UFPE Matemática 2004

Matemática 2  01. Pedro tem 6 bolas de metal de mesmo peso p. Para calcular p, Pedro colocou 5 bolas em um dos pratos de uma balança e a que restou, juntamente com um cubo pesando 100g, no outro prato, e observou que os pratos da balança ficaram equilibrados (veja figura abaixo). Indique p, medido em gramas.

100

Resposta: 25 Solução: Retirando-se uma bola de cada prato, os pratos permanecem em equilíbrio. Portanto, cada bola pesa 100/4 = 25 gramas.

02. Uma circunferência de raio 12, tendo AB e CD como diâmetros, está ilustrada na figura abaixo. Indique a área da região hachurada. A

o

135 C

D

B Resposta: 72 Solução: 2 A área em questão é igual à área de um quadrado de lado a, tal que 2a = 2 2 12 . Logo a = 6 x 12 = 72.

03. Indique o comprimento do intervalo das soluções da desigualdade 0 ≤ 2x – 7 ≤ 70. Resposta: 35 Solução: As desigualdades a seguir são equivalentes: 0 ≤ 2x – 7 ≤ 70 ; 7 ≤ 2x ≤ 77 ; 3,5 ≤ x ≤ 38,5.

04. Uma elipse é obtida interceptando um cilindro reto com um plano que forma um o

ângulo de 30 com o eixo do cilindro, como ilustrado abaixo. Se o raio do cilindro mede 6, quanto mede o eixo maior da elipse?

o

30

Resposta: 24 Solução: O eixo maior da elipse é a hipotenusa de um triângulo retângulo tendo um o ângulo de 30 e com o cateto oposto a este ângulo medindo 12. Logo, o eixo o maior mede 12/sen30 = 24.

05. Um provedor de acesso à internet cobra R$ 0,20 por hora de acesso durante o dia, e R$ 0,08 por hora de acesso durante a noite. Se um usuário pagou R$ 4,64 por 28 horas de uso, indique quantas horas de acesso foram usadas durante a noite. Resposta: 8 Solução: Sejam n e 28-n o número de horas de acesso, durante a noite e durante o dia, respectivamente. Então 0,2(28 – n) + 0,08n = 4,64, donde 0,12n = 0,96 e n = 8.

06. Os segmentos VA, VB e VC são dois a dois perpendiculares no espaço, como ilustrado a seguir. Se VA = 5 , VB = 6, VC = 7, qual o volume da pirâmide triangular ABCV? A

V

B

C

Resposta: 35 Solução: Relativamente à base VAB ( um triângulo retângulo com catetos VA e VB) a altura da pirâmide é VC; consequentemente, seu volume é 1/3.5.6/2.7 = 35.

07. Uma companhia fabricava barras de chocolate de 200g que eram vendidas a R$ 3,20 a unidade e passou a fabricar barras de 180g que são vendidas a R$ 3,60 a unidade. Indique o aumento percentual no preço do grama de chocolate. Resposta: 25 Solução: O preço do grama de chocolate passou de 3,2/200 = 0,016 para 3,6/180 = 0,02, portanto o aumento percentual foi de 100.0,004/0,016 = 25%.

08. Indique o inteiro mais próximo da área do trapézio PQRS de altura 4, ilustrado na figura abaixo, sabendo que ABCD é um quadrado de lado 10, M é o ponto médio de AB e de PQ, e N é o ponto médio de BC e de RS. (Dado: use aproximação

2 ≅ 1,41). A

P

M

Q

B

R

N

S

D

C

Resposta: 28 Solução: 2 2 2 A área de PQRS é igual a 4 vezes o comprimento d de MN. Mas d = 5 + 5 , donde d = 5 2 . Logo, a área do trapézio é 4d = 20 2 ≅ 20 x 1,41 = 28,2.

09. Para qual valor de m, as retas de equações 3x + 4y = -1, 5x + 8y = 1 e mx + 7y = -1, são concorrentes em um mesmo ponto? Resposta: 5 Solução: Resolvamos o sistema formado pelas equações 3x+4y = -1 e 5x + 8y = 1: multiplicando a primeira equação por 2 e subtraindo da Segunda, obtemos x = -3; substituindo x em uma das equações, obtemos y = 2. Este ponto pertence à terceira reta, se –3m+14 = -1 ou m = 5.

10. Sejam A, B e G vértices de um cubo de aresta 10 Qual a distância do vértice B a diagonal AG?

6 , como ilustrado abaixo.

G

A B Resposta: 20 Solução: Considere o triângulo ABG. A distância de B a AG é a altura relativa à hipotenusa do triângulo ABG e vale AB.BG/AG = AB.AB 2  /(AB 3 ) = AB 6  /3 = 20.

11. Uma escola comprou computadores das empresas X e Y. Quarenta por cento dos computadores foram comprados da empresa X e os demais da empresa Y. A probabilidade de um computador fabricado por X apresentar defeito no primeiro ano de uso é 0,10 e se fabricado por Y é de 0,15. Se um destes computadores é escolhido aleatoriamente, qual a probabilidade percentual de ele não apresentar defeito no primeiro ano de uso? Resposta: 87 Solução: A probabilidade de um computador, escolhido ao acaso, não apresentar defeito no primeiro ano de uso é de 0,4.0,9 + 0,6.0,85 = 0,36 + 0,51 = 0,87. As informações e a figura abaixo referem-se às três questões a seguir. Na ilustração seguinte, ABCD é um paralelogramo e I é a interseção de suas diagonais. Os pontos E, F, G, H e J são as respectivas projeções ortogonais dos pontos A, B, C, D e I sobre o plano π (ou seja, os segmentos AE, BF, CG, DH e IJ são perpendiculares ao plano π). D C

I A B

π

H

G J

E F

12. Analise as afirmações a seguir, referentes à configuração acima. 0-0) IJ é a base média do trapézio ACGE. 1-1) IJ é a base média do trapézio BDHF.

2-2) J é a interseção das diagonais do quadrilátero EFGH. 3-3) O quadrilátero EFGH é um paralelogramo. 4-4) AE + CG = BF + DH Resposta: VVVVV Solução: 0-0) é verdadeira, pois IJ é paralela a AE e CG, e I é ponto médio de AC. 1-1) é verdadeira, pois IJ é paralela a DH e BF, e I é ponto médio de DB. 2-2) é verdadeira, pois J é ponto médio de EG e de HF. 3-3) é verdadeira, pois, se as diagonais de EFGH se interceptam em seus pontos médios, então, EFGH é um paralelogramo. 4-4) é verdadeira, pois IJ é a base média de ACGE e de BDHF e daí (AE+CG)/2 = (BF+DH)/2.

13. Suponha que AE = CG = 6 e que BF = 5. Qual a medida de DH? Resposta: 7 Solução: Como IJ é a base média dos t rapézios ACGE e BDHF, temos AE+CG = BF + DH e daí DH = 6+6-5 = 7.

14. Usando os dados da questão anterior e sabendo que a área de EFGH é 13, determine o volume do sólido ABCDEFGH . Resposta: 78 Solução: Superponha duas cópias do sólido fazendo-as coincidir através das faces que são paralelogramos não paralelos a π, obtendo um prisma reto com base EFGH e altura 12, que tem volume 13.12. O volume do sólido ABCDEFGH é 13.6 = 78.

15. Sejam a e b números reais tais que a b 14 x + 4 + = 2 x +1 x −1 x −1 para todo número real x, diferente de 1 e -1. Indique ab. Resposta: 45 Solução: a b (a + b)x + b − a 14 x + 4 . Então, a + b = 14 e b –  + = = 2 x +1 x −1 x2 − 1 x −1 a = 4. Segue que a = 5 e b = 9. Temos que:

16. Os cientistas de um navio de pesquisa mediram o ângulo de elevação do pico o

de uma ilha vulcânica obtendo 25,6 . Avançando o navio mais 1.100m na direção do pico, efetuaram outra medida do ângulo de elevação, obtendo o 31,2 , como representado na figura a seguir. Indique a soma dos dígitos da altura do pico da ilha, em metros, em relação ao nível do mar. Despreze a o curvatura da terra. (Dados: use as aproximações cotg(31,2 ) ≅ 1,65 e o cotg(25,6 ) ≅ 2,09.)

o

25,6 1.100m

o

31,2

Resposta: 7 Solução: Sejam x a distância do navio à base do pico quando foi efetuada a segunda medição e y a altura do pico. Temos x = 1,65y e x + 1100 = 2,09y. Resolvendo em y obtemos 0,44y = 1100, e daí y = 2500m.

17. Trabalhando juntos, dois operários executam certa tarefa em 6 horas. Para executarem a mesma tarefa, isoladamente, o primeiro deles precisaria de 5 horas a mais que o segundo. Em quantas horas o segundo executaria, sozinho, a tarefa? Resposta: 10 Solução: Seja x o número de horas que o segundo operário precisa para executar a tarefa sozinho. Em 1h, o primeiro executa 1/(x+5) da tarefa e o segundo 1/x, 2 portanto 1/(x+5)+1/x = 1/6 que se simplifica como 6(2x+5) = x(x+5) ou x -7x30 = 0. Segue que x = (7+13)/2 = 10 ou x = (7-13)/2 = -3 e só nos interessa a solução positiva.

18. Na figura abaixo, uma esfera está inscrita em um cilindro reto. O raio da base do cilindro tem a mesma medida do raio da esfera e um diâmetro da esfera coincide com o eixo do cilindro (veja a ilustração a seguir).

Analise as afirmações seguintes, acerca das áreas das superfícies e dos volumes da esfera e do cilindro: 0-0) 1-1) 2-2) 3-3)

A área lateral do cilindro é metade da área da superfície da esfera. O volume do cilindro é três meios do volume da esfera. A área da superfície da esfera é dois terços da área total do cilindro. O volume do cilindro é o produto da área da superfície da esfera pela metade do raio. 4-4) O volume da região interna ao cilindro e exterior à esfera é um terço do volume do cilindro. Resposta: FVVVV Solução: Seja r o raio do cilindro que é igual ao da esfera; a altura do cilindro é 2r. 2 0-0 é falsa, pois a área lateral do cilindro é 2πr.2r = 4πr , o mesmo valor da área da superfície da esfera. 2 3 3 1-1 é verdadeira, pois o volume do cilindro é πr 2r = 2πr =(3/2)4πr   /3 e 3 4πr  /3 é o volume da esfera. 2 2 2 2-2 é verdadeira, pois a área total do cilindro é 4πr + 2πr = 6πr e 2 2 (2/3)6πr =4πr . 3 2 2 3-3 é verdadeira, pois o volume do cilindro é 2πr = (4πr ).(r/2) e 4πr é a área da superfície da esfera. 4-4 é verdadeira, pois o volume da região interna ao cilindro e externa à

3 3 3 3 esfera é 2πr -4πr  /3 = 2πr  /3 = (1/3)2πr .

19. Qual o número mínimo de pessoas que devem fazer parte de um grupo, para que se possa garantir que existam, pelo menos, 7 pessoas do grupo nascidas no mesmo mês? Resposta: 73 Solução: Se existem no máximo 6 pessoas nascidas em cada mês, teríamos um grupo de, no máximo, 6.12 = 72 pessoas.

20. A figura abaixo ilustra uma viga na forma de um arco de parábola AB (com escalas horizontal e vertical diferentes). O eixo da parábola contendo o arco AB é a reta passando por O e C, a qual é perpendicular ao segmento AB. Se E é o ponto médio de OB, ED = 6m e OE = 14m, calcule, em metros, a altura OC. C D

A

O

E

B

Resposta: 8 Solução: Considere o sistema cartesiano com centro O e eixo das abscissas contendo B. A parábola passa pelos pontos (-28,0), (28,0) e (14,6); portanto, sua equação é da forma y = c(x+28)(x-28) e 6 = c.42.(-14) daí c = -1/98. 2 Portanto, a parábola tem equação y = -x /98+8. Quando x = 0 temos y = 8 = OC.

21. A figura abaixo ilustra uma circunferência dividida em regiões por três arcos de

o 120 de circunferências de mesmo raio que a anterior. A região hachurada pode ser dividida em partes que podem ser acopladas de maneira a formar um retângulo. Se a circunferência tem raio 30, qual o comprimento de um menor lado do retângulo?

Resposta: 45 Solução: A altura do retângulo é 30+30/2 = 45.

22. Um conjunto de números naturais consiste de treze múltiplos de 6, dezenove múltiplos de 10, sete múltiplos de 30 e três números primos. Quantos são os números no conjunto? Resposta: 28 Solução: Os múltiplos de 30 são múltiplos de 6 e de 10, portanto, existem 13+19-7 =

25 múltiplos de 6 ou de 10 e nenhum deles é um número primo. Segue que o número de elementos no conjunto é 25+3 = 28.

23. Na figura abaixo, o ângulo BAC mede 60o e AB = AC. Se a circunferência tem raio 6, qual o inteiro mais próximo da área da região hachurada? (Dados: use as aproximações: π ≅ 3,14, 3 ≅ 1,73 .)

B

C

o

60

A Resposta: 44 Solução: 2 2 o Temos que a área da região hachurada é 2(π6   /3 – 6 sen120   /2) = 24π 36 3  /2 = 24π - 18 3 = 44,22.

24. Para quantos valores inteiros de m o sistema x + 7y = m e 3x + 5y = 8 admite solução x, y em números reais positivos? Resposta: 9 Solução: Temos 3(m-7y)+5y=8 e y = (3m-8)/16. Daí x = m – (21m-56)/16 = (5m+56)/16 e x, y são positivos quando m>8/3 = 2,66... e m