Tugas paper Pengantar Analisis Real

SUPREMUM , INFIMUM DAN BARISAN BILANGAN REAL Paper ini disusun guna untuk memenuhi Mata Kuliah Pengantar Analisis Real Pengampu : Samsul Arifin, S.Si.

Oleh :

Purwanti Cahyaningtyastuty 08610030

PROGRAM STUDI MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SUNAN KALIJAGA YOGYAKARTA 2010/2011

KATA PENGANTAR

Alhamdulillahirobbil’alamin, sanjungan sanjungan dan pujian hanya milik Allah Swt. Shalawat serta salam semoga senantiasa dilimpahkan kepada Rasulullah saw beserta keluarga dan sahabatnya, yang tidak ada lagi nabi setelahnya.. Berkat semangat dan sokongan spirit dari keluarga yang berada nun jauh dimata, Alhamdulillah Paper kecil ini bisa selesai disusun. Paper yang demi memenuhi tugas Mata Kuliah Pengantar Analisis Real ini mengetengahkan tentang Supremum dan Infimum. Meskipun penyusunan Paper ini telah selesai, tentunya masih banyak  kekurangan. Dan tentunya juga penyusun mengharapkan kritik dan saran yang dapat membangun semangat penyusun untuk tetap istiqomah dalam menjalankan aktifitas belajar dikemudian hari. Penyusun berharap semoga Paper yang sederhana ini dapat bermanfaat untuk menambah ilmu pengetahuan, khususnya untuk bidang analisis real. Insya Allah, Amin yarobba’alamin.

Yogyakarta, 25 Oktober 2010 Penyusun Purwanti Cahyaningtyastuty Cahyaningtyastuty

A. Supremum dan Infimum

Di dalam bagian ini dibicarakan himpunan bilangan bilangan yang terbatas beserta sifat – sifatnya yang berpengaruh untuk materi – materi selanjutnya.

Definisi A.1. Diberikan subset tak kosong S ⊂ ℝ  . (a) Himpunan S dikatakan terbatas ke atas (bounded above ) jika terdapat

suatu bilangan u∈ℝ  sedemikian hingga s

≤u

untuk semua s∈S . Setiap

bilangan u seperti ini disebut dengan batas atas (upper bound ) dari S. (b) Himpunan S dikatakan terbatas ke bawah (bounded below ) jika terdapat

suatu bilangan w∈ℝ  sedemikian hingga w

≤s

untuk semua s∈S . Setiap

bilangan w seperti ini disebut dengan batas bawah (lower bound ) dari S. (c) Suatu himpunan dikatakan terbatas (bounded ) jika terbatas ke atas dan

terbatas ke bawah. Jika tidak, maka dikatakan

{

tidak

(unbounded ). Sebagai contoh, himpunan S :=  x∈ℝ : x < 2

terbatas

} ini terbatas ke

atas, sebab bilangan 2 dan sebarang bilangan lebih dari 2 merupakan batas atas dari S. Himpunan ini tidak mempunyai batas bawah, jadi himpunan ini tidak terbatas ke bawah. Jadi, S merupakan himpunan yang tidak  terbatas.

Definisi A.2. Diberikan S subset tak kosong

ℝ  .

(a) Jika S terbatas ke atas, maka suatu bilangan u disebut supremum (batas

atas terkecil) dari S jika memenuhi kondisi berikut: i. ii.

u merupakan batas atas S, dan

 jika v adalah sebarang batas atas S, maka u ≤ v . Ditulis u = sup S .

(b) Jika S terbatas ke bawah, maka suatu bilangan u disebut infimum (batas

bawah terbesar) dari S jika memenuhi kondisi berikut:

i. w merupakan batas bawah S, dan ii.  jika t adalah sebarang batas bawah S, maka t ≤ w. Ditulis w = inf S . 1. Himpunan terbatas (i)  Himpunan A ⊂ ℝ  dan A ≠

θ 

dikatakan   terbatas ke atas jika ada bilangan

nyata k sehingga berlaku a ≤ k  Untuk setiap a

∈

A;k disebut  batas   batas atas himpunan A.

(ii)  (ii)  Himpunan A⊂ ℝ  dan A ≠

θ 

dikatakan   terbatas ke bawah jika ada

bilangan nyata l sehingga berlaku a≥l Untuk setiap a

∈

A;l disebut  batas  batas bawah himpunan A.

(iii) Himpunan A ⊂ R dikatakan  terbatas ke bawah jika A terbatas ke atas dan terbatas ke bawah. Teorema A.1.1 (i)  M batas atas terkecil himpunan A jika dan hanya jika (a) M (a)  M batas – batas A, i.e., i .e., untuk  ∀ a

∈

A berakibat 

a ≤ M  , dan

(b) Untuk  ∀ ε  > 0 terdapat a’

∈

A sehingga

M − ε  < a' ≤ M  

(ii) m batas bawah terbesar himpunan A jika dan hanya jika (a) m batas bawah A, i.e., untuk  ∀ a

∈

A berakibat 

m ≤ a , dan (c)

∀ ε  > 0 terdapat a’’ ∈ A sehingga m ≤ a '' < m + ε 

Bukti :

(i) Karena  M  merupakan Supremum (batas atas terkecil) himpunan  A, maka  M  − ε  bukan batas atas himpunan  A. Hal ini berarti ∃ a ' ∈ A sehingga

 M

− ε  < a ' . Selanjutnya karena M  batas atas terkecil himpunan A, maka

∀ a∈ A

Dengan demikian terbukti

berlaku a ≤ M  , khususnya a ' ≤ M  .

∃ a '∈ A

sehingga M

− ε  < a ' ≤ M

.  

Sebaliknya, karena diketahui bahwa, a ≤ M  untuk  ∀ a ∈ A

dan untuk  ∀ bilangan nyata

ε 

>0

∃

a ' ∈ A sehingga  M

− ε  < a '

diperoleh  M  batas atas dan tidak ada batas atas  M 1 ( yang lain) dengan  M1 < M  . Sebab jika ada maka dengan mengambil

suatu M1

kontradiksi,

yaitu

ada

a '' ∈ A

ε 1

=  M − M 1 diperoleh

sehingga  M

− ε 1 < a ''

atau

= M − (M − M 1 ) < a '''' . Dengan kata lain terbukti bahwa M merupakan

supremum. (ii) Bukti untuk  batas bawah terbesar  sama halnya dengan pembuktian batas atas terkecil.

Supremum himpunan A dituliskan dengan Sup (A), lub (A), atau bat (A) Infimum himpunan A dituliskan dengan Inf (A), glb (A), atau bbt (A) Teorema A.1.2 (i) Jika A ⊂ B ⊂  dan B terbatas ke atas, maka

sup ( A)

≤

sup ( B)

(ii) Jika A ⊂ B ⊂  dan B terbatas ke bawah, maka  A) inf ( A

≥

 B) inf ( B

Bukti :

(i)

Karena  A ⊂ B dan B terbatas ke atas, maka  A juga terbatas ke atas. Diambil k  sebarang batas atas himpunan  B. Karena  A ⊂ B , maka k  merupakan batas atas  A; jadi sup ( B) merupakan batas atas himpunan A. Hal ini berakibat sup ( A)

(ii)

≤

sup ( B)

Karena  A ⊂ B dan  B terbatas ke bawah, maka  A juga terbatas ke bawah. Diambil k  sebarang batas atas himpunan  B. Karena  A ⊂ B ,  B) merupakan batas maka k  merupakan batas bawah  A; jadi inf ( B

bawah himpunan A. Hal ini berakibat

 A) inf ( A

≥

 B) inf ( B

Menurut Teorema A.2 di atas, jika  A dan  B masing – masing merupakan himpunan yang terbatas diperoleh sup ( A ∩ B )

≤

sup ( A)

inf ( A ∪ B )

≤

inf ( A)

≤ ≤

sup ( A ∪ B) inf  ( A ∩ B )

Jika  A, B ⊂ ℜ dan  x ∈ ℜ didefinisikan A+B

= {a + b : a ∈ A & b ∈ B}

dan x + A = { x} + A .

Teorema A.1.3  Jika  A, B ⊂  , dan terbatas maka

(i)

sup( A+ B) ≤ sup( A) + sup( B)

(ii)

inf( A+ B) ≥ inf( A) + inf( B)

Bukti :

(i) Sebut M 1 = sup ( A) dan M 2 = sup ( B). Oleh karena itu ∀ a ∈ A berlaku a ≤ M 1 dan untuk  ∀ b ∈ B berlaku b ≤ M 2 . Hal ini berarti untuk  ∀ a + b ∈ A + B

a + b ≤ M1 + M 2  

Oleh karena itu sup( A+ B) ≤ M1 + M2 = sup( A) + sup( B)

(ii) Sebut M 1 = inf ( A) dan M 2 = inf ( B). Oleh karena itu

∀ a∈ A

berlaku a ≥ M 1 dan untuk 

∀ b∈B

berlaku b ≥ M 2 . Hal ini berarti untuk  ∀ a + b ∈ A + B a + b ≥ M1 + M 2  

Oleh karena itu inf( A + B ) ≥ M 1 + M 2

= inf( A) + inf(B )

Himpunan bilangan nyata (himpunan bagian didalam

ℝ )

yang penulisannya

khusus antara lain adalah himpunan – himpunan sebagai berikut. Jika a, b ∈  dan a < b , didefinisikan

1.

[ a , b ] = { x ∈  : a ≤ x ≤ b}

2.

( a, b ) = {x ∈  : a < x < b} disebut selang terbuka (open interval)

3.

[a, b ) = {x ∈  : a ≤ x < b} disebut

disebut selang tertutup (closed interval)

selang tertutup di kiri atau selang

terbuka di kanan

4.

( a, b ] = {x ∈  : a < x ≤ b}

disebut selang tertutup di kanan atau selang

terbuka di kiri

[a, ∞ ) = { x ∈  : x ≥ a} ( a, ∞ ) = {x ∈  : x > a} ( −∞, a ] = { x ∈  : x ≤ a} ( −∞, a ) = {x ∈  : x < a}

2. Penggunaan Sifat Aksioma Supremum

Pada subbab ini dibahas beberapa akibat dari aksioma supremum. Teorema A.2.1.  Diberikan subset tak kosong S

⊂   yang

terbatas ke atas dan sebarang a ⊂  .

 Didefinisikan himpunan a + S := {a + s : s ∈ S } , maka berlaku sup (a + S ) = a + sup (S ) . Bukti :

Jika diberikan u = sup S , maka  x ≤ u untuk semua  x ∈ S  , sehingga a + x ≤ a + u . Oleh karena itu, a + u merupakan batas atas dari himpunan a + S .

Akibatnya sup( a + S ) ≤ a + u . Selanjutnya, misalkan v adalah sebarang batas atas a + S , maka a + x ≤ v untuk semua  x ∈ S . Akibatnya x ≤ v − a untuk semua  x ∈ S  , sehingga v − a merupakan batas atas S. Oleh karena itu, u = sup S ≤ v − a .

Karena v adalah sebarang batas atas a + S , maka dengan mengganti v dengan u = sup S , diperoleh a + u ∈ sup ( a + S ) . Di lain pihak diketahui sup ( a + S ) ∈ a + u . Akibatnya terbukti bahwa sup ( a + S ) = a + u = a + sup S .

Teorema A.2.2  Diberikan subset tak kosong S

⊂

ℝ   yang

terbatas dan sebarang bilangan real a

> 0 . Didefinisikan himpunan aS := {as : s ∈ S } , maka berlaku inf (aS ) = a inf (S ) . Bukti :

Tulis u = inf  aS dan v = inf  S . Akan dibuktikan bahwa u = av . Karena u = inf  aS , maka u ≤ as , untuk setiap s ∈ S . Karena v = inf  S , maka v ≤ s untuk setiap s ∈ S . Akibatnya av ≤ as untuk setiap s ∈ S . Berarti av merupakan batas bawah

aS. Karena u batas bawah terbesar aS, maka av ≤ u . Karena u ≤ as untuk setiap s∈S ,

maka diperoleh

u a

≤s

untuk setiap s ∈ S (sebab a > 0 ).

Karena v

= inf  S

, maka

u a

≤ v yang berakibat u ≤ av . Di lain pihak diketahui

av ≤ u . Akibatnya u = av .

( ) = a inf (S )

Jadi, terbukti bahwa inf  aS

Teorema A.2.3  Jika A dan B subset tak kosong

ℝ  dan

memenuhi a

≤ b untuk semua a ∈ A dan

b∈ B , maka  B sup A ≤ inf  B Bukti :

Diambil sebarang b∈ B , maka a

≤ b untuk semua a∈ A . Artinya bahwa b

merupakan batas atas  A, sehingga sup  A

≤b

. Selanjutnya, karena berlaku untuk 

semua b∈ B , maka sup A merupakan batas bawah  B. Akibatnya diperoleh bahwa  B . sup A ≤ inf  B

B. Barisan Bilangan Real 1. Pengertian

Barisan bilangan real (barisan di R) adalah fungsi pada himpunan bilangan asli (N) yang jangkauannya termuat pada R. Dalam kaitan barisan sebagai fungsi, dalam pengertian sebelumnya dapat ditulis barisan adalah fungsi f : N → R. Namun karena kekhususan barisan sebagai fungsi dengan daerah asal himpunan bilangan asli (N) dengan sifat N yang terhitung (countable) perlu disepakati hal,

hal sebagai berikut. 1. Untuk mengantisipasi kekhususan ini biasanya fungsi-fungsi ini dinyatakan dengan notasi huruf besar  X, Y, Z  dan seterusnya. Kemudian berkenaan dengan nilai-nilai fungsi dalam barisan maksimal hanyalah terhitung, karena daerah asalnya adalah N, sehingga range dari fungsi yang berupa barisan dapat dapat ditulis sebagai {a1 , a2 ,…,an ,…} atau {x1 ,  x2 ,…,xn ,…} atau {y1 , y2 ,…,yn ,…}. Juga dengan kekhususan ini seringkali yang

ditonjolkan adalah nilai fungsinya bukan fungsinya (baca aturannya), sehingga seringkali yang ditulis adalah nilai fungsinya. 2. Untuk membedakan antara himpunan dan barisan maka himpunan yang menyatakan nilai fungsi dari suatu barisan tidak ditulis dalam notasi himpunan (anggota dibatasi kurung kurawal tetapi kurung biasa), karena dalam himpunan nilai fungsi yang sama tetap harus ditulis tidak seperti pada himpunan yang mana unsure yang sama hanya ditulis sekali. Akibatnya dalam penulisan bias seperti berikut. Barisan X dengan nilai fungsi yang berturut-turut bersesuaian dengan bilangan asli 1,2,3,…,n,… ditulis sebagai  X = (x 1 ,x2 , x3 ,…,xn ,…).

Sehingga jika X : N → R , suatu barisan penulisan selanjutnya seringkali sebagai barisan (xn) atau ( xn : n∈N), walaupun penulisan  X  sebagai barisan juga digunakan. Secara umum penulisan rumus/aturan barisan ada dua macam

•

Pertama nilai fungsi ( suku ) berdasarkan letak barisan berdasarkan sukunya,

  n   .  n + 3 

misal X=( 2n ) , Y= 

•

Kedua yaitu barisan yang nilainya tidak bergantung pada suku ke-n nya tetapi ditentukan pada suku sebelumnya. Contohnya barisan fibonacci (1,1,2,3,5,8,…),  juga barisan yang didefinisikan sebagai berikut : Misal barisan X adalah barisan dengan x1=3, xn+1= xn+ 2.( barisan rekursif).

Definisi Barisan B.1.1.

 Barisan (sequene) bilangan nyata adalah fungsi dari N ke R. Menurut definisi B.1 tersebut, jika  f suatu barisan bilangan nyata, nilai  f di n biasa ditulis dengan an; jadi, an

= f (n)

Barisan biasa dituliskan dengan,

{an } atau {a1 , a2 , .., an }

Dengan an

=

f ( n ) disebut unsur (elemen) ke-n barisan itu. barisan juga dapat

dipandang sebagai himpunan terurut.

Definisi Barisan B.1.2.  Jika {an } dan {bn } dua barisan bilangan nyata, didefinisikan (i)  Jumlah (addition, sum) dua barisan {an } dan {bn } adalah suatu barisan dengan an

+ bn sebagai unsur ke-n. Jadi

{an } + {bn } = {an + bn } (ii)   Perkalian skalar (scalar multiplication). Jika suatu konstanta , maka k {an } adalah suatu barisan bilangan nyata dengan kan sebagai unsur  ke-n.  Jadi k {an } = {kan } (iii)  Hasil ganda (product) dua barisan bilangan nyata

{an }

dan {bn } adalah

suatu barisan dengan anbn sebagai unsur ke-n. Jadi

{an }{bn } = {an bn } (iv)  Hasil bagi (division) barisan bilangan nyata {an } denga barisan bilangan nyata {bn } adalah suatu barisan bilangan nyata dengan

an bn

sebagai

suku ke-n, asalkan bn ≠ 0 untuk setiap n. Jadi

{an }  an  =  {bn }  bn  Definisi B.1.3.  Barisan {an } dikatakan konvergen untuk  n → ∞ jika terdapat bilangan nyata a sehingga untuk 

∀ bilangan

nyata

nilangan asli n ≥ n0 berakibat 

ε 

>0

terdapat bilangan asli n 0 dan jika

an

− a < ε 

Barisan yang dimaksud di dalam Definisi B.4. juga dikatakan kovergen ke  a atau berlimit a untuk  n → ∞ dan dituliskan dengan

lim an n →∞

=a

atau lim an − a n →∞

=0

Dalam hal ini a disebut limit barisan {an } . Barisan bilangan nyata {an } dikatakan terbatas jika terdapat bilangan  M  ≥ 0 sehingga berlaku an ≤ M 

Untuk  ∀ n, atau dengan kata lain {an } = {a1 , a2 , ..} merupakan himpunan terbatas.

Teorema B.1.1 Setiap barisan bilangan nyata yang konvergen terbatas.

Bukti :

Diambil sebarang bilangan nyata {an } yang konvergen. Jadi ada bilangan nyata k  sehingga untuk  ∀ bilangan nyata

ε  > 0

terdapat bilangan asli n0 dan jika bilangan

asli n ≥ n0 berakibat an

− k  < ε 

untuk  ∀ n ≥ n0 Selanjutnya, diambil bilangan .

 M = maks

{a

1

, a2 , .., an0 −1 , k

+ ε } 

Mudah dipahami bahwa: an ≤ M 

Untuk  ∀ bilangan asli n dan bukti selesai.

Teorema B.1.2.  Jika bilangan nyata Bukti :

{an } konvergen untuk  n → ∞

limitnya tunggal

Andaikan {an } mempunyai limit k dan a. Jadi untuk sebarang bilangan nyata ε 

>0

terdapat bilangan asli n’ dan n” sehingga

(i) Untuk  ∀ bilangan asli n ≥ n ' benar bahwa an − k  <

ε 

2

(ii) Untuk  ∀ bilangan asli n ≥ n '' benar bahwa an

−a <

ε 

2

Selanjutnya diambil bilangan asli n 0 = maks {n’,n”}. Menurut (i) dan (ii), untuk  ∀ bilangan asli n ≥ n0 berakibat k −a

≤ <

an ε

2

− a + k − an ≤

+

ε 

2

an

− k + an − a

= ε 

Atau terbukti bahwa k=a ( limit barisan tunggal).

Teorema B.1.3.  Jika {an } dan {bn } masing – masing barisan bilangan nyata yang konvergen, katakan lim an n →∞

=a

dan lim bn n →∞

{an } + {bn } , {α an } , {anbn } (i) lim ( an n →∞

)

+ bn =

dan

α 

∈ R

maka barisan – barisan bilangan

konvergen dan

lim an

n →∞

=b

+

lim bn

n →∞

=

a + b ,

(ii) lim α an = α lim an = α an , n →∞

n →∞

(iii) lim ( an ⋅ bn ) = lim an ⋅ lim bn n →∞

n →∞

n →∞

=

a ⋅ b ,

a  an  an nlim a →∞ n (iv) Apabila (iv) Apabila b, b n ≠ 0, ∀n , maka   kurang dari lim = = n →∞ b lim bn b n  bn  n →∞ Bukti :

Untuk (iii). lim an = a dan lim bn = b n →∞

Maka untuk  ∀ bilangan

ε 

>0

n →∞

dapat dipilih bilangan asli n’ dan n” sehingga

(a) Untuk  ∀ bilangan asli n ≥ n ' berakibat an

−a <

ε 

2 ( M b + 1)

(b) Untuk  ∀ bilangan asli n ≥ n '' berakibat bn

Dengan  M b = bat

{b

n

−b 2 <

ε 

( a + 1)

; n = 1, 2, 2, .....} .

Diambil bilangan asli n0 = maks {n’,n”}, maka Untuk  ∀ bilangan asli n ≥ n0 berlaku anbn − ab = anbn − abn + abn − ab

≤ bn an − a + a bn − b <

Mb an − a + a bn − b

<  M b <

ε

2

+

ε

2 ( M b + 1) ε 

2

+a

ε 

2 { a + 1}

= ε 

Definisi Limit Barisan B.1.4.

Misalkan X = ( x n ) suatu barisan. Bilangan real x disebut limit barisan X = ( x n ) , jika untuk  ∀

∀ ε  > 0 ,

terdapat bilangan asli K( ε) sehingga untuk 

n ≥ K ( ε  ) , suku-suku x n berada pada lingkungan

ε dari x ( Vε (x) ).

Selanjutnya jika barisan X memenuhi definisi di atas, dikatakan X = ( x n ) konvergen ke x atau lim atau lim atau lim .  X = x

( xn ) = x

 xn → x

Dari definisi barisan dapat diperoleh hasil bahwa jika ada,  LIMIT BARISAN adalah UNIK.  Dan TIDAK SEMUA BARISAN PUNYA LIMIT.

Definisi barisan di atas hanyalah untuk menguji apakah suatu titik merupakan limit barisan atau bukan. Sehingga dengan mengambil pernyataan kontraposisi dari definisi diperoleh, Bilangan t bukan limit dari barisan X = ( x n ) jika terdapat bilangan positif tertentu

δ

sedemikian sehingga untuk sebarang bilangan asli K,

terdapat bilangan asli m > K, sedemikian sehingga | x m – t | ≥ δ. Misal X = ( x n ) barisan, dan x bilangan real: X konvergen ke x (a) Untuk setiap lingkungan

ε 

dari x

(V ( x ) )  , ε 

terdapat bilangan asli K(ε )

sehingga untuk  ∀ n ≥ K ( ε  ) , suku-suku xn berada pada lingkungan-

ε  dari

x

(V ( x ) ) . ε 

(b) Untuk setiap ε > >0, 0, terdapat bilangan asli K( ε ) sehingga untuk  ∀ n ≥ K ( ε  ) , suku-suku xn memenuhi |x n-x| >0, 0, terdapat bilangan asli K( ε ) sehingga untuk  ∀ n ≥ K ( ε  ) , suku-suku xn memenuhi x- ε < xn xn +1 untuk  semua n ∈ N  .

Definisi B.2.2.  Barisan  X

= ( xn )

dikatakan  monoton   jika berlaku salah satu X 

naik atau X turun.

3. Barisan Bagian

Pada bagian ini akan diberikan konsep barisan bagian ( subsequences) dari suatu barisan bilangan real. Definisi B.3.1.

Dibe Diberik rikan an baris barisan an bila bilang ngan an real real  X bilangan asli naik tegas n1 < n2

= ( xn )

< .. <

dan diberikan barisan

nk  < .. Barisan  X ' = ( xnk  ) dengan

(

( xnk ) = xn1 , xn2 , ..., xnk  , ...

)

disebut dengan barisan bagian atau sub barisan (subsequences) dari X .

4. Barisan Cauchy Definisi B.4.1.  xn ) disebut barisan Cauchy jika untuk  Barisan bilangan real  X = ( x

setiap e > 0 terdapat  H (ε ) ∈ N  sedemikian hingga untuk setiap n, m ∈ N  dengan n, m ≥ H ( ε  ) , berlaku  xn

− xm < ε  .

Contoh :

Barisan

1 n  

merupakan barisan Cauchy.

Jika diberikan e > 0 , dapat dipilih H Maka jika n,m ³ H , diperoleh

1 n

≤

1 H 

= H ( ε  ) ∈ N <

ε 

2

sedemikian hingga  H  >  

2 ε 

.

dan dengan cara yang sama diperoleh

1 m

<

ε 

2

. Oleh karena itu, jika n,m ³ H (e (e ) , maka

1 n

−

1 m

≤

1 n

+

1 m

<

ε

2

+

ε 

2

= ε 

1 Karena berlaku untuk sebarang e > 0 , maka dapat disimpulkan bahwa   n merupakan barisan Cauchy.

DAFTAR PUSTAKA

Pratiwi Rahayu S.Si, Pipit.   Hand Out Kuliah Pengantar Analisis Real. Fakultas UIN Sunan Kalijaga Yogyakarta Darmawijaya, Prof.Dr. Soeparna. Pengantar Analisis Real. Fakultas Matematika dan IPA Universitas Gadjah Mada Yogyakarta  //http.Gatutis.staff.fkip.uns.ac.id