Unidad 1 Cálculo Diferencial

UNIDAD 1: NÚMEROS REALES

Equipo 2 CÁLCULO DIFERENCIAL UNIDAD 1: NÚMEROS REALES

INGENIERÍA MECATRÓNICA GRUPO 1 PROFESOR: SAÚL MONDRAGÓN

ULLOA

INSTITUTO TECNOLÓGICO DE CUAUTLA.

UNIDAD 1: NÚMEROS REALES

CONTENIDO 1.1 LA RECTA NUMÉRICA GRAFICACIÓN DE RAÍZ CUADRADA EN LA RECTA SEGMENTO 1.2 LOS NÚMEROS REALES 1.3 PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES 1.3.1 TRICOTOMÍA 1.3.2 TRANSITIVIDAD 1.3.3 DENSIDAD 1.3.4 AXIOMA DEL SUPREMO 1.4 INTERVALOS Y SU REPRESENTACIÓN MEDIANTE DESIGUALDADES 1.5 RESOLUCIÓN DE DESIGUALDADES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA Y DE DESIGUALDADES CUADRÁTICAS CON UNA INCÓGNITA. DESIGUALDADES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA DESIGUALDADES CUADRÁTICAS CON UNA INCÓGNITA. 1.6 VALOR ABSOLUTO Y SUS PROPIEDADES 1.7 RESOLUCIÓN DE DESIGUALDADES QUE INCLUYAN VALOR ABSOLUTO

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1.1 LA RECTA NUMÉRICA La recta numérica es un gráfico en un plano unidimensional de una línea en la que podemos colocar los números enteros a la misma distancia uno de otro o también conocida como una sucesión de puntos, la cual se puede dividir en segmentos. En ella podemos incluir todos los números reales, no sólo los enteros, por eso es infinita en cualquier dirección, tanto entre los números negativos como con los positivos. La recta está dividida desde el origen en dos mitades simétricas, es decir que el número 0 es el que separa la parte negativa y la positiva.

-Para ubicar fracciones, divides el entero (o los enteros) en tantas partes como indica el denominador y tomas las que indica el numerador. Por ejemplo: La fracción 3/5 se ubica en la recta, en el punto amarillo. El segmento de recta que representa al número 1 lo dividimos en cinco partes que están indicadas de color rojo. De esas cinco partes, tomamos las tres que están señaladas con color azul.

GRAFICACIÓN DE RAÍZ CUADRADA EN LA RECTA Para graficar una raíz en la recta se puede hacer uso del Teorema de Pitágoras por ejemplo raíz cuadrada de 3: √ √

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SEGMENTO Segmento es la porción de recta limitada por dos puntos, llamados extremos. Se designa por los puntos que lo limitan o por una letra minúscula.

División de un segmento en partes Dividir el segmento AB en 3 partes ig uales:

1 Se dibuja una semirrecta de origen el extremo A del segmento.

2 Tomando como unidad cualquier medida, se señalan en la semirrecta 3 unidades de medida a partir de A.

3 Por cada una de las divisiones de la semirrecta se trazan rectas paralelas al segmento que une B con la última división

UNIDAD 1: NÚMEROS REALES Bibliografía Anónimo. (s.f.). La recta numérica. Recuperado el 1 de Septiembre de 2014, de http://www.aula365.com/recta-numerica/ Anónimo. (s.f.). Recta numérica. Recuperado el 1 de Septiembre de 2014, de http://www.ceibal.edu.uy/contenidos/areas_conocimiento/mat/conceptofracc ion/recta_numrica.html Anónimo. (s.f.). Segmentos. Recuperado el 1 de Septiembre de 2014, de http://www.vitutor.com/geo/eso/el_3.html Apuntes Cálculo Diferencial

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1.2 LOS NÚMEROS REALES DEFINICIÓN: Número real, cualquier número racional o irracional. Los números reales pueden expresarse en forma decimal mediante un número entero, un decimal exacto, un decimal periódico o un decimal con infinitas cifras no periódicas. Los números que pueden representarse por notación decimal se llaman números reales. En palabras más simples, todos esos números que perduran son reales. CARACTERÍSTICAS DE LOS NÚMEROS REALES: 

Cada tipo de número encaja en el conjunto de los números reales.



Este conjunto incluye, básicamente, los números naturales, números enteros, números racionales e irracionales.



Todo número real puede tener lugar en la recta numérica.



La notación “R” es universalmente utilizada para simbolizar todo el conjunto de los números reales.



Estos números pueden ser marcados en la recta numérica como puntos.

EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES ( NOMBRE Número Naturales (N)

Enteros (E)

Racionales (Q)

DESCRIPCIÓN Números con los que contamos (también se les llama enteros positivos). Conjunto de todos los números naturales con sus opuestos (negativos) y el cero. Conjunto formado por todos los números que se pueden escribir en la forma , donde m y n son

)

EJEMPLOS

,

,

,

,

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Irracionales (Q´)

enteros . Así como raíces exactas y números decimales periódicos. Números que poseen infinitas cifras decimales no periódicas, que por lo tanto no pueden ser expresados como fracciones. Así como raíces inexactas.

,

Q´

Bibliografía 1.5 Números Reales. (s.f.). Recuperado el 1 de Septiembre de 2014, de http://www.eplc.umich.mx/salvadorgs/matematicas1/contenido/CapI/1_5_Nu meros%20Reales.htm Números racionales. (s.f.). Recuperado el 1 de Septiembre de 2014, de http://1dos3cuatro5.blogspot.mx/2011/06/numeros-racionales.html

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1.3 PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES Existe una serie de propiedades de los números reales que deben ser estudiadas a profundidad para entender el concepto de los números reales y también las operaciones basadas en números reales.

1.3.1 TRICOTOMÍA La propiedad de tricotomía de números reales indica que, para cualquier dos números reales x, y, solo uno del siguiente es exactamente verdad:

Ejemplos:

La ley de tricotomía es equivalente a que la relación de orden ≤ sea total, esto es, que dados dos elementos x e y se tenga x ≤ y o y ≤ x (o ambos). Las relaciones de orden de los números naturales, enteros, racionales y reales cumplen la ley de tricotomía (son órdenes totales). Sin embargo, la relación de inclusión ⊆ en los subconjuntos de un conjunto dado no la cumple: puede haber dos conjuntos incomparables tales que ninguno es subconjunto del otro. Bibliografía Ley de la Tricotomia. (s.f.). Recuperado el 1 de Septiembre de 2014, de https://sites.google.com/site/mago9292/unidad-1-numeros-reales/1-3-1--ley-de-la-tricotomia Propiedad de tricotomía de números reales. (s.f.). Recuperado el 1 de Septiembre de 2014, de http://www.allmathwords.org/es/t/trichotomy.html

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1.3.2 TRANSITIVIDAD La transitividad se divide en 2: 1. Transitividad de igualdad. 2. Transitividad de desigualdad.

Para 3 números reales cualesquiera:

se cumple algunos de los siguientes teoremas:

1.- transitividad de igualdad.

Ejemplo: 3= y =3

3=3

2.- Transitividad de desigualdad:

Ejemplo: 3 < 10 y 10 < 15

3 < 15

Ejemplo: 3

3y3

4

3

4

Ejemplo: 8

5y5

2

8

2

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Ejemplo: 8

5y5

2

8

2

Bibliografía Transitividad. (s.f.). Recuperado el 1 de Septiembre de 2014, http://creandoelfuturo.net/es/propiedades-numeros-reales/transitividad

de

1.3.3 DENSIDAD La densidad es una propiedad fundamental de los números reales, según la cual los números reales son densos en naturaleza, o en términos simples, entre dos números reales existe un tercer número real, en todos los casos. Se puede concluir que la recta numérica no tiene espacios entre ella y por esta razón es muy densa, representando así una cantidad infinita de números sobre ella. Para demostrar la afirmación anterior, se puede representar de la siguiente manera:

Se puede observar mediante la fórmula, que la densidad se representa principalmente por la media aritmética de los dos valores. Bibliografía Densidad. (s.f.). Recuperado el 1 de Septiembre http://mitecnologico.com/igestion/Main/Densidad

de

2014,

de

1.3.4 AXIOMA DEL SUPREMO SUPREMO: Diremos que un conjunto A posee supremo, si existe un real s que satisface las dos siguientes condiciones: 1. s es una cota superior de A.

UNIDAD 1: NÚMEROS REALES 2. Cualquier otra cota superior de A es mayor que s ÍNFIMO Diremos que un conjunto A posee ínfimo, si existe un real u que satisface las dos siguientes condiciones: 1. u es una cota inferior de A 2. Cualquier otra cota inferior de A es menor que u

Ejemplos: Tiene como supremo el valor5, ya que5es cota superior del conjunto y cualquier otra cota superior de A será mayor que 5. No tiene ínfimo pues no está acotado inferiormente. Está acotado superior e inferiormente y tiene a −1 como ínfimo y a 3 como supremo (−1 es mínimo y 3 es máximo). Bibliografía Axioma del supremo. (s.f.). Recuperado el 1 de Septiembre de 2014, de http://es.scribd.com/doc/24634767/Axioma-Del-Supremo

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1.4 INTERVALOS Y SU REPRESENTACIÓN MEDIANTE DESIGUALDADES Un intervalo es un espacio, región o lapso entre dos puntos extremos o límites. Los intervalos son subconjuntos de los números reales y son clasificados de la siguiente manera:

UNIDAD 1: NÚMEROS REALES Bibliografía Intervalos e inecuaciones lineales. (s.f.). Recuperado el 1 de Septiembre de 2014, de http://www.educarchile.cl/ech/pro/app/detalle?ID=133249

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1.5 RESOLUCIÓN DE DESIGUALDADES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA Y DE DESIGUALDADES CUADRÁTICAS CON UNA INCÓGNITA. DESIGUALDADES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA Las desigualdades de primer grado, más conocidas como desigualdades lineales, son las desigualdades en las que la mayor potencia del pro numeral o variable no es mayor que 1. Reemplazando „=‟de la ecuación lineal con mayor que „>‟, menor que„ │ │<

= > - <

Ó Ó <

=

=-

y

<

En base a dichos teoremas es posible dar solución a cualquier desigualdad que incluya un signo de valor absoluto con una variable dentro.

Desigualdades de valor absoluto ( -4 Y

| < 4 significa que la distancia entre

y 0 es menor que 4.

< 4. El conjunto solución es: {-4< - .

y , si |

|< ,

Ejemplo 1: |

– 7| < 3

Para resolver este tipo de desigualdad, necesitamos descomponerla en una desigualdad compuesta. –7 –3

–7 4. El conjunto solución es: {

< -4

y 0 es mayor que 4.

> 4}

Cuando se resuelven desigualdades de valor absoluto, hay dos casos a considerar. Caso 1: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es positiva. Caso 2: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es negativa. En otras palabras, para cualesquiera numéros reales entonces > Ó ,

UNIDAD 1: NÚMEROS REALES Ejemplo 2: │ +2│≥ 4 Separe en dos desigualdades. +2 ≥ 4 Ó a+2 ≤ -4 Reste 2 de cada lado en cada desigualdad. ≥2 Ó

≤ -6

El conjunto solución sería: {

≥2

≤ -6}

La gráfica se vería así:

Bibliografía Valor Absoluto Y Sus Propiedades. (s.f.). Recuperado el 1 de Septiembre de 2014, de http://mitecnologico.com/igestion/Main/ValorAbsolutoYSusPropiedades