Tugas I - Deret Taylor

TUGAS METODE NUMERIK

NAMA

: ILHAM

NPM

: 2011020117

KELAS

: TI-II/EXT

JURUSAN TEKNIK INFORMATIKA STMIK HANDAYANI MAKASSAR  2012

i

KATA PENGANTAR

Puji syukur kami panjatkan kehadirat Allah SWT yang telah memberikan rahmat serta karunia-Nya kepada kami sehingga kami berhasil menyelesaikan makalah ini yang Alhamdulillah tepat pada waktunya yang berjudul “Deret Taylor”.

Makalah ini berisikan tentang informasi seputar Deret Taylor atau yang lebih khususnya membahas persamaan-persamaan Deret Taylor dan Teorema Taylor. Diharapkan makalah ini dapat memberikan informasi kepada kita semua tentang Deret Taylor. Kami menyadari bahwa makalah ini masih jauh dari sempurna, oleh karena itu kritik dan saran dari semua pihak yang bersifat membangun selalu kami harapkan demi kesempurnaan makalah ini. Akhir kata, kami sampaikan terima kasih kepada semua pihak yang telah berperan serta dalam penyusunan makalah ini dari awal sampai akhir. Semoga Allah SWT senantiasa meridhai segala usaha kita. Amin.

Makassar,

April 2012

Penyusun

i

DAFTAR ISI

Kata Pengantar ......................... ............ ........................... ........................... .......................... .......................... .......................... ............. i Daftar Isi ......................... ............ .......................... .......................... .......................... .......................... .......................... ....................... .......... ii BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang .......................... ............. .......................... .......................... .......................... ........................... .................. .... 1 B. Tujuan ......................... ............ .......................... .......................... .......................... .......................... .......................... .................... ....... 1 BAB II PEMBAHASAN 1. Defenisi ......................... ............ .......................... .......................... .......................... .......................... ........................... .................. .... 2 2. Persamaan Deret Taylor ......................... ............ .......................... .......................... .......................... .................. ..... 2 3. Teorema Taylor Dalam Satu Variabel .......................... ............. .......................... ...................... ......... 5 4. Suku Sisa Perluasa Deret Taylor ......................... ............ .......................... ........................... .................. .... 8 5. Kesalahan Pemotongan (TructationError) ............................... .................. ........................ ........... 8 BAB III KESIMPULAN DAN SARAN 1. Kesimpulan ......................... ............ ........................... ........................... .......................... .......................... ...................... ......... 10 2. Saran .......................... ............. .......................... .......................... .......................... .......................... .......................... .................. ..... 10 DAFTAR PUSTAKA

ii

BAB I PENDAHULUAN

A. LATAR BELAKANG Pada umumnya fungsi-fungsi yang bentuknya kompleks dapat disederhanakan menjadi fungsi hampiran dalam bentuk fungsi polinomial yang lebih sederhana. Fungsi polinomial lebih mudah dipahami kelakuannya. kelakuannya. Apabila

kita

melakukan

pekerjaan

hitungan

dengan

menggunakan fungsi yang sesungguhnya, maka akan kita dapatkan hasil solusi eksak (solusi sejati). Tetapi bila kita melakukan pekerjaan hitungan dengan menggunakan fungsi hampiran, maka akan kita dapatkan hasil solusi hampiran(solusi pendekatan). Perbedaan antara solusi eksak dan solusi hampiran terletak pada adanya galat pada solusi hampiran. Galat pada solusi numerik harus

dihubungkan

dengan

seberapa

teliti

polinomial

dalam

menghampiri fungsi yang sesungguhnya. Untuk menghampiri fungsi yang sesungguhnya, digunakanlah apa yang disebut dengan deret Taylor.

B. TUJUAN Setelah

mempelajari

persamaan-persamaan

Deret

Taylor,

diharapkan pembaca dapat memahami lebih lanjut persamaan Deret Taylor sehingga nantinya suatu fungsi dapat dihampiri secara polinomial.

1

BAB II PEMBAHASAN

1. Defenisi Dalam matematika, Deret Taylor adalah representasi fungsi matematika sebagai jumlah tak hingga dari suku-suku yang nilainya dihitung dari turunan fungsi tesebut di satu titik. Deret ini dapat dianggap sebagai limit polimial Taylor. Deret Taylor merupakan dasar untuk menyelesaikan masalah dalam metode numerik, terutama penyelesaian persamaan diferensial.

2. Persamaan Deret Taylor

 (  ()

Bila suatu pungsi

 

dari

terhadap



diketahui di titik



dan semua turunan

diketahui pada titik tersebut, maka dengan Deret

 

Taylor dapat dinyatan nilai

pada titik

  

yang terletak pada jarak

           (  (  )  ()   ()    ()   ()    dari titik

.

dengan:

 ()  (  )      

= fungsi di titik = fungsi di titik

   

= turunan pertama, kedua,...,ke



dari fungsi

= langkah ruang, yaitu yaitu jarak antara

  dan

+1

= kesalahan pemotongan = operator faktorial, misalkan misalkan 2! = 1 x 2; 3! 3! = 1 x 2 x 3

2

Perkiraan suatu fungsi dengan Deret Taylor 

Karena suku-suku Deret Taylor tidak berhingga banyaknya, maka untuk alasan praktis Deret Taylor dipotong sampai suku order tertentu. Deret Taylor yang dipotong sampai dengan order ke-n dinamakan Deret Taylor terpotong yang dinyatakan:

  ( ) ( )           ()  ()     ()     ()     ( )         ()  () ()  ((  ))  ()  disebut galat/sisa (residu)

Dengan demikian Deret Taylor yang dipotong sampai suku order ke-n

 (  ()  ()  ()  (   ) ()  ∑    () ) () )() ()  (() )   ()

dapat ditulis

dimana

3

()         () (  )   () (  )   Kesalahan pemotongan

diberikan oleh bentuk berikut:

Persamaan pertama yang mempunyai suku sebanyak tak berhingga akan memberikan perkiraan nilai suatu fungsi sesuai dengan

penyelsaian

memperhitungkan

semua

eksaknya, suku

dalam

tersebut

dan

praktiknya

sulit

biasanya

hanya

diperhitungkan beberapa suku pertama saja. a. Memperhitungkan satu suku pertama (order nol) Bila yang diperhitungkan hanya suku pertama dari ruas kanan, maka dapat ditulis sebagai berikut:

 (  (  )  ()

 

Persamaan ini disebut juga sebagai perkiraan order nol, nilai pada titik

  

sama dengan nilai pada



perkiraan tersebut

adalah benar jika fungsi yang diperkirakan adalah suatu konstant,  jika fungsi tidak konstan, maka harus diperhitungkan suku-suku berikutnya dari Deret Taylor. b. Memperhitungkan dua suku pertama pertama (order 1) Bentuk Deret Taylor order satu, yang memperhitungkan dua suku pertama, dapat ditulis dalam bentuk:

 (  )  () ()  yang merupakan bentuk persamaan linier (garis lurus).

4

c. Memperhitungkan tiga suku pertama (order 2) 2) Deret Taylor yang memperhitungkan tiga suku pertama dari ruas kanan dapat ditulis menjadi:

     (  )  ()   () ()





Persamaan ini disebut juga perkiraan order dua.

3. Teorema Taylor Dalam Satu Variabel Teorema Taylor menyatakan sembarang fungsi mulus dapat dihampiri dengan polinomial. Contoh sederhana penerapan Teorema Taylor adalah hampiran fungsi eksponensial

           

 



di dekat



.



Hampiran ini dinamakan hampiran Taylor orde ke-n terhadap



karena menghapiri nilai fungsi eksponensial menggunakan polinomial



derajat . Hampiran ini hanya berlaku untuk





mendekati nol, dan bila

bergerak menjauhi nol, hampiran ini menjadi semakin buruk.

Kualitas hampiran dinyatakan oleh suku sisa.

      ()        

 



Lebih umum lagi, Teorema Taylor berlaku untuk setiap fungsi yang

 

dapat diturunkan

, dengan hampiran untuk



di dekat titik



, dalam

bentuk:

(  ) ( ) ()        ()  ()   ()(  )  (  )   (  )





5

Suku

sisa

adalah

perbedaan

antara

fungsi

dan

polinomial

hampirannya

(  ) ( ) ()       ()  ()  ()   ()(  )  (  )   (  )





Meskipun rumus eksplisit untuk suku sisa ini jarang digunakan, Teorema Taylor juga memberikan estimasi nilai sisanya. Dengan kata lain, untuk





cukup dekat terhadap , suku sisa haruslah cukup kecil.

Teorema Taylor memberikan informasi persis seberapa kecil suku sisa tersebut. Pernyataan cermat teorema ini adalah sebagai berikut: bila



  [  ]

adalah bilangan bulat dan

kontinu pada selang tertutup

adalah fungsi yang terturunkan dan terturunkan



kali pada

() ()() ( ) (  )  ( )         (  ()  ()   (  )   ()     (  )  ()   ()  ()    selang terbuka

Disini

, maka

Melambangkan

faktorial dan

adalah suku sisa,

melambangkan beda antara polinomial Taylor derajat

fungsi asli. Suku sisa

terhadap

tergantung pada , dan kecil bila

cukup

dekat terhadap . Ada beberapa pernyataan untuk suku sisa ini. a. Bentuk Lagrange 

Bentuk lagrange dari suku sisa menyatakan bahwa terdapat

  )() () (() ) ) ()

bilangan



antara

dan

sedemikian sehingga

=

6

Ini mengungkapkan Teorema Taylor sebagai perampatan teorema nilai rata-rata. Sebenarnya, teorema nilai rata-rata digunakan untuk membuktikan Teorema Taylor dengan suku sisa bentuk Lagrange. b. Bentuk Cauchy  Bentuk Cauchy suku sisa menyatakan bahwa terdapat bilangan

  ()()   ()   (  )() () [  ]    () )()   ()   (  ) ()()() antara

dan



sehingga

Secara umum, bila

adalah fungsi kontinu pada selang tertutup

, yang diturunkan dengan turunan tidak nol pada

ada suatu bilangan

antara

dan

()

, maka

sehingga

Bentuk di atas terbatas pada fungsi riil. Namun bentuk integral dari suku sisa juga berlaku untuk fungsi kompleks, yaitu:

  ()() ()  ∫  ()

  

Dengan syarat, seperti yang biasa ditemui, dalam

[  ]

kontinu mutlak

. Ini menunjukkan teorema ini sebagai perampatan

teorema dasar kalkulus. Secara umum, suatu fungsi tidak perlu sama dengan Deret Taylor-nya, karena mungkin saja Deret Taylor tersebut tidak konvergen, atau konvergen menuju fungsi yang berbeda. Namun,

 () 

untuk banyak fungsi

, kita dapat menunjukkan bahwa suku sisa



mendekati

mendekati nol saat



. Fungsi-fungsi tersebut dapat

7



dinyatakan sebagail Deret Taylor pada persekitaran titik , dan disebut sebagai fungsi analitik.

4. Suku Sisa Perluasan Deret Taylor

( )   ( )        ()      





untuk mudahnya ambil saja/potong saja sisa itu sehingga menjadi:

  () Walaupun turunan orde yang lebih rendah biasanya memiliki andil yang lebih besar terhadap sisa dari suku-suku berorde lebih tinggi, hasil ini masih belum pasti, karena diabaikannya suku-suku orde kedua dan orde yang lebih tinggi. Ketidakpastian ini dinyatakan oleh simbol kesamaan aproksimasi

()

yang dipakai pada persamaan di

atas.

5. Kesalahan Pemotongan (Truncation Error) Adanya kesalahan karena tidak diperhitungkannya suku-suku terakhir dari Deret Taylor. Pada Deret Taylor akan memberikan perkiraan suatu fungsi dengan benar jika semua suku dari deret tersebut diperhitungkan. Dalam praktiknya hanya beberapa suku pertama saja yang diperhitungkan sehingga hasil perkiraan tidak tepat seperti pada penyelesaian analitik. Bentuk kesalahan pemotongan (truncation error,

 ()



) sebagai berikut:

8

Indeks



menunjukkan bahwa deret yang diperhitungkan adalah

sampai pada suku ke



. Notasi

())

berarti bahwa deret

yang diperhitungkan adalah sampai pada suku ke



, sedang



menunjukkan bahwa kesalaha n pemotongan mempunyai order

 

, atau kesalahan sebanding dengan langkah ruang pangkat

, sehingga kesalahan pemotongan tersebut adalah kecil apabila:

a. Interval



adalah kecil

b. Memperhitungkan lebih banyak banyak suku dari Deret Taylor Taylor Pada perkiraan order satu, besarnya kesalahan pemotongan adalah:

      ( )   ()   ()  





9

BAB III KESIMPULAN DAN SARAN

1. Kesimpulan Dari pembahasan makalah di atas dapat disimpulkan bahwa Deret Taylor sangat berguna dalam menyelesaikan masalah numerik, karena pada dasarnya Deret Taylor menyediakan sarana untuk memperkirakan nilai fungsi pada satu titik dalam bentuk nilai fungsi dan turunan-turunannya pada titik lain. Deret Taylor akan memberikan perkiraan suatu fungsi dengan benar jika semua suku dari deret tersebut diperhitungkan, tetapi pada kenyataannya sering dipehitungkan hanya beberapa suku pertama saja sehingga hasilnya tidak tepat seperti perhitungan analitisnya. 2. Saran Bertolak dari persamaan-persamaan dari Deret Taylor di atas, penyusun

menyarankan

kepada

pembaca

untuk

lebih

dalam

mempelajari beberapa persamaan dari Deret Taylor karena Deret Taylor sangat berguna untuk menyelesaikan permasalahan matematis yang tidak dapat diselesaikan secara analitis.

10

DAFTAR PUSTAKA

Mursita,

Danang.

“Deret

Taylor

dan

Mac

Laurin.”

http://www.stisitelkom.ac.id (diakses tanggal 18 April 2012). Nico. “Deret dan Teorema Taylor.” http://elnicovengeance.wordpress.com

(diakses tanggal 18 April 2012). Wikipedia. “Deret Taylor.” http://id.wikipedia.org (diakses tanggal 18 April

2012).

11