.3.1 Interpretación del valor de una tasa de rendimiento . Tasa interna de rendimiento (TIR) es la tasa pagada sobre el saldo no pagado del dinero obtenido en préstamo, o la tasa ganada sobre el saldo no recuperado de una inversión, de forma que el pago o entrada final iguala el saldo exactamente a cero con el interés considerado. La tasa interna de rendimiento está expresada como un porcentaje por periodo, esta se expresa como un porcentaje positivo. El valor numérico dei puede oscilar en un rango entre -100% hasta el infinito. En términos de una inversión, un rendimiento dei = 100% significa que se ha perdido la cantidad completa. La definición anterior establece que la tasa de rendimiento sea sobre el saldo no recuperado, el cual varía con cada periodo de tiempo. El financiamiento a plazos se percibe en diversas formas en las finanzas. Un ejemplo es un“programa sin intereses” ofrecido por las tiendas departamentales. En la mayoría de los casos, si la compra no se paga por completo en el momento en que termina la promoción, usualmente 6 meses o un año después, los cargos financieros se calculan desde la fecha original de compra. La letr a pequeña del contrato puede estipular que el comprador utilice una tarjeta de crédito extendida por la tienda, la cual con frecuencia tiene una tasa de interés mayor que la de una tarjeta de crédito regular. En todos estos tipos de programas, el tema común es un mayor interés pagado por el consumidor a lo largo del tiempo.

2.3.2 Cálculo de la tasa interna de rendimiento por el método de Valor Presente o Valor Anual. Para determinar si la serie de flujo de efectivo de la alternativa es viable, compare i* (tasa interna de Rendimiento) con la TMAR establecida: Si i * ≥ TMAR, acepte la alternativa como económicamente viable.

Si i * < TMAR la alternativa no es económicamente viable. La base para los cálculos de la ingeniería económica es la equivalencia, en los términos VP, VF o VA para una i ≥ 0% establecida. En los cálculos de la tasa de rendimiento, el objetivo consiste en encontrar la tasa de interés i* a la cual los flujos de efectivo son equivalentes. La tasa interna de rendimiento siempre será mayor que cero si la cantidad total de los ingresos es mayor que la cantidad total de los desembolsos, cuando se considera el valor del dinero en el tiempo. Hay dos formas para determinar i* la solución manual a través del método de ensayo y error (que no vimos, ni veremos) y la solución por computadora. i* por computadora: cuando los flujos de efectivo varían de un año a otro la mejor forma de encontrar i* es ingresar los flujos de efectivo netos en celdas contiguas (incluyendo cualesquiera cantidades 0) y aplicar la función TIR en cualquier celda.

2.3.3 Análisis incremental. En el proceso tradicional, tras analizar la salida generada por el compilador (que puede estar  constituida por un conjunto de listados con los errores encontrados y sus referencias al texto fuente), si efectivamente éste ha detectado errores, será necesario repetir el ciclo edicióncompilación, lo que conllevará que el texto fuente sea reanalizado completamente, aunque el error tan sólo afecte a una pequeña porción del programa. Ciertos compiladores no proporcionan un listado de todos los errores encontrados sino que paran el proceso de compilación al encontrar el primer error. El usuario debe entonces modificar el texto y recompilar el programa. En este punto no nos interesa si el compilador es llamado desde la línea de comandos o si por el contrario dispone de un entorno de programación que permite ralizar la compilación directamente desde un editor. Lo que realmente interesa resaltar aquí es que cada vez que se invoca al compilador, todo el texto fuente es reanalizado completamente. Inmediatamente se puede pensar que reconstruir totalmente el árbol de análisis sintáctico constituye un derroche cuando la corrección del error tan sólo provocará la modificación de una rama de dicho árbol. De acuerdo con esto, lo ideal sería que tan sólo se reconstruyesen (o mejor  dicho, se reanalizasen) aquellas ramas afectadas por el error. Sin embargo, para conseguir esto que aparentemente es tan sencillo se deben dar una serie de condiciones como son: •

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El analizador sintáctico debe efectivamente construir una representación completa del árbol de análisis sintáctico, que debe estar disponible para el siguiente análisis. El analizador sintáctico debe conocer exactamente qué componentes léxicos han sido modificados por el usuario desde el último análisis. Debe de existir un entorno de compilación que mantenga el texto, el árbol de análisis sintáctico y las relaciones existentes entre ambos. Esto es, un editor interactivo.

El cumplimiento de estas condiciones implica una modificación sustancial del análisis sintáctico clásico, ya que: •

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Los analizadores sintácticos más comúnmente usados en la actualidad, no mantienen una representación completa de las estructuras de cálculo utilizadas en el análisis sintáctico, sino que suelen utilizar una  pila o stack  en la que se van almacenando valores que representan el avance del proceso de análisis en un momento dado. El movimiento entre estados del autómata asociado al analizador provoca la localización de nuevos elementos, o su eliminación, de la pila. Generalmente la realización de desplazamientos conlleva la introducción de más elementos en la pila mientras que las r educciones implican la eliminación de la pila de un cierto número n de elementos a partir del tope. Dicho número n suele estar relacionado con la longitud de la parte derecha de la regla. De este modo se consigue un reconocedor muy eficiente tanto en tamaño como en velocidad, pero al finalizar el proceso de análisis se carece de una representación completa del árbol. Para que en un análisis incremental de un texto previamente analizado el analizador  pueda saber qué parte del árbol debe ser reconstruida, éste debe poseer algún conocimiento sobre las modificaciones que se han realizado sobre el texto fuente y cómo han afectado a los componentes léxicos. Para conseguirlo es necesario integrar el

analizador léxico con el texto de modo que el editor sea capaz de establecer las conexiones componente léxico-texto y pueda guiar al usuario en las operaciones de modificación, al mismo tiempo que debe ser capaz de indicar al analizador sintáctico qué porciones del análisis anterior han de ser revisadas. Es en este trabajo de integración y de construcción del entorno común parser-lexical-usuario en lo que se centra la mayor  parte de este proyecto En el procesamiento del lenguaje natural el uso de analizadores incrementales presenta más ventajas incluso que en el campo de los compiladores de lenguajes de programación, ya que permiten que ante una entrada errónea (una falta de ortografía, un error al realizar el OCR de un documento digitalizado mediante un escáner, etc.) sólo se tenga que reanalizar como mucho la frase en la cual está contenido el error. En este contexto, sería prohibitivo que para subsanar un error se tuviese que realizar un nuevo análisis completo de todo el texto de entrada.

2.3.4 Interpretación de la tasa de rendimiento sobre la inversión adicional . Como ya se planteó, el primer paso al calcular la TR sobre la inversión adicional es la preparación de una tabla que incluye valores incrementales del flujo de efectivo. El valor en esta columna refleja la inversión adicional requerida que debe ser presupuestada si se selecciona la alternativa con el costo inicial más alto, lo cual es importante en un análisis a fin de determinar  una TIR de los fondos adicionales gastados por la alternativa de inversión más grande. Si los flujos de efectivo incrementales de la inversión más grande no la justifican se debe seleccionar la alternativa más barata. Pero, ¿Qué decisión tomar sobre la cantidad de inversión común a ambas alternativas? ¿Se justifica ésta de manera automática?, básicamente sí, puesto que debe seleccionarse una de las alternativas mutuamente excluyentes. De no ser así, debe considerarse la alternativa de no hacer nada como una de las alternativas seleccionables, y luego la evaluación tiene lugar entre 3alternativas.

Unidad 3