U1-S1-RESOL

INTEGRAL INDEFINIDA APLICACIONES DE LOS PROBEMAS CON VALOR INICIAL EJERCICIOS RESUELTOS 1) Se ha determinado que la población P(t) de una cierta colonia de bacterias, t horas después de iniciar la observación, tiene un razón de cambio

dP  200e0.1t  150e0.03t dt Si la población era de 200000 bacterias cuando inició la observación, ¿cuál será la población 12 horas después? Solución: La población P(t) se encuentra antiderivando

P(t)   

dP como se muestra a continuación: dt

dP dt   (200e0.1t  150e 0.03t )dt dt

200e0.1t 150e0.03t  c 0.1 0.03

 2000e0.1t  5000e0.03t  c Como la población es de 200000 cuando t  0 , se tiene que

P(0)  200000  2000e0  5000e0  c

 200000  3000  c  c  203000 Así,

P(t)  2000e0.1t  5000e0.03t  203000 Entonces, después de 12 horas, la población es

P(12)  2000e0.1(12)  5000e0.03(12)  203000  206152 2) Un minorista recibe un cargamento de 10000 kilogramos de arroz que se consumirán e un periodo de 5 meses a una tasa constante de 2000 kilogramos por mes. Si los costos de almacenamiento son 1 centavo por kilogramo al mes, ¿cuánto pagará el minorista en costos de almacenamiento durante los próximos 5 meses? Solución: Sea S(t) el costo total de almacenamiento (en dólares) durante t meses. Como el arroz se consume a una tasa constante de 2000 kilogramos por mes, el número de kilogramos de arroz almacenado después de t meses es de 10000  2000t . Por tanto, como los costos de almacenamiento son 1 centavo por kilogramo al mes, la tasa de cambio del costo de almacenamiento con respecto al tiempo es

dS  costo mensual  número de      0.01(10000  2000t) dt  por kilogramo  kilogramos  Se deduce que S(t) es una antiderivada de

0.01(10000  2000t)  100  20t Es decir,

S(t)  

dS dt   (100  20t) dt

 100t  10t 2  c Para alguna constante c . Para determinar c , se usa el hecho de que cuando llega el cargamento (cuando t  0 ) no hay costo, por lo que 0  100(0) 10(0)2  c  c  0 De aquí,

S(t)  100t  10t 2 Y el costo total de almacenamiento durante los próximos 5 meses será

S(5)  100(5) 10(5)2  $ 250

3) Un automóvil viaja en línea recta a 45 millas por hora (66 pies por segundo) en el instante en el que el conductor se ve forzado a aplicar los frenos para evitar un accidente. Si los frenos proporcionan una desaceleración constante de 22 pies/s2, ¿qué distancia recorre el automóvil antes de detenerse por completo? Solución: Sea s(t) la distancia recorrida por el automóvil en t segundos después de aplicar los frenos. Como el automóvil desacelera a 22 pies/s2 , se tiene que a(t)  22 ; es decir,

dv  a(t)  22 dt Integrando, se encuentra que la velocidad en el momento t está dada por

v(t)   22dt  22t  C1 Para calcular C1 , observe que v  66 cuando t  0 , de modo que

66  v(0)  22(0)  C1  C1  66 Por lo que la velocidad en el momento t es v(t)  22t  66 . A continuación, para encontrar la distancia s(t) , se inicia con el hecho de que

ds  v(t)  22t  66 dt E integrando se tiene que

s(t)   (22t  66)dt  11t 2  66t  C2 Como s(0)  0 , se deduce que C2  0 y

s(t)  11t 2  66t Finalmente, para encontrar la distancia a la que se detiene el automóvil, éste se detiene cuando v(t)  0 , lo cual sucede cuando

v(t)  22t  66  0 Resolviendo esta ecuación, se obtiene que el automóvil se detiene después de 3 segundos de desaceleración, y en ese tiempo ha recorrido

s(3)  11(3)2  66(3)  99 pies 4) APRENDIZAJE. Tony toma una prueba de aprendizaje en la que se registra el tiempo que le toma memorizar aspectos de una lista dada. Sea M(t) el número de aspectos que puede memorizar en t minutos. Su tasa de aprendizaje se determina como

M '(t)  0.4t  0.005t 2 a) ¿Cuántos aspectos puede memorizar Tony durante los primeros 10 minutos? b) ¿Cuántos aspectos adicionales puede memorizar durante los siguientes 10 minutos (del tiempo t  10 al t  20 )? Solución: El número de aspectos M(t) que puede memorizar Tony, se encuentra antiderivando

dM dt

como se muestra a continuación:

dM dt   (0.005t 2  0.4t)dt dt  t3   t2   0.005    0.4    C 3 2 0.005 3  t  0.2t 2  C 3 Como M(t) es 0 cuando t  0 (pues al inicio de la prueba aún no ha memorizada ningún M(t)  

aspecto de la lista dada), se tiene que

0  M(0) 0.005 3  0   0.2  0 2  C 3  C0 0

Así,

M(t)  

0.005 3 t  0.2t 2 3

a) Después de los primeros 10 minutos, el número de aspectos que ha memorizado es

0.005 10 3  0.2 10 2 3  18.33

M(10)  

b) El número de aspectos adicionales que puede memorizar en los siguientes 10 minutos es

ΔM  M(20)  M(10) 0.005  0.005    20 3  0.2  20 2     10 3  0.2 10 2  3 3      66.66  18.33  48.33

5) UTILIDAD MARGINAL. Un fabricante estima que el ingreso marginal será

R '(q)  200q 1/2 dólares por unidad cuando el nivel de producción sea de q unidades. Se ha determinado que el costo marginal correspondiente es de 0.4q dólares por unidad. Suponga que la utilidad del fabricante es $2000 cuando en nivel de producción es de 25 unidades. ¿Cuál es la utilidad del fabricante cuando el nivel de producción sea de 36 unidades? Solución: Recuerde que

utilidad marginal  ingreso marginal  costo marginal Así, si

P '(q)  utilidad marginal R '(q)  ingreso marginal C '(q)  costo marginal Entonces

P '(q)  R '(q)  C'(q)  200q 1/2  0.4q Por otro lado, recuerde que la utilidad marginal es la derivada de la función utilidad P(x) . Entonces,

dP  200q 1/2  0.4q dq y por tanto, P(q) debe ser la antiderivada de

dP , así dq

 q1/2   q2  dP 1/2 P(q)    200q  0.4q dq  200    0.4    k dq   1/ 2   2 





 400q1/2  0.2q 2  k para alguna constante k . El valor de k se determina por el hecho de que P(25)  2000 . En particular,

2000  P(25)

2000  400  25

1/2

 0.2  25  k 2

 C  125 De aquí, la función utilidad es

P(x)  400q1/2  0.2q 2  125 y la utilidad cuando el nivel de producción sea de 36 unidades es

P(36)  400  36 

1/2

 0.2  36   125 2

 $ 2265.8

6) DESCONGELAMIENTO. Un trozo de carne se saca del refrigerador y se deja en el mostrador para que se descongele. Cuando se sacó del congelador, la temperatura de la carne era de -4°C, y t horas más tarde se incrementaba a una tasa de

T '(t)  7e0.35t o C/h a) Determine una fórmula para la temperatura de la carne después de t horas. b) ¿Cuál es la temperatura después de 2 horas? c) Suponga que la carne está descongelada cuando su temperatura llega a 10°C. ¿Cuánto tiempo transcurre hasta que se descongela la carne? Solución: La temperatura T(t) de la carne en cualquier tiempo t , se encuentra antiderivando como se muestra a continuación:

dT dt   (7e 0.35t )dt dt 7  e0.35t  C 0.35

T(t)  

 20e0.35t  C Como la temperatura de la carne es T  4 o C cuando t  0 , se tiene que

4  T(0) 0.35 0

4  20e  C  16

C

Así, a) La fórmula para la temperatura de la carne es

T(t)  20e0.35t  16 b) La temperatura de la carne después de 2 horas es 0.35 2  T(2)  20e  16

 6.068

dT dt

c) Para encontrar el tiempo que tiene que transcurrir para que la carne se descongele, resolvamos la siguiente ecuación

T(t)  20e0.35t  16  10 

 20e0.35t  6



e0.35t 

  





3 10





 3 ln e0.35t  ln    10   3  0.35t ln e  ln    10   3  0.35t  ln    10   3 ln   10 t   0.35 t  3.4399hrs

7) CRECIMIENTO DE UN ARBOL. Un ecologista encuentra que cierto tipo de árbol crece de tal forma que su altura h(t) después de t años cambia a una razón de

h '(t)  0.2t 2/3  t pies/año Si cuando se plantó el árbol éste tenía una altura de 2 pies, ¿cuál será su altura dentro de 27 años? Solución: La altura h(t) de un árbol en cualquier tiempo t , se encuentra antiderivando muestra a continuación:

dh dt   (0.2t 2/3  t )dt dt  t 5/3   t 3/2   0.2       C  5/3  3/ 2 2  0.12t 5/3  t 3/2  C 3 Como la altura del árbol es h  2 cuando t  0 , se tiene que 2  h(0) h(t)  

2  0.12  0 

5/3

 C2 De aquí,



2 3/2  0  C 3

dh como se dt

2 h(t)  0.12t 5/3  t 3/2  2 3 y la altura del árbol dentro de 27 años es

h(27)  0.12  27 

5/3



2  27 3/2  2 3

 124.69 m

8) COSTO MARGINAL. Un fabricante estima que el costo marginal por producir q unidades de cierto bien es C'(q)  3q 2  24q  48 dólares por unidad. Si el costo de producción de 10 unidades es de $5000, ¿cuál es el costo de producción de 30 unidades? Solución: Recuerde que el costo marginal es la derivada de la función del costo total C(q) . Entonces,

dC  3q 2  24q  48 dq y por tanto, C(q) debe ser la antiderivada de

C(q)  

dC , así dq

dC 24  (3q 2  24q  48)dq  q3  q 2  48q  k  q 3  12q 2  48q  k dq 2

para alguna constante k . (La letra k se empleó para denotar la constante a fin de evitar confusión con la función del costo C ) El valor de k se determina por el hecho de que C(10)  5000 . En particular,

5000  C(10) 5000  10   12 10   48 10   k 3

2

 k  4720 De aquí, la función del costo total es

C(q)  q3 12q 2  48q  4720 y el costo de producción de 30 unidades es

C(30)   30   12  30   48  30   4720  $ 22360 3

2

9) INGRESO MARGINAL. El ingreso marginal derivado de la producción de q unidades de cierto artículo es R '(q)  4q  1.2q 2 dólares por unidad. Si el ingreso derivado de la producción de 20 unidades es de $30000, ¿cuál será el ingreso esperado por la producción de 40 unidades? Solución:

Recuerde que el ingreso marginal es la derivada de la función del ingreso R(q) . Entonces,

dR  4q  1.2q 2 dq y por tanto, R(q) debe ser la antiderivada de

R(q)  

dR , así dq

dR 1.2 3 4 2   (1.2q 2  4q)dq   q  q  C  0.4q3  2q 2  C dq 3 2

para alguna constante C . El valor de C se determina por el hecho de que R(20)  30000 . En particular,

30000  R(20) 30000  0.4  20   2  20   C 3

2

 C  32400 De aquí, el ingreso total es

R(q)  0.4q3  2q2  32400 y el ingreso por la producción de 40 unidades es

R(40)  0.4  40   2  40   32400  $10000 3

2

10) Si el ingreso marginal mensual por un producto es R '(x)  1,5x  30 , Encuentre la función del ingreso total. Solución: Recuerde que el ingreso marginal es la derivada de la función ingreso R(x) . Entonces,

dR  1.5x  30 dx y por tanto, R(x) debe ser la antiderivada de

R(x)  

dR , así dx

dR 1.5 2  (1.5x  30)dx   x  30x  C  0.75x 2  30x  C dx 2

para alguna constante C . El valor de C se determina por el hecho de que R(0)  0 . En particular,

0  R(0) 0  0.75  0   30  0   C 2

 C0 De aquí, la función del ingreso es

R(x)  0.75x 2  30x

11) Resuelve las siguientes integrales indefinidas a)

 (2  tan

2

θ) dθ

Solución:

 (2  tan

2

θ)dθ   2dθ   tan 2 θdθ  2θ  secθ  C

z 4  10z 2  25 dz b)  z3  5z Solución:





2





z2  5 z2  5  z2 5  z 4  10z 2  25 dz  dz  dz   z3  5z  z z2  5  z   z  z dz  





5 5 z2 1     z  dz   zdz   dz   5 dz z z 2 z   c)

z2  5ln z  C 2

20x 4  3x 2  15x dx  5x 2 Solución:  20x 4 3x 2 15x  20x 4  3x 2  15x  2 3 3 dx    dx     4x    dx     5x 2 5x 2 5x 2  5 x 5x 2    3 3   4x 2dx   dx   dx 5 x 4 3 1  x 3  x  3 dx 3 5 x 4 3  x 3  x  3ln x  C 3 5

d)



2x  5 dx x2

Solución: 2x  5 1  1   x  2 dx    2  x  2 dx   2dx   x  2dx

 2x  ln  x  2   C

e)

x 1

 2x  1dx Solución: 1

x 1

3



1

3

 2x  1dx    2  2  2x  1 dx   2 dx   2  2x  1dx 





1 3 1 dx   dx  2 2  2x  1

1 3 1 x   ln  2x  1  C 2 2 2 1 3  x  ln  2x  1  C 2 4 

f)

x

 1 x

dx

Solución: x 1  1   1  x dx   1  x  1 dx   dx   x  1dx

 x  ln  x  1  C

g)

1

3x

2/3

(x  1) dx

Solución: 1 2/3 1 1 1/3 1 2/3 1/3 2/3  3 x (x  1) dx  3  x  x dx  3  x dx  3  x dx 1  x 4/3  1  x1/3      C 3  4 / 3  3  1/ 3  1  x 4/3  x1/3  C 4



h)

 e3x   2sin x  dx  3   Solución:



 e3x  e3x 1 3x  2sin x dx     3  3 dx   2sin xdx  3  e dx  2 sin xdx    1  e3x      2 cos x  C 3  3  1  e3x  2 cos x  C 9

i)

e

0.02t

e



0.13t

 4 dt

0.13t

 4 dt   e0.15t  4e0.02t dx   e0.15t dt   4e0.02t dt

Solución:

e

0.02t

e







e0.15t  4 e0.02t dt 0.15 20 0.15t e0.02t  e 4 C 3 0.02 20   e0.15t  200e0.02t  C 3 

j)

  tan

2



x  3cos x dx

Solución:

  tan

2







x  3cos x dx   tan 2 xdx   3cos xdx   sec 2 x  1 dx   3cos xdx   sec2 xdx   dx  3 cos xdx  tan x  x  2sin x  C

k)

2



  x  2sin  2x  dx Solución: 2 1 2    x  2sin  2x  dx   x dx   2sin  2x dx  2 x dx  3 cos xdx  2ln x  3sin x  C

l)

 3z 2  2z  3  dz   z   Solución:

 3z 2  2z  3   3z 2 2z 3  3  dz    dz    3z  2  dz       z z z z     z 3   3zdz   2dz   dz z 1  3 zdz  2  dz  3 dz z 3 2  z  2z  3ln z  C 2

m)

t

1/2

t

2



 t  2 dt

Solución:

t

1/2

t

2







 t  2 dt   t 3/2  t1/2  2t 1/2 dt   t 3/2dt   t1/2dt   2t 1/2dt t 5/2 t 3/2    2 t 1/2dt 5/ 2 3/ 2 2 2 t1/2  t 5/2  t 3/2  2 C 5 3 1/ 2 2 2  t 5/2  t 3/2  4t1/2  C 5 3

n)

 x



1   2x 2   5 dx x  Solución:  3 2 1 2 3 2 3 2  x  2x  x  5 dx   x  5x  2x  10x dt   5x  11x  2x dt 3







  5x 3dx   11x 2dx   2xdx  5 x 3dx  11 x 2dx  2 xdx 

o)



5 4 11 3 x  x  x2  C 4 3

  2 2 x  Solución:

 

x3 

1









 

x3 

1 1     2 dx    x 3/2  1/2  2  dx   x 3/2dx   x 1/2dx   2dx 2 2x 2 x    1

x 5/2 1 1/2  x dx  2  dx 5/ 2 2  2 2  x1/2   x 5/2     2x  C 5 3  1/ 2  2 4  x 5/2  x1/2  2x  C 5 3 

p)

 3x

3



 2x  5 dx

Solución:

  3x

3



 2x  5 dx   3x 3dx   2xdx   5dx  3 x 3dx  2  xdx  5 dx  x4   x2   3    2    5x  C  4   2  3  x 4  x 2  5x  C 4

q)

y

2



 y4  2 dy

Solución:

y

2



 y4  2 dy   y2dy   y4dx   2dx 

r)

1

 y3 dy Solución:

y3 y 4   2x  C 3 4

1

 y3 dy   y

3

dy

y 2  C 2

s)

 x 2  3x  2    x  2 dx   Solución:  x 2  3x  2   x  2  x  1   x  2 dx   x  2 dx    x  1dx     xdx   dx 

t)

 3x

2

x2 xC 2



 5x  2 dx

Solución:

  3x

2



 5x  2 dx   3x 2dx   5 xdx   2dx  3 x 2dx  5  x1/2dx  2  dx  x3   x 3/2   3    5    2x  C  3   3/ 2   x3 

u)

4

  t  5e

t

2 5 3/2 x  2x  C 3

 dt 

Solución: 4 4 t t   t  5e dt   t dt   5e dt 1  4 dt  5 e t dt t

 4 ln t  5e t  C

v)

 1

5   e x/2 dx x  Solución: 5 1 1 1  1  x/2   x/2   3x  x  e dx  3  x dx  5 x1/2 dx   e dx 1 1  x/2  ln x  5 x 1/2dx  e 3 1/ 2  x1/2  1  x/2  ln x  5    2e 3  1/ 2  1  ln x  10x1/2  2e x/2 3

  3x 