U08

8. Cinemática I: cómo se describe el movimiento

8

Cinemática I

PRESENTACIÓN La física en Bachillerato se inicia con el estudio del movimiento. La cinemática cinemática es una de las partes de de la física en la que los los conceptos que se introducen introducen resultan más familiares: posición, desplazamiento, velocidad velocidad o aceleración. Pero, a la vez, es un tema que introduce desarrollos matemáticos complejos, como el cálculo vectorial o el cálculo de derivadas. De hecho, de su estudio surge la ciencia moderna y la ruptura con dogmatismos dogmatismos y visiones simplistas de la naturaleza. En la cinemática el alumno puede apreciar la fidelidad con la que el lenguaje matemático describe la naturaleza y desarrollar el uso de expresiones expresiones algebraicas y la interpretación de gráficas para la descripción del movimiento.

OBJETIVOS •

• • • • • • •

Adquirir y utilizar los conocimientos básicos del movimiento: posición, velocidad y aceleración, para desarrollar estudios posteriores más específicos. Distinguir los conceptos de desplazamiento y posición. Comprender el concepto de velocidad media y contrastarlo con el de velocidad instantánea. Entender y utilizar las componentes tangencial y normal de la aceleración. Expresar diferentes movimientos con lenguaje algebraico. Interpretar la gráfica de un movimiento. Realizar experimentos sencillos de laboratorio sobre posición y movimiento. Aplicar los conocimientos físicos del movimiento a la resolución de problemas de la vida cotidiana.

CONTENIDOS CONCEPTOS

•

• •

• • •

PROCEDIMIENTOS, DESTREZAS Y HABILIDADES

• • • •

ACTITUDES

336

•



Planteamiento de problemas, elaboración de estrategias de resolución y análisis de resultados. Comunicación de información utilizando la terminología adecuada. Importancia del estudio de la cinemática en la vida cotidiana y en el surgimiento de la ciencia moderna. Sistemas de referencia. Magnitudes necesarias para la descripción del movimiento. Iniciación del carácter vectorial de las magnitudes que intervienen.

Interpretar gráficas. Resolver problemas. Cambiar de unidades con soltura. Elaborar gráficas.

Aprecio de la utilidad de aplicar los contenidos de la unidad en los movimientos que observamos cotidianamente.

GUÍA DE FÍSICA Y QUÍMICA 1.° Bachillerato  MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L.

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Cinemática I

PRESENTACIÓN La física en Bachillerato se inicia con el estudio del movimiento. La cinemática cinemática es una de las partes de de la física en la que los los conceptos que se introducen introducen resultan más familiares: posición, desplazamiento, velocidad velocidad o aceleración. Pero, a la vez, es un tema que introduce desarrollos matemáticos complejos, como el cálculo vectorial o el cálculo de derivadas. De hecho, de su estudio surge la ciencia moderna y la ruptura con dogmatismos dogmatismos y visiones simplistas de la naturaleza. En la cinemática el alumno puede apreciar la fidelidad con la que el lenguaje matemático describe la naturaleza y desarrollar el uso de expresiones expresiones algebraicas y la interpretación de gráficas para la descripción del movimiento.

OBJETIVOS •

• • • • • • •

Adquirir y utilizar los conocimientos básicos del movimiento: posición, velocidad y aceleración, para desarrollar estudios posteriores más específicos. Distinguir los conceptos de desplazamiento y posición. Comprender el concepto de velocidad media y contrastarlo con el de velocidad instantánea. Entender y utilizar las componentes tangencial y normal de la aceleración. Expresar diferentes movimientos con lenguaje algebraico. Interpretar la gráfica de un movimiento. Realizar experimentos sencillos de laboratorio sobre posición y movimiento. Aplicar los conocimientos físicos del movimiento a la resolución de problemas de la vida cotidiana.

CONTENIDOS CONCEPTOS

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PROCEDIMIENTOS, DESTREZAS Y HABILIDADES

• • • •

ACTITUDES

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•



Planteamiento de problemas, elaboración de estrategias de resolución y análisis de resultados. Comunicación de información utilizando la terminología adecuada. Importancia del estudio de la cinemática en la vida cotidiana y en el surgimiento de la ciencia moderna. Sistemas de referencia. Magnitudes necesarias para la descripción del movimiento. Iniciación del carácter vectorial de las magnitudes que intervienen.

Interpretar gráficas. Resolver problemas. Cambiar de unidades con soltura. Elaborar gráficas.

Aprecio de la utilidad de aplicar los contenidos de la unidad en los movimientos que observamos cotidianamente.

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8

2

PROG PR OGRA RAMA MACI CIÓN ÓN DE AU AULA LA

EDUCACIÓN EN VALORES 1. Ed Educ ucac ació ión n via viall

Comprender el movimiento de los móviles permite a los alumnos reflexionar sobre la importancia de la educación vial. La aceleración cambia la velocidad del móvil, pero no de manera instantánea. Respetar los pasos de cebra o semáforos cuando el alumno actúa como peatón, o la distancia de seguridad cuando el alumno actúa de conductor o piloto de motos es importante para controlar los parámetros del movimiento. 2. Ed Educ ucaci ación ón cívi cívica ca

Respetar la señales de tráfico que previenen trayectorias de movimiento peligrosas ayuda a interiorizar un respeto por la la normas de tráfico, pero también se extiende a un respeto respeto en normas cívicas y sociales que la sociedad impone. Además, Además, reafirma la madurez del alumno, que empieza a gestionar su libertad dentro de un marco jurídico y legislativo. 3. Edu Educac cación ión medi medioam oambie biental ntal

La cinemática es una rama de la física en la que se refleja el movimiento de los objetos de la naturaleza. La comprensión de sus leyes ayuda al alumno a reflexionar sobre la belleza del mundo que le rodea y las leyes que lo describen. Desde el conocimiento de estas leyes nace el respeto y el cuidado del alumno al medio ambiente.

CRITERIOS DE EVALUACIÓN 1. Analizar diferentes aspectos del movimiento y obtener información de ellos mediante

estrategias básicas del trabajo científico. 2. Comprender y distinguir los conceptos de desplazamiento y posición, velocidad media

e instantánea, aceleración media e instantánea. 3. Utilizar los procedimientos adquiridos en la descomposición vectorial de la aceleración. 4. Resolver problemas sencillos sobre el movimiento. 5. Analizar cualitativamente el movimiento para emitir hipótesis que ayuden a elaborar

estrategias. Distinguir y clasificar un movimiento según los valores de su velocidad y aceleración. 6. Realizar trabajos prácticos para el análisis de diferentes situaciones de movimiento

e interpretar los resultados. 7. Aplicar estrategias características al estudio del movimiento.

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PROBLEMAS RESUELTOS

POSICIÓN

PROBLEMA RESUELTO 1

Un coche se mueve hacia el este durante 10 minutos a 80 km/h. Después gira y se mueve hacia el norte durante 20 minutos a 70 km/h. Finalmente vuelve a girar y se dirige hacia el oeste durante 5 minutos a 60 km/h. Calcula: a) La distancia recorrida por el coche. v 3 , t 3 b) El módulo del vector desplazamiento. 

Planteamiento y resolución a) En el movimiento del coche se distinguen tres tramos. En el primer tramo, hacia el este, el coche se desplaza durante t 1 = 600 s a la velocidad de v 1 = 22,22 m/s, s1 = v 1 ⋅ t 1 = 22,22 m/s ⋅ 600 s = 13 333 m  j  A continuación el coche cambia el módulo i  y la dirección de la velocidad, y se desplaza durante r  1200 segundos a 19,44 m/s: v 1 , t 1 s2 = v 2 ⋅ t 2 = 19,44 s ⋅ 1200 m/s = 23 333 m Durante el tercer tramo el coche se desplaza a la velocidad de 16,66 m/s un tiempo de 300 segundos: s3 = v 3 ⋅ t 3 = 16,66 m/s ⋅ 300 s= 5000 m La distancia total que recorre el coche es la suma de las distancias que recorre en cada tramo: s = s1 + s2 + s3 = 13 333 m + 23 333 m + 5000 m = 41 666 m b) Se elige un sistema de referencia con origen en el punto del que parte el coche y vectores unitarios en las direcciones este y norte. El vector desplazamiento en cada uno de los tramos es: ∆r 1 = (13 333 , 0) m; ∆r 2 = (0 , 23 333) m; ∆r 3 = (−5000 , 0) m El desplazamiento total es la suma vectorial de los desplazamiento en cada tramo:

v 2 , t 2 

•



•







•







∆r  = ∆r 1 + ∆r 2 + ∆r 3 







∆r  = (13 333 , 0) m + (0 , 23 333) m + (−5000 , 0) m = (8333 , 23 333) m 

Y su modulo es: 2  ∆r   = (8333 , 23 333)m = 8333 

+ 23 3332

m = 24 776 m

Obsérvese que el módulo del vector desplazamiento no coincide con la distancia que recorre el coche.

ACTIVIDADES 1

338

Lanzamos una piedra verticalmente hacia arriba desde el suelo y alcanza una altura máxima de 15 m. Sabiendo que dicha altura máxima se alcanza exactamente un segundo después del lanzamiento, calcula: a) La velocidad media en el movimiento de subida de la piedra. b) Si llamamos t 0 al instante del lanzamiento, t 1 al que corresponde a la máxima altura y t 2 al que corresponde al punto situado a 5 m de altura en el que la piedra 

ya está cayendo, calcula el módulo del desplazamiento entre t 0 y t 1, entre t 1 y t 2, y entre t 0 y t 2. Sol.: a) 15 m/s; b) 15 m, 10 m, 5 m. 2

Un ciclista da 5 vueltas y media a una velocidadiiii constante de 36 km/h en un velódromo cuya pista es circular y tiene 30 m de radio. Calcula: a) La distancia recorrida por el ciclista. b) El módulo del vector desplazamiento. Sol.: a) 1037 m; b) 60 m.

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PROBLEMAS RESUELTOS

VELOCIDAD

PROBLEMA RESUELTO 2

El vector de posición de un móvil viene dado por la expresión (2 t 2 , 3t ) m [t  en segundos]. Calcula: a) La posición en el instante t  2. b) El vector desplazamiento entre los instantes t  2 y t  4. c) El vector velocidad media entre los instantes t  2 y t  4. d) El vector velocidad en el instante t  2. =

=

=

=

=

=

Planteamiento y resolución a) Para calcular la posición del móvil es necesario elegir un sistema de coordenadas. Se fija como sistema de coordenadas el que coincide en origen y ejes con el sistema de referencia del enunciado. En este sistema de coordenadas las coordenadas de la posición en un instante coinciden con las componentes del vector de posición en ese mismo instante: r  (t ) = (2 ⋅ t 2 , 3 ⋅ t ) m → r  (2) = (2 ⋅ 22 , 3 ⋅ 2) m = (8 , 6) m 



b) El vector desplazamiento se calcula restando a la posición final: r  (4) = (2 ⋅ 42 , 3 ⋅ 4) m = (32 , 12) m la posición inicial r  (2) = (8, 6). Por tanto: ∆r  = r  (4) − r  (2) = (32 , 12) m − (8 , 6) m = (24 , 6) m 









c) El vector velocidad media es el cociente entre el desplazamiento del móvil y el tiempo que ha tardado en realizarlo, ∆t = 4 s − 2 s = 2 s: (24 , 6) m = (12 , 3) m/s 2s ∆t  d) El vector velocidad instantánea es la derivada de la posición respecto al tiempo: d r  d (2t 2, 3t ) = = (4t , 3) m/s v i (t ) = v m =

∆r 





=





d t 

d t 

En el instante t = 2 s, la velocidad instantánea es: v i (2) = (4 ⋅ 2 , 3) = (8 , 3) m/s 

Obsérvese que el valor no coincide con el de la velocidad media del apartado anterior: la velocidad media es la velocidad constante que debería llevar el móvil para conseguir un desplazamiento en un tiempo dado. La velocidad instantánea es la velocidad que tiene el móvil en un instante de su recorrido. No es el mismo concepto; no tienen por qué coincidir.

ACTIVIDADES 1

La velocidad de un móvil varía según muestra el siguiente dibujo. Calcula la distancia total recorrida.

2

¿Puede el vector velocidad media ser nulo a pesar de que el móvil sí ha recorrido una distancia distinta de cero? Sol.: Sí, si regresa al punto de partida.

v (m/s) 3

20

10 t (s)

0

10

20

30

Sol.: La distancia recorrida es 500 m. 

40

Un coche avanza por una carretera recta. Durante la primera media hora mantiene una velocidad de 90 km/h, después recorre 50 km en 40 minutos y por último recorre 20 km a 80 km/h. Calcula: a) La distancia total recorrida. b) La velocidad media de todo el trayecto. Sol.: a) 115 km; b) 81 km/h.

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PROBLEMAS RESUELTOS

ACELERACIÓN

PROBLEMA RESUELTO 3

El vector velocidad de un móvil viene dado por un vector de componentes (3 t , 2 t 2) m/s [t en segundos]. Calcula: a) El vector aceleración media entre los instantes t  1 s y t  3 s. b) El vector aceleración instantánea en t  2 s. =

=

=

Planteamiento y resolución a) La velocidad en el instante t = 1 s se obtiene sustituyendo el tiempo en la expresión de la velocidad instantánea: v  (1) = (3 ⋅ 1 , 2 ⋅ 12) m/s = (3 , 2) m/s  También así se calcula la velocidad en t = 3 s: v  (3) = (3 ⋅ 3 , 2 ⋅ 32) m/s = (9 , 18) m/s El incremento de velocidad entre esos dos instantes es: ∆v  = v  (3) − v  (1) = (9 , 18) m/s − (3 , 2) m/s = (6 , 16) m/s Y el vector aceleración media entre dos instantes es el cociente entre el incremento de velocidad y el incremento de tiempo, ∆t = 3 s − 1 s = 2 s: ∆v  ( 6, 16) m/s 2 = = (3 , 8) m/s am = ∆t  1s Y de posición tiene por componentes las coordenadas de la posición de la partícula. 













b) El vector aceleración instantánea es la derivada del vector velocidad respecto al tiempo: d v  d (3t , 2t 2) 2 = = (3 , 4t ) m/s a i (t ) = 



d t 

d t 

En el instante t = 2 s, la aceleración instantánea es: a i (2) = (3 , 4 ⋅ 2) m/s2 = (3 , 8) m/s2 Esta aceleración coincide, por casualidad, con la aceleración media calculada en el apartado anterior. En ningún otro instante entre t  = 1 s y t  = 3 s se vuelve a dar esta circunstancia. 

ACTIVIDADES 1

Un atleta de 100 metros lisos alcanza su máxima velocidad, de 15 m/s, 5 s después de la salida. ¿Cuál fue su aceleración en ese tramo?iiii

5

Sol.: 3 m/s 2. 2

El vector de posición de un cuerpo tiene la expresión  r  (t ) 5t 2 i  2 t 2 j  . Calcula: a) Su velocidad en t  2. b) Su aceleración en t  2. =



−





Sol.: a) 4 m/s2.. b) No, si existe aceleración normal es que la dirección del vector velocidad cambia y,  por tanto, el movimiento no es rectilíneo.

=

=

Sol.: a) v (2) = 20i 





3

− 8 j  ;



b) a (2) = 20 i  



− 4 j  .



¿Puede un movimiento tener aceleración constante 5 m/s2 y que el módulo de su velocidad no varíe?

Si un móvil tiene una aceleración de 5 m/s 2 en un instante dado y en ese mismo instante su aceleración tangencial es 3 m/s 2: a) ¿Cuánto vale la aceleración normal? b) ¿Es posible que el móvil lleve un movimiento rectilíneo?

6

Sol.: Sí, con un movimiento circular, por ejemplo.

Un móvil describe una trayectoria circular con una velocidad constante de 5 m/s. Si el valor de la aceleración es de 3 m/s 2, ¿cuánto tarda el móvil en completar una vuelta? Sol.: t = 0,05 s.

4

Un ciclista da vueltas en una pista circular de radio 40 m a una velocidad constante. Sabiendo que tarda 2 minutos en dar una vuelta completa, calcula el valor de su aceleración. Sol.: a = 0,11 m/s2.

340



7

Un ciclista necesita 8 s para pasar de velocidad 72 km/h a estar completamente parado. ¿Cuál es el valor de la aceleración? Sol.: a = 2,5 m/s2 , y es contraria al movimiento.

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EXPERIENCIA EN EL AULA

CINEMÁTICA I

Velocidad y trayectoria Material

Objetivo •

•

Comprobar que el vector velocidad es tangente a la trayectoria. Observar la trayectoria rectilínea que se produce cuando en un movimiento circular deja de actuar la fuerza centrípeta.

•

•

•

•

Una canica metálica (preferiblemente de las que llevan un ganchito). Un trozo de 10 cm de hilo de pescar. 2 kg de harina. Una superficie amplia de plástico.

PROCEDIMIENTO

1. Primero extiende bien la harina sobre la superficie de plástico, de manera que haya mucha superficie, pero poco fondo.

2. Ata el hilo a la canica y ponla a girar en el aire en un plano horizontal que vaya bajando poco a poco sobre la base de harina.

3. Cuando estés a una altura de 1 o 2 cm sobre la base permite que la canica gire sobre la harina un par de vueltas.

4. Después suelta el hilo. ¿Qué camino sigue la bola? En efecto, la canica sale en línea recta y su trayectoria queda marcada sobre la harina. Sobre la trayectoria se observa que el vector velocidad, que determina la trayectoria cuando ha desaparecido la fuerza centrípeta, es tangente a la circunferencia en la que giraba la canica antes de que soltáramos el hilo.

CUESTIONES 1

Contesta: a) ¿Qué fuerza actúa sobre la canica antes de que la soltemos? b) ¿Por qué sigue una trayectoria circular?

2

Justifica la forma de la trayectoria de la canica cuando soltamos el hilo. ¿Qué fuerzas actúan sobre ella al soltar el hilo? 

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EXPERIENCIA DE LABORATORIO

CINEMÁTICA I

Determinación del centro de masas Material

Objetivo

Determinar experimentalmente el centro de masas de una figura plana irregular.

•

•

•

Un trozo grande y plano de cartón. Un trozo de 20 o 30 cm de hilo de pescar. Un clip.

•

•

•

Una chincheta. Un lápiz. Una regla.

PROCEDIMIENTO El centro de masas es el punto que se comporta como si estuviese sometido a la resultante de las fuerzas aplicadas sobre el cuerpo. Si la fuerza que actúa sobre un cuerpo es el peso, este se aplicará sobre el centro de masas. 1. Recorta el cartón siguiendo una línea cerrada e irregular.

1

2. Con la chincheta, haz un pequeño agujero cerca del borde del cartón.

3. Ata el clip a un extremo del hilo de pescar e introdúcelo en el agujero.

4. Cuelga el cartón del hilo y, cuando deje de oscilar, pégalo a una pared. Con la regla marca sobre el cartón la prolongación de la recta que define el hilo. Como el peso se aplica sobre el centro de masas, este estará en la misma vertical que el hilo que sujeta el cartón.

5. Repite el proceso haciendo otro agujero cerca del borde y marca la nueva recta. Las dos líneas que has dibujado se cortan en el centro de masas.

2

6. Haz un agujero en ese punto y enhebra el hilo con el clip. Si has hecho el experimento con cuidado, el cartón colgará horizontalmente del hilo.

CUESTIONES

342

1

¿Dónde se sitúa el centro de masas en un cuerpo homogéneo y regular, como un cubo o un prisma hexagonal, por ejemplo?

2

¿Se te ocurre algún ejemplo en el que el centro de masas esté situado fuera del cuerpo? Haz un dibujo apoyando tu respuesta. 

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CM

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APLICACIONES

CINEMÁTICA I

CIENCIA Y TÉCNICA Microondas y agua sobrecalentada El vapor de la cámara de niebla está sobresaturado. Por eso cualquier perturbación, como el paso de partículas cargadas, produce su condensación. De forma análoga se puede sobrecalentar agua. Eso quiere decir que podemos tener agua en estado líquido por encima de su temperatura de ebullición.

Trayectorias y cámara de niebla La cámara de niebla es un recipiente cerrado con vapor de una sustancia (en general, agua, pero a veces se utiliza alcohol u otro compuesto) sobresaturado y por debajo de la temperatura de condensación. El vapor está en un estado de equilibrio inestable, y la perturbación de las partículas cargadas de la radiación del entorno lo ioniza y condensa en una traza de niebla. De esta manera se hace visible la trayectoria de la partícula que ha perturbado el gas.

Aunque no es muy frecuente, puede suceder al calentar agua en el microondas. Al no calentarse el agua desde abajo como en el fuego de una cocina, no se producen corrientes de convección, y el agua puede alcanzar temperaturas mayores de 100 °C. Al sacar el recipiente, cualquier perturbación, como introducir una cucharilla en él, podría producir la ebullición repentina y quemarnos, por lo que conviene tener cuidado.

Si además se aplica a la cámara un campo magnético vertical, las partículas giran describiendo espirales, hacia un lado u otro según el signo de su carga, con radio menguante debido a la pérdida gradual de la energía de la partícula por la ionización del vapor y la radiación emitida en su giro. Aunque la radiación natural del entorno es muy débil, se observa la creación continua de trazas en el vapor de la cámara. La niebla de cada traza desciende lentamente y se diluye hasta desaparecer. El estudio de las trayectorias de la cámara de gas permite conocer la masa, la velocidad y la vida media de las partículas que las originaron. Charles Thomson Rees Wilson (1869-1959) inventó la cámara de niebla y,  junto con Arthur Compton (1892-1962), recibió el Premio Nobel de Física en 1927 por su trabajo.

CUESTIONES 1

2

Las dos hélices que salen del mismo punto (P) corresponden a las partículas creadas en una desintegración. ¿Por qué no se ve la partícula que se desintegra y que origina las partículas A y B? a) Porque tiene una masa muy pequeña. b) Porque tiene carga eléctrica positiva y la A y la B tienen carga eléctrica negativa. c) Porque no tiene carga eléctrica. d) Porque su carga eléctrica es muy pequeña, parecida a la del electrón.

P B

A

¿Qué signo tiene la partícula B (la que sale hacia la izquierda) si la carga de la partícula A (la que sale hacia la derecha) es positiva? 

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CURIOSIDADES Y ANÉCDOTAS

CINEMÁTICA I

HISTORIA DE LA CIENCIA

Los planetas se mueven en elipses

Trayectorias curiosas

• 2.a ley: el radio vector que une el Sol con cada planeta barre áreas iguales en tiempos iguales. Eso implica que los planetas se mueven más despacio cuando están alejados del Sol que cuando están cerca de él.

Después de estudiar este tema podrías pensar que las trayectorias más frecuentes son las rectilíneas y las circulares. Probablemente sea verdad, pero existen muchos movimientos que dan lugar a trayectorias diferentes. Veamos algunos ejemplos. 1. Imagina que una escalera está apoyada en una pared y un gato está sentado cómodamente en uno de sus peldaños. Si la base de la escalera empieza a resbalar y el gato se mantiene en su escalón, A ¿cuál es su trayectoria? Se puede demostrar que en el caso de que el peldaño ocupe la posición central de la escalera, su trayectoria es un arco de circunferencia, mientras que en cualquier otra posición será un arco de elipse. Recuerda B que la elipse es también la curva que describen los planetas al girar en torno al Sol.

• 3.a ley: el cuadrado del periodo orbital de un planeta es proporcional al cubo de su distancia media al Sol. Los planetas más ale jados del Sol tardan más en completar una vuelta.

2. Pensemos ahora en el experimento de Rutherford en el que se envían partículas alfa con carga positiva contra átomos de oro. Cuando una partícula α pasa cerca de un núcleo de oro, la repulsión eléctrica entre cargas del mismo signo modificará la trayectoria rectilínea inicial y hará que se convierta en una hipérbola.

En 1609 Johannes Kepler (1571-1630) introdujo por primera vez las trayectorias elípticas en el movimiento de los planetas alrededor del Sol. Hasta ese momento los defensores del modelo heliocéntrico que situaba al Sol en el centro del universo pensaban que los planetas giraban en órbitas circulares. Además de la primera ley, que hace referencia a las órbitas elípticas, Kepler enunció otras dos leyes que dicen lo siguiente:

Hipérbola

3. Por último, nos fijamos en la trayectoria de un punto en el borde de una rueda que gira avanzando sin deslizar. La curva que dibuja es una cicloide.

Y

P

O

CUESTIONES

344

1

¿Qué tienen en común las elipses dibujadas por el gato y las hipérbolas de las partículas α?

2

¿Qué curva se obtiene al dibujar la trayectoria de un objeto lanzado en una dirección inicial no vertical?

3

Investiga quién fue el primero que estudió la cicloide y quién le puso su nombre.

4

Otra curva que aparece en algunas trayectorias es la tractriz. Averigua cómo es y con qué tipo de movimientos se genera. 

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X

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BANCO DE DATOS

CINEMÁTICA I

Tabla de velocidades Objeto

Velocidad

 

Velocidad (unidades SI, m/s)

Separación entre la Luna y la Tierra

3,15 cm/año

9,99 ⋅ 10−10

Crecimiento de las uñas

0,1 mm/día

1,16 ⋅ 10−9

4 cm/año

1,27 ⋅ 10−9

0,44 mm/día

5,09 ⋅ 10−9

Caracol

1,5 cm/s

0,015

 Tortuga gigante

0,75 dm/s

0,075

Persona andando

5 km/h

1,39

Petrolero

30 km/h

8,3

Atleta en carrera de 100 m (velocidad máxima)

43 km/h

11,94

Velocidad de ciclista en pista (persecución 1 km)

1 km/min

16,7

Disco de hockey sobre hielo

190 km/h

52,8

Pelota de tenis

263 km/h

73,1

 Tren de alta velocidad

300 km/h

83,3

Pelota vasca

302 km/h

83,9

Velocidad punta de Fórmula 1

350 km/h

97,2

Halcón cayendo en picado

350 km/h

97,2

Viento en tornado

480 km/h

133,3

 Tren de levitación magnética

579 km/h

160,8

 Tsunami de 2004 en Asia

600 km/h

166,67

Velocidad del avión Airbus 380

900 km/h

250

Molécula de nitrógeno a temperatura ambiente (velocidad media)

1000 m/s

1000

Satélite geoestacionario (Hispasat, Astra)

11 000 km/h

3056

Estación Espacial Internacional (media)

27 743 km/h

7706

Velocidad de escape de la Tierra

40 320 km/h

11 200

 Tierra moviéndose alrededor del Sol (velocidad orbital máxima)

30,287 km/s

30 287

Sol moviéndose alrededor del centro de la galaxia

220 km/s

2,2 ⋅ 105

Acercamiento entre la galaxia de Andrómeda y la Vía Láctea

300 km/s

3 ⋅ 105

Protón en acelerador de partículas

299 792 242 m/s

2,997 922 42 ⋅ 108

Luz desplazándose en el vacío

299 792 458 m/s

2,997 924 58 ⋅ 108

Separación entre Sudamérica y África Crecimiento del pelo



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

345

8

FICHA 1

AMPLIACIÓN sin soluciones

POSICIÓN

NOMBRE:

CURSO:

FECHA:

1. EJERCICIO RESUELTO

Escribe las componentes del vector posición de un móvil que, partiendo de la posición ( 3 , 4) m, se desplaza (∆r  (3 , 4) m. −



=

SOLUCIÓN El vector de posición inicial tiene como componentes las coordenadas de la posición inicial. Por tanto, r 0 = (−3 , 4) m. El vector desplazamiento y los vectores de posición inicial y final se relacionan según:



∆r 01 = r 1 − r 0 





De donde se deduce: r 1



= r 0 + ∆r  = (−3 , 4) m + (3 , 4) m = (0 , 4) m 



Instituto 1

Miguel vive en el cruce de las calles del Pez y de la Liebre. Todos los días sale de su casa y sube dos manzanas por la calle del Pez hasta la calle del Zorro y gira por esta calle hasta su cruce con la calle del Delfín, donde queda con su prima Irene para ir al instituto. Pero hoy recuerda que tenía que llevar el trabajo de Tecnología y regresan los dos bajando por la calle del Delfín hasta la casa de Miguel. Un poco apurados vuelven a subir por la calle del Pez hasta la calle del Galgo y allí avanzan tres manzanas para llegar al instituto.

Calle del Galgo

   z    e     P     l    e     d    e     l     l    a     C

Calle del Zorro

   n     í     f     l    e     D     l    e     d    e     l     l    a     C

Calle de la Liebre

SOLUCIÓN a) Dibuja la trayectoria que sigue hoy Miguel para ir al instituto. Si cada manzana es cuadrada tiene 200 m de lado, ¿cuál es la distancia total recorrida? ¿Coincide con la distancia que recorre los días que, después de recoger a su prima, se encamina hacia el instituto?

Casa

b) Dibuja el vector desplazamiento de su traslado desde casa al instituto. ¿Coincide con el vector desplazamiento de su traslado otros días?

continúa 

346

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8

AMPLIACIÓN sin soluciones

FICHA 1

POSICIÓN

NOMBRE:

CURSO:

FECHA:

c) Dibuja también el vector desplazamiento que describe Miguel desde que sale de casa hasta que se encuentra con su prima, y desde este momento hasta que regresa a recoger el trabajo. ¿Cómo son estos vectores?

∆r 01 

∆r 12 

2

Una mosca se mueve sobre el cristal de una ventana de manera que la distancia en decímetros al lado izquierdo del marco varía con el tiempo medido en minutos según la función cos (2π ⋅ t ) + 3; y la altura sobre el lado inferior, según sen (2 π ⋅ t ) + 2.

SOLUCIÓN a) Escribe las ecuaciones que describan su posición sobre el cristal.

b) ¿Qué trayectoria dibuja la mosca sobre el cristal?

3, 2

2

c) ¿Qué distancia recorre en 30 segundos? 1

0



1

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2



3

347

8

AMPLIACIÓN sin soluciones

FICHA 1

POSICIÓN

NOMBRE:

3

CURSO:

FECHA:

Una niña sube en bicicleta una cuesta de 10° de inclinación durante medio minuto. La distancia que avanza en función del tiempo en segundos es: ()

s t 

=

(3t 

−

0,05 t 2) m

10°

SOLUCIÓN a) Se elige un sistema de referencia con origen al inicio de la cuesta y vectores unitarios en las direcciones horizontal y vertical. Escribe las componentes del vector de posición de la niña en cada instante.

b) ¿Cuánto tiempo tarda en alcanzar la altura de 6,95 m?

348



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

8

AMPLIACIÓN sin soluciones

FICHA 2

VELOCIDAD

NOMBRE:

CURSO:

FECHA:

2. EJERCICIO RESUELTO

Calcula el vector velocidad instantánea de una partícula con movimiento rectilíneo y vector de posición: a)

()

r 1 t  = 

1 2

2

a ⋅ t  i 



b) r 2 (t ) =  A ⋅ cos(ω ⋅ t ) i 

c)





()

( 1 + α2 t 2 + 1 ) i 

r 3 t  = M 



SOLUCIÓN La velocidad instantánea se calcula derivando con respecto al tiempo el vector de posición de la partícula. a) La velocidad en un instante t  es: v 1(t ) = a ⋅ t i 





b) La velocidad en un instante t  es: v 2(t ) = − A ⋅ ω ⋅



c) La velocidad en un instante t  es: v 3 ( t ) = M

sen(ω ⋅ t ) i 



α t 

i 





4

1+ α

2 2

t 

Un motorista parte de Madrid a Toledo por la carretera A-42. Como hay mucho tráfico a la salida de Madrid, tarda 15 minutos en recorrer los primeros 20 km. Después recorre otros veinte kilómetros a la velocidad máxima permitida, 120 km/h, y tarda diez minutos. Pero se encuentra con bancos de niebla y reduce su velocidad recorriendo los siguientes 20 km en veinte minutos. Los últimos 10 km los recorre en cinco minutos. Si consideramos que la moto aumenta o reduce su velocidad casi instantáneamente:

SOLUCIÓN a) ¿Qué velocidad lleva la moto en el primer trayecto?

b) ¿Qué velocidad lleva al pasar por Yuncos (km 45 de la A-42)?

c) ¿Con qué velocidad llega a Toledo (último tramo)?

continúa 

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349

8

AMPLIACIÓN sin soluciones

FICHA 2

VELOCIDAD

NOMBRE:

CURSO:

FECHA:

d) Representa en una gráfica la velocidad en función del tiempo. Calcula el área total que encierra la gráfica. v 

(km/h)

120 100 80 60 40 20 0

t

0

10

20

30

40

50

10

20

30

40

50

(min)

e) ¿Qué velocidad media lleva la moto en el viaje?

f) Representa en la gráfica anterior la velocidad de la moto durante el trayecto si se hubiera desplazado a la velocidad media. Calcula el área total que encierra la nueva gráfica.

v 

(km/h)

120 100 80 60 40 20 0

t

0

g) ¿Qué relación tienen las dos áreas?

350



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

(min)

8

AMPLIACIÓN sin soluciones

FICHA 2

VELOCIDAD

NOMBRE:

5

CURSO:

FECHA:

Un coche adelanta a 120 km/h a otro coche que circula a 90 km/h en una carretera que avanza paralela a una vía de tren. En el momento del adelantamiento, un tren se desplaza por la vía en igual sentido que los coches. 120 km/h

90 km/h

v tren



SOLUCIÓN a) ¿Cuál es la velocidad del tren si uno de sus viajeros observa que un coche avanza el doble de lo que retrocede el otro?

b) ¿Con qué velocidad creerá un niño sentado en el coche adelantado que se mueven el otro coche y el tren?

6

¿Qué es más peligroso, un choque frontal entre dos vehículos a 50 km/h o un choque a 80 km/h contra otro vehículo en reposo?

SOLUCIÓN



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

351

8

AMPLIACIÓN sin soluciones

FICHA 2

VELOCIDAD

NOMBRE:

CURSO:

FECHA:

3. EJERCICIO RESUELTO

Se lanza un objeto con velocidad inicial oblicua, de manera que la trayectoria que describe es una parábola. a) ¿Cuánto vale la componente vertical de la velocidad en el punto más alto de la trayectoria? b) ¿Cuál es, entonces, la dirección del vector velocidad en ese punto? c) ¿Cuál es la dirección de la aceleración de este movimiento en el punto más alto de la trayectoria? d) ¿Qué ángulo forman la velocidad y la aceleración en ese punto? e) ¿Cuánto vale la componente tangencial de la aceleración en el punto más alto de la trayectoria? f) ¿Hay algún otro punto en la trayectoria donde la componente tangencial de la aceleración se anule? SOLUCIÓN a) En el punto más alto de la trayectoria el móvil deja de subir para empezar a bajar, así que la componente vertical de la velocidad es cero (una manera sencilla de verlo es imaginarse el movimiento de perfil). b) La dirección del vector velocidad es, por tanto, horizontal. c) La dirección de la aceleración en cualquier punto de la trayectoria es vertical, puesto que es la aceleración de la gravedad. d) Como la dirección de la velocidad es horizontal y la de la aceleración es vertical, el ángulo entre ambos vectores es recto (90º). e) Como el vector velocidad y el vector aceleración son perpendiculares, toda la aceleración es componente normal. La componente tangencial de la aceleración es nula. f) No. La aceleración de la gravedad es constante y vertical, y en un tiro parabólico no hay ningún otro punto con velocidad horizontal.

7

La posición de una partícula viene dada por  x  2 Internacional. Calcula: =

⋅

t 3,  y 

=

5 t , en unidades del Sistema ⋅

SOLUCIÓN a) El vector de posición.

b) La distancia al origen de la partícula a los dos segundos.

352



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8

AMPLIACIÓN sin soluciones

FICHA 3

ACELERACIÓN TANGENCIAL Y NORMAL

NOMBRE:

CURSO:

FECHA:

c) El vector desplazamiento desde los dos hasta los cinco segundos.

d) El vector velocidad media en dicho intervalo.

e) La ecuación de la trayectoria.

f) El vector velocidad instantánea en función de t .

g) El módulo de la velocidad en función de t .

h) El módulo de la velocidad a los dos segundos.

i) El vector aceleración media de los dos a los cinco segundos.

 j) El vector aceleración instantánea en función de t .

k) El módulo de la aceleración a los dos segundos.

l) El módulo de la aceleración tangencial a los dos segundos.

continúa 

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353

8

AMPLIACIÓN sin soluciones

FICHA 3

ACELERACIÓN TANGENCIAL Y NORMAL

NOMBRE:

CURSO:

FECHA:

m) El módulo de la aceleración normal a los dos segundos.

n) El radio de curvatura a los dos segundos.

8

Desde el piso en el que está su clase de bachillerato, Julia lanza un balón a David, que está en el patio del instituto. El día es desapacible y el viento empuja el balón con fuerza constante durante su caída, y le confiere a su aceleración una componente horizontal de 4,9 m/s 2. Raúl se fija que el balón cae en línea recta. ¿Con qué ángulo arrojó Julia el balón desde el edificio?

SOLUCIÓN

ax

ax

354



=

9,8 m/s2

=

4,9 m/s2

a



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

8

FICHA 1

AMPLIACIÓN con soluciones

POSICIÓN

NOMBRE:

CURSO:

FECHA:

1. EJERCICIO RESUELTO

Escribe las componentes del vector posición de un móvil que, partiendo de la posición ( 3 , 4) m, se desplaza (∆r  (3 , 4) m. −



=

SOLUCIÓN El vector de posición inicial tiene como componentes las coordenadas de la posición inicial. Por tanto, r 0 = (−3 , 4) m. El vector desplazamiento y los vectores de posición inicial y final se relacionan según:



∆r 01 = r 1 − r 0 





De donde se deduce: r 1



= r 0 + ∆r  = (−3 , 4) m + (3 , 4) m = (0 , 4) m 



Instituto 1

Miguel vive en el cruce de las calles del Pez y de la Liebre. Todos los días sale de su casa y sube dos manzanas por la calle del Pez hasta la calle del Zorro y gira por esta calle hasta su cruce con la calle del Delfín, donde queda con su prima Irene para ir al instituto. Pero hoy recuerda que tenía que llevar el trabajo de Tecnología y regresan los dos bajando por la calle del Delfín hasta la casa de Miguel. Un poco apurados vuelven a subir por la calle del Pez hasta la calle del Galgo y allí avanzan tres manzanas para llegar al instituto.

Calle del Galgo

   z    e     P     l    e     d    e     l     l    a     C

Calle del Zorro

   n     í     f     l    e     D     l    e     d    e     l     l    a     C

Calle de la Liebre

SOLUCIÓN a) Dibuja la trayectoria que sigue hoy Miguel para ir al instituto. Si cada manzana es cuadrada tiene 200 m de lado, ¿cuál es la distancia total recorrida? ¿Coincide con la distancia que recorre los días que, después de recoger a su prima, se encamina hacia el instituto? La trayectoria se dibuja fácilmente siguiendo las indicaciones que el enunciado cuenta del camino. Antes de encontrarse con su prima, Miguel recorre cuatro manzanas, que vuelve a recorrer de regreso a casa. De allí al instituto recorre seis manzanas más. En total hoy recorre 14 manzanas y una distancia de: 14 ⋅ 200 m = 2800 m Otros días recorre solo las últimas seis manzanas, y un total de: 6 ⋅ 200 m = 1200 m

Casa

b) Dibuja el vector desplazamiento de su traslado desde casa al instituto. ¿Coincide con el vector desplazamiento de su traslado otros días? El vector desplazamiento del traslado se dibuja uniendo las posiciones inicial y final del traslado, y coincide con el vector desplazamiento de todos los días que va desde casa al instituto.  GUÍA DE FÍSICA Y QUÍMICA 1.° Bachillerato  MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. 

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355

8

AMPLIACIÓN con soluciones

FICHA 1

POSICIÓN

NOMBRE:

CURSO:

FECHA:

c) Dibuja también el vector desplazamiento que describe Miguel desde que sale de casa hasta que se encuentra con su prima, y desde este momento hasta que regresa a recoger el trabajo. ¿Cómo son estos vectores? Si ∆r 01 es el vector desplazamiento de casa hasta el punto de reunión con su prima y ∆r 12 es el vector desplazamiento del punto de encuentro a casa, se observa en el dibujo que son opuestos: 



∆r 01 = − ∆r 12 



∆r 01 

∆r 12 

2

Una mosca se mueve sobre el cristal de una ventana de manera que la distancia en decímetros al lado izquierdo del marco varía con el tiempo medido en minutos según la función cos (2π ⋅ t ) + 3; y la altura sobre el lado inferior, según sen (2 π ⋅ t ) + 2.

SOLUCIÓN a) Escribe las ecuaciones que describan su posición sobre el cristal. Si se fija el origen del sistema de coordenadas cartesiano en la esquina inferior izquierda, las coordenadas de la mosca son: ( x ,  y ) = (cos(2π ⋅ t ) + 3 , sen(2π ⋅ t ) + 2) b) ¿Qué trayectoria dibuja la mosca sobre el cristal? Si restamos a las coordenadas  x  e  y  3 y 2 cm, respectivamente, se tiene: ( x − 3)2 + ( y − 2)2 = cos(2π ⋅ t )2 + sen(2π ⋅ t )2 = 1 que corresponde a la ecuación de una circunferencia. La mosca, por tanto, se desplaza describiendo circunferencias de centro (3 , 2) dm y radio 1 dm. c) ¿Qué distancia recorre en 30 segundos? La mosca completa una vuelta cuando el argumento de seno y coseno completan el ángulo de 2 π, es decir, cuando pasa un minuto. Así que a los 30 segundos la mosca habrá recorrido la distancia equivalente a la longitud de media circunferencia de radio 1 dm, es decir, π dm.

356



 y  (dm)

3, 2

2 1

0

1

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2

3

 x  (dm)

8

AMPLIACIÓN con soluciones

FICHA 1

POSICIÓN

NOMBRE: 3

CURSO:

FECHA:

Una niña sube en bicicleta una cuesta de 10° de inclinación durante medio minuto. La distancia que avanza en función del tiempo en segundos es: ()

s t 

=

(3t 

−

0,05 t 2) m

10°

SOLUCIÓN a) Se elige un sistema de referencia con origen al inicio de la cuesta y vectores unitarios en las direcciones horizontal y vertical. Escribe las componentes del vector de posición de la niña en cada instante. La trayectoria de la niña es una recta que forma un ángulo de 10° sobre la dirección horizontal. Como esta recta pasa por el origen de coordenadas. Las coordenadas de la posición o las componentes del vector de posición se calculan utilizando la definición de las razones trigonométricas seno y coseno. •

Componente x : cos 10°  =

•

 x 

3t − 0 , 05 t 2

Componente y : sen 10° =

 y 

3t − 0 , 05 t 2

Por tanto: 2

r  = [(3t  − 0,05 ⋅  t  ) ⋅ cos 10° , (3t  −



0,05 ⋅ t 2) ⋅ sen 10°]

b) ¿Cuánto tiempo tarda en alcanzar la altura de 6,95 m? Sea t 1 el tiempo que tarda la niña en subir a una altura de 6,95 m. En ese momento la coordenada y  de la posición de la niña, que coincide con la componente vertical del vector de posición (3 t 1 − 0,05 t 21), tiene que ser 6,95 m: (3t 1  − 0,05 ⋅ t 21) ⋅ sen 10° = 6,95 Esta ecuación de segundo grado: 0,05 ⋅ t 21  − 3t 1 − 40,02 = 0 se resuelve para : t f  =

−3 ±

→

t f  =

9 − 4 ⋅ 0 , 05 ⋅ ( −40 , 02 ) 2 ⋅ ( −0 , 05 ) −3 ± 1 −0 ,1

→

t f  =    t f  =  

→

20 s 40 s

De las dos soluciones (20 s y 40 s) se descarta la que supera el medio minuto que la niña ha estado subiendo la cuesta. Así pues, la niña tarda 20 s en elevarse 6,95 m. 

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357

8

AMPLIACIÓN con soluciones

FICHA 2

VELOCIDAD

NOMBRE:

CURSO:

FECHA:

2. EJERCICIO RESUELTO

Calcula el vector velocidad instantánea de una partícula con movimiento rectilíneo y vector de posición: a)

()

r 1 t  = 

1 2

2

a ⋅ t  i 



b) r 2 (t ) =  A ⋅ cos(ω ⋅ t ) i 

c)





()

( 1 + α2 t 2 + 1 ) i 

r 3 t  = M 



SOLUCIÓN La velocidad instantánea se calcula derivando con respecto al tiempo el vector de posición de la partícula. a) La velocidad en un instante t  es: v 1(t ) = a ⋅ t i  b) La velocidad en un instante t  es: v 2(t ) = − A ⋅ ω ⋅ sen(ω ⋅ t ) i  c) La velocidad en un instante t  es: α t  v 3 ( t ) = M i  1+ α 2 t 2 











4

Un motorista parte de Madrid a Toledo por la carretera A-42. Como hay mucho tráfico a la salida de Madrid, tarda 15 minutos en recorrer los primeros 20 km. Después recorre otros 20 km a la velocidad máxima permitida, 120 km/h, y tarda 10 minutos. Pero se encuentra con bancos de niebla y reduce su velocidad, recorriendo los siguientes 20 km en 20 minutos. Los últimos 10 km los recorre en 5 minutos. Si consideramos que la moto aumenta o reduce su velocidad casi instantáneamente:

SOLUCIÓN a) ¿Qué velocidad lleva la moto en el primer trayecto? El movimiento del motorista se puede considerar rectilíneo y sin retroceso. Como durante el primer trayecto recorre 20 km en 15 minutos, el módulo de la velocidad, que podemos suponer constante en ese intervalo, es igual a: v 1 =

20 km 15 min

⋅

60 min 1h

=

80 km/h

b) ¿Qué velocidad lleva al pasar por Yuncos (km 45 de la A-42)? El kilómetro 45 corresponde al tercer intervalo, en el que recorre 20 km en 20 minutos. Un razonamiento análogo al del apartado anterior nos lleva a: v 3 =

20 km

⋅

20 min

60 min 1h

=

60 km/h

c) ¿Con qué velocidad llega a Toledo (último tramo)? Como estamos en las mismas suposiciones que los dos apartados anteriores, el módulo de la velocidad en el último trozo del trayecto se calcula dividiendo de nuevo el espacio recorrido entre el tiempo. v 4 =

358

10 m 5 min

⋅

60 min 1h

=

120 km/h

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8

AMPLIACIÓN con soluciones

FICHA 2

VELOCIDAD

NOMBRE:

CURSO:

FECHA:

d) Representa en una gráfica la velocidad en función del tiempo. Calcula el área total que encierra la gráfica. v  (km/h) El área que encierra cada intervalo corresponde 120 a un rectángulo y se calcula multiplicando la base por la altura: S1 =

1h

80 km/h ⋅ 15 min ⋅

60 min

100

=

20 km

80

El resultado es el espacio recorrido en ese intervalo, de manera que: S2 = 20 km S3 = 20 km S4 = 10 km

60 40

•

•

20

•

El área total es la suma de las cuatro áreas calculadas:

0

S = S1 + S2 + S3 + S4 = =

t (min)

0 10

20

30

40

50

20 km + 20 km + 20 km + 10 km = 70 km

e) ¿Qué velocidad media lleva la moto en el viaje? La velocidad media en un movimiento rectilíneo sin retrocesos se calcula dividiendo el espacio total recorrido entre el tiempo que se ha empleado en recorrerlo. La velocidad media del motorista es, por tanto: v m =

( 20 + 20 + 10 ) km ( 15 + 10 + 20 + 5 ) min

f) Representa en la gráfica anterior la velocidad de la moto durante el trayecto si se hubiera desplazado a la velocidad media. Calcula el área total que encierra la nueva gráfica. El área que encierra la nueva gráfica se calcula multiplicando la base por la altura. Sm =

84 km/h ⋅ 50 min ⋅

1h 60 min

⋅

60 min 1h

=

84 km/  /h

v  (km/h)

120 100 80 60

=

70 km

40 20 t (min)

0 0

10

20

30

40

50

g) ¿Qué relación tienen las dos áreas? Las dos áreas calculadas en los aparatados d) y f) coinciden y son iguales al espacio total recorrido por el motorista.



GUÍA DE FÍSICA Y QUÍMICA 1.° Bachillerato



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359

8

AMPLIACIÓN con soluciones

FICHA 2

VELOCIDAD

NOMBRE:

5

CURSO:

FECHA:

Un coche adelanta a 120 km/h a otro coche que circula a 90 km/h en una carretera que avanza paralela a una vía de tren. En el momento del adelantamiento, un tren se desplaza por la vía en igual sentido que los coches. v 2

=120 km/h

v 1

=

90 km/h

v tren



SOLUCIÓN a) ¿Cuál es la velocidad del tren si uno de sus viajeros observa que un coche avanza el doble de lo que retrocede el otro? Sean v 1, v 2, v tren las velocidades del coche que adelanta, del coche adelantado y del tren. Como los tres se mueven en igual dirección y sentido, sus velocidades tienen también igual dirección y sentido. Para que un viajero en el tren crea que un coche avanza y el otro retrocede, los coches que observa han de moverse más rápido y más despacio que el tren, es decir, los módulos de sus velocidades verifican la siguiente relación: 





v 1

> v tren > v 2

Además, la velocidad relativa del coche que adelanta vista desde el tren, v 1 − v tren, tiene que doblar en módulo a la velocidad del coche que, desde el tren, retrocede, v 2 − v tren = v tren − v 2: (v 1 − v tren) = 2 ⋅ (v tren − v 2) → (120 km/h − v tren) = 2 ⋅ (v tren − 90 km/h) 



Resolviendo la ecuación de primer grado para v tren resulta: v tren = 120 km/h b) ¿Con qué velocidad creerá un niño sentado en el coche adelantado que se mueven el otro coche y el tren? Como los tres móviles se mueven con igual dirección y sentido, la velocidad relativa de coche y tren con que el niño sentado en el coche lento observa que le adelantan se calcula restando los módulos de las velocidades. El niño cree que el coche le adelanta a: v 1 − v 2 = 120 km/h − 90 km/h = 30 km/h Y el tren: v tren − v 2 = 100 km/h − 90 km/h = 10 km/h 6

¿Qué es más peligroso, un choque frontal entre dos vehículos a 50 km/h o un choque a 80 km/h contra otro vehículo en reposo?

SOLUCIÓN Es más peligroso el choque frontal, porque desde el sistema de referencia de uno de los vehículos el otro se acerca con una velocidad de: 50 km/h + 50 km/h = 100 km/h Sin embargo, en el caso de choque contra un vehículo parado, la velocidad con la que se acerca el otro vehículo es de: 80 km/h

360



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8

AMPLIACIÓN con soluciones

FICHA 3

ACELERACIÓN TANGENCIAL Y NORMAL

NOMBRE:

CURSO:

FECHA:

3. EJERCICIO RESUELTO

Se lanza un objeto con velocidad inicial oblicua, de manera que la trayectoria que describe es una parábola. a) ¿Cuánto vale la componente vertical de la velocidad en el punto más alto de la trayectoria? b) ¿Cuál es, entonces, la dirección del vector velocidad en ese punto? c) ¿Cuál es la dirección de la aceleración de este movimiento en el punto más alto de la trayectoria? d) ¿Qué ángulo forman la velocidad y la aceleración en ese punto? e) ¿Cuánto vale la componente tangencial de la aceleración en el punto más alto de la trayectoria? f) ¿Hay algún otro punto en la trayectoria donde la componente tangencial de la aceleración se anule? SOLUCIÓN a) En el punto más alto de la trayectoria el móvil deja de subir para empezar a bajar, así que la componente vertical de la velocidad es cero (una manera sencilla de verlo es imaginarse el movimiento de perfil). b) La dirección del vector velocidad es, por tanto, horizontal. c) La dirección de la aceleración en cualquier punto de la trayectoria es vertical, puesto que es la aceleración de la gravedad. d) Como la dirección de la velocidad es horizontal y la de la aceleración es vertical, el ángulo entre ambos vectores es recto (90º). e) Como el vector velocidad y el vector aceleración son perpendiculares, toda la aceleración es componente normal. La componente tangencial de la aceleración es nula. f) No. La aceleración de la gravedad es constante y vertical, y en un tiro parabólico no hay ningún otro punto con velocidad horizontal.

7

La posición de una partícula viene dada por  x  2 Internacional. Calcula: =

⋅

t 3,  y 

=

5 t , en unidades del Sistema ⋅

SOLUCIÓN a) El vector de posición. Se fija como sistema de referencia el que coincide en origen y ejes con el sistema de coordenadas del enunciado. El vector de posición tiene por componentes las coordenadas de la posición de la partícula: 3 r  (t ) = (2t  , 5t ) 

b) La distancia al origen de la partícula a los dos segundos. La distancia al origen es el módulo del vector desplazamiento entre la posición inicial y la posición a los dos segundos, y coincide con el módulo de la diferencia de los vectores de posición en los dos instantes: 2 2  r  (2) − r  (0) =  (16 , 10) − (0 , 0) =  (16 , 10)= 16 + 10 = 18 , 87 m 



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continúa 

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8

AMPLIACIÓN con soluciones

FICHA 3

ACELERACIÓN TANGENCIAL Y NORMAL

NOMBRE:

CURSO:

FECHA:

c) El vector desplazamiento desde los dos hasta los cinco segundos. El vector desplazamiento entre las posiciones a los dos y a los cinco segundos se calcula con la diferencia de los vectores de posición en esos instantes: r (5) − r (2) = (250 , 25) − (16 , 10) = (234 , 15) m 



d) El vector velocidad media en dicho intervalo. El vector velocidad media es: r (5) − r (2) = (78 , 5) m/s v m = 5−2 





e) La ecuación de la trayectoria. La ecuación de la trayectoria se obtiene despejando el tiempo en una de las coordenadas de la posición, la más sencilla: t  =

Y sustituyéndolo en la otra:

y 

5 3

 y  2 y 3   x  = 2 ⋅   =  5  125

La ecuación implícita de la trayectoria es 2 ⋅ y 3 − 125 ⋅ x  = 0. f) El vector velocidad instantánea en función de t . La velocidad instantánea se calcula derivando con respecto al tiempo el vector de posición: v  (t ) =



d  3 (2t  , 5t ) = (6t 2 , 5) m/s dt 

g) El módulo de la velocidad en función de t . Y su módulo es, por tanto: 2 2 2 4  v  (t ) = ( 6 t ) + 5 = 36 t  + 25 m/s 

h) El módulo de la velocidad a los dos segundos. En particular: 4  v  (2) = 36 ⋅ 2 + 25 = 24 , 52 m/s 

i) El vector aceleración media de los dos a los cinco segundos. El vector aceleración media es: v (5) − v (2) (150 , 5) − (24 , 5) = = (44,0) m/s2 am = 5−2 3 





 j) El vector aceleración instantánea en función de t . La velocidad instantánea se calcula derivando con respecto al tiempo el vector velocidad: a (t ) =



d  2 (6t  , 5) = (12t , 0) m/s2 dt 

k) El módulo de la aceleración a los dos segundos. La aceleración a los dos segundos tiene módulo: 2 2  a (2) = ( 12 − 2 ) + 0 = 24 m/s 

l) El módulo de la aceleración tangencial a los dos segundos. El módulo de la aceleración tangencial se calcula de forma sencilla derivando el módulo de la velocidad: d  d  72t 3 4 36 t  + 25 =  a T (t ) =  v  (t ) = dt  dt  36 t 4 + 25 

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

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continúa 

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AMPLIACIÓN con soluciones

FICHA 3

ACELERACIÓN TANGENCIAL Y NORMAL

NOMBRE:

CURSO:

FECHA:

m) El módulo de la aceleración normal a los dos segundos. A los dos segundos del movimiento la aceleración es:  a T (2) =

72 ⋅ 23

=



36 ⋅ 2

4

+

25

23 , 50 m/s2

Como las componentes normal y tangencial de la aceleración son perpendiculares, se verifica el teorema de Pitágoras:  a (2) 

2

=

 a T  (2) 

2

+

2  aN (2) →  aN (2) = 



24 2

 a (2) −  a T (2) = 



− 23 , 50

2

=

4 , 87 m/s2

n) El radio de curvatura a los dos segundos. Con la componente de la aceleración normal podemos calcular el radio de curvatura R: 2  v (2) 24,522 a → → R = 123,46 m (2) = 4,87 =  N  R 



8

R

Desde el piso en el que está su clase de bachillerato, Julia lanza un balón a David, que está en el patio del instituto. El día es desapacible y el viento empuja el balón con fuerza constante durante su caída, y le confiere a su aceleración una componente horizontal de 4,9 m/s 2. Raúl se fija que el balón cae en línea recta. ¿Con qué ángulo arrojó Julia el balón desde el edificio?

SOLUCIÓN La aceleración del balón tiene componentes horizontal (4,9 m/s 2) y vertical (g = 9,8 m/s2), y es constante en módulo, dirección y sentido.

ax = 4,9 m/s2

ax = 9,8 m/s2

a



El ángulo que forma la aceleración con la vertical es: 4 ,9 1 1 → α = arc tg tg α = = 9 ,8 2 2

=

26° 34

,

Para que la trayectoria de un móvil no cambie de dirección es necesario que la componente normal de su aceleración sea nula. Sin la componente normal, el móvil no gira. Para que el balón mantenga la dirección, la velocidad inicial debe ser paralela a la aceleración constante del movimiento. Así, la única componente no nula de la aceleración es la componente tangencial. Por tanto, el ángulo con que Julia arrojó el balón es igual al ángulo que forma la aceleración , con la vertical: 26° 34 . 

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8

PRUEBAS DE EVALUACIÓN

CINEMÁTICA I

PRUEBA DE EVALUACIÓN 1 1

Un disco gira con movimiento circular. Si el disco tiene 10 cm de radio, calcula el módulo del vector desplazamiento para un punto del borde en los siguientes casos: a) b) c) d)

2

Cuando el disco ha dado un cuarto de vuelta. Cuando el disco ha dado media vuelta. Cuando el disco ha dado tres cuartos de vuelta. Cuando el disco ha dado una vuelta.

La posición de un móvil, en unidades del Sistema Internacional, viene dada por el vector: r  (t ) 2t i  4 j  . Calcula: 

a) b) c) d) 3



−



Las coordenadas de la posición en t 0 s. El vector desplazamiento entre t  5 s y t  8 s. El módulo de la velocidad en t  3 s. La ecuación de la trayectoria. =

=

=

=

Un coche teledirigido lleva un movimiento circular uniformemente acelerado. Explica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas: a) b) c) d)

4

=

El desplazamiento entre dos instantes diferentes puede ser nulo. El vector velocidad media entre dos instantes no puede ser nulo. La aceleración centrípeta en un instante puede ser nula. El vector aceleración es constante.

Las ecuaciones paramétricas de la trayectoria de un móvil en unidades del Sistema Internacional son:  x (t ) 3t 2 ; y (t ) 5t . =

a) b) c) d) 5

=

Calcula el vector velocidad media entre t 1 s y t 4 s. Calcula el vector velocidad en t 2 s. Calcula el vector aceleración media entre t 1 s y t 4 s. Calcula el vector aceleración en t 2 s. =

=

=

=

=

=

Un alumno sale de su casa a las 8:00 h y a lo largo del día se mueve a velocidad constante y en línea recta pasando por los puntos A, B, C, D, E, F y de nuevo por A en las horas indicadas en el dibujo. Escribe: a) Los dos instantes para los cuales el desplazamiento entre ellos ha sido el mayor de todos. b) Los dos instantes para los cuales el desplazamiento entre ellos ha sido nulo. c) Dos instantes para los cuales el vector velocidad media entre ellos ha sido nulo. d) ¿En qué tramo el módulo del vector velocidad media ha sido el mayor?

11:00 h C



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

12:00 h D

   m     k     2

8:00 h 15:00 h A

   m     k     3

1 km B 9:00 h

   m     k    1

F 14:00 h

364

1 km

2 km

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E 13:00 h

8

PRUEBAS DE EVALUACIÓN

CINEMÁTICA I

PRUEBA DE EVALUACIÓN 1: SOLUCIONES 1

Las cuatro posiciones del punto del borde del disco corresponden a los vértices de un cuadrado inscrito en la circunferencia. a) El módulo del vector desplazamiento cuando el disco ha dado un cuarto de vuelta es igual al lado del cuadrado inscrito. Y ese valor se calcula fácilmente utilizando el teorema de Pitágoras, en el que la hipotenusa es el módulo del vector desplazamiento y los catetos son los radios de la circunferencia: 2 2  ∆ r 01 = ( 10 cm) + ( 10 cm) = 14 ,14 cm 

b) Cuando el disco ha dado media vuelta las posiciones inicial y final son diametralmente opuestas. El módulo del vector desplazamiento, es decir, la distancia entre ellas, coincide con el valor del diámetro:  ∆ r 02 = 10 cm + 10 cm = 20 cm 

c) El módulo del vector desplazamiento cuando el disco ha dado tres cuartos de vuelta es igual, de nuevo, al lado del cuadrado inscrito. Por tanto: 2 2  ∆ r 03 = ( 10 cm) + ( 10 cm) 

= 14 ,14 cm

d) Cuando el disco ha completado la vuelta, las posiciones inicial y final coinciden y el vector desplazamiento es nulo:  ∆ r 04 = 0 cm 

2

Se fija como sistema de coordenadas el que coincide en origen y ejes con el sistema de referencia del enunciado. a) En este sistema de coordenadas, las coordenadas de la posición coinciden con las componentes del vector de posición: r (t ) = (r x , r y) = (2t  , −4) Por tanto: x (t ) = 2t  y (t ) = −4 

•

•

b) El vector desplazamiento entre dos posiciones se calcula restando los vectores de posición: r (8) − r (5) = (16 , −4) − (10 , −4) = (6 , 0) m 



c) El vector velocidad se obtiene derivando el vector de posición con respecto al tiempo: v  (t ) =



d  (2t  , −4) = (2 , 0) m/s dt 

La velocidad tiene módulo, dirección y sentido constante. El movimiento es, por tanto, rectilíneo y uniforme. d) La ecuación de la trayectoria, que es una recta porque el movimiento es MRU, se lee directamente en la coordenada  y de la posición:  y  = −4 La trayectoria del móvil es una recta horizontal. 3

a) Verdadero. Cada vez que el coche teledirigido completa una vuelta regresa a su posición inicial, y el desplazamiento respecto a esa posición inicial es nulo. b) Falso. Como el desplazamiento entre dos posiciones puede ser nulo, también puede serlo la velocidad media entre esos dos puntos. c) Falso. Para cambiar la dirección del movimiento, y en un movimiento circular uniformemente acelerado la dirección cambia cada instante, es necesaria la aceleración normal o centrípeta. Por tanto, esta no puede ser nula. 

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

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