Ukuran Tengah Dan Dispersi

 

BAB III UKURAN TENGAH DAN DISPERSI Dalam pembicaraan yang lalu kita telah mempresentasikan data dalam bentuk tabel dan grafik yang bertujuan meringkaskan dan menggambarkan data kuantitatif, untuk mendapatkan gambaran yang lebih jelas tentang sekumpulan data. Selain data itu disajikan dalam tabel dan grafik, masih diperlukan ukuranukuran yang merupakan wakil dari kumpulan data itu. Dalam bab ini akan dibicarakan tentang ukuran tengah dan dispersi. 3.1. Ukuran Tengah Ukuran tengah dari sekumpulan data adalah nilai tunggal yang representatif bagi keseluruhan nilai data atau dapat menggambarkan distribusi data itu, khususnya dalam hal letaknya (lokasinya). Nilai tersebut dihitung dari keseluruhan data bersangkutan sehingga cenderung terletak diurutan paling tengah atau pusat setelah data diurutkan menurut besamya. Oleh karena itu, nilai tunggal tersebut sering dinamakan ukuran tendensi sentral (measures of central tendency) atau ukuran nilai pusat (measures of central value). Beberapa ukuran tengah yang akan dibicarakan adalah mean, mean terbobot, median, kuartil dan modus. 3.1.1 Mean dan Mean Terbobot a. Data tidak dikelompokkan Mean dari sekumpulan observasi adalah jumlah semua observasi dibagi banyak observasi. Definisi 3.1 Jika suatu sampel berukuran n dengan elemen x 1, x2, ... , xn maka mean sampel adalah

atau

Contoh 3.1 Diketahui sampel dari penimbangan berat badan 5 orang dewasa adalah 60 65 59 71 65 maka mean = (60 + 65 + 59 + 71 + 65)/5 = 320/5 = 64 Pada waktu kita menghitung mean dari suatu kumpulan data, kita anggap bahwa semua nilai observasi itu adalah sama "penting" dan diberi bobot yang sama dalam perhitungan. Dalam situasi di mana nilai data tidak sama penting, kita dapat menetapkan bobot untuk setiap nilai data itu yang proporsional terhadap derajat kepentingan dan kemudian dihitung mean terbobot.

Universitas Gadjah Mada

1

 

Definisi 3.2 : Misal v1, v2, ... , vk adalah himpunan k nilai dan w 1, w2, ..., wk bobot

yang

diberikan

kepada mereka maka mean terbobot adalah

Contoh 3.2 : Misalkan seorang mahasiswa mengambil matakuliah X dengan 3 sks dan memperoleh nilai  A = 4 (w1 = 3, v1 = 4) dan mata kuliah Y dengan 2 sks dan memperoleh nilai D = 1 (w2 = 2, v2 = 1) serta mata kuliah Z dengan 1 sks dan memperoleh nilai B = 3 (w 3 = 1, v3 = 3) maka indeks prestasinya adalah

Prosedur pembobotan juga digunakan dalam menghitung mean dari beberapa himpunan data yang dikombinasikan. Misalnya kita mempunyai 2 himpunan data terdiri atas ni  & n2  nilai observasi dengan mean masing-masing adalah  , dan   . Mean kombinasi data ini adalah mean terbobot dari individual mean, yaitu :

b. Data dikelompokkan Data dikelompokkan adalah sekumpulan data yang telah disederhanakan dalam bentuk distribusi frekuensi. Harga mean yang diperoleh merupakan harga pendekatan, dengan anggapan bahwa nilai yang terletak pada suatu interval kelas sama dengan harga titik tengahnya. Mean yang diperoleh merupakan mean terbobot dengan nilai bobotnya sama dengan nilai frekuensinya. Definisi 3.3 : Mean dari data yang dikelompokkan adalah

Universitas Gadjah Mada

2

 

dengan

xi 

:

titik tengan interval kelas ke-i

f i 

:

frekuensi interval kelas ke-i

n

:

banyaknya data

Universitas Gadjah Mada

3

 

Contoh 3.3 : Untuk menghitung data pada contoh 2.1, kita gunakan tabel seperti di bawah ini.

sehingga ̅ - = 8732/50 = 174,64 Cara lain dengan transformasi

dengan

xi  :

titik tengah interval kelas ke-i

a :

sembarang harga titk tengah interval kelas

c :

lebar interval kelas

sehingga mean adalah

Contoh 3.4 : Untuk contoh di atas, transformasinya adalah

kemudian dibuat tabel hasil transformasi, yaitu :

maka    = -6/50 = -0,12 Universitas Gadjah Mada

4

 

sehingga ̅  = c + a = 3( - 0,12) + 175 = -0,36 + 175 = 174,64

3.1.2 Median Median dari sekumpulan data adalah nilai yang berada di tengah dari sekumpulan data itu setelah diurutkan menurut besamya. a. Data yang tidak dikelompokkan Contoh 3.5: 1.

Tinggi badan 5 orang dewasa 165 167 168 170 171 median = 168

2.

Berat badan 6 orang dewasa 55

57

58

60

60

65

median = (58 + 60) / 2 = 59

b. Data yang dikelompokkan Untuk mengitung median data yang telah dikelompokkan dalam bentuk distribusi frekuensi digunakan cara interpolasi, dengan menganggap bahwa data yang jatuh pada suatu interval letaknya tersebar merata dalam interval itu. Rumus untuk menghitung median adalah

dengan

Lmd  :

batas bawah interval median

n

:

banyak data

F

:

jumlah frekuensi interval-interval interval-interval sebelum interval median

f m md d : c

frekuensi interval median :

lebar interval

Interval median adalah interval dimana median itu berada, diperoleh dengan menghitung harga yang nomor ke-n/2 menurut urutan frekuensinya dari atas ke bawah (dari bawah ke atas).

Contoh 3.6 dari tabel 2.1 n = 50 maka n/2 = 25 Urutan frekuensi dari atas ke bawah 6+7+8+11 = 32 Sehingga harga median terletak dalam interval ke-4, yaitu 173,5 - 176,5 dengan frekuensi 11. Interval kelas ini yang dinamakan interval median. Universitas Gadjah Mada

5

 

maka

Lmd  = 173,5 n

= 50

F

= 21

f m md d  = 11 c

= 3

Jadi median adalah Median

=

Md = 173,5 +

   

= 173,5 + 12/11 = 173,5 + 1,09 = 174,59 3.1.3 Kuartil Kuartil dari sekumpulan data adalah nilai-nilai yang membagi empat secara sama dari sekumpulan data itu setelah diurutkan menurut besarnya. a.

Data yang tidak dikelompokkan dikelompokkan

Contoh 3.7 : 1.

Tinggi badan 5 orang dewasa 165 167 168 170 171 Kuartil I

2.

:

K 1

=

  = 

166

Kuartil II :

K2  = Median = 168

Kuartil III :

K 3

=

  = 

170,5

Berat badan 6 orang dewasa 55

57

Kuartil I

58 :

60

60

65

K1= 57

Kuartil II :

K2 = Median =

Kuartil III :

K3 = 60

 =59 

b. Data yang dikelompokkan Untuk mengitung Kuartil data yang telah dikelompokkan dalam bentuk distribusi frekuensi digunakan cara interpolasi, dengan menganggap bahwa data yang jatuh pada suatu interval letaknya tersebar merata dalam interval itu. Rumus untuk menghitung Kuartil adalah Universitas Gadjah Mada

6

 

Universitas Gadjah Mada

7

 

dengan

LK1  :

batas bawah interval Kuartil I

Lmd  :

batas bawah interval median

LK2  :

batas bawah interval Kuartil III

n

:

banyak data

F

:

jumlah frekuensi interval-interval interval-interval sebelum interval Kuartil

f KK11  :

frekuensi interval Kuartil I

f m md d  :

frekuensi interval median

f KK33  :

frekuensi interval Kuartil III

c

lebar interval

:

Interval Kuartil adalah interval dimana Kuartil itu berada.

Contoh 3.8 : dari tabel 2.1 diperoleh : n = 50 maka n/4 = 12,5 Jumlah frekuensi interval ke 1 dan ke 2 adalah 6+7 = 13 Sehingga harga Kuartil I terletak dalam interval ke-2, yaitu 167,5 - 170,5 dengan frekuensi 7. Interval kelas ini yang dinamakan interval interval Kuartil I. maka

LK1 = 167,5 n

= 50

F

= 6

FK1 = 7 C

= 3

Jadi Kuartil I adalah Kuartil I

:

K1  = 167,5 +

12,5

7-63

= 167,5 + 19,5/7 = 167,5 + 2,79

Kuartil II

:

= 170,29 K2  = Median = 174,59

n = 50 maka 3n/4 = 37,5 Jumlah frekuensi interval ke 1 sampai ke 5 adalah 6+7+8+11+7 = 39 Sehingga harga median terletak dalam interval ke-5, yaitu 176,5 - 179,5 dengan frekuensi 7. Interval kelas ini yang dinamakan interval interval Kuartil II. maka

LK3  = 176,5 n

= 50

F

= 32

f rnd  = 7 c = 3 Universitas Gadjah Mada

8

 

Jadi Kuartil Ill adalah Kuartil Ill

:

K3  =

3.1.4 Modus

176,5 +

    

=

176,5 + 5,5/7

=

176,5 + 0,79

=

177,29

Modus dari sekumpulan data adalah nilai yang sering muncul atau nilai yang mempunyai frekuensi tertinggi dalam kumpulan data itu. a . Data tidak tidak dikelompokkan dikelompokkan Contoh Contoh 3.9 : Modus berat badan badan mahasiswa mahasiswa di atas adalah adalah 60 karena 60 muncul 2 kali. b . Data Data di dikel kelomp ompokk okkan an

dengan

Lmo  :

batas bawah interval modus

a b

: :

beda frekuensi antara interval modus dengan interval sebelumnya beda frekuensi frekuens i antara interval modus dengan interval sesudahnya.

c

:

lebar interval Interval modus

interval modus adalah interval yang mempunyai frekuensi tertinggi.

Contoh 3.10 : Dari tabel 2.1 sehingga

:

interval modus adalah interval ke-4 dengan frekuensi 11.

Lmo  = 173,5 a

= 11 - 8 = 3

b

= 11 - 7 = 4

c = 3 Jadi modus adalah  

Modus = 173,5 +  3 = 173,5 + 1,29 = 174,79

3.2. Ukuran Dispersi Beberapa distribusi dapat mempunyai mean, median dan modus yang sama, namun bentuk distribusinya sangat berbeda. Dengan demikian diperlukan ukuran dispersi atau ukuran deviasi terhadap pusat datanya. Beberapa ukuran deviasi yang akan dibicarakan :  jangkauan, deviasi deviasi rata-rata, variansi variansi dan deviasi deviasi standar. Universitas Gadjah Mada

9

 

3.2.1 Jangkauan Jangkauan adalah selisih data terbesar dan terkecil.

Contoh 3.11 : Berat badan (kg) 5 mahsiswa adalah sebagai berikut : 60

65

59

71

65

maka jangkauan = 71 - 60 = 11

3.2.2 Deviasi rata-rata Deviasi rata-rata adalah harga rata-rata penyimpangan tiap data terhadap meannya. Besar perbedaaan antara data dan meannya adalah harga mutlaknya. a.

Data tidak dikelompokkan dikelompokkan Misalnya xl, x 2, , adalah sekumpulan data dengan mean )1., maka deviasi rata-ratanya

adalah

Contoh 3.12 : Dan data berat badan 5 orang dewasa, diperoleh mean = ̅  = 64 maka deviasi rata-rata :

 jadi dr = 18/5 = 3,6

b.

Data dikelompokkan dikelompokkan Deviasi rata-rata untuk data yang dikelompokkan, dihitung dengan rumus :

Universitas Gadjah Mada

10

 

dengan

xi 

:

titik tengah inteval kelas ke-i

f i 

:

frekuensi interval kelas ke-i

n

:

banyak data

Contoh 3.13 : Dari contoh 3.3 diperoleh mean adalah   = 174,64 174,64  

Deviasi rata-rata = dr = 233,88/50 = 4,68

4.3

Variasi dan Deviasi Standar Variansi sampel didefinisikan sebagai jumlah kuadrat deviasi terhadap mean sampel

dibagi n - 1, yaitu : a. Data tidak dikelompokkan

Deviasi standar sampel didefinisikan sebagai akar positif dari variansi sampel, yaitu : s = √   Contoh 3.11

Universitas Gadjah Mada

11

 

 jadi s2  = 92/4 = 23 s = 4,796

b. Data dikelompokkan

Deviasi standar sampel didefinisikan sebagai akar positif dari variansi sampel, yaitu :

Contoh 3.12 :

Deviasi standar : s = 5,51 Variansi :

Cara lain dengan transformasi

dengan xl adalah sembarang harga titik tengah interval kelas Sehingga:

Variansi = s2 = c2    Universitas Gadjah Mada

12

 

Deviasi standar = s = c s u

Contoh 3.13 :

maka

:

s2  = [166 - (-6)2/ 50] 149 = (166 - 0,72) 0,72) / 49 = 165,28 / 49 = 3,373

sehingga

s2  = 9 x 3,373 = 30,36 s = 5,51

Latihan 3 1.

Nilai akhir dari 12 mahasiswa mahasiswa yang mengikuti ujian statistika adalah

Hitung Mean median dan Modus

2.

Berikut ini adalah data nilai hasil ujian akhir Statistika Statistik a 75 mahasiswa

Universitas Gadjah Mada

13

 

Berdasarkan data tersebut a)

Buatlah distribusi frekuensinya. frekuensinya.

b)

Hitunglah ukuran tengah dan dispersi

c)

Berapa persen mahasiswa yang nilainya lebih dari mean di kurangi deviasi standar?

3.

Tabel di bawah ini menunjukkan distribusi frekuensi umur (tahun) 65 orang karyawan pada perusahaan ABC yang mempunyai titik tengah x, dan frekuensi f,.

a)

Hitunglah mean, modus, median dan kuartil

b)

Hitunglah deviasi standar.

c)

Berapa persen karyawan yang umumya kurang dad median ?

d)

Berapa persen karyawan yang umurnya di atas rata-rata? rata-rat a?

e)

Berapa persen karyawan yang umumya lebih dari modus ?

f)

Berapa persen karyawan yang umumya kurang dari mean ditambah devasi standar ?

4.

Direktur rumah sakit X melakukan survay pada jumlah hail yang dihabiskan pasien di rumah sakit tersebut. Hasilnya adalah

a)

Berapakah rata-rata rata-rat a waktu yang dihabiskan pasien ?

b)

Berapa persen pasien yang sembuh kurang dan rata-rata rata-ra ta ?

Universitas Gadjah Mada

14

 

5.

Misalkan interval kelas median nilai ujian statistik adalah 45,5 - 57,5 dengan frekuensi relatif 0,2. Diketahui harga median 50 dan mean 48.

6.

a)

Berapa persen nilai ujian yang di bawah rata-rata rata-rat a ?

b)

Berapa persen nilai ujian yang di atas median ?

Misalkan titik interval kelas median nilai ujian statistik adalah 50 dengan frekuensi relatif 0,15 dan lebar interval 11. Diketahui harga median 53, mean 47 dan modus 50. Hitunglah berapa persen nilai a)

di bawah rata-rata rata-rat a ?

b)

di atas modus ?

Universitas Gadjah Mada

15