Tugas Soal Latihan Bilangan Kompleks (Kelompok 7 - PSTI)

PEMBAHASAN SOAL BILANGAN KOMPLEKS

Mata Kuliah : Kalkulus Dosen : Afri Yudamson, S.T., M.Eng.

Disusun Oleh Kelompok 5: -Andre Perioza Herpa - Ayu Rizki Ananda - Dessy Maya Sary - Meri Fitriani -Nadya Irena Habib -Wulan Rahma Izati

(1415061004) (1415061009) (1415061013) (1415061027) (1415061032) (1415061040)

Jurusan Teknik Informatika Fakultas Teknik Universitas Lampung Bandar Lampung 23 Desember 2014

BILANGAN KOMPLEKS Latihan Ujian 1 Anda akan menemukan pertanyaan-pertanyaan ini sangat singkat dan mudah. 1. Sederhanakanlah:

(a) j3

(b) j5

(c) j12

(d) j14

Jawab (a) j3 => ( j )2 j = -1 . j =-j

cat: j = √

,

j2 = -1 ,

(b)

( -1+j )2

j4 = 1

(b) j5 => ( j )4 j =1.j = j (c) j12 => ( j4 )3 = 13 =1 14 (d) j => ( j4 )3 . j2 = 13 . (-1) =-1 2. Nyatakanlah dalam bentuk a+jb. (a) (4 – j7) (2 + j3) (c)

(5 + j2) (4 – j5) (2 + j3)

Jawab (a) (4 – j7) (2 + j3) = 8 – j14 + j12 - j²21 = 8 – j2 – (-1) 21 = 8 – j2 + 21 => 29 – j2

(d)

Cat: (a+jb)(c+jd) = ac+jbc+jad+j²bd

(b) ( -1+j )2 = ( -1+j ) ( -1+j ) = 1 – j – j + j2 = 1 – j – j – 1 => -2j

(c) (5 + j2) (4 – j5) (2 + j3) Cat: (a+jb)(c+jd)(e+jf) = ac+jbc+jad+j²bd+ae+jbe+jaf+ j²bf+ce+jde+jcf+ j²df = 20 + j8 – j25 – j210 + 10 + j4 + j15+ j26 + 8 – j10 + j8 – j215

= 20 + 10 + 8 + j8 – j25 + j4 + j15 – j10 + j8 – j210 + j26 – j215 = 38 – j219

(d)

=

=>

=

=>

j10

3. Carilah nilai x dan y yang memenuhi persamaan: (x + y ) + j(x – y) = 14,8 + j6,2 Jawab (x + y ) + j(x – y) = 14,8 + j6,2 x + y = 14,8 , x – y = 6,2

Cat: a + jb = c + jd => a – c = j(d – b) a=c , d=b

x+y = 14,8 x-y = 6,2 _ 2y = 8,6 y = 4,3 , x = 14,8 – (y) = 14,8 – 4,3 = 10,5 berarti nilai x = 10,5 dan y = 4,3 4. Nyatakanlah dalam bentuk polar (a) 3 + j5 (b) -6 + j3

(c) -4 – j5

Jawab Cat: s j, cos sin  √ tan-1 

, Identitas Euler: e jcos j sin 

Representasi polar dari bilangan kompleks: s e j (a) 3 + j5 s√ √ -1 tan 0.25 rad



Representasi polar adalah: s = √

e j0,25

(b) -6 + j3 s√  √  -1 tan -1.107 rad Representasi polar adalah: s = √ e j-1.107

(c) -4 – j5 s√ √ -1 tan  0.265 rad



Representasi polar adalah: s = √

e j0.265

5. Nyatakanlah dalam bentuk a + jb (a) 5 (cos 225o + j sin 225o) (b) 4 |330o Jawab (a) 5 (cos 225o + j sin 225o) = 5 (-0,70711 - j 0,70711 ) = - 3.535533905 - j 3.535533905 (b) 4 |330o = 4 ( cos 330o + j sin 330o) = 4 ( 0,866025 – j 0,5 ) = 3.4641 – j 2 6. Nyatakanlah dalam bentuk eksponensial : (a) Z1 = 10 |37o15’

dan

(b) Z2 = 10 |322o45’

Dari sini tentukanlah ln z1 dan ln z2 Jawab (a) Z1 = 10 |37o15’ = 10 e j37*15

Cat: Eksponensial = e j

(b) Z2 = 10 |322o45’ = 10 e j322*45’ 7. Nyatakanlah z = e1 + jπ/2 dalam bentuk a + jb Jawab z = e1 + jπ/2 => e1 x e jπ/2 =e1 ( Cos π/2 + j Sin π/2 ) = e1( -0,5 + j 1) = 2.71828183 ( -0,5 + j 1) = - 1.359140915 + j 2.71828183

Cat: e = 2.71828183.

Soal-soal lanjutan 1 ----------------------------------------------------------------------------------------1. Sederhanakanlah: (a) (5 + j4) (3 + j7 ) (2 – j3)

(b)

Jawab (a) (5 + j4) (3 + j7 ) (2 – j3) = ( 15 + j35 + j12 + j2 28 ) ( 2 – j3 ) = 30 – j45 + j70 – j2 105 + j24 – j2 36 + j2 56 – j3 84 = 30 + j49 – j2 85 – j3 84 = 30+ j49 + 85 + j84 = 115 + j133

(b)

=> =

x

= =

(c) =

x

= = = 2. Nyatakanlah

+

Jawab +

=

dalam bentuk a + jb..

(c)

=

x

=

3. Jika z =

+

nyatakanlah z dalam bentuk a + jb.

Jawab

z=

+

=>

=

+

=>

= 4. Jika z =

, carilah bagian real dan bagian imajiner bilangan kompleks z + .

Jawab z= =

=> z + +

=>

5. Sederhanakanlah (2 + j5

+

, dengan menyatakan hasil-hasilnya dalam

bentuk a + jb. Jawab (2 + j5

+

- j (4 – j6) = =

– J (4 – j6)

= =

x

= =

6. Jika z1 = 2 + j1 z2 = - 2 + j4 dan , tentukanlah nilai z1 dalam bentuk a + jb. Jika z1, z2, z3 digambarkan pada diagram Argand masing-masing oleh titik P,Q,R, buktikanlah bahwa R merupakan kaki garis tegak lurus dari titik asal pada garis PQ. Jawab =

-

=

R

p

=

x

=

= z3 =

x

z3 = z3=

7. Titik-titik A, B, C, D, pada diagram Argand, masing-masing menggambarkan bilangan kompleks 9 + j , 4 + ji3 , -8 + j8 , -3 – j4. Buktikan bahwa ABCD merupakan bujursangkar.

8. Jika ( 2 + j3) (3 – j4) = x + jy, tentukanlah nilai x dan y. Jawab ( 2 + j3) (3 – j4) = x + jy = 6 – j8 + j9 = 6 + j + 12 = 18 + j 9. Jika (a + b) + j(a – b) = (2 + j5

12

+ j(2 – j3), carilah nilai-nilai a dan b.

Jawab (a + b) + j(a – b) = (2 + j5 + j(2 – j3) (a + b) + j(a – b) = 4 + j20 + + j2 (a + b) + j(a – b) = 4 + j20 – 25 + j2 + 3 (a + b) + j(a – b) = 18 + j22 a–b = 22 18 –b –b = 22 - 2b = 40 , b = -20

a + b = -18 a = -18 – b a=2

10. Jika x dan y berupa real. Selesaikanlah persamaan = Jawab = + j3xy = (3x +j4) (1 + jy) + j3xy = 3x + j4 – 4y = 3x + j4 – 4y

J(

– 4) = 3x- 4y

11. Jika z = real maka

,dengan a,b, c dan d merupakan kuantitas real, tunjukkan bahwa (a) jika z =

dan (b) jika z semuanya imajiner maka

=-

.

Jawab

,

z=

12. Diketahui bahwa (a + b) + j(a – b) = (1 + j) + j(2 + j), dapatkanlah nila-nilai a dan b. Jawab (a + b) + j(a – b) = (1 + j) + j(2 + j) = 1 + j2 + j2 + = 1 + 4j -1 -1 = -1 + j4

a + b = -1 a = -1 –b a = -1 – (-2,5) a = 1,5

13.Nyatakanlah ( -1 + j ) dalam bentuk re jdi mana r positif dan Jawab -1 + j => r = √

=√

-1 + j => √ e- j arc tan ( = - 45o

)

a-b =4 -1-b-b = 4 -2b = 5 b = -2,5 .