Unidad 1. Coordenadas Polares

Geometría Analítica II Unidad 1. Coordenadas Polares

Universidad Abierta y a Distancia de México

Licenciatura en matemáticas

Geometría Analítica II

3er Semestre

Unidad 1. Coordenadas polares

Clave: 05142314/06142314

Educación Abierta y a Distancia * Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnologías 1

Geometría Analítica II Unidad 1. Coordenadas Polares Contenido

UNIDAD 1. COORDENADAS POLARES  ..................................................................................... 3 Propósito de la unidad   .....................................................................................................................

3

Competencia específica   ..................................................................................................................

3

Presentación de la unidad   ...............................................................................................................

3

1.1. Coordenadas polares   ...............................................................................................................

3

1.1.1. ¿Para qué otro sistema coordenado? ................... ............................ .................. .................. .................. ................... ................... .................. ......... 4 1.1.2. Coordenadas polares como alternativa a las coordenadas cartesianas .............. ....................... ................. ........ 6

1.2. Conversión de coordenadas cartesianas a polares  .......................................................... 13

 1.2.2. Obtención de   ................................................................................................................... 15 1.2.1. Obtención de   .................................................................................................................... 13

1.3. Conversión de coordenadas polares a cartesianas  .......................................................... 27

 

1.3.1. Obtención de las coordenadas  y  ................................................................................... 27

Fuentes de consulta   .......................................................................................................................

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34

Geometría Analítica II Unidad 1. Coordenadas Polares UNIDAD 1. COORDENADAS POLARES Propósito de la unidad 



 

Ubicarás el sistema de coordenadas polares como una alternativa al sistema de coordenadas cartesianas. Utilizarás el método de conversión de coordenadas cartesianas a coordenadas polares y viceversa. Utilizarás el sistema de coordenadas polares en problemas aplicados. Desarrollarás Desarrolla rás habilidades para el análisis, el razonamiento y la comunicación de tu pensamiento a través de la solución de problemas.

Competencia específica  Analizar las las coordenadas coordenadas polares polares para el el modelado modelado y resolución resolución de problemas problemas con con simetría radial a través de sus propiedades y con la conversión entre sistemas de coordenadas espaciales. espaciales .

Presentación de la unidad En tu curso de Geometría analítica I estudiaste diversos lugares geométricos en el plano, como la recta y las cónicas, es decir, trabajaste en . En el presente curso estudiaremos algunos lugares geométricos en el espacio ( ), pero antes iniciarás el estudio de las coordenadas no rectangulares en . Estudiarás las coordenadas polares y el procedimiento para convertir coordenadas cartesianas en polares y coordenadas polares en rectangulares. Estas coordenadas te serán útiles en algunas situaciones en que las coordenadas cartesianas se vuelven muy complicadas de manejar.

ℝ

ℝ

ℝ

1.1. Coordenadas polares Es posible que, al presentársete el término “coordenadas polares”, este resulte un tanto

desconcertante y te de la idea de algo que poco tiene que ver con la geometría. Sin embargo, es pertinente aclarar que las coordenadas polares se llaman de esta manera porque, para ubicarlas, se emplea el llamado plano polar en lugar del plano cartesiano. El plano polar presenta algunas diferencias significativas con el plano cartesiano y se llama de esta manera porque, en este caso, al origen se le llama polo, polo, aunque el polo y el origen son básicamente lo mismo.

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Plano polar

Plano cartesiano

¿Para qué otro sistema coordenado? Si hasta ahora has podido vivir tranquilamente usando solo las coordenadas cartesianas para la geometría analítica, entonces, ¿qué necesidad tenemos de complicar las cosas introduciendo un nuevo sistema de coordenadas? La pregunta es justa, pero con unos cuantos ejemplos que se presentan más adelante verás que las coordenadas polares son muy útiles en situaciones donde el uso de coordenadas cartesianas se vuelve complejo. Por ejemplo, supón que un ingeniero desea planear la distribución de faroles para la iluminación de la plaza central de una pequeña ciudad; la plaza tiene una forma rectangular, como se muestra en la siguiente figura:

Fig. 1. Supongamos que el parque del ejemplo tiene las características que s e muestran en la figura.

El ingeniero puede considerar la plaza como un gran plano cartesiano en donde la ubicación de los postes para los faroles puede representarse por un par ordenado. Supongamos entonces que el ingeniero ha realizado la siguiente planeación:

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Fig. 2. Planeación de la ubicación de las lámparas de acuerdo al proyecto del ingeniero.

Como ves, es lo más sencillo determinar las coordenadas de los faroles.  A manera de práctica, determina las coordenadas de los faroles restantes. Pero, ¿qué pasaría si la plaza no tuviera esta forma? Imaginemos ahora que la plaza tiene una forma como la que se muestra a continuación:

Fig. 3. Ahora se muestra una plaza de forma c ircular, en la que se debe de colocar la iluminación.

El proyecto del ingeniero propone una distribución de los postes, como se indica en el plano siguiente:

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Fig. 4. Los postes se deberán de colocar según las marcas.

No es imposible determinar las coordenadas cartesianas para cada poste; sin embargo, resulta tedioso. ¡Es en estos casos cuando es útil usar un sistema de coordenadas adecuado a la situación!

1.1.2. Coordenadas polares como alternativa a las coordenadas cartesianas Las coordenadas polares pueden sustituir a las cartesianas siempre que sea necesario. Desde luego, no es adecuado utilizarlas para todo, como tampoco es adecuado hacer lo propio con las cartesianas y por supuesto que es posible realizar conversiones de coordenadas cartesianas a polares y viceversa. Empecemos por comprender exactamente cómo son las coordenadas polares. En un sistema de coordenadas rectangulares tú puedes localizar un punto P  en el plano, identificando el cruce de una recta horizontal y una vertical como si fuera el cruce de dos calles en una ciudad que tenga las calles muy derechas. Estas rectas constituyen lo que conoces como coordenadas  x ,  y en un plano cartesiano, y las rectas son respectivamente , . Por ejemplo, supongamos que tenemos las rectas ,y . Sus gráficas serían como se muestra a continuación:

 = 1  = 2

Fig. 5. La primera gráfica corresponde a

 = 8  = 11

 = 8; la segunda, a  = 11.

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El punto que buscamos es el que se encuentra justo en el cruce de las gráficas anteriores, tal como podemos ubicar las esquinas de las calles de una ciudad; esto lo puedes observar en la Figura 6.

Fig. 6. El punto P  se localiza en el cruce de las rectas

 = 8 y  = 11.

En coordenadas polares, los puntos también se ubican con el cruce de dos gráficas, solo que, en este caso, no son dos rectas paralelas a los ejes del plano cartesiano, sino una recta que pasa por el polo (origen), y una circunferencia. La coordenada  Al retomar nuestro ejemplo de las calles de la ciudad, resultará que esta ciudad es muy extraña, pues tiene calles rectas, pero que pasan todas por el centro, como se muestra a continuación:



Fig. 7. En coordenadas polares una de las coordenadas es una línea que pasa por el polo (origen). Comparando con el ejemplo de las calles de una ciudad, luciría como se muestra.

Cabe mencionar que cada calle toma su nombre del ángulo que forma con la calle “eje polar”. En realidad, este dato (el ángulo medido desde el e je polar en sentido contrario a



las manecillas del reloj) se llama coordenada . Si el ángulo se mide en el mismo sentido de las manecillas del reloj, entonces se considera negativo. EJEMPLO 0.1. Ubica la recta que describe la coordenada  en cada uno de los siguientes casos: a) .

 = 45º

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Geometría Analítica II Unidad 1. Coordenadas Polares Solución. Como el ángulo es negativo, sabemos que se está midiendo en sentido horario. Entonces, a partir del eje polar, se cuenta un ángulo de 45º en el sentido descrito:

Fig. 8. Coordenada

 = 315º

 = º, correspondiente a la solución del EJEMPLO 0.1. a).

b) . Solución: Al ser un ángulo positivo, simplemente se mide en sentido antihorario.

Fig. 9. Coordenada

 = º, correspondiente a la solución del EJEMPLO 0.1 b).

Como puedes observar, la línea que define la solución en este inciso es idéntica a la que define la solución en el inciso a). En efecto, una línea inclinada a  es equivalente a una inclinada . En apariencia son ángulos distintos debido a que están medidos en sentidos opuestos.

45º

315º

La coordenada



En nuestra hipotética ciudad, aparte de las calles que pasan por el centro, existe otro tipo de calles: las calles circulares. Estas calles se encuentran trazadas de modo que su trayectoria es un círculo cuyo centro es el polo. Esto significa que cada calle da vuelta alrededor del polo manteniéndose en todo momento a una distancia constante del mismo. Esta distancia se llama radio (es el radio del círculo). En nuestro ejemplo, los nombres de las calles circulares coincidirán con la distancia a la que dicha calle pasa del polo (centro) Educación Abierta y a Distancia * Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnologías 8

Geometría Analítica II Unidad 1. Coordenadas Polares de la ciudad. Por ejemplo, si una calle pasa a 200 metros del polo, se llamará “calle 200”.

Veamos cómo lucen las calles circulares de nuestra ciudad:

Fig. 10. El nombre de las calles de la ciudad del ejemplo, es la distancia e ntre dicha calle circular y el polo (centro) de la ciudad. Es decir, el nombre de la calle es el valor del radio de la misma. En realidad, estas “calles circulares” definen la segunda coordenada que necesitamos

para ubicar un punto en polares. Esta coordenada es la distancia a la que se encuentra el punto, medida desde el polo. Si sabemos que un punto se encuentra a 10 unidades de longitud del polo, puede estar en cualquier parte alrededor del polo, siempre que se encuentre a 10 unidades. Esto define un círculo de radio 10. La coordenada que acabamos de describir es la coordenada .



EJEMPLO 0.2. Ubica la circunferencia que describe la coordenada  en cada uno de los siguientes casos: .   Solución: en este caso, se debe de trazar una circunferencia con centro en el origen, con radio   unidades, y otra con   unidades:

  = 17,  = 20

  = 17

34

Fig. 11. Coordenadas

  =

 =  (azul) y  =  (rojo) unidades respectivamente.

El plano polar Cuando usamos coordenadas cartesianas, trabajamos sobre un plano cartesiano; cuando usamos coordenadas polares trabajamos sobre un plano polar. Un plano polar se representa generalmente como una serie de líneas guía que pasan por el polo y una serie de círculos concéntricos cuyo centro es el polo mismo. En la siguiente figura se muestra Educación Abierta y a Distancia * Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnologías 9

Geometría Analítica II Unidad 1. Coordenadas Polares un plano polar. Hay que aclarar que, así como en un plano cartesiano se ponía una cuadrícula que servía de guía para trabajar sobre él, en un plano polar, los círculos y líneas que se observan también son solamente una guía que nos ayuda a localizar los puntos de interés.

Fig. 12. Un plano polar es un es pacio en el que se puede ubicar un punto mediante sus coordenadas

,.

Para localizar un punto sobre el plano polar, tenemos que ubicar el cruce de su coordenada  y su coordenada . Por ejemplo, localicemos el punto  en el plano polar. Primero, localicemos el círculo cuyo radio es  (Figura 13a). Luego, la línea que pasa por el origen y cuyo ángulo medido en el sentido antihorario respecto al eje polar es 300º (Figura. 13b). Por último, buscamos el punto donde ambas coordenadas se cortan, y de este modo hemos localizado nuestro punto .





 = 10

 10,300º

 

a) La coordenada

 = 10.

b) La coordenada

 = 300º.

Fig. 13. Estas coordenadas definen la posición del punto de interés planteado en el ejemplo

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 .

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Fig. 14. El punto

 10,300º se encuentra en el cruce de las gráficas definidas por las coordenadas  y .

EJEMPLO 0.3. a) ¿Cuántos pares ordenados ,, es decir, cuántos puntos quedarán definidos si se tienen los siguientes datos? Ubícalos en el plano polar:  = º,  = º,   = ,  = ,  = . Solución: Para ubicar los puntos sobre el plano polar, tracemos primero las coordenadas que se nos están indicando. Todas  juntas sobre un mismo plano lucirían como en la siguiente figura:

Fig. 05. Representación en el plano polar de las coordenadas: .



 = º,  = º,  = ,   = ,  =

Ya que se han ubicado las coordenadas sobre el plano polar, procedamos a identificar los puntos y sus coordenadas para asignar a cada uno un par ordenado . Como se muestra en la Figura 16, existen 6 puntos a los que hemos denominado respectivamente , , , ,  y :

,

      

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Fig. 16. A partir de las coordenadas que se plantean en el ejemplo, pueden ubicarse los puntos A, B, C, D, E y F.

Las coordenadas para cada uno de los puntos serán respectivamente:

 10,10º 15,10º 25,10º 10,30º 15,30º 25,30º

r≤ 0

Cuando  Analicemos qué ocurrirá, o cómo debemos de interpretar los hechos de que  y . En el primer caso, es relativamente fácil visualizar la cuestión: si la longitud  toma un valor de cero, estamos ubicados justamente sobre el polo. Pero entonces, ¿qué valor tomará ? Imaginemos que ; siendo , ¿Habría alguna diferencia si  tomara valores como ,  o ? Desde luego, la respuesta es no; no importa el valor del ángulo: cuando ,  puede tomar cualquier valor sin que el resultado se vea afectado.



 = 0º 180º 270º 90º =  

 =0  0

< 0 180º

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

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< 

Fig. 07. Para poder transformar un par ordenado en el que  en otro par ordenado en el que deberá de sumar o restar a  un múltiplo entero impar de .



º

 > , se

Basta por el momento aceptar sin demostración la afirmación:

, = , +,  ∈ ℤ

Cuando

 > 360º

 A medida que avances con el estudio de las coordenadas polares, te darás cuenta de que hay ocasiones en que se tienen coordenadas . ¿Qué pasa entonces? La respuesta es: nada.

 > 360º

20,405º

Por ejemplo, ubiquemos el punto  en el plano polar. Para ello, recuerda que el ángulo se mide a partir del eje polar en el sentido opuesto a las manecillas del reloj. Observa la siguiente figura en la que se ha ubicado el punto:



Fig. 18. En coordenadas polares pueden ubicarse puntos aunque la c oordenada  del punto sea mayor a .

360º

Si observas la figura, verás que el ángulo realiza un giro completo (360º), con lo que queda posicionado nuevamente en el eje polar, para luego recorrer el faltante para completar los 405º. Para lograrlo, faltan 45º por recorrer. Una vez hecho esto, tenemos la coordenada buscada.

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Geometría Analítica II Unidad 1. Coordenadas Polares 1.2. Conversión de coordenadas cartesianas a polares Estudiaremos ahora el método de conversión de coordenadas cartesianas a coordenadas polares. Para ello, recordaremos algo de lo que estudiaste en trigonometría (el teorema de Pitágoras y la función tangente inversa).

1.2.1. Obtención de





,

Cuando se desea obtener la coordenada  a partir de coordenadas , se debe de aplicar el teorema de Pitágoras. Las coordenadas cartesianas se pueden considerar los catetos de un triángulo rectángulo, y  puede ser considerado como la hipotenusa del mismo. Para ilustrar esto, observa la  Fig. 1:



,

Fig. 1. Las coordenadas cartesianas  pueden considerarse como los catetos de un triángulo rectángulo en el que la coordenada polar  es la hipotenusa.





Por lo tanto, la obtención de  se limita a la aplicación de la fórmula del teorema de Pitágoras:

 =   +  Claro es que esto funciona para cualesquiera  o , incluso en los casos en que toman

valores negativos, pues, al elevar al cuadrado cada coordenada, los signos negativos se eliminan. Veamos ahora algunos ejemplos. EJEMPLO 0.1. Obtener  a partir de las coordenadas , en cada uno de los casos que se indican. a)  Aplicando la fórmula, se tiene que:

 = 4, = 8

 =   4 + 8 = √ 16 + 64 = √ 80 ≅ 8.94 b)

 = 5, = 3

 Aplicando la fórmula, se tiene que:

 =  5 + 3 = √25 + 9 = √ 34 ≅ 5.83 c)

 = 5, = 2

 Aplicando la fórmula, se tiene que: Educación Abierta y a Distancia * Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnologías 14

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 =  5 +2 = √25 + 4 = √ 29 ≅ 5.38 d)

 = 0, = 6

 Aplicando la fórmula, se tiene que:

 =  0 + 6 = √ 0 + 36 = √ 36 = 6



Observa con atención. Cuando una de las coordenadas es cero, el valor de  dependerá solamente del valor de la coordenada distinta de cero. También es importante notar que, dado que  se calcula por medio de una raíz cuadrada, en muchos de los casos es un número irracional, por lo que nos veremos obligados a trabajar ¡solamente con una aproximación al valor real de !





1.2.2. Obtención de







Obtener la coordenada  resulta tan simple como obtener la coordenada . Igualmente, usaremos las coordenadas  como catetos de un triángulo rectángulo, pero, en esta ocasión, emplearemos la función trigonométrica inversa que conocemos como tangente inversa. Veamos qué es lo que ocurre. Primero, observemos la  Fig. 2. Se trata de un triángulo rectángulo, del que tenemos que hallar el valor del ángulo .

,





 

Fig. 2. Para calcular el valor de  dados  y , se usa la función tangente inversa.

Si haces memoria, recordarás que:

Y, lógicamente:

tan =  =  34  = tan−  = tan− 34

 

Trasladando esto a una situación sobre el plano y considerando a  y  las coordenadas cartesianas de un punto, la cuestión luciría como se muestra:

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Geometría Analítica II Unidad 1. Coordenadas Polares Fig. 3. Si se traslada al plano la situación descrita arriba, se tendría un punto con coordenadas correspondientes a los catetos de un triángulo rectángulo.

,

 seguirá calculándose con la fórmula de la  tangente inversa. Entonces, ¿podemos concluir que tan =  es la fórmula que nos dará sin duda el valor de ? La respuesta no es tan simple, para ello, veamos el siguiente caso. Supongamos que tenemos un punto como se muestra en la figura:



Fig. 4. Un punto situado en el III cuadrante del plano.

Calculemos  para el punto de la ilustración:

 = tan− (3 4)

Hasta este punto todo parece ir en orden, pero recuerda que, cuando se divide un número negativo entre otro positivo, el resultado es el mismo que dividir dos números positivos. Por lo tanto:

3 = 3 4 4 Por lo tanto: − (3)  = tan− (3 ) = tan 4 4 El resultado que tenemos al calcular  es exactamente el mismo que el que se obtuvo

para el primer ejemplo (Fig. 3). ¿Es esto posible? O ¿nos habremos equivocado? Si las Fig. 3 y 22 nos muestran ángulos totalmente distintos, el resultado es evidentemente incorrecto. Para tratar de aclarar el misterio, observemos la Fig. 5:

Fig. 5. Se grafica un punto en coordenadas polares, ubicado en el III cuadrante.

No es difícil observar que el punto se encuentra en el III cuadrante del plano. Ahora analicemos: ¿Qué significa ? Si bien  nos indica el valor de la coordenada

 = 4

 = 4

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Geometría Analítica II Unidad 1. Coordenadas Polares abscisa de nuestro punto, el signo negativo de la misma nos dice que esta coordenada se debe de contar del origen hacia la izquierda (en la dirección negativa). Pero la distancia a la que se encuentra el punto de ninguna manera es negativa, esta distancia es de hecho positiva (en la dirección  el punto se ubica a 4 unidades de distancia del origen). Si haces memoria, es seguro que no recuerdes haber visto alguna vez un triángulo con catetos negativos.  Algo análogo ocurre con . Es decir que se forma un triángulo rectángulo como se indica en la figura 24.







Fig. 6. Triángulo rectángulo que se forma con las coordenadas del punto.

Como podrás darte cuenta, al aplicar la función tangente inversa al triángulo, no se obtiene el ángulo que nos interesa sino el ángulo interno del triángulo. Para alcanzar el valor de hay que sumar  lo que le falta. Si regresamos a la  Fig. 4 nos daremos cuenta de que lo que falta es exactamente 180 grados. Pero si el punto se encuentra en el II cuadrante la historia cambia. Supongamos ahora que se tiene la situación mostrada en la siguiente figura:



Fig. 25. Punto ubicado en el II cuadrante.

En este caso

 = tan− (43 ) = tan− ( 34) = 

Esta vez tampoco hemos obtenido lo que buscamos, pues el ángulo que arrojó la función tangente inversa es de la misma magnitud que el del primer ejemplo, pero, además, ¡negativo! Algo tendremos que hacer al respecto. Si nos fijamos muy bien, también en este caso se forma un triángulo. Ese triángulo tiene también un ángulo entre su cateto y el eje de las abscisas.

""

Lo que ocurre en realidad es que en este caso volvimos a obtener el valor de ese ángulo, pero medido en el sentido horario. Si te fijas bien, al sumar algebraicamente este ángulo negativo con 180 grados, ¡obtendremos el valor real de !



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Geometría Analítica II Unidad 1. Coordenadas Polares En conclusión, la función tangente inversa nos devolverá solo el valor del ángulo interno del triángulo asociado a un punto. En el II y IV cuadrantes, el ángulo estará medido en sentido horario (será negativo). Solo en el I cuadrante el valor obtenido corresponderá a lo que se busca; en los cuadrantes II y III hay que sumar algebraicamente el ángulo obtenido con 180 grados para obtener el valor correcto de ; si el punto se localiza en el IV cuadrante habrá que sumar algebraicamente el valor obtenido con 360 grados. Si el punto se encuentra fuera del origen pero sobre uno de los ejes, la historia es muy distinta.



Para aclarar las cosas, en las siguientes tablas se muestra lo que pasa en cada uno de los cuadrantes y ejes. Llamemos  al ángulo que se encuentra en el interior del triángulo asociado al punto; veamos la relación entre  y .



CUADRANTE SITUACIÓN DE SITUACIÓN DE SITUACIÓN DE OBTENCIÓN DE

I

   

EJE SOBRE EL QUE ESTÁ EL PUNTO SITUACIÓN DE SITUACIÓN DE SITUACI N DE OBTENCI N DE

   

 

II

III

IV

 >0  >0  >0

 0  0  0 

