turunan berarah.docx
February 5, 2019 | Author: Dimas Azhari | Category: N/A
Short Description
Download turunan berarah.docx...
Description
[K E LOMP OK 6 ; F agil Ra R achm hma an D.P & F it itri ri S.M S .M ]
April 1, 2013
BAB II PEMBAHASAN Turunan Berarah dan Vektor Gradien
1.1 Turunan Berarah 2 variabel
T eor eor ema ema 1 Definisi: andai f suatu fungsi dari z f ariabel ariabel x dan y. bila ū adalah vektor v ektor satuan cos Ɵi + sin Ɵj, maka turunan berarah dari f dalam arah ū ditentukan oleh :
ℎ ℎ Ɵ,Ɵ, ℎ ℎƟƟ , , → , , = lim → ℎ Contoh : tentukan
jika f(x,y)=3x 3x – y y + 4x dan ū adalah vector → , , jika f(x,y)= 2
satuan arah
2
.
Penyelesaian:
cos Ɵi sinƟj sin Ɵj ⃗ = cos cos π6 isin π6 j ⃗ = co cos30 30 isin30j ⃗= cos ⃗ = 12 √ 33 12 ℎ Ɵ,Ɵ, ℎ ℎƟƟ , , → , , = → lim ℎ ℎ 1 √ 3ℎ, 1 ℎ , 3 ℎ , , 2 2 = → lim ℎ
√ 3ℎ, 3ℎ, ℎ → , , = 3x – y y + 4x = 3 √ 3ℎ 3ℎ – ( ( ℎ + 4( √ 3ℎ 3ℎ 2
2
2
2
unan B er ar ah dan dan V ektor ktor G r adi en K alkulus 3 |Tur unan
1
April 1, 2013
[KE LOMP OK 6 ; F agil Rachman D.P & F itri S.M ]
√ 3 ℎ + ℎ ) – (y + yh + ℎ ) + (4 x + 2 √ 3h) = 3x + 3√ 3 ℎ + ℎ – y - yh - ℎ )+ 4 x + 2 √ 3h = 3x + 3√ 3 ℎ + 2ℎ – y - yh + 4 x + 2 √ 3h = 3(x2 +
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
√ 3ℎ, ℎ, = 3x + 3√ 3 ℎ + 2ℎ – y - yh + 4 x + 2 √ 3h - 3x + y - 4x = 3√ 3 ℎ + 2ℎ – yh + 2 √ 3h = h (3√ 3 + 2ℎ – y + 2 √ 3 ) 2
2
2
2
2
2
+√ ,+−, √ + – y + √ lim = lim → →
√ 3 + 2.0 – y + 2 √ 3 = 3√ 3 – y + 2 √ 3 =3
Teorema 2 Definisi: andai f suatu fungsi dari z fariabel x dan y yang didiferensialkan dan
⃗ = cosƟi sinƟj maka:
→ , = f (x,y) cosƟ + f (x,y) sinƟ x
Contoh : tentukan
y
→ , jika f(x,y) = 3x – y + 4x dan ū adalah vector 2
satuan arah
2
.
Penyelesaian: Mula – mula cari turunanya dahulu;
f(x,y)=3x2 – y2 + 4x
f’(x,y)=6x – 2y + 4 karena 4 turunan dari variabel x maka dapat di tulis 6x + 4 – 2y, maka penyelesainya:
Kalkulus 3 |Tur unan B erarah dan V ektor Gradien
2
[KE LOMP OK 6 ; F agil Rachman D.P & F itri S.M ]
April 1, 2013
→ , = f (x,y) cosƟ + f (x,y) sinƟ x
y
+ (-2y) sin . = (6x + 4) √ 3 + (-2y) = (6x + 4) cos
√ 3 – y + 2 √ 3
=3
1.2 Turunan Berarah 3 variabel
Definisi misalkan f adalah fungsi 3 variabel x, y dan z dan
⃗ = cosα i + cosβ j + cosγ k. sebagai vector satuan, maka turunan berarah dari ⃗ yang didefinisikan: .,.,. ,, → ,, = → Atau
→ ,, = ,, ,, ,, Contoh soal:
,, = 3x + xy – 2y – yz + z . Carilah laju perubahan ,, pada titik (1, -2, -1) dalam arah vektor 2i - 2j – k. 2
diketehui
2
2
Penyelesaian: Vektor satuan dalam arah vektor 2i - 2j – k. ǀaǀ =
= √ = 3
Jadi vektor satuannya
→ ,, = 6 4 2 cos = Kalkulus 3 |Tur unan B erarah dan V ektor Gradien
3
[KE LOMP OK 6 ; F agil Rachman D.P & F itri S.M ]
= =
April 1, 2013
Pada (1, -2, -1)
→ ,, = . . 2 =
= =
1.3 Gradien Fungsi 2 Variabel Definisi : Andaikan f adalah fungsi dari 2 variabel x dan y, fx dan f y ada
maka gradien f ditulis
∇ dengan definisi :
, ∇ = ∇ = , , atau
∇ = , , Contoh Soal : Diketahui
, =
1) Carilah gradien f dititk (4,3) 2) Carilah laju perubahan
,dalam arah pada titik (4,3)
Penyelesaian : a)
, = ∇ = pada titik (4,3)
Kalkulus 3 |Tur unan B erarah dan V ektor Gradien
4
[KE LOMP OK 6 ; F agil Rachman D.P & F itri S.M ]
April 1, 2013
∇ = 18 .4 29 .3 ∇ = 12 23 b). , = , ,v , = 18 14 29 14 , = 18 12 √ 2 29 12 √ 2 ū , = √ 2 √ 2 ū
ū
ū
Pada titik (4,3)
, = 161 √ 2.4 19 √ 2 .3 , = 14 √ 2 13 √ 2 , = 127 √ 2 ū
ū
ū
14. Gradien Fungsi 3 Variabel Definisi : Misalkan f adalah fungsi ari 3 variabel yaitu x, y dan z, dan
turunan-turunan parsial pertamanya maka gradien f ditentukan oleh
∇
dengan definisi :
∇ = ,, ,, ,, Contoh Soal : Diketahui
,, = 4 P(-2, 1, 3) dan ū =
a) Carilah gradien f pada P(-2, 1, 3) b) Tentukan laju perubahan pada P dalam arah ū
Penyelasaian : a)
∇ = ,, ,, ,, Kalkulus 3 |Tur unan B erarah dan V ektor Gradien
5
[KE LOMP OK 6 ; F agil Rachman D.P & F itri S.M ]
April 1, 2013
∇ = 4 2 4 2 Pada P(-2, 1, 3)
∇ = 4.1 (2.1 42) 2.3 ∇ = 4 10 6 b)
,, = ,, ,, ,, ,, = 427 2 4 67 237 ,, = 87 127 247 67 ,, = 207 247 67 ū
ū
ū
ū
Pada P(-2, 1, 3)
,, = 207 .1 247 2 67 .3 ,, = 207 487 187 ,, = 687 187 ,, = 507 ū
ū
ū
ū
Kalkulus 3 |Tur unan B erarah dan V ektor Gradien
6
[KE LOMP OK 6 ; F agil Rachman D.P & F itri S.M ]
April 1, 2013
BAB III PENUTUP
a. Kesimpulan
Adapun kesimpulan dari makalah ini adalah: 1. Turunan berarah 2 variabel
Teorema 1 Definisi: andai f suatu fungsi dari z fariabel x dan y. bila ū adalah vektor satuan cos Ɵi + sin Ɵj, maka turunan berarah dari f dalam arah ū ditentukan oleh :
ℎƟ, ℎƟ , → , = lim → ℎ Teorema 2 Definisi: andai f suatu fungsi dari z fariabel x dan y yang
⃗ = cosƟi sinƟj maka:
didiferensialkan dan
→ , = f (x,y) cosƟ + f (x,y) sinƟ x
y
2. Turunan berarah 3 variabel
Definisi misalkan f adalah fungsi 3 variabel x, y dan z dan
⃗ = cosα i + cosβ j + cosγ k. sebagai vector satuan, maka turunan berarah dari ⃗ yang didefinisikan: .,.,. ,, → ,, = → Atau
→ ,, = ,, ,, ,, 3. Gradien fungsi 2 variabel Definisi : Andaikan f adalah fungsi dari 2 variabel x dan y, fx dan f y
∇ dengan definisi : , ∇ = ada maka gradien f ditulis
Kalkulus 3 |Tur unan B erarah dan V ektor Gradien
7
[KE LOMP OK 6 ; F agil Rachman D.P & F itri S.M ]
April 1, 2013
∇ = , , Atau
∇ = , , 4. Gradien fungsi 3 variabel Definisi : Misalkan f adalah fungsi ari 3 variabel yaitu x, y dan z, dan
turunan-turunan parsial pertamanya maka gradien f ditentukan oleh
∇
dengan definisi :
∇ = ,, ,, ,, 5. Turunan berarah menggunakan aturan rantai
Review aturan rantai, Teorema Aturan Rantai
Misalkan fungsi V adalah fungsi dari x dan y yang terdeferensial dan didefinisikan oleh V = f (x,y) misalkan pula x = F (r,s) , y = G (r,s) dan
, , semuanya ada maka V suatu fungsi r dan s
serta: 1. 2.
= . + + = . .
b. Penutup
Demikian makalah yang dapat penulis berikan. Penulis menyadari, makalah ini tidaklah sempurna karena masih banyak kekurangan. Untuk itu penulis mengharapakan kritik dan saran yang sifatnya membangun, guna memperbaiki di masa mendatang. Ucapan terimakasih penulis sampaikan kepada rekan-rekan kerja, dan dosen pembimbing yang telah membantu dalam proses penyusunan makalah ini. Semoga makalah ini bermanfaat, menginspirasi dan memperluas pengetahuan kita.
Kalkulus 3 |Tur unan B erarah dan V ektor Gradien
8
[KE LOMP OK 6 ; F agil Rachman D.P & F itri S.M ]
April 1, 2013
BAB 1 PENDAHULUAN
A. Latar Belakang Pembelajaran pada saat ini tidak hanya diberikan oleh guru, tetapi dengan kemajuan teknologi mahasiswa diharapkan bisa mandiri dan bermotivasi mencari bahan pembelajaran dan mendiskusikannya. Oleh karena itu, Mata Kuliah Kalkulus 3 ini pembelajarannya dilakukan dengan model diskusi presentasi kelompok. Makalah ini dibuat sebagai hasil diskusi kelompok kami tentang materi Turunan Berarah Dan Vektor Gradien yang dipresentasikan. Makalah ini akan menyajikan materi tentang Turunan Berarah Dan Vektor Gradien. Dalam Turunan Berarah Dan Vektor Gradien akan dibahas 2 masalah beserta penyelesaiannya. Makalah ini akan membahas secara detail materi- materi yang disebutkan diatas. Tidak hanya definisi atau penjelasannya saja yang akan dibahas, tetapi makalah ini juga akan memberikan beberapa contoh dan penyelesaiannya serta beberapa latihan sehingga pembaca dapat paham betul tentang materi tersebut.
B. Prasyarat Materi prasyarat yang dibutuhkan agar dapat memahami makalah ini adalah sebagai berikut : 1. Kalkulus 1 2. Kalkulus 2
C. Ruang Lingkup Pembahasan Dan Batasan Dalam makalah ini pembahasan hanya dibatasi pada “Turunan Berarah Dan Vektor Gradien”.
Kalkulus 3 |Tur unan B erarah dan V ektor Gradien
9
[KE LOMP OK 6 ; F agil Rachman D.P & F itri S.M ]
April 1, 2013
D. Maksud Dan Tujuan Penulisan
Pada dasarnya tujuan penulisan makalah ini dibagi menjadi dua, yaitu tujuan umum dan tujuan khusus. Tujuan umum dari penulisan makalah ini yaitu untuk memenuhi tugas mata kuliah “Kalkulus 3” . Sedangkan tujuan khusus dari penulisan makalah ini diantaranya: 1. Mahasiswa dapat menyelesaikan tugas kelompok mata kuliah Kalkulus 3. 2. Mahasiswa dapat menjelaskan kembali definisi serta konsep Turunan Berarah Dan Vektor Gradien. 3. Mahasiswa dapat mengetahui ketentuan dan teorema-teorema dalam Turunan Berarah Dan Vektor Gradien. 4. Mahasiswa mampu menyelesaikan soal-soall yang berkaitan dengan Turunan Berarah Dan Vektor Gradien.
Kalkulus 3 |Tur unan B erarah dan V ektor Gradien
10
[KE LOMP OK 6 ; F agil Rachman D.P & F itri S.M ]
April 1, 2013
DAFTAR ISI
KATA PENGANTAR ............................................................................. ii DAFTAR ISI ........................................................................................... iii BAB 1 PENDAHULUAN ...................................................................... iv
Latar Belakang ............................................................................ iv
Prasyarat ...................................................................................... iv
Ruang Lingkup Pembahasan Dan Batasan ................................. iv
Maksud Dan Tujuan Penulisan ..................................................... v
BAB II PEMBAHASAN ......................................................... 1
Turunan Berarah dan Vektor Gradien ....................................... 1
Turunan Berarah 2 variabel ........................................................... 1
Turunan Berarah 3 variabel ........................................................... 3
Gradien Fungsi 2 Variabel ............................................................ 4
Gradien Fungsi 3 Variabel ............................................................ 5
BAB III PENUTUP ................................................................................. 7
Kesimpulan .................................................................................. 7
Penutup.......................................................................................... 8
Kalkulus 3 |Tur unan B erarah dan V ektor Gradien
11
View more...
Comments
