turbo. libro Dixon Termodinamica de las Turbomaquinas.pdf

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f.L.D/JON 1

B.Eng., Ph.D., C.Eng., MI.Mech. E. Lecturer in Mechanical Engineering at the University of Liverpool

Traducido del inglés por: Tomás Sánchez Lencero Dr. Ingeniero Industrial

Jesús Casanova Kindelán

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Ingeniero Industrial

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Profesores de la Catedra de Motores Térmicos de la ETS.LL de Madrid

editorial dossat, s.a.

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Prólogo a la edición española

La edición española de la obra de S.L. Dixon, , que tengo la satisfacción de presentar, llena un vacío existente en la bibliografía sobre turbomáquinas en lengua castellana. Este libro, por su nivel científico y por su carácter eminentemente formativo, puede ser de gran interés para la enseñanza de las turbomáquinas en los centros de Ingeniería Superior y en general para cualquier estudioso del tema. El texto contiene abundantes referencias bibliográficas, y se complementa con otro libro del mismo autor con la resolución detallada de los problemas propuestos al final de cada capítulo. Ambos textos, de acuerdo con la recomendación internacional, están redactados utilizando unidades SI. No quiero terminar sin reconocer la valiosa labor realizada por los profesores T. Sánchez Lencero y J. Casanova Kindelán al traducir este libro, procurando en todo momento adaptar la terminología. técnica inglesa a los términos más extendidos en lengua castellana.

1

• •

, Manuel Muñoz Torralbo Dr. Ingeniero Industrial Catedrático Numerario de Motores Térmicos de la E.T.S.I.I. de Madrid. 1

.

© 1978 S.L. Dixon

1

Pergamon Press, Ltd. Oxford © EDITORIAL DOSSAT, S.A . (para la edición española) Plaza Santa Ana, 9 Madrid (España) 1981

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ISBN: 84-237~0500~5 Dep. Legal: B. 6435-1981 Printed in Spain Impreso en España G. Renacimiento - Avda. Cataluña, 31 - Sta. Coloma de Gramanet, 1981

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Prólogo a la tercera edición inglesa

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Se han incorporado varias modificaciones al texto a la luz de los recientes avances en algunos asp~ctos del tema. Se ha incluido información adicional sobre el interesante fenómeno de cavitación y se ha añadido una nueva sección sobre el óptimo diseño de la admisión de bombas, juntamente con un ejemplo resuelto que toma en consideración los datos recientemente publicados sobre límites de cavilación, El capítulo sobre flujos tridimensionales en turbomáquinas axiales ha sido ampliado: en particular, se ha clarificado el apartado que trata del diseño de flujo másico específico constante de una tobera de turbina incluyendo ahora las ecuaciones del flujo para la corona de rotor siguiente. Fueron necesarias algunas pequeñas alteraciones en la definición de las formas de los álabes; así, he tenido la oportunidad de incluir una versión simplificada de la línea de curvatura de arco de parábola, como las usadas para algunos álabes de baja curvatura, A pesar de una lectura cuidadosa, algunos errores se me escaparon aun en la segunda edición, Estoy muy agradecido a aquellos lectores que han detectado errores y me los han comunicado, A fin de ayudar al lector, he añadido por fin una lista de los símbolos utilizados en el texto .

S, L O,

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Prólogo a la segunda edición inglesa

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La primera edición de Fluid Mechanics, Thermodynamics of Turbomachinery fue muy bien recibida, pero ha estado sin reimprimir durante algún tiempo. En esta edición, revisada y ampliada, todas las cantidades dimensionales se dan solamente en unidades SI.* El SI es actualmente el único sistema de unidades utilizado para la enseñanza de ingeniería en colegios, politécnicos y universidades en el Reino Unido y su empleo se extiende rápidamente en muchas empresas industriales. Numerosos países que no utilizaban anteriormente el sistema métrico han reconocido sus ventajas y están empezando a usarlo. Recientemente, despertó mi interés (y me tranquilizó) la noticia, expuesta en Transactions O¡ the American Society of Mechanical Engineers, de que en el futuro todos los artículos técnicos presentados para su publicación tendrían que estar en unidades SI. El libro sigue las líneas generales de la primera edición, pero incluye más ejemplos resueltos,- pues se ha comprobado que son de la máxima utilidad para el estudiante. La ampliación del alcance de este libro ha determinado la adición de problemas con mayor variedad a la mayoría de los capítulos. Si esto puede preocupar al lector, le animará saber que en un futuro próximo se publicará otro volumen con las soluciones a estos probremas desarrolladas. He revisado detenidamente y ampliado el capítulo de turbinas de flujo radial, ya que en los últimos años han aparecido nuevos desarrollos e ideas en diversas revistas técnicas. El programa de investigación espacial de la NASA ha contribuido incidentalmente a dar un considerable ímpetu al desarrollo y optimización de las pequeñas turbinas radiales utilizadas en plantas de potencia que funcionan con turbinas de gas. Esta fuente ha proporcionado una contribución importante al capítulo 8.

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*SI es el símbolo aceptado para el Sistema Internacional de Unidades, que es !a forma moderna del sistema métrico aceptado en 1960 por la Conferencia General de Pesas y Medidas (GCPM).

XI

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-----------------~· =-"----'---,..-- - - - - - - .,... "'"' •• ,,_, __ _e:_+-~·=~-"---~·~·-=--~-~·~--=~·--;"'""="""".-~-"~" 1/J /~. Para una turbina la potencia hidráulica neta PN sumillistrada es mayor que la potencia real en el eje desarrollada por la máquina, y el rendimiento es r¡ = PIPN. Esto se puede volver a escribir como P' = r¡ q; 7.jJ por un razonamiento similar a las consideraciones anteriores.

CARACTERISTICAS DE FUNCIONAMIENTO

•

•

La condición de funcionamiento de una turbomáquina será dinámicamente semejante para dos velocidades de giro diferentes si todas las velocidades del fluido en puntos correspondientes dentro de la máquina tienen la misma dirección y son proporcionales a la

velocidad del álabe. Si dos puntos, uno en cada una de las dos características diferentes de carga-caudal, representan el funcionamiento dinámicamente semejante de la máquina, entonces puede esperarse que los grupos adimensionales de las variables involucradas, sin tener en cuenta los efectos del número de Reynolds, tengan el mismo valor numérico para ambos puntos. Con esta base, la presentación adimensional de los datos de actuación tiene la importante ventaja práctica de reducir virtualmente a una única curva los resultados que, de otra manera, requerirían una multiplicidad de curvas si se dibujaran dimensionalmente. La evidencia que confirma la afirmación anterior se proporciona en la figura 1.3, que muestra los resultados experimentales obtenidos por el autor (en la Universidad de Liverpool) en una sencilla bomba centrífuga de laboratorio. Dentro del rango normal de funcionamiento de esta bomba, 0,03 < Q/(ND') < 0,06, es evidente la muy pequeña dispersión sistemática que puede asociarse con el efecto del número de Reynolds, para el intervalo de velocidades 2500 :S N< 5000 rev/min. Para caudales más pequeños, Ql (ND 3 ) < 0,025, el flujo llegó a ser inestable y las lecturas del manómetro de dudosa exactitud, pero, no obstante, las condiciones de semejanza dinámica aún parecen ser válidas. Examinando los resultados para altos caudales, uno se sorprende por la acusada desviación sistemática lejos de la ley de «única-curva» al aumentar la velocidad. Este efecto es debido a la cavitación, un fenómeno de alta velocidad de las máquinas hidráulicas causado por el desprendimiento de burbujas de vapor a bajas presiones, que se discute más tarde en este capítu~o. Quedará claro por ahora que, bajo condiciones de cavitación en el flujo, la semejanza dinámica no es posible. Los resultados adimensionales en la figura 1.3 se han obtenido, naturalmente, para una bomba particular. Estos serían también aproximadamente válidos para una gama de tamaños de bomba diferentes más o menos amplia, siempre que estas bombas sean geométricamente semejantes y no exista cavitación. De este modo, despreciando cualquier cambio en el comportamiento debido a la variación del número de Reynolds, los resultados dinámicamente semejantes de la figura 1.3 se pueden aplicar a la predicción de las características dimensionales de funcionamiento de una bomba dada

11

10

----------

-·-- ------------'-------------'

Termodinámica de las Turbomáquinas

Análisis dimensional: Semejanza

&·O f-

para una serie de velocidades deseada. La figura 1.4 muestra tal representación dimensional. De la discusión anterior quedará claro que el lugar geométrico de los puntos con semejanza dinámica en el plano H-Q forma una parábola tal que H varía con N 2 y Q varía con N.

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Obsérvese el deterioro_.......+

de la actuación a altas

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velocidades (efecto debido a

Dm

cavitación)

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rev/min 'o ox 2500 3500 o o 4500 + + 5000

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Clave:

3·0

+ " o "6 .O

":' [· '

1

+ id(cZ) + gdz]

w..... = m

+ td(c 2) + gdz].

[dh

+ id(cZ) + gdzJ

2

=

m[(hot -

+ g(z, -

hoz,)

Zz)]

(2.20a) donde el subíndice s en la ecuación (2.20a) indica que la evolución entre 1 y 2 es isentrópica. Para un fluido incompresible, en ausencia de fricción, el máximo trabajo que podría desarrollar la turbina (no teniendo en cuenta las pérdidas por fricción) sería. ·

W, mx , = mg[H1 donde gH

-

Hz],

(2.20b)

plp + ~c 2 + gz.

Del segundo principio de la termodinámica

' 'l' '

!''

dh - dp/p. El

,,

Comparando las definiciones anteriores se deduce fácilmente que el rendimiento mecánico T/m, el cual es simplemente la relación entre potencia en el eje y potencia en el rotor, es

•' ",. 1

=

y por tanto el trabajo máximo realizado entre el estado inicial 1 y el · final 2 es

:i 1 !'·.

O

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=

dQ "

1

mTds = m dh--dp. p

h

Eliminando dQ entre estas dos ecuaciones y reordenando

cd~s

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-2"

vz.

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1

-m -dp

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p

+ id(c + gdz 2

)

•

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(2.19)

-"'

,,j__o1

'

Para la expansión en una turbina, observando que Wx W, > O, integremos la ecuación (2. 19) del estado inicial 1 al estado final 2,

•1

- dp p

+ i(c 1z - e!)+ g(z1 -

t

• (a) Proceso de expansión en turbina

Zz) ,

(2.20)

FIG. 2.5.

(b) Proceso de compresión

Diagramas entalpía-entropía para turbinas y compresores.

z .

. '1 '. ; :

'

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1• 1•

38

39

Termodinámica de las Turbornáquinas

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Termodinámica básica, mecánica de fluidos: Definiciones de rendimiento

Turbinas de vapor y gas ' "

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La figura 2.5a nos muestra un diagrama entalpía-entropía o diagrama de Mollier en el cual están dibujadas las líneas de presión constante. El proceso descrito por la línea 1-2 representa la expansión a través de una turbina adiabática desde la presión p 1 hasta una presión inferior p 2 . La expansión adiabática reversible o ideal está representada por la línea 1-2s. Las velocidades del fluido a la entrada y a la salida de la turbina pueden ser bastante altas y las correspondientes energías cinéticas significativas. Por otra parte, para un fluido compresible los términos de energía potencial son, en general, despreciables. Así pues, el trabajo específico real del rotor de la turbina es

••

t..W, =

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¡~1

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''' ''' ' '1

ho, - ho, = (h, - h2 )

=

W, maxfm

=

(2.21) Si la diferencia entre la energía cinética de entrada y de salida es pequeña, es decir -te?¡ -;- ~~. entonces

+ i(ef- e~)

~ .. =

De la misma forma, el trabajo específico ideal del rotor de la turbina entre las dos mismas presiones es L'..Wxmax =

:!~

W,fm

· cinética de salida se aprovecha o se pierde. Un ejemplo donde la _ energía cin~tica de salida no se desaprovecha es el último escalonamiento de una turbina de gas de aviación en la que ésta contribuye al empuje propulsivo del chorro. Igualmente, la energía cinética de salida de un escalonamiento de una turbina de varios escalonamientos, donde ésta se aprovecha en el siguiente escalonamiento, proporciona otro ejemplo. Para estos dos casos, el rendimiento adiabático de la turbina y del escalonamiento r¡ es el rendimiento total a total y se define como

ho, - ho,, = (h, - h 2~)

+

t(e 21

-

e22 ,).

En la figura 2.5a el trabajo real de la turbina/unidad de masa del fluido es la variación de entalpía de parada entre los puntos 01 y 02 que están sobre las líneas de presión de parada p 01 y p 02 respectivamente. El trabajo ideal de la turbina por unidad de masa de fluido es la variación de entalpía de parada e1;1 el proceso isentrópico entre las dÓs mismas presiones. La energía cinética del fluido al final del proceso ideal -! g[H2 - H¡].

Para el caso ideal sin fricción fluida

6.. W;, mn 1

= g[H2

-

H¡].

(2.29)

Para una bomba, el rendimiento hidráulico se define como

(2.30)

'

h

Rendimiento del pequeño escalonamiento o rendimiento politrópico ¡

:1' '1 !1.. : " 1;

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1 '

'

El rendimiento adiabático descrito en la sección precedente, aunque fundamentalmente válido, puede conducir a error si se usa para comparar los rendimientos de turbomáquinas con diferentes relaciones de presiones. Ahora bien, cualquier turbomáquina puede considerarse compuesta de un gran número de muy pequeños escalonamientos con independencia del número real de escalonamientos de la máquina. Si cada pequeño escalonamiento tiene el mismo rendimiento, el rendimiento adiabático de la máquina completa será diferente del rendimiento del pequeño escalonamiento; la diferencia depende de la relación de presiones de la máquina. Este resultado bastante sorprendente es una manifestación de un

44

2

•

Angulos iguales S

FIG. 2.6.

Proceso de compresión mediante pequeños escalonamientos.

45

i

i

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Termodinámica básica, mecánica de fluidos: Definiciones de rendimiento

Termodinámica de las Turbomáquinas

'

j "';,)''

Puesto que cada pequeño ~scalonamiento tiene el mismo rendimiento, entonces r¡P = (Zll W'"'")!Zll W) es también cierto. De la relación Tds = dh - vdp, para un proceso a presión constante (óh/ós)p =T. Esto significa que cuanto más alta es la temperatura del fluido, mayor es la pendiente de las líneas de presión constante en el diagrama de Mollier. Para un gas donde h es una función de T, las líneas de presión constante divergen y la pendiente de la línea p 2 es . mayor que la de la línea p 1 para el mismo valor de la entropía. A iguales valores de T, las líneas de presión constante son de igual pendiente como indica la figura 2.6. Para el caso especial de un gas perfecto (donde CP es constante), CP (dT/ds) = Tpara un proceso a presión constante. Integrando esta expresión resulta la ecuación para una línea de presión constante, S = cp logT + constante. Volviendo ahora al caso más general, puesto que

'...,;' '

'

('EtlW}Jm = {Ch.- h,)

+ (h,- h.) + ...} =

entonces '}p

= [(h., -· h,) +(h.,- h,)

(h,- h,),

+ -- .]/(h, -

escalonamiento, dependiendo la diferencia de la divergencia de las líneas de presión constante. Aunque la anterior discusión se ha hecho en términos de estados estáticos, se puede considerar aplicable a estados de parada si las energías cinéticas de entrada y de salida de cada escalonamiento son iguales.

Rendimiento del pequeño escalonamiento para un gas perfecto Se puede deducir fácilmente una relación explícita para un gas perfecto ( CP es constante) entre el rendimiento del pequeño escalonamiento, el rendimiento adiabático global y la relación de presiones. El análisis se hace para el caso límite de un escalonamiento de compresor infinitesimal en el cual la variación diferencial de presión es dp como indica la figura 2.7. Para el proceso real el incremento diferencial de entalpía es dh y el correspondiente incremento diferencial ideal es de dhis·

h,). '

El rendimiento adiabático del proceso total de compresión es dh

Debido a la divergencia de las líneas de presión constante

{(hx.- h,) +(h.,- h,) +.' .) > (h,,- h,), •

S

es decir,

FIG. 2.7.

Variación diferencial de estado en un proceso de compresión.

El rendimiento politrópico para el pequeño escalonamiento es

Por tanto, T!p > 1Jc·

De este modo, para un proceso de compresión el rendimiento adiabático de la máquina es menor que el rendimiento del pequeño

46

vdp e dT'

(2.31)

•

47

1

~---~

·~~~-~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~------

Termodinámica básica, mecánica de fluidos: Definiciones de rendimiento

Termodinámica de las Turbomáquinas

ya que para un proceso isentrópico Tds = O = dh 1, Sustituyendo v = RT/p en la ecuación (2.31) queda

-1

lp.

C, p

dT

•

y en consecuencia

dT (y-!) dp T Y"T/p p ya que

'YJc =

()'-1)/)' -

1

1

P1

R Tdp

"T/p =

E:.

(2.32)

Cp = yRf(y - 1).

P2 P1

y. Para un proceso de expansión dv > O, dQR y.

-

' '

'

123456189 Relación de presiones, p11p2

FIG. 2.9.

Rendimiento adiabático de una turbina en función de la relación de presiones para varios rendimientos politrópicos (y= 1,4)

Rendimiento politrópico. de una turbina

Factor de recuperación

Se puede aplicar un análisis similar al del proceso de compresión a un gas perfecto expandiéndose a través de una turbina adiabática. Para la turbina, las expresiones apropiadas para una expansión desde el estado 1 al estado 2 son T, -= T,

"'t =

1-

(p' p,

p, -p,

y¡,(y-1)/y

'11{y-1)fy

(2.37)

•

(p,r·-'>'·-

1-Pt

•

(2.38)

Las relaciones anteriores no se pueden aplicar, obviamente, a turbinas de vapor, ya que los vapores no cumplen las leyes de los gases. Es costumbre en la práctica de las turbinas de vapor utilizar el factor de recuperación RH como una medida de la ineficiencia de la expansión completa. Refiriéndonos a la figura 2.10, el proceso de expansión a través de una turbina adiabática desde el estado 1 al estado 2 aparece en un diagrama de Mollier dividido en un cierto número de pequeños escalonamientos. El factor de recuperación se define como RH = [(h,- h.,)

La deducción de estas expresiones se deja como ejercicio al estudiante. Se lian calculado los rendimientos adiabáticos «globales» para diversos valores de relaciones de presiones y diferentes rendimientos politrópicos, los cuales se representan en la figura 2.9. La característica más notable de estos resultados es que, en contraste con un proceso de compresión, para una expansión el rendimiento adiabático es mayor que el del pequeño escalonamiento.

50

+ (h,- h,) + ... ]/(h,- h,,) =

('J:.!:J.h,,)/(h, - h,,).

Debido a la divergencia gradual de las líneas de presión constante en el diagrama h-s, RH es mayor que la unidad. El valor real de RH para un número infinito de escalonamientos depende de la posición de la línea de expansión sobre . el diagrama de Mollier; está usualmente entre 1,03 y 1,08 en turbinas de vapor normales. Ahora bien, puesto que el rendimiento adiabático de una turbina es

51

·¡ Termodinámica básica, mecánica de fluidos: Definiciones de rendimiento

Termodinámica de Jas Turbomáquinas

-

h, - h 2 Zllh, Zllh, • h1 - h2,

entonces

'

guiar el flujo. pero hay sin embargo un incremento de velocidad obtenido de una contracción en el área de entrada. La figura 2.11a muestra el proceso representado en un diagrama de Mollier, teniendo lugar la expansión desde las condiciones 1 a las condiciones 2. El proceso puede considerarse como adiabático. y puesto que no hay trabajo en un eje, la ecuación de la energía para flujo estacionario da

(2.39)

que establece la conexión entre el rendimiento polit.rópico, factor de recuperación y rendimiento adiabático de la turbma.

(2.40)

'• •

h

Para el proceso adiabático reversible equivalente

h1

-

h2 ,

= t(c~,-

cf).

El rendimiento de la tobera se puede definir como ' ~N = (h, - h2)((h, - h2,) = (ci- cDf(c~, - e¡).

(2.41)

1s 01 01 01

h

02

..._ ...

_l

h

S

Fro. 2.10.

Diagrama·de Mollier que muestra un proceso de expansión a través de una turbina adiabática.

•

Rendimiento de una tobera

,,

••

••

1

' •

En gran número de componentes de las turbomáquinas, el proceso del flujo puede ser considerado puramente como flujo en una tobera en la. cual el fluido recibe una aceleración como resultado de una caída de presión. Tal flujo en una tobera tiene lugar en la entrada a todas las turbomáquinas y en las coronas de álabes fijos en turbinas . En máquinas axiales la expansión a la entrada es favorecida por una corona de álabes fijos (llamados paletas guiadoras en compresores, y toberas en turbinas) que dirigen el fluido hacia el rotor con un gran ángulo respecto de la dirección axial. Los compresores y bombas centrífugos, por otro lado, no tienen a menudo tales -elementos para 52

(a) Tobera

FIG. 2.11.

'

(b) Difusor

'

Diagramas de Mollier para procesos en toberas y difusores.

Ahora bien, para un proceso isentrópico Tds = dh-vdp =O. Si el fluido es, o puede ser tratado como incompresible, la variación de las condiciones de 1 a 2s se puede escribir como (h, - h2,) = (p, - P2) -7- p.

(2.42)

53

., i

Termodinámica básica, mecánica de fluidos: Definiciones de rendimiento

Termodinámica de las Turbomáquinas

Restando (2.40) de la ecuación (2.42) h2

-

h 2 , = (p, - p,)

+ p - i(ci -

= {po, - Poz)

2{pz- p,) 'fJn = p(cf - ci) ·

e~)

+ P·

(2.43)

Por tanto, sustituyendo las ecuaciones (2.42) y (2.43) en la ecuación (2.41), el rendimiento de una tobera para flujo incompresi· ble es 'fJN = 1 _ Pot -Po:_ .

p,-pz

(2.44)

La ecuación (2.48) puede expresarse como función solamente de incrementos de presión puesto que, (hz - hz,) = (hz - h,) - (hz, - h,) = !(e~- ci) - {pz - p,)

+

P

+ p,

=

(Pot - Poz)

=

(h 2 , - h1) (hz,- h,) - (hz, - hz)

entonces 'fJD

í

Rendimiento de un difusor

(2.48)

1

=

1 1 - (hz,- hz)f(hz, - h,)

(2.49) ' !'-/.,,-,.., ., ~- ' ~ ' 1 1 + {po, - Poz)f(pz - Pt) ' ' ... ',. ' . ' • La difusión o deceleración del fluido es una característica esencial

l}p =

.

~

La figura 2.11b muestra un proceso de difusión representado en un diagrama de Mollier por la evolución desde el punto 1 al2. Para flujo adiabático estacionario en conductos estáticos, h01 =h 02 y, por tanto, (2.45) Para el proceso adiabático reversible equivalente desde 1 a 2~ (2.46)

El rendimiento de un difusor 'ID se define de forma análoga al rendimiento de una tobera .como 'fJn

=

(hz,- h,)!(hz - h1)

=

(e¡ - ci,)f(ci - e~).

(2.47)

Para flujo incompresible (o que puede ser considerado aproximadamente como incompresible) hz,- h, = (p 2 -p.) •

y en consecuencia 54

+ p,

~

d,e alguna parte de la mayoría de las turbomáquinas y tiene como objeto la conversión eficiente de la energía cinética en energía de presión. Este propósito es difícil de llevar a cabo y se le considera ciertamente como uno de los problemas fundamentales del diseño de turbomáquinas. La dificultad procede del hecho de que la capa límite es propensa a desprenderse si la relación de difusión es demasiado rápida, y son entonces inevitables grandes pérdidas de presión de parada. Por otra parte, si la relación de difusión es muy baja, el fluido está expuesto al contacto con las paredes durante un tramo excesivamente largo y las pérdidas por fricción llegan a ser predominantes. Evidentemente, tiene que existir una relación de difusión óptima para la cual los dos efectos quedan minimizados. La ecuación (2.49) expresa el hecho de que, cuando el rendimiento del difusor 'ID es máximo, la pérdida de presión total es mínima para un aumento dado de presión estática. Una discusión general sobre el óptimo diseño de difusores de paredes rectas con diversas geometrías fue dada por Kline y otros 5 que correlacionaron datos de muchas fuentes y mostraron, para las geometrías de difusor dadas en la figura 2.12, que el rendimiento óptimo tiene lugar cuando el ángulo 21! es alrededor de 7 grados. No obstante, frecuentemente se encuentran 55

'

Termodinámica de las Turbomáquinas

Termodinámica básica, mecánica de fluidos: Definiciones de rendimiento

muchos otros problemas importantes de optimización, que Kline y sus coautores han discutido con algún detalle.

El rendimiento del difusor, usando la definición de la ecuación (2.48), es

r-l-\

Flujo

_1_

w,

T

¡e

1

R¡

1

"

2

Ar=.!2=1+2l-sen El A1

.

·\6

r

(a) Difusor bidimensional

.¡_j-

-'---

-~

por tanto ln 'lo = ln CP - In Cpt·

·¡--1

A =!2=(1+_.!:.. sen

W1

FIG. 2.12.

1 '•

Flujo

(2.48a)

A1 R1 (b) Difusor cónico

e?

'

2

Derivando esta ecuación respecto a e y haciendo el resultado igual a cero, se obtiene la condición para máximo rendimiento, es decir

Geometrías de difusor subsónico y relaciones de áreas.

acp cp ae 1

Uno de estos problemas es la necesidad de una recuperación máxima de presión en la dirección del flujo para una longitud determinada de difusor independiente de la relación de área A, = Az/A 1 • Esto puede parecer sorprendente, pero, en general, esta condición óptima conduce a una geometría del difusor diferente de la necesaria para máximo rendimiento. Esto se puede demostrar por medio de las consideraciones siguientes. , Para un flujo incompresible a través de un difusor, la ecuación de la energía se puede escribir P1 -

p

+ "Z"1 e 2 _ t -

P2 p

+ '!1 c22 + !:J.po p

(2.50)

donde la pérdida de presión total L1p0 =p 01 -p02 . Se puede definir un coeficiente de aumento de presión como eP = (p 2 - p 1 )/q 1 donde q 1 = .f-pc2 1 . De la ecuación (2.50), es fácil ver que el coeficiente ideal de aumento de presión es

haciendo L1p 0 igual a cero. De este modo, la ecuación (2.50) se puede escribir (2.51) 56

1

acp, ,

ae

'

(2.52)

De esta forma, para máximo rendimiento la variación diferencial de eP con el ángulo es igual a la variación diferencial de epi con dicho ángulo. Como aquí er es positivo y, por definición, ambos epi y aer¡li38 ~on también positivos, la ecuación (2.52) muestra que aer/i38>0 en el punto de máximo rendimiento. Desde luego, er no puede estar en su máximo valor, cuando TJD tiene su valor más alto. Cr continúa aumentando hasta que aep~ (}8=0. Ahora bien, derivando la ecuación (2.51) respecto a Be igualando a cero, se obtiene la condición para el máximo de CP,

Así pues, como el ángulo del difusor se aumenta más allá de la divergencia que da máximo rendimiento, la elevación real de presión continuará creciendo hasta que las pérdidas adicionales de presión total eqUilibren la ganancia teórica de recuperación de presión producida por el aumento de la relación de áreas. Para mayores ángulos tiene lugar un gran desprendimiento transitorio en el que la separación varía de posición, tamaño e intensidad con el tiempo. Otro artículo de Kline 6 de la misma serie es de especial interés para 57

,

,

¡

.. .

Termodinámica de las Turbomáquinas

Termodinámica básica, mecánica de fluidos: Definiciones de rendimiento

aquellos estudiantes que deseen adquirir un conocimiento físico simple de lo que ocurre en flujos con desprendimiento y particularmente en flujos en conductos. En el Capítulo 3 de este libro se tratan los p'roblemas especiales de difusión y desprendimiento en coronas de álabes de compresores axiales utilizando los métodos de correlación de Lieblein y Howell. La figura 2.13 muestra un gráfico de diseno típico para difusores de paredes rectas, en el cual aparecen las líneas de rendimiento óptimo y - y y de recuperación óptima para LIW1 constante. La línea a:- a: indica aproximadamente el ángulo límite de divergencia 28 para cada valor de L/W1 por encima del cual aparece el fenómeno de gran desprendimiento transitorio.

REFERENCIAS

1. GIBBINGS, J. C., Thermomechanics; the Governing Equations. Pergamon.Press Oxford (1970). 2. MoNTGOMERY, S. R., The Second Law of Thermodynamics. Pergamon Press, Oxford (1966). 3. KEENAN, J. H., Thermodynamics. Wiley, New York (1941). 4. SPALDING, D. B. and CoLE, E. H., Engineering Thermodynamics. Arnold, London (1973). 5. KLINE, S. J., ABBOTI, D. E. and Fox, R. W., Optimum design of straight~walled diffusers. Trans. Am. Soc. Mech. Engrs. Series D, 81, (1959). 6. KLINE, S. J., On the nature of stal1. Trans. Am. Soc. Mech. Engrs. Series D, 81, (1959). PROBLEMAS

l. Demostrar para la expansión adiabática de un gas perfecto a través de una turbina, que el rendimiento global r¡ 1 y el rendimiento del pequeño escalonamiento f/p están relacionados por

l/W¡

FIG. 2.13.

••

Típicas curvas de diseño, difusores de pared recta (Kline y otros5 ), (Cortesía Am. Soc. Mech. Engrs).

donde e=r(l-0/y y r es la relación de expansión, y es el cociente de calores específicos. Una turbina de flujo axial tiene un rendimiento del pequeño escalonamiento de 86 %, una relación de presiones global de 4,5 a 1 y un valor medio de y igual a 1,333. Calcular el rendimiento global de la turbina. 2. En una turbina de varios escalonamientos se expande aire, siendo la caída de presión en cada escalonamiento muy pequeña. Suponiendo que el aire se comporta como un gas perfecto con un cociente de calores específicos y, obtener las relaciones presión-temperatura para los procesos siguientes: (i) expansión adiabática reversible; , (ii) expansión adiabática irreversible, con rendimiento del pequeño escalonamiento r¡P; (iii) expansión reversible en la cual la pérdida de calor en cada escalonamiento es una fracción constante k de la caída de entalpía en dicho escalonamiento; (iv) expansión reversible en la cual la pérdida de calor es proporcional a la temperatura absoluta T. Representar los tres primeros procesos en una diagrama T,s. Si la temperatura de entrada es de .1100 K, y la relación de presiones a lo largo de la turbina es de 6 a 1, calcular las temperaturas de escape en cada uno de estos tres casos. Suponer que y es 1,333, r¡P=0,85, y que k=O,l. 3. Una turbina de vapor de alta presión de varios escalonamientos está alimentada con vapor a una presión de parada de 7 MPa absolutos y una temperatura de parada de 500 °C. La entalpía específica correspondiente es 3410 kJ/kg. El vapor escapa de la turbina a una presión de parada de 0,7 MPa abs., realizándose toda la expansión en condiciones de vapor recalentado. Se puede suponer que el vapor se comporta como un gas perfecto durante la expansión y

'1

~;

~

~·'i ~.· •

58

59

i

''

'

';

'' ' '

Termodil\ámica de las Turbomáquinas

,¡ ''

que y=1,3. Sabiendo que el proceso del flujo en la turbina tiene un rendimiento del pequeño escalonamiento de 0,82, determinar (i) la temperatura y el volumen específico al final de la expansión, (ii) el factor de recuperación. El volumen específico del vapor recalentado se presenta por pv=0,231(h1.943), donde p está en kPa, v en m3/kg. y h en kJ/kg. 4. Una turbina de contrapresión de 20 MW recibe vapor a 4 MPa y 300 "C saliendo del último escalonamiento a 0,35 MPa. El rendimiento del escalonamiento es 0,85, el factor de recuperación 1,04 y las pérdidas externas el2% de la caída isentrópica de entalpía. Determinar el gasto de vapor. A la salida de las toberas del primer escalonamiento, la velocidad del vapor es de 244 mis, el volumen espe~fico 68,6 dm 3 /kg, el diámetro medio 762 mm y el ángulo de salida del vapor 76 ~medidos desde la dirección axial. Determinar la altura de salida de las toberas en este escalonamiento. - -- -- -- -- --- ---·5. Se suministra vapor a una presión de parada de 1,5 MPa y una temperatura de parada de 350 nc al primer escalonamiento de una turbina de vapor compuesta por cinco escalonamientos de presión. El vapor sale del último escalonamiento a una presión de parada de 7,0 kPa con un título correspondiente de 0,95. Utilizando el diagrama de Mollier para el v,< 105 basado en la cuerda media y en las · condiciones de salida del flujo de la turbina. Recomendaron para números de Reynolds más bajos, inferiores a 5 X 104 , hacer una corrección al rendimiento del escalonamiento de acuerdo con la regla aproximada:

(3.48a)

donde e es la anchura en la garganta, representada en la figura 3.23, y ses el paso. Esta regla, ampliamente utilizada, da una aproximación muy buena para un valor medio de los ángulos de flujo medidos a lo largo del paso cuando el número de Mach a la salida es o está próximo a la unidad. Sin embargo, para números de Mach bajos se han encontrado variaciones importantes entre la regla y los ángulos de flujo observados. Ainley y Mathieson 15 recomendaron que para números de Mach de salida bajos O + ja,) 2

312

(7.7) 233

Bombas, ventiladores y compresores centrífugos

Termodinámica de las Turbomáquinas

donde

cp

De la ecuación (7.8a),

Para obtener la condición de máximo Qss' se deriva la ecuación (7.7) respecto a 0°) y también para algunos rodetes de flujo mixto. Todos estos análisis se basan en la hipótesis de fluido no

Modelo de flujo para el factor de deslizamiento de Stodola. ••f'

para el deslizamiento. Refiriéndonos a la figura 7.8, la velocidad de deslizamiento c&s = cm_ ~ c&2 se considera como el producto del remolino relativo y el radio d/2 de un círculo que se puede inscribir en el interior del canal formado por dos álabes consecutivos. Por tanto, c8 ., = Qd/2. Si llarnmilos Z al número de álabes, se puede escribir una expresión aproximada d = (2nrzfZ)cosf32 si Z no es pequeño. Puesto que Q = U 2 /r 2 , entonces

•

VISCOSO.

Si un fluido sin .fricción pasa sin movimiento de giro a través de un rodete, el movimiento de giro tiene que seguir siendo nulo a la salida. El rodete mismo tiene una. velocidad angular Q de modo que, respecto al rodete, el fluido tiene que tener una velocidad angular de - Q: esta cantidad es denominada remolino relativo. De la idea del remolino relativo se obtiene una de las explicaciones más sencillas para el efecto de deslizamiento en un rodete. En la salida del rodete, el flujo relativo puede considerarse corno un flujo al cual se superpone un remolino relativo. El efecto neto de estos dos movimientos es que el flujo en la salida se inclina hacia el extremo del álabe en dirección contraria al movimiento del mismo (fig. 7.7). Stodola.' obtuvo una de las más recientes y sencillas expresiones 240

(7.13) Ahora bien, corno c82 = U2 - c,2 tang {32, el factor de deslizamiento de Stodola se transforma en l . •

1:

•

a = c82 = 1 c;2

=--c-='c:.'-,---lj2 - Cr2 tang (32_

(7.14) -~.--.,.

• '

'

o bien, a=

donde ' 2

=

1

_

f3;

(1r/Z) COS 1 - 2 tang

(7.15)

[32 _,.

c,2 / U2

,

• 241

•

i'

•

Se han desarrollado numerosas soluciones más refinadas (matemáticamente exactas), las más conocidas de las cuales son las de Busemann, discutidas con alguna extensión por Wislicenus 8 y Stanitz, 6 mencionados anteriormente. El volumen de trabajo matemático requerido para describir estas teorías es demasiado extenso para justificar su inclusión aquí y solamente se presenta un breve resumen de los resultados. La teoría de Busemann se aplica al caso especial de álabes bidimensionales curvados según espirales logarítmicas, como se muestra en la fig. 7.9. Considerando la geometría del elemento de álabe mostrada, debería ser una labor sencilla para el estudiante demostrar que

y

=

tang {3' ln(r,lr 1)

(7.17a)

que la relación entre la longitud del álabe y el paso equivalente entre dos álabes es

1 -S

Bombas, ventiladores y compresores centrífugos

'

Termodinámica de las Turbomáquinas

z 2 "cos {3'

In

~) r,

¡-

•'~

-~/3'dr

r

=

s

tang {3' dr di = dr sec{3' y=B2-et

FIG. 7.9. Alabe en espiral logarítmica. El ángulo del álabe (3' es constante puru , cualquier radio.

=

2rr(r2 - r1 ) Z In (r 2 jr 1 )'

La espiral equiangular o logarítmica es la forma más simple de sistema de álabes radiales y se ha usado frecuentemente en el pasado para rodetes de bombas. El factor de deslizamiento de Busemann se puede escribir como 1

'.

~

1

o8 = (A + B•- hot C,To,(To,,/To 1 7Jc = = ho 3 - h0 , h02 - hot

-

1•

1)

(7.20)

= C,To,(To,,/Tot -1)/(UzCez).

Ahora bien, la relación de compresión global es

• ••o· .•

Pol _

•

Pot

(To3s

'

yf(y-t)

To1

recomiendan álabes radiales (/32 = O) y se obtiene la sencilla expresión siguiente para la relación" de compresión:

(7.21)

1·'

·

Sustituyendo (7.20) en (7.21) y observando que CP T01 (y- 1) = ai; 1 /(y- 1), la relación de compresión será

habiendo tenido en cuenta que c82 = aU2 , en la que se aplica la relación de Stanitz para el factor de deslizamiento, a, = 1 - 2/Z. Es de algún interés calcular la relación de compresión de un compresor de aire centrífugo de álabe radial utilizando la ecuación

(7.23c), con valores típicos de velocidad del extremo del álabe y de rendimiento. La figura 7.11 muestra la variación de la relación de compresión con la velocidad del extremo del álabe para tres valores

••

&r--------------------

(7 .22)

Del triángulo de velocidades en la salida del rodete (fig. 7.1)

~

o

~

oo

2

5

~

= c, 2 / U2 =( tanga2 + tang ¡32 ) -l

.

e ·o

ft~

-~

•

""' "'

~

y, por tanto,

~

E o u

Po> Po1

. (y - l)~p¡tang a 2 1 + a5 1(tanga 2 +tang,82)

.~

•

'1/('t-1)

~

•

(7.23a)

e

•O

u

••

3 cr =0·9 y =1~

~

Esta expresión es útil si se pueden conocer los ángulos del flujo. • Alternativamente, como c,2 tang a 2 = U2 (1 - 2 tang /32 ), Po>= [1 +(y-

lhPi(l -

2

2

tang j3,)fa5.]' 1''-"· (7.23b)

Po1

La velocidad del extremo del álabe U2 de compresores con elevada relación de compresión tiene, por fuerza, que ser alta, y álabes no radiales estarían sujetos a grandes tensiones como resultado de las fuerzas centrífugas. Para tales compresores de altas prestaciones se

248

Velocidad del extremo del álabe Velocidad de parada de sonidos en la entrada

--'ui'-' a.,

FIG. 7.11. Variación de la relación de compresión con la velocidad del álabe para un compresor de álabes radiales ({3;, = 0), para varios valores de rendim¡ento.

249

BombaS, ventiladores y compresores centrífugos

Termodinámica de las Turbomáquinas

de rendimiento del compresor con aire aspirado en condiciones normales (am = 340,5 mis y y= 1,4). Se toma 0,9 como valor del factor de deslizamiento que representa un compresor típico de diecinueve álabes radiales. Está claro por la figura 7.11 el fuerte efecto del rendimiento y de la velocidad del álabe sobre la relación de compresión. El límite de la velocidad del álabe debido a las fuerzas centrífugas parece estar alrededor de 500 mis, y los rendimientos de compresores centrífugos rara vez .exceden del &O %, por lo que las relaciones de compresión más altas obtenidas en un solo escalona- . miento están alrededor de 5 .a. l. Parece característico de todos los compresores que el rango de gastos másicos entre bombeo y bloqueo se haga menor cuanto mayor sea la relación de compresión para la cual se diseña la máquina. En el caso de un compresor centrífugo, el bloqueo tiene lugar normalmente cuando el número de Mach en la entrada de los conductos del difusor es próximo a la unidad. El problema se complica por la separación inducida por choque de la capa límite en los álabes, lo que tiende a agravar el problema del bloqueo del flujo.

(7.25) Suponiendo. que no existe rotación a la entrada, el triángulo de velocidades de entrada se puede utilizar para obtener h 01 = h 1 +:\-(wl - Ul). Introduciendo esto en la ecuación (7 .4),

por tanto,

(7 .26)

Sustituyendo las ecuaciones (7.25) y (7.26) en la ecuación (7.24),

2

+

(7.27)

observando que Para el caso importante de rodetes de álabes radial es (/32 = 0), a= 1 - 2 tang j32 , lo cual puede utilizarse en la ecuación (7.27). Después de alguna reordenación,

NUMERO DE MACH EN LA SALIDA DEL RODETE Con velocidades del extremo del álabe elevadas, el flujo absoluto que abandona el rodete puede tener un número de Mach muy por encima de la unidad. Como este número de Mach puede relacionarse con el número de Mach en la entrada a los álabes del difusor, tiene alguna ventaja el poderlo calcular. Suponiendo un gas perfecto, el número de Mach en la salida del rodete M 2 se puede escribir como

Tz azz

a~ 1 [1

+ (!

- 4>2 tang f:l:,j2] , !(y-!)(Uifa~.)(! -4> ~ sec 2 /lz)]

[,Pi

Mz = Ui

2 -

Mz-

a~ 1 [1

Ui(,P~

+ az)

+ t(y- l)(Ui/as.){a(2- a)-,¡,;¡]

.

(7.28)

Con U2 = 500 mis, a= 0,9. y= 1,4 y a 01 = 340,5 mis, la ecuación (7.28) puede utilizarse para encontrar el valor de M 2 si se conoce el valor de 2 • Puesto que las velocidades de los extremos de los álabes son altas, 2 es generalmente bajo y el número de Mach M 2 es relativamente insensible a ifJ-z. Para 0,1 ::::: cf>2 < 0,3, M? varía en el intervalo 1,2 > M 2 > 1,16.

(7.24)

En el rodete de un compresor centrífugo entra aire en dirección axial con una temperatura de parada de 22 oc. El rotor, que tiene 17 álabes radiales, gira a 15.000 revimin. La relación de EJEMPLO:

puesto que a ij1 = yRT01 Y a~ = yRT2,. Refiriéndonos al triángulo de velocidades de salida, figura 7.1, 1 '

250

251

Bombas, ventiladores y compresores centrífugos Termodinámica de las Turbomáquinas

Por ello, el radio exterior del rodete es

presiones de parada entre la salida del difusor y la entrada al rodete es 4,2 y el rendimiento global (total a total) es del 83 %. Determinar el radio exterior del rodete y la potencia requerida para accionar el compresor cuando el gasto es de 2 kgis y el rendimiento mecánico es del 97 %. Sabiendo que la densidad del aire en la salida del rodete es 2 kgim3 y la anchura axial a la entrada del difusor es de 11 mm, determinar el número de Mach absoluto en ese punto. Supóngase que el factor de deslizamiento es a, = 1 - 2i Z, donde Z es el número de álabes. (Para el aire tómese y

= 1,4

y R

r,

= U 2 /fl =

452/1570 = 0.288 m.

La potencia efectiva se obtiene de

w,,,¡ =

W,f"'m

m!;, W!"'m = 2

=

M2-~_ a2

(c,2 2

Cz

(yRT2)'

+e,/)'. •

c,2

U 22 = :C::.!PC:T.-"o.'C(::_r_"_"_'_' ' --~1) as "'e

c 82 =

Por tanto, c2 Puesto que

1005 Jikg "C;

mj(p22rrr,b 2) = 2/(2 u,U2 = 400 mjs.

= V (400 2 +

Por consiguiente,

=

X

50,3 2 )

ho2 = hot

h2

-

4522/0.97

donde

puesto que ce 1 =O. Combinando las ecuaciones (7.20) y (7.21) con la anterior y reordenando da

U2 2

X

Aunque el número de Mach absoluto en la salida del rodete se puede obtener casi directamente de la ecuación (7.28), puede ser instructivo obtenerlo de

Solución. De la ecuación (7.1a) el trabajo específico es

_

0,8824

373 kW.

-

= 287 Jikg "C.)

donde r = p 03 ip 01 = 4,2; CP = yRi(y- 1) a,= 1 - 2i17¡ = 0,8824.

X

hot

2rr

X

0.288

= 402,5

0.011) = 50.3 m/s

X

mis.

+ !;.W

+ !;.W-lc2 2 •

Por tanto,

1005 x295(4.2°• 2 ' 6 0.8824 X 0.83

-

1)

= 20.5 x

T2

¡o•.

+ (t;.W- ic 22)/Cp =

= Tot = 394

295

+ (18.1- 8.1)104 /1005

5 K ..

con lo cual, Por tanto, U2

= 452 mis. M

La velocidad de giro es Q =

= 2

402.5 _ .J{402 X 394,3) - LO!.

15,000 X 2rr/60 = 1570 radjs. •

252

''

'

,_

'

~---m::·==·.::.:.···:_::· ·:.:.·_:_·- - - ' - - - - - -

253

Bombas, ventiladores y compresores centrífugos

Termodinámica de las Turbomáquinas

de ángulo e (fig. 7.9) se puede encontrar a partir de la geometría del flujo como sigue. Para un incremento de radio, dr, rde = dr tang a que se integra para dar

EL SISTEMA DIFUSOR Las bombas y los compresores centrífugos están, en general, provistos de un difusor, ya sea con álabes o sin ellos, para transformar la energía cinética de salida del rodete en presión estática.

e - e2

El concepto más simple de difusión en una máquina de flujo radial es aquel donde la velocidad tangencial se reduce mediante un incremento del radio (conservación del momento cinético) y la componente radial de la velocidad se controla por el área del flujo radial. De la ecuación de la continuidad, puesto que rh = pAc, = 2n:bpc, donde b es la anchura del conducto, entonces

Ct

=

rbp

.

(7.30)

Tomando a = 78" y r 3 /r2 = 2 por ser valores bastante representativos, la variación de ángulo, 83 - 82 , es cercana a 180°. A causa de la larga trayectoria del flujo en este tipo de difusores, los efectos de la fricción son importantes y el rendimiento es bajo.

Difusores sin álabes

r2b2p2Cr2

= tanga !og(rz/r,).

Difusores con álabes En los difusores con álabes, éstos se .utilizan para eliminar la rotación del fluido en mayor proporción que la que es posible mediante un simple aumento del radio; reduciéndose por esta razón la longitud de la trayectoria del flujo y el diámetro. El difusor con álabes resulta ventajoso cuando es importante que el compresor sea pequeno. Una configuración típica de difusor con álabes se ilustra en la figura 7.1. Existe un juego entre el rodete y los bordes de ataque de los álabes de un valor alrededor de 0,04 D 2 para bombas y entre 0,1 D 2 y 0,2 D 2 para compresores. Este espacio constituye un difusor sin álabes y sus funciones son: (i) reducir el gradiente circunferencial de presión en el extremo del rodete, (ii) disminuir las variaciones de velocidad entre el extremo del rodete y los álabes, y (iii) reducir el número de Mach (en compresores) en la entrada de los álabes. El flujo sigue aproximadamente una trayectoria espiral logarítmica hacia los álabes, siendo después conducido por los canales del difusor. Para una rápida difusión el eje del canal es recto y tangencial a la espiral, como se vio anteriormente. Los conductos se diseñan generalmente basados en la teoría simple de canales con un ángulo equivalente de divergencia entre 8° y 12° para controlar el desprendimiento. (Véase las notas del Capítulo 2 sobre rendimiento de difusores de paredes rectas.) El número de álabes del difusor tiene una relación directa con el

(7.29)

Suponiendo que el flujo es sin fricción en el difusor, el momento cinético es constante y c8 = c82 rzlr. Ahora bien, la componente tangencial de la velocidad cR es normalmente mucho mayor que la componente radial cr; por tanto, la relación de velocidades de entrada y salida del difusor c2 /c3 es aproximadamente r3 /r 2 . Evidentemente, para obtener reducciones útiles de la velocidad, los difusores sin álabes tienen que ser grandes. Es posible que esto no sea una desventaja en aplicaciones industriales, donde tamaño y peso pueden ser de importancia secundaria comparados con el costo de un difusor con álabes. Un factor en favor de los difusores sin álabes es la amplia gama de funcionamiento que se puede obtener, siendo los difusores con álabes más sensibles a la variación del flujo a causa de los efectos de incidencia. Para un difusor radial de paredes paralelas en flujo incompresible. rcr es constante y, por tanto, tang ex= c8 /cr =constante. Bajo estas condiciones el flujo mantiene una inclinación constante ex respecto a líneas radiales, y la trayectoria del flujo describe una espiral logarítmica. La ley que relaciona la relación de radios con la variación

255

254 ::

Termodinámica de las Turbomáquinas

Bombas, ventiladores y compresores centrífugos

tamaño y con el rendimiento del difusor sin álabes. Con un gran número de álabes, el ángulo de divergencia es menor y el difusor se hace más eficiente hasta el punto donde el incremento de la fricción y el bloqueo superan la ventaja de una difusión más gradual. Además, considerando los álabes como una cascada, un aumento del número de los mismos implica una reducción de la relación de radios, ya que la relación paso-cuerda será más o menos constante. No obstante, como discutió Cheshire, 1 demasiados conductos difusores pueden tener un fuerte efecto adverso en las características de bombeo de un compresor centrífugo. Con varios conductos difusores adyacentes que compartan el gas de un solo conducto del rodete, la distribución desigual de velocidad de ese conducto da como resultado que unos conductos difusores estén faltos de flujo y otros bloqueados. Esta es una situación inestable que conduce a la inversión del flujo en los conductos y a bombeo del compresor. Cuando el número de conductos difusores es menor que el número de conductos del rodete, resulta un flujo total más uniforme.

2

~-·

y+

Po

y cuando e

256

=

+ t(y-

[!

Po T

a, M

=

!)M']'-'"'-"

!, por lo que

!!__

=

(

Po

2

)1/(y-1)

y+ 1

(7.32)

Sustituyendo las ecuaciones (7.31) y (7.32) en la ecuación de la continuidad, m/A = pe = p(yRT),,' y entonces

,;,

(

2 )./D 2 no debe exceder de 0,7 para evitar una excesiva curvatura de la envolvente. Además, sería improbable que la relación entre el diámetro del tambor y el diámetro exterior en la salida del álabe D 3 h!D 3 , cayera por debajo de 0,35, a causa del bloqueo del flujo debido al poco espaciamiento entre álabes. Por ello, se puede encontrar un límite superior para A?,!Ad

es decir, la velocidad específica es directamente proporcional a la raíz cuadrada del coeficiente volumétrico de flujo. Para obtener algún significado físico de las ecuaciones (8.33) y (8.34a), definamos un área del disco del rotor Ad = nD 2214 y supongamos una velocidad de salida del rotor axial uniforme c3 de forma que Q3 = A 3 c3 , entonces, como

Q,

(rad)

(8.34a)

ND 2

N= U2/(rrD2) =

~ t ~ t• Co

Para la turbina centrípeta a 90° ideal, se vio anteriormente que la relación entre velocidad del álabe y velocidad del chorro era Uzfc 0 = 1/VZ = 0,707. Sustituyendo este valor en la ecuación (8.34), N,= 0.18

2.11

c3 17

2

=A;;~2y'2

Factor de energía de escape, (C:JC 0) 2

Por tanto, N,= 0:336

286

!,

fiG.

(rev) •

(8.34b)

8.8.

Función de velocidad específica para una turbina de flujo radial centrípeta a 90 o (adaptado de Wood 1H).

287

Termodinámica de las Turbomáquinas

Turbinas de flujo radial

La figura 8.8 muestra la relación entre Q" el factor de energía de escape (c,/c0 ) 2 y la relación de áreas A,IA,¡ basada en la ecuación (8.34c). Según Wood, 18 los límites para el factor de energía de escape, en la práctica de turbinas de gas, son 0,04 < (c,/c0 ) 2 < 0,30, siendo el valor más bajo, al parecer, un límite de la estabilidad del flujo. Turbinas Francis

1·0

/

8

/Í

6

/ /

4

~Turbinas

centrípetas a 90°

Turbinas axiales

------r--

-·

E

0·2

o

0·01

1

1

0·1

1· o

·-

Velocidad específica,

FIG. R.9.

Q

10·0 5

{rad)

Características de velocidad específica- rendimiento para varias turbinas (adaptado de Wood 1 ~).

El valor numérico de la velocidad específica proporciona un índice general de la capacidad de flujo respecto al trabajo realizado. Valores bajos · de Q,. están asociados con secciones de paso del flujo relativamente pequeñas, y valores elevados, con secciones relativamente grandes. La velocidad específica se ha usado ampliamente como una indicación general del rendimiento alcanzable. La figura 8. 9 presenta una amplia correlación de rendimiento máximos para turbinas hidráulicas y de flujo compresible en función de la velocidad específica. Estos rendimientos se aplican a condiciones favorables de diseño con altos valores del número de Reynolds del flujo, difusores eficientes y pérdidas por fugas bajas en los extremos de los álabes. Se ve que sobre una gama limitada de velocidades específicas las mejores turbinas de flujo radial alcanzan el rendimiento de las mejores turbinas de flujo axial, pero, desde º., = 0,03 hasta 10, ninguna otra

forma de turbina que trabaje con fluidos compresibles puede exceder las altas prestaciones de la turbina axial. Sobre el intervalo relativamente limitado de velocidades específicas (0,3 < º., < 0,9) en que la turbina radial centrípeta a 90° puede producir un alto rendimiento es difícil encontrar una ventaja de actuación decisiva a favor de la turbina de flujo axial o de la de flujo radial. Nuevos métodos de fabricación permiten fundir los álabes de pequeñas turbinas radiales formando un con junto con el rotor, de forma que ambos tipos de turbinas pueden funcionar con velocidades del extremo del álabe similares. Wood 18 ha comparado los méritos relativos de las turbinas de gas axiales y radiales con cierta extensión. En general, aunque el peso, el volumen ocupado y el diámetro son mayores en las turbinas radiales que en las axiales, las diferencias no son tan grandes, y las compatibilidades mecánicas de diseño pueden invertir dichas diferencias en una planta de potencia completa con turbinas de gas. Los estudios realizados en la NASA sobre ciclos Brayton nucleares para la generación de 'potencia en el espacio se han realizado todos ellos con turbinas centrípetas a 90°, en vez de con turbinas axiales. Es interesante utilizar los datos de la gran turbina Francis empleada en Gran Coulee (ver introducción a este capítulo) para determinar la velocidad específica y compararla con los datos dados en la figura 8.9. Ni el rendimiento ni el salto están específicamente fijados. Sería razonable, no obstante, suponer que el rendimiento, r]n es 0,95 para determinar la altura hidráulica efectiva en la entrada de la turbina. De este modo, H

=

W,f(pgQ~,) = 600 X 10 6 /{10 3 X 9 81 X 850 X 0.95).

=

75,8m.

Por tanto, la velocidad específica (rad) es

\

(72 X w/30) X 850' ' - (gH)' - '----:(""9,-;c8-;"1-x-;7"'5:-;;,8"')•c- ·

Q _

=

QQt _

1,56

Se puede ver en la figura 8.9 que este valor de º., está cercano al

289 •

'

.,

1

Termodinámica de las Turbomáquinas

extremo derecho de la curva señalado por «turbinas Francis» de acuerdo con la característica general. Para valores fijados de Q, H y U2 , como Q = 2U2/D,,

Turbinas de flujo radial

1·O

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límite1 031!0 2 =0'7

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-• -~

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í!Ql - -,---0"-. - (gHJI

(/' funciona en su punto de diseño con un rendimiento total a total de O 90.~-.A_- -Í~ 1 · entrada de la turbina la presión y la temperatura de parada del gas es Joo- kPa y !-I ( 1140 K. El flujo que sale de la turbina se expande hasta una presión de 100 kPa--;(0 y y tiene una velocidad final despreciable. Sabiendo que el flujo está bloqueado a la salida de !as toberas, determinar la velocidad periférica del rodete y el ángulo de salida del flujo de las toberas. Para el gas supóngase y ~ 1.333 y R ~ 287 Jl(kg "C). 2. El gasto másico de gas a través de la turbina del problema n. 0 1 es de 3,1 kg/s, la relación anchura axial del extremo del rodete/radio exterior del rodete (b 2/r 2 ) es 0,1 y el coeficiente de pérdid~ de velocidad en las toberas (4>2 ) es 0,96. Suponiendo que el espacio entre la salida de las toberas y la entrada al rodete es despreciable, e ignorando los efectos del bloqueo en los álabes, determinar: (i) la presión estática y la temperatura estática a la salida de las toberas; \~~) el diáme~ro exteri?: del rod~te y la velo~id~d de giro; ., (m) la potencta transmitida supomendo un rendimiento mecánico del93,5 %. 3. Una turbina radial está propuesta como elemento de expansión de un sistema nuclear de potencia espacial que sigue un ciclo Brayton. Las condiciones de presión y temperatura a través del escalonamiento en el punto de diseño van a ser las siguientes: Aguas arriba de las toberas, p 01 = 699 kPa, T01 = 1145 K Salida de las toberas, p 2 = 527,2 kPa, T 2 = 1029 K Salida del rotor, p 3 = 384,7 kPa, T 3 = 914,5 K, T, 13 = 924,7 K. La relación entre el diámetro medio de salida del rotor y el diámetro exterior de la entrada del rotor se elige como 0,49 y la velocidad de giro necesaria como 24.000

{"i!,.

V '

·· !''/ ·' ;-.iagramas de velocidades, 144-145. - - - Elección de la reacción, 149. - - - Escalonamiento normal, 144. - - - . Estabilidad, 166-169. - - - . Estimación del rendimiento del escalonamiento de compresor, 158. - - - . Factor de trabajo realizado, 160. - - - . Grado de reacción de un escalonamiento, 148-149, 186-187. - - - . Pérdidas en el escalonamiento y rendimiento, 147-148. ---.Problema directo, 196. - - - . Relación de compresión de un compresor de varios·escalonamien~ tos, 156-158. - - - . Rendimiento total a total, 148. - - - . Variación de los perfiles de velocidades a través de un escalonamiento, 158-159. Condiciones dinámicamente semejantes, 10,12. - nominales, 77, 86. Constante universal de los gases, 21, 301. Convenio de signos para transferencias de trabajo, 29, 30. Coronas de álabes cercanas. Efectos de interacción, 213-215. Correlación de Lieblein para cascadas de compresor, 81-85. -de Soderberg, 113-116, 117. - - . Corrección del espesor/cuerda .del álabe, 115. - - . Corrección del número de Reynolds, 116.

Correlación de Soderberg. Correlación de relación de aspecto, 115-116. Criterio de Zweifel, 100, 102.

'

D

Deflexión del fluido. Definición, 77. - . Nominal, 78. Desigualdad de Clausius, 35. Deslizamiento. Definición, 239. - . Factor, 239-245. - . Velocidad, 241. Desprendimiento. Propagación, 74. - . Punto de, 73, 78. -rotativo, 166, 167 . . Desviación del fluido, 87-88. Diagrama de Mollier. Escalonamiento de compresor axial, 146. - - . - de turbina axial, 111. - .:.___, Etapa de compresor centrífugo, 227. - - . Turbina centrípeta, 268, 280. - - . Turbinas y compresores~ 39, 47, 52. Diámetro hidráulico medio, 116. Difusión. Relación óptima, 55-56, 142. - en álabes de compresor, 83, 84. - - d e turbinas, 121. Difusor. Límites de desprendimiento, 58. - . Rendimiento óptimo, 58. -bidimensional, 56. -cónico, 56. Dimensiones, 4-6. - primarias, 8. Disco actuador. Comparación con la teoría del equilibrio radial, 211. - - . Efectos de interacción entre coronas de álabes, 213-215. - - . Ley de asentamiento, 212. - - . Método, 210-212. --.Regla del valor medio, 211. --aislado, 209-211. Distribución general de torbellino, 191-192.

309

-

'

Indice alfabético de materias

E

Ecuación de Bernoulli, 32. -de Euler, 31-32. --del movimiento, 31. -del movimiento, 33. - de la continuidad, 27-28, 40, 109, 189, 204, 232, 258. -de la energía para flujo estacionario, 29. - de las bombas, 34. -de las turbinas, 265. Efectos del número de Mach, 82, 9192. Ejercicios ilustrativos. Bomba cent{Ífuga, 246-247. - -. Cascada de compresor, 88. - --. Escalonamiento de compresor axial, 162-166. - - . - d e turbina axial, 123-126. - - . Etapa de compresór centrífu-. go, 237, 251'253. --.Flujo tridimensional, 193-195. - - de cascada de compresor fuera de diseño, 88-89. · - - d e compresor axial de varios escalonamientos, 157. - - d e flujo de torbellino libre, 187189. - - d e turbina de flujo radial, 274. - - de velocidad específica de una turbina Francis, 289. -sobre álabes de espiral logarítmica, 242-243. - sobre rendimiento politrópico de turbinas, 49. -sobre turbinas de flujo radial, 274. - sobre unidades, S. Energía interna, 28-30. Entalpía de parada, 21, 30. Entropía, 35. Envolvente, 225, 267. Equilibrio radial. Análisis, 181. - - . Ecuación, 184, 185. - - . Teoría, 182 y sig. Escalonamiento de primera potencia. Diseño, 192. -de turbina de reacción cero, 119.

Escalonamientos de turbinas. Flujo tridimensional, 205-207. Espesor del perfil, 62. Espiral logarítmica, 240-243, 254, 255. Ex ductor, 267.

Indice alfabético de materias

•

H

N

Hertz. Unidad de frecuencia, 5. Howell. Método de correlación, 8687, 89. -.Regla de la desviación, 86-87. - . Regla de la diferencia de tangentes, 87.

National Advisory Comittee for Aeronautics (NACA), 80, 84. National Aeronautics and Space Administration (NASA), 80, 287, 289. National Gas Turbine Establishment (NGTE), 73. National Physical Laboratory (NPL), 6, 75. Newton. Unidad de fuerza, 4. Número de Mach. Efectos en una cascada, 91-92. --crítico, 91-92. --del álabe, 22. - - e n turbinas de flujo radial, 277. - - en el ojo de un compresor centrífugo, 235-236. - - en la entrada de una cascada, 72, 91. ---en la salida del rodete, 250. - - relativo, 236, Número de Reynolds, 9, 13, 15, 20. - - . Valor crítico, 77.

F Factor de energía de escape, 287, 292. -de recuperación, 51. -de trabajo realizado, 160-161, 162. Fluidos compresibles. Análisis, 20-26. Flujo bloqueado, 90, 99, 255-259, 294295. -compresible a través de una corona fija de álabes, 198-199. - continuo. Computación matricial, 215. - - . Problema, 215. -de Torbellino libre, 185, 187. - - -. Ejercicios ilustrativos, 187189. -en equilibrio radial, 181. -estacionario. Ecuación del momento cinético, 33. - - . - de la cantidad de movimiento, 31. - - . - d e la energía, 29. --definitivo, 162. - másico específico constante, 199203. - s'ecundario - Secundario. Pérdidas, 72, 94-96. - - . Vorticidad, 74, 217. - unidimensional, 28. Flujos secundarios, 74, 216-219. - - . Analogía del giróscopo, 216. - - . Sobredesviación, 217-219. Fuerza. Definición, 4.

G

Gas perfecto, 21. Gasto másico, 21.

1 1 1

I.F.R. inward-flow radial, 264. Indice politrópico, 49. Inductor, 225.

l J Julio. Unidad de energía, 4.

K

Kelvin. Unidad de temperatura termodinámica, 5.

L

Ley de Torsión, 62. -del momento de la cantidad de movimiento, 33-34. - de la elipse de Stodo la, 132-137. Libre de Torbellino, 185. Límites de la relación de presiones de una turbina centrípeta, 295-297. Línea de bombeo, 25, 166. -de curvatura, 62. Línea de paso medio. Hipótesis de análisis en la trayectoria media de compresores axiales, 143. - - - . Hipótesis de análisis en la trayectoria media de turbinas axiales, 107. -de sustentación cero, 176.

p PascaL Unidad de presión, 4. Perfil aerodinámico. Línea de sustentación cero, 176. --.Teoría, 69, 175, 176. Potencia. Coeficiente, 9, 23. - hidráulica neta, 10. Prerrotación. Efecto en la actuación de un compresor, 238-239. Presión de vapor, 5, 7. - total. Correlación de pérdidas (Ainley), 92-99. Problema directo, 196-197. Propiedades del fluido, 7, 21. Puntos correspondientes, 10. R

Reacción. Efectos en el rendimiento, 121-122.

311

310

•

Indice alfabético de materias

Indice alfabético de materias

Reacción. Valor real, 195. - cero, 120. -cincuenta por ciento, 121. - del álabe, 80-81. - de un escalonamiento de compresor, 148-151, 186-189, 192. - - d e turbina, 117-121. Regla de Cosine, 155. Relación de aspecto de un álabe, 75. -de difusión equivalente, 85. -de paso-cuerda óptima, 95, 100101. Remolino relativo, 240. Rendimiento. Definiciones, 36 y sig. -adiabático, 38, 44. --global, 49. - de cascada de compresor, 70-72. -de compresores y bombas, 42-44. - de turbina hidráulica, 37, 42. - de turbinas, 37, 42, 50. - de un difusor, 54-58. -de una tobera, 52-53. -en el punto de diseño, 272. -hidráulico, 38. - máximo total a estático, 118, 128132. -mecánico, 38, 42. -óptimo, 14. - politrópico o del pequeño escalonamiento, 44-52. -total a estático, 41, 112, 127-132, 272-276, 291, 293. - - a total, 41; 111-112, 128, 248, 273. Resistencia, 67, 78, 151, 159, 165. Resonancia tipo Helmholtz, 166. Rodete. Análisis de un compresor centrífugo, 227. - de bomba, 15. Rotalpía, 229, 269. Royal Aircraft Establishment (RAE), 142. Royal Society, 6.

Segunda ley de Newton del movimiento, 27, 30, 282. - - de la termodinámica-entropía, 35-36. Semejanza, 6 y sig. - dimensional, 6, 7, 9. -geométrica, 9. Sistema Internacional (SI) de unidades, 4-6, 303. Supercavitación, 18. Superficie de control, 6. Sustentación, 67-69. - . Coeficiente, 54-57, 67-69, 172. ~. Relación de circulación, 69-70. - y resistencia. Relación, 67-72, 80, 172.

81 285

T

Temperatura, 4, 19. Teorema de Kutta-Joukowski, 70. Termodinámica. Primera ley, 28-30. - básica, Cap. 2. - -entropía. Segunda ley, 35~36. Torbellino forzado, 190-191. Transferencia neta de energía, 8. Transferencias de energía. Convenio de signos, 30. Tubo de aspiración, 2, 268. Turbina axial. Características del flujo, 132-137. . - - . Definición de un escalonamiento normal, 111. - - . Diagrama de velocidades de un escalonamiento, 108~109. ~ - . Gasto de bloqueo, 25. - - . Límites de la velocidad del ála~ be, 117. -=-liiérdidas en el escalonamiento, 1 11 ~lÚ~eacción del escalonamiento,

11

7

- ~. Termodinámica del escalonamiento, 109 y sig. - - . Tipos de diseño, 116 y sig.

312

Turbina axial reversible, 128-132. - cantilever, 266. - centrípeta. Coeficientes de pérdidas, 278-280. - - . Funcionamiento fuera de diseño, 280. - - . Límites de la relación de presiones, 295-297. ~ _ ~úmero de álabes del rodete,

S

•,

-de acción. Escalonamiento, 121. -de flujo radial. Ejercicios ilustrativos, 274. - - - . Geometría de diseño óptima, 290. -. - - . Límites de relación de presiOnes, 295-297. - - - . Número de álabes del rodete, 281-285. - - - . Selección de óptimo diseño, 290-294. - - - . Tipo de flujo saliente, 263. - - - . Tipo Francis, 2, 263. -de vapor Ljungstróm, 263, 264. - Francis, 2, 263. - - . Ejercicios ilustrativos de la velocidad específica, 289. - Kaplan, 2, 13. - Pelton, 2. radial centrípeta (IFR), 264 y siguientes. Turbinas de flujo axial, Teoría bidimensional, Cap. 4. - - . radial, 263-265 y siguientes. - - - . Coeficientes de pérdidas (IFR a 90"), 278-279. - - - . Pérdidas intersticiales y por ventilación, 294-295. • - - - . Tipo cantilever, 266. - - - . Refrigeradas, 297-298. - - - y difusor, 268. -de Grand Coulee, 265, 289. -radiales centrípetas. Tipos, 265. Turbomáquina. Definición, l. - considerada como un volumen de control, 7.

Turbomáquinas. Características de actuación, 10, 12, 14, 23, 24. -axiales. Flujo tridimensional, Cap. 6. - de flujo mixto, 2, 3, 14, 16.

u

•

Unidades, 4-6, 303. Unidades básicas del sistema SI, 4-5.

V

Valor real. Reacción, 195. Variables de control, 7. - geométricas, 8. Velocidad. Coeficientes, 278. - .. Perturbaciones, 212. -de deslizamiento, 241. - del chorro, 271. -específica, 14-17. --.Aplicaciones y significado, 285290, 292, 293. - - de potencia, 16. - - d e succión, 19. --mayor posible, 16, 290. Ventiladores. Coeficiente de sustentación de un perfil aerodinámico, 175176. - . Definición, 224. - .. Teoría del elemento de álabe, 171 y

,,

Sig.

-carenados de flujo axial, 169 y sig. - centrífugos, 224. Viscosidad cinemática, 9. Voluta (véase Caracol) Vorticidad, 185. -secundaria, 74, 216, 217.

w Watio. Unidad de potencia, 5.

313

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