Una Lata de 16 Onzas de Alimento Para Perro Debe Contener (1)

Una lata de 16 onzas de alimento para perro debe contener, cuando menos las siguientes cantidades de proteínas, carbohidratos y grasas: proteínas: 3 onzas; carbohidratos, 5 onzas, grasas, 4 onzas. Es necesario mezclar distintas proporciones de 4 tipos de alimentos a fin de producir una lata de comida para perro con el minimo costo, que satisfaga este requerimiento. La siguiente tabla muestra el contenido y precio de 16 onzas de cada una de las diferentes mezclas de alimento.

 Definimos nuestras variables de decisión: X1= Proporción de alimento 1 por cada lata de comida para perro. X2= Proporción de alimento 2 por cada lata de comida para perro. X3= Proporción de alimento 3 por cada lata de comida para perro. X4 = Proporción de alimento 4 por cada lata de comida para perro.

Definimos nuestra función objetivo:

Min Z =( $/unidad lata de 16 onzas) * 4 ( unidad de lata) + $ 6X2 + $ 3X3 + $ 2 X4 Sujeto a : Cantidad minima de proteínas (onzas) : 3 (onzas/una lata) X1( ) +5 (onzas) X2 + 2 (onzas) X3+ 3 (onzas) X4 ≥ 3 (onzas)

Cantidad minima de proteínas (onzas) : 7(onzas) X1+ 4(onzas) X2 + 2(onzas) X3 + 3(onzas) X4 ≥ 5 (onzas)

Cantidad minima de proteínas (onzas) 5(onzas) X1 + 6(onzas) X2 +6(onzas) X3 + 2 (onzas) X4 ≥ 4 (onzas)

Condición de proporción : X1

+ X2 + X3 +

X4

= 1 lata.

Condicion de no negatividad: X1

+ X2 + X3 +

X4

≥0

De tal forma nuestro modelo queda de la siguiente forma :

Min Z = 4 X1 + 6 X2 s.a :

+ 3 X3

+ 2X4

3X1 + 5X2 + 2X3 + 3X4 ≥ 3 7X1 + 4X2 + 2X3 + 3X4 ≥ 5 5X1 + 6X2 + 6X3 + 2X4 ≥ 4 X1 +

X2 +

X 1 , X2 ,

X3 +

X4 = 1

X3 , X4

≥0

Pasandolo a su forma estándar :

Min Z = 4 X1 + 6 X2 + 3 X3 + 2X4 + 0 X5 +0 X6 +0 X7 + MA1 + MA2 + MA3 + MA4 s.a : 3X1 +5X2+2X3+3X4 -X5 7X1 +4X2+2X3+3X4 5X1 +6X2+6X3+2X4

+A1 = 3 -X6

+A2 = 5 -X7

+A3 = 4

X1 +X2+X3+X4 X 1 , X2 , X3 , X4, X 5 , X6 , X7 , A1 , A2, A3 ,A4

+A4 = 1 ≥0

Cj CB

XB

M

A1

M

A2

M

A3

0

S1

Z

4

X1

6

X2 3

3

X3

2

X4

0

X5

0

X6

0

X7<

M

A1

M

A2

M

A3

M

S1

bi 3

5

2

3

-1

0

0

1

0

0

0

4

2

3

0

-1

0

0

1

0

0 5

0

0

-1

0

0

1

0

1

0

0

0

0

0

0

1

15M-4 16M-6 10M-3 8M-2

-M

-M

-M

0

0

0

0 12M

7 5 1

6

6 1

1

2

Resolvemos por el método de penalización :

Del cuadro se tiene :

4 1

X1 = 19 / 51 = 37.25 % del alimento 1 X2 = 26/ 51 = 50.98 % del alimento 2 X3 = 2 / 51 = 3.92 % del alimento 3 X4 = 4 / 51 = 7.84 % del alimento 4 Z optimo = 166/51 = $ 3.25 ( precio de la lata) Ahora ya que tenemos el modelo Primal podemos hacer el Dual:

Primal

Dual

Min Z =4X1+6X2 + 3X3 +2X4

Max W =3Y1+5Y2 + 4Y3 +Y4

s.a:

s.a: 3X1+5X2 + 2X3 +3X4 ≥ 3

3Y1 + 7Y2+5Y3+Y4 ≤ 4

7X1+4X2 + 2X3 +3X4 ≥ 5

5Y1 + 4Y2+6Y3+Y4 ≤ 6

5X1+6X2 + 6X3 +2X4 ≥ 4

2Y1 + 2Y2+6Y3+Y4 ≤ 4

X1 +X2+X3+X4

≥ 0

3Y1 + 3Y2+2Y3+Y4 ≤ 4

X 1 , X2 , X3 , X4

≥0

Y1,Y2, Y3 ≥ 0 , Y4

≥

0

= ≤

Como no se cumple la condición de no negatividad para Y4, se hace el siguiente arreglo: Y4 = Y´4-Y4” = F.O = Max W= 3Y1+ 5Y2+ 4Y3+Y´4 –Y”4 s.a 3Y1+ 7Y2+ 5Y3+Y´4 –Y”4 ≤ 4 5Y1+ 4Y2+ 6Y3+Y´4 –Y”4 ≤ 6 2Y1+ 2Y2+ 6Y3+Y´4 –Y”4 ≤ 3 3Y1+ 3Y2+ 2Y3+Y´4 –Y”4 ≤ 2

Cj CB

3

5

4

1

-1

0

0

0

YB

Y1

Y2

Y3

Y4′

Y4′′

S1

S2

0

S1

3

7

5

1

-1

1

0

0

0

S2

5

4

6

1

-1

0

1

0

S3

2

2

6

1

-1

0

0

S4

3

3

2

1

-1

W

-3

-5

-4

-1

1

5

Y2

3/7

1

0

S2

23/7

0

0

S3

8/7

0

32/7

5/7

0

S4

12/7

0

-1/7

0

-3/7

W

-6/7

5/7 22/7

S3

0

S4

bi

i

0

4

0.57

0

0

6

1.5

0

1

0

3

1.5

0

1

0

1

2

0.67

0

0

0

0

0

1/7

-1/7

1/7

0

0

0

4/7

1.3333

3/7

-3/7

-4/7

1

0

0

26/7

1.130

5/7 -2/7

0

1

0

13/7

4/7

4/7

0

0

1

2/7

-2/7

2/7

0

0

0

20/7

0

-1/4

-3/7 5/7

5

Y2

0

0

S2

0

0

0

S3

0

1

-2/3 5/3

3

Y1

0

7/12

0

1/2

1

1

W

0

0

Y2

0

0

S2

0

Y3

6

0

-23/12

-1/7 -

1.652 0.167

1/2

0.67

19/6

0.93 0.36

-

1/6 3 13/56

4.33

-10/7

109/56 2.13

0

-1/7

5/14 _

Y1

1

4/7

11/56 _

W

0

3/7 89/28

0

Y2

0 Y′′4

0 0

1 0

0

0

0

0

-1

1

14/51

0

1/51

0

Y3

0

0

1

0

6

Y1

1

0

0

0

W

0

0

0

0

0

4/17 -1/17

-2/17

-1/17

56/51 -41/51

-80/51

109/51

-13/51

26/51

2/51

47/51

4/51

8/51

-8/51 19/51 -13/51

0 26/51 2/51

4/51

2/17

19/51 166/51

Cj CB T

XB

2

X1

4

A2

6

A3 S1

3

4

X1 0 1 0

6

3

2

X2 X3 X4

0

0

X5

X6

X7

M

A1

M

A2

M

A3

0

S1

bi

80/51

19/51

0

0

1

-2/51

1/17

13/51

2/51

1/17

-13/51

0

0

0

8/51

-4/17

-1/51

-8/51

4/17

1/51

-14/51 26/51

-19/51

1/17

-4/51

19/51

-1/17

4/51

-56/51

13/51

2/17

-8/51

-13/51

-2/17

8/51

41/51

-47/51

-2/17

-26/51 -M+47/51

Y2

Y3

1

0

0

0

0

0 1 0

0 0

Y1 Costos Reducidos

+

0

-M+2/17 -M+26/51 -109/51

Precios Sombra

2/51 4/51 166/51

bj bB

YB

5

Y2

-1

Y′′4

4

Y3

3

3

Y1

5

4

Y2 0

0 0

Y3

1

Y′4

-1

0

y′′4

S3

S4

-1/17

-2/17

-1/17

2/17

56/51 -41/51 -80/51

109/51

0

0

4/17

0

0

-1

1

14/51

0

1/51

0

-8/51

0

26/51

Y1

1

0

W

0

0

0

0

0 0

0

0

S2

0

1

0

S1

1

0

0

4/51

8/51 -13/51

19/51 -13/51 2/51

Cj

4/51

26/51

2/51

47/51

19/51

166/51

ANALISIS DE SENSIBILIDAD

Cj

4

6

CB

XB

X1

X2

2

X4

0

0

0

4

X1

1

0

6

X2

0

3

X3 Z

3

2

0

0

0

M

M

M

X5

X6

X7

A1

A2

A3

1

-2/51

1/17

13/51

2/51

-1/17

-13/51

80/51

19/51

0

0

8/51

-4/17

-1/51

-8/51

4/17

1/51

-14/51

26/51

1

0

0

-19/51

1/17

-4/51

19/51

-9/17

4/51

-56/51

2/51

0

0

1

0

13/51

2/17

-8/51

-13/51

-2/17

8/51

41/51

4/51

0

0

0

0

-47/51

-2/17

-26/51

-M+47/51

X3 X4

0

A4

-M+2/17 -M+26/51 -M+109/51

bi

166/51

1) Rango del coeficiente de la variable X1 C.Rde X5 : -2/51(2)+8/51(4+∆1) -19/51(6)+13/51(3)≤0 → -47/51+8/51∆1≤0→∆1≤ 41/8 C.Rde X6 : 1/17(2)-4/17(4+∆1) -1/17(6)+2/17(3)≤0 → -2/17-4/17∆1≤→∆1≥ -1/2 C.Rde X7 : 13/51(2)-1/51(4+∆1) -4/51(6)+8/51(3)≤0 → -26/51-∆1 /51≤ 0→∆1≥-26 ∆1 ᴇ [-1/2 , 41/8 ] = [-0.5 , 5 , 125 ] 4+∆1 ᴇ [7/2 , 13/8 ] = [-3.5 , 9, 125 ]