Uchile Flotación de Minerales

Reactivos Espumantes

Espumantes Son reactivos orgánicos de carácter héteropolar, análogos a los colectores iónicos en su estructura. Su diferencia radica en el carácter del grupo polar que en los colectores es activo para reaccionar con la superficie de los minerales, mientras que en los espumantes es un grupo con gran afinidad por el agua (OH-). Permiten la formación de una espuma estable y burbujas de tamaño apropiado (pequeño) para llevar los minerales al concentrado.

Polar

Apolar

Espumantes FÓRMULA

ESPUMANTE

Ácidos, aminas y alcoholes son los espumantes más usados.

Metil isobutil carbinol MIBC

CH 3

CH

CH 2

OH

CH 3

(alcohol alifático )

OH

Terpin ol (aceite de pino) CH 3

Los poliglicoles generan espumas más estables que los alcoholes y en general son considerados espumantes fuertes.

CH 3

CH

C

CH 3 CH 3

(alcohol aromático )

CH 3

Cresol (ácido cresílico )

OH

CH 3

(alcohol aromático )

Éter poliopropinel glicol (éter poliglicólico )

CH 3

(O

C 3 H 6 )n

OH

Espumantes MIBC (metil isobutil carbinol): espumante más utilizado en la industria. Su bajo peso molecular hace que sea muy volátil, i.e., tiende a evaporarse.

Dowfroth-250 (éter poliglicólico): su mayor peso molecular lo hace menos volátil que el MIBC. Genera una espuma muy estable debido a que favorece el arrastre de agua.

Espumantes

No todos los espumantes presentan la estructura clásica “cabeza polar – cola apolar” de los alcoholes. El F150 por ejemplo (polipropilen glicol, Flottec) tiene grupos OH en sus dos extremos.

H(C3H6O)7OH

Tensión superficial para distintos espumantes

Tensión superficial, mN/m

Pentanol y MIBC reducen muy poco la tensión superficial. Dowfroth 250 y F150, de diferente estructura y mayor peso molecular, la reducen considerablemente.

Concentración de espumante, mmol/L

Tensión superficial para distintos espumantes

Tensión superficial, mN/m

Como regla general se puede esperar que para un mismo grupo polar, el efecto en la tensión superficial va a depender del largo de la cola apolar.

Concentración de espumante, mmol/L

Tensión superficial dinámica

Prevención de coalescencia

Coalescencia de burbujas en agua sin espumante. Imágenes cada 1 ms.

Burbujas rebotando, sin coalescencia, en agua con espumante (DF 250). Imágenes cada 2 ms.

Coalescencia La coalescencia es el proceso por el cual dos o más burbujas se juntan para generar una nueva burbuja de volumen mayor. Esta ocurre en tres pasos: colisión, adelgazamiento del film líquido y ruptura. 1. Las burbujas entran en contacto en la fase líquida. Las superficies en contacto se aplanan atrapando un film líquido entre ellas de un espesor inicial del orden de 10-3 - 10-4 cm. Este paso está controlado por la hidrodinámica del líquido. 2. El film debe adelgazarse hasta aproximadamente 10-6 cm. El tiempo de contacto entre burbujas debe ser mayor al tiempo necesario para llegar a este espesor para que la coalescencia ocurra. Este paso está controlado por la hidrodinámica del film atrapado entre las burbujas. 3. Cuando el film es lo suficientemente delgado se rompe dando paso a la generación de una nueva burbuja (coalescencia). Este paso es rápido comparado a los otros dos.

Los espumantes, en sus dosis típicas, no afectan el potencial zeta de las burbujas (carga). La prevención de coalescencia entonces no se puede atribuir a repulsiones electrostáticas.

Potencial Zeta, mV

Potencial Zeta

Potencial Zeta para diferentes espumantes (20 ppm)

Elmahdy et al., 2008

Prevención de coalescencia

Los espumantes actúan retardando el adelgazamiento del film entre burbujas en contacto, previniendo así la coalescencia (paso 2). Mecanismos: • Elasticidad de Gibbs • Efecto Marangoni • Viscosidad superficial

Prevención de coalescencia Elasticidad de Gibbs La elasticidad de Gibbs es la habilidad del film líquido para ajustar su tensión superficial en un momento de stress:

æ dg ö ÷÷ E = çç è d ln A ø

Al estirar una pelicula (film) de líquido, la concentración superficial de espumante decrece, por lo tanto la tensión superficial aumenta, lo que hace más difícil seguir estirando dicha película. La elasticidad de Gibbs no es exclusiva de sistemas con espumante. También está presente en soluciones con sales.

Prevención de coalescencia Efecto Marangoni

Pentanol

F-150 (Polipropilen glicol)

Gradientes en tensión superficial son contrarrestados por un flujo de líquido que tiende a restaurar la condición inicial.

Prevención de coalescencia Viscosidad superficial La estructura molecular de los espumantes (grupo OH) les permite generar puentes de hidrógeno con las moléculas de agua, produciendo un “ordenamiento local” de agua en torno a la burbuja. Esto aumenta la viscosidad de la película asociada a la burbuja. En el caso del film atrapado entre dos burbujas prontas a coalescer, el aumento en la viscosidad retardaría su drenaje y adelgazamiento.

Prevención de coalescencia

Dowfroth 250 Finch et al. 2008

Concentración Crítica de Coalescencia (CCC) Concentración de espumante a la cual la reducción de tamaño de burbuja se hace asintótica a un valor mínimo producto de la reducción de coalescencia en el sistema. Por sobre esta concentración las burbujas pueden reducir un poco más su tamaño debido a ruptura.

Grau et al. 2005

Espumante y tamaño de burbuja

Agua

Contenido de gas, %

Tamaño de burbuja, mm

Espumante y contenido de aire

Concentración de espumante, mmol/L Espumante: MIBC. Prueba realizada en columna de laboratorio con un inyector de aire poroso. Azgomi et al. 2007

Efecto de la sal sobre el tamaño de burbuja

Correspondencia entre sal (NaCl) y espumante (MIBC)

Contenido de gas (%)

MIBC (ppm)

NaCl (M)

Ruptura de burbujas

La prevención de coalescencia no es el único mecanismo para generar burbujas de tamaño pequeño. Producto de los niveles de turbulencia en una celda de flotación se puede presentar ruptura de burbujas.

Ruptura de una burbuja. Imágenes tomadas cada 1 ms.

Espumante y película de agua asociada a la burbuja

Esp.

Jw (cm/s)

δ (nm)

MIBC:

0.18

Ti

L

Tiempo de inducción

Colisión Partícula penetra film líquido

Adhesión

Probabilidad de adhesión: tamaño de partícula

Adhesión

Ti

20

Tiempo de inducción

no hay adhesión

50

DP, µm

Probabilidad de adhesión: hidrofobicidad

Ti aumenta al tener partículas más hidrofílicas, i.e., al agregar depresante

Ti

20 Ti disminuye al tener partículas más hidrofóbicas, i.e., al agregar colector

50

DP, µm

Tiempo de inducción Se puede aumentar la adhesión de partículas gruesas al aumentar su hidrofobicidad

Recuperación por fracción de tamaño, %

Control de la hidrofobicidad: adición de colector

80

60

[X]

40

Calcocina 20 Trahar, Int. J. Miner. Process. 8: 289-327, 1981

2

5

10

20

50 100 200

Tamaño de partícula, µm

500 1000

Actividad

¿Qué debe ocurrir para que el agregado partícula-burbuja llegue al concentrado?

Derivar una expresión para calcular el diámetro mínimo de burbuja que sea capaz de llevar al concentrado N partículas de igual tamaño.

Factor de forma volumétrico:

Volumen aV = d3

Estabilización y levante Estabilización Una vez que la partícula se ha adherido a la burbuja, la unión debe mantenerse en el tiempo para que se produzca la flotación. Para esto el agregado partícula-burbuja no se debe romper y la burbuja debe ser capaz de levantar la partícula hasta el concentrado.

Levante Para que exista ascenso de una burbuja cargada con partículas, se debe cumplir que la densidad conjunta del agregado burbuja – partículas sea menor que la del líquido en que se encuentran. Para el caso general de una burbuja en contacto con NP partículas, el tamaño mínimo de la burbuja para que el conjunto burbuja - partículas pueda ascender es:

é 6 N p aV db ³ d p ê ë p

æ r s öù çç - 1÷÷ú è rl øû

1

3

Levante de una partícula Para el caso particular de una burbuja en contacto con una partícula (NP = 1) esférica (αV = p/6), el tamaño mínimo de la burbuja, para que el agregado partícula-burbuja pueda ascender es:

æ rs ö d b ³ d p çç - 1÷÷ è rl ø

1

3

¿Cuál es el tamaño mínimo de burbuja para flotar una partícula de calcopirita de tamaño 200 μm? Densidad: 4,2 g/cm3

db

dp

Probabilidad de flotación

La probabilidad de que una partícula sea colectada por una burbuja y llegue a la fase espuma (concentrado) se conoce como probabilidad de flotación (PF) y se puede expresar en función de las probabilidades de colisión, adhesión y estabilización.

PF = PC × PA × PE

PF representa la probabilidad de recuperar el mineral de interés desde la pulpa y está relacionada con la tasa de flotación k, (constante cinética de flotación o velocidad de flotación).

Cinética de flotación, k La cinética de flotación puede ser representada, de modo análogo a las ecuaciones de cinética química, por la ecuación diferencial ordinaria:

d CP n m = k C P CB dt

CP y CB son las concentraciones de partículas y burbujas respectivamente. t es el tiempo de flotación. nym son los respectivos órdenes de la ecuación diferencial.

Si el suministro de aire es constante, los cambios en la concentración de burbujas son despreciables, i.e., CB es constante. Si se considera además una cinética de primer orden (n = 1), se tiene la siguiente expresión:

d CP = k CP dt

Cinética de flotación batch Esta expresión se puede re-escribir en términos de la masa de mineral presente en la celda de flotación:

dM =kM dt donde k es la constante cinética de primer orden

La ecuación se puede resolver considerando las siguientes condiciones de borde:

M = M 0 para t = 0 M = M t para t = t

Cinética de flotación batch Solución en términos de M Integrando entre M0 y Mt, 0 y t: Mt

t

dM òM M = - k ò0 dt 0

Þ

Mt ln = -kt M0

Mt = exp ( - k t ) M0

Cinética de flotación batch Solución en términos de la recuperación R Sea M la masa que se ha retirado como concentrado:

M0 = M + Mt

M Mt 1= + M0 M0

Mt Þ 1= R + M0

Mt R =1M0

R = 1 - exp (- k t )

Cinética de flotación batch Recuperación a tiempo infinito Se deduce que para un tiempo t à ∞ se tendría que Mt = 0, lo que significaría que todas las partículas que contienen la especie de interés deberían flotar. Esto no se logra ya que por más que se flote siempre permanece en la celda un acantidad M∞ de finos. Para corregir este aspecto, la ecuación cinética se debe corregir:

Mt - M¥ = exp ( - k t ) M0 - M¥ o en términos de la recuperación:

R = R¥ (1 - exp ( - k t ))

Cinética de flotación batch

Se tiene entonces la expresión cinética de flotación batch:

R = R¥ (1 - exp ( - k t )) donde k es la constante cinética de flotación de primer orden de la especie o elemento de interés (min-1) y R∞ es la recuperación a tiempo infinito (máxima recuperación obtenible de la especie o elemento de interés, para las condiciones de flotación dadas). Esta ecuación se puede utilizar para determinar los parámetros cinéticos de cada especie presente en el mineral.

Prueba de flotación batch

La mayor parte de las pruebas de laboratorio se desarrollan en celdas de flotación batch, donde se flotan muestras de entre 0,5 a 2 kg. La prueba recibe el nombre de batch ya que no se alimenta mineral continuamente. Las celdas son agitadas mecánicamente y el aire se introduce a través de una tubería hueca que rodea al impeler.

Prueba de flotación batch

Auto aspirante vs. Aire forzado Celdas auto aspirantes: el aire que ingresa a la celda está controlado por la acción del impeler y una válvula de admisión. Celdas con aire forzado: operan conectadas a una fuente de aire externa (compresor). En este caso el flujo de aire debe ser controlado con un medidor-controlador de flujo (rotámetro).

Prueba de flotación batch Condiciones requeridas: • Agitación intensa para mantener las partículas en suspensión.

• Tiempo de acondicionamiento de 1 – 5 min, con agitación, reactivos y con/sin aire. • Patrón de remoción de espuma estandarizado, a intervalos predefinidos, para garantizar reproducibilidad de los resultados.

• Es recomendable realizar las pruebas con agua industrial. • Se debe controlar el pH y medir la temperatura a la que se realizan las pruebas. • El nivel de la pulpa se debe controlar agregando agua de reposición a igual pH y concentración de espumante que el agua de la celda.

• En algunos casos se agregan reactivos en avance.

Determinación de parámetros cinéticos Para establecer los parámetros cinéticos k y R∞, de un mineral, se realizan pruebas de flotación batch en las que se colecta concentrados parciales a diferentes tiempos (t1, t2, t3…), los que son pesados y caracterizados por ley del elemento de interés. Con los resultados obtenidos se calcula la recuperación para cada tiempo (r1, r2, r3…) y la recuperación acumulada en el tiempo (R(t)). Reactivos Alimentación Concentrado

aire

t1

t2

t3

t4

r1

r2

r3

r4

Tiempo, t

t

R(t ) = å ri i =1

Determinación de parámetros cinéticos

Recuperación acumulada, R

Con estos datos se puede construir el gráfico de recuperación (acumulada) en el tiempo R4 = r1 + r2 + r3 + r4

R1 = r1

i=4

T1 = t1

Tiempo acumulado, T

T4 = ∑ ti

Determinación gráfica de parámetros cinéticos Al graficar los valores experimentales en coordenadas semi-logarítmicas, cono se muestra en la figura, se obtiene una recta de pendiente -k. 1 0

1

2

3

4

5

1-R

k = 0.88 min-1

0,1

0,01

Tiempo (min)

Ambos parámetros (K y R∞) pueden ser determinados simultáneamente utilizando planillas de cálculo, utilizando minimización de errores cuadráticos (SOLVER).

Modificaciones al modelo: fracciones rápida y lenta

1

1-R/Rinf

Rápido + Lento 0.1

Lento

0.01

0.001 0

5

10

Tiempo, min

15

20

Modificaciones al modelo: fracciones rápida y lenta En vez de considerar sólo un mineral que flota con una constante cinética k, se consideran dos fracciones: rápida y lenta. Se tiene entonces una fracción rápida θr con una constante cinética kr y una fracción lenta θl con una constante cinética kl. La recuperación global se calcula del siguiente modo:

R = Jr ( 1 - exp ( - k r t )) + Jl ( 1 - exp ( - kl t ))

Jr + Jl = 1 ( ó R¥ )

Ajuste con modelo simple y modificado

Recuperación, %

100 80 60

Datos Experimentales

40

Fracciones Rapida-Lenta

20

Primer Orden

0 0

5

10

15

Tiempo, min

20

25

Modelo general La expresión anterior sugiere que se puede tener una distribución de constantes cinéticas de flotación. En términos másicos, se podría escribir entonces la siguiente expresión general:

M = M0

km

ò f (k ) exp( - k t ) dk 0

Donde f(k) es la distribución de constantes cinéticas con un valor máximo igual a km.

Frecuencia, f(k)

Frecuencia, f(k)

Distribución de constantes cinéticas

k Constante cinética, k Una constante cinética representa toda la fracción flotable

kl kr Constante cinética, k Dos fracciones flotables representadas cada una por una constante cinética

Modelo de Klimpel Klimpel extiende las dos fracciones (rápida-lenta) a infinitas fracciones flotables, todas de igual magnitud, cada una con su propia constante cinética.

Frecuencia, f(k)

Supuesto: f(k) es rectangular con valores entre 0 y km

f (k ) × k m = 1

Area = 1 km

Constante cinética, k

1 f (k ) = km

Modelo de Klimpel

M = Mo

km

ò 0

1 f (k ) exp( - k t ) dk = km

km

ò exp( - k t ) dk 0

1 é 1 æ 1 öù = ê çç exp( - k m t ) - ÷÷ú km ë - t è - t øû =

1 km t

( 1 - exp(- km t ))

Modelo de Klimpel

æ 1 ö R = 1 - çç ÷÷ ( 1 - exp(- k t )) èktø

é æ 1 ö ù R = R¥ ê 1 - çç ÷÷ (1 - exp(- k t ))ú ë èktø û

Este modelo es muy usado ya que ajusta bien los datos experimentales en la parte final de la curva.

La constante cinética de Klimpel no puede ser determinada gráficamente. Se debe utilizar algún método de ajuste de parámetros.

Ajuste con modelo de primer orden simple y Klimpel

Recuperación, %

100 80

k primer orden: 0,66 min-1

60

k Klimel: 1,58 min-1

40

Experimental 1er Orden

20

Klimpel 0 0

5

10

Tiempo, min

15

20

Determinación del tiempo óptimo de flotación ¿A qué tiempo se optimiza el desempeño de la operación? Al graficar el incremento de ley en el tiempo (tiempo incremental promedio) se puede inferir una respuesta 100

Ley (% Pb)

80

60

40

Ley de cabeza

20

0 0

5

10

Tiempo (mins)

15

20

Determinación del tiempo óptimo de flotación

Se observa que a tiempos > ~ 4 mins todo lo que se agrega al concentrado tiene ley inferior a la ley de alimentación. Se podría argumentar que aportar incrementos de menor ley que la alimentación no es concentración sino dilución Este argumento permite definir un tiempo óptimo de flotación ~ 4 mins. Si ahora se grafica la diferencia de recuperación (ΔR) entre el mineral de interés (Pb en este caso) y la ganga, i.e., (RPb – Rg) se aprecia un máximo al mismo tiempo.

Determinación del tiempo óptimo de flotación

Ley (%Pb)

100

80

Máx (RPb – Rg) 60

(RPb – Rg) (%)

40

Ley de alimentación

20

0 0

5

10

15

20

Tiempo (mins)

Basado en estas observaciones: ¿se puede definir una eficiencia técnica?

Eficiencia técnica de separación, SE La eficiencia técnica de separación se puede definir como la diferencia de recuperación de los minerales a separar. En el ejemplo SE corresponde a la diferencia entre la recuperación del mineral de plomo y la ganga (todo lo demás)

SE = RA - RB donde RA = recuperación del mineral A (e.g., mineral de plomo) y RB = recuperación del mineral B (e.g., ganga)

Eficiencia técnica de separación, SE La eficiencia de separación SE es máxima cuando la ley de lo que agrego al concentrado es igual a la ley de alimentación o cuando RA – RB es máxima.

(RPb – Rg) (%)

Ley (%Pb)

100

80

Máx (RPb – Rg) 60

40

Ley de alimentación

20

0 0

5

10

Tiempo (mins)

15

20

Balances de Masa Solución de balances y reconciliación de data

Recuperación de etapas consecutivas

Demuestre que si tiene dos etapas consecutivas con recuperaciones R1 y R2 la recuperación total es igual a

R = R1 R2

R1

R2

Recuperación de etapas en paralelo

Si tiene dos etapas en paralelo con recuperaciones R1 y R2 la recuperación total es igual al promedio ponderado (por flujos másicos) de ambas recuperaciones

R1

R2

Recuperación de un circuito con recirculación Calcular la ley y recuperación de cobre para el siguiente diagrama de flujo. Considere sólo dos especies: calcopirita y ganga.

R1 Ley de calcopirita: 5% R1 especie interés: 90% R2 especie interés: 60%

R2

R1 ganga: 20% R2 ganga: 10%

Recuperación de un circuito con recirculación Derivar una expresión analítica para la recuperación global en el diagrama de la figura. R1

R2

R1 R2 R= 1 - R1 + R1 R2

Reconciliación de datos experimentales Datos medidos y balances de masa Si los datos medidos tienen error se puede esperar que los balances de masa no cierren. Incluso si se pudiera medir el valor real de cada variable en el proceso, los balances de masa no cerrarían debido a la variabilidad en la operación. Para poder cerrar los balances, la planta tiene que estar operando en estado estacionario (equilibrio), lo cual es difícil de obtener. En el mejor caso la planta oscila en torno a un punto de equilibrio debido a variaciones en la alimentación y a la variabilidad propia de los sistemas de control, lo cual genera “ruido” en las mediciones.

Reconciliación de datos experimentales

• • • • •

Muestreo Balances de masa Reconciliación de data Diseño experimental Optimización del proceso

Reconciliación de datos experimentales Definición: La reconciliación de data corresponde al ajuste de datos experimentales sujeto a que se cumplan las restricciones impuestas por las ecuaciones de balance de masa. Los datos reconciliados deben parecerse tanto como sea posible a los datos medidos.

Reconciliación de datos experimentales Determine la recuperación en peso para la celda de la figura

Gs: 100 t/h

Gs: 85 t/h

Cu: 1,0 %

Cu: 0,2 %

Fe: 2,0 %

Gs: 10 t/h

Fe: 1,2 %

Cu: 8,5 % Fe: 10,5 %

¿Cuál es el resultado correcto?

Por cobre: 9,6% Por fierro: 8,6% Por flujos: 10%

Reconciliación de datos experimentales Datos experimentales deben ser: • • • •

Consistentes (reproducibles) Coherentes (entra = sale, i.e., balanceados) No sesgados Redundantes

Mientras más redundante es la información, mejor es el balance obtenido

Reconciliación de datos experimentales Fuentes de error en los datos medidos (experimentales) • • •

Error aleatorio asociado a la reproducibilidad Error sistemático que entrega datos sesgados Error accidental

xmedido = xreal + emedición

Reconciliación de datos experimentales Error de medición N

xmedido =

åx i =1

i medido

N

e ®0 Error aleatorio

N

=

å (x i =1

real

+ ei medición ) N

= xreal + e

e = sesgo ¹ 0 Error sistemático

Reconciliación de datos experimentales Desviación estándar

μ El error aleatorio tiene una distribución normal

1s

-¥

+¥ 68,26% 95,44% 99,74%

Reconciliación de datos experimentales Desviación estándar y relativa (error %) Desviación estándar

é êå σ x = ê i =1 ê êë N

(xi - x )

2

N -1

ù ú ú ú úû

0.5

Pero la desviación estándar de la medición es igual a la desviación estándar del error de medición

La desviación estándar relativa (error %) se puede escribir como

σ x = σe σ Rx

σx = 100 x

Reconciliación de datos experimentales Propiedades de la desviación estándar (error) Las varianzas (y no las desviaciones estándar) son aditivas

σ = åσ 2

2 i

i

El error de una medición se descompone en error de muestreo y error de análisis (e.g., análisis químico)

æç = σ R medición è

σ

+ σ R análisis ö÷ R muestreo ø

2

2

1

2

Reconciliación de datos experimentales Ejemplo de cálculo Si se sabe que la ley de plata en la alimentación es igual a 15 ppm y que los errores relativos de muestreo y análisis son 3% y 5% respectivamente. ¿Cuál es la desviación estándar que se le debe asignar a la ley reportada?

(

σ R medición = 3 + 5 2

2

)

1

2

= 5,83%

5,83 σ medición = 15 × 100 = ± 0,87 ppm Ag

Reconciliación de datos experimentales Método de reconciliación de data y ajuste de balances El procedimiento consiste en la minimización de una función objetivo sujeta a que se cumplan las ecuaciones de balance de masa, i.e., minimización de función sujeta a restricciones (e.g., multiplicadores de Lagrange)

No todo set de datos se puede reconciliar. Estos deben ser razonablemente buenos ya que de lo contrario se tiene que: Datos malos à Mal ajuste

Reconciliación de datos experimentales Reconciliación de data por minimización de función objetivo La función objetivo se construye a partir de dos sumatorias: la primera considera los cuadrados de las diferencias entre los datos medidos (x^i) y los datos reconciliados (xi), ponderadas por algún factor de peso (ki); la segunda sumatoria incluye las ecuaciones de balance evaluadas con los datos reconciliados. Las ecuaciones de balance deben ser escritas de modo tal que su resultado sea igual a cero.

f = å ki ( xi - xˆi ) + å Balance(xˆi ) 2

i

j

Reconciliación de datos experimentales Reconciliación de data con Solver En el caso de utilizar la herramienta Solver de Excel, se puede minimizar la función objetivo:

f = å ki ( xi - xˆi )2 i

incorporando las ecuaciones de balance como restricciones.

Reconciliación de datos experimentales Determinación de factores de peso (ki) La solución obtenida al utilizar los distintos métodos depende en gran medida de los factores de peso (ki) utilizados. Esto se conoce como “modelo de error” (error model) y da cuenta de qué tan confiable es cada uno de los datos medidos disponibles.

Una buena elección puede ser utilizar el inverso de la varianza (desviación estándar al cuadrado) como factor de peso

Reconciliación de datos experimentales Determinación de factores de peso (ki) Cada factor de peso ki se escribe entonces como 2

æ 100 ö 1 ç ÷ ki = ç = 2 ÷ x σ σ x ,i è i Rx ,i ø y la función a minimizar es la siguiente:

f =å i

1 σ x ,i

2 ˆ × (xi - xi ) + å Balance (xˆi ) 2 j

Reconciliación de datos experimentales Solver (Excel) Función a minimizar:

f = å ki ( xi - xˆi )

2

i

Valores a encontrar:

xˆi Ecuaciones de balance evaluadas con los datos reconciliados:

Balance ( xˆi )

Reconciliación de datos experimentales Ejemplo de ajuste de balances (Solver) Determine la recuperación de cobre para la celda de la figura Gs: 100 t/h

Gs: 85 t/h

Cu: 1,0 %

Cu: 0,2 %

Fe: 2,0 %

Gs: 10 t/h

Fe: 1,2 %

Cu: 8,5 % Fe: 10,5 %

Suponga que las leyes de cobre y fierro se conocen con una precisión de 2,5 y 3% (relativa) respectivamente y que los flujos son más difíciles de determinar, por lo tanto tienen un error relativo de 5%

Cinética: desde batch a continuo

Las pruebas batch de laboratorio representan una herramienta para el estudio de la cinética de flotación, además de servir para probar reactivos y condiciones de operación. La planta, a diferencia de la prueba batch, opera en continuo, i.e., tiene un flujo continuo de alimentación, concentrado y relave. Es necesario entonces extender el análisis cinético al caso continuo.

Analogía entre planta y cinética batch En planta se tiene celdas conectadas en serie. El relave de una celda alimenta la celda siguiente como se describe en la figura.

i 2

n

Relave

3 C4

Celda 1 Alimentación

C1

Para el análisis se debe considerar la recuperación acumulada a lo largo del banco.

Recuperación acumulada en planta A medida que se avanza en el número de celda, la recuperación acumulada aumenta.

Recuperación, %

100 80 60 40 20 0 0

1

2

3

4

5

6

7

8

Número de celda

Notar que al avanzar en el número de celda también se está aumentando el tiempo de flotación.

9

Recuperación acumulada en planta Si la pulpa demora 2 minutos en pasar por cada celda, se puede construir un gráfico cinético análogo al de la cinética batch.

100

Recuperación, %

El tiempo que demora en pasar la pulpa por cada celda se denomina tiempo medio de residencia (τ)

80 60 40 20

Tiempo, min 2

0 0

1

4 2

6

8 3

4

10

12

14

5

6

7

Número de celda

16 8

18 9

Tiempo medio de residencia, τ Corresponde al tiempo que demoran, en promedio, las partículas en pasar por la celda. Si se tiene una celda con volumen útil (V), que descarga un flujo volumétrico de pulpa (QT), el tiempo medio de residencia (τ) se expresa del siguiente modo

V t= QT

τ expresado en términos del volumen de celda y flujo volumétrico de relave.

τ también se puede expresar en función de la cantidad de sólidos presentes en la celda (H, holdup de sólidos) y el flujo másico de sólidos en el relave (GST) Notar que τ tiene unidades de tiempo

H t= GST

Diferencias entre cinética batch y en continuo La cinética en continuo se puede representar del mismo modo que la cinética batch, sin embargo se deben considerar las siguientes diferencias: • La ley de las especies no cambia en la celda operada de modo continuo (estado estacionario), sino que cambia a lo largo del banco. • El tiempo de residencia para todo el relave en la celda batch es igual al tiempo de flotación (reactor flujo pistón) mientras que en la celda continua el relave permanece en la celda por un tiempo promedio igual al tiempo de residencia, i.e., algunas partículas de relave dejan la celda en t < τ y otras en t > τ.

Diferencias: flujo pistón vs. perfectamente agitado Trazador, concentración inicial CI

1

Reactor de volumen V

Medición de la concentración de trazador a la salida del reactor, C Flujo volumétrico, Q

0.8

Perfectamente Agitado C = CI exp(- t/τ) donde τ = V/Q

0.6

C/CI

Fracción de trazador remanente,

Flujo Pistón

0.4

0.2

0 0

0.5

1

1.5

t/τ

2

2.5

Diferencias: flujo pistón vs. perfectamente agitado

Estos dos tipos de mezclamiento corresponden a casos extremos e ideales. En la realidad se tienen comportamientos intermedios. La flotación batch se asimila a un flujo pistón porque todas las partículas (de relave) tienen el mismo tiempo de residencia en la celda. Las celdas agitadas mecánicamente, operando en forma continua, tienden al comportamiento de un reactor perfectamente agitado.

Efecto del mezclamiento en la recuperación Al deducir la ecuación cinética batch de primer orden, sin saberlo obtuvimos una expresión para la recuperación acumulada en el tiempo en un reactor del tipo flujo pistón:

R = 1 - exp (- k t ) ¿Cuál sería la expresión para un reactor perfectamente agitado, i.e., una celda operando en continuo?

Cinética de flotación en continuo En este caso se tiene flujos continuos de alimentación (GSA), concentrados (GSC) y relaves (GST), fluyendo hacia o desde un volumen efectivo de pulpa V y con leyes de una especie o elemento de interés dado (LA, LC y LT, respectivamente).

En el interior de la celda, en el equilibrio, existe una cantidad en peso constante de mineral denominada holdup (H), caracterizada por una ley LH.

Cinética de flotación en continuo Si se asume una cinética de primer orden, se puede escribir la siguiente expresión para el flujo de finos (especie de interés) en el concentrado.

GSC LC = k H LH Esto es, el flujo de finos en el concentrado es proporcional a la cantidad de finos presente en la celda y la constante de proporcionalidad corresponde a la constante cinética de flotación (k). Se sabe además que el tiempo medio de residencia en la celda se puede escribir como:

H t= GST

Cinética de flotación en continuo

Dado que la celda se comporta como un reactor perfectamente agitado, se puede escribir:

LT » LH Por lo tanto se tiene la siguiente expresión:

GSC LC = k t GST LT

Cinética de flotación en continuo La ecuación de balances para los finos en la alimentación es:

GSA LA = GSC LC + GST LT 1 ö æ GSA LA = GSC LC ç1 + ÷ è kt ø æ 1 + kt ö GSA LA = GSC LC ç ÷ è kt ø

Cinética de flotación en continuo La recuperación se define como:

GSC LC R= GSA LA Luego, la expresión para la cinética en continuo es:

kt kt R= , ó R = R¥ 1 + kt 1 + kt

Efecto del mezclamiento en la recuperación

100

Observación:

Flujo Pistón

Para una misma recuperación, se requiere más tiempo en el caso del reactor perfectamente agitado.

Recovery (%) Recuperación, %

80

Perfectamente agitado 60

40

20

k = 1 min-1 0 0

2

4

6

Tiempo, min Time (mins)

8

10

Al instalar varias celdas en serie se disminuye el efecto del mezclamiento. En el límite ‘n’ celdas en serie se comportan como un reactor flujo pistón.

Efecto del mezclamiento en la recuperación

100

Condiciones:

Recovery (%)% Recuperación,

80

Un mismo volumen total, pero dividido en distinto número de celdas ya sea perfectamente agitadas o tipo flujo pistón.

Celdas perfectamente agitadas 60

Celdas flujo pistón 40

20

0 0

2

4

6

Tiempo, min Number of cells

8

10

Cinética de ‘n’ celdas en serie En la práctica no se utiliza sólo una celda operando en continuo, sino un banco de ‘n’ celdas en serie. (1 – Ri) - Ri (1 – Ri)

= 1

R

1

=

Ri

(1 – Ri)

+

(1 – Ri)2

2

Ri (1 – Ri)

+

(1 – Ri)i i

Ri (1 – Ri)i-1

+

n

(1 – Ri)n

Ri (1 – Ri)n-1

= sumatoria de una serie O, a partir de un balance de masa global:

R =1 - (1 - Ri )

n

Cinética de ‘n’ celdas en serie

Reemplazando y agregando la recuperación a tiempo infinito a la expresión:

(

R = R¥ 1 - (1 + kt )

-n

)

Cinética de ‘n’ celdas en serie: fracciones rápida y lenta

Del mismo modo que se definió una cinética batch considerando fracciones rápida y lenta, se puede expresar la cinética para un banco de “n” celdas operando en continuo.

(

R = Jr 1 - (1 + k rt )

Jr + Jl = R¥

-n

)+ J (1 - (1 + k t ) ) -n

l

l

Cinética de ‘n’ celdas en serie: varias fracciones Se puede dar que la información cinética esté disponible por especies o fracciones. La recuperación global se calcula de manera análoga al caso de fracciones rápida y lenta:

m

(

R = å Ji 1 - (1 + kit ) i =1

-n

)

donde “m” es el número de especies o fracciones y m

åJ i =1

i

= R¥

Cinética de ‘n’ celdas en serie: Klimpel La recuperación de “n” celdas en serie debe ser recalculada si se quiere utilizar la constante cinética de Klimpel. Calculemos primero la recuperación para una celda operada en continuo:

k

R=ò 0

kt f (k ) dk 1 + kt

1 kt Þ R= ò dk k 0 1 + kt

ln(1 + kt ) R = 1kt

k

Cinética de ‘n’ celdas en serie: Klimpel Reemplazando la recuperación para una celda en la expresión general para n celdas en serie se obtiene:

é æ ln (1 + kt ) ö n ù R = R¥ ê1 - ç ÷ ú ø úû êë è kt

Equipos de flotación

Equipos de flotación Una máquina de flotación es esencialmente un reactor que recibe el nombre de celda de flotación. Ahí se produce: el contacto burbuja partícula, la adhesión entre ellas y la separación selectiva de especies. La máquina o celda de flotación debe ser capaz de:

• Mantener una adecuada suspensión y dispersión de la pulpa. • Posibilitar la incorporación de gas (aire). • Disponer de una zona sin turbulencia, para formación y remoción de la espuma. • Ser adecuada a las necesidades de recuperación y/o calidad (ley) del concentrado. • Permitir la variación de algunos parámetros operacionales (flujo de aire, nivel, etc.).

Equipos de flotación: celdas mecánicas Las celdas de flotación se clasifican en dos grandes familias: Celdas mecánicas y Celdas neumáticas. Se presenta a continuación las principales características y ejemplos de ambos tipos de celdas.

Celdas mecánicas o convencionales Son las más comunes y las más usadas en la industria. Se caracterizan por tener un impulsor

o agitador mecánico (rotor o impeler). Alrededor del eje del rotor se tiene un tubo concéntrico hueco que sirve de conducto para el

ingreso del gas al interior de la pulpa, lo que ocurre en el espacio entre el rotor y un estator o difusor, donde es dispersado en pequeñas burbujas (1 - 3 mm). Volumen: 0,5 a 300 m3

Equipos de flotación: celdas mecánicas En la zona próxima al arreglo rotor – estator existe una gran agitación de la pulpa, para favorecer el contacto partícula – burbuja. A partir de un nivel medio de la celda se tiene una zona menos turbulenta, donde el agregado burbuja-mineral hidrófobo asciende con menor probabilidad de romperse. A medida que las burbujas se mueven al nivel del labio de la celda, son arrastradas fuera por el empuje de las burbujas que vienen atrás. Según el tipo de aireación se tiene:

• Celdas auto aspirante, que utilizan el vacío creado por el movimiento del rotor para inducir o succionar el aire desde la atmósfera hacia abajo, por el tubo concéntrico alrededor del eje del rotor.

• Celdas con aire forzado, que reciben el aire desde un soplador.

Equipos de flotación: celdas mecánicas Celda Wemco (auto aspirante)

Equipos de flotación: celdas mecánicas Celda Outotec (aire forzado)

Rotor (Outotec)

Equipos de flotación: celdas mecánicas Celda Outotec SkimAir (flotación flash) Celda especial para flotar partículas gruesas. Se instala en la descarga (underflow) de los hidrociclones en la etapa de molienda. Su objetivo es recuperar mineral de interés sin sobre-molerlo.

Equipos de flotación: celdas mecánicas Celda XCell (aire forzado)

Rotor (XCell)

Equipos de flotación: celdas mecánicas Celda Dorr-Oliver (aire forzado)

Rotor (Dorr-Oliver)

Equipos de flotación: celdas mecánicas Celda Metso (aire forzado)

Rotor (Metso)

Equipos de flotación: celdas columnares

Las celdas de columna son los equipos neumáticos más usados en flotación, en especial en etapas de limpieza de concentrados. Se caracterizan por la producción de concentrados de mayor ley que las celdas mecánicas, aunque con una recuperación menor. Típicamente tienen una altura de 9 a 15 m. Pueden ser cilíndricas o estar compuestas por secciones cuadradas o rectangulares. Es común encontrarlas en combinaciones de 4 a 16 secciones de 1 m2 en una misma estructura.

Equipos de flotación: celdas columnares Zonas de colección y limpieza Agua de lavado ZONA DE LIMPIEZA Alimentación

Concentrado

ZONA DE COLECCIÓN

Aire

Aire Relave

Equipos de flotación: celdas columnares Concepto de ‘contra-corriente’ Las partículas, al descender, se encuentran con las burbujas en contra-corriente. De este modo se optimiza el contacto partícula-burbuja en la zona de colección.

Partículas

Las partículas más ricas tienen más probabilidades de adherirse a burbujas semi-cargadas cerca de la interfase, mientras que partículas más pobres se enfrentan a burbujas libres de partículas cerca del punto de inyección de aire. Burbujas

Equipos de flotación: celdas columnares Agua de lavado Se utiliza para limpiar la espuma de partículas de ganga arrastradas mecánicamente. El agua de lavado se puede agregar sobre o dentro de la espuma.

Arreglo de tubos perforados

Equipos de flotación: celdas columnares Agua de lavado Otra forma de agregar agua de lavado es a través de una especie de “sombrero” perforado en el cual se agrega agua. La base del “sombrero” tiene orificios que permiten el paso del agua de lavado.

Equipos de flotación: celdas columnares BIAS Flujo neto, hacia abajo, de agua a través de la interfase pulpa-espuma; o lo que es equivalente, la diferencia en flujo de agua entre el relave y la alimentación. El BIAS se expresa como velocidad superficial (JB), por lo tanto los flujos deben ser divididos por el área transversal de columna (Ac). JW JC JB

El control del BIAS se puede realizar midiendo la diferencia entre JT y JA, esto es, despreciando los sólidos que reportan al concentrado (JCS), sin embargo la correcta expresión para el BIAS está dada por:

JA JCS

JT

J B = ( J T - J A ) + J CS

Equipos de flotación: celdas columnares Inyectores El aire ingresa a la columna a través de inyectores (spargers) instalados horizontalmente en una o más corridas. El diseño de los inyectores es tal que pueden ser reemplazados sin detener la operación. Del mismo modo que las celdas mecánicas difieren unas de otras en el diseño del mecanismo de agitación, las columnas se pueden diferenciar por el mecanismo de inyección de aire.

Equipos de flotación: celdas columnares Inyectores

Hay variadas formas de inyectar aire a una columna. Un ejemplo lo constituyen los inyectores porosos, que pueden estar construidos de acero poroso o a partir de un tubo de acero con orificios y cubierto por tela de filtro. Cuando se trabaja con inyectores porosos se prefiere aquellos materiales flexibles para evitar que los poros se tapen con sólido. El acero poroso es un ejemplo de material que presenta este tipo de problemas.

Equipos de flotación: celdas columnares Inyectores Una alternativa al uso de materiales porosos es el uso de inyectores mono o multi-orificio del tipo ‘jetting sparger’ o el uso de inyectores externos de aire: Inyectores tipo ‘jetting sparger’ • Minnovex • SlamJet • ‘Home-made’ o hechizos Inyectores externos de aire • MicrocelTM

Equipos de flotación: celdas columnares Inyector Minnovex El aire ingresa a un tubo que en su punta tiene un elemento cerámico en forma de ‘pera’ cuyo objetivo es proporcionar una sección anular de área variable para el paso del aire. Con esto se tiene incidencia sobre el tamaño de burbuja generado.

Entrada de aire

Equipos de flotación: celdas columnares Inyector Minnovex

Entrada de aire

Equipos de flotación: celdas columnares Inyector SlamJet Al igual que en el caso anterior, este inyector permite variar la abertura a través de la cual se inyecta el aire. El diseño permite además cambiar la punta del inyector para variar así el diámetro del orificio de salida de las burbujas.

Entrada de aire

Equipos de flotación: celdas columnares Inyectores ‘home-made’ La mantención de inyectores ‘de fábrica’ puede ser muy cara debido a que constantemente se debe reemplazar partes que se desgastan con la abrasión generada por la pulpa. Esto ha hecho que en muchas instalaciones se haya optado por la construcción de sus propios inyectores de aire para las columnas. Estos inyectores están construidos usualmente a partir de tubos de acero o PVC, a los que se les hacen perforaciones para la salida del aire.

Equipos de flotación: celdas columnares Inyectores ‘home-made’ (1) 1 mm

Entrada de aire

Características: • • •

Tubo plástico (1.9 cm de diámetro) con dos corridas de orificios de 1 mm. Una entrada de aire. Un inyector por sección de columna.

Equipos de flotación: celdas columnares Inyectores ‘home-made’ (2)

5 mm

Entrada de aire

Características: • • •

Tubo plástico (1.9 cm de diámetro) con un orificio longitudinal de 5 mm de diámetro. Una entrada de aire. Un inyector por sección de columna.

Equipos de flotación: celdas columnares Inyectores ‘home-made’ (3) 5 mm

Entrada de aire

Características: • • •

Tubo de acero inoxidable con orificios de 5 mm de diámetro repartidos a lo largo. Dos entradas de aire. Un inyector por cada 2 secciones de columna.

Entrada de aire

Equipos de flotación: celdas columnares Inyectores ‘home-made’ (3): instalación

Equipos de flotación: celdas columnares Inyector MicrocelTM El aire se mezcla con pulpa recirculada. La mezcla pasa por tubos denominados ‘static mixers’donde se produce una alta turbulencia gracias a la presencia de cuchillas internas, lo que favorece a la formación de burbujas de tamaño pequeño.

Aire Pulpa

Pulpa + burbujas

Equipos de flotación: otras celdas neumáticas Aparte de la celdas columna, que son actualmente las más comunes plantas industriales, existe una serie de otras alternativas de tipo neumático. Las siguientes son un ejemplo de ellas:

Contact Cell La pulpa se pone en contacto con el aire antes de entrar a la celda en una cámara presurizada (20 ± 5 psi). La alimentación, a diferencia de las columnas, se alimenta por el fondo de la celda donde se comienza a formar la espuma.

Equipos de flotación: otras celdas neumáticas Celda G Cell (Giratory cell, Imhof) La pulpa de alimentación, previo paso por aireadores, entra a la celda de manera tangencial en más de un punto. El concentrado se recoge en la parte central superior del equipo, en tanto que las colas salen por su parte central inferior.

Equipos de flotación: otras celdas neumáticas Celda Jameson (Xstrata) La alimentación a esta celda es a través de tubos verticales (downcomer), en donde se mezcla con aire y se produce el contacto partícula – burbuja. La entrada a presión de la pulpa de alimentación provoca un vacío que permite la entrada de aire sin requerir de un compresor. Cuando la pulpa emerge al interior de la celda por el fondo del downcomer, los agregados burbuja – partículas hidrofóbicas pasan a la zona de espuma y se retiran como concentrado.

Equipos de flotación: otras celdas neumáticas Celda Jameson (Xstrata) En la figura se puede observar la parte superior de una celda Jameson con sus respectivos “downcomers”