UNAM Problemas de Hidráulica Básica

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO FACULTAD DE INGENIERÍA

PROBLEMAS DE HIDRÁULICA BÁSICA Humberto Gardea Villegas

DIVISIÓN DE INGENIERÍAS CIVIL Y GEOMÁTICA DEPARTAMENTO DE HIDRÁULICA

II

GARDEA VILLEGAS, Humberto. Problemas de hidráulica básica. 1ª edición. México, Universidad Nacional Autónoma de México, Facultad de Ingeniería, 2012, 100 p.

Problemas de hidráulica básica Prohibida la reproducción o transmisión total o parcial por cualquier medio, sin la autorización escrita del titular de los derechos patrimoniales. Primera edición, 2012. D.R.  2012, UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO, Avenida Universidad no. 3000, Col. Universidad Nacional Autónoma de México, Ciudad Universitaria, Delegación Coyoacán, México, D. F. Código Postal 04510. Facultad de Ingeniería http://www.ingeniería.unam.mx/

Impreso y hecho en México

PRÓLOGO

En este libro presento problemas de la asignatura Hidráulica Básica, de acuerdo con el programa vigente en la Facultad de Ingeniería de la UNAM. Los ejercicios están dirigidos principalmente a los alumnos interesados en el tema, y si además despiertan la curiosidad de algunos profesores, consideraré que el esfuerzo valió la pena. En lo personal he aprendido mucho de los problemas que algunos colegas exponen en sus clases y como, por fortuna, todos tenemos ideas diferentes para la impartición de nuestras cátedras, considero que sería muy provechoso que todos ellos publicaran también sus ejercicios para que la comunidad académica se enriqueciera con ideas que no necesariamente habrá que compartir, pero que siempre nos permitirán ampliar nuestros puntos de vista. Creo no equivocarme al pensar que no soy el único que tiene esta opinión. PROBLEMAS DE HIDRÁULICA BÁSICA es una publicación estructuralmente análoga a los dos anteriores, Problemas de examen de hidráulica de máquinas y fenómenos transitorios y Problemas de examen de hidráulica de canales, en las que transcribí ejercicios que mis alumnos han resuelto en sus exámenes. No obstante, en esta ocasión he eliminado del título la palabra “examen”, porque si bien algunos de los problemas efectivamente fueron resueltos en exámenes, no es el caso de todos. Por tal razón, consideré preferible seleccionar aquellos en los que observé que los alumnos necesitan un mayor apoyo. Al inicio de los tres primeros capítulos se incluyen preguntas de concepto con la intención de que el lector investigue las respuestas, según su criterio o formación propia. Por esta razón, no se proponen respuestas para dichas preguntas. Como en las publicaciones anteriores, la versión en Excel permite al lector cambiar datos y recalcular cualquier problema para obtener los nuevos resultados, según sea su curiosidad o su especial interés. En varias ocasiones se exponen diferentes formas de resolver el mismo problema y se comprueba numéricamente que la solución es la correcta. Todos los problemas se han resuelto con ayuda del software Excel, especialmente con las funciones Solver y Buscar objetivo, y en el anexo 3 se ha redactado un instructivo para utilizar estas funciones. Asimismo, se incluye un formulario (anexo 1) y la simbología utilizada (p. V).

IV

La versión en Excel se incluye en un disco compacto al final del libro (tercera de forros). Este trabajo es el producto de un esfuerzo de varios años y en realidad todos mis anteriores alumnos han colaborado con algunas ideas. Sin embargo, debo agradecer especialmente a dos de los mejores alumnos que he tenido y que realizaron su servicio social apoyándome en esta actividad. El primero fue el ahora Maestro en Ingeniería Alejandro Maya Franco, quien me ayudó a organizar la primera versión de los problemas, algo que como todo principio, presenta complicaciones muy especiales, y a veces ni siquiera imaginadas por los que se deciden expresar por escrito sus ideas. El M.I. Maya, en no pocas ocasiones, me hizo comentarios muy valiosos que contribuyeron a dar mayor claridad al texto. El segundo colaborador fue Gerardo Acuña Soto, quien realizó su servicio social con un trabajo no menos difícil. En efecto, aunque todo parecía ya terminado, nos dimos cuenta que faltaba mucho para considerar que el texto estaba listo para publicarse. Gerardo tomó con entusiasmo la labor de revisar la presentación y propuso no pocas modificaciones y adiciones. Fue suya la idea de incluir instructivos para manejar las funciones de Excel que necesitábamos y verificarlas con ejemplos numéricos, así como la de incorporar algunas figuras que fueron producto de una investigación que realizó por iniciativa propia, porque consideró que así la publicación quedaría mejor. Para un trabajo de este tipo es de gran importancia la colaboración de buenos alumnos porque ellos están obviamente mucho más cerca de sus compañeros y saben cómo les gustaría que a ellos mismos les explicaran los temas. El profesor puede pasar por alto muchos puntos que para los alumnos son importantes y esto sólo se logra si otra de las posibles “víctimas”, le abre los ojos. Para ambos colaboradores, mi mayor agradecimiento. La edición, como ya es costumbre, ha sido revisada con profesionalismo por la Lic. Amelia Guadalupe Fiel Rivera y apoyada ampliamente por la Mtra. María Cuairán Ruidíaz, Jefa de la Unidad de Apoyo Editorial, que pertenece a la Secretaría General de la Facultad de Ingeniería a cargo del Ing. Gonzalo López de Haro, quien siempre ha manifestado gran interés y entusiasmo para la publicación de obras que contribuyan a mejorar los procesos de enseñanza-aprendizaje. Estas personas me han honrado con su amistad en muchas labores semejantes y por este motivo me siento muy comprometido con ellos. La captura de correcciones del texto fue realizada por la Srita. Ana María Sánchez y el diseño de portada estuvo a cargo de la Lic. Nismet Díaz Ferro. Ambas colaboraciones fueron hechas con gran calidad.

Humberto Gardea Villegas Facultad de Ingeniería, UNAM División de Ingenierías Civil y Geomática Departamento de Hidráulica, cubículo 131 [email protected] Ciudad Universitaria, D.F., 2012

SIMBOLOGÍA

SÍMBOLO

SIGNIFICADO

UNIDAD

A

Área de una superficie plana

m

2

Ac

Área de una sección contracta

m

2

AH

Proyección horizontal de un área

m

2

Av

Proyección vertical de un área

m

2

a

Altura de una superficie plana rectangular

m

b

Ancho de una superficie plana rectangular o de la base de un triángulo

m

Ci

Coeficiente de pérdidas totales en una tubería i, 2 expresada en función de Qi

Cc

Coeficiente de contracción

adimensional

Cv

Coeficiente de velocidad

adimensional

Cdo

Coeficiente de descarga en un orificio

adimensional

Cdv

Coeficiente de descarga en un vertedor

2

s /m

1/2

5

m /s

d

Diámetro de una tubería

m

ET

Empuje hidrostático total sobre una superficie

kgf

EH

Empuje hidrostático horizontal sobre una superficie vertical o sobre la proyección vertical de cualquier superficie

kgf

EV

Empuje hidrostático vertical

kgf

e

Altura que emerge de un cuerpo cuando este se encuentra en flotación

m

F

Fuerza

kgf

VI

SÍMBOLO f

SIGNIFICADO Factor de fricción para la fórmula de Darcy-Weisbach

UNIDAD adimensional 2

g

Aceleración de la gravedad

H

Carga dinámica de una bomba, carga sobre la cresta de un vertedor

m

Hi

Energía en el punto i de cualquier escurrimiento

m

h

Profundidad de un punto medido desde la superficie libre del agua

m

ho

Profundidad del centro de un orificio, medida desde la superficie del agua

m

hf

Pérdidas por fricción en una tubería

m

HP

Unidad de potencia en Horse Power

lbf ft / s

hG

Profundidad del centro de gravedad de un área plana respecto a la superficie del agua

K

k

Coeficiente para calcular las pérdidas totales en una tubería, expresada en función de la carga de velocidad 2 Coeficiente de pérdida local hf = k V /2g debida a un cambio en la geometría de la tubería. En general, V es la velocidad del agua después del cambio geométrico

m/s

m adimensional

adimensional

kv

Coeficiente de contracción en vertedores

L

Ancho de un canal o de un recipiente, o longitud de cresta de un vertedor

m

Lc

Longitud contracta en vertedores

m

Le

Escala de líneas

Lm

Longitud medida en el modelo

m

Lp

Longitud medida en el prototipo

m

adimensional

adimensional

VII

SÍMBOLO

SIGNIFICADO

n

Número de contracciones en un vertedor

P

Presión

Pa

Pascal (unidad de presión)

PHC

Plano horizontal de comparación

UNIDAD adimensional 2

kgf /cm , Pa N/m

2

3

Q

Gasto

Qe

Escala de gastos

Qm

Gasto en el modelo

m /s

Qp

Gasto en el prototipo

m /s

Re

Número de Reynolds

adimensional

T

Tensión en un cable

kgf , N

V

Velocidad media en una sección

Ve

Escala de velocidades

Vm

Velocidad del agua en el modelo

m/s

Vp

Velocidad del agua en el prototipo

m/s

Vt

Velocidad de un cable en movimiento conectado a un motor

m/s

Ѵ

Volumen

m

W

Peso

m /s adimensional 3

3

m/s adimensional

3

kgf , N

VIII

SÍMBOLO

Xc

XG

z

SIGNIFICADO

UNIDAD

Centro de presiones. Punto de aplicación del empuje hidrostático total sobre una pared plana sumergida, medido desde la superficie del agua y sobre el plano de dicha pared Distancia al centro de gravedad de una pared plana medida desde la superficie del agua y sobre el plano de dicha pared

m

m

Altura referida a un plano de comparación

m

F

Incremento de fuerza

H

Desniveles: hidrostático, o entre la superficie del agua antes y después de una descarga ahogada

p

Diferencia de presiones

z

Desnivel entre dos puntos

m

ε

Rugosidad absoluta

m

η

Eficiencia de un motor

adimensional



Peso específico

kgf /m



Viscosidad cinemática

cm /s (stokes)

ρ

Densidad

kg/m

kgf , N m 2

kgf /cm o Pa

3

2

Subíndices V

vertical

H

horizontal

G

centro de gravedad

e

escala

m

modelo

p

prototipo

3

CONTENIDO PRÓLOGO SIMBOLOGÍA CAPÍTULO 1. HIDROSTÁTICA

III V

1

TEMA 1.1. Principio de Pascal TEMA 1.2. Mediciones de presión TEMA 1.3. Empuje hidrostático sobre superficies planas TEMA 1.4. Empuje hidrostático sobre superficies curvas TEMA 1.5. Principio de Arquímedes

2 3 6 17 19

CAPÍTULO 2. HIDRODINÁMICA

23

TEMA 2.1. Aplicaciones de la ecuación de la energía en tubos TEMA 2.2. Orificios y vertedores TEMA 2.3. Ley del impulso o de la cantidad de movimiento. Fórmula de Borda-Carnot TEMA 2.4. Similitud hidráulica

23 34 43 45

CAPÍTULO 3. PÉRDIDAS DE ENERGÍA Y ANÁLISIS HIDRÁULICO EN TUBERÍAS

47

TEMA 3.1. Pérdidas de energía en conductos a presión TEMA 3.2. Tubos en serie TEMA 3.3. Tubos en paralelo

47 59 63

CAPÍTULO 4. PROBLEMAS ESPECIALES

68

TEMA 4.1. Tubería bifurcada con descarga libre TEMA 4.2. Descarga de dos recipientes conectados a un tubo común TEMA 4.3. Tres depósitos interconectados. Solución en función de los gastos TEMA 4.4. Dos recipientes interconectados con una tubería bifurcada

68 71

ANEXO 1. FORMULARIO ANEXO 2. PÉRDIDAS LOCALES Y POR FRICCIÓN 2.1. Coeficientes de pérdidas locales 2.2. Diagrama de Moody

75 81 83 87 87 92

ANEXO 3. INSTRUCTIVOS PARA LOS SOFTWARE DE EXCEL UTILIZADOS 93 3.1. Herramienta Buscar Objetivo 93 3.2. Herramienta Solver 96

ANEXO 1 FORMULARIO

EXPRESIÓN E =  hG A

EH =  hG Av

EV = Ѵ F =  Q V / g f = 64/Re f = 0.3164 / Re1/4 hf = f L/d V2/2g

CONCEPTO Empuje hidrostático total sobre una superficie plana sumergida Empuje horizontal sobre un cuerpo sumergido Empuje ascendente vertical sobre un cuerpo sumergido que desplaza cierto volumen Ѵ Fuerza que provoca un cambio de velocidades V en un fluido (“impulso”) Fórmula de Poiseuille (zona laminar) Fórmula de Blasius (zona de transición) Pérdidas por fricción en una tubería a presión (Darcy-Weisbach)

IGr = ba3/12

Momento de inercia centroidal de una superficie rectangular plana

IGt = ba3/36

Momento de inercia centroidal para una superficie triangular

IGc = r4/4

Momento de inercia centroidal de una pared circular

Le = Lp / Lm

Escala de líneas

P = TVt/

Potencia de un motor

P = QH/

Potencia de una bomba para vencer una carga dinámica H

Qe = Qp/Qm

Escala de gastos

EXPRESIÓN Qe = Le 5/2 Qe = eLe

CONCEPTO Escala de gastos según la ley de Froude (ge = 1) Escala de gastos según la ley de Reynolds

Q = Cdv L H3/2

Gasto en un vertedor rectangular

Q = 1.86 L H3/2

Gasto para el vertedor trapecial de Cipolletti

Q = Cdv H5/2

Qo = Cdo Ao (2g ho)1/2

Re = Vd/

Te = Le1/2 = Ve

Te = Le2/e V = Cv (2g ho)1/2 Ve = Vp/Vm Ve = Le1/2 Ve = e / Le xc = IG / (xG A) + xG /d hf1-2 = (V2 – V1)2 /2g p = F/A

Gasto para el vertedor triangular Thomson Gasto que se presenta en un orificio con descarga libre, si es descarga ahogada H en lugar de ho (fórmula de Torricelli) Número de Reynolds Escala de tiempos según la ley de Froude (ge = 1) Escala de tiempos según la ley de Reynolds Velocidad de descarga de un orificio (fórmula de Torricelli) Escala de velocidades Escala de velocidades según la ley de Froude (ge = 1) Escala de velocidades según la ley de Reynolds Centro de presiones Rugosidad relativa Fórmula de Borda para ampliaciones bruscas Diferencia de presiones

EXPRESIÓN n

CONCEPTO

 V2    2g 

 hf T12   Ki  i 1

Suma total de pérdidas (locales y por fricción) entre dos secciones

1 / f1/2 = -2log( /3.71d + 2.51/Re f1/2) 1 / f1/2 = 2log(Re f1/2) / 2.51 1 / f1/2 = 2log(3.71d / )

Fórmula de Colebrook-White, fuera de la zona laminar Fórmula de Prandtl-Von Karman para el despegue de la línea de Blasius Zona de turbulencia completa (independiente del número de Reynolds)

EQUIVALENCIAS 1 kgf

9.81 kg * 1 m/s2 = 9.81 N

1 kgf m/s

9.81 Nm/s = 9.81 watts

1 HP

550 lbf ft/s = 76.04 kgf m/s

1 CV

75 kgf m/s

ANEXO 2 PÉRDIDAS LOCALES Y POR FRICCIÓN 2.1 COEFICIENTES DE PÉRDIDAS LOCALES La pérdida local se calculará con la expresión: hf  k

V2 2g

, salvo que se indique lo contrario.

1) Entrada perpendicular cuadrada: k = 0.50 Si el borde es afilado

V

2) Entrada perpendicular redonda: d

V

R/d k

R

0.05 0.25

0.1 0.17

0.2 0.08

0.3 0.05

0.4 0.04

3) Entrada perpendicular reentrante: k = 0.8

V

4) Pérdida adicional debido a la entrada en ángulo: k = 0.505 + 0.303 sen (α) + 0.226 sen2 (α)

V α

d

5)

Tubería de succión con boquilla cónica en sumidero:

hf  d  V

d

4d 0.75 dd

5.60 Q 2g d1.5



V2 2g

Sin boquilla:

hf  0.53 d 

4Q 2g d.5



V2 2g (Según I. Vágás)

6)

V

Coladera: k = 10 con válvula de pie k = 5.5 sin válvula de pie (Según Agroskin)

7)

Te estándar, entrada a una línea menor: k = 1.8

V

8) Expansión brusca o fórmula de Borda: 2

V1

 V  V2 hf   1  2  1 V1  2g 

V2

2

V  V2 hf   1  1  2  V2  2g 9) Contracción súbita:

V1

(d/D)2 k

d

D

0.01 0.5

0.1 0.5

0.2 0.42

0.4 0.33

0.6 0.25

0.8 0.15

V2 Úsese: hf  k

10)

V22 2g

Difusor: hf  k

V1

α°

V2

V12  V22 2g

α° k

11)

20 0.20

40 0.28

60 0.32

80 0.35

80 1.06 1.16

100 1.04 1.10

Confusor: V1

D

α°

d

hf  k

V2

V12  V22 2g

d α° D = 3d D = 1.5d

6 0.12 0.12

10 0.16 0.16

20 0.39 0.39

40 0.80 0.96

60 1.0 1.22

120 1.04 1.06

140 1.04 1.04

12) Codo cerrado: V

k = 67.6x10-6 (α°)2.17

α (Según Gibson) 13) Curvas: r



α°

R

 r   R

3.5

k   0.13  1.85 



 a   180 (Según Hinds)

14)

Curva cerrada de retorno: k = 2.2 V

15) Válvula de compuerta:

V

e

d

e/d k

16)

0 0.15

1/4 0.26

3/8 0.81

1/2 2.06

5/8 5.52

3/4 17

7/8 97.8

Válvula de no retorno (check): V

k = 10 cuando está totalmente abierta

17)

Válvula esférica: α° k

5 0.05

10 0.29

20 1.56

30 5.47

40 17.3

50 52.6

α°

60 206

70 485

80 →∞

(Según Agroskin)

18) Compuerta radial en conducto rectangular:

 1  n

2

k  0.3  1.3 

φo

φ

V

donde n = φ/φo = la razón de apertura con respecto al ángulo central (Según Abelyev)

19)

Medidor Venturi:

V

hf 

V

0.1p a 0.2Δp/ 

donde Δp/ es la medida de la caída de presión

20) Orificio de medida de bordes cuadrados: D

d

hf 

V

p 2 1  d / D  





donde Δp/γ es la medida de la caída de presión

21) Salida del confusor: V

d

D

d/D = 0.5 0.6 0.8 k= 5.5 4 2.55 (V antes del confusor)

0.9 1.1 (Según Mostkov)

22)

Salida de la tubería al depósito: V

k = 1.0

23)

Salida del difusor para D/d > 2: d

α°

D

V

α° k

8 0.05

15 0.18

30 0.5

45 0.6 (Según Mostkov)

Fuente: Simon, Andrew L. Hydraulics. Third edition. John Wiley & Sons, 1986, pp. 121-124.

Para las válvulas de mariposa pueden usarse los coeficientes propuestos por Boor, que son los siguientes: s 0.15 < s/d < 0.20 α°

d

α° k

0° 0.15

V

5° 0.24

10° 0.52

20° 1.54

30° 3.91

40° 10.8

50° 32.6

60° 118

Coeficientes de rugosidad para la fórmula de Kozeny MATERIAL Fierro fundido nuevo Fierro fundido viejo Acero limpio Barro vitrificado Concreto bien acabado

NK 35 30 36 34 38

70° 751

2.2 Diagrama de Moody Flujo laminar

Zona crítica

Zona de transición

Carta de Moody para factores de fricción para flujo en tubos circulares

Rugosidad relativa /d

Turbulencia completa, tubos rugosos

f Flujo laminar

Flujo laminar f = 64/Re

Tubos lisos

/d = 0.000005 /d = 0.000001

Fórmula de Colebrock-White 1 f

 2 log

  /d 2.51      3.71 Re f 

Rugosidades absolutas 

Número de Reynolds Re Material Fierro fundido nuevo

m 4 2.5  10

Fierro fundido asfaltado Fierro fundido viejo con incrustaciones Fierro fundido galvanizado

1.22  10 4 2.6  10 4 1.52  10 4 0.46  10

Acero rolado nuevo

4

Material Acero laminado nuevo

m 4 0.4 a 1  10

Concreto centrifugado nuevo Concreto acabado liso Concreto acabado normal Concreto acabado rugoso

1.6  10 5 3  10 4 20  10 4 100  10

4

ANEXO 3 INSTRUCTIVOS PARA LOS SOFTWARE DE EXCEL UTILIZADOS

3.1 Herramienta Buscar objetivo Este instructivo está diseñado para que el alumno pueda resolver y comprobar de manera práctica y sencilla los ejercicios que vienen planteados en este libro. La herramienta Buscar objetivo sirve básicamente para encontrar el valor de alguna incógnita de la ecuación que representa el problema analizado. 1. Conocida la fórmula para calcular el valor buscado, se coloca en una celda de Excel, y se tiene en diferentes celdas los datos necesarios. Para ejemplificar este caso, se utilizará la fórmula de Colebrook–White, escrita en la siguiente hoja de cálculo:

2. Enseguida se debe definir una celda vacía, que será donde Buscar objetivo nos arrojará el resultado; se recomienda que en otra celda se escriba ya la ecuación en forma matemática e igualada a cero (0), comenzando con un signo de igual (=), que es el lenguaje que necesita Excel para activar una operación.

3. Teniendo ya la fórmula igualada a cero (0) y oprimiendo tecla “Enter”, se muestra en esta misma celda que hay una división entre cero, esto se debe a la celda que dejamos vacía. Para usar la herramienta Buscar objetivo, en la parte superior donde dice Datos, al darle clic se busca la opción Análisis y Si, y de aquí a Buscar objetivo.

4. Al darle clic se abre una ventana que pide Definir la celda, a esta opción se le debe indicar dónde está la ecuación que queremos resolver. Después viene otra casilla que dice Con el valor:, aquí se debe introducir un cero, porque la expresión la igualamos a ese número.

5. Por último, dice Para cambiar la celda:, aquí se coloca la celda vacía, le damos clic en aceptar.

6. En caso de aparecer un recuadro que diga La celda debe tener un valor, debemos insertarle cualquier valor a la celda vacía; por último, se mostrará un recuadro que dice hasta qué número aproximado a cero se llegó.

Nota importante: Un cambio de datos de un problema obliga a repetir todos los pasos indicados en este pequeño instructivo, ya que la herramienta Buscar objetivo, no obtiene automáticamente los nuevos valores.

3.2 Herramienta Solver Este instructivo está diseñado para que el alumno pueda resolver y comprobar de manera práctica y sencilla los ejercicios que vienen planteados en este libro. La herramienta Solver sirve para resolver un sistema de ecuaciones. Por lo general, esta función no está habilitada en la tabla de Datos, por lo tanto, se mostrarán primero los pasos para habilitar esta herramienta.

1. En el ícono de Office, le damos clic en Opciones de Excel. 2. Se selecciona Complementos y después en ..ir, aparecerá enseguida una ventana con varias opciones para habilitar, se le da clic en Solver y después Aceptar, a continuación se mostrará una ventana que indica que se está instalando la aplicación. 3. Cuando finalice la instalación, se tendrá lista la herramienta. Ahora bien, para comenzar se necesita un sistema determinado de ecuaciones con sus datos e incógnitas.

Ejemplo. Resolver el sistema de ecuaciones indicadas en la hoja de cálculo siguiente:

Nótese que en la parte derecha de la tabla de Datos, ya aparece la opción de Solver.

4. Para resolver este sistema de ecuaciones necesitamos tres celdas vacías, esto debido a que son tres las incógnitas de este sistema de ecuaciones. Ahora, se deben escribir las ecuaciones matemáticas, comenzando con el signo igual (=) o más (+), esto es para indicarle a Excel que definiremos alguna operación. Entonces necesitamos escribir las tres ecuaciones simultáneas, por ejemplo, igualándolas a cero (0).

5. Una vez escritas en forma correcta las ecuaciones, en la tabla de Datos damos clic en Solver, aparece una tabla; la primera opción pide Celda objetivo y seleccionamos la primera ecuación que deseamos resolver.

6. La siguiente opción dice Cambiando las celdas, aquí debemos colocar todas las celdas vacías que dejamos, separándolas con comas.

7. Por último, en la sección de Sujetas a las siguientes restricciones, debemos insertar las ecuaciones dando clic en Agregar e igualando a cero, así con cada ecuación. Terminando las restricciones, le damos clic en Aceptar, por último en Resolver, y esperamos el resultado.

8. Excel muestra una ventana que anuncia que el problema está resuelto, damos clic en Aceptar.

9. Así es como quedan los resultados:

Nota importante: Un cambio de datos de un problema obliga a repetir todos los pasos indicados en este pequeño instructivo, ya que la herramienta Solver no obtiene automáticamente los nuevos valores.