Un. 4 Medios Cont

Introduccion Introducc ion a los medios continuos

UNIDAD 4 Estado de Deformación

 Ávila De León Laysla Cruz Cruz Maximino Osuna Roberto Robles Gastelum Edgar  Ramírez Miguel Ángel Serrano Vanessa

Descripción del movimiento. Estado de Deformaciones 1. Descripciones del movimiento. Formulaciones Lagrangiana y euleriana En la descripción del movimiento (o desplazamiento) y deformaciones (y por lo tanto para el cálculo de tensiones) de los cuerpos, es fundamental la elección de un sistema de referencia para describir el mismo. En el cálculo lineal no existe distinción entre la configuración inicial (no deformada) y la configuración temporal (o deformada) ya que las características geométricas y mecánicas son invariantes. Ésta es la característica fundamental que diferencia el cálculo lineal del no lineal. Desde el punto de vista de la Mecánica de Medios Continuos (MMC) un sólido es un conjunto infinito de partículas que ocupan una posición en el espacio. Estas posiciones son variables en el tiempo, a la posición de todas ellas en un instante dado se le denomina configuración. En el desarrollo que sigue a continuación se denotan con letras mayúsculas los estados referidos a la configuración inicial y con minúsculas los referidos a la configuración temporal (o deformada).

u

Pp

xi

XI

Si se conociesen los vectores posición  X y  x para cualquier instante, estaría perfectamente definido el movimiento del cuerpo. En Mecánica de Medios Continuos, se supone que estas funciones con continuas y biunívocas, por la tanto, es posible escribir: o bien,

o de la posición temporal (formulación euleriana

Se podría decir que la formulación Lagrangiana se ocupa de lo que le sucede al sólido mientras que la formulación Euleriana se ocupa de lo que le sucede a una zona del espacio. En el caso de un ensayo de tracción se define la deformación como:

Esta deformación se suele llamar deformación ingenieril y corresponde a una descripción Lagrangiana del problema. Por el contrario, si se realiza un enfoque Euleriano del mismo surge el concepto de deformación real como

Como se puede ver la diferencia entre los dos estriba en comparar el alarmiento con la longitud inicial o con la longitud en el instante considerado. 

Gradientes de deformación y desplazamiento

Considérese dos puntos infinitamente próximos de un sólido sometido a un estado de deformación. Las proyecciones de un elemento diferencial de la configuración deformada en función de la configuración inicial son:

que se puede expresar matricialmente como:

Donde F es la matriz jacobiana de la transformación. Esta matriz se denomina gradiente de deformación y transforma vectores en el entorno de un punto de la configuración de referencia a la configuración temporal,

Sustituyendo las anteriores se tiene

Por lo que la ecuación se puede escribir 

De donde se deduce que el tensor gradiente de deformación se puede descomponer en suma de dos:

2. El estado de deformación de un sólido: descripción matemática: Estudiar la deformación consiste en ver como se transforman los puntos de K en los puntos de K', o dicho de otra manera, como cambian sus coordenadas de los puntos del sólido al desplazarse por la acción de las fuerzas exteriores. Cada punto situado dentro de K al desplazarse se transforma en un punto situado dentro de K'. Matemáticamente, este proceso permite definir una correspondencia entre ambos conjuntos, de tal manera que a cada punto de K le corresponde un punto de K' (y viceversa). Eso motiva la siguiente definición matemática de deformación:



Definición.

Una deformación de un cuerpo elástico K, es una transformación TD: TD:K¾®K'ÌR3 P ¾® TD(P) = P' (siendo K' el sólido deformado) que cumple: (i) TD es una aplicación biyectiva, es decir, que tiene inversa. (ii) TD y su inversa son de clase C(1), es decir, ambas son diferenciables y sus derivadas primeras son continuas. Nota: De toda aplicación que satisface (i) y (ii) se dice que es un difeomorfismo. La condición (ii) asegura que ciertas condiciones de regularidad en la forma en que puede deformarse un cuerpo, que siempre se dan en los sólidos reales. Además dicha condición excluye del tratamiento a cierto tipo de "deformaciones" físicamente no razonables o aquellas que implican fractura o pérdida de continuidad del material. Por otra parte, la deformación también puede quedar especificada por  el campo vectorial de corrimientos u = (ux, uy, uz) Î R3 definido por: u(P) = TD(P) - P (con P = (x, y, z)ÎK )



El tensor deformación

Sean P y Q dos puntos del sólido elástico K antes de deformar y sean P' = TD(P) y Q' = TD(Q) los correspondientes puntos de K'. Consideremos ahora coordenadas sobre K y K' (= sólido después de la deformación). Si las coordenadas de todos estos puntos vienen dadas por: P = (x, y, z) ÎK Q = (x + Dx, y+ Dy, z+ Dz) ÎK P' = (x', y', z') ÎK' Q' = (x' + Dx', y' +Dy', z'+Dz') ÎK' Las distancias entre P y Q antes y después de la deformación serán entonces: Introduciendo ahora el vector de corrimiento u = (ux, uy, uz), se tiene que ui =  x'i - xi y por tanto Dui = Dx'i - Dxi, por lo que: DL'2 = (Dx+Dux)2 + (Dy+Duy)2 +(Dz+Duz)2 DL'2 = (Dx2+ Dy2+Dz2) + 2(DxDux+ DyDuy DzDuz) + (Dux2+ Duy2 Duz2) Después de ciertas manipulaciones algebraicas llegamos a una ecuación que relaciona ambas distancias: dividiendo por DL2, y pasando al límite, se obtiene la ecuación fundamental del tensor deformación. La ecuación que relaciona el cambio de longitud en el entorno de un punto motiva la siguiente definición:



Definición.

Estado de deformación de un sólido. Llamaremos estado de deformación de un sólido a la aplicación DL: R3¾®L(R3) que asigna a cada punto P la aplicación DL que en cada punto da la variación de distancia debida a la deformación. Así DL es la única aplicación que para cada punto fijada una dirección n satisface: (· Denota el producto escalar de dos vectores). Obsérvese también que el estado de deformación DL al igual que el estado de tensión T, es un tensor  simétrico. A efectos prácticos muchos problemas pueden resolverse forma suficientemente aproximada utilizando otro tensor para caracterizar la deformación, diferente de DL. A este otro tensor se le llama tensor  deformación lineal de Cauchy-Lagrange y se designa mediante DCL, mientras que DL se conoce como tensor deformación no lineal de Landau. El tensor  DCL viene dado por: Obsérvese que ambos tensores son simétricos y que el segundo de ellos satisface la misma ecuación que DL, aunque tan sólo de forma aproximada. Dicha aproximación es tanto mejor cuánto menores sean las derivadas de los corrimientos:

En cuanto a cuando puede emplearse esta aproximación puede utilizarse en cada punto la siguiente desigualdad que relaciona las componentes de ambos tensores deformación: Donde emax = max |eij| y k es una constante que depende de los signos relativos de las derivadas parciales de las componentes del vector (ux, uy, uz). En la mayoría de casos prácticos puede tomarse k = 1 sin cometer un error apreciable; por tanto el error relativo cometido al utilizar el tensor  deformación de Cauchy-Lagrange en lugar del tensor de Landau. Por tanto si se desea un error del orden de un 1% deberá usarse el tensor  deformación de Landau siempre y cuando emax > 0,01, si nos conformamos con cometer un error del orden de un 10% será correcto utilizar el tensor  deformación de Cauchy-Lagrange siempre y cuando emax < 0,1 debiendo utilizarse, el tensor deformación de Landau si 2emax > 0,1.



Interpretación del tensor deformación

Consideremos una base en la que el tensor deformación es diagonal. En el caso de pequeñas deformaciones y utilizando la fórmula de Taylor: (1+ x ) r = 1 + rx + ... Podemos escribir para la deformación en, deformación en la dirección n: si en particular tomamos (nx, ny, nz) = (1,0,0) tenemos que e = exx. Por tanto la interpretación del tensor deformación es la siguiente: (en una base diagonal dada) la deformación principal eii representa el alargamiento en la dirección i. Así en el entorno de un punto las longitudes en dirección i se alargan tendremos eii > 0, mientras que si se encogen tendremos eii < 0.



Cálculo de dimensiones en el sólido deformado

Un problema que se presenta a menudo es conocer las relaciones entre el sólido no deformado y el sólido deformado, las siguientes ecuaciones dan cuenta de ello. Sea una curva CÌK de longitud l, que al someter K a una deformación se transforma en la curva C' de longitud l', entonces la relación entre l y l' viene dado por: siendo n el vector tangente a la curva C y siendo en(L) y en(CL) las deformaciones de Landau y de Cauchy-Lagrange en la dirección de n para cada punto. Si hacemos la hipótesis habituales de pequeñez de las deformaciones esta fórmula exacta puede escribirse simplemente como: Siendo q el ángulo inicial ente dos direcciones cualesquiera (n y n'), y siendo en y en' las deformaciones unitarias según estas dos direcciones. Si en una base cualquiera tomamos n = (1, 0, 0) y n'= (0, 1, 0) y aplicamos la ecuación anterior teniendo en cuenta que q = p/2, obtenemos que Dq =

2exy. Esta última ecuación proporciona una interpretación geométrica para exy, exz. y 2ezy en términos de variaciones angulares.



Estados de deformación físicamente admisibles

Una vez definido el tensor deformación para un sólido, podemos preguntarnos como siempre que condiciones debe cumplir un campo tensorial para que podamos asegurar que representan un estado de deformación físicamente admisible: Un campo tensorial simétrico representa un estado de deformación en un sólido si y sólo si: (i) Para todo punto del sólido, las deformaciones principales [del tensor  deformación de Landau] son mayores que -1/2. (ii) Cada uno de los elementos de la matriz que representa el tensor  deformación es diferenciable dos veces. (iii) Se verifican las llamadas ecuaciones de compatibilidad (dichas ecuaciones tienen que ver la existencia del campo de corrimientos u, es decir, permite afirmar la integrabilidad de un sistema de ecuaciones para u).



Ecuaciones de compatibilidad.

Para que un tensor deformación del tipo DCL sea aceptable, deberá derivar de un campo de desplazamientos bien definido. Para que esto suceda deben satisfacerse las siguientes ecuaciones de compatibilidad: Dichas ecuaciones son las condiciones de integrabilidad para poder  garantizar que DCL puede integrarse para dar lugar a un campo de desplazamientos (ux, uy, uz). Puede comprobarse que dichas ecuaciones de compatibilidad se satisfacen idénticamente si existe un campo desplazamientos (ux, uy, uz) tal que: En el caso general, es decir, considerando un tensor deformación DL no lineal de Landau, las ecuaciones de compatibilidad adoptan una forma más complicada: (1+ x ) r = 1 + rx + ... Estas ecuaciones de compatibilidad para el tensor no lineal de Landau son no lineales y de difícil aplicación. Sin embargo, su linealización alrededor  de sus soluciones coincide con las ecuaciones de compatibilidad para el tensor lineal de Cauchy-Lagrange. En la práctica nos conformaremos con

comprobar que se satisfacen las ecuaciones linealizadas, es decir, las ecuaciones de compatibilidad para el tensor lineal de Cauchy-Lagrange.

3. Calculo de deformaciones. deformación infinitesimal

El

tensor

de

El problema que pretendemos resolver en esta sección es el siguiente: dado un campo de desplazamientos u: Ω → R3, ¿cuáles son las deformaciones y en todos los puntos y todas las direcciones posibles? Este es el  problema central de la cinemática de los cuerpos deformables.





Para calcular las deformaciones en cualquier punto será necesario determinar la forma local del campo de desplazamientos alrededor de dicho punto. Como siempre en teoría de campos, esta información la recoge el gradiente:

 ||              |[  ]

Dado un campo de desplazamientos u : Ω → R3 se define el tensor  gradiente de desplazamientos como aquel que verifica

La expresión en coordenadas cartesianas de la matriz asociada al tensor  u es:

El gradiente de desplazamientos es también a dimensional y, como veremos después, nos servirá para calcular deformaciones. Para simplificar el cálculo de las mismas vamos a suponer a partir de ahora que el cuerpo al desplazarse se deforma muy poco. La definición precisa de qué significa esto es la siguiente:

‖‖



Se dice que un cuerpo experimenta una deformación con pequeña si . Esto ocurre si y solo si todas las componentes de son mucho más pequeñas que 1.



El tensor de deformaciones infinitesimales



Cuando calculemos deformaciones comprobaremos que ´estas solo dependen de la parte simétrica de u y a este objeto lo denominaremos el

tensor de deformación, y juega un papel central en el modelo del solido deformable.

       

Dado un campo de desplazamientos u : , definimos la deformación infinitesimal D como el campo de tensores simétricos.

La parte de que no está asociada a la deformación infinitesimal D, es decir la parte hemisimetrica del tensor, si que está asociada al movimiento local y recibe la siguiente definición:

       ∈

La parte hemisimetrica de u(P) es el campo tensorial de giro infinitesimal Ω:

Como Ω es un tensor hemisimetrico tiene un vector axial asociado ω, llamado el vector de giro infinitesimal. Este campo vectorial satisface además

La interpretación geométrica completa de estos campos tensoriales es la siguiente. Si en un punto P Ω se escogen tres vectores diferenciales ortogonales dr1, dr2, dr3, cuando el cuerpo se deforme, estos tres vectores cambian de modulo y dirección transformándose en tres nuevos vectores infinitesimales Para cada uno de ellos se puede escribir.

    

Así pues, los tensores D y Ω caracterizan, de forma completa, la transformación geométrica local, para cada entorno diferencial de los puntos del cuerpo deformable.



Calculo de deformaciones longitudinales

Para obtener una expresión que nos permita obtener el valor de εex en función de u y sus gradientes, sustituimos el desarrollo de Taylor del campo de desplazamiento en la expresión. Sea η el vector unitario en la dirección en la que queremos. Calcular la deformación longitudinal. Entonces,

 | |    |   ||  | |  || ||     

La expresión para la deformación longitudinal es una función no lineal. Sin embargo, si las deformaciones son pequeñas podemos aproximar. ,

Y utilizando un desarrollo de Taylor para la función finalmente

 

√   

obtener 

∈

Se define la deformación longitudinal infinitesimal en un punto P Ω y una dirección cualquiera η como el escalar.

  

1._ La deformación longitudinal infinitesimal ε es una aproximación al la verdadera deformación longitudinal εex, que es mucho más complicada de calcular. La aproximación es tanto más valida cuanto más pequeña sea la cantidad [[ u]]. Por tanto, ε solo es exacta cuando la deformación sea infinitesimal. Para deformaciones finitas se puede dar el caso de que un cuerpo que se mueve rígidamente tenga deformación ε no nula.



2._ La deformación ε es unitaria, y por tanto adimensional. Cuando un cuerpo se deforma, una curva material C se deforma también pues cada uno de sus puntos se desplaza debido al movimiento del cuerpo. A menudo es interesante encontrar la longitud de la curva deformada a partir de la longitud inicial y de la deformación longitudinal unitaria en cada punto. Si la longitud de la curva sin deformar es L, cada punto de la curva lo denominamos P y el vector tangente a la curva P , entonces:

 ∫  ( )  

Un cuarto de aro de radio r se deforma según el campo de desplazamientos.

  

 

 

Siendo x un eje del sistema cartesiano situado en el centro del aro como se indica en la figura. Calcular: i) la deformación longitudinal unitaria ε en cualquier punto del aro y dirección circunferencial. ii) la longitud del aro deformado. El vector tangente al aro en un punto genérico es siendo θ [0,π/2] el ´Angulo que forma el vector de τ posición del punto con el eje x. La deformación longitudinal unitaria en dicho punto y dirección es:

     

∈

 

       

Como el valor de la deformación es simplemente La longitud del trozo de aro deformado es:

 ∫ ∫⁄()   ⁄       

4. Deformaciones por rotación, deformación lineal & angular  Los cuerpos se deforman debido a la acción de las fuerzas aplicadas. Para conocer la deformación de un cuerpo es preciso conocer primero la deformación de uno cualquiera de los paralelepípedos elementales que lo forman. Veremos a continuación cómo la deformación de un paralelepípedo elemental se puede descomponer e cuatro partes: 

Una traslación que lleva el origen del paralelepípedo del punto O al punto O‟

Fig. 1



Una rotación del paralelepípedo alrededor de un eje que pasa por O‟

Fig. 2

Estas dos primeras partes van a originar el movimiento del paralelepípedo, pero sin deformarse. 

Unas deformaciones lineales de las aristas del paralelepípedo

Fig. 3



Unas deformaciones angulares “simétricas” de los ángulos que forman las aristas del paralelepípedo, inicialmente a 90º

Fig. 4

Estas dos últimas partes son las que originan la deformación propiamente dicha del paralelepípedo. Observación: En la 4ª parte nos hemos referido a Deformaciones Angulares “Simétricas”. El por qué de ello lo veremos a continuación: Supongamos la cara del paralelepípedo contenida en el plano XOY y supongamos, por ejemplo, que la arista OA gira 4º en sentido anti horario y la arista OB gira 2º en sentido horario. Estas deformaciones angulares las podemos obtener como suma de dos acciones: en una primera acción hacemos girar las aristas el mismo ángulo, lo que denominaremos deformación angular simétrica, que sería la media aritmética de las dos, o sea: 3º y en la segunda acción completamos la deformación angular inicial, con lo cual la arista OA habría que girarla 1º más en sentido anti horario y la arista OB restarla 1º, ósea, girarla 1º en sentido horario. Ésta acción sería una rotación

Deformación angular 



Deformación angular  simétrica

Rotación

Deformación

Como consecuencia de la deformación propiamente dicha del paralelepípedo: deformaciones lineales y deformaciones angulares simétricas, el vértice D del paralelepípedo experimentará el desplazamiento DD‟, con lo

 Fig. 5

cual el elemento lineal OD, modifica su longitud y gira un ángulo transformándose en el elemento lineal OD‟. Se denomina deformación unitaria (δ) del elemento lineal OD, al cociente entre el desplazamiento sufrido por su extremo: DD´ y la longitud del elemento lineal: OD, es decir: 4.1 Si observamos la fig. 5. Se ve que δ es el desplazamiento que sufre el vector  unitario ODo en la dirección del elemento lineal OD. En efecto, por semejanza de triángulos ODD‟y ODoDo‟s e obtiene:

Descompondremos a continuación el vector  δ en dos componentes: una sobre la propia dirección del elemento lineal OD, a la que denominaremos: deformación longitudinal unitaria () y otra en dirección perpendicular al elemento lineal OD, a la que denominaremos: deformación angular unitaria (/2). Se cumplirá:

4.2

Fig. 6



Estado de deformaciones en un punto

Como se verá a continuación, va a existir una analogía entre el Estado de Tensiones y el Estado de Deformaciones Tal y como se vio „‟ a cada superficie S que pase por un punto Ode un sólido le corresponde una tensión ρ, con componentes: σ (tensión normal) y τ (tensión cortante)‟‟ y “al conjunto de todas las

tensiones que pueda haber en un punto O se las denomina: Estado de Tensiones del punto O”

En el caso de las deformaciones va a ocurrir algo similar: “A cada elemento lineal que pasa por un punto O de un sólido le

Fig. 7



corresponde una deformación unitaria δ, con componentes: ε (deformación longitudinal unitaria) y    (deformación angular unitaria).” ,“Al conjunto de todas las deformaciones que pueda haber en el punto O se le denomina: Estado de Deformaciones del punto O” Siguiendo con dicha analogía, „‟de las infinitas Tensiones que puede haber en un punto O correspondientes a las infinitas superficies que pasan por él, conocidas 6 de ellas: σ x, σy, σz, τ xy, τyz, τzx , denominadas componentes del estado de tensiones en el punto O , podremos conocer todas las demás a través de la ecuación siguiente:

Pues bien, en el caso de las Deformaciones ocurrirá algo similar y así podremos decir:“De las infinitas Deformaciones que puede haber en un punto O, correspondientes a las infinitas direcciones de elementos lineales que puedan pasan por  él, conocidas 6 de ellas: εx, εy, εz, xy , yz, zx, denominadas componentes del estado de deformaciones en el punto O, podremos conocer todas las demás, a través de una ecuación matricial, que como ahora se verá, será similar a la de las tensiones anteriores” Sea un punto O del interior de un sólido en el que se suponen conocidas las 6componentes del estado de deformaciones: εx, εy, εz, xy , yz, zx, y sea OD un elemento lineal cuya deformación unitaria δ se desea conocer. La dirección del elemento lineal OD la definiremos por su vector  unitario: u = ODo, dado por sus cosenos directores: u (cos , cosβ, cos). Construyamos ahora un paralelepípedo con diagonal entre vértices opuestos ODo = 1 (ver  fig. 8). El paralelepípedo así construido tendrá por aristas: cos (en dirección del Fig. 8 eje OX), cosβ (en dirección del eje OY) y cos (en dirección del eje OZ).

 

Para obtener el valor de la deformación unitaria δ calcularemos y sumaremos los correspondientes desplazamientos sufridos por el punto Do debidos a las deformaciones longitudinales y angulares unitarias dadas, correspondientes al punto O: , εy, εz, xy , yz, zx. Desplazamiento δ debido a las deformaciones longitudinales: εx, εy, εz.

Fig. 9

Desplazamiento δ debido a las deformaciones angulares:  xy, yz, zx

Fi . 10 a) b) c) Sumando finalmente todos los desplazamientos δ obtenidos quedaría: 4.3

Poniendo las ecuaciones 4.3 en forma matricial, sería: 4.4

Y en forma abreviada:

siendo:

‘tensor de deformaciones’

4.5

Conocidas las componentes del Estado de Deformaciones en un punto O: ε x, εy, εz,  xy,yz,zx y dada una dirección OD cualquiera, definida por su vector unitario: u (cos , cosβ, cos), se podrá conocer, por la ecuación obtenida (4.4), la deformación δ en dicha dirección. Una vez conocida la deformación δ, se podrá obtener ε y /2, (ver fig.6):



4.6



Representación de Mohr 

Criterios de signos para las deformaciones, al utilizar el método gráfico de Mohr 



Se consideran positivas las deformaciones longitudinales cuando indican un alargamiento. Negativas en caso contrario. Deformaciones

longitudinales

(ε):

Fig. 11



Deformaciones angulares (/2): se consideran positivas cuando impliquen

un giro en sentido horario. Negativas en caso contrario

Fig. 12

Como las tensiones cortantes (τ) son las que producen las deformaciones angulares (/2), se observa por lo visto en la sección del tema

Fig. 13

de Tensiones, que hay coherencia con los criterios de signos dados para las tensiones cortantes y el dado ahora para las deformaciones angulares: τ > 0 → /2 > 0. Los criterios de signos utilizados para las deformaciones angulares, en la representación gráfica de Mohr, no coinciden con los dados en4 .3. Para la resolución analítica. Este hecho habrá de tenerse siempre en cuenta en la resolución de los problemas. Ejemplo:

Fig. 14

Criterio de signos para la resolución analítica 

Criterio de signos para la resolución grafica (Mohr)

Calculo de deformaciones  y /2 en una dirección OD cualquiera

A partir de las componentes del estado de deformaciones plano en un punto O: ε x, εy,  xy, se dibujará en un sistema de ejes coordenados: (ε, /2), la circunferencia de Mohr, tal y como se ha indicado en el apartado anterior, obteniendo su centro y su radio. De lo que se trata ahora es de poder conocer gráficamente las deformaciones ε y /2correspondientes a una dirección OD, definida por su vector unitario: uD(cos , sen ).

Fig. 15

El procedimiento será el siguiente:



Para pasar de la dirección OX (definida por u X), a la dirección OD (definida por uD), se deberá girar, en sentido antihorario, el ángulo . Pues bien, para pasar en la circunferencia de Mohr, del punto X, (representativo del estado de deformaciones de la dirección OX), al punto D, (que representará el estado de deformaciones de la dirección OD), se tendrá que girar, igualmente en sentido antihorario, el ángulo 2 . (o sea el doble del anterior).



Mediante este procedimiento las deformaciones en la dirección OD serán pues: Deformación longitudinal: ε = OH = OC + CH = OC + CD.cos β Deformación angular: /2 = DH = CD.senβ

(los valores de OC “centro” y CD “radio”, se obtendrán de la circunferencia de

Mohr).

5. Deformaciones y direcciones principales Deformaciones principales De las infinitas Deformaciones que puede haber en un punto O de un sólido, relativas a las infinitas direcciones OD que se puedan considerar, habrá unas que tengan los valores máximo y mínimo a las que se denominará: deformaciones principales. A las direcciones correspondientes en la que eso ocurre, se las denominará: direcciones principales Ocurrirá pues igual que con las tensiones, que en las direcciones principales se cumplirá que: γ/ 2 = 0 y por tanto: δ=ε.

Una deformación físicamente admisible de un sólido deformable viene caracterizada por un difeomorfismo T D cuyo jacobiano DT D( x,y,z) es positivo en todo instante y para todos los puntos del cuerpo. A partir de esta deformación admisible podemos construir el campo vectorial de desplazamientos y a partir  de sus derivadas primeras construimos el llamado tensor deformación. Puede demostrarse que fijado un punto de un sólido deformable, toda deformación físicamente admisible puede aproximarse localmente por tres alargamientos (o acortamientos) εi según direcciones perpendiculares, el valor  de estos alargamientos ε i puede determinarse resolviendo para cada punto la siguiente ecuación: Las tres direcciones según las cuales se producirían estos alargamientos son precisamente las rectas que pasan por el punto considerado y son paralelas a cada uno de los vectores ni. Si para una determinada dirección principal εi > 0 entonces en esa dirección tenemos alargamiento, mientras que εi < 0 corresponde a direcciones principales donde existe acortamiento.



Calculo de deformaciones principales

Para obtener el valor de las deformaciones principales, recodemos que si εi es el valor de una de ellas; por ser  εti = 0 resultará de acuerdo a:

Para que el sistema homogéneo de dos ecuaciones con dos incógnitas admita soluciones distintas de la trivial (sen αi = cos αi = 0), la que no representa solución para el problema físico planteado, puesto que no cumple la ecuación de condición sen 2 αi + cos2 αi =1

Y cuyas raíces son:

Para ubicar las direcciones principales, bastará con plantear la nulidad de la deformación específica transversal

Si la ecuación XVI se satisface para αi = ϕI, también lo hara para 2ϕI + π = 2ϕII Por lo tanto ϕII = ϕI + π/2 Es decir, que existen en el plano (x-y) dos direcciones ortogonales entre sí para las cuales εtr  resulta nula. Resulta claro que ambas direcciones resultan también normales al eje z (tercera dirección principal)



Calculo de las deformaciones principales

Las ecuaciones correspondientes para calcular las Deformaciones Principales, se obtendrán, por lo dicho antes, haciendo los cambios: Y quedarán las ecuaciones:

Resolviendo este determinante, que da lugar a una ecuación de tercer  grado, se obtendrán las Deformaciones Principales: δ1, δ2, δ3 y se cumplirá:δ1=ε1,δ2=ε2,δ3=ε3



Dirección principal

Definición matemática

Dada una magnitud física de tipo tensorial T se plantea el problema matemático de buscar los vectores no nulos v que cumplan la ecuación:

Dicho problema constituye un problema matemático de vectores propios, donde los auto valores (o valores principales) son valores del parámetro λ para los que existe solución y cada una de las rectas generadas por un vector v se llama dirección principal. El significado físico tanto de los

valores y direcciones principales varía según la magnitud tensorial considerada. En los siguientes apartados se explica el significado e

importancia de valores y direcciones principales para algunas magnitudes tensoriales importantes.



Dirección principal

En física e ingeniería, una dirección principal se refiere a una recta de puntos formada por vectores propios de alguna magnitud física de tipo tensorial. Los dos ejemplos más notorios son las direcciones principales de inercia, usualmente llamadas ejes principales de inercia y las direcciones principales de tensión y deformación de un sólido deformable. Este artículo resume las propiedades matemáticas de las direcciones principales y el significado físico de las mismas en diferentes los contextos.



Ejes principales de inercia

Como es sabido en mecánica del sólido rígido, la inercia rotacional de un cuerpo viene caracterizada por un tensor llamado tensor de inercia, que en una base ortogonal se expresa mediante una matriz simétrica. Los ejes principales de inercia son precisamente las rectas o ejes formadas por vectores propios del tensor de inercia. Tienen la propiedad interesante de que un sólido que gira libremente alrededor de uno de estos ejes no varía su orientación en el espacio. En cambio, si el cuerpo gira alrededor de un eje arbitrario que no sea principal, el movimiento de acuerdo con las ecuaciones de Euler presentará cambios de orientación en forma de precesión y nutación. El hecho de que el giro alrededor de un eje principal sea tan simple se debe a que, cuando un sólido gira alrededor de uno de sus ejes principales, el momento angular L y la velocidad angular ω son vectores paralelos por  estar ambos alineados con una dirección principal:

Donde λ es una magnitud escalar que coincide con el momento de

inercia corresponiente a dicho eje. En general, un cuerpo rígido tiene tres

momentos principales de inercia diferentes. Puede probarse además que si dos ejes principales se corresponden a momentos principales de inercia diferentes, dichos ejes son perpendiculares. Todo cuerpo sólido tiene al menos un sistema de tres ejes de inercia principales (el tensor de inercia siempre se puede diagonalizar) aunque, en particular, el número sistemas de ejes de inercia principales puede llegar a ser  infinito si el sólido rígido presenta simetría axial o esférica. En el caso de la simetría axial dos de los momentos de inercia relativos a sendos ejes tendrán el mismo valor y, en el caso de la simetría esférica, todos serán iguales. Los sólidos rígidos que tienen simetría esférica se denominan peonzas esféricas y, los que sólo tienen simetría axial, peonzas simétricas.



Calculo de direcciones principales

En el tema 1 relativo a las tensiones, el cálculo de las Direcciones Principales venían dadas por las ecuaciones 1.17.a y b.:

Pues bien, haciendo nuevamente los cambios: Obtendremos las Direcciones Principales correspondientes a las Deformaciones Principales y serán:

6. Ecuación de compatibilidad

Una ecuación de compatibilidad es una ecuación adicional a un problema mecánico de equilibrio necesario para asegurar que la solución buscada es compatible con las condiciones de contorno o para poder asegurar la integrabilidad del campo de deformaciones. 

Ecuaciones de compatibilidad en deformaciones

En el planteamiento del problema elástico, las ecuaciones de compatibilidad son ecuaciones que si se cumplen garantizan la existencia de un campo de desplazamientos compatible con las deformaciones calculadas. En otras palabras, las ecuaciones de compatibilidad son las condiciones necesarias de integrabilidad para el campo de desplazamientos en términos de las componentes del tensor deformación. 

Elasticidad lineal

En elasticidad lineal una deformación será físicamente posible si es compatible con un determinado campo de desplazamientos es decir si se cumplen las siguientes relaciones para las componentes del tensor  deformación:

Normalmente las componentes del campo de desplazamiento son desconocidas por lo que necesitamos una relación expresable sólo en términos de las componentes del tensor deformación. La expresión buscada es precisamente:

(1) Estas últimas relaciones son precisamente las que se conocen como ecuaciones de compatibilidad de la elasticidad lineal.

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Elasticidad no-lineal

En teoría de la elasticidad no lineal la relación entre el vector de desplazamientos y las componentes del tensor tensión son no lineales y substancialmente más complicadas:

Por lo que las ecuaciones de compatibilidad en elasticidad no lineal también son no-lineales: (2)

Donde los símbolos de Christoffel vienen dados por:

La ecuación (2) se puede reinterpretar en términos de geometría diferencial, si consideramos que el sólido se deforma sobre un espacio euclídeo una vez deformado las coordenadas materiales dejarán de ser  cartesianas y la medición de distancias requerirá el uso de un tensor métrico de la forma:

Y en ese caso la condición (2) no expresa más que el tensor de Riemann del espacio euclídeo expresado en esta métrica debe ser  nulo 

Ecuaciones de compatibilidad en desplazamiento

Con frecuencia, en problemas mecánicos o de resistencia de materiales hiperestáticos el cálculo de alguna fuerza u otra magnitud resulta insuficiente a partir de las condiciones de equilibrio. En ese caso, las ecuaciones de equilibrio forman un sistema compatible indeterminado. Puesto que la situación física real sí presenta una solución unívoca, es decir, las piezas mecánicas toman valores de tensión concretos y las reacciones reales tienen valores totalmente determinados, concluimos que las ecuaciones de equilibrio deben ser complementadas con algún otro tipo de información adicional que haga que el problema sea determinado. De hecho, muchos problemas se vuelven completamente determinados si tenemos en cuenta que los desplazamientos observados en la realidad tienen valores determinados. Así si introducimos ecuaciones que expresen ciertos desplazamientos en función del resto de variables, podemos llegar a construir un sistema de ecuaciones compatible determinado. Dicho sistema

estaría formado por las ecuaciones de equilibrio, y varias ecuaciones adicionales llamadas ecuaciones de compatibilidad.

(Fig. 1) Problema unidimensional estáticamente indeterminado. Por ejemplo en la figura (Fig. 1) se muestra un problema unidimensional consistente en la aplicación de una fuerza en un punto intermedio empotrado en sus extremos. En este caso, el problema es estáticamente indeterminado o hiperestáticoel análisis de fuerzas lleva a una única ecuación para las dos reacciones incógnita existentes: En este caso P es una fuerza conocida. Para poder determinar las reacciones observamos que la parte izquierda (entre R Ay P) está traccionada y por tanto se estirará, mientras que la parte derecha (entre P y RB) está comprimida y por tanto se encogerá. Puesto que la pieza es un único sólido deformable el estiramiento de parte izquierda compensará exactamente el estiramiento de la parte derecha, de lo contrario la pieza se rompería. Por tanto estiramiento y acortamiento deben ser compatibles, ésa es precisamente la condición de compatibilidad adicional que resuelve el problema:

Las ecuaciones adicionales pueden obtenerse por diversos métodos, por ejemplo usando los teoremas de Castigliano o usando la ecuación de la curva elástica. Si el problema es suficientemente sencillo, como en el ejemplo anterior, puede encontrarse la ecuación de compatibilidad directamente.