-Udzbenik-2

Mirjana Stojsavqevi}-Radovanovi}, Qiqana Vukovi} Jagoda Ran~i}, Zorica Jon~i}

MATEMATIKA uxbenik za {esti razred osnovne {kole drugi deo

[TA SADR@I OVA KWIGA

UVOD U TEME Racionalni brojevi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4–5 ^etvorougao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68–69 Povr{ina ~etvorougla i trougla . . . . . . 104–105 RACIONALNI BROJEVI Skup racionalnih brojeva – skup Q . . . . . . . . 6–11 Prikazivawe racionalnih brojeva na brojevnoj pravoj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12–15 Upore|ivawe racionalnih brojeva . . . . . . . 16–19 Sabirawe i oduzimawe racionalnih brojeva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20–31 Mno`ewe racionalnih brojeva . . . . . . . . . . . 34–41 Deqewe racionalnih brojeva . . . . . . . . . . . . . 42–47 Jedna~ine oblika a ⋅ x = b, x : a = b, a : x = b, a ⋅ x + b = c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49–53 Nejedna~ine oblika a ⋅ x > b, a ⋅ x < b, x : a > b, x : a < b, a ⋅ x + b > c i a ⋅ x + b < c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54–63 Procenat i primena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64–66

Pojam centralne simetrije . . . . . . . . . . . . . . . . 77–79 Paralelogram. Vrste paralelograma. Konstrukcija paralelograma . . . . . . . . . . . 80–89 Trapez. Vrste trapeza. Konstrukcije trapeza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90–99 Deltoid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100–101 POVR[INA TROUGLA I ^ETVOROUGLA Pojam povr{ina ravnih figura. Jednakost povr{ina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106–107 Povr{ina pravougaonika . . . . . . . . . . . . . . . 111–113 Povr{ina paralelograma . . . . . . . . . . . . . . . 114–115 Povr{ina trougla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116–117 Povr{ina trapeza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118–119 Povr{ina ~etvorougla s normalnim dijagonalama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120–121 I TO JE MATEMATIKA

32, 66, 102, 122

ISTRA@IVA^KI ZADATAK . . . . . . . . . . . . . . . 48, 123 ZAPAMTI

^ETVOROUGAO ^etvorougao. Elementi ~etvorougla . . . . . . 70–73 Zbir unutra{wih uglova ~etvorougla. Zbir spoqa{wih uglova ~etvorougla . . 74–76

..........

.........................

REZULTATI I UPUTSTVA

33, 67, 103, 124

................

125–132

RACIONALNI BROJEVI U ovom poglavqu nau~i}e{: • {ta su to racionalni brojevi • kako se zapisuju, upore|uju, predstavqaju na brojevnoj pravoj • da ra~una{ sa racionalnim brojevima – da ih sabira{, oduzima{, mno`i{ i deli{.

Iz istorije matematike Na~in na koji su se brojevi zapisivali mo`e se pratiti kroz is toriju po~ev od matematike drevnog Egipta, Vavilona, drevne Gr~ke, isto~nih civilizacija – indijske, arapske, kineske – matematike sredweg veka, pa do dana{wih dana. O staroegipatskoj matematici saznajemo najvi{e iz Moskovskog i Ahmesovog papirusa. Jedan zadatak na Ahmesovom papirusu glasi : Ako zbir nepoznatog broja nekih stvari i wihove sedmine iznosi 19, koliki je broj stvari? Danas odgovor na to pitawe dobijamo re{avaju}i jedna~inu x + 1 x = 19. Weno re{ewe je 133. 8 7 Stari Egip}ani koristili su simbole iz prirode i `ivo ta za pisawe prirodnih brojeva. broj

1

10

100

1 000

10 000

100 000

1 000 000

hijeroglif 276 Staroegipatski matemati~ari koristili su, izuzev razlomka 2 i 3 , 3 4 samo jedini~ne razlomke. To su razlomci koji u brojiocu imaju jedinicu: 1, 1, 1 … 3 5 12 Razlomci su zapisivani tako {to se pored niza hijeroglifa za oznaku broja crtao hijeroglif u obliku usana. 1 249

4

Sve ostale razlomke izra`avali su kao zbir jedini~nih razlomaka. Na primer: 4 = 1 + 1 + 1 5 2 5 10

1 2

1 4

1, 2, 3, KRENI… ! Zaokru`i mawi broj. " Zaokru`i ve}i broj.

1 2

3 4

54,504

# Zaokru`i najmawi broj.

11 5

54,54 1,5

5 4

U zadacima od 4 do 10 izra~unaj izraz i zaokru`i slovo ispred ta~nog rezultata. $ 1+ 2

3 3 a) 1

b) 3 6

v) 3 9

b) 1 2

v) 2

b) 1 12

v) 3 4

b) 0,21

v) 1,11

b) 1,99

v) 2,99

b) 7,2

v) 72

b) 1,3

v) 0,13

% 3⋅2

4 3 a) 9 8

& 5:5

4 3 a) 20 12

' 1 + 0,11

a) 0,12 ( 5,19 – 3,2

a) 2,17 ) 1,2 ⋅ 6

a) 0,72 * 0,26 : 0,2

a) 13 + Izra~unaj.

OVO NE}E BITI TE?KO.

11 + 1 ⋅ 2 2 2 , Izra~unaj.

a) (1 − 0,75) ⋅ 4 5 b) 100 ⋅ 0,1 − 5 : 1 2

5

SUPROTAN BROJ POZITIVNOM RACIONALNOM BROJU. SKUP RACIONALNIH BROJEVA – SKUP Q

• pozitivni razlomci • negativni razlomci • suprotni razlomci • skup racionalnih brojeva

! Na kojoj su od prikazanih brojevnih pravih ta~kama T i P pridru`eni

suprotni brojevi? Zaokru`i slovo ispred tog crte`a. T P x a) 0 1 2 3 4 5 –2 –1 b) v)

T –2

–1

0

1

T –2

2

P 3

4

x 5

P –1

0

1

2

Podseti se Brojevi 3 i –3 jesu suprotni brojevi.

x 3

4

5

POZITIVNI I NEGATIVNI RAZLOMCI U petom razredu upoznali smo se sa skupom razlomaka. Pored t oga {to smo nau~ili da razlomke upore|ujemo, sabiramo, oduzimamo, mno`imo i delimo, nau~ili smo i da ih predstavqamo na brojevnoj polupravoj. x Na primer: 1 17 3 0 1 11 2 2 6 3 Nau~ili smo da svaki pozitivan ceo broj mo`emo zapisati tak o {to }emo ispred wega napisati znak „+“ . Na isti na~in mo`emo napisati i svaki pozitivan razlomak. Na primer: 1 = + 1, 17 = + 17 , 12 = +12 … 2 2 6 6 5 5 Brojevi 1, 12, 17 … jesu pozitivni razlomci. 2 5 6 Kao {to svakom pozitivnom celom broju pridru`ujemo suprotan broj, tako i svakom pozitivnom razlomku pridru`ujemo suprotan razlomak. Suprotne razlomke mo`emo predstaviti na brojevnoj pravoj. Na primer: x 1 0 1 3 –2 −13 –1 − 1 13 2 2 4 2 4 1 3 3 Ta~ke pridru`ene me|usobno suprotnim razlomcima, na primer: 1 i − , 1 i −1 , nalaze 2 4 4 2 se sa raznih strana ta~ke O(0) i na istom su rastojawu od we. 1 3 Brojevi − 2 , −14 … jesu negativni razlomci. Svaki negativni razlomak, kao i svaki negativan ceo broj, zapisujemo tak o {to ispred wega pi{emo znak „–“.

6

{

}

" Iz skupa 4, − 11 ,7 5 , − 2 , 3 , −2 4 izdvoj podskup negativnih razlomaka.

2

6

3 5

9

SKUP RACIONALNIH BROJEVA Skup pozitivnih racionalnih brojeva ~ine svi pozitivni razlomci. Obele`avamo ga sa Q +. Skup negativnih racionalnih brojeva ~ine svi negativni razlomci. Obele`avamo ga sa Q – . Skup racionalnih brojeva jeste skup koji ~ine svi pozitivni racionalni brojevi, nula i svi negativni racionalni brojevi. Ozna~avamo ga sa Q .

Q = Q – ∪ {0} ∪ Q + Q

0

Q–

Q+

# Upi{i znak ∈ili ∉tako da dobije{ ta~no tvr|ewe.

a) 6 .......... Q + 7

b) –37 .......... Q

v) 11 .......... Q – 7

$ Dat je skup A =

g) 5 2 .......... Q 3

d) − 22 .......... Q + 9

|) − 22 .......... Q 9

. Da ti ka`em

a) Napi{i podskup negativnih racionalnih brojeva.

Suprotan broj pozitivnom broju jeste negativan broj. Suprotan broj negativnom broju jeste pozitivan broj.

b) Napi{i podskup pozitivnih racionalnih brojeva. v) Koji su brojevi iz skupa A me|usobno suprotni? Napi{i ih.

SUPROTNI BROJEVI Definicija suprotnih brojeva u skupu Z va`i i u skupu Q. Za svaki broj a ∈Q brojevi a i –a su suprotni brojevi.

x –a

0

a

% Koji broj je suprotan broju 5 ? Zaokru`i slovo ispred ta~nog odgovora.

a) − 5 6

b) − 6 5

6 v) 6 5

& Popuni prazna poqa u tabeli.

broj

+6 11

−5 3

25 9

−1 6

suprotan broj

7

' Zaokru`i slovo ispred crte`a na kojem su ta~kama A i B pridru`eni suprotni brojevi.

a) –2

0

–1

A

B

2 1 3

3 2 B

2

3 2 B

2

3 2

2

A

b)

0

–1− 2 3

–2

1

A

v)

0

–2 − 3 –1 2

1

x 3 x 3 x 3

( Svakom od datih brojeva napi{i suprotan broj.

−3 2

1

35 7

0,5

–12,45

−2 9

Svi brojevi koji se mogu napisati u obliku razlomka pripadaju skupu Q. Na primer: 14 12 0,5 = 1 –1,2 = − –5,14 = −5 100 10 2 Skupu racionalnih brojeva pripadaju prirodni i celi brojevi jer se mogu napisati u obliku razlomka. 7 = 7 = 14 = 21 −2 = − 2 = − 4 = − 8 0= 0 = 0 = 0 1 2 3 1 2 4 1 2 3 ) Zaokru`i slovo ispred ta~ne jednakosti.

8 a) –4 = − 32

8 b) –4 = − 4

32 v) –4 = − 8

HE, HE, HE. ZNAM!!!

* Zapi{i dati broj u obliku razlomka ~iji je imenilac 3.

a) 9

b) –30

v) –5

g) 0

+ Date brojeve napi{i u obliku razlomaka.

0,9

–1,01

–3,75

–2,125

Proveri {ta zna{ 5 13 7 ; –0,05; 4; −2 ; –101; . Prepi{i negativne racionalne brojeve. 4 5 9 24 5 −3 2 " Napi{i suprotne brojeve datim brojevima. 7 –25,7 0,032 5 9 5 ! Dati su brojevi:

# Napi{i tri pozitivna racionalna broja mawa od 5. $ Napi{i tri negativna racionalna broja. % Brojeve 3; –5,8; –1,45 napi{i u obliku razlomaka.

8

• racionalan broj

SKUP RACIONALNIH BROJEVA

je koli~nik dva cela broja

! U prazna poqa upi{i ∈ili ∉tako da dobije{ ta~na tvr|ewa.

34 3 ...........Z

–12...........N

1 Q 2...........

−3 3...........Q – 4

4 Q+ 2 ...........

0...........Q

" U tabeli zaokru`i DA ako su suprotni brojevi ta~no odre|eni, a ako nisu, zaokru`i NE.

broj

0,75

−2 1 2

1,2

–45

suprotan broj

+3 4

+5 2

−5 6

135 3

DA NE DA NE DA NE DA NE

# Izra~unaj.

( )

a) − − 2 3

b) – (– 0,34)

$ Ako je p =

a) –p

( )

g) − +7 1 9

v) – (+12,6)

8 i q = –0,6, izra~unaj: 9 b) –q v) – (–p)

Podseti se – (– 2) = 2 – (+ 2) = –2

g) – (–q)

% Decimalni broj –1,2 napisan u obliku razlomka je :

1 12 1 b) − v) −1 2 100 5 Zaokru`i slovo ispred ta~nog odgovora. a) −

1 g) −1 50 1 5 g) –2,02

& Od datih brojeva zaokru`i onaj koji je jednak −2 .

a) –2,5

b) –2,15

v) –2,2

' Pove`i suprotne brojeve.

( Pove`i jednake brojeve.

–3

4 5

–1,5

9

0

−3 5

–2,6

–1,1

− 11 4

–0,3

3 2

− 27 3

6 2

0 2

− 8 10

− 11 10

− 3 10

–2,75

− 13 5

− 6 10

9

RACIONALAN BROJ KAO KOLI^NIK DVA CELA BROJA U prvom poglavqu ovog uxbenika upoznali smo se sa skupom celih brojeva. Nau~ili smo da ra~unamo sa celim brojevima: da ih sabiramo, oduzimamo, mno`imo i delimo. Zbir, razlika i proizvod celih brojeva, kao i prirodnih, uvek je ceo broj. Problem nastaje kod deqewa. Koli~nik dva cela broja mo`e biti ceo broj. K ada rezultat deqewa nije ceo broj, mo`emo ga zapisati u obliku racionalnog broja. Na primer: 8 : (–2) = –4 5 : (–2) = 5 −2 Za a ∈N0 , b ∈N va`e jednakosti:

−a = − a b b

a = −a −b b

−a = a −b b

• Poka`imo da va`i jednakost −a = − a . b b Svaki razlomak mo`emo napisati kao koli~nik brojioca i imenioca a = –a : b. −b Prema pravilu deqewa celih brojeva, va`i : –a : b = – (a : b), odnosno – (a : b) = − a . Zakqu~ujemo da je −a = − a . b b b a = −a • Mo`emo pokazati da je na sli~an na~in: −b b a = a : –b i a : –b = – a : b , to jest – a : b = − a . Zakqu~ujemo da je a = − a . ( ) ( ) ( ) ( ) b −b b −b • Kada delimo dva negativna broja, mo`emo formirati niz jednak osti: −a a = –a : (–b) = +(a : b) = a : b = −b b

Formule:

−a = − a b b

a = −a −b b

primewujemo na slede}i na~in:

−a = a −b b

−6 = − 6 5 5

6 = −6 −5 5

−6 = 6 −5 5

) U tabeli zaokru`i DA ako je jednakost ta~na ili NE ako jednakost nije ta~na.

−5 = 5 9 9

−3 = 3 2 −2

4 = −4 −7 7

−11 = − 11 −5 5

−1 = − 1 4 4

DA NE

DA NE

DA NE

DA NE

DA NE

−2 = 3

− ( −2) 3

DA NE

0 Zapi{i koli~nik u obliku racionalnog broja, kao {t o je zapo~eto.

4 a) 4 : 5 = 5 3:2

10

4 = −4 b) 4 : ( −5) = −5 5 12 : (–7)

v) –4 : 5 –7 : 8

g) (–4) : (–5) –7 : (–2)

+ Odredi znak razlomka i napi{i odgovaraju}u jednak ost kao {to je zapo~eto.

a) −4 = 4 −9 9

b)

1 −2

v)

−5 3

g) −

−8 2

, Ako broj pripada nekom od navedenih skupova, u prazno poqe tabele upi{i , kao {to je zapo~eto.

5 9

–7

0

−7 1 9

409,9

–0,078

11 000

N Z+ Z–



Z



Q+ Q–



Q

 racionalni brojevi

- Svaki od datih brojeva upi{i u odgovaraju}i

deo Venovog dijagrama. 12 3,7 0 15 56 17

–2

−4 9

celi brojevi prirodni brojevi

13 5

. Koje je tvr|ewe ta~no?

• Prirodni brojevi su racionalni brojevi. • Celi brojevi nisu racionalni brojevi. • Negativni razlomci ne pripadaju skupu racionalnih brojeva. • Skup racionalnih brojeva jeste unija skupa pozitivnih i negativnih razlomaka. / Zaokru`i slovo ispred ta~no prikazanog Venovog dijagrama skupova N, Z, Q.

a)

b)

Z

N

Q

v)

Q

Z

N

g)

N

Z

Q

N

Q

Z

Proveri {ta zna{ ! Napi{i suprotne brojeve datim brojevima. 10,2 " Ako je a =

−5 9

−1 7 11

13 2

–0,17

9 1 ; b = –100,7; c = −5 , odredi: –a; –b; –c. 5 3

# Koji od datih brojeva pripadaju skupu Z – , Q – ili Q +?

–5

$ Zapi{i koli~nik u obliku racionalnog broja. a) –1 : 10

4 7

−2 3 5

b) 5 : (–7)

0

3,4 53,8 v) –3 : (–4)

11

PRIKAZIVAWE RACIONALNIH BROJEVA NA BROJEVNOJ PRAVOJ

• racionalni brojevi na brojevnoj pravoj • apsolutna vrednost racionalnog broja

! Na vremenskoj lenti pribli`no obele`i godinu slede}ih pronalazaka, kao {t o je zapo~eto.

1454. god. 1565. god. 1656. god.

Gutenberg je izumeo {tamparsku presu. Konrad von Gesner, {vajcarski doktor, izmislio je grafitnu olovku. Matemati~ar Kristijan Hajgens konstruisao je prvi sat s klatnom. Tada je to bio izuzetno precizan sat – kasnio je ili `urio samo pet minuta na dan. Xorx Biro napravio je prvu hemijsku olovku.

1938. god. {tamparska presa

grafitna olovka

sat s klatnom

hemijska olovka

1400 1450 1500 1550 1600 1650 1700 1750 1800 1850 1900 1950 2000 2050 " Odredi koordinate ta~aka A, B, C, D.

A

C

D

B x

0

–1

# Obele`i ta~ke A

1

2

() ( ) ( )

3 , B 10 i C 1 na brojevnoj polupravoj. 1 8 4 2 x

0

1

2

3

3 Broj 3 je ve}i od 1, a mawi od 2, t o jest 1 < < 2. 2 2 Suprotan broj broju 3 je − 3 i on je ve}i od –2, 2 2 3 a mawi od –1, to jest – 2 < − < −1. 2

$ Izme|u kojih se uzastopnih celih brojeva nalaze brojevi:

Napi{i odgovaraju}e nejednakosti kao {to je zapo~eto.

–2 − 3 –1 2

0

1 3 2 2

11 − 11 3 − 3 1 − 1 ; ; ; ; ; ? 4 4 2 2 4 4 x

11 –3 − 4 2<

12

–2

−3 2

11 11 < 3; –3 < − < –2 4 4

–1

−1 0 1 4 4

1

3 2

2

11 3 4

% a) Prika`i na brojevnoj pravoj brojeve: 1, 1 1 , 7 .

2 2 2 b) Koristi {estar, pa na istoj brojevnoj pravoj prika`i brojeve: − 1, −1 1, − 7 . 2 2 2 1 1 7 v) Odredi uzastopne cele brojeve izme|u kojih se nalaze brojevi: −1 ; − ; − . 2 2 2

& Dati su brojevi: 5 , −1 4 , − 7 , 11, − 21, − 11. Izme|u kojih se uzastopnih celih brojeva nalazi

6 5 8 4 6 5 svaki od wih? Upi{i ih u odgovaraju}a prazna poqa, kao {t o je zapo~eto.

Da ti ka`em

5 6 –5

–4

–3

–2

0

–1

1

2

3

4

Mo`e{ da koristi{ osobine suprotnih brojeva.

5

PRIKAZIVAWE RACIONALNIH BROJEVA NA BROJEVNOJ PRAVOJ

( )

Odredimo, na primer, ta~ku B − 2 na brojevnoj pravoj. 3 Du`ina jedini~ne du`i na datoj brojevnoj pravoj je 21 mm. Prvi na~in

()

Odredimo prvo ta~ku C 2 . Ona se na brojevnoj pravoj 3 nalazi izme|u ta~aka O (0) i A (1) jer je 0 < 2 < 1. 3 2 2 Koordinate ta~aka B i C, brojevi i − , jesu suprotni 3 3 brojevi.

(

Drugi na~in Ta~ka B nalazi se izme|u ta~aka A1 (–1) i O (0) jer je −1 < − 2 < 0. 3 Du` A1O delimo na tri jednaka dela. Odbrojavamo dva dela po~ev{i od ta~ke O nalevo. Koordinata ta~ke B je − 2 . 3 2 Kao i broj − , tako i svaki racionalan broj mo`emo 3 da predstavimo na brojevnoj pravoj.

(

(

O

C

A

0

2 3

1

B

O

C

A

2 –1 − 3

(

0

2 3

1

A1 B

O

2 –1 − 3

0

–1

(

1

13

' Na brojevnoj pravoj (du`ina jedini~ne du`i je 2,4 cm) odredi i obele`i ta~ke:

( ) ( ) ( )

a) M − 1 2 b) R − 3 8 v) S − 5 6

–2

–1

0

1

2

–2

–1

0

1

2

–2

–1

0

1

2

( )

( Na brojevnoj pravoj odredi i obele`i ta~ku T −2

Da ti ka`em

1. 2

( )

Ta~ka T −2 1 na brojevnoj pravoj 2 nalazi se izme|u ta~aka D (–3) i C (–2). D C –3

3 4

7 4

1 4

) Na brojevnoj pravoj prika`i brojeve: − , − , −3 , −

–4

–3

–2

1

–1

11 . 4

0

–1

–2

1

2

3

* a) Na brojevnoj pravoj obele`i ta~ke pridru`ene brojevima –5,5 i 0,8.

0

1

b) Koliko se celih brojeva nalazi izme|u –5,5 i 0,8?

+ a) Odredi ta~ke A

–3

–2

()

( )

1 , B –1,6 , C − 9 na brojevnoj pravoj: ( ) 4 4

–1

0

1

2

3

b) Koordinate ta~aka A1, B1 i C1 jesu suprotni brojevi koordinatama ta~aka A, B i C. Odredi i obele`i ta~ke A1, B1 i C1 na brojevnoj pravoj.

14

4

APSOLUTNA VREDNOST RACIONALNOG BROJA • Apsolutna vrednost racionalnog broja q je, kao i kod celog broja, rastojawe od ta~ke s koordinatom q do koordinatnog po~etka. Na primer: −2 3 |1,5| 4 A B x 0 1 1,5 2 –3 −2 3 –2 –1 4

| |

|1,5| = 1,5

| |

−2 3 = 2 3 4 4

• Apsolutna vrednost svakog racionalnog broja razli~itog od broja 0 jeste pozitivan broj. • Suprotni brojevi imaju jednake apsolutne vrednosti, jer su ta~ke ~ije su koordinate suprotni brojevi jednako udaqene od koordinatnog po~etka. Na primer: x

−3 2

−3 2

0

| | ||

−3 = 3 = 3 2 2 2

, Izra~unaj apsolutne vrednosti brojeva:

−1 2

1,4

−2 5 8

–1,4

- Popuni tabelu.

–34,7

a –a

17 . 5

−3 2 5

1,2

−5 6

3,25

|a| Proveri {ta zna{

() ( ) ( ) ( )

2 , B 15 , C − 3 , D − 11 . 3 6 2 6 b) Koje ta~ke imaju za koordinate suprotne brojeve?

! a) Na brojevnoj pravoj odredi i obele`i ta~k e: A

4 − 8 − 13 , , . 3 9 2

" Odredi izme|u kojih se celih brojeva nalaze brojevi :

4 5

# Na brojevnoj pravoj prika`i brojeve: 0,8; − ; –1,5; −

24 . 10

$ a) Izra~unaj –3,5 i +8 .

|

| | |

b) Koliko se celih brojeva nalazi izme|u |–3,5| i |+8|?

15

• ve}i racionalan broj • mawi racionalan broj

UPORE\IVAWE RACIONALNIH BROJEVA

! U tabeli su date najvi{e i najni`e dnevne temperature u Beogradu , izmerene

u tre}oj nedeqi novembra. Temperature su izra`ene u °C.

najni`a temperatura najvi{a temperatura

PON.

UT.

SRE.

^ET.

PET.

SUB.

NED.

3,2

2,6

–0,4

–2,8

–5,2

–4

–2,4

6,4

8

5,8

3,2

0

–1,4

2

a) Kog je dana zabele`ena najni`a temperatura? b) Kog je dana zabele`ena najvi{a temperatura?

" Na osnovu crte`a u prazna poqa upi{i znak > ili < tak o da dobije{ ta~ne nejednakosti.

1

–2

0

–4 Podseti se

–3

–2

0

–1

1 2 –4

–3

–2

1

2

–5

–4

–2

−1 2

–4 0 1 1 2

–1

–3

–1

–1

0

0 0

−1 2

# a) Na brojevnoj pravoj obele`i ta~ke koje odgovaraju brojevima:

3,5; –1; 0; –3; 4. 0

Svaki pozitivan broj i nula ve}i su od bilo kog negativnog broja.

–5 < –3 Ta~ka koja je pridru`ena broju –5 na brojevnoj pravoj nalazi se levo od ta~ke koja je pridru`ena broju –3.

1

b) Date brojeve napi{i u poretku od najve}eg do najmaweg.

–5 $ Uporedi brojeve i napi{i odgovaraju}u nejednakost.

a) 0 i –22

16

1 b) 4 i 0 2

6 6 v) −1 i 7 7

g)

2 − 11 i . 3 4

–4

–3

{

}

7 7 1 % a) Prika`i brojeve iz skupa A = −3, − , , − na brojevnoj pravoj. Du`ina jedini~ne du`i je 1,5 cm. 3 3 5 –4

–3

–2

0

–1

1

2

3

4

b) Upi{i odgovaraju}e brojeve iz skupa A tako da nejednakosti budu ta~ne. 2<

–3 <

........

........

< –2

–1 <

........

b. Na crte`ima su obele`ene ta~ke A (a) i B (b), gde su brojevi a i b wihove koordinate. A (a) a

B (b) a − 3 4 3 1 B − A − 4 3

( ) ( )

() ()

0

1 2 = 2 4

a

a>b

Broj a je ve}i od broja b ako je ta~ka A (a) na brojevnoj pravoj desno od ta~ke B (b).

A 1 =B 2 2 4

0

A (a)

3 –1 − 4

1

−1 3

0

& Koriste}i brojevnu pravu, uporedi brojeve i zaokru`i ve}i :

1 11 a) −2 i 2 4 7 b) − i –1 4

–3

–2

–1

0

1

2

3

4

–3

–2

–1

0

1

2

3

4

–3

–2

–1

0

1

2

3

4

v) – 1,5 i –3 ' Prika`i brojeve na brojevnoj pravoj, uporedi ih i napi{i odgovaraju}u nejednak ost.

a) –2,3 i –1,9 –3

–2

–1

0

1

2

–3

–2

–1

0

1

2

b) –0,4 i –0,7

17

PRAVILA ZA UPORE\IVAWE DVA RACIONALNA BROJA U petom razredu nau~ili smo da upore|ujemo pozitivne racionalne brojeve. Upore|ivawe negativnih racionalnih brojeva mo`emo svesti na upore|ivawe pozitivnih tako {to }emo odrediti wihove apsolutne vrednosti i uporediti ih, kao {to smo nau~ili kod upore|ivawa negativnih celih brojeva.

|a| |b|

a < 0, b < 0 i |a| > |b| a |–4,8|, zato {to je 5,2 > 4,8

Prvi korak

Odre|ujemo wihove apsolutne vrednosti:

Drugi korak

Upore|ujemo apsolutne vrednosti:

Tre}i korak

Zakqu~ujemo:

–5,2 < –4,8

( Uporedi i napi{i odgovaraju}e nejednakosti:

a) |–1,5| i |–10,2| –1,5 i – 10,2

b) |–1,2| i |–0,8|

v) |–4,8| i |–4,5|

–1,2 i –0,8

–4,8 i –4,5

g) |–7,35| i |–7,29| –7,35 i –7,29.

) Uporedi brojeve i napi{i odgovaraju}e nejednakosti:

a) –251,01 i 0

b) –21,8 i –21,96

OVO NE}E BITI TE?KO.

P RIMER 1 5 3 1 Uporedi brojeve: a) − i − b) − i −1 . 9 9 2 5 1 1 5 5 i − = a) − = 9 9 9 9 1− 9 9

| |

18

v) –0,359 i –0,395

| | | | | |

prvi korak

drugi korak

tre}i korak

3 3 1 1 b) − = i −1 = 1 2 2 5 5 3 = 15 11 = 6 = 12 2 10 5 5 10 15 > 12 − 3 > −11 10 10 2 5 − 3 < −11 2 5

| |

| |

Da ti ka`em

prvi korak

Razlomke nejednakih imenilaca upore|ujemo tako {to ih prvo svedemo na isti imenilac.

drugi korak

| | | |

tre}i korak

* Zaokru`i DA ako je nejednakost ta~na ili NE ako je nejednakost neta~na.

− 1 > −1 4

− 9 < − 10 11 11

− 13 > − 1 8 8

−2 > − 1 2

DA NE

DA NE

DA NE

DA NE

+ Zaokru`i slovo ispred niza brojeva koji su pore|ani od najmaweg ka najve}em.

4 −3 −5 −6 , ,, 11 11 11 11 3 4 5 6 b) − , , − , − 11 11 11 11 6 5 3 4 v) − , − , ,− 11 11 11 11 a)

, Uporedi brojeve:

3 5 a) − i − 4 8

2 17 b) −2 i − 3 5

2 29 v) −4 i − . 5 7

- Zaokru`i ve}i broj.

a)

3 2

–1,5

b) –0,25

−1 5

Decimalni broj mo`e{ napisati u obliku razlomka.

Proveri {ta zna{ ! a) Na brojevnoj pravoj obele`i ta~ke koje odgovaraju brojevima:

2 − 7 − 1 1 1 2 −2 1 , ,, , , 3 6 3 6 6 3 b) Date brojeve pore|aj od najmaweg do najve}eg. v) Koji su od datih brojeva me|usobno supro tni? Napi{i ih. " Koji je broj ve}i:

1 1 a) −1 ili 3 2

b) –0,34 ili 0

5 9 v) −3 ili − 6 2

3 6 g) −1 ili − ? 4 5

19

SABIRAWE I ODUZIMAWE RACIONALNIH BROJEVA – DECIMALNI ZAPIS

• zbir dva decimalna broja istog znaka • zbir dva decimalna broja razli~itog znaka • razlika dva decimalna broja

! Ako ta~no re{i{ zadatke i u prazna poqa upi{e{

odgovaraju}a slova iz kqu~a, dobi}e{ re~. a) –81 + 98

g) 156 – 163

b) 24 – 31

d) –56 + 29

v) –97 – 20

|) –14 – 33

R

I

Z

–17 –7 –117

F 17

A

K

–47 –27

ZBIR DVA RACIONALNA BROJA ISTOG ZNAKA U skupu racionalnih brojeva, kao i u skupu celih brojeva, va`i : • zbir dva pozitivna racionalna broja je pozitivan broj • zbir dva negativna racionalna broja je negativan broj. To mo`emo da zapi{emo koriste}i formule. • Zbir dva pozitivna racionalna broja: +p + (+q) = p + q, za p, q ∈Q + • Zbir dva negativna racionalna broja: –p + (–q) = – (p + q), za p, q ∈Q +

P RIMER

Da ti ka`em

Izra~unaj. –3,2 + (–15,1) –3,2 + (–15,1) = – (3,2 + 15,1)

sabiramo brojeve 3,2 i 15,1 i zadr`avamo znak „–“

= –18,3

Mo`e{ da sabira{ i potpisivawem. 3,2 + 15,1 18,3

Kada sabiramo dva racionalna broja istog znaka, sabiramo wihove apsolutne vrednosti i u rezultatu zadr`avamo znak sabiraka.

" Nastavi da ra~una{ kao {to je zapo~eto.

a) –5,8 + (–3,1) = – (5,8 +3,1) = –8,9

20

b) –12,5 + (–8,7)

v) –0,4 + (–4,64)

g) –4,12 + (–0,12)

# Koja je jednakost ta~na?

a) –12 + (–15,6) = 27,6

b) –5,7 + (–2,4) = –7,11

v) –17 + (–2,8) = –19,8

$ Izra~unaj.

a) 78,21 + 21

b) –56 + (–34,44)

v) –7,78 + (–2,12)

ZBIR DVA RACIONALNA BROJA RAZLI^ITOG ZNAKA Neka su brojevi p, q ∈Q +. • Ako je p > q, va`i: p + (–q) = p – q –q + p = p – q

• Ako je p < q, va`i: p + (–q) = – (q – p) –q + p = – (q – p)

P RIMER Izra~unaj. a) 2,8 + (–0,6) b) –0,3 + 0,5 v) 5,2 + (–8,5) g) –18,5 + 15,2 a) 2,8 + (–0,6) = 2,8 – 0,6 = 2,2

kako je 2,8 > 0,6, rezultat je pozitivan i ra~unamo razliku 2,8 – 0,6

b) –0,3 + 0,5 = 0,5 – 0,3 = 0,2

kako je 0,5 > 0,3, rezultat je pozitivan i ra~unamo razliku 0,5 – 0,3

v) 5,2 + (–8,5) = – (8,5 – 5,2) = –3,3

kako je 8,5 > 5,2, rezultat je negativan i ra~unamo razliku 8,5 – 5,2

g) –18,5 + 15,2 = – (18,5 – 15,2) = –3,3

kako je 18,5 > 15,2, rezultat je negativan i ra~unamo razliku 18,5 – 15,2

Da ti ka`em Mo`e{ da oduzima{ i potpisivawem. 2,8 – 0,6 2,2

Kada sabiramo dva racionalna broja razli~itog znaka, oduzimamo od ve}e apsolutne vrednosti mawu i u rezultatu zadr`avamo znak broja ~ija je apsolutna vrednos t ve}a.

% Nastavi da ra~una{ kao {to je zapo~eto.

a) –11,5 + 9 = – (11,5 – 9) = –2,5

b) 0,2 + (–1,2)

v) –34,6 + 15,2

g) 4,1 + (–5,7)

& Stawe na Nadinom teku}em ra~unu je –2 837,58 dinara. Nada je uplatila

3 000 dinara. Koliko je stawe na wenom ra~unu posle uplate? ' Izra~unaj.

a) –2,3 + 5

b) 7,1 + (–4,9)

v) 13,45 + (–2,5)

g) –145 + 45,5

d) 40 + (–37,8)

21

Podseti se

( Popuni prazna poqa u tabeli.

a

3,2

–11,9

0

Zbir dva suprotna broja je broj 0. Zbir nule i bilo kog broja jeste taj broj.

2,8

a + (–2,8) ) Nastavi da povezuje{ kao {to je zapo~eto.

4,8 + 0,5

–4,8 + (–0,5)

–4,8 + 0,5

–5,3

5,3

–4,13

* Zbir brojeva –45,5 + (–5) je:

a) –40,5 b) –45,55 Koji je odgovor ta~an?

v) –50,55

g) –50,5

+ Popuni prazna poqa u tabeli.

a

5,7

–0,83

5,05

–8

13,901

b

0,3

10,45

–7,7

–15,2

–13,901

a+b

RAZLIKA DVA RACIONALNA BROJA Za p, q ∈Q va`i da je: p – q = p + (–q) Racionalne brojeve p i q oduzimamo tako {to broju p dodajemo suprotnu vrednost broja q. Na primer: –8,8 – 1,1= –8,8 + (–1,1) = – (8,8 + 1,1) = –9,9 , Nastavi da ra~una{ kao {to je zapo~eto.

a) –11,7 – 3,5 = –11,7 + (–3,5) = – (11,7 + 3,5) = – 15,2 b) 3,1 – 5,8 = 3,1 + (–5,8) v) –9,4 – 0,6

22

–4,3

4,8 + (–0,5)

4,3

- Razlika 23,7 – 30,7 jeste broj:

a) +7

b) –7

v) –54,4

g) 54,4

Koji je odgovor ta~an? . Izra~unaj.

a) 125 – 100,5

v) –20,1 – (–0,1)

b) 4,2 – 3,7

g) –1 – (–0,9)

/ Nastavi da povezuje{ kao {to je zapo~eto.

–2,2 – 10,8

13,2

–3,5 + 3,5

–28

–20,6 – 7,4

–24,8 + 38

28

–13

0

45,9 – 59,1

–13,2

: Popuni prazna poqa u tabeli.

a

6

b

0,7

– 0,08 – 13,5 0,48

17,7

– 8,8

0,01

– 1,2

– 0,01

a–b ; Najvi{a ta~ka na Zemqi je vrh Sagarmata na planini Mont Everest. Nalazi se na nadmorskoj

visini od 8,848 km. Najni`a ta~ka je nivo Mrtvog mora, k oji se nalazi na najdmorskoj visini od – 0,418 km. Kolika je razlika u visini izme|u najvi{e i najni`e ta~ke na Zemqi?

< Najve}a dnevna temperatura izmerena u novembru u gradu Bademovcu je –9,4°C.

Do pono}i se temperatura spustila jo{ za 6,8°C. Kolika je temperatura bila u Bademovcu u pono}?

23

ad gr o Be

= Na osnovu meteorolo{kog izve{taja izra~unaj

temperature u Novom Sadu, Subotici, Zrewaninu, Kragujevcu i Ni{u. Temperatura u Beogradu je –5,2°C. U Novom Sadu je ni`a za 1°C nego u Beogradu. U Subotici je za 2,6°C ni`a nego u Novom Sadu. U Zrewaninu je za 1,8°C vi{a nego u Subotici. U Kragujevcu je za 3,4°C vi{a nego u Zrewaninu. U Ni{u je za 2°C vi{a nego u Beogradu.

0 –2 –4

–5,2°C

–6 –8

Upi{i podatke u grafikon kao {to je zapo~eto. –10

> U tabeli je prikazano kretawe evra u dinarskoj protivvrednosti

od 7. 12. do 12. 12. 2008. godine. U tabeli znak „ –“ zna~i da je prethodna vrednost evra opala, a „+“ da je vrednos t porasla. dani

vrednost evra

promena vrednosti evra

nedeqa

89,4884

nema promene

ponedeqak

86,2667

– 3,2217

utorak

– 1,5082

sreda

– 0,7447

~etvrtak

+1,267

petak

+0,7666

Da ti ka`em Za re{avawe ovog zadatka mo`e{ koristiti digitron.

a) Kolika je bila vrednost evra u ~etvrtak? b) Kog je dana u nedeqi evro imao najve}u vrednos t u dinarima?

Proveri {ta zna{ ! Izra~unaj.

a) 2,3 + 1,1

b) –2,3 + 1,1

v) 2,3 – 1,1

g) –2,3 –1,1

b) –9,9 – 9,9

v) –4,5 + 4,5

g) +112,3 + 112,3

b) –3,81 – 10

v) –90 + 2,7

g) 40,3 – 12,8

" Izra~unaj.

a) 45,7 – 45,7 " Izra~unaj.

a) 7 – 5,7

24

SABIRAWE I ODUZIMAWE RACIONALNIH BROJEVA a – ZAPIS OBLIKA

• zbir i razlika

razlomaka istih imenilaca • zbir i razlika razlomaka razli~itih imenilaca

b

PILETINA S KIKIRIKIJEM • 300 g pile}eg belog mesa • 1 glavica crnog luka 3 • l pile]e supe 4 1 • dl soja sosa 10 • 2 do 3 ka/ike uqa • 50 g kikirikija

! U kineskom restoranu kuvar

1 Mao Tao skuvao je l supe. Koliko 2 jo{ supe Mao Tao treba da doda da bi pripremio jelo po receptu? 1 1 a) l b) l v) 2l 2 4

SABIRAWE I ODUZIMAWE RACIONALNIH BROJEVA ZADATIH U OBLIKU RAZLOMAKA U petom razredu nau~ili smo da sabiramo pozitivne razlomk e. Ista pravila va`e i za racionalne brojeve. • Racionalne brojeve u obliku razlomaka jednakih imenilaca sabiramo ili oduzimamo tako {to imenioce prepi{emo, a sabiramo ili oduzimamo brojioce.

a + c = a+c b b b

a − c = a−c b b b

(a, b, c ∈Z, b ≠ 0)

• Racionalne brojeve razli~itih imenilaca sabiramo ili oduzimamo tak o {to ih pro{irivawem dovodimo na jednake imenioce, a zatim dobijene brojioce sabiramo ili oduzimamo. Brojioce sabiramo ili oduzimamo po pravilima k oja va`e za sabirawe i oduzimawe celih brojeva. " Nastavi da ra~una{ kao {to je zapo~eto.

a)

( ) ( )

2 + − 4 = 2 + −4 = 2 + ( −4) = −2 = − 2 5 5 5 5 5 5 5

b) −

Da ti ka`em

− 4 = −4 5 5

1 + − 3 = −1 + −3 = −1 + ( −3) = –4 = –1 4 4 4 4 4 4

v) − 2 + 7 3 3 5 7 g) − + − 9 9

( )

Rezultat mo`e{ napisati i u obliku me{ovitog broja.

25

# Saberi razlomke.

a)

1+7 6 6

( )

9 5 b) − + 7 7

( )

v) 2 + − 1 3 3

g) − 4 + − 3 5 5

$ Izra~unaj.

3 a) −2 + 5

1 b) − + ( −3) 3

% Izra~unaj.

1 1 a) 3 + 2 2

( )

b) 12 + − 5 7 7

Podseti se

( )

v) 4 + − 1 2

−2 = − 10 5 Da ti ka`em

( ) ( )

v) −2 1 + −3 2 3 3

Prvo me{oviti broj pretvori u razlomak.

& Nastavi da ra~una{ kao {to je zapo~eto.

a) 3 + 5 = 6 + 5 = 11 4 8 8 8 8

( )

3 2 9 + 8 b) − + = − 4 3 12 12

v) 1 + − 3 2 5

2+ 4 ? 5 10 4 v) − 5

' Koliki je zbir brojeva −

a)

8 10

b) 0

Koji odgovor je ta~an? ( Izra~unaj.

1 a) −1 + 2

( )

b) 6 + − 3 10 5

( )

) Izra~unaj.

2 a) −2 + 1 7

2 1 b) −1 + 2 3 6

* Izra~unaj.

( )

a) 3 + − 5 + 9 11 11 11

7 g) − + 5 2

v) −2 + − 1 2

( )

v) −2 1 + −3 1 2 3

( )

b) −13 + 5 + − 2 7 7 7

2 1 g) −4 + 3 6 3

( )

v) − 1 + 2 + − 3 2 4

+ Izra~unaj kao {to je zapo~eto.

a) 5 − 7 = 5 − 7 = –2 = – 2 9 9 9 9 9 , Izra~unaj.

7 5 a) − − 9 9

26

2 1 b) −3 − 3 3

( )

v) 5 − − 1 = 5 − ( −1) 6 6 6

4 3 −4 − 3 b) − − = 5 5 5

( )

v) 5 − − 1 2

( )

g) −5 + 2 + − 5 3 6

( )

g) 5 − − 1 6 3

1 2 d) −2 − 4 3

31 = 7 2 2

- Pretvori decimalne brojeve u razlomke i izra~unaj.

2 b) − − ( −1,5) 3

3 a) −0, 2 − 5 . Izra~unaj.

( ) ( )

( ) ( )

1 2 a) −1 − 4 3

b) −4 + −1 1 2

v) 2, 2 − −14 5

3 g) −3,5 + 4 8

d) 4,3 + −13 5

|) −4,1 + −15 6

Da ti ka`em U zadatku pod |) decimalni broj zapi{i u obliku razlomka.

3 4

/ Broju –5,3 dodaj broj − . Koji izraz odgovara tekstu?

( )

a) −5,3 + − 3 4

b) 5,3 −

3 4

3 5

3 v) −5,3 + 4

: Od broja 4,7 oduzmi broj − . Koji izraz odgovara tekstu?

3 a) 4,7 − 5

3 b) − − 4,7 5

( )

v) 4,7 − − 3 5

1 1 prodata je lokalnom restoranu, piceriji, 3 4 1 a jo{ lokalnom stanovni{tvu. Koji je deo sira ostao neprodat? 3

; Od velikog koluta sira parmezana

Proveri {ta zna{ ! Izra~unaj.

( )

a) 5 + − 3 9 9

5 3 b) − + 9 9

" Izra~unaj.

a)

9−5 8 4

1 2 b) −1 + 2 3

5 3 v) − − 9 9

( )

g) 5 − − 3 9 9

( )

v) −1 1 − −14 6 5

6 g) −4 + 2 7

# Izra~unaj.

a) 3,6 − 4

1 2

3 b) − − 0, 25 4

1 4 v) −2 − 1 2 7

5 1 g) −3 + 2 6 8

7 3 d) −1 − 2 9 4

Parmezan Italijanski grad Parma poznat je po proizvodwi sira zvanog parmezan. To je kvalitetan tvrdi sir izuzetno jakog ukusa. Ovaj sir obi~no se isporu~uje u velikim k olutovima koji mogu biti te{ki i do 100 kg.

27

SVOJSTVA OPERACIJE SABIRAWA

• svojstvo komutacije • svojstvo asocijacije • zbir suprotnih brojeva • zbir racionalnog broja i nule

! Popuni prazna poqa u tabeli kao {t o je zapo~eto.

+

–3,5

0

3,5

0

3,5

−1 2

1

0 −1 2

1

SVOJSTVA OPERACIJE SABIRAWA Zbir dva racionalna broja je racionalan broj. Za sabirawe racionalnih brojeva va`e ista svojstva kao i za sabirawe celih brojeva:

OVO NE}E BITI TE?KO.

• svojstvo komutacije (zakon komutacije) p + q = q + p, za p, q ∈Q • svojstvo asocijacije (zakon asocijacije) p + (q + r) = (p + q) + r, za p, q, r ∈Q • zbir suprotnih brojeva je nula p + (–p) = –p + p = 0 , za p ∈Q • zbir racionalnog broja p i nule jeste broj p p + 0 = 0 + p = p, za p ∈Q " Nastavi da povezuje{ kao {to je zapo~eto.

( )

−3, 2 + − 4 5

2 1 − 0,6 4

28

( )

0,6 + −2 1 4

( )

− 4 + −3 1 5 5

–2,2 + 0,8

( )

4 + − 11 5 5

( )

−9 + 3 4 5

( )

0,5 + − 1 8

−0,125 + 1 2

Da ti ka`em

0,125 = 125 = 1 100 8

# Izra~unaj koriste}i svojstvo asocijacije, kao {to je zapo~eto.

(

) ( ) )

a) 5 + 1 + ( −4,9) = 5 + 1 + ( −4,9) 2 2 2 2 b) −3,8 + −1, 2 + 6 7 9

(

$ Koje su jednakosti ta~ne?

( ) ( )

a) − 3 + 1,5 = 0 2 b) 5 − − 5 = 0 6 6 3 v) − + 0 = −0, 25 4 6 g) 1, 2 + 0 = 5 % Izra~unaj koriste}i svojstvo komutacije i asocijacije.

3 1 2 a) − + 4 + 2 3 3

b) −3,375 + (( −1,625) + ( −0,5))

( )

Da ti ka`em

v) 7 + 7,7 + −1 1 + 3 13 13 10

Mo`e{ koristiti svojstva komutacije i asocijacije.

& Izra~unaj.

a) 5,3 +(–0,2) + (–4,6) – (–1,7)

( ) ( ) ( )

b) − 1 + −12 + − 3 + + 5 3 3 8 2 1 1 2 4 v) 0, 4 − + − − 9 5 3 9 1 2 g) −2,7 + 1 − 3 + 0,7 3 6 ' Proveri da li je ta~no:

3 – a + (b – c) = b – (a + c) za a = − , b = – 0,2, c = 4. 4

Proveri {ta zna{ ! Izra~unaj koriste}i svojstva komutacije i asocijacije.

( ) ( ) ( ) ( )

a) 1 + 2 1 + ( −5) 2 2 g) 1 + −2 5 − − 3 + − 1 4 6 4 6

b) (–7,25 + 0,4) + 8,25

( ) ( )

d) − 3 − −2 5 + − 3 + 1 10 8 20 5

(

)

v) −4,6 + − 2 + 7 5 8 3 7 + 7 − 0, 2 |) −1 + 0, 25 − 5 10 4

29

JEDNA^INE U VEZI SA SABIRAWEM I ODUZIMAWEM

• re{ewe jedna~ine • nepoznati sabirak • nepoznati umawenik • nepoznati umawilac

! U tabeli zaokru`i odgovaraju}u re~, kao {t o je zapo~eto.

4–a

c – 27,5 = 5

1–b+3 2

3=d

(3 + x) – 0,3 = 33

IZRAZ

IZRAZ

IZRAZ

IZRAZ

IZRAZ

JEDNA^INA

JEDNA^INA

JEDNA^INA

JEDNA^INA

JEDNA^INA

PROMENQIVA, IZRAZ, JEDNA^INA, RE[EWE JEDNA^INE Nau~ili smo u petom razredu {ta su jedna~ine i {ta su re{ewa jedna~ina. Podsetimo se: • u izrazu malim slovom latinice, na primer : x, y, z…, ozna~avamo promenqivu koja, ako se druga~ije ne naglasi, uzima vrednosti iz skupa racionalnih brojeva • jednakost s promenqivom nazivamo jedna~ina; promenqiva u jedna~ini naziva se i nepoznata • re{ewe jedna~ine je svaki broj koji, kada zameni nepoznatu u jedna~ini, daje ta~nu brojevnu jednak ost.

" Broj 3 je re{ewe jedna~ine:

8 5 a) − x = 1 8

b) x − 5 = 1 8

v) x + 5 = 1 8

Zaokru`i slovo ispred ta~nog odgovora.

# Linijom pove`i jedna~inu s wenim re{ewem.

2–x=2

–4

30

x + 2 = –2

–2

0

x– 2=2

2

4

Da ti ka`em x je promenqiva x − 5 je izraz 6 x − 5 = 2 3 je jedna~ina 6 4 7 5 3 − = 2 3 je brojevni izraz 12 6 4

RE[AVAWE JEDNA^INA S NEPOZNATIM SABIRKOM, UMAWENIKOM I UMAWIOCEM Postupak odre|ivawa re{ewa jedna~ine u skupu celih brojeva, odnosno racionalnih brojeva, isti je kao u skupu prirodnih brojeva. Nepoznati sabirak odre|uje se tako {to se od zbira oduzme poznati sabirak. Na primer: y+8=1 y=1–8 y = –7 Nepoznati umawenik odre|uje se tako {to se sabiraju umawilac i razlika. Na primer: x – 5 = –7 x = –7 + 5 x = –2 Nepoznati umawilac odre|uje se tako {to se od umawenika oduzima razlika. Na primer: 12 – z = –9 z = 12 – (–9) z = 21

$ Re{i jedna~inu.

a) y – 4 = 1

b) z + 11 = –9

v) –5 + x = 4

g) 3 – a = 7

v) y – 15 = –3

g) 53 – y = –20

% Re{i jedna~inu i proveri re{ewe.

a) 23 + x = –40

b) –10 + x = –44

& Re{i jedna~inu.

a) 2,5 + x = –4

b) x − 13 = − 1 4 2

v) −1,7 + y = 3 10

g) − 4 − y = 5 3 6

Proveri {ta zna{ ! Re{i jedna~ine.

a) x + 3 = –5

b) –17 + y = 4

x– 7=4

23 – y = –10

x – 10 = –8

y – 19 = –7

v) z + 1 = −2 6 3 = z−3 4 2 5,7 − z = − 5 2

31

I TO JE MATEMATIKA Ideje za ove zadatke uzete su iz kwige ^ovek koji je brojao autora Malba Tahana. U woj su dati primeri starih arabqanskih problema kojima su se bavili matemati~ari u davnim vremenima.

! Tri prijateqa Andrej, Nikola i Sr|an treba da podele sedam punih tegli s medom,

sedam dopola punih tegli s medom i sedam praznih tegli, tak o da svako od wih dobije isti broj tegli i istu koli~inu meda. Jednostavno }e podeliti tegle – svakom po sedam. Problem je kako da podele med, jer je uslov da ne o tvaraju tegle i ne presipaju med iz jedne tegle u drugu. Kako su podelili med?

" Tri drugarice Seka, Sawa i Juca izvele su drugaricu

Nedu iz Ni{a na sladoled. Nisu dozvolile da Neda plati, ve} su ra~un od 250 dinara podelile wih tri i svaka je dala po 100 dinara. K onobar je vratio 50 dinara. Seka, Sawa i Juca uzele su po 10 dinara kusura, a preostalih 20 dinara dale su konobaru. Neda se zamislila i postavila pitawe: „Svaka od vas dala je po 90 dinara i ~astile ste konobara sa 20 dinara, {to ukupno iznosi 290 dinara. Ko je zadr`ao 10 dinara?“ # Nata je imala pun xep ~okoladica. Prvo je srela Anu i dala joj

1 svih ~okoladica i jo{ pola od jedne. Zatim je srela Nik olu 2 i wemu je dala 1 preostalih ~okoladica i jo{ pola od jedne. 2 Na kraju je dala Vladi 1 ~okoladica koje su preostale i jo{ pola 2 od jedne i xep je bio prazan. K oliko je ~okoladica imala Nata?

32

ZAPAMTI Skup racionalnih brojeva Q Svaki broj koji mo`e da se napi{e u obliku razlomka pripada skupu racionalnih brojeva.

Suprotni brojevi

x

Za svaki broj a ∈Q brojevi a i –a su suprotni brojevi.

–a

0

a

Upore|ivawe racionalnih brojeva • Svaki negativan broj mawi je od nule ili bilo k og pozitivnog broja. • Od dva negativna broja ve}i je onaj ~ija je apsolutna vrednos t mawa.

Sabirawe i oduzimawe racionalnih brojeva Zbir dva racionalna broja

Razlika dva racionalna broja

• istog znaka ra~una se tako {to se saberu wihove apsolutne vrednosti i rezultat zadr`i znak sabiraka

• ra~una se tako {to se prvi broj sabere sa suprotnom vredno{}u drugog

0,7 + 2,2 = 2,9 –4,5 + (–21,3) = –25,8 2+4 = 6 5 5 5 −2 + −5 = −4 + −5 = −9 3 6 6 6 6

( )

( )

0,7 – (–2,2) = 2,9 –4,5 – 21,3 = –25,8 2 − −4 = 6 5 5 5 −2 − 5 = −4 − 5 = −9 3 6 6 6 6

( )

• razli~itog znaka ra~una se tako {to se od ve}e apsolutne vrednosti oduzme mawa i rezultat zadr`i znak sabirka ve}e apsolutne vrednosti –0,6 + 2,8 = 2,2 5,2 + (–8,5) = –3,3 −2 + 4 = 2 5 5 5 2 + −5 = 4 + −5 = −1 3 6 6 6 6

( )

( )

–0,6 – (–2,8) = 2,2 5,2 – 8,5 = –3,3 −2 − −4 = 2 5 5 5 2 − 5 = 4 − 5 = −1 3 6 6 6 6

( )

33

MNO@EWE RACIONALNIH BROJEVA – DECIMALNI ZAPIS ! Jednog zimskog dana temperatura vazduha opadala je svak og

• proizvod dva decimalna

broja istog znaka • proizvod dva decimalna broja razli~itog znaka • proizvod decimalnog broja i nule

sata za 3,7°C. Kolika je bila temperatura posle tri sata ako je po~etna temperatura bila 0°C? Zaokru`i slovo ispred ta~nog odgovora. a) –3,7°C b) –6,7°C v) –9,1°C g) –11,1°C

Da ti ka`em Zadatak mo`e{ da re{i{ i sabirawem: –3,7 + (–3,7) + (–3,7)

" Zaokru`i slovo P ako je vrednost proizvoda pozitivan

broj ili slovo N ako je vrednost proizvoda negativan broj. –736 ⋅ 295 P

N

736 ⋅ 295 P

N

–8 690 ⋅ (–273) P

N

4901 ⋅ (–842) P

N

Podseti se • Proizvod dva cela broja istog znaka je pozitivan. • Proizvod dva cela broja razli~itog znaka je negativan.

PROIZVOD DVA RACIONALNA BROJA U DECIMALNOM ZAPISU U skupu racionalnih brojeva, kao i u skupu celih brojeva, za brojeve date u decimalnom zapisu va`i: • proizvod dva racionalna broja istog znaka je pozitivan racionalni broj +p ⋅ (+q) = p ⋅ q, za p, q ∈Q + –p ⋅ (–q) = p ⋅ q, za p, q ∈Q + • proizvod dva racionalna broja razli~itog znaka je negativan racionalni broj +p ⋅ (–q) = – (p ⋅ q), za p, q ∈Q + –p ⋅ (+q) = – (p ⋅ q), za p, q ∈Q + • proizvod racionalnog broja i nule je nula p ⋅ 0 = 0, za p ∈Q Dva racionalna broja data u decimalnom zapisu mno`imo tak o {to odredimo znak proizvoda, a zatim pomno`imo pozitivne racionalne brojeve.

34

P RIMER Izra~unaj.

Podseti se a) 1,23 ⋅ (–2)

24 ⋅ 31 = 744

b) –0,24 ⋅ (–3,1)

a) 1,23 ⋅ (–2) = – (1,23 ⋅ 2) = –2,46 b) –0,24 ⋅ (–3,1) = +(0,24 ⋅ 3,1) = 0,744

0,24 ⋅ 3,1 = 0,744

znak proizvoda je „–“ i mno`imo pozitivne brojeve 1,23 i 2 znak proizvoda je „+“ i mno`imo pozitivne brojeve 0,24 i 3,1

2 decimale

3 decimale 1 decimala

# Kako je 17 ⋅ 324 = 5 508, izra~unaj:

a) 17 ⋅ 3,24

b) –17 ⋅ 32,4

v) 0,17 ⋅ (–324)

g) –1,7 ⋅ (–324)

d) 1,7 ⋅ 32,4

|) –1,7 ⋅ (–3,24)

$ Proizvod brojeva –0,033 i 3 je:

a) 0,099 b) –0,099 Koji odgovor je ta~an?

v) 0,99

g) –0,99

% Popuni tabelu.

a

9,823

1,56

0,4

–0,77

–0,002

Da ti ka`em Ako pogleda{ zadatak 1 u zbirci na strani 75, podseti}e{ se kako se decimalan broj mno`i dekadnom jedinicom.

10 ⋅ a a ⋅ (–100) & Izra~unaj.

a) 0,3 ⋅ (–0,5)

b) –1,4 ⋅ 0,4

v) –0,06 ⋅ (–0,7)

g) –4 ⋅ 1,1

d) –3 ⋅ (–1,2)

|) 0,8 ⋅ (–0,1)

' Izra~unaj.

a) 12 ⋅ 4,6 b) 7,1 ⋅ 0,82 v) –31 ⋅ (–0,9) ( Izra~unaj.

a) –0,2 ⋅ (–0,004) b) 1,4 ⋅ (–0,0001) v) 0,00003 ⋅ (–18)

0,01 ⋅ (–0,003) = –0,00003 2 decimale

3 decimale

5 decimala

35

) Izra~unaj.

a) –3,6 ⋅ 0,05

Podseti se

b) –1,5 ⋅ (–0,008)

0,06 ⋅ (–0,5) = –0,030 = –0,03

v) –0,25 ⋅ (–0,22)

Pravilo za mno`ewe dva racionalna broja data u decimalnom zapisu : Odre|ujemo znak proizvoda: „+“, ako su oba broja istog znaka, ili „–“, ako su oba broja razli~itog znaka. Drugi korak Mno`imo apsolutne vrednosti ~inilaca. Rezultat ima onoliko decimala koliko ih ukupno imaju oba ~inioca.

Prvi korak

* Izra~unaj.

a) 0,5 od 300

Da ti ka`em

b) 7,2 od –1 000

0,5 od 100 ra~unamo tako {to pomno`imo 0,5 i 100.

v) 0,03 od –200 g) 1,06 od 500 + Izra~unaj.

a) 1,3 ⋅ (–5) ⋅ (–0,2) b) –0,8 ⋅ (–1,4) ⋅ (–0,7) v) –2,53 ⋅ 3,1 ⋅ 0 ⋅ (–1,6)

Proveri {ta zna{ ! Zbir istih sabiraka napi{i kao proizvod i izra~unaj ga.

a) –0,1 + (–0,1) + (–0,1) + (–0,1) + (–0,1) + (–0,1) b) –0,2 + (–0,2) + (–0,2) v) –1,3 + (–1,3) + (–1,3) + (–1,3) " Izra~unaj.

a) 23 ⋅ (–0,09)

b) –37 ⋅ (–1,108)

# Ako je y ∈{0,2; –0,02}, izra~unaj:

a) 20 ⋅ y

36

b) y ⋅ (–10)

v) 1,1 ⋅ y.

v) –0,03 ⋅ (–52)

g) 12,042 ⋅ (–71)

MNO@EWE RACIONALNIH BROJEVA a – ZAPIS OBLIKA

b

• proizvod dva razlomka

istog znaka • proizvod dva razlomka razli~itog znaka • proizvod razlomka i nule

! Gospodin Pavli} je kupio nov automobil. Zadu`io se u banci

480 000 dinara. Do maja treba da uplati 3 duga. 4 Koliko novca gospodin Pavli} treba da uplati do maja? Zaokru`i slovo ispred ta~nog odgovora. a) 480 000 din. b) 360 000 din. v) 160 000 din. g) 120 000 din.

PROIZVOD DVA RACIONALNA BROJA OBLIKA

Da ti ka`em Zadatak mo`e{ da re{i{ na vi{e na~ina. Na primer: (480 000 : 4) ⋅ 3 ili 34 ⋅ 480 000

a b

• Proizvod dva razlomka istog znaka je pozitivan broj.

( ) ( ) ( ) ( )

+ a ⋅ + c = + a ⋅ c , za a, b, c, d ∈N b d b d − a ⋅ − c = + a ⋅ c , za a, b, c, d ∈N b d b d

• Proizvod dva razlomka razli~itog znaka je negativan broj.

( ) ( ) ( ) ( )

− a ⋅ + c = − a ⋅ c , za a, b, c, d ∈N b d b d a c a + ⋅ − = − ⋅ c , za a, b, c, d ∈N b d b d

• Proizvod razlomka i nule je broj nula.

Podseti se Dva pozitivna razlomka mno`imo tako {to pomno`imo wihove brojioce i pomno`imo wihove imenioce. Na primer:

2 ⋅ 5 = 2 ⋅ 5 = 10 3 7 3 ⋅ 7 21

a ⋅0 = 0 , za a, b ∈Z, b ≠ 0 b

Dva razlomka mno`imo tako {to odre|ujemo znak proizvoda, a zatim mno`imo pozitivne razlomke.

37

Da ti ka`em " Izra~unaj kao {to je zapo~eto.

( ) ( )

a) − 2 ⋅ − 5 = + 2 ⋅ 5 = 10 3 7 3 7 21

Prvo odredi znak proizvoda, a onda pomno`i 2 i 5 . 3 7

( )

2 5 b) − ⋅ 3 7

v) 2 ⋅ − 5 3 7

# Izra~unaj.

( ) ( ) ( )

Minus ispred me{ovitog broja jeste predznak za ceo taj broj. −1 1 = − 3 2 2

a) − 4 ⋅ − 2 9 3

b) −1 1 ⋅ − 3 4 8

Pre nego {to pomno`i{ razlomke, mo`e{ da ih skrati{. 2

v) −6 1 ⋅ − 5 5 31

1

$ Izra~unaj.

5 a) 4 ⋅ 8

( )

11 v) −5 ⋅ 0 23

b) −12 ⋅ − 7 9

% Izra~unaj.

( )

1 4 b) 19 ⋅ 15

1 3 a) −12 ⋅ −2 4

5 ⋅ 4 = 5⋅2 2 3 1⋅ 3

4= 4 1

4 g) − ⋅ (−26) 13

−12 = − 12 1

( )

3 3 v) −3 7 ⋅ −2 16

& Izra~unaj i popuni tabelu.

x

3 10

− 7 22

− 4 23

6

−4 9

13 7

y

5 6

2 21

− 23 5

−5 6

−9 4

−2 1 10

x⋅y

' Izra~unaj.

a) −1 ⋅ 1 ⋅ 1 2 3

( )

4 1 b) − ⋅ 5 ⋅ − 5 2

Proveri {ta zna{ ! Razlomak 1 pomno`i sa: a) 5

2

" Izra~unaj. a)

{

# Ako m ∈ −27,

38

( )

12 ⋅ − 15 25 16

b) –20

b) −4 ⋅ 1 1 4

}

v) − 5 42

g) 3 1 3

( )

v) −3 1 ⋅ −3 1 2 2

( )

1 6 , 1 , −11 , izra~unaj: a) m ⋅ − 3 11 2 3

d) −13 . 7

( ) ( )

2 6 g) 7 ⋅ −3 9 13

b) −1 ⋅ 1 ⋅ m 2

1 v) − ⋅ 3 ⋅ m . 3

• svojstvo komutacije • svojstvo asocijacije • svojstvo distribucije • mno`ewe racionalnog

SVOJSTVA OPERACIJE MNO@EWA RACIONALNIH BROJEVA

broja brojevima 1, –1 i 0

! Izra~unaj.

a) 0 ⋅ 3,691

b) –0,72 ⋅ 0

v) 1 ⋅ 8,08

g) –1,293 ⋅ 1

d) –1 ⋅ 45,18

|) –0,009 ⋅ (–1)

" a) Izra~unaj.

(–100 ⋅ 0,26) ⋅ 0,2 –100 ⋅ ( 0,26 ⋅ 0,2) (0,2 ⋅ ( −100)) ⋅ 0,26 b) Da li su vrednosti svih proizvoda pod a) jednake? Obrazlo`i odgovor.

SVOJSTVA OPERACIJE MNO@EWA U SKUPU RACIONALNIH BROJEVA Za mno`ewe racionalnih brojeva va`e ista svojstva kao i za mno`ewe celih brojeva: • svojstvo komutacije (zakon komutacije) p ⋅ q = q ⋅ p, za p, q ∈Q • svojstvo asocijacije (zakon asocijacije) (p ⋅ q) ⋅ r = p ⋅ (q ⋅ r), za p, q, r ∈Q • svojstvo distribucije mno`ewa prema sabirawu (zakon distribucije) p ⋅ (q + r) = p ⋅ q + p ⋅ r (p + q) ⋅ r = p ⋅ r + q ⋅ r, za p, q, r ∈Q • za svaki racionalan broj p va`i: p⋅0=0⋅p=0 p⋅1=1⋅p=p p ⋅ (–1) = (–1) ⋅ p = –p # Popuni prazna poqa tako da dobije{ ta~nu jednakost.

a) –0,9 ⋅ 0,14 = ............... ⋅ (–0,9)

b)

(

)( )

(

3⋅ 7 ⋅ ( ) ⋅ − 54 = 32 ⋅ − 100 ( ...... ) 2 ......

) 39

$ Izra~unaj koriste}i svojstva komutacije i asocijacije.

a) –25 ⋅ 0,009 ⋅ 40

( )( ) ( )

7 91 ⋅ − 8 b) − ⋅ − 8 15 7 4 16 ⋅ 1 v) ⋅ ( −125) ⋅ − 5 25 8 % Koliki je proizvod slede}ih brojeva: –0,75;

a) 0 b) 1 v) 1 g) 3 4 Koji je odgovor ta~an?

3 ; 0; 1 i –1? 4

& Odredi m tako da dobije{ ta~nu jednakost.

a) –23,86 ⋅ m ⋅ 765,09 = 0 4 7 7 b) m ⋅ − ⋅ − = − 9 4 9 v) –63,25 ⋅ m + (–36,75) ⋅ m = 0

( )( )

Da ti ka`em ' Izra~unaj –100 ⋅ (–0,03 + 0,4) na dva na~ina.

Prvi na~in Prvo izra~unaj zbir u zagradi, a zatim pomno`i.

( Izra~unaj.

Drugi na~in Primeni svojstvo distribucije. –100 ⋅ (–0,03 + 0,4) = –100 ⋅ (–0,03) + (–100) ⋅ 0,4

( )

a) 2 ⋅ ⎛⎜ 3 + − 3 ⎞⎟ 3 ⎝4 5⎠

(

3 1 b) − ⋅ 0,75 − 8 4

)

) Koriste}i operaciju mno`ewa samo jednom, izra~unaj.

Primeni svojstvo distribucije. 5 ⋅ 7 + 5 ⋅ 3 = 5 ⋅ (7 + 3)

2 5 a) 6 ⋅ 3 + 6 ⋅ 6

( )

3 1 3 b) −1 ⋅ 1 + −1 ⋅ 8,75 5 4 5 * Koliko ukupno te~nosti stane u deset fla{a od

3 l i deset fla{a od 0,5 l? 4

+ Koliki put je pre{ao turista ako je 210 minuta

pe{a~io brzinom 3,25 km , a 3 1 sata brzinom 2,75 km ? h h 2

40

210 minuta izrazi u satima.

P RIMER Izra~unaj. – (–2,37 + 1,5) Prvi na~in – (–2,37 + 1,5) = – (–0,87) = 0,87 Drugi na~in

izra~unata je vrednost izraza u zagradi suprotna vrednost broja –0,87

– (–2,37 + 1,5) = –1 ⋅ (–2,37 + 1,5)

minus ispred zagrade je isto {to i mno`ewe zagrade brojem –1 primeweno je svojstvo distribucije, svaki sabirak mno`imo brojem –1 izra~unati su proizvodi

= –1 ⋅ (–2,37) + (–1) ⋅ 1,5 = 2,37 + (–1,5) , Izra~unaj.

(

4 13 a) − − + 11 11

Da ti ka`em

izra~unat je zbir

= 0,87

^esto se ka`e: Ako je ispred zagrade mawe, mewa se stawe. Ako je ispred zagrade vi{e, zagrada se bri{e. Uo~i da va`i: – (–2,37 + 1,5) = 2,37 – 1,5 + (–2,37 + 1,5) = –2,37 + 1,5

)

b) – (–8,34 – 7,95)

(

17 v) − 2,65 − 25

)

- Ako je x + y = –4,5, izra~unaj:

a) 3 ⋅ x + 3 ⋅ y b) –2 ⋅ x + (–2) ⋅ y v) 1 ⋅ x + 1 ⋅ y 2 2 . Ako je a ⋅ b =

a) –5 ⋅ a ⋅ b

Koristi svojstvo distribucije.

4 , izra~unaj: 5 b) a ⋅ b ⋅ (–2,5)

v) a ⋅ 1 1 ⋅ b 4

g) a ⋅ 0,4 ⋅ b ⋅ (–2,5)

Proveri {ta zna{ ! Izra~unaj.

a) 13,87 ⋅ (–47,098) ⋅ 0 ⋅ (–9,52)

b)

( )

7 ⋅ 3 ⋅ −4 8 4 3

v) –3,5 ⋅ 2 ⋅ 0,2 ⋅ (–14) 7

1 i c = –2,4, izra~unaj: 2 b) a ⋅ b ⋅ c v) b ⋅ c ⋅ (–1) g) (a + b) ⋅ c.

" Ako je a = 8,5; b = –

a) –1 ⋅ a

# Izra~unaj (m + n) ⋅ k i m ⋅ k + n ⋅ k ako je:

a) m = 56,26

n = –6,26

k = –0,02

b) m = − 7 5

n = 0,4

k = − 5. 3

41

DEQEWE RACIONALNIH BROJEVA – DECIMALNI ZAPIS ! Od materijala du`ine 5,55 metara

• koli~nik dva decimalna broja istog znaka • koli~nik dva decimalna broja razli~itog znaka • koli~nik nule i decimalnog broja

mogu se sa{iti tri sukwe jednake du`ine. Koliko je metara potrebno da se sa{ije jedna takva sukwa?

" Pove`i kao {to je zapo~eto.

Podseti se

48 : 16

– 54 : 18

–64 : (–16)

72 : (– 18)

–3

3

–4

4

Koli~nik dva cela broja istog znaka je pozitivan. Koli~nik dva cela broja razli~itog znaka je negativan.

KOLI^NIK DVA RACIONALNA BROJA U DECIMALNOM ZAPISU U skupu racionalnih brojeva, kao i u skupu celih brojeva, za brojeve u decimalnom zapisu va`i : • koli~nik dva racionalna broja istog znaka je pozitivan racionalni broj +p : (+q) = p : q, za p, q ∈Q + –p : (–q) = p : q, za p, q ∈Q + • koli~nik dva racionalna broja razli~itog znaka je negativan racionalni broj

Da ti ka`em Nulom ne sme da se deli. Koli~nik racionalnih brojeva p : q mo`e{ da ra~una{ za q ≠ 0.

+p : (–q) = – (p : q), za p, q ∈Q + –p : (+q) = – (p : q), za p, q ∈Q + • koli~nik nule i racionalnog broja je nula 0 : q = 0 za q ∈Q, q ≠ 0 Dva racionalna broja data u decimalnom zapisu delimo tak o {to odredimo znak koli~nika, a zatim podelimo pozitivne racionalne brojeve.

42

P RIMER Izra~unaj koli~nik brojeva: a) 4,32 i (–3) a) Prvo odredimo znak koli~nika. 4,32 : (–3) = – (4,32 : 3)

4,32 : (–3) = –1,44 b) Prvo odredimo znak koli~nika. –0,07 : 2 = – (0,07 : 2)

–0,07 : 2 = –0,035

b) –0,07 i 2.

4,32 : 3 = 1,44 –3 13 –12 12 –12 0

delimo pozitivne decimalne brojeve – podelimo cele, upisujemo koli~nik, prepisujemo zarez ostatak 1 pretvaramo u 10 desetih, dodajemo 3 deseta i nastavqamo da delimo ostatak 1 pretvaramo u 10 stotih, dodajemo 2 stota i nastavqamo da delimo ostatak je nula, proces deqewa je zavr{en

delimo pozitivne decimalne brojeve – podelimo cele, upisujemo koli~nik i prepisujemo zarez

0,07 : 2 = 0,035 –0 0 –0 7 –6 10 –10 0

delimo 0 desetih

delimo 7 stotih ostatak 1 stoti pretvaramo u 10 hiqaditih i nastavqamo da delimo ostatak je nula, proces deqewa je zavr{en

# Izra~unaj.

b) –2,24 : (–16)

a) 1,035 : (– 3)

v) –21,98 : (–7)

6 = 6,0 = 6,00 = 6,000 = …

$ Izra~unaj.

a) –6 : 8

Podseti se

b) –72 : 25

% Podeli broj –8 brojem –6.

P RIMER

1 : 3 = 0,3333… Ovaj broj ima bezbroj decimala. Nekada pi{emo: 1 : 3 ≈ 0,3 Ka`emo da je 0,3 pribli`na vrednost koli~nika 1 : 3.

Izra~unaj. –10,23 : (–0,3) –10,23 : (–0,3) = 10,23 : 0,3 = (10,23 ⋅ 10) : (0,3 ⋅ 10) = 102,3 : 3 = 34,1 –9 12 –12 3 –3 0

odre|ujemo znak koli~nika i nastavqamo da delimo pozitivne brojeve pro{irujemo deqenik i delilac sa 10, tako da delilac postane ceo broj nastavqamo proces deqewa kao u prethodnom re{enom primeru pod a)

43

& Nastavi da deli{ kao {to je zapo~eto.

a) –2,35 : 0,5 = –4,7 ⋅ 10 –23,5

v) 18,4 : (– 0,04)

b) 40 : (– 0,8)

⋅ 10 :

Deqenik i delilac pro{irujemo istom dekadnom jedinicom tako da delilac bude ceo broj.

5 = –4,7

' Popuni tabelu.

m

Da ti ka`em

– 3,96 – 3,96 – 3,96 – 3,96 – 3,96

n

6

– 0,06

11

– 1,1

0,011

m:n ( Izra~unaj.

a) 0,056 : 0,8 b) 6,565 : (– 0,13) v) – 3,84 : 0,012

HE, HE, HE. ZNAM!!!

g) –3,864 : (–2,3) ) Koji koli~nik ima vrednost 0,125?

a) –0,3375 : (– 2,7) b) –0,3375 : 2,7 v) –0,3375 : 0,27 g) –0,3375 : (–0,27)

Proveri {ta zna{ Izra~unaj koli~nike. ! a) 7,8 : (–2)

d) –4,4 : 220 z) –5 : 125 " a) 4,5 : 9 # a) –7,54 : 2,6

b) –9,7 : (–2) v) –0,3 : 15 |) 0,063 : (–35) e) 8 : 16 i) –24 : (–60) j) 40 : (–32) b) 4,5 : (–0,9)

g) 0,144 : (–6) `) 24 : (–96) k) –39 : 130

v) –4,5 : (–0,09)

g) –4,5 : 0,0009

b) 0,14 : (–0,35) v) –4,06 : (–0,007) g) 5,8 : (–0,25) d) 0,002 : 0,25 |) –66,6 : 0,333 `) 0,009 : (–0,15) e) –1,004 : (–0,08)

44

• recipro~an broj • koli~nik dva razlomka

RECIPRO^AN RACIONALAN BROJ. DEQEWE RACIONALNIH BROJEVA – ZAPIS OBLIKA a

istog znaka • koli~nik dva razlomka razli~itog znaka • koli~nik nule i razlomka

b

! a) Pomno`i:

2⋅3 3 2

1 ⋅ 50 50

2 ⋅ 3,5 7

11 ⋅ 3 3 4

b) Da li je vrednost svih proizvoda pod a) jednaka? Ako je odgovor DA, napi{i broj k oji je vrednost tih proizvoda.

RECIPRO^AN BROJ Podseti se da za svaki pozitivan razlomak a postoji wemu b recipro~an razlomak b , takav da je vrednost wihovog a proizvoda 1. Isto va`i i ako je razlomak negativan. Za svaki racionalan broj va`i: a ⋅ b = 1, za a, b ∈Z, a ≠ 0, b ≠ 0 b a " Koji je broj recipro~an broju − 5 ? Zaokru`i slovo ispred ta~nog odgovora.

6 5 v) − g) − 6 6 5 # Proizvod broja − 4 i broja −2 1 je: 9 4 4 v) 2 a) – 1 b) 1 36 Zaokru`i slovo ispred ta~nog odgovora.

a) 5 6

b) 6 5

$ Popuni tabelu.

broj

−9 8

−2 7

–5

−1 1 2

recipro~an broj % Koji su brojevi recipro~ni?

Zaokru`i slovo ispred ta~nog odgovora. a) 2,5 i 4 b) 0,4 i 2,5 v) 0,5 i 20 g) 0,2 i 0,5

Da ti ka`em Pomno`i brojeve i proveri da li im je proizvod jednak broju 1.

& Koji su brojevi recipro~ni sami sebi?

Koji broj nema recipro~an broj?

45

' Popuni tabelu.

1 11

broj

–1,1

–11

Da ti ka`em

1 0,11 −1 11

Decimalni broj zapi{i u obliku razlomka.

recipro~an broj

( Robu te`ine 2 1 kg treba spakovati u paketi}e te`ine 1 kg.

2 Koliko takvih paketi}a mo`e{ da napravi{?

Zadatak mo`e{ da re{i{ ra~unawem koli~nika ovih razlomaka.

8

KOLI^NIK DVA RACIONALNA BROJA OBLIKA

a b

Za odre|ivawe znaka koli~nika dva razlomka va`e ista pravila kao i za odre|ivawe znaka proizvoda dva razlomka :

Podseti se

• koli~nik dva racionalna broja istog znaka je pozitivan broj + a : + c = + a : c , za a, b, c, d ∈N b d b d − a : − c = + a : c , za a, b, c, d ∈N b d b d

Pozitivne razlomke deli{ tako {to prvi razlomak pomno`i{ recipro~nom vredno{}u drugog. Na primer:

• koli~nik dva racionalna broja razli~itog znaka je negativan broj − a : + c = − a : c , za a, b, c, d ∈N b d b d + a : − c = − a : c , za a, b, c, d ∈N b d b d

2 : 5 = 2 ⋅ 7 = 14 3 7 3 5 15

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

• koli~nik nule i racionalnog broja je broj 0 0 : a = 0, za a, b ∈Z i a, b ≠ 0 b Dva razlomka delimo tako {to odredimo znak koli~nika, a zatim podelimo pozitivne razlomke.

) Izra~unaj vrednost koli~nika kao {to je zapo~eto.

a) − 3 : 5 b) − 4 : 9 8 : v) 15

(− 72) = + (53 ⋅ 72) = 1021 5 3

( )

46

−4 5

Prvo odredi znak rezultata, a zatim podeli razlomke.

* Izra~unaj koli~nik kao {to je zapo~eto.

( ) ( )

16 3 3 8 a) −2 : 8 = − 2 : 8 = − 2 • 3 = − 3 1 b) −1 : − 7 1 v) 2 : −1 2

( ) ( )

Da ti ka`em Podseti se:

2= 2 1

+ Izra~unaj.

a) 5 : ( −4) 9 b) 7 : 14 13 v) −2 2 : 11 10

1 Recipro~an broj broju –4 je − . 4

, Koli~nik brojeva − 1 i 1 je:

b) 1 15

a) − 1 15

5

3 v) − 3 5

Odredi prvo recipro~nu vrednost broja 1 . 3

g) 3 5

- Izra~unaj.

9 :3 a) − 16 8 b) 1 1 : 3 11 22

U zadacima pod g) i d) me{oviti broj pretvori u razlomak pre nego {to ga pomno`i{ recipro~nom vredno{}u.

( )

1 1 v) −1 : −2 2 2 . Izra~unaj.

( )( ) ( )( ) ( )

1 : −1 a) 2 : 2 4 3 3 : − 3 b) − : 5 2 10

v) − 3 : ⎛⎜ − 2 : − 2 ⎞⎟ 4 ⎝ 7 3 ⎠

Proveri {ta zna{ ! Napi{i brojeve recipro~ne datim brojevima.

5 7

–4

" Izra~unaj.

( )

3 a) 10 : − 10 b) 7 : 2 8 9 v) 2 1 : −3 1 4 8

( )

0,3

− 12 35

–6,9

( )

−1 : − 2 3 4 − : 2 17 51 −5 1 : −3 1 4 2

( )

33 7

–1

8 : −16 ( ) 13 − 18 : − 9 19 13 −7 4 : 1 3 5 10

( )

–0,25 − 25 : ( −50) 19

47

ISTRA@IVA^KI ZADATAK Dopunimo tabelu iz zadatka 1 na s trani 16 jo{ jednim redom, u k ojem je izra~unata prose~na dnevna temperatura. Sve temperature izra`ene su u Celzijusovim s tepenima. pon.

ut.

sre.

~et

pet.

sub.

ned.

najni`a temperatura

3,2

2,6

–0,4

–2,8

–5,2

–4

–2,4

najvi{a temperatura

6,4

8

5,8

3,2

0

–1,4

2

prose~na temperatura

4,8

5,3

2,7

0,2

–2,6

–2,7

–0,2

Predstavimo podatke iz tabele na grafikonu. Prethodno zaokru`imo temperature na ceo broj Celzijusovih stepeni. pon.

ut.

sre.

~et

pet.

sub.

ned.

najni`a temperatura

3

3

0

–3

–5

–4

–2

najvi{a temperatura

6

8

6

3

0

–1

2

prose~na temperatura

5

5

3

0

–3

–3

0

temp. u °C

8 7 6 5 4 3 2 1 0 –1 –2 –3 –4 –5

pon.

ut.

sre.

~et.

pet.

sub.

ned.

najni`a temperatura prose~na temperatura najvi{a temperatura

dani u nedeqi

Izaberi jednu nedequ i bele`i temperature u svom gradu svak og dana u 10 ~asova i u 22 ~asa. a) Predstavi tabelom dobijene temperature. b) Izra~unaj prose~nu dnevnu temperaturu. v) Predstavi grafikonom rezultate dobijene pod a) i b). g) Izra~unaj prose~nu temperaturu u toj nedeqi u 10 ~asova. Rezultat zaokru`i na dve decimale. d) Izra~unaj prose~nu temperaturu u toj nedeqi u 22 ~asa. Rezultat zaokru`i na dve decimale. |) Kog je dana temperatura bila najni`a? Kog je dana temperatura bila najvi{a? e) Kog je dana razlika izme|u temperatura u 10 i u 22 ~asa bila najve}a?

48

• nepoznati ~inilac • nepoznati deqenik

JEDNA^INE OBLIKA a ⋅ x = b, x : a = b ! Bojan je za ro|endan dobio kutiju s delovima za pravqewe mak ete aviona.

Prema datom nacrtu, du`ina trupa je 1 m. Letvice koje se nalaze 2 u kutiji duga~ke su 1 m. Koliko je takvih letvica potrebno spojiti da bi 8 se dobila letvica du`ine trupa? Zaokru`i slovo ispred ta~nog odgovora. a) 2 b) 4 v) 6 g) 8 Da ti ka`em Broj potrebnih letvica mo`e{ da izra~una{ i re{avawem jedna~ine 1 ⋅ x = 1 . Nepoznati broj x predstavqa 8 2 broj potrebnih letvica.

RE[AVAWE JEDNA^INE OBLIKA a ⋅ x = b, a ≠ 0 U petom razredu nau~ili smo da se re{ewe jedna~ine u k ojoj je ~inilac nepoznat odre|uje tako {to se proizvod podeli poznatim ~iniocem. Na primer: 2⋅x=6 Podseti se x=6:2 2⋅x=6 x=3 Jedna~inu smo re{avali samo u skupu pozitivnih racionalnih brojeva, {to zna~i da su poznati ~inilac, nepoznati ~inilac i proizvod bili u skupu pozitivnih razlomaka. Sada mo`emo da re{avamo jedna~ine u skupu racionalnih brojeva k oriste}i isto pravilo. Nepoznati ~inilac se ra~una tako {to se vrednost proizvoda podeli poznatim ~iniocem. Na primer: –2 ⋅ x = 16 x = 16 : (–2) x = –8 Provera: –2 ⋅ (–8 ) = 16 " Re{i jedna~inu i proveri dobijeno re{ewe.

a) –16 ⋅ x = –48

# Re{i jedna~inu.

a) v ⋅ 0,6 = –1,8

b) a ⋅ (–7) = 21

b) –54 = t ⋅ (–2,7)

poznati ~inilac

proizvod nepoznati ~inilac

v) –9 ⋅ s = –72 v) 0,36 ⋅ p = –7,2

49

Da ti ka`em $ Koji su deo torte podelile Vera i wenih sedam drugarica

ako je svaka dobila po 1 torte? Zaokru`i slovo ispred 16 ta~nog odgovora. a) 1 torte 2 b) 1 torte 4 v) 1 torte 8 g) celu tortu

Odgovor na pitawe mo`e{ da dobije{ i re{avaju}i jedna~inu: x:8= 1 16 Nepoznati broj x predstavqa deo torte koji su podelile Vera i wenih sedam drugarica.

Da je 16 devoj~ica dobilo po 1 torte, da li bi ostalo jo{ torte? 16

RE[AVAWE JEDNA^INE OBLIKA x : a = b, a ≠ 0 U petom razredu nau~ili smo da re{avamo jedna~inu u k ojoj je nepoznat deqenik i rekli smo da se re{ewe te jedna~ine odre|uje tako {to se pomno`e delilac i koli~nik. Na primer: x:2=8 x=8⋅2 x = 16 Isto pravilo koristimo i kada re{avamo jedna~inu s nepoznatim deqenikom u skupu racionalnih brojeva. Na primer: x : 6 = –5 x = –5 ⋅ 6 x = –30 Provera: –30 : 6 = –5 % Re{i jedna~inu.

b) a : (–12) = 0,5

a) m : (–6 ) = 11

Podseti se x:2=8 nepoznati deqenik

koli~nik delilac

v) x : 2 = −4 5

& Re{i jedna~inu.

a) 3 ⋅ z = − 1 4 2

b) t : (–0,2) = 5,6

v) − 4 = − 2 ⋅ m 25 5

g) –18 = n : 3,6

Proveri {ta zna{ ! Re{i jedna~inu. a) 3 ⋅ y = −

15 8

" Re{i jedna~inu. a) −0,64 ⋅ a =

50

2 5

( )

b) − 2 ⋅ x = −18 9

v) − 1 = g ⋅ − 3 3 4

7 b) x : 6 = −2, 4

5 v) n : − = −3,9 3

( )

• nepoznati delilac

JEDNA^INE OBLIKA a : x = b

Da ti ka`em

! Ma{a je donela u {kolu ~etiri jabuke i

podelila ih sa drugaricama. Ako je svaka od wih dobila po jednu polovinu jabuk e, koliko je bilo devoj~ica? Zaokru`i slovo ispred ta~nog odgovora. a) 12 b) 8 v) 16 g) 2

Na postavqeno pitawe mo`e{ da odgovori{ i re{avaju}i jedna~inu: 4:x = 1 2 gde je nepoznati delilac broj devoj~ica koje su dobile po polovinu jabuke.

RE[AVAWE JEDNA^INE OBLIKA a : x = b, b ≠ 0 i x ≠ 0 Nau~ili smo u petom razredu da se re{ewe jedna~ine u k ojoj je nepoznat delilac odre|uje tako {to se deqenik podeli koli~nikom. Na primer: 15 : x = 5 x = 15 : 5 Podseti se x=3 15 : x = 5 Koriste}i isti postupak, jedna~inu u kojoj je delilac nepoznat deqenik sada mo`emo da re{imo i u skupu racionalnih brojeva. Na primer : koli~nik 16 : x = –2 nepoznati delilac x = 16 : (–2) x = –8 Provera: 16 : (–8) = –2 " Re{i jedna~inu i proveri dobijeno re{ewe.

a) –81 : a = –27

b) 3 : x = 1 1 8 4

v) 14,2 : t = –0,2

b) ( −1, 2) : x = 5 6

v) x : ( −0,5) = −10

# Re{i jedna~inu.

a) 1 1 ⋅ x = −5 4

$ Na osnovu zadatog teksta sastavi jedna~inu i re{i je.

Da ti ka`em

a) S kojim brojem treba podeliti broj − 2 da bi se dobio broj 12? 5 7 4 b) Ako je nekog broja − , izra~unaj nepoznati broj. 10 5

7 nepoznatog broja 10 zapisuje{: 7 ⋅ x. 10

Proveri {ta zna{ ! Re{i jedna~inu.

a)

5:x = − 3 8 16

( )

2 b) x ⋅ − = 0, 25 5

2 6 v) x : = − 7 7

1 g) x : ( −5) = − 10

5 d) −3,5 : x = 2

51

• re{ewe jedna~ine

JEDNA^INE OBLIKA a ⋅ x + b = c

oblika a ⋅ x + b = c u skupu racionalnih brojeva.

! Ivan je dobio 1 500 dinara xeparca za nedeq u

dana. Od te sume morao je da odvoji 100 dinara da vrati dug mla|oj sestri. Koliko je dnevno smeo da potro{i u toku sedam dana ako je `eleo da ravnomerno rasporedi xeparac? Zaokru`i slovo ispred ta~nog odgovora. a) 150 din. b) 70 din. v) 200 din. g) 220 din.

Da ti ka`em Zadatak mo`e{ da re{i{ i postavqaju}i jedna~inu: 7 ⋅ x + 100 = 1500 gde je sa x predstavqen Ivanov dnevni xeparac.

RE[AVAWE JEDNA^INE OBLIKA a ⋅ x + b = c, a ≠ 0 Slo`ena jedna~ina oblika a ⋅ x + b = c, a ≠ 0 re{ava se u dva koraka. Prvi korak a ⋅ x je nepoznati sabirak, pa ga ra~unamo tak o {to od zbira oduzmemo poznati sabirak: a⋅x=c–b Drugi korak x je nepoznati ~inilac, pa ga ra~unamo tak o {to vrednost proizvoda podelimo s poznatim ~iniocem: x = (c – b) : a

P RIMER Re{i jedna~inu. 3 ⋅ x + 1 = −5 2

3 ⋅ x + 1 = −5 2 3 ⋅ x = −5 − 1 2 10 3⋅ x = − −1 2 2 3 ⋅ x = − 11 2 11 x = − :3 2 x = − 11 ⋅ 1 2 3 11 x = − 6

3 ⋅ x je nepoznati sabirak od zbira oduzimamo poznati sabirak

x je nepoznati ~inilac proizvod delimo poznatim ~iniocem

(

" Da li je broj –2 re{ewe jedna~ine −

52

) ( )

2 + 2 ⋅x − 1 −3 = 0 ? 3 3

Zadatak mo`e{ da re{i{ tako {to }e{ x zameniti brojem –2. Ako je jednakost ta~na, onda je odgovor da, u protivnom broj –2 nije re{ewe jedna~ine.

# Sastavi jedna~inu

oblika a ⋅ x + b = c za date brojeve a, b i c.

a −3 4 2,1

−2 7

b 4 5 −1 2

c –0,3

3,6

4 7

a⋅x+b=c

5

$ Re{i jedna~inu i proveri dobijeno re{ewe.

a) 4 ⋅ a + 2 = −6 3

b) –3,3 + 2,5 ⋅ s = –4,8

P RIMER Re{i jedna~inu. –0,4 ⋅ x – 2,7 = 5,3 U~ili smo da oduzeti neki broj zna~i dodati wegov suprotan broj. Jedna~inu –0,4 ⋅ x – 2,7 = 5,3 mo`emo da zapi{emo i re{imo na slede}i na~in : –0,4 ⋅ x + (–2,7) = 5,3 –0,4 ⋅ x = 5,3 – (–2,7) –0,4 ⋅ x = 5,3 + 2,7 –0,4 ⋅ x = 8 x = 8 : (– 0,4) x = 80 : (–4) x = –20

–0,4 ⋅ x je nepoznati sabirak od zbira oduzimamo poznati sabirak

x je nepoznati ~inilac proizvod delimo poznatim ~iniocem

Da ti ka`em Ako u jedna~ini –0,4 ⋅ x – 2,7 = 5,3 izraz –0,4 ⋅ x posmatra{ kao umawenik, tada je –0,4 ⋅ x = 5,3 + 2,7. Dobijena jedna~ina je ista kao i jedna~ina dobijena u tre}em koraku.

% Re{i jedna~inu.

Da ti ka`em

a) 1 ⋅ x − 12 = −3 2 b) –3 ⋅ b – 8 = 5,2 v) −1, 2c − 4 = 4 5 2 & Ako od nekog broja oduzmemo 1,2, dobi}emo broj –4. 5 Koji je to broj?

a) Nepoznati sabirak u jedna~ini je 1 ⋅ x, a poznati sabirak –12. 2 b) Nepoznati sabirak u jedna~ini je –3 ⋅ b, a poznati sabirak –8. v) 1,2c = 1,2 ⋅ c

Proveri {ta zna{ ! Ako je a = –2, b = 4 i c = –0,8, sastavi jedna~inu a ⋅ x + b = c i re{i je. " Re{i jedna~inu. a) 14x – 3,2 = 15

b) 12 x − 5 = − 4 5 6 15

v) 13 + 0, 2x = −3,8 4

# Da li je –0,2 re{ewe jedna~ine –4x + (5 – 4,2 : 2) = 1,2?

53

• re{ewe nejedna~ine

NEJEDNA^INE OBLIKA a ⋅ x > b, a ⋅ x < b

a⋅x>bia⋅x 0 • re{ewe nejedna~ine a⋅x>bia⋅x 32. Najmawi prirodan broj iz skupa re{ewa nejedna~ine jeste odgovor na postavqeno pitawe.

" Re{i nejedna~inu.

3x > 5 4 2

Podseti se Prvo re{ava{ jedna~inu 3 x = 5 , a zatim odre|uje{ re{ewe 4 2 nejedna~ine znaju}i da se vrednost proizvoda pove}ava kada se jedan od ~inilaca pove}ava.

P RIMER Nejedna~inu 5 x < 2 re{i u skupu: 6 3 a) pozitivnih racionalnih brojeva Re{ewe prika`i na brojevnoj pravoj. 5x < 2 6 3 5x = 2 6 3 2 x = :5 3 6 x = 2⋅6 3 5 x = 4 5 4 x < 5

U petom razredu re{ewe nejedna~ine odre|ivali smo u skupu pozitivnih racionalnih brojeva, a sada re{ewa tra`imo u skupu racionalnih brojeva. To je razlog zbog kojeg se re{ewa pod a) i b) razlikuju.

prvo re{avamo jedna~inu

re{ewe jedna~ine je broj

4 5

4 re{ewe nejedna~ine jesu svi brojevi mawi od , 5 jer se vrednost proizvoda smawuje kada se jedan od ~inilaca smawuje

a)

b) 0

54

b) racionalnih brojeva.

4 1 5

0

4 1 5

Broj 4 nije re{ewe date 5 nejedna~ine. Na brojevnoj pravoj to ozna~avamo praznim kru`i}em.

RE[AVAWE NEJEDNA^INE OBLIKA a ⋅ x > b i a ⋅ x < b za a > 0 Re{ewe nejedna~ine je skup svih onih racionalnih brojeva k oji, kada zamene promenqivu u nejedna~ini, daju ta~nu nejednak ost. Re{imo sada nejedna~ine 3x > –6 i 3x < –6. 3x > –6 prvo re{avamo jedna~inu 3x = –6 x = –6 : 3 re{ewe jedna~ine je broj –2 x = –2 re{ewe nejedna~ine su svi brojevi ve}i od –2 x > –2 Do re{ewa nejedna~ine do{li smo znaju}i da se vrednos t proizvoda 3x pove}ava kada se jedan od ~inilaca pove}ava. Re{ewe nejedna~ine 3x > –6 jesu svi brojevi ve}i od –2, {to mo`emo predstaviti i na brojevnoj pravoj.

Na isti na~in re{avamo nejedna~inu: 3x < –6 Kako znamo da se vrednost proizvoda 3x smawuje kada se jedan od ~inilaca smawuje, data nejedna~ina svodi se na nejedna~inu x < –2. To zna~i da su wena re{ewa svi brojevi mawi od –2, {to mo`emo predstaviti i na brojevnoj pravoj.

Svaka nejedna~ina oblika ax > b ili ax < b, gde je a > 0, re{ava se na isti na~in kao u datim primerima.

# Re{i nejedna~inu i re{ewe predstavi na brojevnoj pravoj.

a) x ⋅ 32 > – 96 –1 0

1

b) 13x < –52 v) 2 x > − 5 5 2

–1 0

1

–1 0

1

Da ti ka`em • Proizvod x ⋅ 32 se pove}ava kada se x pove}ava. • Proizvod 13x se smawuje kada se x smawuje.

55

$ a) Popuni tabelu kao {to je zapo~eto.

x

–3

2x

–6

–2x

6

–2

–1

0

1

2

3

b) Kako se mewa vrednost proizvoda 2x kada se x pove}ava? Zaokru`i ta~an odgovor. • pove}ava se • smawuje se • ne mewa se v) Kako se mewa vrednost proizvoda –2x kada se x pove}ava? Zaokru`i ta~an odgovor. • ne mewa se • pove}ava se • smawuje se

RE[AVAWE NEJEDNA^INE OBLIKA a ⋅ x > b i a ⋅ x < b za a < 0 Re{imo nejedna~ine –5x > 15 i –5x < 15. –5x > 15 prvo re{avamo jedna~inu –5x = 15 x = 15 : (–5) re{ewe jedna~ine je broj –3 x = –3 re{ewe nejedna~ine su svi brojevi mawi od –3 x < –3 Do re{ewa nejedna~ine do{li smo znaju}i da se vrednos t proizvoda –5x pove}ava kada se x smawuje. Re{ewe nejedna~ine –5x > 15 jesu svi brojevi mawi od –3, {to mo`emo predstaviti i na brojevnoj pravoj.

Na isti na~in re{avamo nejedna~inu: –5x < 15 Kako znamo da se vrednost proizvoda –5x pove}ava kada se jedan od ~inilaca smaw uje, data nejedna~ina svodi se na nejedna~inu x > –3, {to zna~i da su wena re{ewa svi brojevi ve}i od –3, {to mo`emo predstaviti i na brojevnoj pravoj.

Svaka nejedna~ina oblika ax > b ili ax < b za a < 0 re{ava se na isti na~in kao u datim primerima. % Pove`i nejedna~inu s wenim re{ewem.

4x < 8

56

–4x < 8

4x > 8

–4x > 8

& Re{i nejedna~inu i re{ewe predstavi na brojevnoj pravoj.

a) –3x > –15 1

Da ti ka`em

–1 0

1

• Proizvod –3x se pove}ava kada se x smawuje. • Proizvod –6x se smawuje kada se x pove}ava.

–1 0

1

–1 0 b) –6x < 18 v) − 1 ⋅ x > 2 2

• Nejedna~ina ax > b, a > 0 svodi se na nejedna~inu x > b . a • Nejedna~ina ax > b, a < 0 svodi se na nejedna~inu x < b . a Podseti se ' Zaokru`i nejedna~inu ~ije je re{ewe

Re{ewe nejedna~ine x ≤ 5 je svaki broj mawi od 5 ili jednak 5. Na brojevnoj pravoj to nazna~avamo punim kru`i}em.

predstavqeno na brojevnoj pravoj. –x ≥ 1

–x ≥ – 1

–x ≤ 1

–x ≤ – 1

( Re{i nejedna~inu i re{ewe predstavi na brojevnoj pravoj.

a) 0,5x ≤ – 2 0

–2 b) 2 x ≥ −6 5

–5

0

2 5

Proveri {ta zna{ ! Re{i nejedna~inu i dobijeno re{ewe predstavi na brojevnoj pravoj.

a) 2 1 x > 21 3 5 b) x ⋅ 2,5 < 3,5 v) 0, 4x > − 6 5 " Re{i nejedna~inu. a) –8x ≤ –4

b) –30x > –6

57

• re{ewe nejedna~ine

NEJEDNA^INE OBLIKA x : a > b, x : a < b

oblika x : a > b i x : a < b za a > 0 • re{ewe nejedna~ine oblika x : a > b i x : a < b za a < 0

! Petorica drugara kupila su kesu klikera.

Koliko je najmawe bilo klikera u kesi ako je svaki od wih dobio vi{e od 8 klik era? Zaokru`i slovo ispred ta~nog odgovora. a) 48 b) 41 v) 45

Da ti ka`em Zadatak mo`e{ da re{i{ i re{avaju}i nejedna~inu x : 5 ≥ 9. Najmawi prirodni broj iz skupa re{ewa nejedna~ine jeste re{ewe.

1 ≥ 6 i re{ewe 2 predstavi na brojevnoj pravoj.

" Re{i nejedna~inu x :

–4 –3 –2 –1

0

1

2

3

4

Podseti se Prvo re{ava{ jedna~inu x : 1 = 6 , a zatim 2 odre|uje{ re{ewe nejedna~ine x : 1 ≥ 6 , 2 znaju}i da se vrednost koli~nika pove}ava kada se nepoznati deqenik pove}ava.

5

2 < 9 i re{ewe 3 2 predstavi na brojevnoj pravoj.

# Re{i nejedna~inu x :

–4 –3 –2 –1

58

0

1

2

3

4

5

6

7

Prvo re{ava{ jedna~inu x : 2 = 9 , 3 2 a zatim odre|uje{ re{ewe nejedna~ine x : 2 < 9 , znaju}i 3 2 da se vrednost koli~nika smawuje kada se nepoznati deqenik smawuje.

RE[AVAWE NEJEDNA^INE OBLIKA x : a > b i x : a < b za a > 0 U petom razredu nau~ili smo da re{avamo nejedna~ine oblika x : a > b i x : a < b, gde su a i b pozitivni racionalni brojevi, kao u zadacima 2 i 3. Re{imo sada nejedna~ine x : 3 > –2 i x : 3 < –2. x : 3 > –2 prvo re{avamo jedna~inu x : 3 = –2 x = –2 ⋅ 3 re{ewe jedna~ine je –6 x = –6 re{ewe nejedna~ine su svi brojevi ve}i od –6 x > –6 Do re{ewa nejedna~ine do{li smo znaju}i da se vrednos t koli~nika pove}ava kada se deqenik pove}ava. Re{ewe nejedna~ine x : 3 > –2 jesu svi brojevi ve}i od –6, {to mo`emo predstaviti i na brojevnoj pravoj.

Na isti na~in re{avamo nejedna~inu: x : 3 < –2 Kako znamo da se vrednost koli~nika x : 3 smawuje kada se deqenik smawuje, data nejedna~ina svodi se na nejedna~inu x < –6. To zna~i da su wena re{ewa svi brojevi mawi od –6, {to mo`emo predstaviti i na brojevnoj pravoj.

Svaka nejedna~ina oblika x : a > b ili x : a < b, gde je a > 0, re{ava se na isti na~in kao u datim primerima. $ Da li –2,1 pripada skupu re{ewa nejedna~ine x : 4 ≥ –1?

• da

• ne

% Re{i nejedna~inu i re{ewe predstavi na brojevnoj pravoj.

a) x : 3,5 ≤ –2 –2

0

2

–2

0

2

b) x : 4 > –1,5

Da ti ka`em U skup re{ewa nejedna~ine u zadatku pod a) ukqu~i i re{ewe odgovaraju}e jedna~ine.

59

& Odredi najve}i ceo broj koji je re{ewe nejedna~ine

x : 1,2 < –1,4.

' a) Popuni tabelu kao {to je zapo~eto.

x

–3

x:2

–1,5

x : (–2)

1,5

–2

–1

0

1

2

3

b) Kako se mewa vrednost koli~nika x : 2 kada se x pove}ava? Zaokru`i ta~an odgovor. • pove}ava se • smawuje se • ne mewa se v) Kako se mewa vrednost koli~nika x : (–2) kada se x pove}ava? Zaokru`i ta~an odgovor. • pove}ava se • smawuje se • ne mewa se

RE[AVAWE NEJEDNA^INE OBLIKA x : a > b i x : a < b za a < 0 Re{imo nejedna~ine x : (–3) > –2 i x : (–3) < –2. x : (–3) > –2 prvo re{avamo jedna~inu x : (–3) = –2 x = –2 ⋅ (–3) re{ewe jedna~ine je 6 x=6 re{ewe nejedna~ine su svi brojevi mawi od 6 x –2 jesu svi brojevi mawi od 6, {t o mo`emo predstaviti i na brojevnoj pravoj.

Na isti na~in re{avamo nejedna~inu: x : (–3) < –2 Kako znamo da se vrednost koli~nika x : (–3) smawuje kada se deqenik pove}ava, re{ewa date nejedna~ine jesu svi brojevi ve}i od 6, {t o mo`emo predstaviti i na brojevnoj pravoj.

Svaka nejedna~ina oblika x : a > b ili x : a < b, gde je a < 0, re{ava se na isti na~in kao u datim primerima.

60

( Re{i nejedna~inu i re{ewa predstavi na brojevnoj pravoj.

Da ti ka`em

a) x : (–0,5) ≤ 4

–4

–3

–2

–1

0

1

2

3

4

–1

0

1

2

3

4

• Koli~nik x : (–0,5) se smawuje kada se x pove}ava. • Koli~nik x : (–2,4) se pove}ava kada se x smawuje.

b) x : (–2,4) ≥ –1

–4

–3

–2

• Nejedna~ina x : a > b, a > 0 svodi se na nejedna~inu x > a ⋅ b. • Nejedna~ina x : a > b, a < 0 svodi se na nejedna~inu x < a ⋅ b.

) Odredi sve prirodne brojeve koji su re{ewa date nejedna~ine.

( )

x : − 5 ≥ − 14 7 3 * Pove`i po dve nejedna~ine koje imaju isti skup re{ewa.

x:24

x x: (: –2 2 4 4

x > –8

x b, a > 0 Re{imo nejedna~inu 4x + 6 > –10. 4x + 6 > –10 prvo re{avamo jedna~inu u kojoj je 4 x nepoznati sabirak 4x + 6 = –10 4x = –10 – 6 sada re{avamo jedna~inu u kojoj je x nepoznati ~inilac 4x = –16 x = –16 : 4 x=–4 x>–4

re{ewe jedna~ine je –4 re{ewe nejedna~ine su svi brojevi ve}i od –4

Do re{ewa nejedna~ine do{li smo znaju}i da se vrednos t zbira 4x + 6 pove}ava kada se sabirak 4 x pove}ava. Re{ewe nejedna~ine 4x + 6 > –10 jesu svi brojevi ve}i od –4, {to mo`emo predstaviti i na brojevnoj pravoj.

Da ti ka`em

$ Re{i nejedna~inu.

a) 5x + 7 > –23

62

b) 3x + 8 < –5

Vrednost zbira 3x + 8 se smawuje kada se sabirak 3x smawuje.

% Re{i nejedna~inu 2x – 5 ≤ –3 i re{ewe

Ne zaboravi da je oduzimawe dodavawe suprotnog broja, pa nejedna~inu 2x – 5 ≤ –3 mo`e{ zapisati i kao 2x + (–5) ≤ –3.

predstavi na brojevnoj pravoj.

RE[AVAWE NEJEDNA^INA a ⋅ x + c > b, a < 0 Na primer: –4x + 6 > –10 –4x + 6 = –10 –4x = –10 –6 –4x = –16

prvo re{avamo jedna~inu u kojoj je –4x nepoznati sabirak

sada re{avamo jedna~inu u kojoj je x nepoznati ~inilac

x = –16 : (–4) x=4 x –10 jesu svi brojevi mawi od 4, {to mo`emo predstaviti i na brojevnoj pravoj.

& Re{i nejedna~inu i re{ewa predstavi na brojevnoj pravoj.

a) –3x + 12 > 9

b) 1 x − 4 < −5 2

v) –0,4x + 2,7 ≥ 3,5

' Re{i nejedna~inu.

a) –2,4x + 0,3 > –0,18

b) 2 x − 3 ≤ −1 3 4

v) –x – 7 ≥ – 5

Proveri {ta zna{ ! Koji su brojevi iz skupa {0, –1, 2, –3, 1, 3} re{ewa nejedna~ine –3,5x – 2,1 > –1,2? " Re{i nejedna~inu i re{ewa predstavi na brojevnoj pravoj.

a) –5x + 2,5 > –1,5

b) − 2 x + 1 ≤ − 3 5 10

v) 1 1 x − 1 ≥ − 2 9 3 9

# Odredi najve}i ceo broj koji je re{ewe nejedna~ine –6x – 3,8 > –2,6.

63

• zapis razlomka

PROCENAT

u obliku procenta

! Izrazi razlomkom obojeni deo figure.

PROCENAT Neke od informacija koje svakodnevno mo`emo da ~ujemo na televiziji, radiju ili da pro~itamo u {tampi vezane su za procente. Na primer: Vla`nost vazduha je 82%, Novak \okovi} je prvi servis pogodio sa 65%, Benzin je pojeftinio za 3%, a s truja je poskupela za 8%… U petom razredu nau~ili smo da se procent om izra`ava deo od 100, to jest procentni zapis broja 1 je 1% . 100 " Napi{i u obliku razlomka.

a) 3% g) 87%

b) 10%

Da ti ka`em

v) 21%

d) 9%

2 = 2% 100

|) 19%

17 = 17% 100

# Napi{i u obliku procenta.

a) 11 100

b) 75 100

v) 34 100

$ Napi{i u obliku procenta.

a) 0,09

b) 0,03

v) 0,25

g) 0,4

% Napi{i u obliku procenta.

a) 3 5

b) 1 4

v) 9 10

g) 1 1 2

Razlomak pro{iri tako da imenilac bude 100.

& Napi{i u obliku procenta.

64

a) 0,9

b) 0,4

v) 1,5

g) 0,485

73,1 0,731 = 731 = 731 : 10 = = 73,1% 1000 1000 : 10 100

' Maja je isplanirala kako da u bakinoj ba{ti na selu zasadi lek ovito biqe.

a) Izrazi u obliku procenta koji je deo ba{te zasa|en: • nanom • kamilicom i koprivom b) Koje je lekovito biqe zasa|eno u najve}em delu ba{te? v) Koja je lekovita biqka zasa|ena u 10% ba{te?

kantarion

1 m2 kopriva

nana lavanda

kamilica

hajdu~ka trava

( Napi{i u obliku nesvodqivog razlomka.

a) 5%

b) 75%

v) 25%

g) 50%

) Zapisano u obliku decimalnog broja, 25,3% je :

a) 25,3

b) 2,53

v) 0,253

g) 0,0253

Zaokru`i slovo ispred ta~nog odgovora.

* Napi{i obliku procenta.

a) 3 8 b) 7 16

d) 1,5%

Da ti ka`em 41,3% =

41,3 41,3 ⋅ 10 = = 413 = 0, 413 100 100 ⋅ 10 1000

Prvo podeli brojilac razlomka imeniocem. Tako dobijeni decimalni broj napi{i u obliku procenta.

+ Nina je na treningu od 32 poku{aja 8 puta ubacila trojku .

a) Izrazi razlomkom wenu uspe{nost u poga|awu trojke. b) Dobijeni rezultat pod a) izrazi u obliku procenta.

65

, Od 365 dana u godini 180 provede{ u {k oli. Koliko je to procenata?

Zaokru`i slovo ispred ta~nog odgovora. a) mawe od 50%

b) 50%

Da ti ka`em

v) vi{e od 50%

- Izra~unaj:

a) 5% od 15

b) 20% od 45 000

v) 95% od 2 000

g) 1,2% od 100.

. Prilikom mlevewa p{enice oko 30% otpada na mekiwe.

Koliko se kilograma mekiwa dobije od 100 kg p{enice?

Izra~unati 25 % od broja 1 000 zna~i izra~unati vrednost proizvoda: 25% ⋅ 1000 = 25 ⋅ 1000 100

/ Punomasni sir sadr`i 45% mle~ne masno}e. Koliko

grama mle~ne masno}e ima u jednom kilogramu t og sira?

Zadaci za svesku ! Napi{i u obliku procenta:

1 , 3 , ,6. 5 2 4 5 8

" Napi{i u obliku procenta: 0,13; 1,2; 0,07; 0,0125; 0,004. # Napi{i u obliku nesvodqivog razlomka: 20%; 14%; 22,5%; 8,25%. $ Izra~unaj.

a) 32% od 160

b) 7,5% od 5 000

v) 0,8% od 800

I TO JE MATEMATIKA Re~ anketa poti~e od latinske re~i enquirere, {to zna~i istra`ivati. Anketa je naziv za sve postupke pomo}u kojih se prikupqaju i analiziraju podaci o razli~itim s tavovima, interesovawima i mi{qewima. Prilikom anketirawa pitawa se mogu postavqati pismeno, pomo}u pripremqenog upitnika, usmeno, putem intervjua, preko telefona itd. ! Anketirano je 1 000 slu~ajnih prolaznika povodom reklame o novom ~ok oladnom keksu.

Rezultati ankete prikazani su na grafikonu. a) Koliko je u~esnika ankete gledalo reklamu? b) Koliko wih nije probalo keks? v) Koliko je wih zadovoqno ukusom keksa?

1 000 u~esnika ankete

80% je gledalo reklamu

60% je probalo keks

20% je zadovoqno ukusom keksa

66

80% nije zadovoqno ukusom keksa

40% nije probalo keks

20% nije gledalo reklamu

ZAPAMTI Mno`ewe i deqewe racionalnih brojeva Proizvod dva racionalna broja

Koli~nik dva racionalna broja

ra~una se tako {to se pomno`e wihove apsolutne vrednosti i rezultatu dodeli znak: „+“ ako su brojevi istog znaka

ra~una se tako {to se podele wihove apsolutne vrednosti i rezultatu dodeli znak: „+“ ako su brojevi istog znaka

7,08 ⋅ 0,4 = 2,832 –7,08 ⋅ (–0,4) = 2,832 2⋅4 = 8 3 5 15 −2 ⋅ −4 = 8 3 5 15

7,08 : 0,4 = 70,8 : 4 = 17,7 –7,08 : (–0,4) = 17,7 2 : 4 = 2⋅5 = 5 3 5 3 4 6 −2 : −4 = 5 3 5 6

( )

( )

„–“ ako su brojevi razli~itog znaka –3,72 ⋅ 1,2 = –4,464 3,72 ⋅ (–1,2) = –4,464 −1⋅3 = − 3 2 7 14 1 ⋅ −3 = − 3 2 7 14

„–“ ako su brojevi razli~itog znaka –3,72 : 1,2 = –37,2 : 12 = –3,1 3,72 : (–1,2) = –3,1 − 1 : 3 = − 1 ⋅ 7 = −7 2 7 2 3 6 1 : −3 = −7 2 7 6

( )

( )

Procenat Jedan procenat je stoti deo celog.

1% = 1 = 0, 01 100

67

^ETVOROUGAO U ovom poglavqu u~i}e{ o: • ~etvorouglu, wegovim osobinama, zbiru uglova ~etvorougla • vrstama ~etvorougla: paralelogramu, trapezu i deltoidu.

Iz istorije geometrije Geometrija drevnog Egipta Geometrijska znawa Starih Egip}ana i Vavilonaca bila su uglavnom iskustvenog porekla. Ona su im bila po trebna da bi odre|ivali me|e i povr{ine wiva koje je reka Nil stalno plavila, kao i da bi gradili brodove, hramove i palate. Jedno od malobrojnih sa~uvanih dela iz t og doba jeste papirus koji je napisao Ahmes (1680–1620. godine pre nove ere).

Geometrija anti~kih Grka Ove veli~anstvene gra|evine, kojima se i danas divimo, poti~u iz anti~ke Gr~ke (600– 400. godine pre nove ere). Wihovim graditeqima su bila potrebna velika znawa iz geometrije. Tales iz Mileta (624–547. godine pre nove ere) smatran je jednim od sedmorice mudraca starog veka. Grcima je preneo matemati~ka znawa Starih Egip}ana.

Pitagora sa Samosa (569–475. godine pre nove ere) smatra se prvim matemati~arem koji je na ~isto logi~kom principu izvodio matemati~ke zakqu~ke. Wemu se pripisuju dokazi mnogih teorema, a jednu od wih – o t ome da je zbir uglova u trouglu 180° – nau~ili smo i primewivali u toku ove {kolske godine.

68

Euklid (330–275. godine pre nove ere) `iveo je i radio u Aleksandriji, gde je stvorio svoju poznatu matemati~ku {kolu. Napisao je brojna dela, od kojih je najpoznatije Elementi. Mnoge generacije matemati~ara u~ile su iz te kwige. Elementi su vekovima smatrani jednim od najsavr{enijih matemati~kih dela.

1, 2, 3, KRENI… ! Koliki je ugao trougla ABC na slici?

a) 45° b) 57° v) 27° g) 32° " Izra~unaj ugao ϕ na slici.

# Koja tvr|ewa su ta~na?

a) Svaki jednakokraki trougao ima sva tri ugla jednaka. b) Jednakostrani~ni trougao ima jednake uglove. v) Svaki pravougli trougao ima dva jednaka ugla. g) Ugao jednakokrakog trougla na osnovici uvek je o{tar. d) Zbir o{trih uglova pravouglog trougla je 90°. $ Koje pravilo koristi{ da doka`e{ da su trouglovi

na slici podudarni? a) SSS b) USU v) SUS g) SSU % Koja je du` rastojawe izme|u paralelnih

pravih a i b na slici? a) AB b) CD v) EF g) GH & Na crte`ima su prikazane zna~ajne ta~ke trougla. Ozna~i svaku odgovaraju}im slovom :

O, S, H, T. Pove`i svaki crte` sa odgovaraju}im pojmom.

ortocentar

centar upisane kru`nice

te`i{te

centar opisane kru`nice

69

• ~etvorougao • temena • stranice • unutra{wi uglovi • spoqa{wi uglovi • dijagonale

^ETVOROUGAO. ELEMENTI ^ETVOROUGLA ! Napi{i slova kojima su obele`eni:

a) ~etvorouglovi b) konveksni ~etvorouglovi v) nekonveksan ~etvorugao

" Dopuni crte` tako da dobije{ ~etvorougao ABCD koji je:

a) konveksan

b) nekonveksan

A

B

D

C

A

B

Konveksni ~etvorougao

Nekonveksni ~etvorougao

U {estom razredu u~i}emo samo o konveksnim ~etvorouglovima.

^ETVOROUGAO – STRANICE ^ETVOROUGLA ^etvorougao je deo ravni ograni~en prostom zatvorenom izlomqenom linijom od ~etiri du`i, zajedno s tom linijom. Zajedni~ke ta~ke du`i nazivamo temena ~etvorougla, a te du`i stranice. A stranica B

D C

70

teme

Podseti se M

Prosta izlomqena linija

N

Q P

C

Izlomqena linija koja nije prosta A

B D

^etvorougao ~ija su temena A, B, C i D, kao na slici, zapisujemo  ABCD. Stranice  ABCD su: AB, BC, CD i DA. Susedna temena ~etvorougla jesu krajwe ta~ke jedne stranice. Svako teme ima dva susedna temena i jedno naspramno teme. Na primer: za teme A susedna temena su B i D, a naspramno je C. Dve stranice ~etvorougla su susedne ako imaju zajedni~ko teme. Svaka stranica ~etvorougla ima dve susedne stranice i jednu naspramnu stranicu. Na primer: za stranicu AB susedne stranice su BC i DA, a naspramna je CD. ^esto du`ine stranica ~etvorougla obele`avamo malim pisanim slovima latinice. Na primer: a, b, c, d, kao na crte`u.

# Na osnovu slike popuni tabele kao {to je zapo~eto.

teme

C

F C E

naspramno teme E

susedna temena D, F

stranica DE

naspramna stranica FC

susedne stranice DC, EF

D E

D

F

$ Kad ka`emo ~etvorougao ABCD, na koji ~etvorougao na slici mislimo?

Zaokru`i slovo ispred ta~nog odgovora. a)

% Temena ~etvorougla ABCD

na slici obele`i slovima A, B, C i D kao {to je zapo~eto.

b)

a)

v)

b)

Da ti ka`em Obele`iti ~etvorougao ABCD zna~i da slovima A, B, C i D, redom, obele`i{ susedna temena.

71

& Za svaki crte` zapi{i odgovaraju}i ~etvorougao.

H

D G

A

C

M

B

N

F

D

B A

E M

C P

UGLOVI ^ETVOROUGLA Uglove ~ija su temena istovremeno i temena ~etvorougla, a kraci sadr`e susedne stranice, nazivamo unutra{wi uglovi ~etvorougla. Na primer, unutra{wi uglovi ~etvorougla ABCD su: ⱔDAB, ⱔABC, ⱔBCD i ⱔCDA i ~esto ih, redom, obele`avamo i sa α, β, γ i δ.

Isto kao i kod trougla, spoqa{wi ugao ~etvorougla je onaj ugao koji je uporedan unutra{wem uglu. Na primer: uglovi α1, β1, γ1 i δ1 jesu spoqa{wi uglovi, a wima uporedni α, β, γ i δ jesu unutra{wi uglovi ~etvorougla ABCD na slici. Podseti se Zbir uporednih uglova je 180°.

' a) Obele`i lukom unutra{we uglove ~etvorougla

na slici i zapi{i ih.

Da ti ka`em Spoqa{wi ugao ~etvorougla kod jednog temena mo`e{ da nacrta{ na dva na~ina:

b) Svakom uglu nacrataj odgovaraju}i spoqa{wi ugao i obele`i ga luk om.

72

DIJAGONALE ^ETVOROUGLA Dijagonala je du` ~ije su krajwe ta~k e naspramna temena ~etvorougla. Svaki ~etvorougao ima dve dijagonale. Dijagonale ~etvorougla ABCD na slici jesu du`i AC i BD.

d2

d1

^esto du`ine dijagonala obele`avamo sa d1 i d2.

( Nacrtaj dijagonale ~etvorougla

SMPQ i zapi{i ih.

) Nacrtaj i zapi{i ~etvorougao ~ije

su dijagonale date du`i. P M R S

0 Nacrtaj i obele`i tri ~etvorougla

sa zajedni~kom stranicom AB.

+ Nacrtaj i zapi{i sve ~etvorouglove

~ija su temena date ta~ke. E

Da ti ka`em

B A D

A B

C

Od 5 ta~aka izaberi 4, tako {to }e{ jednom izostaviti ta~ku A, jednom B itd.

Proveri {ta zna{ ! Nacrtaj i obele`i proizvoqan ~etvorougao MNPQ. " Nacrtaj proizvoqan ~etvorougao RSPQ.

a) Koja je stranica naspramna stranici RS? b) Koja su temena susedna temena temenu P? Koje teme je naspramno temenu P? # Nacrtaj proizvoqan ~etvorougao ABCD. Nacrtaj wegove dijagonale i napi{i

koje su to du`i.

73

ZBIR UNUTRA[WIH UGLOVA ^ETVOROUGLA. ZBIR SPOQA[WIH UGLOVA ^ETVOROUGLA

• zbir unutra{wih

uglova ~etvorougla • zbir spoqa{wih uglova ~etvorougla

! a) Koliki je zbir unutra{wih uglova kvadrata?

D

C

A

B

b) Nacrtaj spoqa{we uglove kvadrata i napi{i k oliki je wihov zbir. " a) Koliki je zbir unutra{wih uglova pravougaonika?

D

C

A

B

b) Nacrtaj spoqa{we uglove pravougaonika i napi{i k oliki je wihov zbir. # Izre`i od taweg kartona ~etvorougao i oboj uglove kao na crte`u. Pa`qivo izre`i

delove uglova i nadove`i ih tako da im poklopi{ temena i dva po dva kraka. Kakav }e{ ugao dobiti? Zaokru`i ta~an odgovor. • o{tar • prav • opru`en • pun

ZBIR UNUTRA[WIH UGLOVA ^ETVOROUGLA Zbir unutra{wih uglova ~etvorougla je pun ugao. Mera punog ugla je 360°.

74

ZBIR UNUTRA[WIH UGLOVA U ^ETVOROUGLU Dijagonala AC ~etvorougla ABCD deli unutra{wi ugao α na uglove α’ i α“, {to zna~i da je α = α’ + α“. Ista dijagonala deli i ugao γ na uglove γ’ i γ“, {to zna~i da je γ = γ’ + γ“. Sabirawem uglova trouglova ABC i ACD, a znaju}i da je zbir uglova u trouglu jednak 180°, dobijamo : (α’ + δ + γ’)+ (γ“ + β + α“) = 180° + 180° α’ + α“ + β + γ’ + γ“ + δ = 360° α + β + γ + δ = 360° Zbir unutra{wih uglova ~etvorougla je 360°. $ Izra~unaj ugao α.

a)

b)

% Izra~unaj uglove kod temena A i C

~etvorougla ABCD na slici.

& Nacrtaj na tawem kartonu ~etvorougao

i wegove spoqa{we uglove kao {to je prikazano na crte`u. Pa`qivo izre`i delove spoqa{wih uglova i nadove`i ih tako da im poklopi{ temena i dva po dva kraka. Kakav }e{ ugao dobiti?

ZBIR SPOQA[WIH UGLOVA ^ETVOROUGLA Zbir spoqa{wih uglova ~etvorougla je 360°.

75

ZBIR SPOQA[WIH UGLOVA ^ETVOROUGLA Kada dopunimo svaki unutra{wi ugao α, β, γ i δ ~etvorougla ABCD na slici spoqa{wim uglovima α1, β1, γ1 i δ1, dobijamo: α1+ α = 180°, β1 + β = 180°, γ1 + γ = 180°, δ1 + δ = 180° Odatle sledi da je: α1 + α + β1 + β + γ1 + γ + δ1 + δ = 4 ⋅ 180° α1 + β1 + γ1 + δ1 + α + β + γ + δ = 720°

A α α1

Kako je α + β + γ + δ = 360°, iz prethodne jednakosti sledi: α1 + β1 + γ1 + δ1 = 360°

δ1 D δ

β B

γ β1

γ1 C

' a) Izra~unaj nepoznati spoqa{wi ugao

~etvorougla na slici. b) Izra~unaj unutra{we uglove ~etvorougla.

( Izra~unaj nepoznate unutra{we uglove sa slike.

γ

) Neka su α, β, γ i δ unutra{wi uglovi ~etvorougla i neka su α1, β1, γ1

i δ1 odgovaraju}i spoqa{wi uglovi. Izra~unaj ostale uglove ako je: a) α = 78°, β = 105°, γ1 = 68° b) β1 = 35°, γ1 = 96°, δ = 120°.

Da ti ka`em Skica ~etvorougla mo`e ti pomo}i da re{i{ zadatak.

Proveri {ta zna{ ! Ako su unutra{wi uglovi ~etvorougla α = 39°, β = 72° i γ = 156°,

izra~unaj wegov ~etvrti unutra{wi ugao δ.

" Ako su spoqa{wi uglovi ~etvorougla α1 = 103°, β1 = 97° i γ1 = 145°, izra~unaj wegov ~etvrti

spoqa{wi ugao δ1. Za svaki spoqa{wi ugao izra~unaj odgovaraju}i unutra{wi ugao.

76

POJAM CENTRALNE SIMETRIJE

• centralna simetrija • centralnosimetri~ne ta~ke • centralnosimetri~ne du`i • centralna simetri~nost jedne figure

! Da li su trouglovi na slici podudarni?

Da li postoji prava po kojoj, presavijawem kvadratne mre`e, mo`e{ da preklopi{ trouglove na slici? Da li ta~ke A, C i D pripadaju jednoj pravoj? Proveri pomo}u lewira. Da li je ta~ka C sredi{te du`i AD? Izre`i od papira model trouglova kao na crte`u . Prona|i u wihovoj ravni jedno kretawe kojim ih mo`e{ preklopiti.

CENTRALNA SIMETRIJA Koristimo izrezane podudarne trouglove iz zadatka 1. Preklopimo ih i pri~vrstimo ~iodom po jedno wihovo teme tak o da se trouglovi mogu slobodno okretati oko ~iode. Plavi trougao zadr`imo u jednom polo`aju, a crveni okre}imo oko pri~vr{}ene ta~ke. Na drugoj slici vidimo razli~ite polo`aje crvenog trougla u toku okretawa. Zaustavimo kretawe trougla u trenutku kada po dve s tranice dva trougla budu pripadale istoj pravoj, kao {to je prikazano na tre}oj slici. Tada za trouglove ka`emo da su centralnosime tri~ni ili simetri~ni u odnosu na ta~ku, u ovom slu~aju na teme trougla. T u ta~ku nazivamo centar simetrije.

" Na kom su crte`u date olovke centralnosimetri~ne? Zaokru`i slovo ispred ta~nog odgovora.

a)

b)

v)

g)

77

CENTRALNOSIMETRI^NE TA^KE Konstrui{emo ta~ku simetri~nu datoj. Date su ta~ka A i ta~ka S.

Crtamo polupravu AS.

Konstrui{emo ta~ku B tako da B ∈SA i AS = BS.

Za ta~ke A i B ka`emo da su centralnosimetri~ne u odnosu na ta~ku S. Ta~ku S nazivamo centar simetrije. Centralna simetrija odre|ena je ta~kom koju nazivamo centar simetrije. # Konstrui{i du` A1B1, simetri~nu datoj du`i AB

u odnosu na datu ta~ku S.

Da ti ka`em Prvo nacrtaj polupravu AS, a zatim na woj odredi ta~ku A1 tako da je AS = SA1. Isti postupak primeni i za ta~ku B.

CENTRALNOSIMETRI^NE DU@I Dve centralnosimetri~ne du`i paralelne su i jednake.

Iz podudarnosti trouglova AOB i A1OB1 sledi: AB = A1B1 i AB || A1B1

Du`i AB i A1B1 su centralnosimetri~ne. Centar simetrije je ta~ka O. Du`i AB i A1B1 su podudarne. $ Konstrui{i trougao A1B1C1, simetri~an trouglu ABC,

ako je centar simetrije: a) teme B

b) ta~ka E.

C B = B1 A

Dva centralnosimetri~na trougla su podudarna.

78

% Dve strelice su centralnosimetri~ne. Nacrtaj ta~ku koja je centar simetrije.

a)

b)

v)

& Odredi du` simetri~nu datoj du`i AB u odnosu na sredi{te S.

Da ti ka`em Ta~ke A i B su simetri~ne u odnosu na S. Du` AB je centralnosimetri~na figura.

CENTRALNA SIMETRI^NOST JEDNE FIGURE Za figuru ka`emo da je centralnosimetri~na u odnosu na neku ta~ku S ako svaka wena ta~ka ima simetri~nu ta~ku koja pripada toj figuri u odnosu na datu ta~ku S. Primeri centralnosimetri~nih figura Pored osnosimetri~nih figura, koje su simetri~ne u odnosu na pravu, sre}emo se i s figurama koje su simetri~ne u odnosu na ta~ku. Tu ta~ku nazivamo centar simetrije. Evo nekoliko primera centralnosimetri~nih figura.

' Slovo Z je centralnosimetri~no. Centar simetrije ozna~en je ta~kom. Koja su jo{ slova

centralnosimetri~na? Ozna~i ta~kom wihove centre simetrije.

Proveri {ta zna{ ! Da li je figura na slici osnosime tri~na? Da li je centralnosimetri~na? " Nacrtaj ~etvorougao ABCD. Konstrui{i centralnosimetri~an

~etvorougao A1B1C1D1 ako je centar simetrije: a) teme C b) sredi{te stranice BC v) zajedni~ka ta~ka simetrala uglova α i β.

79

• vrste ~etvorouglova • paralelogram • svojstvo stranica paralelograma • svojstva uglova paralelograma • svojstvo dijagonala paralelograma • visine paralelograma

VRSTE ^ETVOROUGLOVA. PARALELOGRAM ! U figurama TANGRAMA uo~i dva ~etvorougla;

jedan je obojen u crveno, a drugi u plavo. Kako se naziva crveni ~etvorougao? Koristi pribor za geometriju i ispitaj paralelnost stranica plavog ~etvorougla. Da li su wegove naspramne stranice paralelne?

" U tabelu upi{i slova kojima su obele`eni

~etvorouglovi koji: imaju dva para paralelnih stranica imaju samo jedan par paralelnih stranica nemaju paralelnih stranica

VRSTE ^ETVOROUGLOVA PREMA PARALELNOSTI STRANICA Prema paralelnosti naspramnih stranica ~etvorouglove delimo na: • paralelograme – to su ~etvorouglovi koji imaju dva para paralelnih stranica

AB || DC i BC || AD

80

• trapeze – to su ~etvorouglovi koji imaju samo jedan par paralelnih stranica

AB || DC

• ~etvorouglove koji nemaju paralelnih stranica.

# Na crte`u uo~i i zapi{i paralelogram i sve trapeze.

$ a) Dopuni crte` tako da dobije{ paralelogram ABCD.

Podseti se A

Ovako se crtaju paralelne prave.

b a

b) Koristi {estar i ispitaj jednakost stranica AB i CD, a zatim i stranica BC i DA. v) Koristi {estar i ispitaj jednakost uglova DAB i BCD, a zatim i uglova ABC i CDA.

SVOJSTVA PARALELOGRAMA – STRANICE I UGLOVI Doka`imo da paralelogram ABCD na slici ima: • jednake naspramne stranice (AB = CD, AD = CB) • jednake naspramne uglove (ⱔDAB = ⱔBCD, ⱔABC = ⱔCDA) • susedne uglove suplementne (ⱔDAB + ⱔABC = 180°). Doka`imo da su trouglovi ABD i CDB podudarni. Na osnovu jednakosti: zajedni~ka stranica BD = BD uglovi na transverzali BD, AD || BC ⱔADB = ⱔCBD uglovi na transverzali BD, AB || CD ⱔABD = ⱔCDB sledi da su trouglovi ABD i BCD podudarni (pravilo USU), {to zna~i: AB = CD, BC = DA i ⱔDAB = ⱔBCD Kako su prave AD i BC paralelne, a prava AB wihova transverzala, sledi da su uglovi DAB i ABC suplementni. Na isti na~in mo`emo pokazati da su svaka dva susedna ugla paralelograma suplementna.

Uglovi ~iji je zbir 180° su suplementni.

^esto stranice i uglove paralelograma obele`avamo i na slede}i na~in :

81

% ^etvorougao EFGH je paralelogram. Napi{i parove

jednakih uglova i parove jednakih stranica.

& Jedan unutra{wi ugao paralelograma je 33°.

Izra~unaj ostale unutra{we uglove. Nacrtaj skicu paralelograma. ' Zbir dva spoqa{wa ugla paralelograma

je 120°. Izra~unaj uglove paralelograma. Nacrtaj skicu.

Da ti ka`em Zbir dva spoqa{wa susedna ugla paralelograma je 180°.

( Izra~unaj uglove paralelograma ABCD na slici.

Du` DE je visina paralelograma ABCD koja odgovara stranici AB.

VISINA PARALELOGRAMA Visina paralelograma je du` normalna na prave koje sadr`e naspramne stranice paralelograma. Wene krajwe ta~ke pripadaju tim pravama. Visina paralelograma jednaka je rastojawu izme|u paralelnih stranica. U svakom paralelogramu mogu se iz jednog temena povu}i dve visine. Wihove du`ine naj~e{}e obele`avamo sa ha i hb, kao {to je prikazano na crte`u. ) Koristi {estar i uporedi du`i AO i OC,

kao i BO i OD. Da li su jednake?

82

visina ha odgovara stranici a

visina hb odgovara stranici b

SVOJSTVO DIJAGONALA PARALELOGRAMA Doka`imo da se dijagonale paralelograma ABCD polove. Neka se dijagonale paralelograma seku u ta~ki O. Prvo doka`imo podudarnost trouglova AOD i COB. naspramne stranice AD = CB uglovi na transverzali AC, AD || BC ⱔDAO = ⱔBCO uglovi na transverzali BD, AB || DC ⱔODA = ⱔOBC Dakle, na osnovu pravila USU trouglovi AOD i COB su podudarni, odakle sledi: AO = CO i BO = DO Paralelogram je centralnosimetri~na figura. Centar simetrije je zajedni~ka ta~ka dijagonala.

OSNOVNA SVOJSTVA PARALELOGRAMA Naspramne stranice paralelograma su jednake. Naspramni uglovi su jednaki. Susedni uglovi su suplementni. Dijagonale paralelograma se polove.

Da ti ka`em Kada se ka`e da su naspramne stranice i naspramni uglovi jednaki, misli se na oba para naspramnih stranica i uglova paralelograma.

^etvorougao je paralelogram ako va`i jedno od slede}ih tvr|ewa : 1. Dve naspramne stranice su jednake i paralelne. 2. Naspramne stranice su jednake. 3. Naspramni uglovi su jednaki. 4. Susedni uglovi su suplementni. 5. Dijagonale se polove.

Proveri {ta zna{ ! Nacrtaj i obele`i proizvoqan paralelogram.

a) Na osnovu crte`a napi{i parove jednakih s tranica i parove jednakih uglova. b) Nacrtaj dijagonale paralelograma. " Jedan spoqa{wi ugao paralelograma je 115°. Izra~unaj os tale uglove paralelograma. # 3bir dva spoqa{wa ugla paralelograma je 150°. Izra~unaj os tale uglove paralelograma.

83

VRSTE PARALELOGRAMA – ROMB, PRAVOUGAONIK, KVADRAT ! Dva jednakokraka trougla koja imaju zajedni~ku

osnovicu obrazuju ~etvorougao kao na slici.

• vrste paralelograma • romb • normalnost dijagonala romba • upisana kru`nica romba • pravougaonik • jednakost dijagonala pravougaonika • opisana kru`nica pravougaonika • kvadrat • normalnost i jednakost dijagonala

kvadrata • upisana i opisana kru`nica kvadrata

UF, TE?KO JE...

Da li je taj ~etvorougao paralelogram. Objasni. Koliki su wegovi uglovi? Da li su stranice tog ~etvorougla jednake?

" Paralelogram ABCD ima jednake stranice.

a) Koliki je ugao izme|u dijagonala? Izmeri ga. b) Prekopiraj ovaj paralelogram na papir i presavij ga po jednoj dijagonali. Da li }e se delovi paralelograma poklopiti? Na isti na~in presavij paralelogram po drugoj dijagonali. Da li }e se delovi paralelograma poklopiti?

ROMB Romb je paralelogram s jednakim stranicama. SVOJSTVA ROMBA • Dijagonale su simetrale uglova romba i me|usobno su normalne. Nau~ili smo da je prava koja sadr`i vrh jednakokrakog trougla i sredi{te osnovice osa simetrije tog trougla.

84

Trougao ABD je jednakokraki trougao (AB = AD), a ta~ka O je sredi{te osnovice BD, {to zna~i da je prava AO simetrala du`i BD, to jest AO⬜BD. Na isti na~in zakqu~ujemo da je prava CO simetrala du`i BD. Zakqu~ujemo da je AC⬜BD. To zna~i da je prava AC osa simetrije datog romba. Zakqu~ujemo i da je prava BD osa simetrije datog romba. • Romb je osnosimetri~na figura i ima dve ose sime trije. To su prave kojima pripadaju wegove dijagonale. Dijagonale dele romb na ~etiri podudarna trougla. • U romb se mo`e upisati kru`nica. Centar upisane kru`nice je zajedni~ka ta~ka dijagonala romba, a polupre~nik je jednak rastojawu od centra do svake stranice i jednak je polovini visine romba. • Kako je romb paralelogram, to zna~i da sva svojstva paralelograma va`e i za romb. # Spoqa{wi ugao romba je 100°. Nacrtaj skicu i izra~unaj uglove romba. $ Dijagonala romba obrazuje

sa stranicom ugao od 20°. Koliki su uglovi romba?

% Ako je jedan ugao paralelograma prav, onda su svi

uglovi pravi. Objasni.

Da ti ka`em Naspramni uglovi paralelograma su jednaki, a susedni suplementni.

& Dat je pravougaonik ABCD na slici. Doka`i da su wegove

dijagonale jednake. Podseti se Pravougaonik je ~etvorougao kod koga su svi uglovi pravi i naspramne stranice jednake.

85

PRAVOUGLI PARALELOGRAM – PRAVOUGAONIK Pravougaonik je paralelogram ~iji su uglovi pravi. Kvadrat je paralelogram s jednakim stranicama i jednakim uglovima. SVOJSTVA PRAVOUGAONIKA Dijagonale pravougaonika su jednake. Oko pravougaonika se mo`e opisati kru`nica. Centar opisane kru`nice je ta~ka preseka dijagonala, a polupre~nik je jednak polovini dijagonale. SVOJSTVA KVADRATA Dijagonale kvadrata su jednake i polove se pod pravim uglom. U kvadrat se mo`e upisati kru`nica. Oko kvadrata se mo`e opisati kru`nica. Centar opisane i upisane kru`nice je zajedni~ka ta~ka dijagonala. Polupre~nik opisane kru`nice je polovina dijagonale, a polupre~nik upisane kru`nice je polovina s tranice kvadrata. ' Nacrtaj u kvadratnoj mre`i:

a) proizvoqan pravougaonik, a zatim mu opi{i kru`nicu b) proizvoqan kvadrat, a zatim mu opi{i i upi{i kru`nicu.

Podseti se Pravougaonik ima dve ose simetrije. To su simetrale wegovih stranica. Kvadrat ima ~etiri ose simetrije. To su simetrale wegovih stranica i simetrale wegovih uglova.

Proveri {ta zna{ ! Izra~unaj uglove romba ako je zbir dva ugla 150°20’. " Nacrtaj pravougaonik stranica 5 cm i 3 cm, a zatim mu opi{i kru`nicu. # Nacrtaj kvadrat stranice 4 cm, a zatim mu opi{i i upi{i kru`nicu .

86

KONSTRUKCIJA PARALELOGRAMA

• odre|enost paralelograma • analiza zadatka • izvo|ewe konstrukcije paralelograma

! Nacrtaj pravu m, koja sadr`i teme B i paralelna je sa AC.

Nacrtaj pravu p, koja sadr`i teme C i paralelna je sa AB. Zajedni~ku ta~ku pravih m i n obele`i sa D. Da li je ~etvorougao ABDC paralelogram? Da li paralelogram mo`e uvek da se k onstrui{e ako su poznata tri wegova temena?

ODRE\ENOST I KONSTRUKCIJA PARALELOGRAMA Nau~ili smo kako se konstrui{e trougao kada su dati wegovi osnovni elementi. ^etvorougao ABCD je dijagonalom BD podeqen na trouglove ABD i DBC. Za konstrukciju trougla ABD potrebna su tri wegova elementa, o ~emu govore pravila o podudarnos ti trouglova.

Podseti se Priseti se konstrukcije trouglova i pogledaj tekst Odre|enost trougla na strani 103 u prvoj kwizi.

Ta~ke A, B i D istovremeno su i temena tra`enog ~etvorougla. ^etvrto teme C paralelograma ABCD jednozna~no je odre|eno presekom prave koja sadr`i teme D i paralelna je sa AB i prave koja sadr`i teme B i paralelna je sa AD. To zna~i da je za konstrukciju paralelograma ABCD potrebno isto onoliko podataka koliko i za konstrukciju trougla ABD.

P RIMER Konstrui{i paralelogram ABCD ako je stranica AB du`ine 4,5 cm, AD du`ine 3,5 cm i ⱔDAB = 45°. • Analiza zadatka Crtamo skicu paralelograma ABCD s datim elementima. Zadatak se svodi na konstrukciju trougla ABD.

87

• Izvo|ewe konstrukcije Prvo konstrui{emo trougao ABD.

Konstrui{emo pravu x tako da je x || AB i pravu y tako da je y || AD. Presek pravih x i y jeste ta~ka C, ~etvrto teme paralelograma.

" Konstrui{i paralelogram ABCD ako je:

a = 4,5 cm, b = 3,5 cm i d1 = 6,5 cm

Da ti ka`em Pre konstrukcije nacrtaj skicu paralelograma koji treba da konstrui{e{. To je analiza zadatka.

P RIMER Konstrui{i paralelogram ABCD ako je AB du`ine 4 cm, du`a dijagonala AC du`ine 6 cm i ugao α = 60°. • Analiza zadatka Ugao ABC je suplementan uglu DAB, pa je ⱔABC = 120°. Zadatak se svodi na konstrukciju trougla ABC.

88

• Izvo|ewe konstrukcije Konstrui{emo prvo trougao ABC.

Crtamo kroz ta~ku C pravu x, paralelnu stranici AB, zatim kroz ta~ku A pravu y, paralelnu stranici BC. Presek pravih x i y je ta~ka D.

# Konstrui{i romb ako je a = 4 cm

i ve}a dijagonala d1 = 6 cm. $ Konstrui{i romb ako su dijagonale

d1 = 4 cm i d2 = 6 cm.

Da ti ka`em Svaka dijagonala romba je simetrala druge dijagonale.

Proveri {ta zna{ ! Konstrui{i paralelogram ako je: a = 4,5 cm, b = 3,5 cm i β = 150°. " Konstrui{i paralelogram ako je a = 4 cm, α = 60°

i mawa dijagonala 6 cm. # Konstrui{i pravougaonik ako je dijagonala d = 6 cm

i jedna stranica a = 4 cm. $ Konstrui{i romb ako je a = 4 cm i α = 60°.

89

TRAPEZ. SVOJSTVA TRAPEZA. SREDWA LINIJA TRAPEZA ! Napi{i slova kojima su obele`eni trapezi. ...............................................

TRAPEZ Trapez je ~etvorougao koji ima samo jedan par paralelnih naspramnih stranica. Paralelne stranice nazivamo osnovice trapeza, a druge dve kraci trapeza. Osnovice trapeza ABCD na slici su AB i DC, a kraci AD i BC. ^esto stranice trapeza obele`avamo kao na crte`u, gde su a i b du`ine osnovica, a c1 i c2 du`ine krakova. Du`ine dijagonala trapeza u tom slu~aju obele`avamo sa d1 i d2. " Prava s se~e paralelne stranice paralelograma na slici.

Kojoj vrsti ~etvorouglova pripada ~etvorougao AMPD? A ~etvorougao MBCP?

# Nacrtaj dva proizvoqna trapeza ABCD i ABEF ako je data wihova osnovica AB.

a)

90

b)

• trapez • osnovice • kraci • uglovi • sredwa linija • visina

$ Prave a i b su paralelne.

a) Izra~unaj obele`ene uglove na slici. b) Koji su od ozna~enih uglova suplementni?

Da ti ka`em Koristi svojstva unakrsnih i suplementnih uglova, kao i uglova na transverzali.

SVOJSTVA TRAPEZA Unutra{wi uglovi trapeza na istom kraku su suplementni. Osnovice trapeza su AB i DC. Uglovi DAB i ADC jesu uglovi na transverzali. Kako je jedan o{tar, a drugi tup, oni su suplementni: ⱔDAB + ⱔADC = 180° Isto va`i i za uglove ABC i DCB: ⱔABC + ⱔDCB = 180° % Izra~unaj uglove trapeza.

& Prave a, b i m su paralelne. Ako je ta~ka C

sredi{te du`i AB, koristi {estar i utvrdi da li je ta~ka E sredi{te du`i DF i ta~ka P sredi{te du`i MQ.

SREDWA LINIJA TRAPEZA Sredwa linija trapeza je du` koja spaja sredi{ta krakova trapeza. Na crte`u je to du` EF. Wenu du`inu obele`avamo sa m. Sredwa linija trapeza paralelna je osnovicama trapeza i jednaka polovini wihovog zbira.

EF || AB m = a+b 2

91

C

' a) Nacrtaj pravu p, paralelnu stranici AB trougla ABC,

na rastojawu od 2 cm. Obele`i sa P i Q zajedni~ke ta~ke prave p i stranica AC i BC. Da li je ~etvorougao ABQP trapez? b) Spusti normalu na AB iz P. Podno`je normale ozna~i sa S. Kolika je du`ina du`i PS?

A

B

VISINA TRAPEZA Visina trapeza je du` normalna na prave k oje sadr`e osnovice trapeza. Wene krajwe ta~ke pripadaju tim pravama. Visina trapeza jednaka je rastojawu izme|u osnovica trapeza. Du`inu visine trapeza obele`avamo sa h. ( Obele`i osnovice i krake trapeza na crte`u pod a).

• Nacrtaj i obele`i visinu trapeza na crte`u pod b). • Nacrtaj i obele`i sredwu linuju trapeza na crte`u pod v). a)

b)

v)

) Uglovi izme|u visina i krakova trapeza su 30° i 55°.

Izra~unaj unutra{we uglove trapeza.

Proveri {ta zna{ ! a) Konstrui{i paralelogram ako je a = 3 cm, b = 4 cm i α = 45°.

b) Nacrtaj pravu p, paralelnu stranici a, tako da prese~e stranicu b i pravu q, koja se~e stranice a, a nije paralelna sa b. Koliko ima trapeza na dobijenoj slici? " Izra~unaj unutra{we uglove trapeza ako su uglovi na jednoj osnovici α = 67° i β = 94°.

92

VRSTE TRAPEZA. JEDNAKOKRAKI TRAPEZ

• pravougli trapez • jednakokraki trapez • dijagonale jednakokrakog

! Neka je prava p paralelna stranici BC trougla ABC na slici.

trapeza • uglovi jednakokrakog trapeza

Obele`i sa M i P zajedni~ke ta~ke prave p i stranica AB i AC. a) Kojoj vrsti ~etvorouglova pripada ~etvorougao BCPM? Ako je ABC pravougli trougao, kojoj vrsti uglova pripadaju uglovi ~etvorougla BCPM? Popuni tabelu kao {to je zapo~eto. ⱔC

ⱔP

ⱔM

ⱔB

prav b) Kojoj vrsti ~etvorouglova pripada ~etvorougao BCPM? Ako je ABC jednakokraki trougao, da li su du`i BM i CP jednake?

VRSTE TRAPEZA PRAVOUGLI TRAPEZ

AB || CD, AD ⬜ AB

Pravougli trapez je trapez ~iji je jedan krak normalan na osnovice.

JEDNAKOKRAKI TRAPEZ Jednakokraki trapez je trapez ~iji su kraci jednaki.

AB || CD, AD = BC

a || b

" Kojim su slovima obele`eni:

pravougli trapezi, jednakokraki trapezi i oni trapezi koji nisu ni pravougli ni jednakokraki?

93

# Dopuni crte` tako da dobije{ jednakokraki trapez ako je:

a) du` AB du`a osnovica

b) du` GE kra}a osnovica

v) du` MP krak.

$ Neka je ABC jednakokraki trougao (AC = BC). Neka prava s

sadr`i vrh C trougla i paralelna je pravoj AB. Neka je prava p paralelna kraku BC i s pravom AB ima zajedni~ku ta~ku D, a sa pravom s zajedni~ku ta~ku E. a) Da li je ~etvorougao BDEC paralelogram? b) Da li je trapez ADEC jednakokraki trapez? v) Da li su uglovi CAB i EDA jednaki? g) Da li su uglovi DEC i ACE jednaki?

SVOJSTVA JEDNAKOKRAKOG TRAPEZA – UGLOVI I DIJAGONALE • Uglovi jednakokrakog trapeza na jednoj osnovici su jednaki. ⱔDAB = ⱔCBA ⱔADC = ⱔBCD • Dijagonale jednakokrakog trapeza su jednake. Na osnovu podudarnosti trouglova ABD i BAC (SUS) sledi da su du`i AC i BD jednake. • Va`i i obrnuto. Trapez kod kojeg su uglovi na jednoj osnovici jednaki jeste jednakokraki trapez. Trapez kod kojeg su dijagonale jednake jeste jednakokraki trapez.

% Izra~unaj uglove jednakokrakog trapeza ako je α = 45°. & Zbir dva ugla jednakokrakog tapeza je 160°.

Izra~unaj uglove tog trapeza.

94

Da ti ka`em Koji su uglovi trapeza suplemenetni? Pogledaj tekst Svojstva trapeza na str. 91.

' Neka su DE i CF visine jednakokrakog trapeza.

a) Doka`i da su du`i AE i BF jednake. b) Ako je AB du`ine 6 cm i CD du`ine 4 cm, kolika je du`ina AE?

Da ti ka`em Doka`i podudarnost AED i BFC.

( Nacrtaj u kvadratnoj mre`i na papiru jednak okraki trapez,

kao na slici. Konstrui{i simetralu s osnovice a. Proveri da li je s simetrala i osnovice b. Ako trapez presavije{ po pravoj s, da li }e se temena A i B, C i D poklopiti?

JEDNAKOKRAKI TRAPEZ – OPISANA KRU@NICA SIMETRI^NOST JEDNAKOKRAKOG TRAPEZA Jednakokraki trapez je osnosimetri~ni ~etvorougao. Osa simetrije je simetrala osnovica.

JEDNAKOKRAKI TRAPEZ I KRU@NICA Oko jednakokrakog trapeza mo`e se opisati kru`nica. Simetrale oba kraka i simetrala osnovica seku se u jednoj ta~ki. Ta ta~ka je centar opisane kru`nice jednakokrakog trapeza.

Proveri {ta zna{ ! Nacrtaj pravougaonik ABCD i ta~ke E i F na stranici DC tako da je ta~ka E izme|u

ta~aka D i F i DE = FC. Doka`i da je ~etvorougao ABFE jednakokraki trapez. " Izra~unaj unutra{we uglove jednakokrakog trapeza ako je:

a) unutra{wi ugao 117°15’

b) spoqa{wi ugao 98°.

# Zbir dva ugla trapeza je 250°. Izra~unaj uglove trapeza ak o je on:

a) pravougli trapez

b) jednakokraki trapez.

95

• odre|enost trapeza • analiza zadatka • izvo|ewe konstrukcije

OSNOVNE KONSTRUKCIJE TRAPEZA

trapeza

! a) Date su paralelne prave a i b i ta~ke

A i B koje pripadaju pravoj a. Odaberi proizvoqne ta~ke C i D na pravoj b tako da dobije{ ~etvorougao ABCD. Kojoj vrsti ~etvrouglova pripada ~etvorougao ABCD?

b) Data je du` EF i ta~ka G. Nacrtaj pravu m, koja sadr`i ta~ku G i paralelna je sa EF. Nacrtaj kroz F proizvoqnu pravu p, koja nije paralelna sa EG. Zajedni~ku ta~ku pravih m i p obele`i sa S. Da li je ~etvorougao EFSG trapez?

b

a

A

B

G

E

F

ODRE\ENOST I KONSTRUKCIJA TRAPEZA Nacrtajmo dijagonale AC i BD trapeza ABCD. Posmatrajmo trouglove ABC i ABD. Za konstrukciju trougla ABD potrebna su tri wegova elementa. Ta~ke A, B i D istovremeno su i temena tra`enog trapeza. Ostaje da se konstrui{e ~etvrto teme C trapeza ABCD ili tre}e teme trougla ABC. Znamo da teme C pripada pravoj koja sadr`i ta~ku D i paralelna je pravoj AB. Potreban je jo{ jedan podatak o trapezu da bi ~etvrto, teme C, bilo odre|eno. To zna~i da je za konstrukciju trapeza ABCD potrebno znati jedan podatak vi{e nego za konstrukciju trougla ABD.

96

Podseti se Priseti se konstrukcije trouglova i pogledaj tekst Odre|enost trougla na strani 103 u prvoj kwizi.

P RIMER Konstrui{i trapez ako su osnovice 5 cm i 3 cm, a jedan krak 3 cm i ugao izme|u tog kraka i du`e osnovice 60°. • Analiza zadatka Pretpostavimo da je zadatak re{en. Neka je ABCD tra`eni trapez.

• Izvo|ewe konstrukcije Konstrui{emo trougao ABD.

Kroz teme D konstrui{emo pravu s, paralelnu stranici AB. Konstrui{imo ta~ku C na pravoj s tako da je DC du`ine 3 cm. Spajawem ta~aka B i C dobili smo trapez ABCD.

" Konstrui{i trapez ako je du`a osnovica 5 cm,

uglovi na woj 45° i 90° i kra}i krak 2 cm.

Da ti ka`em

Analiza

Ovaj trapez je pravougli trapez. Prvo konstrui{i pravougli trougao ABC.

97

P RIMER Konstrui{i trapez ako su osnovice 5 cm i 2 cm, a kraci 3 cm i 4 cm. • Analiza zadatka Pretpostavimo da je ABCD tra`eni trapez. Kada se kroz ta~ku D nacrta prava DE, paralelna sa BC, dobija se paralelogram EBCD. Kako su naspramne stranice paralelograma jednake, sledi da je EB du`ine 2 cm, odnosno AE du`ine 3 cm. • Izvo|ewe konstrukcije Konstrui{emo trougao AED.

Kroz teme D konstrui{imo pravu s, paralelnu stranici AB. Konstrui{emo ta~ku C na pravoj s tako da je DC du`ine 2 cm. Konstrui{emo pravu p kroz C, paralelnu sa DE. Prave p i AE odre|uju teme B.

# Konstrui{i jednakokraki trapez ako su osnovice 6 cm i 3 cm i krak 4 cm.

Jednakokraki trapez je odre|en ako su poznata tri razli~ita podatka o wemu. Isto va`i i za pravougli trapez.

98

$ Konstrui{i jednakokraki trapez ako su osnovice

du`ine 4 cm i 3 cm i dijagonala 5 cm. • Analiza

Da ti ka`em Prvo konstrui{i jednakokraki trougao AEC. Na pravoj AB odre|ujemo ta~ku E tako da je BE du`ine 3 cm. % Konstrui{i pravougli trapez ako je kra}a osnovica 3,5 cm,

kra}a dijagonala 4 cm i ugao 150°. • Analiza

Prvo konstrui{i trougao DBC.

& Nacrtaj tri nekolinearne ta~ke A, B i C.

Konstrui{i jednakokraki trapez ABCD ako je du` AB osnovica trapeza.

Ta~ke A, B i C su temena trapeza. To zna~i da su za konstrukciju trapeza dati osnovica AB, krak BC i ugao ABC.

Proveri {ta zna{ ! Konstrui{i trapez ako su dati ve}a osnovica 6 cm, kra}a dijagonala 5 cm

i uglovi 60° i 45°. " Konstrui{i jednakokraki trapez ako je mawa osnovica 2 cm, krak 3 cm i ugao 45°. # Konstrui{i pravougli trapez ako su:

a) kra}i krak 3 cm, o{tar ugao 45° i kra}a dijagonala 5 cm b) dijagonale 5 cm i 4 cm i du`a osnovica 4 cm.

99

• deltoid • susedne stranice

DELTOID ! Temenu B trougla ABC konstrui{i simetri~nu ta~ku D

u odnosu na pravu s. Nacrtaj ~etvorougao ABCD. Koje su stranice tog ~etvorougla jednake?

deltoida • dijagonale • osa simetrije • upisana kru`nica

Koji su uglovi tog ~etvorougla jednaki? Da li je prava s osa simetrije tog ~etvorougla?

DELTOID Deltoid je ~etvorougao koji ima dva para jednakih susednih stranica. Za deltoid ABCD na slici va`i: AB = AD i CB = CD. Kod deltoida razlikujemo dve vrste temena: • temena koja su zajedni~ke ta~ke jednakih stranica; za deltoid ABCD to su temena A i C. • temena koja su zajedni~ke ta~ke razli~itih stranica; za deltoid ABCD to su temena B i D. " Kojim su slovima obele`eni deltoidi na slici?

# Dopuni svaki crte` da bi se dobio delt oid ako su du`i:

a) AB i BC stranice

100

b) EM i PF dijagonale

v) KL stranica i LM dijagonala.

$ ^etvorougao ABCD na slici je deltoid. Zajedni~ka ta~ka dijagonala je ta~ka O.

a) Da li su trouglovi ACD i ACB podudarni? Napi{i parove odgovaraju}ih jednakih uglova. b) Da li su trouglovi ABO i ADO podudarni? Napi{i parove odgovaraju}ih jednakih stranica i uglova.

SVOJSTVA DELTOIDA Dijagonala deltoida koja spaja temena koja su zajedni~ke ta~ke jednakih stranica jeste simetrala druge dijagonale. Deltoid je osnosimetri~ni ~etvorougao. Osa simetrije je dijagonala koja spaja temena koja su zajedni~ke ta~ke jednakih stranica. Za deltoid ABCD osa simetrije je prava AC. Simetrale uglova deltoida seku se u jednoj ta~ki. U deltoid se mo`e upisati kru`nica. % Izra~unaj uglove deltoida na slici.

a)

b)

& Na slici je deltoid ABCD.

Konstrui{i upisanu kru`nicu.

Proveri {ta zna{ ! Izra~unaj uglove deltoida ako su uglovi izme|u jednakih stranica:

a) 45° i 120°

b) 100° i 110°

v) 80° i 72°.

" Nacrtaj jedan deltoid, pa mu upi{i kru`nicu. Koristi kvadratnu mre`u u svesci.

101

I TO JE MATEMATIKA Roxer Penrouz je 1973. godine pokazao da se od rombova prikazanih na slici mogu sastaviti razli~ite figure. Ti rombovi imaju uglove 72°, 108°, 72°, 108° i 36°, 144°, 36°, 144°. Ovi rombovi imaju nazive „zmaj“ i „s trela“.

„zmaj“

„strela“

Sa takvim rombovima mogu se napraviti oblici kao na slici.

! Koriste}i oblike „zmaja“ i „strele“ mo`e{ prekriti

ravnu povr{ ili napraviti razne figure kao na slikama.

a) Koliko osa simetrije ima svaka figura na slici? Nacrtaj ih. b) Koja figura je centralno simetri~na? " Izre`i od taweg kartona nekoliko

rombova, „zmajeva“ i „strela“ sastavi simetri~ne figure po svom izboru. Mo`e{ da koristi{ karton u boji da bi se dobile lep{e slik e.

102

Da ti ka`em Prvo nacrtaj mre`u koju ~ine ovi rombovi.

36°

72°

ZAPAMTI ^etvorougao Zbir spoqa{wih uglova α1 + β1 + γ1 + δ1 = 360°

Zbir unutra{wih uglova α + β + γ + δ = 360° Paralelogram ^etvorougao kod kojeg su naspramne stranice paralelne jeste paralelogram. • naspramne stranice su jednake

• naspramni uglovi su jednaki • susedni uglovi su suplementni

ROMB • stranice su jednake • dijagonale su simetrale uglova romba • dijagonale su normalne

PRAVOUGAONIK • uglovi su jednaki • dijagonale su jednake

• dijagonale se polove

KVADRAT • sve stranice i svi uglovi su jednaki • dijagonale su normalne, jednake i simetrale su uglova kvadrata

Trapez

Deltoid

^etvorougao koji ima samo jedan par paralelnih stranica je trapez.

^etvorougao sa dva para jednakih susednih stranica je deltoid. • dijagonale su normalne

• uglovi na jednom kraku su suplementni PRAVOUGLI TRAPEZ • jedan krak je normalan na osnovice

JEDNAKOKRAKI TRAPEZ • kraci su jednaki • uglovi na osnovici su jednaki • dijagonale su jednake

103

POVR[INA ^ETVOROUGLA I TROUGLA Iz ovog poglavqa nau~i}e{ da izra~una{ povr{inu: • paralelograma • trapeza • trougla • deltoida. Qudi su od davnih vremena imali po trebu da ne{to mere, na primer: dubinu reke, du`inu kopqa, visinu stene itd. Prve du`inske jedinice mere bile su povezane s qudskim telom: {irina prsta, {ake, du`ina stope, lakta, koraka itd. Kada je bilo potrebno izmeriti ve}e du`ine ili rastojawa, merne jedinice zasnivale su se na dometu strele ili na rastojawu koje se mo`e prepe{a~iti za jedan dan.

Prve sisteme mera stvorili su Grci i Egip}ani. U Egiptu je najva`nija jedinica za du`inu bio kraqevski lakat (0,524 metra). U anti~koj Gr~koj osnovna mera za du`inu naziva se pod (stopa). Wena du`ina zavisila je od grada u k ojem je nastala i varirala je izme|u 0,3083 i 0,2970 me tara. Veliki nedostatak tih sistema bio je u tome {to su se mere razlikovale od zemqe do zemqe ili ~ak od grada do grada.

Razlike u mernim jedinicama ote`avale su razmenu robe. Rimqani, koji su osvojili ceo tada poznati svet, prvi su uspeli da uvedu jedinstven sistem mera. Ovaj sistem mera ostao je u upotrebi i tokom ~itavog sredweg veka. S vremenom su se ponovo pojavile lokalne razlike, pa je, na primer, engleski palac (in~) iznosio 25,4 mm, dok je jedan be~ki palac (col) iznosio 27 mm. Daqi razvoj dru{tva i nauke, kao i sve razvijenija razmena dobara, name tnuo je nastanak dva najva`nija merna sistema, koja su i danas u upotrebi. To su anglosaksonski sistem, koji je nastao iz svih prethodnih sistema mera, i me|unarodni sistem ili SI sistem (Sisteme International), zasnovan na nau~noj osnovi i danas zas tupqen u celom svetu. Osnovna jedinica za du`inu u SI sistemu jeste metar, isprva definisan kao jedan ~etrdesetomilioniti deo meridijana koji prolazi kroz Pariz.

104

1, 2, 3, KRENI… ! Izrazi:

a) 4 m u centimetrima b) 4 dm u milimetrima v) 4 m u decimetrima g) 4 cm u milimetrima. " Ispod ta~nog tvr|ewa zaokru`i slovo ⳕ, a pored neta~nog ⬜.

2 cm = 0,2 dm ⳕ

⬜

20 dm = 0,2 m ⳕ

2 mm = 0,2 cm

⬜

ⳕ

2 cm = 0,02 mm

⬜

ⳕ

# Uobi~ajeno je da se veli~ina ekrana televizora ili monit ora

izra`ava du`inom dijagonale. Ako monitor ima 17 in~a, kolika je du`ina wegove dijagonale u centime trima? $ Izrazi:

⬜

2 mm = 0,02 dm ⳕ

⬜

Da ti ka`em 1 in = 2,54 cm Pogledaj tabelu u zbirci na strani 84.

5 a u kvadratnim kilometrima 5 dm2 u kvadratnim metrima 5 m2 u kvadratnim kilometrima 5 cm2 u kvadratnim decimetrima. % Povr{ina krila nevidqivog aviona F-117 iznosi 780 kvadratnih

stopa. Koliko je to kvadratnih metara?

1 kvadratna stopa ≈ 0,09 m2

& Povr{ina pravougaonika P = 72 cm2,

a stranica a = 12 cm. Izra~unaj stranicu b. ' Obim kvadrata je O = 92 cm.

Izra~unaj povr{inu kvadrata.

105

• povr{ina figure • jednakost povr{ina

POJAM POVR[INA RAVNIH FIGURA. JEDNAKOST POVR[INA

figura

! Na satelitskom snimku Zemqe

mo`e se uo~iti poqe oblika: a) trougla b) kvadrata v) deltoida g) pravougaonika d) trapeza Koji je odgovor ta~an?

POJAM POVR[INE Na slici u prethodnom primeru prikazan je deo Panonske nizije. Jasno vidimo me|e, to jest granice wiva i poqa. Wive i poqa su ome|eni da bi svaki vlasnik znao gde se nalaze granice wegovog poseda. Veli~ina svake wive ili poqa predstavqa wihovu povr{inu. Kao {to se poqa i wive razlikuju po obliku i veli~ini, tako i figure u ravni razlikujemo po obliku i veli~ini. Veli~ina figure u ravni predstavqa wenu povr{inu. " a) Kojim je brojem obele`en trougao

podudaran trouglu obojenom u crveno? b) Povr{ine podudarnih trouglova su: • razli~ite • jednake Zaokru`i ta~an odgovor.

# a) Na crte`u je prikazano kako se

razlagawem (rasecawem) kvadrata mo`e sastaviti trougao tako da wegova povr{ina bude jednaka povr{ini datog kvadrata. b) Na tawem kartonu nacrtaj kvadrat, raseci ga i sastavi delove tako da dobije{ pravougaonik povr{ine jednake datom kvadratu. Nacrtaj dobijeni pravougaonik.

106

1

2

3

4

JEDNAKOST POVR[INA Podudarne figure imaju jednake povr{ine. Ako se neka figura razlo`i na dve ili vi{e figura, onda je zbir povr{ina wenih delova jednak povr{ini te figure. $ Na tawem kartonu nacrtaj trougao podudaran

Da ti ka`em

datom. Raseci ga na dva dela i od dobijenih delova sastavi: a) kvadrat b) paralelogram.

Povr{ine trougla i kvadrata su jednake. Povr{ine trougla i paralelograma su jednake.

% Zaokru`i slovo ispred slike na kojoj trapez ABCD i trougao AED imaju jednake povr{ine.

a)

b)

v)

& U kvadratnoj mre`i nacrtaj trougao i

Zadatak ima vi{e re{ewa.

paralelogram tako da povr{ina svakog od wih bude jednaka povr{ini datog pravougaonika.

' Trougao ABC razlo`en je na dva trougla, ABD i ADC,

kao {to je prikazano na crte`u. Od tih trouglova mo`e{ da sas tavi{: a) pravougaonik b) paralelogram v) jednakokraki trougao ~ija je osnovica razli~ita od osnovice datog trougla. Nacrtaj ih u mre`i.

A

B

D

C

Proveri {ta zna{ ! Nacrtaj u kvadratnoj mre`i paralelogram. Wegovim razlagawem sas tavi pravougaonik. " Nacrtaj u kvadratnoj mre`i trougao. Wegovim razlagawem sas tavi trapez.

107

• jedinice mere

JEDINICE MERE ZA DU@INU I POVR[INU

za du`inu • jedinice mere za povr{inu

! Neka je povr{ina kvadrata obojenog u crveno 1.

Kolika je povr{ina svake figure u kvadratnoj mre`i?

Da ti ka`em U ovom zadatku za kvadrat obojen u crveno ka`emo da je jedini~ni kvadrat jer je izabran kao jedinica mere.

Povr{inu figure naj~e{}e ozna~avamo slovom P. Povr{ina figure je nenegativan broj, to jest P ≥ 0. Postoji figura ~ija je povr{ina 1.

JEDINICE MERE ZA DU@INU I POVR[INU Osnovna jedinica za du`inu je metar. Ozna~ava se latin~kim slovom m. U svakodnevnom `ivotu koristimo ve}e i mawe jedinice od me tra. Na primer: milimetrima izra`avamo debqinu mine za olovku, centimetrima visinu vodostaja na rekama, kilometrima rastojawe izme|u dva grada. Da bismo jedinice za du`inu pravilno k oristili, neophodno je da se podsetimo odnosa izme|u wih. ⋅ 10 1 mm

⋅ 10 1 cm

1 km = 1 000 m

⋅ 10 1 dm

⋅ 1000 1m

1 m = 10 dm

1 dm = 10 cm

1 m = 100 cm

1 dm = 100 mm

1 m = 1 000 mm

108

1 km 1 cm = 10 mm

{

1 dm

1 dm

{

Da ti ka`em

1 dm2

1 m2

Na osnovu ovih slika mo`e{ da zakqu~i{ kakav je odnos povr{ina korice tvoje kwige i veli~ine kvadrata povr{ine 1 m2.

1m

1m Osnovna jedinica za povr{inu je kvadratni me tar. Ozna~ava se m2. Kvadratni metar je povr{ina kvadrata stranice 1 m. Koristimo mawe i ve}e jedinice za povr{inu od kvadratnog me tra. Na primer, kvadratnim metrima izra`avamo povr{inu stana, arima povr{inu vrtova, kvadratnim kilometrima povr{inu dr`ava, a kvadratnim centimetrima povr{inu lista sveske. Podsetimo se nekih odnosa izme|u jedinica za povr{inu . ⋅ 100 1 mm2

⋅ 100 1 cm2

⋅ 100 1 dm2

1 km2 = 100 ha

⋅ 100 1 m2

1 ha = 100 a 1 ha = 10 000 m2

⋅ 100 1a

1 a = 100 m2

⋅ 100 1 ha

1 km2

1 m2 = 100 dm2 1 m2 = 10 000 cm2 1 m2 = 1 000 000 mm2

" Izrazi u metrima:

1 cm, 1 dm, 1 mm. # Izrazi u m2:

1 dm2, 1 cm2, 1 mm2. $ Petar je visok 180 cm. Kolika je wegova visina izra`ena u me trima?

a) 1,08 m

b) 1,8 m

v) 0,18 m

% Svoju visinu izrazi u:

a) metrima

b) decimetrima

v) centimetrima.

109

& Atleti~ar na treningu u proseku pretr~i 25 krugova po 400 m. Koliko kilometara

atleti~ar pretr~i u toku treninga? ' Povr{ina ekrana na monitoru Cecinog kompjutera je 540 cm2. Izrazi tu povr{inu u:

a) kvadratnim decimetrima

b) kvadratnim metrima.

( Stadion Marakana u Brazilu jedan je od najpoznatijih u sve tu. Povr{ina fudbalskog

terena u okviru tog stadiona je 8 250 m2. Izrazi tu povr{inu u arima. ) U prazno poqe upi{i

7 dm = 0,7 m

ⳕ ako je jednakost ta~na ili ⬜ ako je jednakost neta~na.

25 m = 0,25 km

440 cm = 4,4 dm

70 mm = 0,7 m

3 m = 0,003 km

* Nastavi da povezuje{ kao {to je zapo~eto.

4 km2

4 ha

4a

4 m2

4 dm2

4 cm2

40 000 mm2

40 000 a

400 mm2

400 dm2

400 m2

400 a

+ Izrazi:

a) 28 m2 u kvadratnim decimetrima b) 120 cm2 u kvadratnim metrima v) 960 mm2 u kvadratnim centimetrima g) 2 km2 u kvadratnim metrima.

Proveri {ta zna{ ! Izrazi u metrima:

25 mm

5 dm

17 cm

4 dm2

255 mm2

" Izrazi u m2:

75 cm2

110

• povr{ina

POVR[INA PRAVOUGAONIKA

pravougaonika • povr{ina kvadrata

! Pravougaonik sa slike razlo`i na jedini~ne

kvadrate povr{ine 1 cm2, kao {to je zapo~eto. D

C Da ti ka`em

A

B

Kada zapisuje{ du`inu du`i, obim, povr{inu, itd., ne zaboravi da pored mernog broja napi{e{ i jedinicu mere. Na primer: a = 3 cm, O = 154 cm, P = 18 dm2

Kolika je: a) du`ina stranice AB b) du`ina stranice BC v) povr{ina pravougaonika?

POVR[INA PRAVOUGAONIKA Izra~unajmo povr{inu pravougaonika stranica a = 4 cm i b = 3 cm. Pravougaonik razla`emo na dvanaest kvadrata stranice 1 cm. Povr{ina pravougaonika jednaka je zbiru povr{ina 12 takvih kvadrata, t o jest P = 12 cm2.

b = 3 cm

U jednom redu pravougaonika nalaze se 4 jedini~na kvadrata, a ceo pravougaonik sadr`i tri reda po ~etiri jedini~na kvadrata, pa zakqu~ujemo da povr{inu pravougaonika mo`emo izra~unati i ovako:

a = 4 cm

P = 4 cm ⋅ 3 cm P = 12 cm2

1 cm2

111

POVR[INA PRAVOUGAONIKA Povr{ina prvougaonika jednaka je proizvodu du`ina wegovih susednih stranica. P=a⋅b

Kvadrat je pravougaonik ~ije su sve s tranice iste du`ine. Povr{ina kvadrata je:

b a

a

P = a ⋅ a ili P = a2

a

" Izra~unaj povr{inu pravougaonika sa slike.

v)

b)

a) 40 mm

3 1 cm 2 70 mm

2,8 cm

3,5 cm

2 cm

# Izra~unaj povr{inu kvadrata ako je stranica:

a) a = 1,5 dm

b) a = 3 m. 4

$ Stranice pravougaonika su a = 12 cm i b = 1,5 dm.

Izra~unaj povr{inu pravougaonika.

Da ti ka`em Kada u tekstu pi{e stranica a, misli se na du`inu te stranice.

Kada ra~una{ povr{inu pravougaonika, neophodno je da stranice izrazi{ u istoj mernoj jedinici, to jest: a = 12 cm i b = 15 cm ili a = 1,2 dm i b = 1,5 dm

% a) Izra~unaj stranicu b pravougaonika ako je P = 60 cm2 i a = 12 cm.

b) Izra~unaj stranicu a pravougaonika ako je P = 7,2 dm2 i b = 30 cm.

112

Podseti se & Povr{ina pravougaonika je P = 48

cm2.

a) Izra~unaj stranicu b ako je a = 12 cm. b) Izra~unaj obim pravougaonika.

Obim pravougaonika O=a+b+a+b O=2⋅a+2⋅b O = 2 ⋅ (a + b)

a b

b a

a ' Obim kvadrata je O = 7,2 dm.

a) Izra~unaj stranicu kvadrata. b) Izra~unaj povr{inu kvadrata.

Obim kvadrata O=a+a+a+a O=4⋅a

b

a

b

a a

a a

a

a

a

a

( Obim kvadrata je 18 cm. Izra~unaj wegovu povr{inu.

Proveri {ta zna{ ! Izra~unaj povr{inu pravougaonika ako je a = 2,5 dm i b = 8 cm. " Izra~unaj povr{inu kvadrata ako je a =

1 dm. 2

# Izra~unaj povr{inu kvadrata ako je O = 32,8 cm. $ Izra~unaj obim pravougaonika ako je P = 240 cm2 i a = 1,5 dm.

113

• povr{ina

POVR[INA PARALELOGRAMA

paralelograma

! Kojim je brojem ozna~en

paralelogram ~ija je povr{ina jednaka povr{ini paralelograma obele`enog slovom A?

A 1

2

3

4

" Paralelogram u kvadratnoj mre`i razlo`en je na trougao i trapez kao

{to je prikazano na crte`u. Od tih figura sastavqen je pravougaonik.

Da ti ka`em Pogledaj stranu 107 i seti se kada su povr{ine figura jednake.

a) Kolika je povr{ina pravougaonika ako je povr{ina jedini~nog kvadrata 1 cm2? b) Kolika je povr{ina paralelograma?

POVR[INA PARALELOGRAMA Neka je ABCD proizvoqan paralelogram i du`i DD1 i CC1 wegove visine, {to zna~i da je D1C1CD pravougaonik. Trouglovi AD1D i C1BC podudarni su po pravilu SSU. Iz toga sledi da je AD1 = C1B. Zakqu~ujemo da je AB = C1D1.

D

Poka`imo da paralelogram ABCD i pravougaonik D1C1CD imaju jednake povr{ine. Du` DD1 razla`e paralelogram ABCD na trougao AD1D povr{ine P1 i trapez D1BCD povr{ine P2, a du` BC razla`e pravougaonik D1C1CD na trapez D1BCD povr{ine P2 i trougao BC1C povr{ine P1, pa zakqu~ujemo da paralelogram i pravougaonik imaju jednake povr{ine.

P1

A

D1

P2

Povr{ina pravougaonika jednaka je proizvodu du`ina susednih s tranica DC i DD1. Povr{ina paralelograma jednaka je istom proizvodu.

114

C

B

P2

C1

P1

POVR[INA PARALELOGRAMA Povr{ina paralelograma jednaka je proizvodu du`ina wegove stranice i odgovaraju}e visine.

P = a ⋅ ha

P = b ⋅ hb

# Izra~unaj povr{inu paralelograma na slici.

a) OVO JE BOZA!

b)

v)

Romb je paralelogram ~ije su sve s tranice jednake. Povr{ina romba je: P=a⋅h

$ Izra~unaj povr{inu romba ako je stranica a = 2 dm i visina ha = 8,2 cm.

1 2

% Izra~unaj povr{inu paralelograma ako je stranica b = 3 cm i visina hb = 1 dm. & Povr{ina paralelograma je P = 52 dm2, a stranica b = 10 dm. Kolika je visina hb?

Proveri {ta zna{ ! Izra~unaj povr{inu paralelograma ako je dato:

a) a = 5 cm, ha = 4,2 cm

b) b = 1,5 dm, hb = 4 cm.

1 cm. Izra~inaj visinu romba. 2 # Povr{ina paralelograma je P = 5,2 dm2, visina ha = 13 cm. Izra~unaj stranicu a paralelograma. " Povr{ina romba je P = 15 cm2, a stranica a = 2

115

• povr{ina

POVR[INA TROUGLA

trougla

! Ako je povr{ina jednog kvadrata u kvadratnoj mre`i 1 cm2:

a) kolika je povr{ina svakog ~etvorougla sa slike b) kolika je povr{ina svakog trougla sa slike?

POVR[INA TROUGLA Neka je ABCD proizvoqan paralelogram. Dijagonala BD razla`e paralelogram na dva trougla, ABD i CDB. Trouglovi ABD i CDB su podudarni po pravilu SSS. Kako podudarni trouglovi imaju jednake povr{ine, zakqu~ujemo da je povr{ina trougla jednaka polovini povr{ine paralelograma. Nau~ili smo da je povr{ina paralelograma jednaka proizvodu du`ina stranice AB i visine DE, pa je povr{ina trougla jednaka polovini tog proizvoda.

POVR[INA TROUGLA Povr{ina trougla jednaka je polovini proizvoda du`ina jedne wegove s tranice i odgovaraju}e visine.

P=

116

a ⋅ ha 2

P=

b ⋅ hb 2

P=

c ⋅ hc 2

" Izra~unaj povr{inu trougla na slici.

a)

b)

v)

# Izra~unaj povr{inu trougla ako su date du`ine stranice i odgovaraju}e visine.

a) a = 5 cm, ha = 2,4 cm

b) b = 8,8 dm, hb = 0,6 dm

v) c = 12,5 cm, hc = 44 mm

$ Izra~unaj povr{inu pravouglog trougla ako su date:

a) katete a = 0,7 dm i b = 12 cm b) hipotenuza c = 1 dm i visina koja odgovara hipotenuzi hc= 2,5 cm. Kod pravouglog trougla visina koja odgovara jednoj kateti jeste druga kateta, to jest b je ha.

P = a⋅b 2

b

c a

P RIMER Povr{ina trougla je P = 27 cm2. Kolika je visina ha ako je stranica a = 9 cm? 9 cm ⋅ ha = 27 cm2 2 (9 cm ⋅ ha) : 2 = 27 cm2 9 cm ⋅ ha = 2 ⋅ 27 cm2 9 cm ⋅ ha = 54 cm2 ha = 54 cm2 : 9 cm ha = 6 cm

Da ti ka`em re{avamo jedna~inu u kojoj je nepoznat deqenik 9 cm ⋅ ha

re{avamo jedna~inu u kojoj je nepoznat ~inilac ha

Razlomak mo`emo zapisati kao koli~nik:

9 cm ⋅ ha = (9 cm ⋅ ha ) : 2 2

% Povr{ina trougla je P = 42 cm2 i hb = 0,5 dm. Izra~unaj stranicu b. & Povr{ina pravouglog trougla je 900 mm2, a jedna kateta je 4,5 cm. Kolika je druga kateta?

Proveri {ta zna{ ! Izra~unaj povr{inu trougla ako je c = 15 cm, hc= 8 cm. " Izra~unaj povr{inu trougla ako je stranica 0,45 m i odgovaraju}a visina 20 cm. # Povr{ina pravouglog trougla je 56 cm2, a hipotenuza je 1,4 dm.

Izra~unaj visinu koja odgovara hipotenuzi.

117

• povr{ina

POVR[INA TRAPEZA !

trapeza

D

• Izra~unaj povr{inu ~etvorougla sa slike. • Nacrtani ~etvorougao je: a) pravougonik

b) kvadrat

C

v) romb

g) trapez

A

Zaokru`i slovo ispred ta~nog odgovora.

B

1 cm2

POVR[INA TRAPEZA Neka je ABCD proizvoqan trapez i ta~ka E sredi{te kraka BC. Prava DE se~e produ`etak osnovice AB u ta~ki F.

Trouglovi DEC i FEB su podudarni po pravilu USU. Poka`imo da trapez ABCD i trougao AFD imaju jednake povr{ine. Prava DF razla`e trapez ABCD na ~etvorougao ABED povr{ine P1 i trougao DEC povr{ine P2. Prava BC razla`e trougao AFD na ~etvorougao ABED povr{ine P1 i trougao FEB povr{ine P2, pa zakqu~ujemo da trapez i trougao imaju jednak e povr{ine.

Povr{ina trougla AFD jednaka je polovini proizvoda du`ina stranica AF i visine DD1. Iz podudarnosti trouglova DEC i FEB sledi: AF = AB + DC Povr{ina trapeza ra~una se tako {to se zbir du`ina osnovica trapeza pomno`i du`inom visine i dobijeni proizvod podeli brojem 2.

POVR[INA TRAPEZA Neka su a i b osnovice i h visina trapeza. Povr{ina trapeza je: P=

118

(a + b) ⋅ h 2

" Izra~unaj povr{inu trapeza sa slike.

a)

b)

v)

g)

# Izra~unaj povr{inu trapeza ako su poznate osnovice i visina.

a) a = 1 dm, b = 4 cm, h = 6 cm

b) a = 68 cm, b = 44 cm, h = 2,5 dm

$ Izra~unaj sredwu liniju i povr{inu

trapeza ako je: a) a = 15 cm, b = 7 cm i h = 5 cm b) a = 7 1 cm, b = 3,5 cm i h = 2,8 cm. 2

Da ti ka`em Sredwa linija trapeza paralelna je osnovicama i jednaka polovini zbira osnovica: m = a+b 2 Povr{inu trapeza mo`e{ izra~unati i na slede}i na~in: P=m⋅h

% Izra~unaj povr{inu trapeza sa slike.

Proveri {ta zna{ ! Izra~unaj povr{inu trapeza ako je:

a) a = 16 cm, b = 9 cm i h = 12 cm. b) a = 24 cm, b = 0,8 dm i h = 1,3 dm. " Izra~unaj povr{inu trapeza ako je sredwa

linija m = 12,5 cm i visina h = 8 cm.

119

• povr{ina

POVR[INA ^ETVOROUGLA S NORMALNIM DIJAGONALAMA ! Kolika je povr{ina ~etvorougla EFGH

na crte`u? Kolika je povr{ina ~etvorougla ABCD na crte`u?

C

D

E

G B

A

F 1 cm

b)

H

C

D

G B

}

E 1 cm

A

F

}

Dijagonale AC i DB ~etvorougla ABCD na crte`u pod a) i b) su: • paralelne • normalne • nisu ni paralelne ni normalne.

a) H

~etvorougla s normalnim dijagonalama

Koji je odgovor ta~an?

POVR[INA ^ETVOROUGLA S NORMALNIM DIJAGONALAMA Neka je ABCD proizvoqan ~etvorougao s normalnim dijagonalama AC i BD. Paralelogram SPQR odre|en je pravama koje sadr`e temena ~etvorougla ABCD i paralelne su wegovim dijagonalama. Paralelogram DOCS je pravougaonik jer ima jedan prav ugao, ugao kod temena O. Na isti na~in zakqu~ujemo da su paralelogrami COBR, DPAO, OAQB pravougaonici. Tako|e, paralelogram SPQR je pravougaonik.

Povr{ina ~etvorougla ABCD jednaka je polovini povr{ine pravougaonika SPQR. Povr{ina pravougaonika jednaka je proizvodu du`ina susednih stranica PQ i SP, pa je povr{ina ~etvorougla ABCD jednaka polovini tog proizvoda.

120

Da ti ka`em Ako je jedan ugao paralelograma prav, onda su svi uglovi pravi, to jest paralelogram je pravougaonik. Pogledaj zadatak 5 na strani 85.

POVR[INA ^ETVOROUGLA S NORMALNIM DIJAGONALAMA Povr{ina ~etvorougla s normalnim dijagonalama jednaka je polovini proizvoda du`ina wegovih dijagonala.

P=

d1 ⋅ d2 2

" Izra~unaj povr{inu ~etvorougla sa slike.

a) d1 = 4,8 cm, d2= 9,6 cm

b) d1 = 1,8 dm, d2 = 0,5 dm

Dijagonale romba seku se pod pravim uglom, pa povr{inu romba mo`e{ izra~unati i ovako:

P=

d1 ⋅ d2 2

v) d1 = 8,6 cm, d2 = 8,6 cm

Dijagonale kvadrata su jednake i seku se pod pravim uglom, pa povr{inu kvadrata mo`e{ izra~unati i ovako: 2 P= d 2

# Izra~unaj povr{inu:

a) deltoida, ako je d1 = 7 cm, d2= 6,4 cm b) romba, ako je d1 = 1,4 dm, d2 = 0,9 dm v) kvadrata, ako je d = 11 cm. $ Povr{ina deltoida je P = 42 cm2, a dijagonala d1 = 6 cm. Izra~unaj dijagonalu d2. % Povr{ina romba je 35,5 dm2, a jedna dijagonala je 5 dm. Izra~unaj drugu dijagonalu.

Proveri {ta zna{ ! Izra~unaj povr{inu deltoida ako je:

d1 = 52 mm, d2 = 1 dm. " Izra~unaj povr{inu deltoida ~ije su dijagonale d1 =

3 dm , d2 = 16 cm. 4

# Povr{ina deltoida je P = 20 cm2, a dijagonala d1 = 8 cm.

Izra~unaj dijagonalu d2.

121

I TO JE MATEMATIKA Tangram je drevna kineska igra – slagalica. K omplet za ovu igru sastoji se od sedam odvojenih geometrijskih figura koje se nazivaju tanovi. Ciq igre jeste da se slagawem svih sedam delova, bez preklapawa, formira silueta ~oveka, `ivotiwe ili nekog predmeta.

! Veliki kvadrat je podeqen na devet mawih

4 cm

kvadrata. Stranice dva mawa kvadrata su 2 cm i 4 cm, kao {to je obele`eno na slici. Izra~unaj obim i povr{inu velikog kvadrata.

2 cm

" Odredi odnos povr{ina:

a) trougla i kvadrata

b) paralelograma i kvadrata

# Odredi odnos povr{ina figura

obele`enih brojevima: a) 4 i 5 b) 2 i 4 v) 6 i 1

2 1

5 4 3

122

6

7

v) trapeza i kvadrata

ISTRA@IVA^KI ZADATAK Mo`da }e{ jednog dana po`eleti da svom ili nekom drugom psu iz susedstva napravi{ ku}icu sli~nu ovoj.

30 cm

60 cm

35 cm 70 cm

42 cm

120 cm 80 cm

U ovom zadatku predla`emo ti da napravi{ mak etu ku}ice za psa. • Na osnovu crte`a, na tawem kartonu nacrtaj delove od kojih se ku}ica sastoji, u razmeri 1 : 10. • Izra~unaj povr{inu makete ku}ice. • Pri isecawu delova ku}ice mora{ ostavqati rubove, pomo}u kojih }e{ lak{e zalepiti delove ku}ice, kao {to je prikazano na crte`u.

123

ZAPAMTI Povr{ina paralelograma

P = a ⋅ ha

Povr{ina trougla Povr{ina trougla jednaka je polovini povr{ine paralelograma.

P=

a ⋅ ha 2

Povr{ina pravougaonika Pravougaonik je pravougli paralelogram, to jest b = ha.

Povr{ina romba P=a⋅h

P=a⋅b

Dijagonale romba su normalne.

P= Povr{ina pravouglog trougla Povr{ina pravouglog trougla jednaka je polovini povr{ine pravougaonika.

P = a⋅b 2

Povr{ina kvadrata Kvadrat je pravougaonik ~ije su sve stranice jednake, to jest b = a. P=a⋅a

Povr{ina trapeza Povr{ina trapeza jednaka je povr{ini trougla ~ija je stranica a + b i visina jednaka visini trapeza. P=

124

(a + b ) ⋅ h 2

d1 ⋅ d2 2

Povr{ina deltoida Dijagonale deltoida su normalne.

P= Dijagonale kvadrata su normalne.

P = d⋅d 2

d1 ⋅ d2 2

REZULTATI I UPUTSTVA RACIONALNI BROJEVI

Skup racionalnih brojeva – strana 9

1, 2, 3 kreni… – strana 5

1. ∉, ∉, ∈, ∈, ∈, ∈ 2. NE, DA, NE, DA 3. a) 2 b) 0,34 v) –12,6 g) −7 1 3 9 8 8 4. a) − b) 0,6 v) g) –0,6 9 9 5. v) 6. v) 7. –3 i 6; 4 i − 8 ; –1,5 i 3 ; 9 i − 27; 0 i 0 2 5 2 2 10 3 8. − 3 = − 6 ; −2,6 = − 13 ; −1,1 = − 11; − 11 = −2,75; 5 10 5 10 4

1. 1 2 2. 54, 54 3. 11 5 4. a) 5. b) 6. v) 7. v) 8. b) 9. b) 10. b) 11. 2 1 2 12. a) 1 5

−0,3 = −

b) 0

Suprotan broj pozitivnom racionalnom broju. Skup racionalnih brojeva – skup Q – strana 6 1. v)

{

2. −

11 2 4 , − , −2 2 3 9

}

3. ∈, ∈, ∉, ∈, ∉, ∈ 4. a) − 5 , − 5 , − 2 1 , − 14 b) 2, 12 3 9 3 3 5 5. a) 6. − 6 , 5 , −2 5 , 1 11 3 9 6 7. v) 8. –1; 3; –0,5; −3 5 ; 12,45; 2 2 9 7 9. v) 10. a) 27 b) − 90 v) − 15 g) 0 3 3 3 3 11. 9 , − 101 , − 15 , − 17 10 100 4 8 Proveri {ta zna{ – strana 8 1. –0,05; −2 7 ; –101 9 2. –7; 25,7; − 24; –0,032; 3 2 ; − 5 5 5 9 3. Na primer: 2 2 , 4 , 1 1 3 2 2 4. Na primer: − 15, − 4 , −3 1 4 5 2 5. 3 , − 29, − 29 1 5 20

3 10

9. NE, DA, DA, NE, DA, NE 10. a) 3 b) − 12 v) − 4 , − 7 g) 4 , 7 2 5 2 7 5 8 8 1 5 11. b) − v) − g) = 4 2 2 3 racionalni brojevi 13. celi brojevi

3,7

3 1 5

prirodni brojevi

4 − 9

v) − 5 , 12 3 3

–2

56

15

12 17

0

14. Prirodni brojevi su racionalni brojevi. 15. v) Proveri {ta zna{ – strana 11 1. –10,2; 5 ; 1 7 ; 0,17; − 13 9 11 2 2. − 9 ; 100,7; 5 1 5 3 3. –5 ∈Z– –5; −2 3 ∈Q– 5 1 5 4. a) − b) − v) 3 4 10 7

4 ; 3,4; 53,8 ∈Q+ 7

Prikazivawe racionalnih brojeva na brojevnoj pravoj – strana 12 2. A(–1), B(3), C

()

3 ,D 4

3.

x 0

A

1

C

2

B

3

125

4. 2 < 11 < 3 , 1 < 3 < 2, 0 < 1 < 1 4 2 4 11 3 1 −3 < − < −2, −2 < − < −1, −1 < − < 0 4 2 4 5. b) Pro~itaj komentar na strani 16. v) −2 < −1 1 < −1, −1 < − 1 < 0, −4 < − 7 < −3 2 2 2 M 7. a) 0 1 2 –2 –1 b) R

–2

–1

0

1

2

0

1

2

v)

S

–2

–1

13. a) 3 2

b) − 1 5

Proveri {ta zna{ – strana 19 1. a) Za jedini~nu du` izaberi du` ~ija je du`ina deqiva sa 6. b) −2 1 , − 7 , − 1 , 2 , 2 , 1 1 v) − 7 , 1 1 3 6 3 6 3 6 6 6 1 5 6 2. a) b) 0 v) −3 g) − 3 6 5 Sabirawe i oduzimawe racionalnih brojeva – decimalni zapis – strana 20

Upore|ivawe racionalnih brojeva – strana 16

1. FIZIKA 2. b) –21,2 v) –5,04 g) –4,24 3. v) 4. a) 99,21 b) –90,44 v) –9,9 5. b) –1 v) –19,4 g) –1,6 6. 162,42 dinara 7. a) 2,7 b) 2,2 v) 10,95 g) –99,5 d) 2,2 8. 0,4; –2,8; –14,7; 0 9. –4,8 + 0,5 = –4,3; –4,8 + (–0,5) = –5,3; 4,8 + (–0,5) = 4,3 10. g) 11. 6; 9,62; –2,65; –23,2; 0 12. b) –2,7 v) –10 13. b) 14. a) 24,5 b) 0,5 v) –20 g) –0,1 15. –2,2 – 10,8 = –13; –20,6 – 7,4 = –28; –24,8 + 38 = 13,2; 45,9 – 59,1 = –13,2 16. 5,3; –0,56; –31,2; –7,6; 0,02 17. 9,266 km 18. –16,2°C 19. Temperatura u Novom Sadu je –6,2°C; u Subotici –8,8°C; u Zrewaninu –7°C; u Kragujevcu –3,6°C i Ni{u –3,2°C. 20. vrednost evra: 84,7585; 84,0138; 85,2808; 86,0474 a) 85,2808 b) u nedequ

1. a) u petak

Proveri {ta zna{ – strana 24

9. Pro~itaj tekst Prikazivawe racionalnih brojeva na brojevnoj pravoj na str. 13. 10. a) Pro~itaj tekst Prikazivawe racionalnih brojeva na brojevnoj pravoj na str. 13. b) 6 11. a) Pro~itaj tekst Prikazivawe racionalnih brojeva na brojevnoj pravoj na str. 13. b) Pro~itaj komentar na str. 12. 12. 1; 1,4; 1,4; 2 5 ; 34,7; 17 2 5 8 5 13. prvi red: ; –3,25; drugi red: –1,2; 3 2; 6 5 tre}i red: 1,2; 5 ; 3,25; 3 2 6 5 Proveri {ta zna{ – strana 15 1. a) Za jedini~nu du` mo`e{ da izabere{ du` du`ine 3 cm. b) B i D 2. 1 < 4 < 2 –1 < − 8 < 0 –7 < −6 1 < –6 3 9 2 4. a) 3,5; 8 b) 4 b) u ut orak 1 1 2. –2 < 1 0 > –4 − > –4 − < 0 2 2 3. b) –3; –1; 0; 3,5; 4 1 6 6 11 4. a) 0 > –22 b) 4 > 0 v) −1 < 1 g) 2 > − 2 7 7 4 3 7 7 1 5. b) , − , − 3 3 5 11 6. a) b) –1 v) –1,5 4 7. a) –2,3 < –1,9 b) –0,4 > –0,7 8. a) ⏐–1,5⏐ < ⏐–10,2⏐; –1,5 > –10,2 b) ⏐–1,2⏐ > ⏐–0,8⏐; –1,2 < –0,8 v) ⏐–4,8⏐ > ⏐–4,5⏐; –4,8 < –4,5 g) ⏐–7,35⏐ > ⏐–7,29⏐; –7,35 < –7,29 9. a) –251,01 < 0 b) –21,8 > –21,96 v) –0,359 > –0,395 10. DA, NE, NE, NE 11. v) 12. a) − 3 < − 5 b) −2 2 > − 17 v) −4 2 < − 29 4 8 3 5 5 7

126

1. a) 3,4 b) –1,2 v) 1,2 g) –3,4 2. a) 0 b) –19,8 v) 0 g) 224,6 3. a) 1,3 b) –13,81 v) –87,3 g) 27,5 Sabirawe i oduzimawe racionalnih brojeva a – zapis oblika – strana 25 b 1. b) 2. v) 12 3 3. a) 11 3 4. a) −12 5

g) −11 3 4 b) − 7

v) 1 3

g) −12 5 1 v) 3 2

b) −3 1 3 5. a) 4 b) 4 v) –6 7 1 6. b) − v) − 1 12 10 7. b)

8. a) − 1 b) 0 v) −2 1 g) 1 1 d) –1 2 2 2 9. a) − 5 b) 1 v) −5 5 g) –1 2 7 6 10. a) 7 b) –1 v) 3 g) −5 1 11 4 6 2 11. b) −1 v) 1 5 12. a) −11 b) –4 v) 5 1 g) 1 1 d) −2 11 3 2 6 12 5 4 13. a) − b) 6 5 11 14. a) −1 b) −5 1 v) 4 g) 7 d) 2 7 |) −5 14 8 12 2 10 15 15. a) 16. v) 17. 1 12 Proveri {ta zna{ – strana 27 1. a) 2 9 2. a) − 1 8 3. a) − 9 10

8 v) g) − 9 b) − 5 v) 19 30 6

8 9

b) − 2 9

g) −1 1 7

b) –1 v) −4 1 14

g) −117 24

d) −4 19 36

Svojstva operacije sabirawa – strana 28 1. prvi red: 3; 4,5

drugi red: –3,5; 0; ; 1 1 tre}i red: –4; − ; –1; 1 ~etvrti red: –2,5; 1; 1 ; 2 2 2 2 1 9 3 4 11 2. 0,6 + −2 = − + ; −2, 2 + 0,8 = + − ; 5 5 4 4 5 7 3. a) –1,9 b) 1 9 4. a), g) 5. a) 3 1 b) –5,5 v) 7 6 2 13 1 28 6. a) 2,2 b) v) − g) –4 8 45 7. da

( ) ( )

( )

Proveri {ta zna{ – strana 29 1. a) –2

b) 1,4

v) −4 1 8

g) –2

d) 2 3 8

|) –0,5

Jedna~ine u vezi sa sabirawem i oduzimawem – s trana 30 1. jedna~ina, izraz, jedna~ina, jedna~ina 2. v) 3. re{ewe jedna~ine 2 – x = 2 je broj 0; re{ewe jedna~ine x + 2 = –2 je broj –4; re{ewe jedna~ine x – 2 = 2 je broj 4 4. a) 5 b) –20 v) 9 g) –4 5. a) –63 b) –34 v) 12 g) 73 6. a) –6,5 b) 1 1 v) 2 g) −2 1 4 6

Proveri {ta zna{ – strana 31 1. a) –8, 11, 2

b) 21, 33, 12

v) −2 1 ; 2 1 ; 8, 2 6 4

I to je matematika – strana 32 1. Na primer: Andrej i Nikola po 3 pune i 3 prazne tegle i po jednu dopola punu teglu. Sr|an jednu punu i jednu praznu teglu i 5 dopola punih tegli. 2. 3 ⋅ 90 = 270 250 + 20 = 270 3. Nata je Vladi dala jednu ~okoladicu, Nikoli dve, a Ani ~etiri ~okoladice. Mno`ewe racionalnih brojeva – decimalni zapis – strana 34 1. g) 2. N, P, P, N 3. a) 55,08 b) –550,8 v) –55,08 g) 550,8 d) 55,08 |) 5,508 4. b) 5. prvi red: 98,23; 15,6; 4; –7,7; –0,02 drugi red: –982,3; –156; –40; 77; 0,2 6. a) –0,15 b) –0,56 v) 0,042 g) –4,4 d) 3,6 |) –0,08 7. a) 55,2 b) 5,822 v) 27,9 8. a) 0,0008 b) –0,00014 v) –0,00054 9. a) –0,18 b) 0,012 v) 0,055 10. a) 150 b) –7 200 v) –6 g) 530 11. a) 1,3 b) –0,784 v) 0 Proveri {ta zna{ – strana 36 1. a) –0,6 b) –0,6 v) –5,2 2. a) –2,07 b) 40,996 v) 1,56 g) –854,982 3. a) 4; –0,4 b) –2; 0,2 v) 0,22; –0,022 Mno`ewe racionalnih brojeva – zapis oblika

a – strana 37 b

1. b) 2. b) − 10 v) − 10 21 21 8 15 3. a) b) v) 1 27 32 4. a) 5 b) 28 v) 0 g) 8 2 3 5. a) 33 b) 2 v) 15 8 2 6. 1 , − 1 , 4 , –5, 1, –3 4 33 5 7. a) − 1 b) 2 6 Proveri {ta zna{ – strana 38 1. a) 5 2

b) –10 v) − 5 84 9 2. a) − b) –5 v) 49 4 20

g) 5 3

d) − 5 7

g) –25

127

Recipro~an racionalan broj. Deqewe racionalnih brojeva a – zapis – strana 45 b

3. a) 9, , − 1, 4 6 9 b) , , , v) 27, , , Svojstva operacije mno`ewa racionalnih brojeva – strana 39 1. a) 0 b) 0 v) 8,08 g) –1,293 d) –45,18 |) 0,009 2. a) –5,2 b) da, za mno`ewe u skupu Z va`e svojstva asocijacije i komutacije 3. a) 0,14 b) − 7 , − 4 100 5 91 4. a) –9 b) − v) 8 15 5. a) 6. a) m = 0 b) m = –1 v) m = 0 7. –37 8. a) 1 b) − 3 10 16 9. a) 9 b) –16 10. 12,5 l 11. 21 km 12. a) − 9 b) 16,29 v) –1,97 11 13. a) –13,5 b) 9 v) –2,25 14. a) –4 b) –2 v) 1 g) –0,8 Proveri {ta zna{ – strana 41 b) − 7 v) 2,8 8 2. a) –8,5 b) 10,2 v) –1,2 3. a) –1 b) 5 3

Proveri {ta zna{ – strana 47

1. a) 0

g) –19,2

Deqewe racionalnih brojeva – decimalni zapis – s trana 42 1. 1,85 m 2. –54 : 18 = –3; –64 : (–16) = 4; 72 : (–18) = –4 3. a) –0,345 b) 0,14 v) 3,14 4. a) –0,75 b) –2,88 5. 1,3333… ≈ 1,3 6. b) –50 v) –460 7. –0,66; 66; –0,36; 3,6; –360 8. a) 0,07 b) –50,5 v) –320 g) 1,68 9. a) Proveri {ta zna{ – strana 44 1. a) –3,9 b) 4,85 v) –0,02 g) –0,024 d) –0,02 |) –0,0018 e) 0,5 `) –0,25 z) –0,04 i) 0,4 j) –1,25 k) –0,3 2. a) 0,5 b) –5 v) 50 g) –5 000 3. a) –2,9 b) –0,4 v) 580 g) –23,2 d) 0,008 |) –200 e) 12,55 `) –0,06

128

1. a) 1, 1, 1, 1 b) da 2. g) 3. b) 4. − 8, − 7, − 1, − 2 9 2 5 3 5. b) 6. Brojevi 1 i –1 recipro~ni su sami sebi. Broj 0 nema recipro~an broj. 0 7. 11, − 10 , − 1 , 100, − 11 11 11 11 12 8. 20 9. b) − 4 v) − 2 15 3 4 10. b) 7 v) − 3 5 11. a) − b) 1 v) − 1 26 36 5 12. v) 13. a) − 3 b) 8 v) 3 5 2 4 14. a) –16 b) v) − 7 3 4

1. 7 , − 1, 10 , − 35, − 10 , 7 , –1, –4 5 4 3 12 69 24 3 100 2. a) − , ,− 1, 1 3 2 26 38 b) 63 , –6, 26 16 19 v) − 18 , 3 , –6 25 2 Jedna~ine oblika a ⋅ x = b, x : a = b – strana 49 1. b) 2. a) x = 3 b) a = –3 v) s = 8 3. a) –3 b) 20 v) –20 4. a) 5. a) –66 b) –6 v) − 8 5 2 6. a) − b) –1,12 v) 2 g) –64,8 5 3 Proveri {ta zna{ – strana 50 1. a) − 5 b) 81 v) 4 9 8 2. a) –0,625 b) –2,8 v) 6,5 Jedna~ine oblika a : x = b – strana 51 1. b) v) t = –71 2. a) a = 3 b)

b) − 36 25 1 4. a) − b) − 8 30 7 3. a) –4

Proveri {ta zna{ – strana 57

v) 5

1. a) x > 9 5 2. a) x ≥ 1 2

Proveri {ta zna{ – strana 51 1. a) − 10 b) –0,625 3 1 g) d) –1,4 2

v) − 12 49

b) x < 1,4

v) x > –3

b) x < 1 5

Nejedna~ine oblika x : a > b, x : a < b – strana 58 1. v)

Jedna~ine oblika a ⋅ x + b = c – strana 52 1. v) 2. da b) –0,6 4. a) − 5 3 5. a) 18 b) –4,4 v) –4 6. –7 Proveri {ta zna{ – strana 53 1. 2,4 2. a) 1,3 b) 17 v) –27,75 42 3. nije

2. x ≥ 3 3. x < 3 4. da 5. a) x ≤ –7

b) x > –6 6. –2

Nejedna~ine oblika a ⋅ x > b, a ⋅ x < b – strana 54 1. v) 2. x > 10 3 3. a) x > –3

8. a) x ≥ –2 b) x ≤ 2,4 9. 1, 2, 3 10. x : 2 < 4 i x < 8, x : (–2) < 4 i x > –8, x : 2 > 4 i x > 8, x : (–2) > 4 i x < –8

b) x < –4

Proveri {ta zna{ – strana 61 1. x < 5 000 2. a) x ≥ –2,8

v) x > − 25 4

g) x ≥ 3

b) x < –8,4

v) x ≥ 2 3

d) x < –8

Nejedna~ine oblika a ⋅ x + b > c, a ⋅ x + b < c – strana 62

5. 4x > 8

4x < 8

1. v) 2. –1; –2,5; –2 3. 1, 2, 3 4. a) x > –6 b) x < − 13 3

–4x > 8

6. a) x < 5 7. –x ≤ 1 8. a) x ≤ –4

b) x ≥ –15

–4x < 8

b) x > –3

v) x < –4

5. x ≤ 1 6. a) x < 1 b) x < –2 v) x ≤ –2 7. a) x < 0,2 b) x ≤ − 3 8

v) x ≤ –2

129

Proveri {ta zna{ – strana 63

Proveri {ta zna{ – strana 73

1. –1, –3

2. a) PQ

2. a) x < 4 5 3. –1

b) x ≥ 13 4

v) x ≥ 1 10

Zbir unutra{wih uglova ~etvorougla. Zbir spoqa{wih uglova ~etvorougla – strana 74

Procenat – strana 64 1. a) 1 b) 3 v) 1 4 2 4 87 9 2. a) 3 b) 1 v) 21 g) d) 100 10 100 100 100 3. a) 11% b) 75% v) 34% 4. a) 9% b) 3% v) 25% d) 40% 5. a) 60% b) 25% v) 90% d) 150% 6. a) 90% b) 40% v) 150% d) 48,5% 7. a) 27%, 33% b) kamilicom v) kantarionom 1 1 d) 3 8. a) 1 b) 3 v) g) 20 4 4 2 200 9. v) 10. a) 37,5% b) 43,75% 11. 25% 12. a) 13. a) 0,75 b) 9 000 v) 1 900 d) 1,2 14. 30 kg 15. 450 g

|) 19 100

Proveri {ta zna{ – strana 66 1. 50%; 75%; 120%; 62,5% 2. 13%; 120%; 7%; 1,25%; 0,4% 3. 1, 7 , 225 = 9 , 33 5 50 1000 40 400 4. a) 51,2 b) 375 v) 6,4 I to je matematika – strana 66 1. v) 96 ^ETVOROUGAO 1, 2, 3, kreni… – strana 69 1. v) 2. ϕ = 152° 3. b), g), d) 4. SUS 5. b) 6. S – centar upisane kru`nice, H – ortocentar, O – centar opisane kru`nice, T – te`i{te ^etvorougao. Elementi ~etvorougla – strana 70 1. a) B, G, D, \, @, I b) B, G, \, @, I v) D 4. v) 6. ABGH, MNCD, ACDB, PMEF 7. ⱔCDE, ⱔDEF, ⱔEFC 8. MQ i PS 9. ~etvorougao RSMP 11. 䊐ABCD, 䊐ABDE, 䊐ABCE, 䊐BCDE, 䊐ACDE

130

b) Susedna temena su S i Q, a naspramno teme je R.

4. a) α = 60° b) α = 76° 5. ⱔA = 55°, ⱔC = 50° 7. a) ϕ = 90° b) 56°, 80°, 90°, 134° 8. γ = 157°, α = 53° 9. a) γ = 112°, α1 = 102°, β1 = 75°, δ = 65°, δ1 = 115° b) β = 145°, γ = 84°, δ1 = 60°, α = 11°, α1 = 169° Proveri {ta zna{ – strana 76 1. Pogledaj zadatak 4, str. 75. 2. Pogledaj zadatak 7, str. 76. Pojam centralne simetrije – strana 77 1. da, ne, da, da 2. v) 5.

6. Ta~ki A centralnosimetri~na ta~ka u odnosu na sredi{te S jeste ta~ka B, i obrnuto. Svaka du` je centralnosimetri~na u odnosu na sredi{te. 7. H, S, N, O Vrste ~etvorougla. Paralelogram – strana 80 1. kvadrat, da 2. prvi red: B, V; drugi red: A, \, E; tre}i red: D, G 3. paralelogram: EGFC, trapezi: BGFC i EGDC 5. ⱔE = ⱔG, ⱔF = ⱔH, EF = HG, EH = FG 6. 33°, 147°, 33°, 147° 7. Kako je zbir dva uzastopna spoqa{wa ugla uvek jednak 180°, to zna~i da je zbir naspramnih spoqa{wih uglova jednak 120°. Kako su oni jednaki, zna~i da je svaki 60°. 8. ⱔA = 50°, ⱔB = 130°, ⱔC = 50°, ⱔD = 130° 9. da Proveri {ta zna{ – strana 83 1. Pogledaj zadatak 5 na str. 82. 2. Pogledaj zadatak 6 na str. 82. 3. Pogledaj zadatak 7 na str. 82. Vrste paralelograma, romb, pravougaonik, kvadrat – strana 84 1. Da. Naspramne stranice dobijenog ~etvorougla su jednake. Uglovi ~etvorougla su: 130°, 50°, 130°, 50°. 2. b) da, da 3. Unutra{wi uglovi romba su: 80°, 100°, 80°, 100°. 4. Unutra{wi uglovi romba su: 40°, 140°, 40°, 140°. 5. Ako je jedan ugao paralelograma prav, onda je i naspramni ugao prav. Druga dva ugla su jednaka i tak o|e prava. 6. Primenom pravila SUS doka`i podudarnost trouglova ABC i BAD. 7. a) Centar opisane kru`nice je presek dijagonala pravougaonika, a polupre~nik je jednak polovini dijagonale.

b) Centar upisane kru`nice je presek dijagonala kvadrata, a polupre~nik je jednak polovini s tranice. Proveri {ta zna{ – strana 86 1. 2α = 150°20’, α = 75°10’, β = 104°50’ 2. Nacrtaj dijagonale pravougaonika. Wihov presek je centar opisane kru`nice. 3. Presek dijagonala je centar upisane i opisane kru`nice. Konstrukcija paralelograma – 87 1. da, da 2. Konstrui{i prvo trougao ABC, a zatim primeni postupak iz re{enog primera na str. 87. 3. Prvo konstrui{i jednakokraki trougao ~iji su kraci po 4 cm i osnovica 6 cm. 4. Prvo konstrui{i du`i du`ina 4 cm i 6 cm, koje se polove pod pravim uglom. Proveri {ta zna{ – strana 89 1. Pogledaj re{en primer na str. 87. 2. Pogledaj re{en primer na str. 88. 3. Prvo konstrui{i pravougli trougao ~ija je hipotenuza 6 cm i jedna kateta 4 cm. 4. Jednakokraki trougao ~iji su kraci 4 cm i ugao izme|u wih 60° jeste jednakostrani~ni trougao, pa prvo wega konstrui{i. Trapez. Svojstva trapeza. Sredwa linija trapeza – strana 90 1. A, G, \, E 2. trapezima, trapezima 4. a) α = 40°, β = 110°, γ = 70°, δ = 140° b) suplementni su: α i δ, β i γ 5. β = 50°, δ = 108° 7. a) da 9. α = 60°, β = 35°, γ = 145°, δ = 120° Proveri {ta zna{ – strana 92 1. b) 6 2. Uglovi na dugoj osnovici su 113° i 86°. Vrste trapeza. Jednakokraki trapez – strana 93 1. a) trapezima, tabela: prav, tup, o{tar b) trapezima, da 2. pravougli trapezi: B, G, \ jednakokraki trapezi: A, D ni pravougli, ni jednakokraki: V, E 4. a) da b) da v) da g) da 5. 45°, 45°, 135°, 135° 6. Uglovi na jednom kraku jednakokrakog trapeza su suplementni. Zbir dva ugla na jednoj osnovici je 160°, {to zna~i da je jedan ugao na osnovici 80°. Prema t ome, uglovi trapeza su: 80°, 80°, 100°, 100°. 7. a) Primeni pravilo SSU da doka`e{ da su trouglovi AED i BFC podudarni. b) (6 cm – 4 cm) : 2 = 1 cm. Du`ina du`i AE je 1 cm. 8. da

Proveri {ta zna{ – strana 95 1. Primeni pravilo SUS da doka`e{ da su trouglovi AED i BFC podudarni. 2. a) 62°45’, 62°45’, 117°15’, 117°15’ b) 98°, 98°, 82°, 82° 3. a) 90°, 90°, 20°, 160° b) 125°, 125°, 55°, 55° Osnovne konstrukcije trapeza – strana 96 1. a) trapezima ili paralelogramima b) jes te 3. Primeni postupak iz re{enog primera na str. 98. Proveri {ta zna{ – strana 99 1. Nacrtaj du` AB du`ine 6 cm. Konstrui{i sa iste strane du`i AB uglove ⱔxAB = 60° i ⱔABy = 45°. Kra}a dijagonala je naspram maweg ugla na osnovici. 2. Prvo konstrui{i trougao stranica 3 cm i 2 cm i ugao izme|u wih 180° – 45° = 135°. 3. a) Prvo konstrui{i pravougli trougao ~ija je jedna kateta 3 cm i o{tar ugao 45°. b) Prvo konstrui{i pravougli trougao ~ija je hipotenuza 5 cm i jedna kateta 4 cm. Deltoid – strana 100 1. AB = AD, BC = CD, ⱔB = ⱔD, jeste 2. G, E, @ 4. a) Trouglovi ACD i ACB su podudarni po pravilu SSS, ⱔABC = ⱔADC, ⱔCAB = ⱔCAD, ⱔBCA = ⱔDCA. 5. a) δ = 112°, γ = 106° b) β = 128°, δ = 128° 6. Nacrtaj simetrale dva unutra{wa ugla. Ta~ka wihovog preseka je centar upisane kru`nice. Proveri {ta zna{ – strana 101 1. a) 97°30’ b) 75° v) 104° 2. Pogledaj zadatak 3 na str. 100 i zadatak 6 na s tr. 101. POVR[INA TROUGLA I ^ETVOROUGLA 1,2,3, kreni… – strana 105 1. a) 400 cm b) 400 mm v) 40 dm g) 40 mm 2. ⳕ, ⬜, ⳕ, ⬜, ⳕ 3. 43,18 cm 4. a) 0,0005 km2 b) 0,05 m2 v) 0,000005 km2; g) 0,05 dm2 5. 70,2 m2 6. 6 cm 7. 529 cm2 Pojam povr{ina ravnih figura. Jednakost povr{ina – strana 106 1. a), g), d) 2. a) 2 b) jednak e 5. b)

131

6.

Povr{ina trougla – strana 116

7.

1. a) 8 cm2; 16 cm2; 15 cm2; 24 cm2 b) 4 cm2; 8 cm2; 7,5 cm2; 12 cm2 2. a) 90 cm2 b) 25,5 cm2 v) 9 cm2 3. a) 6 cm2 b) 2,64 dm2 v) 2 750 mm2 4. a) 42 cm2 b) 12,5 cm2 5. 16,8 cm 6. 40 mm

A

B

D

C

Proveri {ta zna{ – strana 117

Jedinice mere za du`inu i povr{inu – s trana 108 1. 7 6 8 8 2. 0,01 m 0,1 m 0,001 m 3. 0,01 m2 0,0001 m2 0,000001 m2 4. b) 6. 10 km 7. a) 5,4 dm2 b) 0,054 m2 8. 82,5 a 9. ⳕ, ⬜, ⬜, ⬜, ⳕ 10. 4 km2 = 40 000 a 4 ha = 400 a 4 m2 = 400 dm2 4 dm2 = 40 000 mm2 4 cm2 = 400 mm2 11. a) 2 800 b) 0,012 v) 9,6 g) 2 000 000

1. 60 cm2 2. 450 cm2 3. 8 cm Povr{ina trapeza – strana 118 1.12 cm2 g) 2. a) 144 cm2 b) 111 cm2 v) 14,25 cm2 3. a) 42 cm2 b) 1 400 cm2 4. a) P = 55 cm2 b) P = 15,4 cm2 5. 59,4 dm2

g) 98,7 cm2

Proveri {ta zna{ – strana 119

Proveri {ta zna{ – strana 110

1. a) 150 cm2 2. 100 cm2

1. 0,025 m 0,5 m 0,17 m 2. 0,0075 m2 0,04 m2 0,000255 m2

Povr{ina ~etvorougla s normalnim dijagonalama – strana 120

Povr{ina pravougaonika – strana 111

1. EFGH: a) 42 b) 48 ABCD: a) 21 b) 24 Dijagonale ~etvorougla ABCD su normalne. 2. a) 23,04 cm2 b) 0,45 dm2 v) 36,98 cm2 3. a) 22,4 cm2 b) 0,63 dm2 v) 60,5 cm2 4. 14 cm 5. 14,2 dm

2. a) 2 800 mm2 3. a) 2,25 dm2

b) 7 cm2 b) 9 m2 16

v) 9,8 cm2

4. 180 cm2 5. a) 5 cm b) 2,4 dm 6. a) 4 cm b) 32 cm 7. a) 1,8 dm b) 3,24 dm2 8. 81 cm2 4

b) 208 cm2

Proveri {ta zna{ – strana 121

Proveri {ta zna{ – strana 113 1. 200 cm2 2. 1 dm2 4 3. 67,24 cm2 4. 62 cm

1. 0,26 dm2 2. 60 cm2 3. 5 cm I to je matematika – strana 122 1. O = 56 cm P = 196 cm2 2. a) 1 : 4 b) 1 : 8 v) 3 : 16

Povr{ina paralelograma – strana 114 1. 2 2. a) 28 cm2 b) 28 cm2 3. a) 37,5 cm2 b) 15 cm2 4. 164 cm2 5. 35 cm2 6. 5,2 dm

v) 7,56 cm2

Proveri {ta zna{ – strana 115 1. 21 cm2 2. 6 cm 3. 4 dm

132

b) 60 cm2

3. a) 2 : 1

b) 2 : 1

v) 1 : 2

SADR@AJ [ta sadr`i ova kwiga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 RACIONALNI BROJEVI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1, 2, 3, kreni ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Suprotan broj pozitivnom racionalnom broju. Skup racionalnih brojeva – skup Q . . . . . . . . . . . . . . 6 Skup racionalnih brojeva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Prikazivawe racionalnih brojeva na brojevnoj pravoj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Upore\ivawe racionalnih brojeva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Sabirawe i oduzimawe racionalnih brojeva – decimalni zapis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Sabirawe i oduzimawe racionalnih brojeva – zapis oblika a– . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 b Svojstva operacije sabirawa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Jedna~ine u vezi sa sabirawem i oduzimawem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 I to je matematika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Zapamti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Mno`ewe racionalnih brojeva – decimalni zapis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 Mno`ewe racionalnih brojeva – zapis oblika a– . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 b Svojstva operacije mno`ewa racionalnih brojeva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 Deqewe racionalnih brojeva – decimalni zapis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Recipro~an racionalan broj. Deqewe racionalnih brojeva – zapis oblika a– . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 b Istra`iva~ki zadatak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 Jedna~ine oblika a ⋅ x = b, x : a = b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 Jedna~ine oblika a : x = b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 Jedna~ine oblika a ⋅ x + b = c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 Nejedna~ine oblika a ⋅ x > b, a ⋅ x < b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 Nejedna~ine oblika x : a > b, x : a < b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 Nejedna~ine oblika a ⋅ x + b > c, a ⋅ x + b < c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 Procenat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 I to je matematika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 Zapamti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 ^ETVOROUGAO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 1, 2, 3, kreni ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 ^etvorougao. Elementi ~etvorougla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 Zbir unutra{wih uglova ~etvorougla. Zbir spoqa{wih uglova ~etvorougla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 Pojam centralne simetrije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 Vrste ~etvorouglova. Paralelogram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 Vrste paralelograma – romb, pravougaonik, kvadrat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 Konstrukcija paralelograma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 Trapez. Svojstva trapeza. Sredwa linija trapeza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 Vrste trapeza. Jednakokraki trapez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

133

Osnovne konstrukcije trapeza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 Deltoid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 I to je matematika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 Zapamti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 POVR[INA ^ETVOROUGLA I TROUGLA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 1, 2, 3, kreni ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 Pojam povr{ina ravnih figura. Jednakost povr{ina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 Jedinice mere za du`inu i povr{inu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 Povr{ina pravougaonika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 Povr{ina paralelograma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 Povr{ina trougla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 Povr{ina trapeza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 Povr{ina ~etvorougla s normalnim dijagonalama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 I to je matematika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 Istra`iva~ki zadatak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 Zapamti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 REZULTATI I UPUTSTVA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

MATEMATIKA

uxbenik za {esti razred osnovne {kole – 2. deo prvo izdawe autori Mirjana Stojsavqevi}-Radovanovi}, Qiqana Vukovi}, Jagoda Ran~i}, Zorica Jon~i} ilustrovao Du{an Pavli} recenzenti dr Zorana Lu`anin, redovni profesor, Prirodno-matemati~ki fakulte t u Novom Sadu dr Zoran Lu~i}, vanredni profesor, Matemati~ki fakulte t u Beogradu dr Dragica Pavlovi}-Babi}, docent, Filozofski fakultet u Beogradu Gordana Nikoli}, profesor, O[ „ Du{ko Radovi}“ u Beogradu Vesna Stanojevi}, nastavnik, O[ „ 1300 kaplara“ u Beogradu urednik Svjetlana Petrovi} lektor Ivana Igwatovi} grafi~ko oblikovawe Du{an Pavli} priprema za {tampu Qiqana Pavkov izdava~ Kreativni centar Gradi{tanska 8 Beograd Tel./faks: 011/ 38 20 464, 38 20 483, 24 40 659 www.kreativnicentar.rs

za izdava~a mr Qiqana Marinkovi} {tampa Publikum tira` 7.000 copyright © Kreativni centar 2010 CIP – Katalogizacija u publikaciji Narodna biblioteka Srbije, Beograd 37.016:51(075.2) MATEMATIKA : uxbenik za {esti razred osnovne {kole. #Deo #2 / Mirjana Stojsavqevi}-Radovanovi} … [i dr.] ; [ilustrovao Du{an Pavli}]. – 1. izd. – Beograd : Kreativni centar, 2010 (Beograd : Publikum). – 133 str. : ilustr. ; 27 cm. – (Kreativna {kola) Tira` 7.000. ISBN 978-86-7781-787-9 1. Stojsavqevi}-Radovanovi}, Mirjana [autor] COBISS.SR-ID 177628684

Ministar prosvete Republike Srbije odobrio je izdavawe i upotrebu ovog uxbenika u okviru uxbeni~kog kompleta za matematiku u {estom razredu osnovne {kole re{ewem broj 650-02-00190/2010-06 od 22. 07. 2010.