Unidad 1 de Dinámica

UNIDAD 1. Cinemática de partículas.

1.1 Desplazamiento, velocidad y aceleración. 1.2 Análisis del movimiento rectilíneo. 1.3 Análisis del movimiento de varias partículas. 1.4 Análisis del movimiento curvilíneo. 1.5 Análisis del movimiento de rotación. 1.6 Análisis del movimiento relativo a un sistema de referencia en translación.

Introducción.

La mecánica es la rama de la física que estudia el movimiento de los cuerpos materiales. Históricamente es la primera de las ciencias exactas de la naturaleza y por lo tanto es un paradigma de toda actividad científica. Más aún, la Tecnología moderna y sus inmensas posibilidades de transformación del mundo resultan de la aplicación sistemática del método científico. Por esta razón, más allá del interés que sin duda tiene el transmitir un conjunto de conocimientos útiles para la actividad profesional del ingeniero, este curso de física, como todos los restantes, tiene el objetivo fundamental de lograr que los estudiantes adquieran la capacidad de analizar y resolver los problemas que enfrenten en su actividad profesional con esa mezcla de rigor e imaginación propia de la ciencia. El primer obstáculo que debe superar toda ciencia empírica para su desarrollo es el de poner orden en nuestras sensaciones extraordinariamente ricas y fugaces. Platón fue el primero en observar que nada podríamos decir acerca de las percepciones fluidas de nuestros sentidos si no pudiéramos captar en ellas relaciones permanentes proyectadas por nuestra razón. El pensamiento debe ir eliminando factores accesorios o accidentales y con la ayuda de objetos geométricos y matemáticos debe intentar describir los fenómenos que ante nosotros fluyen sin cesar. Platón se limitó a enunciar el programa de las ciencias empíricas. Había que esperar hasta la llegada de la época moderna, para que hombres como Kepler, Galileo y Newton lo llevaran a cabo. El primer problema al que se ve enfrentada la Física al buscar una descripción precisa del movimiento es por consiguiente el de eliminar todos aquellos factores que son accesorios y el de encontrar el lenguaje matemático más apropiado. La máxima realización de este programa alcanzada en la antigüedad es la descripción de Ptolomeo del movimiento planetario. Resulta natural que la primera descripción con cierto grado de exactitud de un fenómeno se refiera al movimiento planetario. En efecto, los datos de la observación son sumamente simples (debido a la distancia entre los objetos celestes y la Tierra, es fácil tratar a los primeros como objetos puntuales). Por otra parte, sus movimientos son muy regulares y periódicos. Basándose en las nociones de la geometría de Euclides y en la idea platónica de la perfección de la circunferencia, Ptolomeo llega a una descripción del movimiento planetario en términos de partículas puntuales que ocupan posiciones sucesivas en el espacio a medida que el tiempo transcurre. Los elementos esenciales de la descripción cinemática del movimiento de las partículas materiales ya están presentes en el esquema de Ptolomeo. Sólo faltaba incorporar la idea de la relatividad del espacio que aparecería con Copérnico y sería enunciada en forma explícita por Galileo. En efecto, para Ptolomeo todo movimiento debe describiese con referencia a la Tierra que se encuentra en reposo en el centro del universo.

1.1 DESPLAZAMIENTO, ACELERACIÓN.

VELOCIDAD

Y

- Desplazamiento. Concepto: el desplazamiento es el vector que define la posición de un punto o partícula en relación a un origen A con respecto a una posición B. El vector se extiende desde el punto de referencia hasta la posición final. Cuando se habla del desplazamiento en el espacio solo importa la posición inicial y la posición final, ya que la trayectoria que se describe no es de importancia. La posición x sirve para determinar, en cada instante de tiempo, el punto sobre el eje de coordenadas donde se encuentra el cuerpo. La fórmula que te permitirá calcular el desplazamiento de un cuerpo es: Δx = x2 – x1 Donde: Δx = desplazamiento.

X2= posición final medida en m. x1= posición inicial medida en m

Por ejemplo: Caminas desde tu casa a un supermercado en dirección horizontal hacia la derecha recorriendo 100 m. Luego de hacer tus compras vuelves a tu casa pero, en el camino te detienes en la casa de un amigo cuando has recorrido solamente 50 m. Calcula el desplazamiento total que has realizado desde que saliste de tu casa hasta que llegaste a la casa de tu amigo. Recordando los pasos necesarios para resolver un problema, comenzamos leyendo el problema y observamos que es necesario en este caso realizar un dibujo. En este problema el dibujo consiste en un eje de coordenadas horizontal sobre el cuál se indica la posición inicial y final del cuerpo. Del dibujo podemos obtener los datos. Anotamos los datos e incógnita. X2 = 50 m. X1 = 0 m. Δx =?. Elegimos la fórmula que relaciona los datos e incógnita: Δx = x2 – x1 Reemplazamos los datos y calculamos: Δx = 50 m - 0 m. Δx = 50 m hacia la derecha. El desplazamiento total fue de 50 m hacia la derecha. Como ves al tratarse el desplazamiento de una magnitud vectorial se debe agregar al resultado 50 m (valor del módulo del vector) la dirección y sentido del vector pero, como generalmente trataremos problemas de cuerpos que se mueven en dirección horizontal y sentido hacia la derecha, nos interesa saber solamente el valor del módulo del vector. La regla anterior valdrá para cuando calcules a lo largo de este módulo el valor de cualquier magnitud vectorial, como por ejemplo: velocidad, aceleración, fuerza y peso.

- Velocidad. Concepto: la velocidad es la magnitud física que muestra y expresa la variación en cuanto a posición de un objeto y en función del tiempo, que sería lo mismo que decir que es la distancia recorrida por un objeto en la unidad de tiempo. Pero además del tiempo, para definir la velocidad de desplazamiento de un objeto, será preciso tener en cuenta también la dirección y el sentido del desplazamiento. Por lo tanto, las unidades para definir la velocidad se fundamentan tanto en parámetros de distancia (metros, centímetros, kilómetros) como en variables relacionadas con el tiempo (segundos, minutos). Mientras que la unidad de velocidad más popular en el mundo de habla hispana es el kilómetro/hora, en los países sajones suele usarse aún la milla/hora. Sin embargo, en ciencias con la física o la química, se prefiere emplear el sistema internacional, por el cual se sugiere expresar las velocidades en metros/segundo.

Diferencia entre velocidad y rapidez. Cuando hablamos de rapidez o módulo de la velocidad instantánea, esta se considera siempre positiva. La “rapidez” promedio en un recorrido es pues el promedio de los valores de la rapidez (módulo de la velocidad) instantánea, y es el cociente entre la distancia recorrida y el tiempo empleado en recorrerla Cuando hablamos de velocidad nos referimos a la velocidad como vector, por tanto tiene módulo y dirección. Cuando tratamos movimientos unidimensionales la dirección del vector la suele indicar el signo. Positivo o negativo La diferencia fundamental entre ambos conceptos se encuentra cuando hablamos de velocidad promedio. En un movimiento como el que recorre un coche de Fórmula 1, al dar una vuelta al circuito la velocidad promedio en ese ciclo sería cero, pero el módulo de la velocidad instantánea promedio sería la distancia recorrida dividida por el tiempo empleado en recorrerla.



Tipos de velocidad.

La Velocidad Media reporta la velocidad en un intervalo dado y se llega a ella dividiendo el desplazamiento por el tiempo transcurrido. Por consiguiente, los expertos suelen hablar de diferencia ("delta", en la jerga de las ciencias) entre distancias y tiempos. Así, la velocidad media de un colectivo será el resultado de dividir la distancia

entre las cabeceras ("delta-espacio") y el tiempo que tardó en ir de una a otra ("deltatiempo").

La velocidad instantánea es el límite de la velocidad cuando el tiempo tiende a cero, tendremos la velocidad media más límite de cuando el tiempo tiende a cero nos queda derivada de x respecto a t.

Ejemplo: Un automóvil parte de una posición cero, con velocidad inicial igual a cero, con una aceleración inicial de 1.5 m/s^2, si al recorrer 25.05m desde el punto de partida en un tiempo de 5.779 s y con una velocidad en ese instante de 8.67 m/s. a) Determinar la velocidad media del automóvil.

En valor de la velocidad media será de 4.33m/s, el cambio de los valores no afecta la operación porque son cero el tiempo inicial y la posición inicial.

b) Comprobar la velocidad instantánea. Para determinar la velocidad instantánea suponiendo que no la conocemos, necesitamos la siguiente expresión.

La velocidad final o instantánea es de 8.67 m/s, se puede observar que es positiva la velocidad y es porque va en sentido (+ x). Dónde:

vf vo

= Velocidad Final

= Velocidad Inicial a = Aceleración t = Tiempo

- Aceleración. Concepto: es el cambio de velocidad con respecto al tiempo. Debemos recordar que la aceleración es una magnitud vectorial, tiene magnitud, sentido y dirección.



Tipos de aceleración.

Aceleración media. Al igual que en la velocidad media donde se encuentra la razón de cambio para t y para x es decir Δx/Δt, la aceleración media se puede calcular de la misma manera, es decir

la aceleración de una partícula donde se mueve de un punto A, aun punto B, sobre el eje x, diremos que es un vector cuya componente x es Δvx este cambio lo dividimos entre el intervalo del cambio de t es Δt, donde la expresión será:

Ejemplo: Un automóvil parte de una posición 0 m, con 0 velocidad inicial, en 6 segundo se encuentra a 10 m, del punto de partida con una velocidad de 3m/s, a este llamaremos punto A, y 14 segundos después de haber salido del punto de partida se encuentra a 46 m del punto de partida con una velocidad de 7m/s, a este llamaremos punto B. a) b)

Determine la velocidad media del punto A al punto B. Determinar la aceleración media del punto A al punto B.

Identificar En el siguiente problema necesitamos al menos dos expresiones que nos permitan encontrar los valores que necesitamos es decir velocidad media y aceleración media tenernos la información que necesitamos y a partir de ello vamos a operar. Plantear Es necesario seguir un orden en los procedimientos operacionales por la coherencia de los mismos, en este casos encontraremos primero la velocidad media posterior mente la aceleración media entre los dos puntos A y B.

a)

Para encontrar la velocidad media necesitamos realizar la siguiente operación

La velocidad media del automóvil es de 4.5 m/s, del punto A al punto B. b)

La aceleración media la podemos calcular mediante la siguiente expresión.

Aceleración instantánea.

La aceleración instantánea también se puede calcular de la misma manera que la velocidad instantánea la diferencia son los valores de cambio o razones, la aceleración instantánea es el límite de la aceleración media cuando el intervalo de tiempo se acerca a cero pero que no será cero, será la derivada de vx respecto a t así dvx/dt. Se puede calcular la aceleración Cuando Δt tiende a cero pero que nunca será cero.

1.2 ANÁLISIS DEL MOVIMIENTO RECTILÍNEO.

t.

En la práctica científica se tiende a considerar situaciones simplificadas de los fenómenos, para, una vez comprendidas, introducir variables que las aproximen más a la realidad. En esta línea, el movimiento de un objeto está condicionado por su interacción (rozamiento, acción de un motor, gravedad, fuerzas eléctricas) con el resto de objetos del Universo, los cuales, con más o menos intensidad le comunican una aceleración que perturba su camino. Pero, ¿cómo sería el movimiento de un objeto completamente aislado, o simplemente se anularan todas las interacciones que actúan sobre él? Si un objeto en movimiento no tiene aceleración, describe una trayectoria rectilínea (no hay aceleración normal que cambie la dirección de la velocidad) y la rapidez es constante (no hay aceleración tangencial que modifique el módulo de la velocidad). Este tipo de movimiento se conoce como Movimiento Rectilíneo Uniforme (MRU). En la imagen el objeto no interacciona con otros objetos. Su movimiento no puede ser otro que un MRU. Ecuación del movimiento en MRU. La relación matemática principal, a partir de la cual se deduce el resto, es la que determina la velocidad de un objeto a partir del espacio que recorre, ∆X, durante el intervalo de tiempo, ∆t. Xo es la posición inicial; to es el instante que marca el cronómetro al comienzo (normalmente es cero). v=

∆x ∆t v=

Se desarrollan los incrementos, Se despeja la posición X,

x−xo t −¿

x= xo + v ∆t

Este tipo de movimiento se conoce como Movimiento Rectilíneo Uniforme (MRU). En la imagen el objeto no interacciona con otros objetos. Su movimiento no puede ser otro que un MRU. Características del MRU    

Trayectoria rectilínea. Velocidad constante (módulo, dirección y sentido). El espacio recorrido es igual al desplazamiento. Relación matemática principal.

x= xo + v ∆t MR uniformemente acelerado, MRUA

En los movimientos ordinarios, la velocidad no suele ser una magnitud constante, la aceleración está presente bien por causas naturales (p. e. la gravedad) o por otras interacciones (rozamiento, fuerza producido por un motor, fuerzas eléctricas. Por la presencia de estas interacciones los objetos dejan de moverse en línea recta y resultan trayectorias, en general, curvilíneas. En este apartado se tratarán aquellos movimientos, que poseen exclusivamente aceleración tangencial. Reciben el nombre de MRUA (Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado). Ecuación del movimiento en MRUA La ecuación de movimiento es mrua se determina a partir de la expresión

matemática.

Si un objeto tiene únicamente aceleración tangencial, describe una trayectoria rectilínea y, si además es constante, la rapidez (módulo de la velocidad) variará de forma uniforme.

El movimiento rectilíneo en gráficos Gran parte del conocimiento científico se base en el análisis de datos. Las gráficas permiten visualizar relaciones o tendencias entre magnitudes, facilitando el trabajo del científico para sacar conclusiones, extrapolar resultados... etc. El estudio de cualquier movimiento parte de la observación de éste, tomando los datos de tiempo y posición,

con toda la precisión que se pueda. Y después, ¿cómo han de presentarse los resultados? El uso de tablas ayuda a ordenar los datos, y las gráficas a encontrar relaciones y tendencias entre las magnitudes analizadas. Las representaciones gráficas más utilizadas entre magnitudes relacionadas con el movimiento son:

MRU Gráfica posición-instante

MRUA Gráfica posición- en un instante

Gráfica velocidad-instante Gráfica velocidad-instante

Gráfica aceleración-instante

Gráfica aceleración – instante

1.3 ANÁLISIS DEL MOVIMIENTO DE VARIAS PARTÍCULAS. Cuando sobre una misma recta se mueven independientemente varias partículas, para cada una de éstas deben escribirse las ecuaciones de movimiento. Es necesario, que el tiempo deberá contarse desde el mismo instante inicial para todas las partículas, y los desplazamientos medirse en el mismo origen y en el mismo sentido.

Los dos tipos de movimientos de varias partículas son:  Movimiento relativo de dos partículas. Tenemos dos partículas A y B, que se mueven sobre la misma recta. Sean Xa y Xb, las coordenadas de posición, que se miden desde el mismo origen, para las dos partículas A y B respectivamente.

Coordenada de posición relativa de B respecto de A ( Xb/a ) => Es la diferencia que existe entre Xb - Xa.

Si Xb/a > 0 => Indica que B está a la derecha de A. Si Xb/a < 0 => Indica que B está a la izquierda de A.

Velocidad relativa de B respecto a A ( Vb/a ) => Es la variación de la coordenada de posición relativa de B respecto de A ( Xb/a ) por unidad de tiempo. Derivando la ecuación anterior respecto al tiempo:

Si Vb/a > 0 => Significa que B observada desde A se mueve en sentido positivo. Si Vb/a < 0 => Significa que B observada desde A se mueve en sentido negativo.

Aceleración relativa de B respecto a A ( Ab/a ) => Es la variación de Vb/a por unidad de tiempo.

 Movimientos dependientes. Movimiento holónomo => Este tipo de movimiento se produce cuando la posición de una partícula depende de la posición de una o varias partículas. Esto ocurre generalmente cuando las partículas están interconectadas mediante cuerdas inextensibles que están enrolladas alrededor de poleas. Ejemplo: Si nos imaginamos dos bloques A y B, unidos por una cuerda inextensible de longitud fija l. Si el bloque A produce un movimiento hacia abajo y a lo largo del plano inclinado, este movimiento hará que en el bloque B se produzca otro movimiento hacia arriba sobre el plano inclinado. Para probar esto, la localización de los bloques se especifica a partir del punto fijo O usando las coordenadas Sa y Sb. Como la cuerda tiene una longitud fija, estas coordenadas que se extienden a lo largo de las porciones cambiantes de la cuerda están relacionadas por la ecuación:

 l => Es una constante y representa la longitud de la cuerda excluyendo el arco constante CD.

Derivando la ecuación anterior respecto al tiempo da por resultado una relación entre las velocidades de los bloques.

El signo negativo indica que el movimiento positivo del bloque A (hacia abajo en la dirección en que se incrementa Sa) produce un movimiento correspondiente negativo (hacia arriba) del bloque B. Derivando con respecto al tiempo, la última ecuación obtenida de las velocidades, da por resultado la relación que existe entre las aceleraciones de los bloques,

1.4 ANÁLISIS DEL MOVIMIENTO CURVILÍNEO. Concepto: Se conoce como movimiento es parabólico, oscilatorio o circular.

curvilíneo a

aquel

movimiento

que

Cuando se conoce la trayectoria a lo largo de la cual viaja una partícula, es conveniente describir el movimiento por medio de los ejes de coordenadas n y t, los cuales actúan de manera normal y tangente a la trayectoria, respectivamente, y en el instante

considerado tienen su origen localizado en la partícula. si su trayectoria es curva este movimiento puede ser elíptico. En el estudio del movimiento rectilíneo nos bastaba un número para determinar la posición, la velocidad o la aceleración de la partícula en estudio. Pero para determinar esas propiedades del movimiento de una partícula que describa una trayectoria curva, necesitaremos conocer tanto la magnitud como la dirección. De modo que será conveniente trabajar, a partir de ahora, con vectores. Consideremos un automóvil transitando por una carretera curva, aumentando su rapidez. Si lo observamos desde un punto O fuera de la carretera, para situarlo deberemos conocer la distancia a la que se encuentra y en qué dirección se mide esa distancia. Representaremos el caso mediante una curva arbitraria y un punto sobre ella. Al punto O lo llamaremos origen, y desde éste al punto trazaremos un vector, el vector de posición.

Un tiempo después, el punto ocupará nueva posición. Y la diferencia entre posiciones será el desplazamiento. Ahora el

una estas dos desplazamiento también es una cantidad vectorial, tal que

Puesto que la velocidad media es la razón del desplazamiento al tiempo, la representaremos con un nuevo vector, que tendrá la misma dirección del desplazamiento. Observemos que la magnitud del desplazamiento, es decir, la magnitud del vector, es menor que la longitud recorrida por la partícula entre las dos posiciones consideradas.

|∆�̅| ≠ ∆� Si el lapso considerado es infinitamente pequeño, la razón del desplazamiento al tiempo será la velocidad de la partícula en ese instante. Ahora bien, si la segunda posición se acerca todo lo posible a la primera, la línea que las una, que será la dirección tanto del desplazamiento como de la velocidad, será tangente a la trayectoria. Esta propiedad es de especial importancia en el estudio de la Cinemática de la partícula. Y tiene la velocidad otra propiedad igualmente importante: la magnitud del desplazamiento es ahora del mismo tamaño que la longitud recorrida por la partícula. Es decir

|∆�|̅ = ∆� �= ̅ ��̅ �� ; |�|̅ = � = �� �� Para facilitar las explicaciones que daremos en lo futuro, a partir de ahora entenderemos por rapidez el tamaño o magnitud de la velocidad. La aceleración media, que es la razón del cambio de velocidad al tiempo, será un vector cuya dirección dependa tanto del cambio de dirección de la velocidad como de su cambio de magnitud. Lo mismo se puede afirmar de la aceleración, que es la razón del cambio de velocidad al tiempo, cuando éste es infinitamente pequeño. Estudiaremos esta cantidad empleando distintos sistemas de referencia. Vector posición. Como la posición del móvil cambia con el tiempo. En el instante t, el móvil se encuentra en el punto P, o en otras palabras, su vector posición es r y en el instante t' se encuentra en el punto P', su posición viene dada por el vector r'. Diremos que el móvil se ha desplazado Δr=r’-r en el intervalo de tiempo Δt=t'-t. Dicho vector tiene la dirección de la secante que une los puntos P y P'.

Vector velocidad El vector velocidad media, se define como el cociente entre el vector desplazamiento Δr y el tiempo que ha empleado en desplazarse Δt. =r'−rt'−t=ΔrΔt=r'−rt'−t=ΔrΔt El se

vector velocidad media tiene la misma dirección que el vector desplazamiento, la secante que une los puntos P y P1cuando calcula la velocidad media entre los instantes ty t1.

El vector velocidad en un instante, es el límite del vector velocidad media cuando el intervalo de tiempo tiende a cero.

v=limΔ t→0ΔrΔt=drdtv=limΔ t→0ΔrΔt=drdt

Como podemos ver en la figura, a medida que hacemos tender el intervalo de tiempo a cero, la dirección del vector velocidad media, la recta secante que une sucesivamente los puntos P, con los puntos P1, P2....., tiende hacia la tangente a la trayectoria en el punto P. En el instante t, el móvil se encuentra en P y tiene una velocidad v cuya dirección es tangente a la trayectoria en dicho punto.

Vector aceleración En el instante t el móvil se encuentra en P y tiene una velocidad v cuya dirección

es tangente a la trayectoria en dicho punto. En el instante t' el móvil se encuentra en el punto y tiene una velocidad v'.

P' El

móvil ha cambiado, en general, su velocidad tanto en módulo como en dirección, en la cantidad dada por el vector diferencia Δv=v’-v.

Se define la aceleración media como el cociente entre el vector cambio de velocidad Δv y el intervalo de tiempo Δt=t'-t, en el que tiene lugar dicho cambio. =v'−vt'−t=ΔvΔt=v'−vt'−t=ΔvΔt Y la aceleración a en un instante

a=limΔ t→0ΔvΔt=dvdta=limΔ t→0ΔvΔt=dvdt

Resumiendo, las ecuaciones del movimiento curvilíneo en el plano XY son

x=x(t)  vx=dxdt  ax=dvxdty=y(t)  vy=dydt  ay=dvydtx=x(t)  

vx=dxdt  ax=dvxdty=y(t)  vy=dydt  ay=dvydt

La primera fila corresponde, a las ecuaciones de un movimiento rectilíneo a lo largo del eje X, la segunda fila corresponde, a las ecuaciones de un movimiento rectilíneo a lo largo del eje Y, y lo mismo podemos decir respecto del eje Z. Por tanto, podemos considerar un movimiento curvilíneo como la composición de movimientos rectilíneos a lo largo de los ejes coordenados.

Ejemplo: Un automóvil describe una curva plana tal que sus coordenadas rectangulares, en función del tiempo están dadas por las expresiones: x=2t3-3t2, y=t2-2t+1 m. .Calcular: 

Las componentes de la velocidad en cualquier instante. vx=dx/dt=6t2-6t m/s;



vy=dy/dt=2t-2 m/s

Las componentes de la aceleración en cualquier instante. ax=dvx/dt=12t-6 m/s2:

ay=dvy/dt=2 m/s2

1.5 ANÁLISIS DEL MOVIMIENTO DE ROTACIÓN. Cuando un objeto real gira alrededor de algún eje, su movimiento no se puede analizar como si fuera una partícula, porque en cualquier instante, diferentes partes del cuerpo tienen velocidades y aceleraciones distintas. Por esto es conveniente considerar al objeto real como un gran número de partículas, cada una con su propia velocidad, aceleración. El análisis se simplifica si se considera al objeto real como un cuerpo rígido. En este capítulo se tratará la rotación de un cuerpo rígido en torno a un eje fijo, conocido como movimiento rotacional puro. Consideremos dos sistemas de referencia en donde coinciden los dos observadores O y O’, con el sistema S “fijo” y el sistema S’ en rotación con velocidad angular w

constante, alrededor de un eje fijo, como se indica en la figura 2. También, consideremos que el tiempo medido por los dos observadores es el mismo. La posición de una partícula determinada por los dos observadores, r(t) y r'(t), es igual,

Con la posición respecto al sistema de referencia S dada en términos de sus coordenadas x(t), y(t), z(t), como

y la posición respecto al sistema de referencia S’ en términos de las coordenadas x'(t), y'(t), z'(t), dada por con los vectores unitarios i’, j’, k’ en rotación respecto al sistema S.

La velocidad v(t) de la partícula determinada por el observador O, es:

mientras que v'(t) es la velocidad de la partícula obtenida por el observador O’:

Sin embargo, la velocidad determinada por el observador O se puede relacionar con la velocidad medida por el observador O’ considerando la relación 8, de tal manera que

Sustituyendo la expresión para la posición r'(t),

debido a la rotación de los vectores unitarios primados respecto al sistema de referencia “fijo”. Los tres primeros términos corresponden a la velocidad de la partícula determinada por el observador O’. Por otra parte, los cambios en el tiempo de los vectores unitarios es la velocidad de un punto a una distancia unitaria girando con velocidad angular w constante,

por lo que la relación entre las velocidades es:

Factorizando a la velocidad angular de los últimos tres términos, tenemos:

por lo que obtenemos finalmente la relación:

Momento angular de una partícula.

Se define momento angular de una partícula respecto de del punto O, como el producto vectorial del vector posición r por el vector momento lineal mv L=r´mv

Momento angular de un sólido rígido. Las partículas de un sólido rígido en rotación alrededor de un eje fijo describen circunferencias centradas en el eje de rotación con una velocidad que es proporcional al radio de la circunferencia que describen vi=w ·ri

En la figura, se muestra el vector momento angular Li de una partícula de masa mi cuya posición está dada por el vector ri y que describe una circunferencia de radio Ri con velocidad vi. El módulo del vector momento angular vale Li=rimivi Su proyección sobre el eje de rotación Z es Liz=miviricos(90-q i), es decir,

El momento angular de todas las partículas del sólido es

La proyección Lz del vector momento angular a lo largo del eje de rotación es

El término entre paréntesis se denomina momento de inercia

En general, el vector momento angular L no tiene la dirección del eje de rotación, es decir, el vector momento angular no coincide con su proyección Lz a lo largo del eje de rotación. Cuando coinciden se dice que el eje de rotación es un eje principal de inercia. Para estos ejes existe una relación sencilla entre el momento angular y la velocidad angular, dos vectores que tienen la misma dirección, la del eje de rotación L=Iw

1.6 ANÁLISIS DEL MOVIMIENTO RELATIVO A UN SISTEMA DE REFERENCIA EN TRANSLACIÓN.

Movimiento relativo de traslación uniforme. Las transformaciones de Galileo son las ecuaciones que relacionan los vectores de posición, velocidad y aceleración medidos desde dos sistemas de referencia diferentes, cuando uno de ellos está en reposo y el otro se mueve con velocidad constante con respecto al primero.

Sistemas de referencia El movimiento de una partícula puede ser observado desde distintos sistemas de referencia. Un sistema de referencia está constituido por un origen y tres ejes perpendiculares entre sí y que pasan por aquél. Los sistemas de referencia pueden estar en reposo o en movimiento. Existen dos tipos de sistemas de referencia:



Sistema de referencia inercial: es aquél que está en reposo o se mueve con velocidad constante (es decir, no tiene aceleración).



Sistema de referencia no inercial: es aquél que tiene aceleración.

Sistema de referencia. El observador O está en reposo. O1 y 02 son inerciales, 03 es no inercial. Los vectores posición, velocidad y aceleración de una partícula tendrán en general distinto valor dependiendo del sistema de referencia desde el que estén calculados.

Es interesante disponer de ecuaciones que relacionen los valores de dichos vectores calculados desde distintos sistemas de referencia, porque de este modo, una vez calculados con respecto a uno de ellos y conociendo el movimiento relativo de ambos sistemas de referencia, podremos obtener los vectores medidos por el segundo.

En esta sección vamos a obtener dichas ecuaciones para varias situaciones concretas: cuando los dos sistemas de referencia se encuentran en movimiento relativo de traslación (uniforme y uniformemente acelerado) y cuando se encuentran en movimiento relativo de rotación uniforme.

Movimiento relativo de traslación uniforme Las transformaciones de Galileo son las ecuaciones que relacionan los vectores de posición, velocidad y aceleración medidos desde dos sistemas de referencia diferentes, cuando uno de ellos está en reposo y el otro se mueve con velocidad constante con respecto al primero. Es importante resaltar que en esta situación ambos sistemas de referencia son inerciales.

Movimiento relativo de traslación uniforme. O y O' son dos sistemas de referencia inerciales, y O' se mueve con velocidad V constante con respecto a O.

En la figura anterior está representada la trayectoria de una partícula (en azul) y los dos sistemas de referencia junto con los vectores unitarios que definen los sentidos positivos de sus ejes. Como puede observarse, Vector de posición Derivando,

Vector velocidad Donde V es la velocidad de O' con respecto a O. Derivando de nuevo, Vector aceleración

Como se observa en la última ecuación, todos los sistemas de referencia inerciales miden la misma aceleración

Movimiento relativo de traslación uniformemente acelerado, Consideremos ahora una situación semejante a la anterior, pero en la que el sistema que se traslada lo hace con una aceleración constante A con respecto al que permanece en reposo. Según las relaciones del movimiento uniformemente acelerado la distancia recorrida por O´ en un tiempo t es ahora:

De forma análoga al caso anterior obtenemos las siguientes relaciones:

Vector de posición Donde A es la aceleración de O' con respecto a O. Derivando, Vector velocidad Derivando de nuevo, Vector aceleración

Es decir, las aceleraciones mediadas por ambos sistemas no coinciden.

Un sistema que se encuentra en movimiento relativo acelerado con respecto a otro es un sistema de referencia no inercial

Un sistema de referencia no inercial se denomina así porque en él no se cumple la ley de inercia o Primera Ley de Newton. Consideremos un sistema de referencia “fijo” S, con su origen O y los ejes cartesianos X, Y, Z, y un sistema S’ en movimiento, con su origen O’ y los ejes X’, Y’, Z’, paralelos a los ejes X, Y, Z, respectivamente, como se indica en la figura 1. Supongamos que el tiempo medido por los dos observadores es el mismo, t = t’. La posición r(t) de una partícula P en el tiempo t, indicada por el observador O está dada por:

siendo x(t), y(t), z(t) las coordenadas en el sistema S; mientras que vista por el observador O’, la posición r'(t) en el mismo tiempo, es:

siendo x'(t), y'(t), z'(t) las coordenadas en el sistema S’. La posición R(t) del observador O’ determinada por el observador O, en el tiempo t, es:

siendo X(t), Y(t), Z(t) las coordenadas en el sistema S. La relación entre los vectores de

posición se puede ver directamente en la figura,

Es decir que la posición r(t) de la partícula desde el sistema de referencia “fijo” S corresponde a la posición r'(t) de la partícula medida desde el sistema en movimiento S’ más la posición R(t) del observador O’ respecto al sistema “fijo” S. Para determinar la relación entre las velocidades tomamos el cambio respecto al tiempo en la ecuación

BIBLIOGRAFIA. 

www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/dinamica/trabajo/energia/energia.htm



http://personales.unican.es/junqueraj/JavierJunquera_files/Fisica1/6.Trabajo_y_energia.pdf



fisica.unav.es/~dmaza/fisica1/mec4.html



fisica1unasam.zonalibre.org/CAPITULO%20V.%20CINETICA%20DE%20UNA%20...



www.uco.es/~fa1orgim/fisica/archivos/Lecciones/LFM10.PDF