Turunan Berarah Dan Gradien

Turunan Berarah dan Gradien

611.12.029 Kalkulus Multivariabel I Turunan Berarah dan Gradien Atina Ahdika, S.Si, M.Si

Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia

Atina Ahdika, S.Si, M.Si

611.12.029 Kalkulus Multivariabel I

Turunan Berarah dan Gradien

Turunan Berarah Laju Perubahan Maksimum Latihan

Turunan Berarah Turunan-turunan parsial fx (x, y ) dan fy (x, y ) mengukur laju perubahan (dan kemiringan garis singgung) pada arah sejajar dengan sumbu x dan sumbu y . Pada materi ini akan dipelajari laju perubahan f pada sebarang arah. Gunakan notasi vektor p = (x, y ). Misalkan i dan j adalah vektor-vektor satuan pada arah sumbu x dan sumbu y positif. Turunan-turunan parsial fx (x, y ) dan fy (x, y ) di p dapat ditulis: f (p + hi) − f (p) h→0 h f (p + hj) − f (p) fy (p) = lim h→0 h fx (p) = lim

Gantikan posisi i atau j dengan sebarang vektor satuan u. Atina Ahdika, S.Si, M.Si

611.12.029 Kalkulus Multivariabel I

Turunan Berarah dan Gradien

Turunan Berarah Laju Perubahan Maksimum Latihan

Definisi Untuk sebarang vektor satuan u, misalkan f (p + hu) − f (p) h→0 h

Du f (p) = lim

Limit ini, jika ada, disebut turunan berarah dari f di p pada arah u.

Atina Ahdika, S.Si, M.Si

611.12.029 Kalkulus Multivariabel I

Turunan Berarah dan Gradien

Turunan Berarah Laju Perubahan Maksimum Latihan

Vektor u menentukan sebuah garis L di bidang xy melalui (x0 , y0 ). Bidang yang melalui L tegak lurus terhadap bidang xy dan memotong permukaan z = (x, y ) pada kurva C . Persinggungannya di titik (x0 , y0 , f (x0 , y0 )) mempunyai kemiringan Du f (x0 , y0 ). Du f (x0 , y0 ) mengukur laju perubahan f terhadap jarak dalam arah u. Atina Ahdika, S.Si, M.Si

611.12.029 Kalkulus Multivariabel I

Turunan Berarah dan Gradien

Turunan Berarah Laju Perubahan Maksimum Latihan

Hubungan Turunan Berarah dengan Gradien

Ingat kembali bahwa ∇f (p) = fx (p)i + fy (p)i. Teorema A Misalkan f dapat didiferensialkan di p, maka f mempunyai turunan berarah di p pada arah vektor satuan u = u1 i + u2 j dan Du f (p) = u · ∇f (p) yakni Du f (x, y ) = u1 fx (x, y ) + u2 fy (x, y )

Atina Ahdika, S.Si, M.Si

611.12.029 Kalkulus Multivariabel I

Turunan Berarah dan Gradien

Turunan Berarah Laju Perubahan Maksimum Latihan

Contoh 1 Jika f (x, y ) = 4x 2 − xy + 3y 2 , tentukan turunan berarah dari f di (2, −1) pada arah vektor a = 4i + 3j.

Atina Ahdika, S.Si, M.Si

611.12.029 Kalkulus Multivariabel I

Turunan Berarah dan Gradien

Turunan Berarah Laju Perubahan Maksimum Latihan

Contoh 1 Jika f (x, y ) = 4x 2 − xy + 3y 2 , tentukan turunan berarah dari f di (2, −1) pada arah vektor a = 4i + 3j. Penyelesaian: Vektor satuan u pada arah a adalah

4 5




i+

3 5




j.

fx (x, y ) = 8x − y

⇔ fx (2, −1) = 17

fy (x, y ) = −x + 6y

⇔ fy (2, −1) = −8

Berdasarkan Teorema A, maka   4 3 4 3 44 Du f (−2, 1) = , · h17, −8i = (17) + (−8) = 5 5 5 5 5

Atina Ahdika, S.Si, M.Si

611.12.029 Kalkulus Multivariabel I

Turunan Berarah dan Gradien

Turunan Berarah Laju Perubahan Maksimum Latihan

Contoh 2 Tentukan turunan berarah dari fungsi f (x, y , z) = xy sin z di titik (1, 2, π/2) pada arah vektor a = i + 2j + 2k.

Atina Ahdika, S.Si, M.Si

611.12.029 Kalkulus Multivariabel I

Turunan Berarah dan Gradien

Turunan Berarah Laju Perubahan Maksimum Latihan

Contoh 2 Tentukan turunan berarah dari fungsi f (x, y , z) = xy sin z di titik (1, 2, π/2) pada arah vektor a = i + 2j + 2k. Penyelesaian: Vektor satuan u pada arah a adalah 31 i + 23 j + 23 k fx (x, y , z) = y sin z

⇔ fx (1, 2, π/2) = 2

fy (x, y , z) = x sin z

⇔ fy (1, 2, π/2) = 1

fz (x, y , z) = xy cos z

⇔ fz (1, 2, π/2) = 0

Maka, π Du f 1, 2, = 2 



1 2 2 , , 3 3 3



1 2 2 4 · h2, 1, 0i = (2) + (1) + (0) = 3 3 3 3

Atina Ahdika, S.Si, M.Si

611.12.029 Kalkulus Multivariabel I

Turunan Berarah dan Gradien

Turunan Berarah Laju Perubahan Maksimum Latihan

Laju Perubahan Maksimum

Untuk sebuah fungsi f yang diketahui pada titik p yang diketahui, ke arah mana fungsi tersebut berubah paling cepat, yaitu ke arah mana Du f (p) paling besar? Dari rumus geometri untuk hasilkali titik, kita dapat menuliskan Du f (p) = u · ∇f (p) = |u| |∇f (p)| cos θ = |∇f (p)| cos θ di mana θ adalah sudut di antara u dan ∇f (p), sehingga Du f (p) dapat dimaksimumkan ketika θ = 0 dan diminimumkan ketika θ = π.

Atina Ahdika, S.Si, M.Si

611.12.029 Kalkulus Multivariabel I

Turunan Berarah dan Gradien

Turunan Berarah Laju Perubahan Maksimum Latihan

Teorema B Sebuah fungsi meningkat paling cepat di p pada arah gradiennya (dengan laju |∇f (p)|) dan menurun paling cepat pada arah yang berlawanan (dengan laju −|∇f (p)|).

Atina Ahdika, S.Si, M.Si

611.12.029 Kalkulus Multivariabel I

Turunan Berarah dan Gradien

Turunan Berarah Laju Perubahan Maksimum Latihan

Contoh 3 Andaikan seekor serangga berada pada paraboloid hiperbolik z = y 2 − x 2 di titik (1, 1, 0). Ke arah manakah seharusnya serangga tersebut bergerak untuk melewati lintasan yang paling curam dan bagaimanakah kemiringannya ketika serangga tersebut mulai keluar?

Atina Ahdika, S.Si, M.Si

611.12.029 Kalkulus Multivariabel I

Turunan Berarah dan Gradien

Turunan Berarah Laju Perubahan Maksimum Latihan

Contoh 3 Andaikan seekor serangga berada pada paraboloid hiperbolik z = y 2 − x 2 di titik (1, 1, 0). Ke arah manakah seharusnya serangga tersebut bergerak untuk melewati lintasan yang paling curam dan bagaimanakah kemiringannya ketika serangga tersebut mulai keluar? Penyelesaian: Misalkan f (x, y ) = y 2 − x 2 . Karena fx (x, y ) = −2x dan fy (x, y ) = 2y , maka ∇f (1, 1) = fx (1, 1)i + fy (1, 1)j = −2i + 2j Jadi, serangga tersebut seharusnya bergerak dari (1, 1, 0) pada √ arah −2i + 2j, di mana kemiringannya adalah | − 2i + 2j| = 8. Atina Ahdika, S.Si, M.Si

611.12.029 Kalkulus Multivariabel I

Turunan Berarah dan Gradien

Turunan Berarah Laju Perubahan Maksimum Latihan

Latihan

1. Tentukan turunan berarah dari f di titik p pada arah a untuk fungsi-fungsi berikut a. b. c. d. e.

f (x, y ) = y 2 ln x; p = (1, 4); a = i − j √ f (x, y ) = e x sin y ; p = (0, π/4); a = i +√ 3j f (x, y ) = e −xy ; p = (1, −1); a = −i + 3j f (x, y , z) = x 3 y − y 2 z 2 ; p = (−2, 1, 3); a = i − √2j + 2k f (x, y , z) = x 2 + y 2 + z 2 ; p = (1, −1, 2); a = 2i − j − k

Atina Ahdika, S.Si, M.Si

611.12.029 Kalkulus Multivariabel I

Turunan Berarah dan Gradien

Turunan Berarah Laju Perubahan Maksimum Latihan

2. Tentukan vektor satuan pada arah di mana f meningkat paling cepat di p. Berapakah laju perubahan pada arah tersebut? a. f (x, y ) = e y sin x; p = (5π/6, 0) b. f (x, y , z) = xe yz ; p = (2, 0, −4)

3. Ketinggian sebuah gunung di atas permukaan laut di titik x 2 +2y 2

(x, y ) adalah 3000e − 100 meter. Sumbu x positif mengarah ke timur dan sumbu y positif mengarah ke utara. Seorang pendaki tepat berada di titik (10, 10). Jika pendaki tersebut bergerak ke arah barat laut, apakah ia akan mendaki atau menurun? dan pada kemiringan berapa?

Atina Ahdika, S.Si, M.Si

611.12.029 Kalkulus Multivariabel I