Unidad 1 5

UNIDAD I INTRODUCCIÓN A LOS MÉTODOS NUMÉRICOS. 1.1 Importancia de los Métodos Numéricos. El análisis numérico o cálculo numérico es la rama de las matemáticas que se encarga de diseñar algoritmos diseñar algoritmos para, a través de números y reglas matemáticas simples, simular procesos matemáticos más complejos aplicados a procesos del mundo real. El análisis numérico cobra especial importancia con la llegada de los ordenadores. Los ordenadores son útiles para cálculos matemáticos extremadamente complejos, pero en última instancia operan con números binarios y operaciones matemáticas simples. Desde este punto de vista, el análisis numérico proporcionará todo el andamiaje necesario para llevar a cabo todos aquellos procedimientos matemáticos susceptibles de expresarse algorítmicamente, basándose en algoritmos que permitan su simulación o cálculo en procesos más sencillos empleando números. Definido el error, junto con el error admisible, pasamos al concepto de estabilidad de los algoritmos. Muchas de las operaciones matemáticas pueden llevarse adelante a través de la generación de una serie de números que a su vez alimentan de nuevo el algoritmo (feedback). (feedback). Esto proporciona un poder de cálculo y refinamiento importantísimo a la máquina que a medida que va completando un ciclo va llegando a la solución. El problema ocurre en determinar hasta cuándo deberá continuar con el ciclo, o si nos estamos alejando de la solución del problema. Finalmente, otro concepto paralelo al análisis numérico es el de la representación, tanto de los números como de otros conceptos matemáticos como los vectores, polinomios, etc. Por ejemplo, para la representación en ordenadores de números reales, se emplea el concepto de coma flotante que dista mucho del empleado por la matemática convencional. En general, estos métodos se aplican cuando se necesita un valor numérico como solución a un problema matemático, y los procedimientos "exactos" o "analíticos" (manipulaciones algebraicas, teoría de ecuaciones diferenciales, métodos de integración, etc.) son incapaces de dar una respuesta. Debido a ello, son procedimientos de uso frecuente por físicos por físicos e ingenieros, y cuyo desarrollo se ha visto favorecido por la necesidad de éstos de obtener soluciones, aunque la precisión no sea completa. Debe recordarse que la física experimental, por  ejemplo, nunca arroja valores exactos sino intervalos que engloban la gran

mayoría de resultados experimentales obtenidos, ya que no es habitual que dos medidas del mismo fenómeno arrojen valores exactamente iguales.

1.2 Conceptos Básicos: Cifra Significativa, Precisión, Exactitud, Incertidumbre y Sesgo. CIFRAS SIGNIFICATIVAS Las cifras significativas (o dígitos significativos) representan el uso de una escala de incertidumbre en determinadas aproximaciones. El uso de éstas considera que el último dígito de aproximación es incierto, por ejemplo, al determinar  el volumen de un líquido con una probeta cuya precisión es de 1 ml, implica una escala de incertidumbre de 0,5 ml. Así se puede decir que el volumen de 6 ml será realmente de 5,5 ml a 6,5 ml. El volumen anterior se representará entonces como (6,0 ± 0,5) ml. En caso de determinar valores más próximos se tendrían que utilizar otros instrumentos de mayor precisión, mayor precisión, por ejemplo, una probeta de divisiones más finas y así obtener (6,0 ± 0,1) ml o algo más satisfactorio según la precisión requerida.

PRECISION En ingeniería, ciencia, industria y estadística, se denomina precisión a la capacidad de un instrumento de dar el mismo resultado en mediciones diferentes realizadas en las mismas condiciones. Esta cualidad debe evaluarse a corto plazo. No debe confundirse con exactitud ni con reproducibilidad. Es un parámetro relevante, especialmente en la investigación de fenómenos físicos, ámbito en el cual los resultados se expresan como un número más una indicación del error  máximo estimado para la magnitud. Es decir, se indica una zona dentro de la cual está comprendido el verdadero valor de la magnitud.

EXACTITUD En ingeniería, ciencia, industria y estadística, se denomina exactitud a la capacidad de un instrumento de medir un valor cercano al valor de la magnitud real.

SESGO Es el "alejamiento" de un valor con respecto a una medida de tendencia central que puede ser la media cuando tienes un grupo de datos, estos pueden ser  representados por valores promedio como el promedio de calificaciones de todos los alumnos de un examen. El sesgo seria cuanto se alejó cada uno de la calificación promedio del grupo desde los valores más altos hasta los valores más bajos.

mayoría de resultados experimentales obtenidos, ya que no es habitual que dos medidas del mismo fenómeno arrojen valores exactamente iguales.

1.2 Conceptos Básicos: Cifra Significativa, Precisión, Exactitud, Incertidumbre y Sesgo. CIFRAS SIGNIFICATIVAS Las cifras significativas (o dígitos significativos) representan el uso de una escala de incertidumbre en determinadas aproximaciones. El uso de éstas considera que el último dígito de aproximación es incierto, por ejemplo, al determinar  el volumen de un líquido con una probeta cuya precisión es de 1 ml, implica una escala de incertidumbre de 0,5 ml. Así se puede decir que el volumen de 6 ml será realmente de 5,5 ml a 6,5 ml. El volumen anterior se representará entonces como (6,0 ± 0,5) ml. En caso de determinar valores más próximos se tendrían que utilizar otros instrumentos de mayor precisión, mayor precisión, por ejemplo, una probeta de divisiones más finas y así obtener (6,0 ± 0,1) ml o algo más satisfactorio según la precisión requerida.

PRECISION En ingeniería, ciencia, industria y estadística, se denomina precisión a la capacidad de un instrumento de dar el mismo resultado en mediciones diferentes realizadas en las mismas condiciones. Esta cualidad debe evaluarse a corto plazo. No debe confundirse con exactitud ni con reproducibilidad. Es un parámetro relevante, especialmente en la investigación de fenómenos físicos, ámbito en el cual los resultados se expresan como un número más una indicación del error  máximo estimado para la magnitud. Es decir, se indica una zona dentro de la cual está comprendido el verdadero valor de la magnitud.

EXACTITUD En ingeniería, ciencia, industria y estadística, se denomina exactitud a la capacidad de un instrumento de medir un valor cercano al valor de la magnitud real.

SESGO Es el "alejamiento" de un valor con respecto a una medida de tendencia central que puede ser la media cuando tienes un grupo de datos, estos pueden ser  representados por valores promedio como el promedio de calificaciones de todos los alumnos de un examen. El sesgo seria cuanto se alejó cada uno de la calificación promedio del grupo desde los valores más altos hasta los valores más bajos.

INCERTIDUMBRE Es una estimación unida al resultado de un ensayo que caracteriza el intervalo de valores dentro de los cuales se afirma que esta el valor verdadero. Esta aplicación tiene poca aplicación práctica ya que el “valor verdadero” no puede conocerse.

1.3 Tipos de Errores Errore s Los métodos numéricos son técnicas o estrategias para dar solución a problemas para los cuales obtener la solución analítica es muy difícil o de plano imposible. Las soluciones analíticas son las obtenidas con los método que se estudiaron en los curso de matemática. Los métodos o análisis numéricos son, una materia importante, no sólo desde el punto de vista de la aplicación a la ingeniería, también lo es desde el punto de vista académico ya que, integra los conceptos importantes de las matemáticas que se estudian en el tronco común, los conceptos importantes de la ingeniería, los algoritmos de cada método numérico y la herramienta computacional que, sin ella la aplicación o utilización de los métodos numéricos sería impráctico. Como introducción a estas notas se iniciará comentando, precisamente sobre la herramienta computacional sobre la cual se programan los algoritmos de los métodos numéricos, ya sea una hoja de cálculo, leguajes de programación, C, C++, Basic, Visual Basic, Fortran, etc. O programas comerciales tales como MATLAB, Derive, Maple, etc. La herramienta computacional introduce cierto error en los cálculos, por el hecho de que las variables o espacios de la memoria RAM, de la computadora, tiene un límite de almacenamiento o capacidad de guardar un número, tomemos el ejemplo sencillo la división de, uno entre 47, La cual tiene como cociente, 0.0212765957446809. Si se realiza el proceso inverso, es decir, multiplicar el cociente por 47, se obtienen lógicamente 1. Sin embargo, hagamos estas mismas operaciones aritméticas con un programa de cómputo, Como se puede observar el resultado obtenido, por el programa de cómputo, no es uno, como se esperaría. Lo anterior ocurre porque las variables involucradas en el programa tienen una capacidad limitada de almacenamiento. Las variables se declararon como Single, sin embargo si en el mismo programa, las variables se declaran como Double, el resultado es el esperado, 1. Obsérvese, sin embargo, el siguiente ejemplo; sumar 100000 veces el número 0.1, el resultado es obvio, debería ser 10000, sin embargo,

 A pesar de haber declarado Double (tipo de variable con mayor capacidad de almacenamiento) la variable donde se hace la sumatoria hay un pequeño error de 18.80 x 10  – 9. No se profundizará en el procedimiento que las computadoras llevan a cabo para la conversión de los números decimales a números binarios y de binarios a decimales, sólo se dirá que en ese proceso se redondean los números con lo cual provocan los errores observados, además si este procedimiento se efectúa de forma iterativa, el error crece. Este tipo de error se le llama errores de redondeo.

TIPOS DE ERRORES INHERENTES A LOS METODOS NUMERICOS. Los errores de redondo se deben a que computadoras sólo guardan un número finito de cifras significativas durante un cálculo. Las computadoras realizan esta función de maneras diferentes. Por ejemplo, Si solo se guardan siete cifras significativas, las computadoras puede almacenar y usar PI como PI = 3.141592 omitiendo los términos restantes y generando un error de redondeo. Un ejemplo de como las computadoras usan varias formas para redondear  números es la siguiente: En = 0.00000065.... Esta técnica de retener solo los primeros siete términos se les llamo "TRUNCAMIENTO" en el ambiente de computación, para poder distinguirlo de los demás tipos de errores le llamaremos " corte”. Un Corte ignora los términos restantes de la representación decimal completa. Por ejemplo, el octavo digito significativo en esta es 6. Por lo tanto PI se representa de manera más exacta como 3.141593 que como 3.141592 obteniendo mediante un corte, ya que el valor  esta más cercano del verdadero valor. Esto se puede visualizar de la siguiente manera, si PI se aproxima por PI=3.141593 el error de redondeo se reduce a: En = 0.000 000 35...

ERRORES INHERENTES AL USO DE LA COMPUTADORA. Cuando utilizamos el programa de computadoras para realizar cálculos matemáticos podemos tener algunos problemas, el más común de ellos es el "Error de redondeo". El error de redondeo podemos tenerlo en cualquier calculo matemático, aun cuando hacemos los cálculos nosotros mismos por lo regular  usamos no más de 3 decimales o simplemente redondeamos a un número exacto, lo cual hace que un largo uso del resultado tengamos un error pequeño, tal vez, pero ese pequeño error hace que nuestro resultado final tenga un error decimal que lo hace no exacto. Otro error al uso de las computadoras son los fallos técnicos que puedan tener algunos programas, nosotros confiamos mucho en estos programas pero no sabes si estos tengan algún mal detalle. Este error se

debe también porque nosotros no hacemos manualmente las operaciones requeridas para la solución de un problema. Por lo tanto debemos de aprender a ser más independientes al uso de las computadoras a la hora de hacer cálculos matemáticos, es preferible hacerlos manualmente y nosotros tomar la decisión de redondear una cantidad o no.

1.4 Software de Cómputo Numérico Software de cómputo numérico. El software numérico actual ofrece un panorama muy prometedor, ya que además de la calidad en los programas y la búsqueda de conectividad entre los diferentes sistemas, también se busca estandarizar algunos aspectos de la semántica.

Software de acceso libre. Surf: software para visualización de geometría algebraica real. Winplot: un programa sencillo pero muy versátil para graficar funciones matemáticas. wxMasima: un paquete clásico para matemáticas numéricas y computación simbólica. Sistema basado en Lisp.

Software comercial. Entre los sistemas más relevantes tenemos: Derive: sistema shareware para cómputo numérico y simbólico. Lab View: Plataforma de cómputo numérico y simulación con énfasis en sistemas electrónicos empotrados, de gran importancia en la industria. MAPLE: Sistema preferido en ambientes académicos y cuyo núcleo de procesamiento simbólico se incorpora en otros sistemas comerciales. MathCAD: Editor de documentos que integra valiosas capacidades de cómputo numérico y de visualización. Mathematica. Sofisticado y muy exitoso sistema de cómputo numérico y simbólico, con grandes capacidades de visualización.

MATLAB: Abreviación de "Matriz Laboratory", este es el sistema estándar en aplicaciones de ingeniería. Scientific Workplace: Excelente editor científico de gran flexibilidad y que integra MAPLE como su núcleo de computación simbólica.

1.5 Métodos Iterativos. METODO ITERATIVO En matemática computacional, un método iterativo trata de resolver un problema (como una ecuación o un sistema de ecuaciones) mediante aproximaciones sucesivas a la solución, empezando desde una estimación inicial. Esta aproximación contrasta con los métodos directos, que tratan de resolver el problema de una sola vez (como resolver un sistema de ecuaciones  Ax =b encontrando la inversa de la matriz A). Los métodos iterativos son útiles para resolver problemas que involucran un número grande de variables (a veces del orden de millones), donde los métodos directos tendrían un coste prohibitivo incluso con la potencia del mejor computador disponible.

CONVERGENCIA Dado que estos métodos forman una base, el método converge en N  iteraciones, donde N  es el tamaño del sistema. Sin embargo, en la presencia de errores de redondeo esta afirmación no se sostiene; además, en la práctica N  puede ser muy grande, y el proceso iterativo alcanza una precisión suficiente mucho antes. El análisis de estos métodos es difícil, dependiendo de lo complicada que sea la función del espectro del operador.

UNIDAD II MÉTODOS DE SOLUCIÓN DE ECUACIONES. 2.1 Métodos de Intervalos. METODOS DE INTERVALO En este tema se trata sobre raíces de ecuaciones con métodos que aprovechan el hecho de que una función típica cambia de signo en la vecindad de una raíz. A estas técnicas se les llama métodos de intervalos, porque se necesita de dos valores iniciales para la raíz. Como su nombre lo indica, estos valores deben “encerrar” o estar sobre cualquier lado de la raíz. Los métodos particulares

descritos respecto a este punto emplean diferentes estrategias para reducir  sistemáticamente el tamaño del intervalo y así converger a la respuesta correcta.

ITERACION DE PUNTO FIJO Una fórmula que se puede desarrollar para la iteración de punto fijo, rearreglando la ecuación f(x) =0 de tal forma que x quede del lado izquierdo de la ecuación: x =g(x) Esta transformación se puede llevar a cabo mediante operaciones algebraicas o simplemente agregando x a cada lado de la ecuación original por ejemplo: X2- 2x + 3 =0 Se puede reordenar para obtener: X= X2 + 3 / 2 Mientras que sen de x = 0 puede transformarse en la forma de la ecuación sumándole x a ambos lados para obtener: X= sen x + x La utilidad de la ecuación es que proporciona una fórmula para predecir un valor  de x en función de x. De esta manera, dada una aproximación inicial a la raíz, xi, la ecuación se puede usar para obtener una nueva aproximación xi+1 , expresada por la fórmula iterativa:

xi+1 = g (xi) El error aproximado de esta ecuación se puede calcular usando el estimador de error: |€a| = |xi+1 - xi| / |xi+1| * 100%

Ejemplo Úsese iteración de punto fijo para localizar la raíz de f(x) = e-x  – x Solución: la función se puede separar directamente y expresarse en la forma de la ecuación como xi+1 = e-x . Empezando con un valor inicial de xo= 0, se puede aplicar esta ecuación iterativa y calcular: Iteración, i

xi

|€v|%

0

0

100

1

1.000000

76.3

100

2

0.367879

35.1

171.8

3

0.692201

22.1

46.9

4

0.500473

11.8

38.3

5

0.606244

6.89

17.4

6

0.545396

3.83

11.2

7

0.579612

2.20

5.90

8

0.560115

1.24

3.48

9

0.571143

0.705

1.93

10

0.564879

0.399

1.11

|€g|%

De esta manera, cada iteración acerca cada vez más al valor estimado con el valor verdadero de la raíz, o sea 0.567 143 29. Se puede notar que la iteración de punto fijo converge si en la región de interés g´(x) < 1. Con otras palabras, la convergencia ocurre si la magnitud de la pendiente de g (x) es menor que la pendiente de la línea f (x) = x. Esta observación se puede demostrar teóricamente. Recuérdese que la ecuación aproximada es: 

xi+1 = g (xi)

Suponemos que nuestra solución verdadera es : xr= g (xr) Restamos estas dos ecuaciones se obtiene: xr-xi+1 =g (xr) - g (xi) En el cálculo, existe un principio llamado teorema del valor medio, dice que si una función g (x) y su primera derivada son continuas sobre un intervalo a < x < b entonces existe un valor de x £ dentro del intervalo para el que: g´(£) = g (b)- g (a) / b – a el lado derecho de esta ecuación es la pendiente de la línea que une a g (a) y g (b). De esta manera, el teorema del valor medio dice que hay al menos un punto entre a y b que tiene una pendiente, denotada por g (£), que es paralela a la línea que une g(a) con g (b).  Ahora, que si hacemos a= xi y b= xr el lado derecho de la ecuación se puede expresar como: g (xr) - g (xi) = (xr- xi) g´(£) donde£ se encuentra en alguna parte dentro de xr- xi , teniendo el resultado de este se puede sustituir en la ecuación para obtener  xr- xi+1 = g´(£) si el error verdadero para la i-ésima iteración se define como: Et,i = xr- xi Entonces la ecuación se convierte en: Et,i+1 =g´(£) Et,i Por consiguiente si g´(£)< 1 , entonces los errores decrecen con cada iteración. g´(£)> 1 , entonces los errores crecen y si la derivada es positiva, los errores serán positivos, y por lo tanto la iteración será monótona, si la derivada es negativa entonces los errores oscilarán. Cuando el método converge, el error es casi proporcional a y menor que el error del paso antes mencionado. Por esta razón, la iteración de punto fijo se dice que es linealmente convergente.

METODO DE NEWTON-RAPSHON Dentro de las fórmulas para localizar raíces la fórmula de Newton-Rapshon sea la más usada. Si el valor inicial de la raíz es xi entonces se puede extender una tangente desde el punto [xi, f (xi)]. El punto donde esta tangente al eje x representa una aproximación mejorada a la raíz.

Este método se puede derivar geométricamente, la primera derivada en x es equivalente a la pendiente: f ´(xi) = f (xi) – 0 / xi - xi+1 que se puede reordenar para obtener: xi+1= xi= f (xi) / f ´(xi) a la que se conoce como fórmula de Newton-Rapshon si el valor inicial de una raíz es xi, entonces se puede trazar una tangente desde el punto (xif ((xi)) de la curva. Por lo general el punto donde la tangente cruza al eje x representa una aproximación mejorada de la raíz. Es necesario, además de calcular la derivada de la función en estudio, comenzar  las iteraciones con un valor inicial x0 el cual determinara la raíz que será encontrada con este método. La estimación del error relativo se desarrolla con el valor obtenido en la última iteración y el valor de la iteración anterior. El error verdadero solo puede calcularse si se cuenta con los valores verdaderos de las raíces. Por ejemplo sea: x3-9x2+23x-15 Hallar las raíces por el método de Newton Raphson, partiendo de un valor inicial x0=0.  Aplicación del método en Matlab X(1)=0 Valor incial X= 0.0001 Error relativo numit número de iteraciones fori=1:numit; f= (X (1)^3-9*x(1)^2+23*x(1)-15; = funcion f(x) d=(3*x(1)^2-18*x(1)+23;

= derivada df/dx

luego escribimos la formula para hallar el nuevo valor de “x”, definido como el x anterior menos el cociente de la Funcion entre su derivada, X(1)=0 Valor incial X= 0.0001 Error relativo numit número de iteraciones

for i=1:numit; f= (X (1)^3-9*x(1)^2+23*x(1)-15; = funcion f(x) d=(3*x(1)^2-18*x(1)+23;

= derivada df/dx

x(i+1)= x(1)-f/d

= nuevo valor de x

x(1)=x(i+1); dentro de una sentencia “if” se establece como criterio de parada que el “xi”

obtenido sea menor al error ya definido. Luego se cierran ambas sentencias. X(1)=0 Valor incial X= 0.0001 Error relativo numit número de iteraciones for i=1:numit; f= (X (1)^3-9*x(1)^2+23*x(1)-15; = funcion f(x) d=(3*x(1)^2-18*x(1)+23;

= derivada df/dx

x(i+1)= x(1)-f/d

= nuevo valor de x

x(1)=x(i+1); if (abs (x(i+1)-x(1))/x(i+1))