Turbinas Axiales

Turbinas Axiales

Prof. Jesús De Andrade Mayo 2010

Contenido –

Generalidades

–

Análisis de la etapa de una turbina axial

–

Triangulo de Velocidades y Etapa Normal

–

Trabajo de una Etapa

–

Diagrama de Mollier

–

Grado de Reacción

–

Rendimiento y Pérdidas de una etapa

–

Análisis de los componentes de pérdidas

–

Diseño

–

Funcionamiento fuera del punto de Operación

Generalidades Recordemos que…….. Una turbina es un motor diseñado para convertir la energía de un combustible en energía mecánica útil en un eje y/o en impulso en un chorro. Compresor Sus componentes principales:

Cámara de Combustión Turbina

Turbinas a Gas

Generalidades y además, son empleadas …… • Para generación de energía (plantas térmicas) • Para propulsión aérea • Para abastecimiento de calor Turbina de avión

• Para turbocompresores • Para aeromodelismo (nanoturbinas)

http://www.taringa.net/posts/celular es/1833096/new-ringtone-el-avionpara-movil.html

Análisis de la Etapa de la Turbina Axial Veamos entonces cómo funciona la turbina axial….. ¿¿¿¿¿Rejilla, álabes, rotor, estator…..???

Etapa de una Turbina Axial En una turbina axial el flujo entra a una corona de álabes fijos (estator) que actúan como toberas que aumentan su velocidad y direccionan el flujo para pasar al Rotor. De esta forma se establece que la etapa de una turbina axial esta conformada por una etapa de un Estator y una etapa de un Rotor, que corresponden al paso desde el 1 hasta 3. 1 El estator acelera el flujo y lo direcciona hacia la entrada del rotor.

Estator 2

Rotor

ω 3

El rotor aprovecha la velocidad del flujo y lo redirecciona para generar sustentación en cada alabe y transmitir potencia a un eje.

Análisis de la etapa de la turbina Tanto el rotor como el estator, están compuestos por álabes dispuestos uno al lado del otro de manera circular.

Si extendemos el conjunto Se vería como muestra la figura

Rejilla de álabes

Nomenclatura Álabes en Cascadas b = cuerda axial

l = cuerda s α1 ´

α1 ´

Flujo de Entrada c1

α1

c1 i

l

l

b

θ δ α2 ´

α2´ c2

α2 Flujo de salida c2 (promedio)

α1’ = ángulo tangente línea de centros en la entrada α2’ = ángulo tangente línea de centros en la salida α1 = ángulo del fluido en la entrada α2 = ángulo del fluido en la salida i= α1 - α1’ Incidencia s = Paso (distancia entre dos alabes) ε= α1 - α2 Deflexión θ = α1’ - α2’ Curvatura δ = α2 - α2’ Desviación

Premisas en el estudio de una Turbina Axial –

La velocidad en la dirección radial es igual a cero

–

Se estudian en el plano medio del álabe (representativo de la etapa) o

–

Si la relación de envergadura respecto a la cuerda no es grande

La velocidad axial Cx permanece constante en el paso de una etapa a otra

Triángulos de Velocidades r C1

Solapando los triángulos a la entrada y salida del rotor, obtenemos..

α1

Estator α2 β2

Rotor

r W3

r U

α2

r C2 r U

r W2

r β 2 W2

r W3

r C2

r U β3

rα C3

Y

3

X

β3

r C3

α3

r CX

Etapa Normal de una Turbina Axial En una etapa normal las velocidades absolutas a la entrada y de salida son iguales en magnitud y en dirección

r r C1 = C3

⇒ α1 = α 3

Por continuidad simplificación

α2

r β 2 W2

r W3

r C2

β3

r C3

r U

ρ1 ⋅ A1 ⋅ CX 1 = ρ2 ⋅ A2 ⋅ CX 2 = ρ3 ⋅ A3 ⋅ CX 3 ρ ⋅ A1 ≈ ρ ⋅ A2 ≈ ρ ⋅ A3

Como sabemos en las TMT las densidades en cada una de las etapas cambia, por lo tanto, la ALTURA de los álabes en cada etapa debe aumentar gradualmente para compensar la disminución de densidad y compensar la ecuación de continuidad!!!

α3

r CX

Transferencia de Energía ROTOR… ω

Ecuación de Euler En su forma más general tenemos que:

∆w = U 2 ⋅ Cθ 2 − U 3 ⋅ Cθ 3 En una turbina Axial U2 = U3 = U. Basándonos en el triangulo de velocidad a la salida del rotor, nos queda: Y+ + X+

r W3 r U

β3 α3

r C3

2

1 Estator

3 Rotor

∆w = U (Cy 2 − Cy3 ) En esta última expresión

(

∆w = U Cy 2 + Cy3

)

C y 3 < 0 , por lo tanto:

Triángulos de Velocidades Adimensionales Factor de Flujo

r c2 r W2 U

r W3 U

U r U U

cy 2 U

Ψ

β3

r c3 U

α3

Cx φ= U Cx U

Factor de Potencia

cy3

∆hs ∆w Ψ= ≈ 2 2 ( ND ) U Cy2 + Cy3 Ψ= U

U

Potencia de Euler

∆w = U (C y 2 + C y 3 )

Trabajo de una Etapa Normal Por otra parte sabemos que el trabajo también puede ser estimado como:

∆W = h01 − h03

X+

Pero en el estator (tobera) ocurre que:

(

∴∆W = h02 − h03 = U cy 2 + cy3

)

h01 = h02

(

(

)

(

1 2   2 − h + C + C y3   3 2 x3  

r W3 r U

1 2  1 2   h2 + C2  −  h3 + C3  = U Cy 2 + Cy3 2   2   1 2  2 h + C + C y2  2 2 x2 

Y+ +

)

)

  = U (Cy 2 + Cy3 ) 

r r C3 C X r C y3

Trabajo de una Etapa Normal Recordemos que:

r r r Cx 2 = Cx3 = Cx

ω

Por lo tanto…

1 h2 − h3 + 2 1 h2 − h3 + 2 1 h2 − h3 + 2 1 h2 − h3 + 2

(

) (

(

)(

) (

(

)[

]

(

)([

r2 r2 r r C y 2 − Cy 3 = U C y 2 + C y 3

)

Estator

)

r r r r r r C y 2 − Cy 3 C y 2 + C y 3 − U C y 2 + Cy 3 = 0

r r r r Cy 2 + Cy3 Cy 2 − Cy3 − 2U = 0

)(

2

1

)]

r r r r r r C y 2 + Cy 3 C y 2 − U − C y 3 + U = 0

3 Rotor

Trabajo de una Etapa Normal Regresando a los triángulos de velocidades en 2 y 3:

Estator

r CX

r Wy 2 Rotor r W3

r U

r C3

r C y3

r C2

r W2

r CX

r U

r r Cy 2 −U = Wy 2 r r Cy3 + U = Wy3

r r r r Cy 2 + Cy 3 = Wy 2 + Wy 3

Sustituyendo en la expresión anterior:

(

)([

(

)(

(

)

)]

)(

r r r 1 r h2 − h3 + Cy 2 + Cy3 Cy 2 − U − Cy3 + U = 0 2

)

r r r 1 r h2 − h3 + Wy 2 + Wy3 Wy 2 −Wy3 = 0 2 1 r2 r2 h2 − h3 + Wy 2 −Wy3 = 0 2

Trabajo de una Etapa Normal Sumando y restando por

1 r2 WX: 2

Estator

r CX

r Wy 2 Rotor r W3

r U

r r C3 C X r C y3

r C2

r W2 r U

(

)

1 r2 r2 1 r2 1 r2 h2 − h3 + Wy 2 − Wy3 + WX − WX = 0 2 2 2 r2 r2 1 r2 r2 h2 − h3 + Wy 2 + WX − Wy3 + WX = 0 2 1 r2 1 r2 h2 − h3 + W2 − W3 = 0 2 2 1 r2 1 r2 h2 + W2 = h3 + W3 2 2

[(

Finalmente:

) (

h02rel = h03rel

)]

Diagrama de Mollier h

P01 P02 01

02

P1 P02rel P 03rel

2

2

c2 2

c1 2

P2 1

A través de la tobera, el gas se mueve del punto 1 al 2 y la presión estática decrece de P1 a P2 .

03 rel

02r el

W2 2

2

W3 2

P03

2 03

P3

2

En el rotor, la presión estática absoluta se reduce de P2 a P3 Estator Rotor

2

c3 2

2s 03s 03ss

Flujo

3 3s

1

3ss

s

2

3

Grado de Reacción (R) 1

R=

Estator

Caída de entalpía estática en el rotor Caída de entalpía estática en la etapa

2

ω

Rotor 3

h2 − h3 R= h1 − h3

Dentro de las turbinas axiales tenemos los tres casos característicos siguientes: • Turbinas con presión constante en el rotor • Turbina de acción con entalpía constante en el rotor • Turbina de reacción, con R=0.5

Grado de Reacción (R) h2 − h3 h2 − h3 R= = h1 − h3 h01 − h03 Puede ser determinado a partir, de las siguientes tres ecuaciones:

Cx (tgβ 3 − tgβ 2 ) R= 2U 1 Cx 1 Wy3 − C y2 R= + (tgβ 3 − tgα 2 ) = + 2 2U 2 2U

Cx (tgα 3 − tgα 2 ) R = 1+ 2U

Estas ecuaciones son linealmente dependientes!!!

Grado de Reacción Otra manera de determinar R:

α2

Cx (tgβ 3 − tgβ 2 ) R= 2U

r W β2 2

1

2

r W3

r C2

β3

r C3

α3

r CX

r U

1 Cx 1 Wy3 − C y 2 R= + (tgβ 3 − tgα 2 ) = + 2 2U 2 2U 3

Cx (tgα 3 − tgα 2 ) R = 1+ 2U

Pero atención: 1, 2, 3 son linealmente dependientes!!!

h2 − h3 h2 − h3 R= = h1 − h3 h01 − h03

Grado de Reacción R≤0 Turbina axial de acción con presión constante en el rotor

h Estator C2>>C1 expansión en el estator P2 = P3 presión constante en el rotor. Rotor

01

02

1

W3 < W2 no hay expansión. La disminución de la velocidad es debida a la fricción. h3 > h2 No hay expansión. El aumento de entalpía es debido a la fricción.

03 3

2s

Ligeramente negativo

2

s

Grado de Reacción (R) h2 = h3

Etapas de acción: La caída de entalpía en el rotor es igual a cero

R=0

Como h02rel =h03rel y h2=h3 entonces W2=W3

Así mismo…

R=

Cx (tgβ 3 − tgβ 2 ) = 0 2U

⇒

tgβ 3 = tgβ 2

h

02rel

β3 = β 2 W2 = W3

03rel

1

C2

W3 C3

W2 U β2

⇒

β3

2s

2 3 3ss

3s

s

Grado de Reacción R=0 Turbina axial de acción con entalpía constante en el rotor La variaciones de presión, velocidad absoluta, velocidad relativa y entalpía en el estator y rotor para R=0, están representadas en la siguiente figura: P1 C2

h1

P W3

W2

h C C1

P2

P3 C3 h3

h2 Estator

Rotor

Grado de Reacción 0C1 expansión en el estator

01

02

1

h2 >> h3 disminución de entalpía en el rotor debido a la expansión. 2

Rotor

W3 >> W2 aumento de la velocidad en el rotor debido a la expansión.

03

P2 >> P3 disminución de la presión en el rotor debido a la expansión

3

Frecuentemente R=0.5

s

Grado de Reacción Cx 1 1 = + ( tg β 3 − tg α 2 ) ⇒ 2 2 2U Cx 0= ( tg β 3 − tg α 2 ) ⇒ β 3 = α 2 2U

Turbina axial de reacción Cuando R=0.5, implica: • Triángulo de velocidades simétrico • h1-h2=h2-h3 • α2=β3 • α3=β2

Wy 3 = C y 2

h α3

1

β2

= C2

W3

W2 α2

2 = 3

C3

U

β3

Triángulo de velocidades y diagrama de Mollier para R=0.5

s

Grado de Reacción Turbina axial de reacción Cuando R=1, implica: • α2=α3 • El trabajo es realizado por el rotor • La caída de entalpía en el estator es igual a cero:

Cx (tgα 3 − tgα 2 ) 2U ⇒ tgα 3 − tgα 2 = 0 ⇒ α 3 = α 2

1 = 1+

C y3 = C y 2

h1 = h2

h C2

W3

W2

C3 s U

α2

α3

Grado de Reacción (R) Una diferencia de presiones considerable entre la entrada y la salida de los álabes móviles, relacionada directamente con el grado de reacción, genera una fuerza sobre el disco de la turbina paralela a su eje que es transmitida a los rodamientos. Se considera entonces: Etapas de alta presión

R
4a5%

Etapas de media presión R
20 a 30 % Generalmente para turbinas de alta capacidad: R
45 a 60 % R=50%

Etapas Parson

Igual perfil aerodinámico, álabes fijos y móviles

r W2 U

r c2 U

r W3 U

β3 α3

r c3 U

Grado de Reacción (R) Diagrama de Etapa Turbina Axial para R=0.5 y R=0

R=0.5

R=0

Acción vs. Reacción En cuanto al rendimiento … Suponiendo recuperada la carga de velocidad de la última etapa 1 η TT = 1 + Pérdidas 1 η TT = 2 2  2  ψ 1   2  ψ      1+  φ +  + 1 − R  ζ S + φ +  + R  ζ R  2ψ    2    2   Buscando el grado de reacción óptimo para un mismo punto de operación

 ∂Pérdidas    = 0 ⇒ R = 0,5 ∂R  φ ,ψ

ζS =ζR

Una etapa de Reacción tendrá mejor rendimiento que una etapa de acción

Acción vs. Reacción 0.5 En cuanto a la Velocidad Periférica …  1 ∂  2ψ

2 2  2  ψ  2  ψ       φ +  + 1 − R  ζ S + φ +  + R  ζ R    2   2      ∂ψ

φ ,R

Buscando el factor de carga óptimo para un mismo punto de operación

∆h ≈2 ∀ R=0 2 U ∆h 1 ψ = 2 ≈1 ∀ R = U 2

ψ=

Para el mismo salto de entalpía de acción tendrá menor velocidad periférica que una etapa de reacción

Acción vs. Reacción 0.5 Varios aspectos … En las etapas de acción las pérdidas intersticiales son prácticamente nulas. En las turbinas de reacción se requiere por lo general dispositivos de sellado para reducir las pérdidas Debido a la expansión fuerte en el estator del escalonamiento de acción frente al de reacción, la temperatura de entrada al rotor de la etapa de acción es más baja. Ventaja sobre todo en las primeras etapas de turbinas a gas La diferencia de presiones en las turbinas de reacción generan empujes. Se soluciona con turbinas con flujos contrapuestos Los álabes de una etapa de reacción 0.5, son iguales para el estator y el rotor Las etapas de acción son utilizadas cuando se requiere trabajar con admisión parcial

Estimación del Rendimiento de una Etapa Trabajo real entre la entrada y salida de la etapa η= Trabajo ideal entre la entrada y salida de la etapa Basándonos en el diagrama de Mollier:

h 01 − h 03 η= h 01 − h 03ss Suponiendo que C1

= C3 = C3 ss , obtenemos:

h1 − h 3 ηtt = h1 − h 3ss Eficiencia total a total (C3 es aprovechado por algo; ej. por la siguiente etapa)

Rendimiento de una Etapa Podemos reescribir el rendimiento de la siguiente manera :

h1 − h 3 η tt = (h1 − h 3 ) + (h 3 − h 3s ) + (h 3s − h 3ss ) Irreversibilidades en el estator Irreversibilidades en el rotor

 1  Por otra parte sabemos que: Tds ≅  dh − dp  ρ   Para una línea de presión constante:

∆h = T∆s h3s − h3 ss = T3s (s3s − s3ss ) h2 − h2 s = T2 (s2 − s2 s )

T3 s ≈ T3

Rendimiento de una Etapa h

P01 P02 01

02

Del diagrama de Mollier podemos decir que:

2

2

c2 2

(s3s − s3ss ) = (s2 − s2s )

P1 P02rel P 03rel

c1 2

P2 1

03 rel

02r el

W2 2

2

W3 2

P03

2 03

P3

2

Por lo tanto, si dividimos las últimas dos ecuaciones de la lamina anterior nos queda:

h3 s − h3ss

2

c3 2

2s 03s 03ss 3

T3 = (h2 − h2 s ) T2

3s

Finalmente podemos expresar el rendimiento:

3ss

s

ηtt =

h1 − h3 T3 (h1 − h3 ) + (h2 − h2 s ) + (h3 − h3s ) T2

Rendimiento de una Etapa Irreversibilidades en el estator Irreversibilidades en el rotor

T3 (h2 − h2 s ) T2

(h3 − h3s )

¿Cómo determinamos las pérdidas? Es posible relacionar las pérdidas en el rotor y el estator con la energía cinética asociada a la salida de cada una de estas coronas de álabes

1 2 h2 − h2 s = C2 ξ N 2 Nozzle

h3 − h3s

1 2 = W3 ξ R 2 Rotor

Rendimiento de una Etapa Reemplazando estos dos últimos coeficientes en la expresión de rendimiento previamente presentada, obtenemos:

Rendimiento total a total

Rendimiento total a estático

 2  T3 2  W C ξ + ξ   R 3 N 2  T h1 − h3 2  ηtt = = 1 +  1 2 1 2 T3  ( ) 2 h − h 1 3  (h1 − h3 ) + W3 ξ R + C2 ξ N  2 2 T2   2 2  T3  + C2  W + C ξ ξ  R 3 N 2  T2  1   ηts = 1 +  ( ) 2 h − h 1 3    

Cuando

−1

ξ Ry ξ N
0, ntt
1

−1

Rendimiento de una Etapa Cuando se requieran unas primeras aproximaciones ó en máquinas en las cuales el cambio de temperatura estática en el rotor nos es muy grande, la relación T3/T2 puede aproximarse a 1, resultando así: Rendimiento total a total

 ξ RW + ξ N C  ηtt = 1 +  2(h1 − h3 )  

Rendimiento total a estático

2 3

2 2

−1

 ξ RW + ξ N C + C  ηts = 1 +  2(h1 − h3 )   2 3

¿Cómo determinamos los coeficientes

2 2

2 1

−1

ξR y ξN ?

Correlaciones de Soderberg Para estimar estos coeficientes de pérdida, Soderberg recolectó gran cantidad de data de pequeñas turbinas (convencionalmente construidas); relacionó el rendimiento global con las pérdidas en cada una de las coronas de álabes y logró determinar que son función directa de la geometría del perfil en la cascada y del numero de Reynolds.

ξ

R

, ξ

N

=

 S f   l

Paso Cuerda

h t , , , Re b l

Relación de Aspecto

Relación de Espesor

 

Reynolds

Parámetros geométricos s

Relación Paso Cuerda:

l

S l Relación de Aspecto:

H

H b Relación de espesor:

tmax

b

t max l

Valor óptimo de S/b para turbinas (Criterio de Zweifel) Zweifel

Demostró que la eficiencia de en una corona de álabes esta influenciada por el valor de S y b.

Luego de experimentos de cascadas de turbinas, encontró que las pérdidas mínimas se encuentran cuando ψ T (coeficiente de carga aerodinámica) toma un valor de 0.8:

S ψ T = 2 (tan α1 + tan α 2 ) cos 2 α 2 b

Donde:

Y ψT = Yid

Coeficiente de carga Aerodinámica

A partir de esta condición y para valores específicos de ángulos a la entrada y salida de un perfil se puede determinar el valor optimo de S/b.

Correlaciones de Soderberg Para etapas diseñas usando el criterio de valor óptimo de Zweifel, Soderberg a partir de sus experimentos sobre diversos tipos de turbinas, logró encontrar que los coeficientes de pérdidas para el rotor y el estator vienen dador por:

 ε 

ξ N * = 0.04 + 0.06

  100 

2

ξR

*

 ε  = 0.04 + 0.06   100 

2

Las ecuaciones anteriores son validas siempre y cuando:

H =3 b

t max = 0.2 l

Re = 10

5

Cumpliendo estas condiciones Soderberg permite estimar el rendimiento con desviaciones menores al 3%

Correlaciones de Soderberg En las ecuaciones anteriores ε representa la deflexión del fluido en cada una de las cascadas de álabes.

ε N = α1 + α 2

εN

ε R = β 2 + β3

εR

Cuando no se conozca la deflexión podemos aproximarla a la curvatura:

ε N = α 2′ + α 3′

ε R = β 2′ + β 3′ Estos ángulos son propios del perfil!!

Estas correlaciones, y todas las correlaciones de Soderberg, se adecuan correctamente cuando ε ≤ 120°

Variaciones de las Correlaciones de Soderberg

Coeficiente de pérdida, ξ

Si tmax/l ≠ 0.20
No hay grandes cambios de ξ

Deflexión, ε,° Coeficiente de Pérdidas vs Deflexión

Variaciones de las Correlaciones de Soderberg Si la Relación de Aspecto H/b ≠ 3 Estator:

1 + ξ N1  b = 0 , 993 + 0 , 021   1 + ξ N*  H

(

)

b  ξ N 1 = 1 + ξ  0,993 + 0,021 H  * N

  −1 

Rotor:

b 1 + ξ R1  = + 0 , 975 0 , 075   * H 1+ ξR 

ξN1 y ξR1

(

)

b  ξ R1 = 1 + ξ  0,975 + 0,075  − 1 H  * R

representan los coeficientes de pérdidas para números de Reynolds de 105

Variaciones de las Correlaciones de Soderberg Si Número de Reynolds ≠ 105

Re =

ρ 2 c2 Dh 2 µ

Dh =

4 A flujo Pmojado

Estator:

ξN 2

4 ⋅ HS cos α 2 = 2S cos α 2 + 2 H 1 4

 105   ξ N 1 =   Re 

Rotor:

ξR2

1 4

 105   ξ R1 =   Re 

Grado de Reacción INFLUENCIA EN EL RENDIMIENTO ψ Analizando los factores que determinan la forma del triangulo de velocidades se puede ver que su forma es definida por Cx, Cθ y U y Considerando la definición de ψ y ϕ se tiene que:

β2 α2

C2/U W2/U

W3/U εN

εR 1

Cy1/U

Cy3/U Wy2/U

Por Definición:

R=

h2 − h3 R= h1 − h3

(Wy 3 + Wy 2 )(Wy 3 − Wy 2 ) 2ψU

2

α1 β3 ϕ C1/U

Wy3/U

h01 − h03 = h1 − h3 = ∆h0 = ψU 2 1 h2 − h3 = (W 2 y 3 − W 2 y 2 ) 2

= 1+

(C y 3 − C y 2 ) 2U

=

(Wy 3 − Wy 2 ) 2U

Grado de Reacción INFLUENCIA EN EL RENDIMIENTO Wy 2

De manera similar

U

La velocidad de salida en el estator y el rotor

=

ψ 2

−R

1+

U

=

ψ 2

+1− R

2

2

2

2

2

2

Wy3 U

=

ψ 2

+R

ψ  C2   C x   C y 2  2  = φ + ( + 1 − R ) 2   =   +  2 U  U   U  ψ  W3   C x   W y 3  2 2   φ = + = + ( + R )       U U U 2      

La eficiencia se transforma en:

ηTT =

Cy2

1

 1  2 ψ ψ 2 2 2 φ + ( + 1 − R ) ξ + φ + ( + R ) ξ N R 2ψ  2 2 

Grado de Reacción INFLUENCIA EN EL RENDIMIENTO El resto de los elementos de los triángulos de velocidades también pueden ser expresados en términos de ϕ, ψ y R

 ψ      − R +1 2  α 2 = arctg      φ      ψ    −R  + R 2   2   β 2 = arctg    β arctg = 3   φ   φ               φψ φψ    ε R = β 2 + β 3 = arctg ε S = α 1 + α 2 = arctg 2  2 ψ2  2 ψ 2  + R2 + ( R + 1)  φ − φ − 4 4   

 ψ      + R −1 2  α 1 = arctg      φ      ψ  

     

Grado de Reacción INFLUENCIA EN EL RENDIMIENTO 1

ηTT = 1+

 1  2 ψ ψ 2 2 2 φ + ( + 1 − R ) ξ + φ + ( + R ) ξ N R 2ψ  2 2 

Derivando respecto a R la Expresión se puede obtener que el grado de Reacción optimo es 0.5 para todos los factores de carga y flujo. Procediendo de igual manera se puede obtener el factor de carga optimo. Para R = 0.5

ψ opt = 4φ 2 + 1

Para R = 0

ψ opt = 4φ 2 + 2

ψ opt = 2 φ 2 + 0.5 + R( R − 1)

Turbinas Axiales sin rotación inter-etapas ψ

C1 Estator

α2

α2 β2

β2

C2 U

Rotor β3 C3 U

W2

β3

W3

εR

εS C 3

ϕ = C1/U

U

W2

W3

C2

0.5(W32 − W22 ) h2 − h3 h2 − h3 = = R= h1 − h3 h01 − h03 ψU 2

R = 1−

ψ 2

Turbinas Axiales sin rotación inter-etapas El resto de los elementos de los triángulos de velocidades también pueden ser expresados en términos de ϕ y ψ.

ψ α 2 = ε S = arctg  φ

ψ − 1  β 2 = arctg    φ 

  

1 β 3 = arctg   φ 

ε R = β2 + β3

C2 = φ 2 +ψ 2 U

W3 = φ 2 +1 U

ηTT = Lo cual cambia la eficiencia

[

1

1 1+ φ 2 +ψ 2 ζ N + φ 2 + 1 ζ R 2ψ

]

Turbinas Axiales sin rotación inter-etapas ηTT =

1+

[

1

1 φ 2 +ψ 2 ξ N + φ 2 + 1 ξ R 2ψ

]

Derivando respecto a ψ la expresión resaltada se puede obtener que

ψ opt

ξR 2 ξR = (1 + )φ + ξN ξN

ψ opt = 2φ 2 + 1

Asumiendo

ξR ≈1 ξN

Grado de Reacción INFLUENCIA EN EL RENDIMIENTO Re = 10

ηη

5

C H t = 3 max = 0 . 2 φ = X = 0 . 4 U b l φ=0.4 H/b=3.0 Re=1E5 ηtt tt tmax/l=0.2

1.0

η

0.9

Ψ=1 Ψ=2 Ψ=3

0.8

ηts

0.6

1

1/2

0

(Cy3 − Cy2 ) R = 1+ 2U

R = 1+

∆w Cy2 − 2 2U ψ U

ηtt no se ve afectado por los valores de R, a diferencia del ηts quien esta

ηts

0.7

∆w = U (cy 2 + cy3 )

directamente relacionado con R y ψ

R

R

Si

U

Ψ

ηtt

Si

U

Ψ

ηts

Grado de Reacción INFLUENCIA EN EL RENDIMIENTO

Eficiencia total-a-estática vs grado de reacción

ηtt de una etapa con R=50% Para una etapa normal, asumiendo T2=T3, podemos decir que:

1

ηtt

= 1+

ξ RW32 + ξ N C22 2∆w

Del triangulo de velocidades a la salida del rotor podemos decir que:

(

)

C X = W3 ⋅ cos(β 3 ) ⇒ W32 = C X2 ⋅ sec 2 (β 3 ) = C X2 1 + tan 2 (β 3 ) Si el grado R=0.5

ξN= ξR= ξ y C2=W3, obtenemos:

ξ ⋅φ = 1+ ⋅ (1 + tan 2 (β 3 )) ηtt ψ 1

2

ξ ⋅ φ   1 +ψ = 1+ 1 +  ψ   2 ⋅ φ 2

  

2

  

50 % de Grado de Reacción Por Definición

h2 − h3 R= = 0.5 h1 − h3

h2 − h3 = h1 − h2

La caída de entalpia es la misma en el rotor y en el estator

∆Wθ = ∆Cθ α2

W3

C2

β2

εR

εS

W2 Cθ2 Wθ2

U

α1 C3

β3

Cθ1 Wθ3

El triángulo de Velocidades es Simétrico

Cx

50 % de Grado de Reacción Realizando las mismas consideraciones que en el triangulo de velocidades anterior se tiene que ψ α2 β2

ψ +1 α 2 = β 3 = arctg ( ) 2φ 1 C2 W3 = = φ 2 + (ψ + 1) 2 U U 4

W2/U

W3/U

C2/U εR

α1

εS

C3/U

1 (ψ-1)/2

(ψ-1)/2

  φ   ψ  ε R = ε S = α 1 + α 2 = arctg   ψ 2 −1  1− 2  4 φ  

β3

ϕ

ψ −1 α1 = β 2 = arctg ( ) 2φ 1 C3 W2 = = φ 2 + (ψ − 1) 2 U U 4

ηtt de una etapa con R=50%

ηtt de una etapa con R=0 Del triangulo de velocidades podemos decir que:

α2

tan (α 2 ) = tan (β 2 ) + 1 C y 2 = Wy 2 + U φ ⇒ C y 3 = Wy 3 − U tan (α 3 ) = tan (β 3 ) − 1

φ

β2

∆w ψ = 2 = φ (tgα 2 + tgα 3 ) = φ (tgβ 2 + tgβ 3 ) U Si R=0

R=

β3

r W3

r C2

r W2

r U

α3

r C3

Cx (tgβ 3 − tgβ 2 ) = 0 ⇒ β 3 = β 2 ⇒ ψ = 2 ⋅ φ ⋅ tgβ 2 2U

Con esta última expresión y las deducciones del triangulo de velocidades hechas previamente obtenemos que:

ψ   + 1 2  tan (α 2 ) = 

φ

ψ   − 1 2  tan (α 3 ) = 

φ

ηtt de una etapa con R=0 2  ψ     + 1  2 C2 = C X ⋅ sec(α 2 ) ⇒ C22 = C X2 ⋅ sec 2 (α 2 ) = C X2 1 + tan 2 (α 2 ) = C X2 1 +  2     φ   2  ψ     2 2 2 2 W3 = C X ⋅ sec(β 3 ) ⇒ W3 = C X (1 + tan (β 3 )) = C X 1 +      2φ   β3 α2 De esta forma: r α3 r W 3 C2 2 2 β2 ξ RW3 + ξ N C2 1 r r = 1+ C3 W2 r ηtt 2∆W U

Del triangulo de velocidades…….

(

)

2 2     1 1  ψ   ψ    2 2 = 1+ ⋅ ξ R ⋅ φ +    + ξ N ⋅ φ + 1 +    η tt 2ψ  2     2     

ηtt de una etapa con R=0

ηts de una etapa con velocidad Axial a la Salida Asumiendo T2=T3, podemos decir que:

1

ηts

= 1+

ξ RW32 + ξ N C22 + C1 2 ∆W

φ2 ( = 1+ ξ R ⋅ sec 2 (β 3 ) + ξ N ⋅ sec 2 (α 2 ) + 1) 2ψ

Para una etapa normal:

sec 2 (β 3 ) = 1 + tan 2 (β 3 ) = 1 +

1

φ2

ψ sec 2 (α 2 ) = 1 + tan 2 (α 2 ) = 1 +  φ

1

β2

  

r W3

r C2

α2

tan (β 2 ) = tan (α 2 ) − tan (β 3 )

α3 = 0

r W2 r U

2

{ [

β3

]

[

]

1 = 1+ ⋅ ξ R ⋅ φ 2 + 1 + ξ N ⋅ φ 2 +ψ 2 + φ 2 ηts 2ψ

}

r C3

ηts de una etapa con velocidad Axial a la Salida

Análisis de componentes de pérdidas El flujo a través de los álabes en una turbina es complejo. Sin embargo es posible identificar diferentes procesos en los que la entropía o perdidas son generadas. La primera publicación fue hecha por Ainley and Mathieson (1951), luego Dunham and Came(1970) y Kacker and Okapuu (1982) modificaron las primeras correlaciones para formar lo que ahora se llama esquema AMDC+KO. Diferentes divisiones de mecanismos que generan perdidas han sido propuestos: • Perdida de perfil: perdidas por el crecimiento de la capa límite y perdidas de fricción • Pérdida en borde de fuga: causado por el espesor finito del borde de ataque. • Pérdidas de flujo secundario: causado por la distorsión del flujo a través del paso en la rejilla de álabes. • Perdidas anulares: causado por las perdidas de fricción en la superficie del cubo. • Pérdida de tolerancia en la punta: es causado por fuga de fluido entre la punta y la carcasa. • Pérdidas de choque: se deben a ondas de choque en condiciones transónicas.

Pérdidas en perfil Al analizar la capa límite en la superficie del álabe es posible crear una expresión para la componente de pérdida debida a la disipación viscosa en términos de el espesor de capa límite.

ξp =

1 2

⋅ ρ∞C∞ δ ∗∗ 2

−1

  k −1  2 m ⋅C P ⋅T01 1 − 1 + ⋅ M 2S   2    

donde..

δ

δ ∗∗ = ∫

0

2  C   ρ ⋅C 1 −   dy ρ∞ ⋅ C∞   C∞    

Sin embargo medir el espesor de la capa limite posee cierta dificultad. Por esta razón se han desarrollado correlaciones, un ejemplo es la correlación de AMDC+KO para incidencia cero, bajos números de Mach y Reynolds en términos de la relación paso/cuerda 2

 α1b   (K P, 2 − K P,1 ) K P = K P,1 +   α2 

Pérdidas en perfil Esta correlación se puede utilizar tanto para el estator como para el rotor. Se puede observar que para un ángulo a la entrada de 0 las pérdidas son menores, esto se debe principalmente a que posee una menor deflexión. Existen correcciones referenciadas al numero de Mach y el número de Reynolds. Hay estudios en los que se puede apreciar que al aumentar la velocidad la capa límite se reduce produciendo una disminución del 10% de las perdidas. La correlación de Ainley fue calculada con Re=2 x 105 y para utilizar otro Reynolds se debe multiplicar por:

 Re2  K Re =  5   2 ×10  K Re = 1

−0.4

Para Re φ α 3* < α 3′′

β 3′ = β 3′′ = β 3*

α 2′ = α 2′′ = α 2*

ψ '≥ 1

Disminución de Potencia (’) * ′ ψ < ψ β 2* > β 2′ φ ′ < φ * α 3* > α 3′

Punto de Operación Recordamos que:

ψ=

∆w U (Cy 2 + Cy3 ) Cx = = (tgα 2 + tgα 3 ) = φ (tgα 2 + tgα 3 ) 2 2 U U U

∴ψ = φ (tgα 2 + tgα 3 ) Wy3 = U + Cy3 ⇒ tgα 3 = tgβ 3 −

U Cx

Combinando estas ecuaciones:

U   ψ = φ  tgα 2 + tgβ 3 −  = φ (tgα 2 + tgβ 3 ) − 1 Cx   Constante!!!!

Punto de Operación Aplicando estas expresiones para los puntos (*) y (’’):

ψ * = φ * ( tg α 2 + tg β 3 ) − 1 ctte

ψ ′′ = φ ′′ ( tg α 2 + tg β 3 ) − 1

ψ * + 1 ψ ′′ = φ ′′ *  − 1  φ 

ctte

Dividiendo por

ψ*:

ψ ′′ φ ′′  1  1 = 1+ −   ψ * φ *  ψ * ψ *